METALURJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 2015 METALURJİ MÜHENDİSLERİİÇİN STATİK Doç. D. İlven MUTLU imutlu@istanbul.edu.t DERS İÇERİĞİ 1 - Giiş 2 - Vektöle 3 - Maddesel Noktanın Dengesi 4 - Rijit Cisimlein Dengesi 5 - Yaılı Yükle, Kütle Mekezi, ARASINAV (%40) 6 - Kafesle, Yapı Analizi 7 Çeçevele, Makinele 8 - Kiişle 9 - Kablola 10 - Atalet Momenti 11 Sütünme, Sanal İş Metodu Kısa Sınav
DEĞERLENDİRME ARA SINAV % 40 KISA SINAV % 10 BİTİRME SINAVI % 50 GİRİŞ
MEKANİK Mekanik: Çeşitli kuvvetlein etkisi altındaki cisimlede denge, elemsizlik ve haeket şatlaını inceleen bi bilim dalıdı.
RİJİT CİSİM MEKANİĞİ Cisimle dış kuvvetlein etkisinde şekil değiştiile, ama bunla genellikle cismin boutlaı ile kaşılaştııldığında küçüktü. Kuvvetlein etkisi altında şekil değiştimediği vasaılan cisme ijit cisim deni. Rijit cisimle mekaniği ikie aılı: Rijit Cisim Statiği Rijit Cisim Dinamiği DİNAMİK Kuvvetlein etkisi altındaki cismin zaman içinde uzadaki haeketi inceleni. Dinamik, kinematik ve kinetik die ikie aılı. Kinematik, Haeketin geometisi inceleni, haekete neden olan kuvvet aaştıılmaz. İvme, hız ve e değiştimele ilgileni Kinetik haeket asalaını kullanaak kuvvet ile kinematik büüklüklei ilişkilendii. Kuvvetlein etkisile cismin apacağı haeket inceleni. Kuvvet, moment ve kütlele ilgileni.
STATİK Rijit cisim statiği, denge koşullaını kullanaak duan cisimlee etkien bağ kuvvetleini aaştıı. Statik te duan cisimle ile kuvvet aasındaki denge inceleni. Uzama ile uğaşılmaz. Geçekte kuvvet altında cisimle az da olsa şekil değiştii. Bu şekil değiştimele, çok küçük olduklaında cismin şekil değiştimediği faz edili. Statikte üç ana büüklük vadı; Kuvvet Uza (Uzunluk) Cisim (Kütle) Mühendislik Yapılaı
MUKAVEMET (Şekil Değiştiebilen Cisimle Mekaniği) Cisimle dış kuvvetlein etkisinde şekil değiştiile. Yük kaldııldığında cisim ilk haline dönese Elastikliklik, şekil değiştimiş olaak kalısa buna Plastiklik deni. Mukavemet; elastik cisimlein mekaniğidi. Mukavemet, apılaın ükle altında göevleini apacak şekilde boutlandıılmasını aaştıan bi mühendislik bilimidi. Mukavemet cisimlede medana gelen iç kuvvetlein cisimlein kesitleinde nasıl dağıldıklaını, cisimlein kuvvetle altında nasıl ve ne kada şekil değiştidikleini aaştıı. Mukavemetin İlgi Alanlaı 1- Yük etkisindeki cisimlede geilme ve şekil değiştime. 2- Yapılaın hasa gömeden, işlevini kabetmeden taşıabileceği en büük ükün, ve bu ükü ne kada süe taşıabileceğinin bulunması. 3- Yüklee kaşı ugun malzemenin seçimi veşeklinin belilenmesi (boutlandıma). Geeksiz malzeme ve işçilikten kaçınaak, elemanlaa eteli bout veilmesi.
