Soyut Matematik Test A

1 Soyut Matematik Test A 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. Her hangi bir A kümeler ailesi üzerinde (daha güçlü) ba nts nedir? (a) Tikel sralama ba ntsdr. (b) Tam sralama ba ntsdr. (c) * yi-sralama ba ntsdr. (d) Denklik ba ntsdr. (e) Bir ba nt de ildir. 3. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Saylabilir bir kümenin her alt kümesi de saylabilir. (b) Her sonsuz kümenin saylabilir sonsuz bir alt kümesi vardr. (c) * Her sonlu kümenin saylabilir sonsuz bir üst kümesi vardr. (d) Her sonlu küme saylabilir. (e) Hiçbiri. 4. A B simgesi A kümesi B kümesinden güçlü de il anlamnda ise, a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) ω do al saylar kümesi (0, 1] yar-açk aral na e³güçlüdür. (b) * ω (0, 1] dir. (c) ω (0, 1] dir. (d) (0, 1] yar-açk aral saylabilir. (e) Hiçbiri. 5. Sürey hipotezi nedir? (a) Her eylemin sonsuza dek sürece ini ifade eden varsaymdr. (b) R nin nicelik saysn belirten varsaymdr. (c) ω nn nicelik saysn belirten varsaymdr. (d) * ω A R ko³ulunu sa layan hiç bir A kümesi yoktur varsaymdr. diyen

2 (e) ω A R ko³ulunu sa layan bir A kümesi vardr diyen varsaymdr. 6. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) Kendi içinde tutarl bir sisteme Sürey Hipotezi eklenirse sistem tutarll n korur. (b) * Kendi içinde tutarl bir sisteme Sürey Hipotezi eklenirse sistem tutarll n koruyamaz. (c) Sürey Hipotezini kabul eden matematiksel sistem kurulabilir. (d) Sürey Hipotezini kabul etmeyen matematiksel sistem kurulabilir. (e) Sürey Hipotezini kabul eden sistem ile etmeyen matematiksel sistemler çeli³kisiz ama farkl sistemlerdir. 7. Cebirsel say nedir? (a) Cebir dalnda kullanlan saydr. (b) Transandant saydr. (c) Rasyonel saydr (d) * Rasyonel katsayl bir polinomun kökü olan saydr. (e) Köklü denklemlerin kökü olan saydr. 8. Transandant say nedir? (a) Sürey (continium) dur. (b) Sonlu ötesi saydr. (c) Sra saysdr. (d) rrasyonel saydr. (e) * Rasyonel katsayl bir polinomun kökü olmayan saydr. 9. Sürey hipotezi nedir? (a) * ℵ 0 < a < ℵ 1 ko³ulunu sa layan bir a nicelik saysnn var olmad varsaymdr. (b) ℵ 0 < a < ℵ 1 ko³ulunu sa layan bir a nicelik saysnn var oldu u varsaymdr. (c) Sonsuza kadar sürdürülen i³lemlerdir. (d) Sonlu ötesi saylarn var oldu u varsaymdr. (e) Sonlu ötesi saylarn var olmad varsaymdr. 10. Sürey hipotezi nedir? (a) * ℵ 0 < a < ℵ 1 ko³ulunu sa layan bir a nicelik saysnn var olmad varsaymdr.

3 (b) ℵ 0 < a < ℵ 1 ko³ulunu sa layan bir a nicelik saysnn var oldu u varsaymdr. (c) Sonsuza kadar sürdürülen i³lemlerdir. (d) Sonlu ötesi saylarn var oldu u varsaymdr. (e) Sonlu ötesi saylarn var olmad varsaymdr. 11. Nicelik says nedir? (a) Saylamaz sonsuz kümelerin niceli ini belirleyen bir araçtr. (b) Saylabilir sonsuz kümelerin niceli ini belirleyen bir araçtr. (c) Sonlu kümelerin niceli ini belirleyen bir araçtr. (d) Sonlu ötesi saylara verilen addr. (e) * Her küme için, o kümeye e³güçlü olan bir kümedir. 12. Her ı I için a ı = (A ı ) olmak üzere {a i i I} nicelik saylar kümesinin ( ) a i = A i (1) i I e³itli i ile verilen toplam tanmnda a³a dakilerden hangi ko³ul gereklidir? (a) (A i A j ) a i = a j (b) * i j ve i, j I için A i A j = (c) ı I için a i 0 (d) ı I için A i (e) Hepsi. 13. Saylamaz sonsuz çoklukta nicelik saylarnn toplamn neden analiz yöntemleriyle yapamyoruz? (Yani onlar neden bir serinin toplam gibi yazamyoruz?) i I (a) Analiz dal, nicelik saylaryla u ra³mad için. (b) Soyut Matematik dal, Analiz dal ile u ra³mad için. (c) Nicelik saylar Cebir dalnn konusu oldu u için (d) Sonsuz oldu u için. (e) * Seçerek kümedeki her sayya eri³emeyece imiz için. 14. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) ℵ 0 = 1 + 2 + 3 +... n +... (b) ℵ 0 = 1 + 2 2 + 2 3 +... 2 n +... (c) c = 1.2.3.4....n.... (d) c = c.c.c.c.... = c ℵ0

