Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü aşağıdak şeklde görüldüğü gdr. İstatstk deeyler %90 ı u şekl altıdak alt alaları düşüülmes le yapılır. Bu eğrler altıda kala alaı tegral yolu le hesaplaması güç olduğuda dolayı alaları hesaı ç aşağıdak çzelge hazırlamıştır. Bu çzelgede sayısal olarak verle alalar - da artı r stadart ormal değşke ola e kadar taralı yerdr. Bu çzelgedek alaları de çıkarılması le ayı stadart değşke ç alam sevyes elde edlr. Çzelge yardımıyla alam sevyes ve stadart değşke r verlmes le dğer uluur. Bu çzelgede yararlamak ç öce ormal (Gaussa) dağılıma uyduğu elrlee ver daha öce açıklaa şeklde stadart değer uluması gerekr. Gauss (ormal) htmal foksyou her türlü elrszlk kousuu temel dağılım foksyou olarak teledrlr. Belrszlk kouları le çalışaları adları g öğremeler gereke r dağılımdır. İstatstk çalışmalarda oldukça sık kullaıla ormal dağılım test yapılalmes ç aşağıdak adımlar zlemeldr.. Kotrol edlecek değşke geldğ toplum veya örek kümes artmetk ortalaması ve stadart sapması kullaılarak stadartlaştırılır. Bu stadart değşkee sıama üyüklüğü der. Böylece değşke rmszleştrlmş, artmetk ortalama sıfır ve varyas se re eşt hale gelmştr. Dğer r fade le stadard dağılım foksyou aşağıdak hal alarak Stadart ormal dağılım adıı alır.
f ( ) e. Test e kadarlık r hata lmt çde yapılacağıa ya alam sevyese karar verlmeldr. Alam sevyes geelde %5 olarak kullaılır ama elrszlğ çok yüksek alalarda u %0 a kadar çıkmaktadır. Çok hassas davraılmak steyorsa %5 te daha küçük değerler seçlelr. 3. Stadart hale döüştürüle değerler htmal dağılım foksyouda karşılık geldğ değerler Normal dağılım talosuda okuur. Okuma yapılırke - a eklemeler yapılarak geldğ düşüülür. ukardak şeklde de görüldüğü g ortalamada sağa ve sola 3 stadart sapma eğr toplamda %99.8 temsl etmektedr. Bu eğr altıda ulua ve - da verle r stadart değşkee kadar ola toplam ala değşm aşağıdak şeklde görüldüğü gdr. P(z) -3 - - 0 3
Bu alaı değere p derse, ou tamamlayıcısı ya + a kadar ola ala q = -p dr. Stadart ormal dağılım çok kullaıldığıda, stadartlaştırılmış rastgele değşke ç F(z) şeklde özel r otasyo kullaılır. Aslıda F(z), rastgele değşke - le verle z değer arasıda kalma htmal gösterr. F(z) = P(- <<z) F(z) matematksel olarak tegral yolu le değer s F (z) ep( ) d olarak ulumalıdır. Bu tegral alıması zor olduğuda aşağıdak çzelge stadart olarak düzelemştr. Bu htmaller stadart değşke sadece artı değerler ç verlmştr. Stadart ormal dağılımı smetrk (sıfır etrafıda) olması ede le eks değerler F(-z) = -F(z) eştlğde faydalaılarak hesaplaır. Stadart olmaya r ormal dağılımda rastgele değşke a ve g k değer arasıdak htmal deklem değerler stadartlaştırılmasıyla elde edlecektr. Bu durumda a P ( a ) F( ) F( ) Şeklde hesap edlr. Örek: Ortalaması 0, stadart sapması 30 ola r ormal dağılımda a) P(>80) ) P( 80)
c) P( -80) d) P(50 80) olma htmal ulalım. a) P(z) -3 - - 0 3 z = (-μ)/σ z = (80-0)/30 z = Normal dağılım talosuda P(z>) = 0.5-P() = 0.5-0.477 = 0.08 = %.8 ) P( 80) P(z) z = P() = 0.4777 P( 80) = (0.5)+P() = 0.5+0.4777 = 0.9777 = %97.77-3 - - 0 3
c)..p( -80) z-80 = (-80-0)/30 = -3.33 taloda u değer smetrğ ola 3.33 e karşılık gele htmal değere aktığımızda rre eşt olacaktır. Eğr sol tarafıdak toplam değerde ua karşılık gele değer çıkardığımızda souçta eğr sol kuyruğuda -3.33 te küçük değerler htmaller ulualecektr. P(-3.33) = 0.5-P(3.33) = 0.5-0.4995 = 0.0005 = %0.05 P(z) d)... P(50 80) z50 = (50-0)/30 = P(z50 =) = 0.343 P(z80 =) = 0.4777-3.3 - - 0 3.3 P(z) -3 - - 0 3 P(50 80) = P(z50 =)-P(z80 =) = 0.4777-0.343 = 0.359 = %3.59