DIŞ KUVVET KUVVETLER Bi cisme diğe cisimle taafından apılan etkie dış kuvvet deni. a) Doğudan doğua belli olanla; (Kendi ağılığı, üklenmiş ağılıkla) b) Mesnet tepkilei İÇ KUVVET Bi cismin iki paçasının bibiine aptığı etkie iç kuvvet deni. Dış kuvvetle altındaki cisim şu zolamalala kaşı kaşıa kalmaktadı. 1. Nomal kuvvet (çekme, basınç) 2. Kesme kuvveti 3. Eğilme momenti 4. Buulma momenti
Statik Bilgisi Ne İşe Yaa? İnşaat Mühendislei büük apılaı ve binalaı tasalamak için Statik bilmelidi Öneğin bu apıdaki he bi elemandaki kuvveti hesaplaabiliiz. Bölece apılaı mauz kalacaklaı üklee daanabilecek şekilde tasalaabiliiz. Makine Mühendislei makinelei tasalamak için Statik bilmelidi
Metaluji ve Malzeme Mühendislei hasalaa daanmalaı için malzemelein mikoapılaını ve mekanik özellikleini tasalamak için Statik bilmelidi. Fiat/pefomans bakımından kullanımda hasaa uğamaacak en ugun malzemei seçmeli, mikoapısını tasalamalıdı. Kanak Mühendislei Statik bilmelidi
Tahibatsız Muaene (NDT) Mühendislei Statik bilmelidi Biomedikal Mühendislei / Malzeme Mühendislei potez tasalamak için Statik bilmelidi Yapa potezin ihtiacı olacağı ükü bulabiliiz. Yük dağılımı, statik/dinamik analiz potez tasaımı Malzeme seçimi
Newton Mekaniğinde, Uza, Zaman, Kütle TEMEL KAVRAMLAR mutlak kavamladı ve bibiinden bağımsızdıla. Bunla tam olaak tanımlanamaz, tecübeleimize daanaak kabul edilile. Kuvvet diğe üçünden bağımsız değildi. Kuvvet cismin kütlesine ve hızının zamanla değişimine bağlıdı. Zaman TEMEL KAVRAMLAR Bi olaı tanımlamak için uzadaki eile beabe zamanı da veilmelidi. Bi olaın peş peşe oluşunun aalığıdı. Bütün zaman sınıflandımalaı sezgileimize daanı. Zaman skale bi büüklüktü.
Kütle TEMEL KAVRAMLAR Cisimlei kaakteize etmek ve kaşılaştımakta kullanılı. Kütlesi anı iki cisim Düna taafından anı tazda çekim etkisindedi. Maddenin atalet özelliğinin ölçüsüdü. Cismin hızının değişmesine kaşı diencidi. Uza TEMEL KAVRAMLAR Bi P noktasının ei kavamı ile ilgilidi. P nin ei bi kaşılaştıma noktası vea başlangıçtan itibaen veilen üç doğultuda ölçülen üç uzunlukla tanımlanı. Bu uzunluklaa P nin koodinatlaı deni. Uza incelenecek fiziksel olaın otaa çıktığı geometik bölgee deni ve tek boutlu, iki boutlu, üç boutlu olabili.