4 (e) * Hepsi. 15. a, b, d herhangi üç nicelik says ise, a³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) a + d b + d ve ad bd (b) a b a d b d (c) b d a b a d (d) ab = 1 <=> (a = l b = 1) (e) * Hiçbiri. 16. Seçme Beliti (aksiyomu) hangi gereksemeden do du? (a) * Sonsuz bir kümeler ailesinin kartezyen çarpmndan bir ö e seçebilme gereksiniminden. (b) Sonlu ötesi saylar üzerinde aritmetik yapmak gereksiniminden. (c) Sonsuz çoklukta nicelik saylarn çarpmak gereksiniminden. (d) Nicelik saylar üzerinde aritmetik yapmak gereksiniminden. (e) Sonsuz çoklukta nicelik saylarn toplamak gereksiniminden. 17. Seçme Beliti (aksiyomu) hangisidir? (a) Bo³ olmayan tikel sralanm³ her küme içinde daima büyükçe (maksimal) bir zincir vardr. (b) * Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpm bo³ de ildir. (c) Tümel sral bir kümenin her alt kümesinin en küçük (inf) ö esi vardr. (d) Bo³ olmayan ve her zinciri bir üst snra sahip olan tikel sralanm³ bir kümenin büyükçe bir ö esi vardr. (e) Her küme iyi sralanabilir. 18. Paradoks nedir? (a) Nicelik saylaryla ortaya çkan bir paradigmadr. (b) Her zaman yanl³ olan önermedir. (c) Totolojidir. (d) * Hem do ru hem yanl³ olan bir önermedir. (e) Zihinde olu³an bir fantezidir. 19. Hangisi yanl³tr? (a) Cantor kö³egen yöntemiyle [0, 1] [0, 1] kartezyen çarpmnn saylabilir oldu u gösterilebilir.

5 (b) Cantor kö³egen yöntemiyle c.c çarpmnn saylabilir oldu u gösterilebilir. (c) Cantor kö³egen yöntemiyle ℵ 1.ℵ 1 çarpmnn saylabilir oldu u gösterilebilir. (d) Cantor kö³egen yöntemiyle ℵ ℵ0 0 çarpmnn saylabilir oldu u gösterilebilir. (e) * Hiçbiri. 20. A³a dakilerden hangisi Peano Belitlerinden birisi de ildir? A³a daki özeliklere sahip bir ω kümesi vardr: P1. 0 ω P2. * n + ω ise n ω P3. n ω ise n + 0 P4. ω nn bir A alt kümesi a³a daki iki özeli e sahipse A = ω dr: (i) 0 A (ii) n A n + A P5. m, n ω ve n + = m + ise m = n dir. 21. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) A B (x A x B) (b) * A B (x A x / B) (c) A B (B A) (d) A B (x / B x / A) (e) Hiçbiri. 22. A³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) A B = A \ B = { x x A x B } (b) A B = A \ B = { x x / A x B } (c) A B = A \ B = { x [x A x B ] } (d) A B = A \ B = { x [x / A x B] }} (e) * A B = A \ B = { x x A x B } 23. Gerçel Saylar Kümesi üzerinde tanml olan, η = {(x, y) x < y} ba nts için hangisi do rudur? (a) Yansmaszdr. (b) Yanal simetrisizdir (antisimetrik). (c) Örgündür. (d) Geçi³kendir.

