Third E CHAPTER BÖLÜM 2 Şekil MECHANICS MUKAVEMET OF I MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University Değiştirme Kavramı Düenleyen: Eray Arslan
Gerilme & Şekil Değiştirme: Eksenel Yükleme Bir yapı ya da makinenin dayanımını belirlemek için yükler nedeniyle oluşacak gerilmeler ile birlikte yapıda oluşacak deformasyonda hesaplanmalıdır. Statik yardımı ile hesaplanamayan tepki kuvvetleri için de deformasyon analii yapmak gerekmektedir. Şekil değiştirme (gerinim), gerilmenin sebep olduğu deformasyonun bir ölçütüdür. 2-3
Normal Şekil Değiştirme P L,2A L,A 2L,A Aynı malemede farklı boyutlar ve farklı yükler için farklı bir davranış sergiliyor! : deformasyon (boydaki değişim) Yük-deformasyon diagramı deformasyon Normal şekil değiştirme Boyutsu (birimsi) L İlk uunluk 2-4
Normal Şekil Değiştirme P s L,2A L,A 2L,A Yük-deformasyon diagramı Boyutlardan kurtulalım Gerilme Şekil Değiştirme diagramı Aynı maleme için tek bir diagram var 2-5
Not: Mühendislik Normal Gerilmesi s P A 0 Orijinal kesit alanı Gerçek Normal Gerilme s P A Yük altındaki cismin kesit alanı Mühendislik Şekil Değiştirme Gerçek Şekil Değiştirme L 0 İlk (orijinal) uunluk L L 0 dl L ln L L 0 Yüklemeden önceki boyutlar kullanılıyor (Küçük deformasyonlar için iyi bir yaklaşım) Yükleme esnasındaki boyutlar kullanılıyor (daha doğru değerler fakat boyutları yük anında belirlemek çok or!) 2-6
Çekme Testi Çekme Testi cihaı Çekme Testi numunesi 2-7
Çekme Testi 2-8
Gerilme-Şekil değiştirme Diagramı: Sünek Maleme kırılma kırılma Akma Pekleşme Boyun verme Düşük karbonlu çelik Alüminyum 2-9
Gerilme-Şekil değiştirme Diagramı: Kırılgan Maleme kırılma Kırılgan maleme 2-10
Hooke Yasası, Elastisite Modülü s Temperlenmiş çelik alaşım s Bu sünek mühendislik malemelerinde akma gerilmesinin altında lineer elastik davranış gölenmektedir. düşük çelik alaşım Karbon çelik Dökme demir Demir ve Çelik çeşitlerinin gerilme - şekil değiştirme diagramları E s E s- eğrisinin elastik kısımdaki eğimi Young modülü, Elastisite modülü (Pa) Hooke Yasası (1 boyutlu) Elastisite modülü malemenin mekanik bir öelliğidir. Alaşım ile, ısıl işlem ile ya da farklı üretim teknikleriyle değişme, boyuta bağımlı değildir. 2-11
Hooke Yasası, Elastisite Modülü E : elastisite modülü ya da Young modülü Her maleme için sabittir Gerilme şekil değiştirme diagramının lineer elastik kısmının eğimini verir. Birimi gerilme ile aynıdır. Sağlam malemelerde E büyüktür. E çelik = 190-210 GPa Plastik, çeliklerden daha büşük young modülüne sahiptir.. E polyethylene = 0.7 1.4 GPa Robert Hooke (1635-1703) 2-12
Eksenel Yüklemede Deformasyon Hooke yasasından s s E E P AE Şekil değiştirmenin tanımından L Böylece deformasyon: PL AE 2-14
Eksenel Yüklemede Deformasyon PL AE Bu denklem, yükün uygulandığı eksen boyunca kesit alanının (A) ve Elastisite modülünün (E) sabit olduğu, P yükünün çubuğun ucundan uygulandığı durumlar için geçerlidir. Bu şartlar sağlanma ise: (1) Mümkünse, cisim yukarıdaki şartları sağlayacak şekilde i tane sonlu parçaya bölünür ve her bir parçadaki deformasyon süperpoe edilir: T T i i PL i i i A E i (2) Madde (1) deki gibi toplamak mmkün değilse: T L P( x) dx A( x) E( x) 0 2-15
Örnek Problem 2.1 Şekildeki yükleme ile AD elemanında oluşacak toplam deformasyonu hesaplayını. 2-16
