Matematik Düyas, 2008-I E Basit Yaz -Tura Oyular Üzerie Ali Nesi* / aesi@bilgi.edu.tr, 3 0, 4, 3 3, 0, 4 0, 4, 3 3, 3, * stabul Bilgi Üiversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. Yazar Matematik ve Oyu (Nesi Yay c l k, www.esiyayievi.com) adl kitab daki iki yaz da derlemifltir. Bu yaz da kuramsal olarak sosuz, acak uygulamada solu ola, yai oyad da her zama (yüzde yüz olas l kla) bite bir oyuda söz edece iz. Oyuumuz iki kifli aras da oya yor. Yaz - tura at l yor. Yaz gelirse birici oyucu ikicide lira al yor, tura gelirse ikici oyucu biricide lira al yor. Oyucularda birii paras bitti ide oyu da bitiyor. E er iki oyucuu da oyua bafllarke ikifler liras varsa ve sürekli bir yaz bir tura gelirse, oyu sosuza dek sürer; çükü bu yaz -tura at fllar yla oyucularda birii paras bitmez. Öte yada bu oyuu e zama oyasa z oyu biter! Hatta oldukça çabuk biter, iki dakika bile sürmez. Nede? ki dakika boyuca bir yaz bir tura gelme olas l çok zay ft r da oda. Bu yaz - da, kuramsal olarak sosuza dek sürebile bu oyuu uygulamada sosuza dek süremeyece ii gösterece iz, çükü bu oyuu sosuza dek sürebilme olas l öyle küçük, öyle küçüktür ki... s f ra eflittir. Oyuu daha iyi alamak içi oyuu a ac bulal m. Oyu () durumu ile bafll yor. Yai bafllag çta her iki oyucuu da ikifler liras var. Diyelim biz birici oyucuyuz ve yaz gelice kaza yoruz. A ac tepesie () yazal m. Para at ld. ki olas l k var: Ya tura gelecek ve kaybedece iz ya da yaz gelecek ve kazaaca z. Kaybedersek oyuu yei durumu (, 3) olacak, yai bizim liram z, öbür oyucuusa 3 liras olacak. Bu (, 3) durumuu a ac solua yazal m. Kaza rsak (3, ) durumua eriflece iz. Buu da a ac sa a yazal m. A aç sa l sollu kök salar. Solua kaybetti imizde, sa aysa kazad m zda eriflece imiz durumu yazar z. (3, ) de sora gee iki durum ortaya ç kabilir: () ve () durumlar. () yi sola, () sa a yazal m. () durumuda oyu biter ve a aç kök salmaz. () durumudaysa oyu sürer. Oyu acak () ve (0, 4) durumlar da birie geldi ide biter, öbür durumlarda sürer. Bu yüzde dördücü aflamadaki () durumlar da a aç kök salmay sürdürür. Bu a aç sosuz bir a açt r. Köklerde baz lar bitse bile, kökleri kökü kurumaz. A aç sosuzdur çükü oyu sosuzdur. Öre i, (), (, 3), (2, 2), (, 3),... diye durmada sosuza dek uzay p gide bir kök vard r. Oyuu sosuz oldu uu göstermek içi illa sosuz bir a aç yapmaya gerek yoktu. Solu bir flemayla da bu sosuz oyuu gidiflii gösterebiliriz. Bu flemay çizelim. Oyuda befl durum var: (0, 4), (, 3), (), (3, ), () durumlar. Bu befl durumu birer kare içie alal m. Bir durumda öbür duruma as l geçildi ii bir okla gösterelim. E er bir durumda öbür duruma kazaarak geçebiliyorsak, oku kear a koyal m. Kaybederek geçebiliyorsak 0 koyal m. Öre i, (, 3) durumuda () durumua kazaarak geçebildi- imizde, (, 3) durumuda () durumua gide oka ad veririz. Bu oyuu flemas yadad r. (0, 4) ve () durumlar da oyu bitti ide, bu iki durumda ok ç kmaz. Bu flemaya bakarak oyuu sosuz oldu uu as l alar z? E er bir k s r dögü (yai fasit daire) varsa oyu sosuz demektir. () durumuda bafllayarak ve oklar izleyerek ya () ya da (0, 4) durumlar a gelmek zoruda de ilsek oyu bitmez. Öre i () yle (, 3) e gidip gele bir k s r dögü vard r. Buu gibi (), (, 3), (), (3, ), (), (, 3),... dögüsü de döer durur. Demek bu oyu sosuz bir oyu. 0 0 0, 3 3, 0, 4 80