Örek: Br ölgede alıa rçok kaya umuesde elde edle meral oraıı ortalaması %, stadart sapması %.6 olarak ormal dağılıma uyduğu alaşılmıştır. Tamame rastgele alıacak umuelerde elde edlecek cevher yüzdeler a) %5 veya daha az ) %4 veya daha fazla c) %8 veya daha az, %8 le %5 arasıda olması htmaller hesaplayıız. Çözüm: Alatıla otasyoa göre ortalama ve stadart sapma.6 olarak verlmştr. a- Bu parametrelerde yararlaarak %5 ç stadart ormal değşke olarak z z = (5-)/.6 =.88 uluacaktır. Stadart ormal dağılım çzelges kullaılması le P(<5) = P(z <.88) = 0.96995 - Bezer olarak 4 değer stadart karşılığı z =.5 tr. e stadart ormal dağılım çzelgesde, cevher yüzdes %4 veya daha az olması htmal ç 0.89435 uluur. Tüm dağılım foksyou altıdak ala e eşt olduğuda cevher %4 veya daha fazla olma htmal le souç hesaplaır P( 4) = -P(<4) = -P(z<.5) = 0.0565 a- 8 değer stadart karşılığı, z -.5 tr. Acak, stadart ormal dağılım çzelges sadece artı şaretl sayılar ç geçerldr. Eks şaretl stadart değşkeler hesaplaması ç foksyou smetrk olması özellğde yararlaılır. Stadart değşke -.5 e eşt veya oda daha az olması htmal.5 e eşt veya oda daha fazla olması htmale eşttr. Öcek şıkta verle çözümde de yararlamak üzere ulua souç; P(z -.5) = P(z>.5) = 0.006 - Normal dağılım eğrs şeklde ve altıdak alada cevher yüzdes %8 le %5 arasıda ulumasıı htmal %5 de küçük olması htmalde, %8 de küçük olması htmal çıkarılmasıa eşt olduğu alaşılır. Böylece aşağıdak souç uluur P(8<<5) = P( 5)-P( 8) = 0.96995-0.006 = 0.96374
"Matematkçler Pres" olarak da le Carl Fredrch Gauss (esk yazım kuralıyla Gauß), 777-855 yılları arasıda yaşamış ülü Alma matematkç ve lm adamıdır. Üstü zekası heüz okumayı lmyor olmasıa rağme toplama ve çıkarmayı yapaldğde dolayı ö plaa çıkmaktadır. Güç koşullarla sağladığı eğtm 4 yaşıda r asl verdğ destek sayesde tamamlamayı aşardı. 6 yaşıda Eukledes Geometrs' alteratf olacak r geometr hazırladı. 795 yılıda Göttge Üverstes'e grd. Üverste yıllarıda, sadece pergel ve cetvel kullaarak o yed kearlı düzgü r çokge çzlmes metoduu ulmuştur. Bu uluşu mezarıı üzere oyulmuştur. Archmedes tarafıda aşlatıla u geleeğ r matematkçy etkledğ alaşılmaktadır. 799 yılıda Cer Temel Teorem olarak le ('c derecede r deklem tam tae kökü vardır) teorem kaıtlayarak doktora dereces aldı. 83 yılıda mayetk olayları ölçülmes sağlaya rm sstem gelştrd. Bu edele mayetk akı rme, gauss adı verld. 833 yılıda r telgraf chazı gelştrd.ayrıca lkokulda öğretme öğreclerde 'de 00'e kadar ola sayıları toplamıı stemştr.buu üzere Gauss, "Gaus ötem" le soruyu çözer ve öğretmee verr.öğretme soruu soucuu hesaplayarak Gauss'u doğru soucu ulduğuu görmüştür.
NORMAL DAĞILIM İÇİN DÖNÜŞÜMLER Daha öcede ahsedldğ g r çok değşke ormal (Gaussa) dağılım özellğ göstermez. Öreğ düşük rüzgar şddetler sıklıkla gözledğ fakat uu yaıda fırtıalı durumları da aralıklarla gerçekleştğ r ölgedek rüzgar şddet düşüelm.
Sıklık (frekas) 0 0 40 60 80 00 0 40 Rüzgar Şddet (km/saat) Bu değerler ormal dağılıma yaklaştırmak ç geelde logartmk döüşüm yapılır. Logartmk döüşüm soucuda verler sııf aralıkları gttkçe daralacak ve dağılım ormal e yaklaşacaktır. Logartmk döüşüm, verler = log İle elde edle dz le fade edlr. Bu tür değşkelere logartmk dağılmış değşkeler adı verlr. Bu dağılımı özellğ verler yere artık verler düşüülerek ve ormal dağılım özellklerde yararlaarak kolayca elrleelr. ukardak rüzgar şddet dağılımı logartmk döüşüm yardımıyla ormal dağılıma yaklaştırılmıştır. Sıklık (frekas) 0 0.6.4.6.8..6 Rüzgar Şddet logartması
değşkeler artmetk ortalaması, ler csde uları çarpımlarıı - c derecede köküü alıması le uluur... 3... Bu şleme ayı zamada geometrk ortalama adı da verlr. Logartmk olarak döüştürülmüş r verler geometrk varyası da S Şeklde fade edlr. Ver şlemlerde logartmk döüşüm dağılımı smetrk yapmasıda aşka varyası daha degel ya sat hale getrmek çde kullaılalr. Logartmk döüşümü yaıda kullaılalecek dğer r döüşüm se kare-kök şlemdr. a; Şeklde döüşüm kullaılır. Buu dışıda verler kc = Veya üçücü = 3 Derecede kuvvetler alıması sıklık düyagramıı smetrğe doğru yaklaştıralr. Kuvvet döüşümler üyük ver değerler küçüklerde çok daha fazlaca üyüyerek yayılmasıı sağlar. Baze egatf çarpıklığa sahp verler yaklaşık olarak ormal dağılım hale getrlmesde = arcs Şeklde r döüşüm de yararlı olalr. Kısacası ütü u döüşümlerde amaç verlerde smetrk dağılım foksyou elde etmeye çalışmak ve ormal dağılıma yaklaşarak uygulamada kolaylıklar ortaya çıkarmaktır.