Örnek Problem 2.2 Rijit BDE çubuğu AB ve CD bağlantı elemanlarıyla şekildeki gibi sabitlenmiştir. AB elemanı kesit alanı 500 mm 2 olan alüminumdan (E=70 GPa) ve CD elemanı kesit alanı 600 mm 2 olan çelikten (E=200 GPa) üretilmiştir. 30 kn luk yük uygulandığında (a) B, (b) D ve (c) E noktalarında oluşacak dikey doğrultudaki yer değiştirmeyi hesaplayını. 2-17
Statikçe Belirsi (Hiperstatik) Problemler Yapıdaki bilinmeyen tepki kuvvetleri, denge denklemleri (statik) yardımıyla bulunamayan (iki boyutlu sistem için bilinmeyen tepki kuvveti sayısı 3 den fala olan) problemlere statikçe belirsi problemler denir. Bu durumda, deformasyon analii yapılmalıdır. Örnek Problem 2.3: A ve B noktasından ankastre mesnet ile sabitlenmiş AC elemanının B noktasına P kuvveti uygulanmaktadır. Bu kuvvetin etkisiyle B noktası ne kadar yer değiştirir? 2-20
Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler 1/2 Sıcaklık değişimi boyutta (ısıl deformasyon) ya da ısıl şekil değiştirmede bir değişikliğe sebep olur. Eğer cismin şekil değiştirmesi engellenmiyorsa, homojen ısıtmada cisimde gerilme oluşma. T T L Isıl deformasyon T Isıl şekil değiştirme T L Isıl genleşme katsayısı T Böylece Hooke yasasına sıcaklık etkisi eklenebilir: s T E 2-21
Örnek Problem 2.4 Şekildeki AB cisminin ısıl genleşme katsayısı () 8.5x10-6 / o C, elastisite modülü 30x10 6 Pa dır. Cismin sıcaklığı 50 o C den 10 o C a indiriliyor ve bu esnada P çekme kuvveti uygulanıyor. Cismin boyu toplamda 0.5 mm uuyor ise uygulanan P kuvveti ne kadardır? 2-22
Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler 2/2 Uçlarından ankastre mesnetlerle sabitlenmiş elemanların ısıl deformasyonu ile mesnetlerden dolayı oluşacak deformasyon birbirini dengeleyebilmelidir. T P PL AE 0 T L 0 T P 0 P AET P s ET A 2-23
Örnek Problem 2.5 Daire kesitli eleman 40 o C soğutuluyor. Isıl genleşme katsayısı 8.5x10-6 / o C ve elastiste modülü 30x10 6 Pa ise cisimde oluşacak maksimum normal gerilme ne olur? 2-24
Poisson Oranı Eksenel yüke maru kalan dü bir çubuk: P s x s y s 0 x A L x yönündeki P kuvveti y ve yönlerinde de şekil değişimi oluşturur: y y 0, y, L L Bu durum Poisson oranı ile tarif edilebilir (isotropik maleme için): (nü) Poisson Oranı yanal sek. deg. eksenel sek. deg. 1 Boyutlu Hooke yasasına etkisi: s E y x x s x E y s x x E y x x x x 2-25
Poisson Oranı 2-26
Genelleştirilmiş Hooke Yasası Lineer elastik iotropik malemeler için küçük deformasyonlar kabulü altında genelleştirilmiş Hooke yasası aşağıdaki şekli alır: x y s s x y s E E E s s x y s E E E s s x y s E E E 2-27
Örnek Problem 2.6 y 45 kn 60 mm A 60 kn B 100 mm Şekildeki iotropik elemanın elastisite modülü 25 GPa ve Poisson oranı 0.3 ise yüklemeden sonra AB köşegenenin boyu ne kadar değişir? 200 mm 60 kn 45 kn x 2-28
Ek Örnek Kitapta sayfa 116 da bulunan aşağıdaki örneği inceleyini ve defterinie yaını. 2-29
hird Dilatasyon dilatation hacimdeki orijinal degisim hacim Küçük deformasyonlar için: e x y 1 2 s x s y E e (Birim hacim başına hacimdeki değişim) s
hird Hidrostatik Basınç ve Yığılma Modülü Kübik elemana her yüeyinden eşit büyüklükte P basıncı etki ederse: s x s y s P Bu durumda; e 1 2 s x s y E 3 1 2 P E s 1 k k E 3 1 2 Yığılma modülü Hidrostatik basınç altında P e k Hidrostatik hali s E
hird Hidrostatik Basınç ve Yığılma Modülü e Hidrostatik basınç hacmi aaltır: e 0 P k k E k 3 1 2 0 1 2 0 1 2 Poisson oranının tanımı gereği y 0 x Sonuç olarak: 0 1 2 0 1 2 İdeal maleme: eksenel yönde deformasyon olurken, yanal yönde deformasyon oluşma İdeal maleme: k =, e = 0 olur. Sıkıştırılama maleme.