Matematik Düyas, 2008-I lk çizdi imiz a aca geri döelim. A aca al c bir gözle bakt m zda oyuu birici ve üçücü yaz -tura at fllar da sora bitmedi i alafl l yor. Biraz düflüüürsek, oyuu tek say l yaz -tura at fllar da sora bitmeyece ii görürüz (öre i tümevar mla.) Oyu 2, 4, 6 gibi çift say l at fllarda sora bitebilir acak. Oyuu ikici yaz -tura at fl da bitme olas l - bulal m. A ac ikici kuflak köklerie bakal m. Dört dal var. Her birii olas l /4 tür, çükü ikici kuflaktaki (0, 4), (), () ve () durumlar a acak s ras yla TT (tura tura), TY (tura yaz ), YT, YY at ld da eriflebiliriz. Bu dört durumda ikiside oyu bitiyor, ikiside bitmiyor. Dolay s yla, ikici yaz -tura at fl da oyuu bitme olas l /4 + /4, yai /2 dir. fiimdi oyuu e fazla dördücü yaz -tura at - fl da bitme olas l bulal m. A aca bakarak, oyuu e fazla dört yaz -tura at fl da as l bitebilee ii buluruz: TT, TYTT, TYYY, YTTT, YTYY, YY at ld da oyu biter. Bu 6 yaz -tura at fl (olay ) olas l klar s ras yla flöyle: /4, /6, /6, /6, /6, /4. Dolay s yla, oyuu e fazla dört yaz -tura at fl da bitme olas l bu say lar toplam d r, yai 3/4 tür. Oyuu e fazla alt yaz -tura at fl da bitme olas l hesaplayal m. Yukardaki a ac sürdürecek olursak, alt c aflamada 4 tae (0, 4) ve 4 tae () oldu uu görürüz. Oyuu soa erdirecek bu 8 kökte herbirie ulaflma olas l /2 6, yai /64. Dolay s yla oyuu bitire bu 8 kök uçlar da birie ulaflma olas l m z 8/64, yai /8. Bu olas l bir öceki paragrafta buldu umuz 3/4 olas l a ekleyecek olursak oyuu alt ve daha az yaz -tura at fl da bitme olas l buluruz. Demek ki, oyuu e fazla alt yaz -tura at fl da bitme olas l 3/4 + /8 = 7/8 dir. kici, dördücü ve alt c yaz -tura at fllar da öce oyuu soa erme olas l klar s ras yla /2, 3/4, 7/8 oldu uu bulduk. Okur, oyuu e fazla sekiz yaz -tura at fl da bitme olas l hesaplarsa 5/6 bulacakt r. Bu kadar e lece yeter, art k gerçek matematik yapal m. Para hileli olmad varsay yoruz. Yai yaz gelme olas l /2, tura gelme olas l /2. Bir oyucuda A lira, öbür oyucuda B lira olsu. Oyuu hagi aflamas da olursak olal m, üstüste A + B kez yaz at ld da, oyucularda birii paras biter, hatta daha öce de bitebilir. Demek ki, e er olas l kla üstüste A + B kez yaz ataca m z ka tlarsak, bütü yaz -tura oyular olas l kla solu bir zamada bitece ii ka tlam fl oluruz. Dolay s yla flu teoremi ka tlamal y z: Teorem. > 0 herhagi bir tamsay olsu. Sosuz kez yaz -tura at ld da üstüste kez tura gelme olas l dir, yai yüzde yüzdür. Bu teorem, tura gelice kazaa oyuu kazaaca alam a gelmez. Üstüste A + B kez tura gelecektir ( olas l kla.) Oras kesi. Üstüste A + B kez de yaz gelecektir. O da kesi. Ama hagi oyucu daha öce kaybedecektir? Oras kesi de il. fiasa ba l. lerde bu flas kaç oldu uu bulaca z. Teorem i Ka t : Ardarda kez yaz -tura at ld da hep tura gelme olas l /2 dir. Dolay s yla yaz -tura at fl hepsii birde tura olmama olas l /2 dir. Bu say ya diyelim: = /2. 