DERS 7 Marjinal Analiz 7.. Marjinal Değerler. f fonksiyonunun (a, f(a noktasınaki teğetinin eğiminin f (a ve teğetin enkleminin e y f (a ( a + f(a oluğunu biliyoruz. a ya yakın bir a+h eğeri için f (a+h eğerini üşünelim. (Şekilen izleyiniz. Teğet üzerine apsisi a+h olan noktanın orinatı olan f (a h + f(a eğeri f(a+h için yaklaşık eğer olarak alınabilir. f(a+h f(a y (a, f(a (a+h, f (a h + f(a (a+h, f(a+h f (a+h f (a h + f(a a a+h Örnek. Yukarıaki fikir kullanılarak 0 için bir yaklaşık eğer bulunabilir. f (, a 00, h alınırsa, f ( a + h f (0 0, f ( a f (00 0, f '( olur ve formülen 0 + 0 0.05 ele eilir. 0, f '(00 00 0 Şimi ekonomie karşılaştığımız fonksiyonları ele alalım. Örneğin gier fonksiyonu C(. C( : ürün için toplam gier C(+ C( : + inci ürün için yapılan gier 7.. Marjinal Gier Fonksiyonu. Yukarıaki yaklaşık eğer formülünü C( için yazalım: Bu formüle a, h alınırsa C(a+h C (a h + C(a ya a C(+ C ( + C( C(+ - C( C (
ele eilir. Buraan görüyoruz ki, tane ürünen sonra + inci ürünü üretmek için yapılan gier yaklaşık olarak C ( tir. Bu neenle C ( e marjinal gier (marginal cost fonksiyonu enir. Örnek. Yelkenli tekne üreten bir firmanın aylık toplam gieri tekne için C( 575 + 5 0.5 a Marjinal gier fonksiyonunu bulunuz. b 30 tekne için toplam gier neir? c 3 inci teknenin üretilmesi için yapılması gereken gieri yaklaşık olarak belirleyiniz ve gerçek eğeri ile karşılaştırınız. Çözüm. a C ( 5-0.5. b C(30 575 + 5. 30-0.5. 30 00 YTL. c C (30 5 0.5. 30 0 YTL. C(3 575 5. 3 0.5. 3 09.75 YTL. Gerçek gier, C(3 C(30 09.75 00 9.75 YTL. Örnek(Satış Analizi. Yeni üretilen bir bilgisayar oyunu t aya 5t S( t t + 00 bin aet satıyor. a S (t yi bulunuz. b S(0 ve S (0 eğerlerini bulunuz ve yorumlayınız. c S (0 u kullanarak inci ayın sonuna yapılacak satışı tahmin einiz. Çözüm. a b 50t S'( t ( t + 00 t( 5t 5000t ( t + 00 ( t + 00 500 50000 S( 0 6.5, S'(0 6.5 00 40000 inci ayın sonuna, yaklaşık S( 0 + S'(0 6500 + 650 68750 aet oyun satılır. Gerçek eğer S( 68 439. 0 aya satılan oyun sayısı 6 500 aettir inci ay boyunca satılan oyun sayısı yaklaşık 6 50 aettir
Marjinal gelir fonksiyonu ve marjinal kâr fonksiyonu benzer biçime tanımlanır. Belli bir zaman aralığına üretilen ürün sayısı ise Toplam Gier : C(, Marjinal Gier : C ( Toplam Gelir : R(, Marjinal Gelir : R ( Toplam Kâr : P(, Marjinal Kâr : P ( ürün üretilince toplam gier : C( + ürün üretilince toplam gier : C(+ + inci ürünü üretmek için gerçek gier : C(+ - C( + inci ürünü üretmek için yaklaşık gier : C ( Benzer şekile C ( C(+ - C( R ( R(+ - R( P ( P(+ - P(. Örnek. gier Bir firma otomobiller için yakıt eposu üretiyor. aet epo üretmek için toplam C( 0000 + 90 0.05 a Marjinal gier fonksiyonunu bulunuz. b C (500 eğerini bulunuz ve yorumlayınız. c 50 inci eponun üretilebilmesi için yapılacak gerçek gieri bulunuz ve marjinal gier ile karşılaştırınız. Çözüm. a C'( 90 0.. ( 0. 500 40. b C'(500 90 50 inci eponun üretilebilmesi için yapılacak yaklaşık gier c 50 inci epo için yapılacak gerçek gier C(50 C(500 0000 + 90 50 4539.95 4500.00 39.95 Marjinal gier : C (500 40 YTL. ( 500 ( 0.05 50 0000 + 90 500 ( 0.05 Uygulama(üretim Stratejisi. Fiyat - Talep Denklemi 0 000 000p ile, gier fonksiyonu C( 7 000 + ile ve para birimi birim para(bp olarak veriliğine göre a p p( in tanım bölgesini bulunuz.
b Marjinal gier fonksiyonunu bulunuz. c Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz. Gelir ve gier fonksiyonlarının aynı üzleme grafiğini çiziniz. e Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını belirleyiniz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz. f Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerine ortaya çıkar? g 600 inci ürünen sağlanacak kârın yaklaşık eğerini bulunuz. Çözüm. a b c ( 0.00, 0000 p 0 C' ( R( 0 ( 0.00, R'( 0 ( 0.00. ( 0.00 C( 7000 +, R( 0 y (0000,7000 5000 000 y C( y R( 9000 700 (0,0 000 5000 7000 0000 e P( R( C( ( 0 ( 0.00 ( 7000 + ( 0.00( 4000 + 9000 y (4000,9000 000 7000 (0,0 4000 (0,-7000 e Maksimum gelir, 5000 ürün üretilince, 5000 birim para olarak gerçekleşir. Maksimum kâr, 4000 ürün üretilince, 9000 birim para olarak gerçekleşir. (0000,- g P' (6000 ( 0.00 6000 + 8 4.