Kuvvet TEMEL KAVRAMLAR Bi cismin diğei üzeindeki etkisidi. Bi kuvvet, ugulama noktası, şiddeti, doğultusu ve önü olan Vektöel bi büüklüktü. Duan cismi haekete geçien, haeketli cismi duduan, cismin doğultusunu değiştien, cisimlein biçimleinde değişiklik apan etkie kuvvet deni. Kuvvet a temas ile a da uzaktan ugulanı. Ye çekimi, uzaktan ugulanan kuvvetti. Kablo kuvveti ise doğudan etkien kuvvetti. TEMEL KAVRAMLAR Cisim - Fiziksel olaın etkileinin ölçüldüğü geometik bölgee veilen isimdi. Mekanikte cisimle ijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik olaak sınıflanı. Statikte cisimle ijit cisim olaak kabul edili. Madde - Madde, uzada e kaplaan he şedi. Bi cisim, kapalı bi üzele çevelenmiş bi maddedi. Paçacık (maddesel nokta) Boutlaı ele alınan poblemin boutlaı anında ihmal edilebilecek metebede küçük olan cisme deni ve kütlesi bi noktada toplanmış kabul edili. Rijit cisim Boutlaı kuvvetle etkisinde değişmediği kabul edilen ideal cisimdi. Kuvvetin ugulanmasından önce ve sona bibileine göe sabit ele işgal eden çok saıda noktanın bileşimidi.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Mekanik, deneleden elde edilen altı ilkee daanı. Bunla matematiksel oldan elde edilemez. Paalelkena İlkesi Kadıılabilme İlkesi Newtonun 1. Kanunu Newtonun 2. Kanunu Newtonun 3. Kanunu Newtonun Evensel Çekim Kanunu MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Paalelkena İlkesi Bi maddesel noktaa etki eden iki kuvvetin eine bi tek kuvvet komak mümkündü. Bileşke denen bu kuvvet, kenalaı veilen kuvvetlee eşit bi paalelkenaın köşegenini çizeek elde edili.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Kadıılabilme İlkesi Bi ijit cismin bi noktasına etkien bi kuvvetin eine, anı tesi çizgisinde, anışiddet, doğultu ve önde, fakat başka bi noktaa etkien bi kuvvet konusa, ijit cismin denge ve haeket duumunda değişiklik olmaz MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Newtonun 1. Yasası Maddesel noktaa etkien bileşke kuvvet sıfısa maddesel nokta haeketsiz kalı vea bi doğu üzeinde sabit hızla haeketine devam ede.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Newton un 2. Yasası Bi maddesel noktaa etkien kuvvet sıfı değilse, madde, bileşke kuvvetin şiddeti ile oantılı ve kuvvetin doğultu ve önünde bi ivme kazanı. Dinamik konusunda çok daha önemlidi. MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Newton un 3. Yasası Bibiine değen cisimle aasında etki ve tepki kuvvetlei anı şiddettedi, anı tesi çizgisi üzeindedi ve zıt önlüdü.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ Newton un Çekim Yasası Mm GM F G W mg, g 2 2 R Kütlelei M ve m olan iki madde eşit ve zıt önlü F ve -F kuvvetlei ile bibiini çeke. iki nokta aasındaki uzaklıktı. G çekim sabiti denilen evensel bi sabitti (6,6732 e-11 N m2 /kg2). Dünanın uguladığı F kuvveti maddesel noktanın W ağılığıdı. M dünanın kütlesine m maddesel noktanın kütlesine ve R dünanın aıçapına eşit alıız. KUANTUM MEKANİĞİ Einstein elativite (izafiet) teoisini otaa atana kada, mekaniğin temel pensiplei (Newton mekaniği) tatışılma konusu olmamıştı. Fakat, atomlaın ve gezegenlein haeketleinin incelenmesi sıasında, Newton mekaniğinde eksiklik olduğu, Newton mekaniğinin ışık hızına sahip cisimlee, atom içindeki haeketlee, ugulanamaacağını göstemişti. Fakat hızlaın küçük olduğu günlük aşantıda vea mühendislikte Newton mekaniğinin anlışlığı henüz ispat edilememişti. Newton mekaniğinde uza, zaman ve kütle bibiinden bağımsız, mutlak kavamladı. Kuvvet ise diğe üçünden bağımsız değildi. Relativistik mekanikte bi olaın zamanı eine bağlıdı; cismin kütlesi hızı ile değişi. Cisim hızlandıkça kütlesinin bi kısmı enejie dönüşü, zaman avaş aka, bou kısalı.