0 < eflitsizlikleri birazda öem kazaacak, akl m z bir köfleside tutal m. fiimdi 2 kez yaz -tura atal m. 2 yaz -tura at - fl da kez üstüste tura gelme olas l a 2 diyelim. 2 say s bulmak kolay olmayabilir, ama bu say 2 de büyük oldu uu ka tlayabiliriz. 2 at flta as l üstüste kez tura gelebilir? Çeflitli biçimlerde gelebilir. Öre i ilk at fl salt tura olabilir, ya da so at fl salt tura olabilir. Ne birici at fl, e de ikici at fl salt tura olmama olas l 2 dir. Demek ki ya birici ya da ikici at flta salt tura gelme olas l 2 dir. Dolay - s yla 2 at flta kez üstüste tura gelme olas l e az 2 dir. Yai, eflitsizlikleri geçerlidir. Yukardaki ak l yürütmeyi 3, 4 ve geel olarak k at fl içi yapabiliriz. fiöyle yapar z: k > 0 bir do al say olsu ve k kez yaz -tura atal m. k, k at flta üstüste e az kez tura gelme olas l olsu. k k () eflitsizliklerii ka tlamak istiyoruz. k flitsizli- i elbette do ru. Birici eflitsizli e bakal m. Ne ilk at fl, e ikici at fl,... e de k ici at fl salt 8
Matematik Düyas, 2008-I tura olma olas l k dir. Dolay s yla bu k at flta biride (ya birici, ya ikici,... ya k ici at flta biride) salt tura gelme olas l k dir. Demek ki k at flta üstüste kez tura gelme olas l k say s da fazlad r. Yai k k eflitsizli i geçerlidir. () i ka tlad k. 0 < < eflitsizlikleride dolay, k sosuza gitti ide k say s 0 a yak sar [MD-2007-III, sayfa 45, Teorem ] ve k say s e yak sar: lim k k () eflitli ide k yi sosuza götürürsek, = lim k k lim k k elde ederiz ki, bu da, k sosuza gitti ide, k say - lar e yak sad gösterir. Demek ki at fl say m z yükseldikçe kez ardarda tura atma olas l - m z e yak s yor. Teoremimiz ka tlam flt r. Yukardaki ka tta at la para hilesiz oldu- uu pek kullamad k. Para hileli bile olsa, tura gelme olas l 0 de ilse, her içi, sosuz yaz -tura at - fl da üstüste kez tura gelme olas l dir. Buu ka t da aye yukardaki teoremi ka t gibidir. Yoksulu fias Birazda ka tlayaca m z ilk teoremimizi sosyoekoomik yorumu flöyle: Teorem. Adil bir düyada çok yoksulu çok zegie karfl flas yoktur. E er toplum düzei biraz olsu yoksulu kay r yorsa, o zama yoksulu zegie karfl az da olsa flas vard r. Adil bir düyada çok yoksulla çok zegi ay ada var olabilir mi sorusuu sormada devam edelim. Zegii - ta m gere i - çok paras var. Yoksulusa az paras var. Zegile yoksul yaz -tura oyayacaklar. Yaz gelirse yoksul zegide lira alacak. Tura gelirse yoksul zegie lira verecek. Oyu, iki oyucuda birii paras bitee dek sürecek, daha öce soa eremez. Bu kuralla oyu hiç bitmeyip sosuza dek sürebilir ama oyuu sosuza kadar sürme olas l - 0 oldu uu biraz öce ka tlam flt k. Bu yaz - da yukardaki yaz -tura oyuuu kimi kaç olas - l kla kazad bulaca z. Öce yaz -tura at la para hilesiz oldu uu varsayaca z; daha sora hileli parayla oyaa yaz -tura oyular irdeleyece iz; ya t daha flafl rt c olacak. Öre i birici oyucuu, ikici oyucuu 00 liras varsa, büyük bir olas l kla ikici oyucu oyuu kaza r. Birici oyucuu kazama olas l azd r, ama 0 de ildir. Do ru ya t % de il ama oa yak. Do ru ya t bulmak içi bir baflka örek ele alal m. Diyelim