6 (e) * Hepsi. 24. E evrensel kümesinin alt kümelerinden olu³an A = {A ı ı } bo³ ailesi için hangisi do rudur? (a) ı A ı = E (b) ı A ı = E (c) ı A ı = (d) * ı A ı = E (e) Hiçbiri. 25. A ile B herhangi iki küme ise, a³a daki ba ntlardan hangisi yanl³tr? (a) A (A B) (b) * B (B B ) (c) (A B) A (d) (A B) B (e) (A A ) = 26. A, B, C herhangi üç küme ise, a³a daki ba ntlardan hangisi sa lanmaz? (a) A = A (b) * A \ B B \ A (c) A = B B = A (d) (A B) (B C) (A C) (e) (A = B) (B = C) (A = C) 27. A, B, C herhangi üç küme ise, a³a daki ba ntlardan hangisi sa lanmaz? (a) A = A (b) * A = A (c) A B = B A (d) A B = B A (e) (A B) C = A (B C) 28. A, B, C herhangi üç küme ise, a³a daki ba ntlardan hangisi sa lanmaz? (a) A (B C) = (A B) (A C) (b) A (B C) = (A B) (A C) (c) (A B) C = A (B C) (d) * A A = A (e) A A = A 29. A ile B evrensel E kümesinin birer alt kümesi iseler, a³a daki ba ntlardan hangisi sa lanmaz? (a) A E = E (b) A E = A (c) * A = A \ E (d) A = E \ A (e) (A ) = A

7 30. Hangisi denklik ba ntsdr? (a) Yansmaz, simetrik ve geçi³ken olan ba ntdr. (b) Yansmal, antisimetrik ve geçi³ken olan ba ntdr. (c) Yansmal, simetrik ve örgün olan ba ntdr. (d) * Yansmal, simetrik ve geçi³ken olan ba ntdr. (e) Yansmal, simetrisiz ve geçi³ken olan ba ntdr. 31. Hangisi tümel (tam, linear) sralama ba ntsdr? (a) * Yansmal, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (b) Yansmal, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (c) Yansmaz, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (d) Yansmaz, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (e) Yansmal, simetrisiz, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. 32. Hangisi do rudur? (a) yi-sral bir kümenin her alt kümesinin en büyük (maximum) ö esi vardr. (b) Tümel-sral bir kümenin her alt kümesinin en büyük (maximum) ö esi vardr. (c) Tikel-sral bir kümenin her alt kümesinin en büyük (maximum) ö esi vardr. (d) * yi-sral bir kümenin her alt kümesinin en küçük (minimum) ö esi vardr. (e) yi-sral bir kümenin her alt kümesinin en büyük (maximum) ö esi vardr. 33. A³a daki ilk üç ifadeden hangisi do rudur? (a) (X, ) tikel sral, A X ve α = min(a) ise β = inf(a) olur. (b) (X, ) tümel sral, A X ve α = min(a) ise β = inf(a) olur. (c) (X, ) iyi sral, A X ve α = min(a) ise β = inf(a) olur. (d) * Hepsi. (e) Hiçbiri. 34. A³a daki ilk üç ifadeden hangisi do rudur? (a) (X, ) tikel sral, A X ve β = max(a) ise β = sup(a) olur. (b) (X, ) tümel sral, A X ve β = max(a) ise β = sup(a) olur. (c) (X, ) iyi sral, A X ve β = max(a) ise β = sup(a) olur. (d) * Hepsi.