STATİĞİN İLKELERİ * Paalelkena ilkesi * Denge ilkesi * Süpepozison ilkesi * Etki-tepki ilkesi
Etki-tepki ilkesi. Bibiine değen iki cisimdeki tepki kuvvetlei anışiddette, anı tesi çizgisi üzeinde ve bibiine zıt önlüdü. BİRİMLER
MALZEMELERİN MEKANİK ÖZELLİKLERİ Malzemelein Mekanik Özelliklei Malzemelein mekanik ükle altındaki davanışlaına Mekanik Özellikle deni. Mekanik özellikle atomla aası bağ kuvvetleinden kanaklanı. Bunun anında malzemenin mikoapısının da etkisi vadı.
Mekanik Özellikle Çekme/Basma mukavemeti Setlik Dabe dienci, Kıılma tokluğu Youlma dienci Süünme dienci ÇEKME DENEYİ Paçaa avaşça atan çekme ükü ugulanı. Dene sıasında ugulanan kuvvet ve paçadaki uzama ölçülü. Dene, paça kopuncaa kada südüülü. He metalin faklı bi geilme-şekil değiştime ilişkisi vadı.
BASMA DENEYİ Genellikle gevek malzemelee (Beton Seamik) ugulanı ÇEKME EĞRİSİ Mühendislik geilmesi Mühendislik biimşekil değişimi
Elastik bölgede Hook kanunu geçelidi. Denklemdeki E sabitine elastiklik modülü (E) deni. Geilme ileşekil değişimi linee değişi. Kuvvet kalkınca, elastik uzama otadan kalka. E büüdükçe malzeme daha ijit olu (daha zoşekil değiştii). (HOOK KANUNU) Akma mukavemeti, kalıcı uzamanın oluştuğu geilmedi. Yapıla geilme altında elastikşekil değiştiecekşekilde tasalanı. Plastik defome olan (kalıcışekil değiştien) bi paça göevini eine getiemez.
PLASTİK DEFORMASYON Malzeme akma noktasından daha fazla defome edildiğinde, Hooke Kanunu geçeliliğini itii ve kalıcı plastik defomason oluşu. Çekme Daanımı Geilme-şekil değişimi eğisindeki maksimum geilmedi. Bu noktada numunede boun oluşumu medana geli. Bu noktadan sona defomason sadece boun bölgesinde medana geli.
Süneklik ve Tokluk Kıılmaa kada malzemede oluşabilecek defomason miktaına Süneklik deni. Kıılmaa kada çok az plastik defomason gösteen malzemelee gevek deni. Çekme eğisinin altındaki alan Tokluğu vei. Rezilans Bi malzemenin elastikşekil değiştime sıasında eneji absobe etme, ük kaldııldığında bu enejii gei veebilme kabilietidi. Eleastik bölgenin altındaki alana eşitti.
SERTLİK Setlik, malzemenin plastik defomasona (batma vea çizilmee) kaşı göstediği diencin ölçüsüdü. Setlik cihazıla ölçülü. DARBE TESTİ Belli bi potansiel enejie sahip çekiç, numunee çaptıılı. Numunenin kıılması için geeken eneji Dabe Enejisi saptanı. Bu dene malzemenin gevek kıılmaa eğilimini belilemek için apılı.
YORULMA Malzemelein akma daanımlaından daha düşük tekalı geilmelein etkisinde, belili bi çevim sonasında kıılması ile oluşan hasa. Süspasion aı SÜRÜNME Sabit bi geilmenin, üksek sıcaklıkta malzemee etkimesi duumunda, malzemenin zamana bağlı olaak kalıcışekil değiştimesine süünme deni.
VEKTÖRLER MEKANİKTE BÜYÜKLÜKLER Mekanikte kullanılan matematiksel büüklükle üçe aılı; 1) Skale büüklük. (3 0 1) sıfııncı metebeden büüklüktü. Pozitif ve negatif olaak bi büüklüğün şiddetidi. Şiddeti olup önü olmaan paameteledi. Öneğin, kütle, oğunluk, hacim, eneji ve sıcaklık. 2) Vektöel büüklükle, şiddet, doğultu ve ön beliti. (3 1 3) Biinci metebeden büüklüktü. Öneğin, hız, e değiştime, ivme, kuvvet, moment. 3) Tansö, n. metebeden bi büüklüktü ve kaşılığı olan saı adedi 3n di. 2. metebeden bi tansö 3 2 9 saıla ifade edili.