VERİLERİN HOMOJENLİĞİ (TEKTÜRLÜLÜĞÜ) VE HOMOJENLEŞTİRİLMESİ Br ver dzs homoje (tektür) olmayışlarıı çeştl edeler vardır. Bular sa faktörü (atropojek) olup olmamasıa göre k aa kümede toplamak mümküdür. İsa etkler (yalış okuma, değerledrme) veya ölçüm chazları kayaklı sorular (arıza, yer değşklğ, çevre etklerdek değşm) verler tektürlülükte ya kedlere at doğasıda saptırır. Öreğ r su toplama havzası çde zsz veya alt yapılar tamamlamada şaatları yoğuluklu olarak artması soucuda su kaltesde krleme ortaya çıkması tektür olmaya su kaltes ver dzler eklemese ede olur. Verler statstk olarak şlemese aşlamada öce u tür çoktürlülükler elrleerek ölçümlerde çıkarılması ve ver dzs tektür hale döüştürdükte sora statstksel özellkler ve parametreler elrlemes gerekr. Aks taktrde ulua statstk parametreler olayı fzğ yasıtmaz ve yapıla, uygulamalar da hatalı olur. Ver homojelkler tespt ç r çok test yapılmaktadır. Bular temelde parametrk ve parametrk olmaya testler olarak kye ayrılır. Bu testler yapılalmes ç aşağıdak adımları zlemes gerekmektedr.. Öcelkle dz ç geçerl olalecek varsayımlar aşta taımlamalıdır.. apılacak statstk test alamlılık sevyese karar verlmeldr. Bu r akıma yapılacak testtek hata sıırıı verr. 3. Test yapılacağı ölge tek kuyruklumu yoksa çft kuyruklu mu olacağı kararlaştırılmalıdır. 4. Karar verle alam sevyese karşı gele sıır değer teork test toplum sıklık (frekas) foksyouda uluur. Bu adımda uygu çzelgelerde yararlaılır. 5. Seçle statstğ örek ver dzs parametres göz öüde tutularak test üyüklüğü hesaplaır. 6. Buu sıır değer le ver dzsde hesaplaa test üyüklüğü kıyaslaır. Test üyüklüğüü değer sıır değerde küçük se ver homojedr aks durumda ver homoje değldr. PARAMETRELER ÖNTEMİ Homoje ver setde parametreler yaklaşık sattrler. Acak karşılaştırılma yapılalmes ç e azıda k parametre değer uluması gerekr. a r dz ked çde homoje olalmes ç o dz herhag r alt dzs stele parametres toplam ver dzs parametrelerde öeml r farkıı olmaması gerekyor. Pek u fark asıl uluacaktır.örek olması açısıda uu cevaı Bağıl Hata yötem le ulualmektedr. Bağıl Hata Test İstele, olayı elrlee geel parametres (P) le ver dzs veya alt kümes kısm parametres (Pk) arasıdak ağıl (relatf) hataı, BH stee sıırlar çersde olması gerekr. Bu hata sıırlar geelde %5 le %0 arasıda değşr. Bu durumda Bağıl hata
B H P P İ P İ K İhtmal hesaplarıda ldğ g htmal toplamları aşamaz. Ayıı şeklde hata değerler %00 ü geçemez. Buda doalyı Pk değer üyük ola parametrede seçlmes gerekmektedr. Pk değer BH değer geelde yüzde le fade edlr ve %5 BH %0 olması ster. Bağıl hata test hem pratklğ hem de kauller olmamasıda dolayı sıklıkla kullaılmaktadır. Bu testte ortalamalar kullaıldığı g dğer parametreler varyas, stadart sapma çde yapılalr. Örek: Aşağıdak zama sersde rüzgar şddetler verlmştr. Bu ver dzs tektür olup olmadığıı tartışıız. 4.00.00 0.00 Rüzgar Şddet (m/s) 8.00 6.00 30m Rüzgar Şddet(m/s) 4.00.00 0.00 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 43 46 49 5 55 58 6 64 67 70 73 76 79 Zama Ortalama Bağıl Hata Vort-8 6.4 0 Vort0 5.9 0.0544 Vort0-40 5.86 0.0657 Vort40-60 6.90 0.096079 Vort60-8 6.3 0.07888 Souç: Ver geel ortalaması le her r parçaı ağıl ortalamaları arasıda %0 da düşük lşk uluduğuda ver çsel olarak tektür ya homojedr. PARAMETRİK OLMAAN ÖNTEMLER Şu aa kadar açıklaa yötemler htmal dağılımlarıa ve oları parametrelere ağlı olduklarıda parametrktr. Döüşümlerle ormal hale getrlemye ver
durumlarıda ye yötemlere htyaç duyulmaktadır. Bazı durumlarda ya aşırı uç olaylarda (fırtıa, sel, ekoomde krz, farkada eklemedk sıradışı kazalar...) değşkeler aldıkları değerler ormal dağılıma uymazlar ve ua döüştürülemezler. Bağıl sıklık (frekas) 0 Bu durumlarda verler döüşümlerle ormalleştrmeye uğraşmada doğruda parametrk olmaya yötemler uygulamasıa geçlmeldr. Parametrk olmaya yötemler verler sıklık dyagramlarıa dayamaz, acak oları zaf olarak verle azı özellklere ağlıdırlar. Bularda e çok kullaılaı verler dz çdek merteeler elrlemese dayaır. Geel olarak parametrk olmaya yötemler parametrk olalarda daha zayıf temellere dayaırlar acak lk yaklaşımlar ç terch edlrler.buları e çok le K-Kare testdr. K-Kare Test Normal dağılım özellkler göz öüde tutarak statstk testlerde faydalı ola k-kare (Ch-square) dağılımıı lmek fayda getrecektr. Eğer ormal dağılım ola r toplumda tae değşke seçlr ve daha sora u değşkeler ormal dağılımı ortalama ve stadart sapması le stadartlaştırılır ve uları her r kareler alıdıkta sora toplaırsa Büyüklüğü elde edlr. Bu r örek statstğ teşkl ettğde örekte öreğe değşklk gösterr. Bu dağılım taım gereğ asla eks değerler almaz, üyük değerler çok üyük olalr ve uu soucuda da eğr sağa çarpık r durum gösterr.