birici oyucuu 2, ikici oyucuu 3 liras var. Birici oyucuu oyuu kazama olas l kaçt r? 2/5 herhalde. Bir öceki örekte, birici oyucuu kazama olas - l /0 dir, ikici oyucuukiyse 00/0 dir. Teorem 2. Hilesiz parayla oyaa yaz -tura oyuua birici oyucu lirayla, ikici oyucu m lirayla bafllarsa, birici oyucu oyuu /(+m) olas l kla kaza r. Teoremi bir a içi ka tlam fl varsay p teoremi öemli bir soucuu irdeleyelim. Teoreme göre, ikici oyucuu e kadar çok paras varsa, birici oyucuu kazama flas o kadar azd r. Çükü sabit kal r ve m artarsa, /(+m)say s gittikçe küçülür. Zegi e deli zegise ya da yoksul e deli yoksulsa, yoksulu kazama olas l o deli azd r. Biraz abartal m ve zegii sosuz paras oldu uu varsayal m. O zama, yoksulu oyuu solu bir a da befl paras z kalma olas l - olacak. Yai yoksul yüzde yüz kaybedecek. Oyua kaç parayla bafllarsa bafllas... Çükü m sosuza gitti ide /(+m) say s s f ra gider. Yoksul milyoer olarak oyua bafllasa bile, zegii sosuz paras varsa kesilikle kaybeder. Dolay s yla bu teoremde flu ç kar: Teorem 2 i Bir Soucu. Hilesiz parayla oyaa yaz -tura oyuuda, birici oyucuu solu, ikici oyucuu sosuz paras varsa, oyuu olas l kla (yai yüzde yüz) ikici oyucu kaza r. fiimdi Teorem 2 yi ka tlayal m. s = + m olsu. Yai s, iki oyucuu toplam paras olsu. Ka t boyuca s yi sabit tutaca z, ama ve m de- iflecekler. p() say s, birici oyucuu, ikici oyucuu s liras oldu uda, birici oyucuu oyuu kazama olas l olsu. Öre i, p(0) = 0. Çükü birici oyucuu hiç paras yoksa, zate oyuu kaybetmifltir ve kazama olas l yoktur. 82
Öte yada, p(s) =. Çükü, birici oyucuu s liras varsa, ikici oyucuu hiç paras kalmam flt r ve oyuu birici oyucu kazam flt r. Teorem 2, p() say s /s oldu uu söylüyor. Demek ki, p() = /s eflitli ii ka tlamal y z. p() say lar birbiride ba ms z de illerdir. Aralar da bir iliflki vard r. Bu iliflkiyi bulal m. 0 < < s olsu. Birici oyucuu liras var. lk yaz -tura at fl da oyu iki yolda birii alabilir: Birici oyucu ya kazaacakt r + ya kaybedecektir. Kaza rsa + liras olacakt r, kaybederse de liras. Her iki durumu da olas l /2 dir. Demek ki k lirayla oyua bafllaya birici oyucuu cebide ilk oyuda sora yar m olas l kla k liras, yar m olas l kla da k + liras olacakt r. Bu so iki durumda birici oyucuu oyuu kazama olas l, s ras yla, p(k ) ve p(k+) dir. Yai, 0 < k < s ise, pk ( ) pk ( ) pk () 2 dir. Buu flöyle de yazabiliriz: 0 < k < s içi, p(k+) = 2p(k) p(k ) (2) fiimdi bir ösav ka tlayal m: Ösav. E er 0 < k s ise, p(k) =kp(). Ösav Ka t : Ösav k üzerie tümevar mla ka tlayaca z. E er k = ise, soru yok. fiimdi eflitli i k = 2 içi ka tlayal m. p(2) = 2p() eflitli ii ka tlamak istiyoruz. (2) eflitli ide, p(2) = 2p() p(0) elde ederiz. Ama p(0) = 0 eflitli ii biliyoruz. Demek ki, p(2) = 2p() ve bu durumda da ösav m z ka tlam flt r. fiimdi k 3 olsu. Ösav k ve k içi do ru oldu uu varsay p k + içi ka tlayal m. Bu varsay mlarda ve (2) eflitli ide, p(k+) = 2p(k) p(k ) = 2kp() (k )p() = (k + )p() ç kar. Ösav m z ka tlam flt r. Yukardaki ösavda k = s alal m: = p(s) = sp() buluruz, yai p() = /s. Ösav bir kez daha k = içi uygularsak, bu eflitlikte