(İleri Yapı Statiği) Doç. Dr. Özgür Özçelik Dokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl.
Sunum Ana Hattı Transformasyonlar Rijit uç bölgesi transformasyonu Global Lokal eksen transformasyonu Temel sistem (basit mesnetli kiriş) ve rijit cisim modları transformasyonu 2D kiriş durum (state) determinasyonu Rijitlik katsayılarının (matrislerinin) fiziksel yorumu
Genel Gözlemler : 1. genelleştirilmiş kuvvet ve deplasman vektörleri : 2. genelleştirilmiş kuvvet ve deplasman vektörleri : Bu iki durum arasındaki transformasyon matrisi aşağıdaki gibi verildiyse Böyle bir ilişki mevcutsa, yazılabiliyorsa! Ve bu iki sistemin yaptıkları iş birbirine denkse (work equivalent work conjugate pairs): böylece
Genel Gözlemler Bu sonuç geneldir ve birbirine işçe denk herhangi iki sistem için geçerlidir. Bir çok durumda dengeden olduğunu göstermek, uygunluk şartlarından olduğunu göstermekten daha kolay olmaktadır. Eğer aşağıdaki ilişkiler geçerliyse, burada k1 ve k2 bu iki sistemin rijitlik matrisi ise, bu durumda aşağıdaki ilişkiyi yazmak mümkündür:
Rijit Uç Bölgeler - Rasyonelleştirme Deforme olan eleman Düğüm noktası
Rijit Uç Bölgeleri (Rigid End Zone- REZ) Dönüşümü Düğüm noktası Düğüm noktası (Deforme olabilen eleman) 2D rijit uç bölgeli (REZ) kiriş-kolon elemanı
Rijit Uç Bölgeleri Kiriş ve kolonlar için oluşturulmuş rijit uç bölgeleri.
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü REZ Üstündeki Serbestlik Dereceleri Rijit uç bölgelerinde global serbestlik dereceleri ve karşı gelen eleman uç kuvvetleri
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü Deforme olabilen eleman üzerinde Deforme olan elemanda global serbestlik dereceleri ve karşı gelen eleman uç kuvvetleri
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü arasındaki ilişkiyi bulmaya çalışıyoruz. İş konjuge (work conjugate) çifti (yaptıkları iş birbirine denkse) Bu çiftler arasındaki ilişkiye kontra-gradiyen transformasyonu denir. Burada birinci düğümdeki yerdeğiştirmeleri rijit uç bölgelerinden eleman ucuna taşır, benzer şey için de söylenebilir.
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü birinci kolonu Rijit uç bölgesindeki birinci serbestlik derecesine bir birimlik yatay yerdeğiştirme verildi.
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü İkinci kolonu Rijit uç bölgesindeki ikinci serbestlik derecesine bir birimlik düşey yerdeğiştirme verildi.
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü Üçüncü kolonu Rijit uç bölgesindeki üçüncü serbestlik derecesine bir birimlik dönme verildi.
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü ve arasındaki ilişki rijit uç bölgelerinin dengesinde de bulunabilirdi. 1. Düğüm Noktasının Dengesi Rijit uç bölgelerinin dengesinden.
Rijit Uç Bölgeleri Dönüşümü Eğer ve
Global ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü Lokal Koordinatlar Doğrultusundaki Serbestlik Dereceleri : İş konjuge (work conjugate) çifti ise bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi kurulur: burada
Global ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü R nin birinci kolonu ϕ 1= 1 R nin ikinci kolonu ϕ R nin üçüncü kolonu ϕ
Global ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü ve arasındaki ilişki düğüm noktası dengesinde de bulunabilirdi:
Global ve Eleman Lokal Referans Sistemleri Dönüşümü R rotasyonel matrisi ortogonaldir: Eğer ve
Rijit Cisim Modları(Rigid Body Modes) Temel sistem: basit mesnetli kiriş Rijit cisim modlarının olmadığı deformasyon durumu Temel deformasyonlar Temel kuvvetler
Rijit Cisim Modları(Rigid Body Modes) ve : İş konjuge (work conjugate) çifti ise bunlar arasındaki ilişki aşağıdaki gibi kurulur: : rijit cisim modlarını çıkaran (removes) transformasyon matrisidir.
Rijit Cisim Modları(Rigid Body Modes) Lokal koordinatlar Lokal koordinatlar Geometriden ve küçük açılar ve yer değiştirmeler kabulünden (lineer/lineerleştirilmiş geometri 1st order): Uygunluk durumu dikkate alındı!
Rijit Cisim Modları(Rigid Body Modes) Bu ilişki matris formda yazılırsa: Deplasman transformasyon matrisi veya uygunluk matrisi
Rijit Cisim Modları(Rigid Body Modes) ve : arasındaki ilişki eleman dengesinden de bulunabilirdi:
Rijit Cisim Modları(Rigid Body Modes) Rijit modların olmadığı 2D kiriş-kolon elemanı ve serbestlik dereceleri Rijit modların olduğu 2D kiriş-kolon elemanı ve serbestlik dereceleri
Özet ÖNEMLİ! burada ve iş konjuge çiftleri olduklarından: veya ÖNEMLİ!
Özet ÖNEMLİ! Lokal x ve y eksenlerinde rijit modların olmadığı eleman rijitlik matrisi Global x ve y eksenlerinde rijit modların da olduğu eleman rijitlik matrisi
Özet Temel sistemden global referans sistemine kuvvetlerin ve şekil değiştirmelerin transformasyonu.
Rijit Cisim Modları(Rigid Body Modes) Δ: Rijit uç bölgeleri Global Eksenler Δ: Δ : Δ : Deforme olabilen eleman Global Eksenler Deforme olabilen eleman Lokal Eksenler Temel sistem serbeslikleri
Özet Örnek Rijitlik Matrisi (Euler-Bernoulli Kirişi) burada
Yer değiştirmeler (Girdi) Rijitlik matrisi ve kuvvetler (Çıktı) Rijit uç bölgeli eleman Rijit uç bölgesiz eleman Rijit uç bölgesiz lokal koordinatlardaki sistem Rijit cisim modsuz eleman
Matlab Ödevi Transformasyon Uygulaması E, A, I, L Ø = 30 o 2 E = 70 GPa A = 4570 mm 2 d2y I = 34.5x10 6 mm 4 d2x d 1x = 20 cm d 1y = 40 cm d 2x = 15 cm d 2y = 30 cm L = 4 m 1 d1x d1y 4EI/L 2EI/L 0 2EI/L 4EI/L 0 0 0 EA/L 2 boyutlu Euler-Bernoulli kirişi için rijit uç bölgelerine karşılık gelen (1 ve 2 düğümlerindeki serbestlik dereceleri), global koordinatlardaki krijitlik matrisini bulunuz.