P(z) Burada ver sayısıa eşt olarak fade edle serestlk dereces (v = ) ve çeştl alam sevyeler (rsk yüzdeler) ç ektek çzelge verlmştr. Bu dağılımı e öeml kullaım yer örekte elde edle ağıl sıklık dyagramıı oa uygu olduğu saıla r teork ağıl sıklık foksyoua uyum sağlayıp sağlayamadığıı sıamasıdır. Buu yapalmek ç test-ylğ (goodess of test) adı altıda r test kullaılır. Buu ç, öreğ, ver teşkl ettğ örek foksyou ortalaması μ ve stadart sapması, σ, ola r ormal dağılımda geldğ temel varsayımı yapılır. Karşıt varsayım se örek foksyou (ver dzs) öyle r dağılımda gelmedğdr. Öcelkle temel varsayımı geçerl olduğu kaul edlerek uu doğruluğu test edlr. Bu test adımları ç;. Test üyüklüğü taımlamalı. Stadart ormal dağılımı altıdak ala eşt aralıklı m sayıda alt aralıklara ölüür 3. Göz öüde tutula örektek verler rastgele olarak -c alt aralığı çe düşmes yüzdes (htmal) u alt aralık üstüdek eğr altı alaıa eşttr. Bu htmaller lmes le o aralığa, verde kaç taes düşeceğ hesaplamak mümküdür. Alt aralığa düşme yüzdes y se verde u alt aralığa düşe ver sayısı y olarak hesaplaır. Böyle r test statstk üyüklüğü ( ) y y Deklem le sağlaır. Burada, -c alt aralığa düşe ver dzsde (örek foksyouda) ulua ağıl sıklıktır.
Talo: K-kare test VERİNİN HOMOJENLEŞTİRİLMESİ (TEK TÜRLEŞTİRİLMESİ) Şu aa kadar r çok defalar dış veya ç etkelerde dolayı verelerde hatalar olaleceğde söz edld. Bu hataları görülelmes ç öcelkle koordat eksede verler çzlmes tavsyesde sürekl güdeme getrld. Bua lave olarak homojelk (tek türlülük) testler gerçekleştrld. Ver homoje olmadığı ve azı etkelerde dolayı r ölümüde soru yaşadığı tespt edlrse e yapmak gerekr? Very asıl homoje şekle döüştürmek gerekr. Buu r çok yötem ulumaktadır, aşlıcaları; parametrk olalar (ortalama, ağırlıklı ortalama, mod, medya) ve parametrk olmayalar (terpolasyo, çft kütleler v.) Parametrk yötemler uygulamak ç öcelkle ver fzksel hatalarda (yalış kayıt, kayıt alete a dış etkeler v.) kayakladığıı tespt edlmş olması ve yalış/ölçülmemş ver aralığıı 5 te üyük olmaması gerekr. Öreğ aşağıda Şuat, Mart ve Nsa aylarıda 8 gü oyuca ölçülmüş sıcaklık vers değerler görüldüğü gdr. Fakat şeklde de görüleceğ üzere hatalı değerler ölçülmüştür. Bu durumda u hatalı değerler yere ver yapısıı ozmada, gerçek duruma yakı hag değerler yerleştrlelr?
60.00 50.00 40.00 Sıcaklık (C) 30.00 0.00 0.00 0.00 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 53 55 57 59 6 63 65 67 69 7 73 75 77 79 8 Zama Tespt edle aralığa ser ortalaması, mode (e sık değer), medya (orta değer) değerlerde rs yerleştrlelr. Bu serde hatalı verler harç tutulmasıyla ortalamaı, mode ve medya değerler sırasıyla 7.5, 3.7, 6.6 olarak hesaplamıştır. veya terpolasyo gerçekleştrlelr. İterpolasyou yapmak ç a. Kaç tae ver eksk veya sorulu olduğu elrler, tae olsu. Soru ola ölgede r öcek, Vö ve r sorak, Vs verler tespt edlr c. Tespt edle u soru olmaya verler arasıdak fark, + aralık sayısıa ölüür. Buu soucuda V ö Vs Aralır değ. ( ) d. Br öcekde r sorake artırarak veya azaltarak (küçükte üyüğe veya üyükte küçüğe) ulua aralık değer ardışık olarak ekler/çıkarılır; ukarıda sorulu olduğu tespt edle ver elrlee parametrk yötemlerle düzeltlmş değerl grafğ aşağıdak gdr. Bu durumda ver gdşatıa göre karar verlmeldr.