p() = p() = /s ç - kar. Teoremimiz ka tlam flt r. 2 Hileli Para Öyküsü Yaz süre ide para hileli oldu uu varsayaca z. Yaz gelme olas l a y diyelim ve birici oyucu yaz geldi ide kazas. Tura gelme olas l da t olsu. y + t = eflitli i geçerli elbet. Toplam paraya gee s diyece iz. s gee sabit olacak. p(), birici oyucuu (yai yaz geldi ide kazaa oyucuu) liras varke öbür oyucuu bütü paras ütme olas l olsu. E er y = 0 ise, yai para hiç yaz gelmeyecekçesie hileliyse, oyuu ikici oyucu kaza r elbet. E er y = ise, oyuu birici oyucu kaza r. Ayr ca y = /2 = t fl kk yukarda irdelemifltik. Demek ki, buda böyle 0 < y < ve t y eflitsizliklerii varsayabiliriz. Teorem 3. Yaz gelme olas l y, tura gelme olas l t oldu uu varsayal m (t = y). Birici oyucu yaz geldi ide kazas ve oyua lirayla bafllas. kici oyucuu s liras olsu. Ve olsu. Birici oyucuu yaz -tura oyuuu kazama olas l y y t dir. (2) formülüü bir bezerii bulal m öce. Aye o ka ttaki gibi bir ak l yürütmeyle, p() = tp( ) + yp( + ) eflitli ii buluruz. Buda da p ( ) tp( ) p ( ) () 3 y y ç kar. Aye biraz öceki ka ttaki gibi yapaca z. p() say s p() i kullaarak bulaca z. Ösav. E er 0 < s ise, p ( ) p( ). y y t Ösav Ka t : üzerie tümevar mla ka tlayaca z. = içi bir soru yok. = 2 içi ka tlayal m. (3) eflitli ide = al rsak ve p(0) = 0, y + t = eflitliklerii kulla rsak, ösav = 2 içi do ru oldu uu buluruz. fiimdi formülü ve sa- y lar içi do ru oldu uu varsay p, formülü + içi ka tlamak gerekiyor. Ayr t lar okura b rak yoruz. ( pucu: (3) eflitli ii kulla.) 83 Matematik Düyas, 2008-I Art k Teorem 3 ü ka tlayabiliriz. Yukardaki ösavda = s al rsak ve p(s) = eflitli ii kulla rsak,
Matematik Düyas, 2008-I s y ( y p() buluruz. Bu eflitli i ösava uygulayarak, y ( y p ( ) y ( y buluruz. Sadelefltirerek, y y t p ( ) eflitli ii buluruz. Teorem 3 ka tlam flt r. s (4) Birici oyucuda lira, ikici oyucuda sosuz para varsa, birici oyucuu oyuu kazama olas l edir? Bu soruyu ya tlayal m. Üçücü Teoremi fiafl rt c Bir Soucu. Yaz gelme olas l y olsu. Birici oyucu yaz gelice kazas ve oyuu bafl da liras olsu. kici oyucuu ise sosuz paras olsu. E er y t ise birici oyucu olas l kla (yai %00 olas l kla) bütü paras kaybedecektir. E er y > t ise birici oyucu oyuu (t/y) olas l kla sosuza kadar hiç kaybetmede oyayabilecektir. Ka t: E er t = y ise ya t Teorem 2 de biliyoruz. Buda böyle t y olsu. Teorem 3 e göre, y y t lim s limitii hesaplamal y z. E er y = 0 ise limit elbette 0 buluur. Buda böyle y > 0 olsu. E er t < y ise, y y t t y t y t (/ ) (/ ) s t y y (/ ) 0 olur. E er t > y ise, y y t ( y/ ( y/ ( t/ y) 0 t y 0(/ ) 0 s ( y/ 0 olur. = içi bu flu demektir: E er yaz gelme olas - l tu ra gelme olas l da daha fazlaysa, o zama her a, o aa kadar gele yaz say s tura say s da daha az olmad sosuz yaz -tura at fllar olas l 0 da büyüktür, ta tam a t/y dir. fiöyle de ifade edebiliriz: Sosuz kez yaz -tura atarak rasgele bir sosuz 0- dizisi belirleyelim. Ama yaz gelme olas l tura gelme olas l daha büyük olsu. Diziye (x ) diyelim. Her içi, ƒ() = {i < : x i = 0} olsu. Dizii, her içi ƒ()/ /2 özelli ii sa lama olas l 0 da büyüktür. 84