8 (e) Hiçbiri. 35. (X, ) tikel sral, A X ise, α = inf(a) a³a dakilerden hangisidir? (a) α ö esi, A nn bir alt snrdr ve A nn üst snrlarnn bir alt snrdr. (b) α ö esi, A nn bir alt snrdr ve A nn alt snrlarnn bir alt snrdr. (c) * α ö esi, A nn bir alt snrdr ve A nn alt snrlarnn bir üst snrdr. (d) α ö esi, A nn bir üst snrdr ve A nn üst snrlarnn bir alt snrdr. (e) α ö esi, A nn bir üst snrdr ve A nn alt snrlarnn bir üst snrdr. 36. (X, ) tikel sral, A X ise, β = sup(a) a³a dakilerden hangisidir? (a) β ö esi, A nn bir üst snrdr ve A nn üst snrlarnn bir üst snrdr. (b) β ö esi, A nn bir alt snrdr ve A nn alt snrlarnn bir üst snrdr. (c) β ö esi, A nn bir üst snrdr ve A nn alt snrlarnn bir üst snrdr. (d) * β ö esi, A nn bir üst snrdr ve A nn üst snrlarnn bir alt snrdr. (e) β ö esi, A nn bir alt snrdr ve A nn üst snrlarnn bir üst snrdr. 37. (X, ) tikel sral, A X ise, β = max(a) a³a dakilerden hangisidir? (a) β ö esi, A nn bir üst snrdr ve β / A dr. (b) β ö esi, A nn bir alt snrdr ve β = sup(a) dr. (c) * β ö esi, A nn bir üst snrdr ve β A dr. (d) β ö esi, A nn bir üst snrdr ve A nn üst snrlarnn bir alt snrdr. (e) x(x A x β) ko³ulunu sa layan ö edir. 38. (X, ) tikel sral, A X ise, α = min(a) a³a dakilerden hangisidir? (a) α ö esi, A nn bir üst snrdr ve α / A dr. (b) α ö esi, A nn bir alt snrdr ve α = inf(a) dr. (c) * α ö esi, A nn bir üst snrdr ve α A dr. (d) α ö esi, A nn bir üst snrdr ve A nn üst snrlarnn bir alt snrdr. (e) x(x A α x) ko³ulunu sa layan ö edir. 39. (X, ) tikel sral, A X ise, hangi b ö esi A nn büyükçe (maximal) bir ö esidir? (a) * a(a A b a) a = b (b) a(a A a b) a = b (c) a(a A b a) a = b (d) b(a A b a) a = b

9 (e) a(a A a b) a = b 40. (X, ) tikel sral, A X ise, a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) A kümesinin alt ve üst snrlar A kümesine ait olmayabilir. (b) A kümesinin minimal ve maksimal ö eleri var olmayabilir. (c) A kümesinin inmumu ve supremumu var olmayabilir. Var olduklarnda A kümesine ait olmayabilirler. (d) A kümesinin maksimum ve minimum ö eleri var olmayabilir. Var olduklarnda bunlar A kümesine ait olurlar. (e) * Hepsi 41. (X, ) tikel sral, A X ise, a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) A kümesinin maksimum ö esi varsa supremuma e³ittir. Maksimum olmad halde supremum olabilir. (b) A kümesinin minimum ö esi varsa inmuma e³ittir. Minimum olmad halde inmum olabilir. (c) A kümesinin alt snr, üst snr, minimal ve maksimal ö eleri hiç olmayabilece i gibi birden çok (bazen sonsuz sayda) olabilirler. (d) A kümesinin inf, sup, minimum ve maksimum ö eleri hiç olmayabilir; ama var iseler tek olurlar. (e) * Hepsi 42. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinde tanml β = {(x, y) x y} ba nts için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) β) simetriktir. (b) * β) bir tümel sralama ba ntsdr. (c) β) bir denklik ba ntsdr. (d) β) bir tikel sralama ba ntsdr, ama tümel sralama ba nts de ildir. (e) β) yansmaz bir ba ntdr. 43. X = {1, 2, 5, 9} ve Y = {a, b, c, d, e} veriliyor. A³a daki ba ntlardan hangisi fonksiyondur? (a) * β 1 = {(1, a), (2, b), (5, c), (9, d)} (b) β 2 = {(1, a), (2, b), (5, c), (5, d), (9, b), (9, d)} (c) β 3 = {(1, b), (5, a), (9, d)} (d) β 4 = {(1, d), (2, d), (5, d)} (e) β 5 = {(1, c), (1, d), (2, b), (5, a), (5, c), (9, a)}

10 44. X = {1, 2, 3, 4}, Y = {u, v, x, y, z} kümeleri veriliyor. A³a daki ba ntlardan hangisi sabit fonksiyondur? (a) f = {(1, x), (2, x), (2, y), (4, z)} (b) g = {(1, y), (2, y), (3, z), (4, z)} (c) h = {(1, y), (2, z), (3, x), (4, x)} (d) * k = {(1, y), (2, y), (3, y), (4, y)} (e) r = {(1, y), (1, y), (1, y), (1, y)} 45. X = {0, 1, 2, 3} kümesinden Y = { 7, 4, 1, 6, 11, 15} kümesine tanml olan y = 5x 4 ba nts için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Bir fonksiyondur. (b) Bire-birdir bir fonksiyondur. (c) çine bir fonksiyondur (d) Örten bir fonksiyon de ildir. (e) * Hepsi. 46. 3 33 x( mod 5) e³itli ini sa layan en küçük do al say nedir? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) * 3 (e) 4 47. Z/5 de 6.4 + 5 2.4 + 2.8 i³leminin sonucu nedir? (a) * 0 (b) 1 (c) 2 (d) * 3 (e) 4 48. 4897 97 saysnn birler basama ndaki rakam nedir? (a) 9 (b) 8 (c) * 7 (d) 6 (e) 5