4.00.00 0.00 Sıcaklık (C) 8.00 6.00 Sıcaklık (Ortalama) Sıcaklık(Mode) Sıcaklık(Medya) Sıcaklık(İterpolasyo 4.00.00 0.00 4 7 0 3 6 9 5 8 3 34 37 40 43 46 49 5 55 58 6 64 67 70 73 76 79 8 Zama ukarıda öerle ver tamamlama yötemler kısa sürel veya az oşluklu aralıklar çdr. Aralıkları uzu olması ve daha öemls a sıçramalar vaya kaymaları gözlemes durumuda very tamamlamak/doğrulaştırmak ç öerle yötemlerde r taes Çft Kütleler (ığışım) Test dr. ÇİFT KÜTLELER (IĞIŞIM) TESTİ Br ver dzsde elrl r değerde sora verde a sıçramalar veya homojelğ ozacak çeştl dış etkler ulualr. Bu durumda ver homojelğ araştırmak ç ezer özellkler ve yapıyı göstere e az üç tae lave ver guruua htyaç duyulmaktadır. Öreğ A, B, C ve D ayı farkada tuğla üretm yapa dört makadır. A ı vers homojelğ test edelmemz ç dğer stasyoları verlerde de yararlamamız gerekyor. Br alamda referas test değerler kullamış oluyoruz. Aşağıdak taloda A, B, C ve D makalarıı 5 aylık tuğla üretm mktarları ulumaktadır. A ı vers tektürlülüğüde şüphe edlrse çft kütleler test aşağıdak adımlara göre yapılır. Ay AG Üretm BG Üretm CG Üretm DG Üretm Sayısı 0 6 Sayısı 0 6 Sayısı 0 6 Sayısı 0 6 5 70 90 5 45 4 7 94 30 40 3 74 88 3 43 66 86 33 47 68 87 3 46 0 60 90 8 4 9 55 9 7 40 8 50 88 49
7 45 86 5 46 6 4 9 30 44 5 40 94 33 46 4 38 96 3 40 3 36 93 6 4 39 89 8 45 4 90 6 44 Bu Durumda atay eksee B, C ve D makalarıı ardışık toplamlamlarıı, düşey eksee A ı üretm ardışık toplamlarıe karşı gelecek şeklde şaretlersek Dğerler Ardışık Toplam Üretm 0 6 A ı Ardışık Toplam Üretm 0 6 60.0 70.0 34.0 4.0 487.0 6.0 653.0 8.0 87.0 350.0 977.0 40.0 36.0 465.0 94.0 55.0 45.0 560.0 66.0 60.0 789.0 64.0 957.0 680.0 8.0 76.0 80.0 755.0 440.0 797.0 Elde edle u değerler ve eksee karşı gelecek şeklde şaretledğde eğer ütü verler r leer doğru etrafıda saçılıyorlarsa ver homojedr. Fakat aşağıda görüldüğü g elrl r kırılma oktası varsa u durumda ver tektürlülükte (homojelkte) ozulmaya aşladığı alaşılır
900.0 800.0 700.0 A Makasıı Ardışık Toplamları 600.0 500.0 400.0 300.0 00.0 00.0 0.0 0.0 500.0 000.0 500.0 000.0 500.0 3000.0 B, C ve D Makalarıı Ardışık Toplamları Bu ozulma aşağıdak şeklde farklı doğruları çzlmesyle daha et görülecektr. 900.0 800.0 700.0 A Makasıı Ardışık Toplamları 600.0 500.0 400.0 300.0 α 00.0 00.0 α 0.0 0.0 500.0 000.0 500.0 000.0 500.0 3000.0 B, C ve D Makalarıı Ardışık Toplamları Düzeltmeler yapılalmes ç kırık oktaı sağıdak verler kırık oktada öcek doğruu üzere gelecek şeklde düzeltlmes gerekr. Bu düzeltme yapılalmes ç Kırık okta öces ve sorası eğrler eğmler sırasıyla α ve α olmak üzere gösterlrse A makasıı. Aydak düzeltlmş verler, AD ayı makaı gözlemş değerlerde, AG ta( ) A D A G ta( )
Formülüde elde edlr. Öerle yötem le düzeltlmş ve lk değerledrmede ele alıa değerler aşağıdak gdr 80.0 A ı Düzeltmede öcek değerler A ı duzeltmede sorak değerler 70.0 60.0 A Makasıı Üretm Mktarları 50.0 40.0 30.0 0.0 0.0 0.0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 DEĞİŞKENLERİN İLİŞKİLENDİRİLMESİ Şu aa kadar yapıla değerledrmelerde geelde tek ver kümes üzerde duruldu ve özellkler aktarılmaya çalışıldı. Fakat fzksel olaylarda k veya daha fazla değşke etkldr. Buu e ast öreğ herkes ldğ termodamktek gazları kauu olarak le ağıtıda sıcaklık, asıç ve hava yoğuluğuu (hacm) rre fzksel lşkledrlmesdr. Bütü mühedslk dallarıda değşkeler rrleryle lşkledrlmştr. Bu lşkledrmeler ağıtılar le fade etmek gerekr. Elde edle ağıtılar le sstem model yapılmış olur. Bu ağıtılar değşkeler sıır değerler gözöüde tutularak gerçekleştrlr. Böylece ye ölçümler yapmada r değşkede dğer kurula ağıtıı doğruluk derecese göre hesaplaır. Bu tür hesaplamalar yapılırke değşkelerde rs ağımsız dğer ağımlı değşke olarak taımlaır. Bağımlı değşkee aze tahm edle dğere se tahm ettrc adı verlr. Bu ağıtılar ayı zamada rer foksyodur = F() Burada tahm edle ve tahm ettrcdr. Bu fade ze k değşke arasıda r ağıtıı uluduğuu syler ama uu açık fades hakkıda lg vermez. Bu fade açık fadeler arasıda aşağıda gösterldğ g değşk foksyolar ulualr.