VEKTÖRLER Şiddeti, doğultusu ve önü bulunan, paalelkena kanununa göe toplanan matematiksel ifadelee VEKTÖR deni. Şekildeki F vektöünün doğultusunu bi doğu, önünü ok, şiddetini okun bou belile. F vektöünün zıt önlüsü -F ile gösteili ve (-) işaeti ön değişikliğini beliti, vektöle skale büüklüklede olduğu gibi atı a da eksi değe almazla. VEKTÖRLER Bağlı vektö Sebest vektö Kaan vektö
Bağlı Vektö Belili bi ugulama noktası olan (maddesel nokta) ve değiştiilemeen vektöledi. Bu vektöle haeket ettiilise poblemdeki şatla değişmiş olu. Bi sebest vektö ile noktanın oluştuduğu vektödü. Dinamik te önemlidi (ivme vektöü). Statikte maddesel nokta duumunda önemlidi!!! Sebest Vektö Yönü ve şiddeti kounmak şatı ile uzada sebestçe haeket edebilen vektöle. Linee cebide önemlidi. Önek olaak, kuvvet çiftinin moment etkisi gösteilebili.
Kaan Vektö Kendisi ile anı doğultu üzeinde olmak koşulu ile tesi çizgilei üzeinde istenilen hehangi bi noktaa ugulanabilen vektölee deni. Bi vektö ile buna paalel bi doğunun oluştuduğu vektödü (ijit cisme ugulanan kuvvet).!!! Statikteki kuvvetle kaan vektöledi. Biim Vektö
İKİ KUVVETİN BİLEŞKESİ Kuvvet: Bi cismin diğe bi cisme etkisidi; Ugulama noktası, önü, şiddeti ve doğultusu ile tanımlanı. Bileşke kuvvet (R), kenalaı komşu iki kuvvetten (P ve Q) oluşan paalelkenaın köşegenine eşitti VEKTÖRLERİN TOPLANMASI Üçgen Kualı Vektölein toplanması komütatifti. P + Q Q + P B C C B
Vektölein Çıkaılması Kosinüs Kualı C B C Sinüs Kualı B sin A sin B Q R sin C P
Üçgen kualının tekalanması öntemile üç vea daha fazla vektöün toplanması Üç vea daha fazla vektöün poligon (çokgen) öntemile toplanması Vektölein toplanması asosasifti. P+ Q+ S ( P+ Q) + S P+ ( Q+ S) Vektöün bi skale ile çapımı
KUVVETLERİN BİLEŞKESİ Bi maddesel noktaa etki eden biden çok kuvvetin eine hepsinin vektöel toplamına eşit bi bileşke kuvvet konabili. KUVVETİN DİK BİLEŞENLERİ: BİRİM VEKTÖRLER F Bi kuvvet dik bileşenleine aılabili. F + F F F i + Kuvvet vektöünün dik bileşenleidi. F j Biim vektöledi F ve F e F nin skale bileşenlei deni.
Dik Bileşenlein Toplanması ile Kuvvetlein Toplanması S Q P R + + Kuvvetlein bileşkesinin bulunması, ( ) ( )j S Q P i S Q P j S i S j Q Q i j P P i j R R i + + + + + + + + + + + He bi kuvvet bileşenleine aılı + + F S Q P R + + F S Q P R R R R R R 1 2 2 tan + θ Bileşkenin önü ve şiddetinin bulunması Poblem F 1 2i 3j + 4k ve F 2 4i + 10j + 6k vektölei için vektöel toplama ve çıkama işlemlei F1 + F2 ile F2 - F1 i apınız
Çözüm F 1 2i 3j + 4k F 2 4i + 10j + 6k F1 + F2 (2i 3j + 4k) + (4i + 10j + 6k) (2+4)i + (-3 + 10)j + (4+6)k 6i + 7j + 10k F2 - F1 (4i + 10j + 6k) - (2i - 3j + 4k) (4-2)i + (10 - (-3))j + (6-4)k 2i + 13j + 2k Poblem
ÇÖZÜM Biim Vektö Poblem (şiddeti)
Poblem Cıvataa etki eden iki kuvvetin eine geçecek bi tek bileşke kuvvet bulunuz.