7.3. Ortalama Değerler ve Marjinal Ortalama Değerler. Bir işletmee aet ürün üretmek için toplam gier C( ise, bir ürün üretmek için ortalama gier C( C( olarak tanımlanır. Bir ürün için marjinal ortalama gier ise C '( ( C( olarak tanımlanır. Ortalama gelir, ortalama kâr, marjinal ortalama gelir ve marjinal ortalama kâr a benzer biçime tanımlanır. R( Ortalama gelir : R Marjinal ortalama gelir : Ortalama kâr : P( P Marjinal ortalama kâr : ( R '( ( R( ( P '( ( P( Örnek. Petrol enüstrisine kullanılan sonaj parçaları üreten bir firmanın güne parça üretince günlük toplam gieri ( 0. C( 000 + 5 a C( ve C ( i bulunuız. b C(0 ve C ( 0 u bulunuız. c Önceki şıkta buluğunuz eğerleri kullanarak güne parça üretilmesi urumuna parça başına ortalama gieri yaklaşık olarak belirleyiniz. Çözüm. a 000 000 C( + 5-( 0., C '( 0. YTL 000 000 b C( 0 + 5-0. 0 4, C '(0 0. 0. 0 00 ( ( YTL c C( C(0 + C '(0 4 0. 3.9 YTL
Problemler 7. f ( i hesaplayınız. a f( 4e + 5 ln b f( 4 e + ln 5 c f( ln 5 ç f( (ln 5 f( (+ 3 ln e f( e e + f f( log (3. Aşağıaki türevleri bulunuz. a (ln( 3 3 + 4 b ( e c e + ç (0 + 3. Bir firma otomobiller için otomatik vites kutusu üretmekteir. Haftaa aet vites kutusu üretiliği takire toplam gier C( 50 000 + 600 0.75 Buna göre a Marjinal gier fonksiyonunu bulunuz. b C (00 ü bulunuz ve buluğunuz sonucu yorumlayınız. c 0 inci vites kutusunu üretmek için gerçek gieri hesaplayınız ve buluğunuz sonucu bunan önceki şıkta buluğunuz marjinal gier ile karşılaştırınız. 4. aet elektrikli gitar üretmek için yapılan gier C( 000 + 00 0.4 a 5 inci gitarı üretmek için gerçek gier neir? b 5 inci gitarı üretmek için yapılacak gieri yaklaşık olarak belirlemek için marjinal gieri bulunuz. 5. Bir şirket t aya S ( t t + 0 aet otomobil satıyor. ' a S ( t yi hesaplayınız. ' b S (5 ve S (5 eğerlerini hesaplayınız ve bu eğerleri yorumlayınız. 6. Bir firmanın pazar araştırmaları bölümü, firmanın yeni bir fotoğraf makinesi üretip piyasaya sürmesini öneriyor. Araştırma bölümünün öneriği fiyat-talep enklemi 0 000 000 p ir. Firmanın maliye bölümü e gier fonksiyonunu C( 7 000 + YTL olarak belirlemiştir. Buraa, müşterilerin p YTL ye satın almaları beklenen fotoğraf makinesi sayısıır. Buna göre a Gelir fonksiyonunu ve bu fonksiyonun tanım bölgesini belirleyiniz. b R (3 000 ve R (6 000 i bulunuz ve bu eğerleri yorumlayınız. c Kâr fonksiyonunu belirleyiniz. P ( 000 ve P (7 000 i bulunuz ve bu eğerleri yorumlayınız. e C ( ve C ( i hesaplayınız. f C (00 ve C (00 eğerlerini hesaplayınız ve yorumlayınız. g Bunan önceki şıkta buluğunuz eğerler yarımıyla, 0 aetlik bir üretim seviyesi için fotograf makinesi başına ortalama gierin ne olacağını belirleyiniz.
7. aet sözlüğün basımı için yapılması gereken gier C( 0 000 + 0 a 000 aet sözlük basılması urumuna sözlük başına ortalama gieri belirleyiniz. b 000 aet sözlük basılması urumuna sözlük başına marjinal ortalama gieri belirleyiniz. c Buluğunuz eğerler yarımıyla 00 sözlük basılması urumuna sözlük başına ortalama gieri tahmin einiz. 8. tane saatli rayo satılırsa ele eilen gelir R( 00 0.05 Aşağıa verilen eğerleri için marjinal geliri bulunuz ve buluğunuz eğerleri yorumlayınız. a 600 b 500 9. tane çim biçme makinesi satılınca ele eilen kâr P( 30 0.03 750 olar olarak veriliyor. a 50 makine satılması urumuna makine başına ortalama kâr neir? b 50 makinelik bir satış seviyesi için marjinal ortalama kârı belirleyiniz ve bunu yorumlayınız. c 5 makine satılması urumuna ortalama kârın ne olacağını tahmin einiz.