log = a+(log) log = a-(log) = a++c +d 3 = a+ = a-
= a-+c = a++c Bu foksyoel ağıtılarda hags eldek ve değşkeler örek foksyou ver dzlere e y şeklde uyduğuu elrlemes özellkle öemldr. Foksyoları elde etmek ç öcelkle a,, c parametreler hesaplaması gerekmektedr. Verle u öreklerde ağımlı-ağımsız veya tahm edle-tahm ettrc değşkeler arasıda çok güçlü r lşk ulumaktadır. Br alamda tamame matematksel yaklaşımlardır. Gerçek uygulamalarda u uyum hç r zama u kadar mükemmel olamaz, elde edlse yapıla çalışmada şüphe etmek gerekr. Başka r fade le tahm ettrc kullaılarak tahm edle ulmaya yaraya deklemler oluşturulduğuda hatalar ortaya çıkacaktır. a u deklemler ağımlı, tahm edle değşke %00 temsl edemyecektr. ukardak deklemler g tam r ağıtıı ve temslrlğ olmamasıı r çok see ulumaktadır. Bu edeler aşlıcaları şu şeklde sıralaalr a. apıla ölçümler hata çermes,. Olayı ked yapısıda elrszlk uluması, c. Br değşkee aşka r değl r çok değşke tesr etmes. Bu edelerle kl ağıtılar araştırılırke e y lşky göstere foksyolar elrleerek yapıla temslrlklerdek/tahmlerdek hataları e küçük olması arzu edlr. SAÇILMA DİAGRAMI İk değşke arasıdak lşk elrlemes ç öcelkle fzksel özellklere akmak gerekr. Fzksel olarak ağımlılıkları olmaya olaylar ayı zamada lşkl de olamazlar. İlşkl görüseler dah ağımlı olmadıklarıda alamsız r lşk vardır dyelrz. Öreğ, saahı erke saatlerde saat 09:30 a kadar yeryüzüe güeş ışıımı artarak ulaşır ayı zamada trafktek araç sayısıda artar. eryüzüe ulaşa güeş ışıımı mktarı le trafktek araç sayısıı lşkledrmek alamsız olacaktır.
İk değşke arasıdak fzksel alamlı lşky ulmak ç öcelkle e geel kuralımız ola koordat eksede şaretleme yapmak gerekr. Değşkelerde ağımsız ola, eksee ve ağımlı ola ya tahm edle eksee karşılık gelecek şeklde düşüülür. Öcelkle herhag r matematksel lşk düşüülmede drek olarak u ekseler oyuca şaretleme gerçekleştrlr. Bu şaretlemeler soucuda oluşa şekle saçılma dyagramı adı verlr. Saçılma dyagramıda dkkat çeklmes gereke öeml r okta urdak ver şlememş olduğudur. a deey veya ölçüm soucuda elde edlmştr. ve g k olay/deey soucuda = {,, 3,..., } = {,, 3,..., } aşağıdak saçılma dyagramı elde edlecektr. Bu dyagramı elde edlmesyle rlkte olay veya deey verlere uygulaalecek e y foksyo araştırması yapılır. ukardak saçılma dyagramıa uygulaalecek e y foksyo d = a + şekldek doğrusal deklemdr. d = a + Bu deklem ayı zamada ortalama durumu a le temsl edlmektedr.bu deklemde elde edle parametreler a = f(,) ve = f(,) dr. Verye ağlı olarak elde edle u parametreler deklemde yere yerleştrlmesyle her r ç ye d değerler elde edlmş olacaktır. a saçılma dyagramıda elde edle deklem aracılığyla hesaplaacak herr değer
= {,, 3,..., } d = {d, d, d3,..., d} olacaktır. Buu alamı yapıla deey veya ölçüle olayı öcesde ve sorasıdak Tahm edle/bağımlı değşke değerler rrde farklı olacağıdır. a aralarıdak düşey hata hata mktarı, h olamak üzere h = d kadar olacaktır. = d + h = a + h (, d) (, ) Bu seçle doğru deklemdek hedef, doğruu mümkü olduğu kadar saçılma dyagramıdak tüm oktalara yakı olması ya temsl özellğ olmasıdır. Bu yakılık ve temslrlkte amaç geçrle doğruda ola okta sapmalarıı varyasıı e küçüklemese karşı gelr. Geel olarak, eksee parelel düşey sapmalar esas alıdığıda e küçük varyas ya r alamda hata temslrlğ kadar ölçüm uluması halde h m ( d ) olur. Elde edle deklem değer yere yerleştrlmesyle h m ( ( a )) Verye uydurula deklemde hata toplamlarıı mmum olması gerekmektedr. Hata kare toplamlarıı, HT olarak fade edersek H T h ( a )