11 49. 5 256 saysnn 7 ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 Hiçbiri. 50. 3 27 + 5 35 + x 1( mod 8) denkleminin çözümü nedir? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) Hiçbiri. 51. f : X Y nin bir fonksiyon olmas için a³a dakilerden hangisi gerekli bir ko³uldur? (a) (x X) y(y Y )(y = f(x)) (b) (x 1 = x 2 ) (y 1 = y 2 ) (c) x y(y = f(x)) (d) (y 1 y 2 ) (x 1 x 2 ) (e) * Hepsi 52. f(x) = 3x + 1 fonksiyonunun ters fonksiyonu hangisidir? (a) * f 1 (x) = (x 1)/3 (b) f 1 (x) = 3(x 1) (c) f 1 (x) = 3/(x 1) (d) f 1 (x) = 3/(x 1) (e) Ters fonksiyonu yoktur. 53. [0, 1] kapal aral nda tanml greçel de erli ve sürekli olan bütün fonksiyonlarn olu³turdu u C[0, 1] kümesi fonksiyonlar için bilinen toplama, çarpma ve skalerle çarpma i³lemlerine göre hangi cebirsel yapdr? (a) Grup (b) Halka (c) Cisim (d) Vektör Uzay (e) * Hepsi 54. 4 2.8 3.16 4 = 2 n e³itli ini sa layan do al say nedir? (a) 9 (b) 19 (c) 29 (d) 39 (e) Hiçbiri 55. 3.8 4.5 11 says kaç basamakldr? (a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 11 (e) Hiçbiri 56. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Herhangi bir kümeler ailesi üzerinde e³güçlülük bir tikel sralama ba ntsdr. (b) Herhangi bir kümeler ailesi üzerinde e³güçlülük bir tam sralama ba ntsdr.

12 (c) Herhangi bir kümeler ailesi üzerinde e³güçlülük bir iyi-sralama ba ntsdr. (d) * Herhangi bir kümeler ailesi üzerinde e³güçlülük bir denklik ba ntsdr. (e) Bir ba nt de ildir. 57. 4897 97 saysnn birler basama ndaki rakam nedir? (a) 9 (b) 8 (c) 7 (d) 6 (e) 5 58. (X, ) tikel sral, A X ise, a³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) (X, )) tam sral ise A kümesinin minimal ö esi ile minimumu ayndr. (b) (X, )) tam sral ise A kümesinin maksimal ö esi ile maksimumu ayndr. (c) (X, )) iyi sral ise A kümesinin minimal ö esi, minimumu ve inmumu çak³r ve daima vardr. (d) Her küme iyi-sralanabilir. (e) * Hiçbiri. 59. A B simgesi A ile B e³güçlüdür anlamnda ise, a³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) [0, 1] [0, 1] [0, 1] (b) [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] (c) [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1] (d) Her R R R dir. (e) * Hiçbiri 60. A B simgesi A ile B e³güçlüdür anlamnda ise, a³a dakilerden hangisi yanl³tr? (a) ( 1, +1) R (b) ( 1, +1) (, + ) (c) Her a R için ( a, +a) R dir. (d) Her a, b R için (a, b) (, + ) dir. (e) * Hiçbiri 61. Seçme Beliti (aksiyomu) hangi gereksemeden do du? (a) * Sonsuz bir kümeler ailesinin kartezyen çarpmndan bir ö e seçebilme gereksiniminden. (b) Sonlu ötesi saylar üzerinde aritmetik yapmak gereksiniminden. (c) Sonsuz çoklukta nicelik saylarn çarpmak gereksiniminden. (d) Nicelik saylar üzerinde aritmetik yapmak gereksiniminden. (e) Sonsuz çoklukta nicelik saylarn toplamak gereksiniminden.