Tigonometik Çözüm (Kosinüs bağıntısı) R 2 P sin A Q sin A 2 + Q 2 2PQ cos B 2 2 ( 40N) + ( 60N) 2( 40N)( 60N) cos155 Sinüs bağıntısı, sin B R Q sin B R sin155 A 15.04 α 20 + A R 97.73N 60N 97.73N α 35. 04 Poblem
Poblem A cıvatasına döt kuvvet etki etmektedi. Cıvataa etkien bileşke kuvveti bulunuz.
Kuvvetlein ve bileşenlei bulunu. F1 F2 F3 F 4 şid det 150 80 110 100 + 129.9 27.4 0 + 96.6 + 75.0 + 75.2 110.0 25.9 R +199.1 R +14. 3 Şiddet ve doğultunun bulunması. R 2 199.1 + 14.3 2 R 199.6N 14.3 N tan α 199.1N α 4. 1 Vektöel Çapım P ve Q gibi iki vektöün vektöel çapımı bi V vektöüdü. (1) V nin tesi çizgisi P ve Q nun bulunduğu düzleme dikti. (2) V ninşiddeti P ve Q nunşiddetlei ile P ve Q nun teşkil ettiği θ açısının (180 den küçük) sinüsünün çapımına eşitti V PQ sin θ (3) V nin önü sağ el kualı ile bulunu. P ve Q nun vektöel çapımı matematikte aşağıdaki gibi gösteili V P Q
İki Vektöün Vektöel Çapımı Komutatif değildi Distibütifti Assosasif değildi ( ) Q P P Q ( ) 2 1 2 1 Q P Q P Q Q P + + ( ) ( ) S Q P S Q P Vektöel Çapımın Dik Koodinatlaı 0 0 0 k k i k j j k i i j k j j k j i j i k k i j i i v
Vektöel Çapım 1. YOL (Eksi)
(Eksi) 2. YOL (Kulanma!!!)
İki Vektöün Skale Çapımı P ve Q vektöleinin skale çapımı (iç çapım), P ve Q vektöleinin şiddetlei ile P ve Q nun aptığıθaçısının kosinüsünün çapımıdı. P Q PQcosθ Bu ifade bi vektö olmaıp, bi skaledi!!! İki Vektöün Skale Çapımı P Q PQcosθ Skale çapım: - komütatifti, - distibütifti, - Asosasif değildi, P Q Q P P ( Q1 + Q2 ) P Q1 + P Q2 ( P Q) S Tanımsız
İki Vektöün Skale Çapımı P ve Q gibi iki vektöün skale çapımını vektölein dik koodinatlaı cinsinden ifade edesek P Q ( P i + P j + P k ) ( Q i + Q j + Q k ) z Biim vektölein çapımı a sıfı ada bi di. v i i 1 j j 1 k k 1 i j 0 j k 0 k i 0 Bölece P.Q için: z İki Vektö Aasındaki Açı P Q PQ cos θ P Q + P Q + P Q z z P Q cos θ + P Q PQ + P Q z z
Bi Vektöün Bi Eksendeki İzdüşümü POL P cosθ P Q PQ cosθ P Q P cosθ Q P OL OL üzeindeki vektö, λ biim vektöü ise P OL P λ P cos θ + P cosθ + P z cosθ z
Skale Çapım Skale Çapım
Üç Vektöün Kaışık Üçlü Çapımı S, P ve Q vektöleinin kaışık üçlü çapımını, S vektöü ile P ve Q nun vektöel çapımının skale çapımından elde edilen skale ifade ile tanımlaız. S Q ( P ) skale Üçlü kaışık çapım, mutlak değe bakımından kenalaı S, P ve Q vektölei olan paalelüzlünün hacmine eşitti. Üç Vektöün Kaışık Üçlü Çapımı S, P ve Q ile apılabilecek altı kaışık üçlü çapımın hepsi anı mutlak değede olacak, fakat anı işaette olmaacaktı. S ( P Q) P ( Q S ) Q ( S P) S ( Q P) P ( S Q) Q ( P S )