Bu fade e küçüklemes, mmze edlelmes ç a ve ye göre ayrı ayrı kısm türev alıarak sıfıra eştlemes gerekmektedr. Böylece, 0 ) ( ) ( T a a H a a. Her k tarafı e ölümesyle a a Elde edlr, souçta hesaplaa eştlk le elde edle doğruu tam ortasıda mutlaka ), ( ı geçmes gerekr. 0 ) ( ) ( T a H a Eştlğ her k tarafıı ye ölümesyle. a Daha öce elde edle a Deklem de kullaılmasıyla k lmeyel k deklem çözümüde
. Ve a Şeklde fade edlerek yere yerleştrlmesyle kolaylıkla ulualr. Bu parametreler hesaplaalmes ç öcelkle etkl ola ütü değşkeler teker teker talo oluşturularak hesaplaır. Bu değşkeler hesaplamasıyla rlkte deklem oluşturulur. Ayrıca u parametreler.. a ve. Ayrıca katsayısı ) ( ) )( ( Şeklde de ulualr. Stadartlaştırma şlem verlere uygulamasıyla rlkte verler ortalamaları sıfır ve stadart sapmaları da r olduğuda u durumda ütü deklemlerde stadart verler ç katsayısı; y a katsayısı ulumasıyla deklemde hesaplaacaktır. Pratk Regresyo Kuralı
Doğrusal regresyo deklem çözümü pratk azı yötemlerle kolaylıkla yapılalr. Aa deklemde a ve g k parametre lmeye olduğuda uları çözülmes ç verler csde k dekleme htyaç vardır. E küçük kareler yötem uygulaması soucuda ulua deklem ezer şeklde aşağıdak adımlar zleerek ulualr. Bua göre a. Ayı doğrusal deklem her k tarafıdak değşkeler artmetk ortalamasıı alıırsa a deklem elde edlr.. İkc adımda aa deklem her k tarafıı öce sağ taraftak ağımsız değşke le çarptıkta sora eştlğ her k tarafıdak değşkeler ortak artmetk ortalamaları alıırsa. a deklem elde edlmş olacaktır. c. Bu şeklde elde edle k artmetk ortalamalı deklem ortak çözümüde parametreler hesaplaalecektr. Bu adımlar r çzelge yardımıyla özetleecek olursa aşağıdak değerler elde edlecektr..................................... Bu pratk regresyo şlem doğrusal (leer) olmak üzere kde fazla değşke olması durumuda da kullaılır. Öreğ = a+ +cz + du g dört değşkel dklem,, Z ve U verlerde a,, c ve d parametreler hesaı ç gerekl dört deklem uluuşuda öcelkle deklem her k tarafıı artmetk ortalamasıı alıması le a cz du elde edlr. Daha sora sırası le aa deklem k tarafı, sağ taraftak ağımsız değşkeler her r le çarpılarak artmetk ortalamalar alıırsa a Z az Z cz cz du duz ve
U au U czu du Deklemler elde edlr. Bu artmetk ortalamaları çere 4 deklemde 4 lmeye (a,, c ve d) ulualr. Regresyo Kauller Regresyou verlere uygulamada öce kaullere dkkat edlmeldr. Kaullerde azıları uygu değlse mutlaka verler azı döüşümlerle kaullere uygu hale getrlmeldr.bu kauller; doğrusallık, ormallk, eşt varyas ve hata ortalamalarıı sıfır olması Doğrusallık: Regresyo çözülmes le saçılma dyagramıda geel gdş temsl ede r doğruu uyguluğu test edlr. Geel gdş r doğru şeklde olmazsa söyleeler geçerllğ yoktur. Doğrusallık ç gerektğde döüşüm yapılır. E sık kullaıla doğrusalaştırma yötem değşkelerde re veya ks logartmk döüşüme ta tutulmasıdır. Normallk Kaulü: Doğrusal regresyo çözümlemeler geçerllğ ç değşkeler Gaussa (ormal) dağılıma uyması gerekr.e azıda smetrk veya ormale yakı sıklık yoğuluk foksyoları ulumalıdır. Bulara akılmadığı taktrde mutlaka artık (hata, h = d) termler ormal dağılı olması gerekr. Hata Ortalamalarıı Sıfır Olması: Elde edle hata ortalamalarıı sıfır olması gerekr.aks taktrde a ve/veya katsayıları taraflı olacaktır. Eşt Varyas: Artık termler şartlı dağılım foksyolarıı varyasaları ağımsız değşke ya ekse oyuca değşmemeldr. Varyası değşke olması durumuda hesaplaa regrasyo katsayılarıı ks de taraflıdır KORELASON KATSAISI İk değşke arasıdak ağımlılığı e kadar kuvvetl olduğuu tespt etmek ç r kıyaslamaya htyaç ulumaktadır. Br alamda k değşke arasıdak lşk yöü, dereces ve alamlılığıı tay ç kullaıla r ölçütür. Her r değşke ked çde ç ağımlılık olarak fade edle ağımlılığı olduğu g ked aralarıda dış ağımlılık olarak fade edle lşks ulumaktadır. İç ağımlılıkta verler stele adım kadar ked çde kaydırılarak aralarıdak lşkye akılır. Bu derste dış ağımlılıkta ahsedlecektr. BAĞIMSIZ OLALAR
