T E CHAPTER 2 Eksenel MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Yükleme Fatih Alibeyoğlu
Eksenel Yükleme Bir önceki bölümde, uygulanan yükler neticesinde ortaya çıkan gerilmelerin nasıl hesaplandığı verildi. Güvenilir bir tasarımın nasıl hesaplandığı verildi. Ancak Bu hesaplamalarda yapılar ve elemanların şekil değiştirmediği yani rijit yapılar kabulüne dayanır. Halbuki mühendislikte pek çok yapı şekil değişimine uğrar Ayrıca şekil değişimlerden statikçe belirsiz (yani sadece statik ilkeleri uygulanarak çözülemeyen) problemlerin çözümünde de yararlanılır.
Fig. 2.1 Gerilme Normal Şekil Değişimi(birim uzunluktaki def.)
Çekme Cihazı
Çekme Deneyi Önemli bir malzeme özelliği olan gerilme-şekil değiştirme değerleri çekme numunesinin çekme deneyinde kullanılarak elde edilir. Çekme deneyinden; Çekme numunesi artan bir yükle (P) yüklendiğinde boyu doğrusal olarak y noktasına kadar uzar. y noktasında sonra uygulanan kuvvetteki küçük bir artış çekme numunesinde büyük bir deformasyon doğurur. Uygulanan yük maksimum değere ulaştığında numune kesiti azalmaya başlar buna boyun verme denir.
Çekme Deneyi
Çekme Deneyi
Fig. 2.4 Mekanik Özellikler(Tasarım) Mukavemet (Strength) Akma Mukavemeti Çekme Mukavemeti Kopma gerilmesi Rijitlik (Stiffness) Şekil değiştirmeye karşı gösterilen dirençtir.(e) Süneklik (Ductility) Sünek Gevrek
Akma Mukavemeti Akma gerilmesi(yield stress): Plastik şekil değiştirmenin başladığı gerilme seviyesidir. Eğer bir malzeme belirgin akma gösteriyorsa grafikten direkt tespit edilebilir. Belirgin akma göstermiyorsa % 0.2 şekil değiştirme noktasından elastik doğruya paralel bir doğru çizilir. Bu doğruyu kestiği yer akma gerilmesi olarak adlandırılır.
Çekme Mukavemeti- Kopma Gerilmesi- Rijitlik Çekme Mukavemeti(Ultimate Strength): Mühendislik gerilme- değiştirme grafiğinde en yüksek gerilme değeridir. Kopma(Kırılma ) Gerilmesi (Fracture Stress ): Kopma anındaki gerilme değeridir. Rijitlik(Stiffness): Şekil değiştirmeye karşı gösterilen dirençtir. Malzemenin rijitliğinin elastisite(elastiklik) modülü temsil edilir.
Sünek Malzemelerin Gerilme- Şekil Değiştirme Eğrisi
Gevrek Malzemelerin Gerilme- Şekil Değiştirme Eğrisi
Eksenel Yüklemede Deformasyon Çubuğa P kuvveti uygulandığında Eğer elastik sınırı aşmıyorsa Hooke bağlantısı yazılabilir. Şekil değiştirme önceden tanımlanmıştı. Yukarıdaki iki denklemi çözersek, deformasyon değeri: Farklı kesite ve malzemedeki çubukta, toplam uzama değeri:
Soru 2.1. E=200 GPa olduğuna göre çubuğun deformasyonunu belirleyiniz?
Çözüm
Bağıl Deformasyon Önceki problemde çubuk sabit bir mesnete bağlıydı. Bu yüzden serbest ucun deformasyonu toplam deformasyona eşitti. Eğer iki ucuda serbest hareket edebilen bir çubuğun deformasyonu ne olur: Bu çubuğun deformasyonu bağıl deformasyona eşittir.
Soru 2.2.
Soru 2.2. Denge şartlarında kuvvetleri bul Her elemanı ayır. Bu denklemde verileri yerine koy
Çözüm
Statikçe belirsiz Problemler İç kuvvetlerin sadece statikteki denge şartlarından elde edilemediği birçok problem vardır. Denge denklemleri deformasyonları içeren bağıntılarla elde edilir.» Soru: Silindirik kesitli bir tüpün içine» bir demir çubuk(rod) yerleştirilmiştir. P kuvveti etkisi altında çubuk ve tüpün deformasyonunu bulalım. Deformasyonların eşit olması gerekir.
Süperpozisyon ilkesi Şekilde A ve B tepki kuvvetlerini bulunuz?
Çözüm
Çözüm
Sıcaklık değişimi içeren problemler Homojen bir yapıya sahip ve mesnetlenmemiş üniform kesitli bir çubuğun sıcaklığı T kadar artırılırsa çubukta meydana gelen uzama Burada; malzemenin ısıl genleşme katsayısı (1/C 0 )
Sıcaklık değişimi içeren problemler
Sıcaklık değişimi içeren problemler
Soru Şekilde gösterilen çelik çubuğun AC ve BC kısımlarındaki, çubuğun sıcaklığının -45 C olduğu andaki gerilme değerlerini, sıcaklık +24 C iken her iki Rijit mesnedin tam oturduğu bilgisini kullanarak, belirleyiniz. α = 11.7 x 10 6 / C E= 200 GPa
Çözüm Problem statikçe belirsiz olduğu için B deki mesneti ayırıyoruz. Sıcaklık değişimi ΔT= (-45)-(-24) C= -69 C B olmasaydı oluşacak olan sıcaklığa bağlı deformasyon δ T = α( ΔT) L = (11.7 x 10 6 / C)(-69 C)(600 mm) =-0,484 mm
Çözüm B ucunda oluşan tepki R B ve bunun neticesinde oluşan deformasyon δ R L 1 =L 2 =300 mm A 1 = 380 mm 2 A 2 = 750 mm 2 P 1 =P 2 =R B E=200GPa δ R = P 1L 1 A 1 E +P 2L 2 A 2 E = R B 300 mm ( + 300mm 200GPa 380 mm 2 750 mm 2) =(5.95 x 10 6 mm /N) R B δ=δ R + δ T =0 = -0,484 mm +(5.95 x 10 6 mm /N) R B =0 R B = 81.34 kn
Çözüm A daki tepki eşit ve zıt yönlüdür. σ 1 = P 1 A 1 = P 1 =P 2 =R B =81,34 kn 81.34 kn 380 mm 81.34 kn 2= 0,214 GPa= 214 MPa σ 2 = P 2 = A 2 750 mm2= 0,1085 GPa= 108,5 Mpa TOPLAM DEFORMASYON SIFIRDIR FAKAT ÇUBUKLARDAKİ DEFORMASYON SIFIR DEĞİLDİR. AC çubuğu Sıcaklıktan dolayı = (11.7 x 10 6 / C)(-69 C) = 807,3 x 10 6 mm/mm R B tepkisinden dolayı oluşan def BC çubuğu Sıcaklıktan dolayı = (11.7 x 10 6 / C)(-69 C) = 807,3 x 10 6 mm/mm R B tepkisinden dolayı oluşan def = +214.1 MPa 200 GPa = +1070,5x 10 6 mm/mm = 108.5 MPa 200 GPa = 542,5x 10 6 mm/mm Toplam= +263,2 x 10 6 mm/mm Toplam= -264,8 x 10 6 mm/mm