S Üç Vektöün Kaışık Üçlü Çapımı ( P Q) S( P Qz Pz Q ) + S( Pz Q P Qz ) + S ( P Q P Q ) S P Q S z P Q S z P z Q z Poblem F 1 2i 3j + 4k ve F 2 4i + 10j + 6k vektölei için 1) Vektöel çapımı bulunuz. Biim vektöü elde ediniz. 2) A F1. F2 skale çapımını bulunuz
F1 F2 (-18-40)i (12-16)j + (20 + 12)k -58i + 4j + 32k (Vektöel çapım) -0,87i + 0,06j + 0,48k (Biim Vektö) A F1.F2 (2i 3j + 4k). (4i + 10j + 6k) 2.4 3.10 + 4.6 2 (Skale çapım) Poblem
Poblem
Poblem Aşağıdaki vektölein vektöel çapımını bulunuz
Poblem Aşağıdaki kuvvetlein bileşkesini bulunuz
Poblem 60 kg lik ükü dengeleen ipledeki geilmelei bulunuz
MADDESEL NOKTANIN DENGESİ
MADDESEL NOKTANIN DENGESİ Maddesel noktanın (paçacığın) dengede olabilmesi için geek şat nokta üzeine etki eden tüm kuvvetlein bileşkeleinin sıfı olmasıdı. Bileşke kuvvet sıfısa nokta a haeketsiz kalı (baştan haeketsiz), vea sabit hızla bi doğu üzeinde haeket ede (baştan haeketli). İki kuvvetin etkisindeki paçacığın dengede olması, iki kuvvetin anışiddette, anı tesi çizgisinde ve zıt önde olması ile mümkündü. Paçacığın dengesine ait bi duum aşağıdadı. Buada Kuvvetlein bileşkesi sıfıdı ve paçacık dengededi. Bi paçacığın dengede olabilmesi için için şu sonuçlaa vaıız. R F 0 F 0 F 0 İki boutlu düzlemde denge şatı
MADDESEL NOKTANIN 3 BOYUTTA DENGESİ A noktasına etkien kuvvetlein bileşkesi sıfısa A noktası dengededi. Aşağıdaki denklemle, uzada bi noktanın dengesi ile ilgili geek ve ete şatlaı göstei. F F F z 0 0 0 SERBEST CİSİM DİYAGRAMLARI Duum Diagamı Poblemin fiziksel şatlaını göstemek için çizilen şekil vea şemaa deni. Sebest Cisim Diagamı (SCD) Seçilen bi maddesel noktaa etkien bütün kuvvetlei gösteen şema.
Poblem Yanda göülen ük boşaltma işleminde otomobilin ağılığı 10 kn (3500 lb) olduğuna göe AB ve AC kablolaındaki kuvvetlei (geilimlei) bulunuz. ÇÖZÜM T AB T AC 3500 lb sin120 sin 2 sin 58 T AB 3570lb (10.2 kn) T 144lb (411 N) AC
Uzada Bi Kuvvetin Dik Bileşenlei O noktasına etkien F kuvvetinin doğultusunu saptamak için OBAC düzlemini çizelim. Düzlemin konumu düzlemile aptığı Φ açısıla tanımlanı. F kuvvetinin konumu eksenile aptığıθ açısıla tanımlanı. F kuvveti ata F h ve düşe F bileşenleine aılabili. F h F sinθ F F cosθ Uzada Bi Kuvvetin Dik Bileşenlei F h da ve z eksenlei doğultusunda F ve F z dik bileşenleine aılabili. F F F h cosφ F sinθ cosφ F h sinφ F sinθ sinφ Bölece veilen F kuvveti üç koodinat ekseni doğultusunda, F, F ve F z dik vektöel bileşenleine aılmış oldu.