Hatırlaacak Tarf: A ve B olayları eğer ve acak P(A B) = P(A).P(B) se ağımsızdır. İkde fazla olay acak P(A B C) = P(A).P(B).P(C) durumuda ağımsızdır. Teorem: Eğer A ve B ağımsız olaylar se ve ksde htmaller sıfırda farklı se A ve B kümeler e az r ortak oktası vardır. Bağımsız olaylara verlecek e çarpıcı öreklerde r taes kartezya koordat sstemdr. Kartezye koordatlarda ve y arasıdak açı 90º olup ağımlı olmamayı fade etmektedr ve sadece r oktada kesşm gerçekleşmektedr. Belrl r koordatı ya kesşm altıda kala ala se ordat ve apss değerler çarpımıyla elde edlmektedr. (A B) B (A).(B) 0 A Başka r fade le r vektörü dğer üzerde zdüşümü varsa ağımlıdır yoksa ağımsızdır. Aralarıdak ağımlılık cosα le doğruda lşkldr. a a. İk vektör aralarıda doğru oratılı olarak lşkldrler a. İk vektör aralarıda ters oratılı olarak lşkldrler
c. İk vektör arasıda herhag r oaratı veya lşk yoktur. d. İk vektör arasıda aralarıdak açıı ya cosα zdüşümü oraıda oratı ve lşk vardır. a.cos.. a a a a.. cos k z j y a k z j y cos z y z y z z y y olacaktır. Bu kouda ahsedle vektörler ayı oyuttadırlar. Bu durumada k rer oyutlu k vektör arasıdak açısal lşk cos a. a
Olup u ayı zamada r le gösterle korelasyo (lşk) katsayısıa eşttr. Pay ve paydadak her r term toplam ver sayısı ola ye ölümesyle r cos Bu eştlk sıklıkla kullaıla korelasyo lşk katsayısıdır. Korelasyo katsayısı - r + arasıda değşr. a. Kosüüs fadesde leceğ g paralelk ve ayı yöde olma durumuda cos(0)= değer alacaktır. Bu durumda ayı yöde tam doğru oratılı ola k değşke arasıda kuvvetl r ağımlılık vardır ve aralarıdak korelasyo katsayısı.0 a yaklaşmıştır. Matematksel foksyolarda tam.0 olalr ama gerçek uygulamalarda u değere yaklaşacaktır. e kuvvetl doğrusal ağımlılıkta 0.9 r + olmaktadır. d = a + R.0. İk vektörü ters oratılı olması ya tam farklı yölerde olması durumuda aralarıdak açı 80 dr. Bu durumda cos (80) = -.0 dır, ya k değşke arasıda ters yöde tam ters oratılı r lşk/ağımlılık ulumaktadır. Aralarıdak korelasyo katsayısı -.0 a yaklaşmıştır. Matematksel foksyolarda tam -.0 olalr ama gerçek uygulamalarda u değere yaklaşacaktır. e kuvvetl doğrusal ağımlılıkta -.0 r -0.9 olmaktadır.
c. Buları dışıdak hallerde korelasyo katsayısı k değşke arasıdak açıya göre farklılık gösterecektr. Aralarıdak açıı 90º olması durumuda k değşke rrde tamame ağımsızdır ve her hag r lşk ulumamaktadır. a cos(90) = 0 d. Dğer durumlarda se aralarıdak açıı kosüüsü oraıda doğru veya ters oratı uluacaktır. Stadartlaştırmaı r çok faydası daha öceler ayrıtılı olarak alatılmıştır. Bulara lave olarak korelasyo katsayısıı ulumasıda stadart verler kullaılması durumuda ortalama sıfır ve varyas değerler olacaklarıda, stadart ve y değşkeler kullaılmasıyla, korelasyo katsayısı, r r cos y r d = a + R -.0 Ry 0.0
Olarak sade ve ast r şeklde ulualecektr. Bütü ulara lave olarak Doğrusal r deklem ulumasıyla rlkte varyas temslrlğ açısıda düşüüldüğüde Toplam Varyas = Temsl Edlele Varyas + Hata Varyası VarT = VarTem + Varh Her k tarafı Toplam varyas ola VarT ye ölümesyle Var Var T T Var Var Tem T Var Var h T Var Var Tem T Var Var h T ve ulua deklem le temsl edlele varyas Var Var Tem T Var h R Var T a ortadak term e e kadar yaklaşırsa elrllk, temslrlk o kadar yüksek olacaktır. Bu katsayıya Belrllk katsayısı (coeffcet of determato) adı verlr. Bu katsayıı karekökü R r Korelasyo katsayısıa eşttr. Br çok yerde korelasyo katsayısı yere elrllk katsayısı verlmektedr.