Kayma Şekil Değiştirmesi Kayma gerilmesi (t) ile Kayma şekil değiştirmesi (g) arasındaki ilişki, Normal gerilme (s) ile normal şekil değiştirme () arasındaki ilişkiye benemektedir. Bu nedenle, t xy Gg xy t y Gg y t x Gg x g : burada G kayma modülü ya da rijitlik modülü olarak tanımlanır. Kayma şekil değiştirmesi 2-33
Kayma Şekil Değiştirmesi s t E G g E ile G arasındaki ilişki: G E 2 1 2-34
Sonuç t t t x y xy y x s s x y s E E E s s x y s E E E s s x y s E E E G g G g G g xy y x Lineer Elastik, Homojen, İotropik Maleme için sabit sıcaklıkta Hooke Kanunu 2-35
Not: İotropik Maleme: Maleme öellikleri her doğrultuda aynı olan malemelerdir. Homojen Maleme: Maleme öellikleri her noktada aynı olan malemelerdir. 2-36
Örnek Problem 2.7 40 mm 50 mm 160 cm x A P A ve C levhaları rijit ve C emine sabittir. B nin kayma modülü G=600 MPa dır. A elemanına P kuvveti uygulanıyor ve böylece A levhası 0.8 mm yerdeğiştiriyor. (a) B elemanının ortalama kayma şekil değiştirmesini, (b) P kuvvetini hesaplayını. B C 2-37
Örnek Problem 2.8 y x P Rijit Kutu Rijit bir kutu içerisine yerleştirilmiş Alüminyum küp blok şekildeki P =10 MN yüküne mağru kalmaktadır. Alüminyum için E = 70 GPa ve G = 27 GPa Alüminyum blok ise yükleme sonunda h ne kadar değişir? h = 1 m 1 m 1 m 2-39
Saint-Venant İlkesi Kuvvetin uygulandığı yüeye rijit levhalar konulması durumunda, gerilme üniform dağılır. Rijit levhaların kullanılmaması durumunda, yükün uygulandığı noktalarda çok yüksek gerilmeler oluşur. Fakat kuvvetin uygulandığı noktadan uaklaşıldıkça, göreceli olarak daha üniform gerilme ve şekil değiştirme dağılımı gölenir. Bu duruma Saint Venant Prensibi adı verilir. 2-41
Gerilme Yığılması Bir yapı elemanında bir deliğin bulunması veya kesitin aniden değişesi gibi süreksiliğin olması, o bölgede gerilmelerin artmasına sebep olur. (i) Delik civarında gerilme Dağılımı Ortalama değerden çok yüksek (ii) Kesiti daralan cisimde gerilme Dağılımı s ort P A min s ort P A min 2-42
Gerilme Yığılması s K max s ort Gerilme yığılması katsayısı Grafikler ile bulunur. Bu değerler deneysel verilere dayanır. 2-43
Örnek Problem 2.9 P' t = 10 mm D = 60 mm r = 8 mm Şekildeki cismin emniyet gerilmesi 165 MPa ise uygulanabilecek en yüksek P yükü ne olmalıdır? d = 40 mm P 2-44
Plastik Deformasyon Hatırlatma: s s Lineer Elastik maleme davranışı Elastik-Plastik Maleme davranışı Bu ders için, maleme oluşacak gerilmenin akma gerilmesinin ötesine geçmediği kabul edilecektir. Akma gerilmesi. kopma Lineer elastik ideal plastik maleme davranışı. 2-47
Örnek Problem 2.10 Elastisite modülü 200 GPa, akma gerilmesi 300 MPa olan çubuğun boyu 7 mm oluncaya kadar P yükü uygulanıyor ve sonra P yükü kaldırılıyor. Çubukta oluşacak kalıcı uama ne kadardır? 2-50
Örnek Problem 2.11 ABC çubuğu, AB ve BC silindirik elemanlarından oluşmaktadır. Çubuk elastoplastik olduğu varsayılan P ( E 200GPa, σ 250MPa) yumuşak çelikten üretilmiştir. Çubuğa bir P kuvveti uygulanıyor ve kuvvet kaldırıldığında çubukta kalıcı deformasyon oluşuyor. Bunun için yükün uygulandığı anda oluşacak maksimum deformasyonu hesaplayını. a 2mm 2-51