Uzada Bi Kuvvetin Dik Bileşenlei Şekildeki taalı üçgenlee Pthagoas teoemini ugulasak; (F) 2 (OA) 2 (OB) 2 + (BA) 2 (F) 2 + (Fh) 2 (Fh) 2 (OC) 2 (OD) 2 + (DC) 2 (F) 2 + (Fz) 2 Bu denklemleden F i çözesek, F nin şiddeti ile skale dik bileşenlei aasında aşağıdaki bağıntıı elde deiz 2 2 F F + F + Fz 2 Uzada Bi Kuvvetin Dik Bileşenlei F kuvveti ile kuvvetin F, F, F z bileşenlei aasındaki bağıntıı canlandımak için andaki gibi, kenalaı, F, F, F z olan bi kutu çizilebili. F in ve z eksenleile aptığı açılaıθ ve θ z ile gösteisek şu fomülle çıkaılı. F Fcosθ F Fcosθ Fz F F i + F j + Fz k F Fλ λ cosθ i + cosθ j + cosθ k ( cosθi + cosθ j + cosθz k ) z Fcosθ z
Uzada Bi Kuvvetin Dik Bileşenlei θ, θ ve θ z açılaı F kuvvetinin doğultusu ve önünü tanımla. θ, θ ve θ z açılaının kosinüsleine F kuvvetinin doğultman kosinüslei deni., ve z eksenlei doğultusundaki biim vektölei i, j ve k ile gösteisek, F i aşağıdaki gibi ifade edebiliiz. Uzada Bi Kuvvetin Dik Bileşenlei λ a F in tesi çizgisi üzeindeki Biim Vektö deni. Biim vektö λ in bileşenlei F in doğultman kosinüsleine eşitti. Biim vektöünün şiddeti 1 di ve F ile anı doğultudadı. (λ ) 2 + (λ ) 2 + (λ z ) 2 1 λ z cosθz λ cosθ λ cosθ
Ugulamalaın çoğunda F kuvvetinin doğultusu tesi çizgisindeki M ve N gibi iki noktanın koodinatlaı adımıla tanımlanı. ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1,, ve,, z N z M Şiddet ve Tesi Çizgisi Üzeindeki İki Nokta ile Tanımlanan Kuvvet ( ) d Fd F d Fd F d Fd F k d j d i d d F F z z d d d k d j d i d d z z z z z + + + + 1 M ve N i bileştien vektö 1 2 1 2 1 2 λ λ Poblem Bi kule kılavuz kablosu, ankaj bulonu adımıla A a bağlanmıştı. Kablodaki kuvvet 1200 kg di (2500 N) (a) bulona (A) etkien kuvvetin F, F, F bileşenleini, (b) kuvvetin doğultusunu tanımlaan θ, θ, θ z açılaını bulunuz.
AB AB ( 40 m) i + ( 80m) j + ( 30 m) 2 2 ( 40 m) + ( 80 m) + ( 30m) 94.3 m k 2 40 80 30 λ i + j + k 94.3 94.3 94.3 0.424i + 0.848 j + 0.318k F Fλ ( 2500 N)( 0.424i + 0.848 j + 0.318k ) ( 1060 N) i + ( 2120 N) j + ( 795 N)k λ cosθ i + cosθ j + cosθ zk 0.424i + 0.848 j + 0.318k θ 115.1 θ 32.0 θ 71.5 z o o o
Poblem
Poblem
Poblem
Poblem