PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 Prof. Dr. Ali ŞEN İki Populasyonun Karşılaştırılması: Eşleştirilmiş Örnekler için Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi -BÜYÜK ÖRNEK Bağımsız populasyonlara uygulanan mertebe toplamları testinde olduğu gibi wilcoxon un işaretli mertebeler testi istatistiği de büyük örneklemlerde (n 5) normal dağılıma yakınsar. Varsayım : - Farkların örneğe seçildiği farklar populasyonunun dağılışı süreklidir - Örneklemler farklar populasyonundan rastgele seçilmiştir.
İki Populasyonun Karşılaştırılması: Eşleştirilmiş Örnekler için Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi -BÜYÜK ÖRNEK Tek yönlü test: Çift yönlü test H0: İki populasyon eş dağılışa sahiptir İki populasyon eş dağılışa sahiptir H: A nın dağılışı B ye göre sağdadır A nın dağılışı B ye göre sağa veya sola kaymıştır n(n + ) T+ Test İstatistiği: z = 4 n(n + )(n + ) 4 Ret bölgesi: Ret Bölgesi: z>z α z<-z α/ veya z>z α/ Varsayım (n 5) 3 PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER-9 Prof. Dr. Ali ŞEN 4
Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Tam rassal tasarım karşılaştırılımak istenen p adet populasyondan alınan bağımsız örneklemlere uygulanan bir testtir. p adet populasyonun dağılımlarının normal olduğu bilindiğinde bu populasyonların ortalamalarını karşılaştırmak için varyans analizi ve testi kullanılabilmekteydi p adet populasyon herhangi bir dağılış varsayımı gerekmeksizin kruskal wallis in H testi ile karşılaştırılabilir. Varsayım : -P adet örneklem bağımsız ve rastgele seçilmiştir -Her örneklemde 5 veya daha fazla ölçüm vardır 3-Örneklemlerin seçildiği p populasyonun dağılışı süreklidir. 5 Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Örnek: Üç farklı sektöre ait firmalarda çalışan sayılarının karşılaştırılması istenmektedir (Tarım, İmalat ve Hizmet) Her sektöe ait 0 adet şirket örnekleme seçilmiş ve herbirinde çalışan sayıları incelenmiştir. Sonuçlar şu şekildedir 6 3
Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Tarım İmalat Hizmet 0 44 7 350 93 49 4 353 38 6 7 5 5 56 0 06 33 8 4 3 9 33 6 443 3 8 69 39 7 Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için H 0 : Her üç populasyon eş dağılışa sahiptir. H : En az bir populasyon yer olarak diğerlerinden farklıdır. Test istatistiği: H = n(n + ) p = R n 3(n + ) burada n, inci örneklemdeki gözlem sayısı n de toplam örnek hacmidir. R her örneklemin mertebe toplamlarıdır. 8 4
Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Tarım Mertebe İmalat Mertebe Hizmet Mertebe 0 5 44 5 7 9.5 350 7 93 9 49 6 4 353 30 38 5 6 3 7 9.5 5 3 5 8 56 9 0 0 06 33 8 4 7 6 3 9 3 33 4 6 7 443 8 3 4 8 4 69 8 39 6 R =0 R =0.5 R 3 = 34.5 n =n = n 3 =0 n=30 9 Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Mertebe toplamlarına R,R,R3 dersek H = (0) 30(3) 0 (0.5) + 0 (34.5) + 0 3(3) = 99.097 93 = 6.097 H = n( n + ) p = n ( R R) R J. örneklemine karşılık gelen ortalama mertebe R ise tüm mertebelerin ortalamasıdır. Tüm örneklemlerin mertebeleri aynı olursa H istatistiği sıfır olurken, ortalama mertebeler arasındaki uzaklık arttıkça H değeri büyüyecektir 0 5
Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Sıfır hipotezi geçerli iken H ındağılımı tüm p örneklem hacmi 5 ten büyükken yaklaşık olarak (p-) serbestlik dereceli ki-kare dağılımı gösterir. Büyük H değeri farklı dağılım yerini yani alternatif hipotezin geçerliliğini işaret eder Yani H> χ α ise Ho reddedilir. Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Örnekte sd p- = Öyleyse tablodan serbestlik dereceli ki kare değeri χ 0.05 =5.99 H=6.097 olduğundan Ho reddedilir 6
PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER-0 Prof. Dr. Ali ŞEN 3 Tesadüf Blokları için Tesadüf blokları ile karşılaştırılımak istenen p adet populasyonun normal dağılımlı ve eşit varyanslı olmaları gerekmekteydi. Bu varsayımlar sağlanmadığında p adet populasyonu karşılaştırmak için FriedmanınF r testi kullanılabilir Varsayım : -Muameleler blok içindeki deney birimlerine rastgele atanmıştır. -Ki-kare dağılımının geçerli olması için ya blok sayısı (b) ya da muamele sayısı (p) 5 ten daha fazla olmalıdır. 3-Örneklemlerin seçildiği p populasyonun dağılışı süreklidir. 4 7
Tesadüf Blokları için Bir pazarlamam şirketi üç farklı reklam tipinin göreli etkinliklerini karşılaştırmak istemektedir. (doğrudan posta, gazete ilanı ve dergi ilanı) 5 adet müşteri için her reklam tipi bir yıl boyunca uygulanmış ve her reklam tipine verilen yüzde tepki oranları kaydedilmiştir., 5 Tesadüf Blokları için 5 firmanın farklı ürün yapısı olduğundan bunların blok etkisi gözönünde bulundurulmalıdır. Bu yüzden her firmanın içindeki (blok) gözlemler mertebelendirilir ve her reklam tipi için mertebe toplamları hesaplanır. 6 8
Tesadüf Blokları için Şirket Doğrudan Mrtb Gazete Mrtb Dergi Mrtb Posta 7.3 5.7 3 0. 9.4 8.3 3 8. 3 4.3. 3 5. 4.3 9. 3 6.5 5 3.3 9. 3 8.7 6 4. 0.5 3 6.0 7 5.9 8.7.3 3 8 6. 4.3 3. 9 4.3 3. 6.0 3 0 0.0 8.8 3.. 5.7 6.3 3 6.3 0. 3 4.3 3 8.0 4. 3 9. 4 7.4 6. 8. 3 5 3. 8.9 3 5.0 R =0 R = 39 R 3 =3 7 Tesadüf Blokları için H 0 = Üç tip reklam için tepki oranlarının dağılışı eştir H = En az bir olasılık dağılışının yeri farklıdır. p Fr = R 3b(p + ) bp(p + ) = b= blok sayısı p= muamele sayısı R inci muamelenin mertebe toplamı 8 9
Tam Rassal Tasarım- Tesadüf Parselleri için Tüm ortalama mertebeler aynı olsaydı Fr istatistiği sıfıra eşit olacaktı. Sıfır hipotezi geçerli iken Fr istatistiğinin dağılımı yaklaşık olarak (p-) serbestlik dereceli ki-kare dağılımı gösterir. Büyük Fr değeri farklı dağılım yerini yani alternatif hipotezin geçerliliğini işaret eder Yani H> ise Ho reddedilir. χ α 9 Tesadüf Blokları için Şirket Doğrudan Mrtb Gazete Mrtb Dergi Mrtb Posta 7.3 5.7 3 0. 9.4 8.3 3 8. 3 4.3. 3 5. 4.3 9. 3 6.5 5 3.3 9. 3 8.7 6 4. 0.5 3 6.0 7 5.9 8.7.3 3 8 6. 4.3 3. 9 4.3 3. 6.0 3 0 0.0 8.8 3.. 5.7 6.3 3 6.3 0. 3 4.3 3 8.0 4. 3 9. 4 7.4 6. 8. 3 5 3. 8.9 3 5.0 R =0 R = 39 R 3 =3 0 0
Tesadüf Blokları için F r = (5)(3)(4) [(R ) + (R ) + (R ) ] (3)(5)(4) 3 F r [ + (3) ] (3)(5)(4) = (0) + (39) (5)(3)(4) =9.3-80=.3 b= 5 p= 3 R inci muamelenin α = 0.0 mertebe toplamı F p r = b(r R) bp(p + ) = Tesadüf Blokları için Eğer tüm muamelelerin mertebeleri eşitse F r değeri sıfır olacaktır. Ortalama mertebeler arasındaki uzaklık arttıkça test istatistiği büyür. Örnek için χ 0.0 p-= serbestlik derecesi için χ 0.0 =4.605 F r =.3 olduğundan H 0 reddedilecektir