Sayısal Analiz Ders Notları. Arzu Erdem. Kaynaklar

Sayısal Analiz Ders Notları Arzu Erdem c 0/03 Bahar dönemi mühendislik notları Kaynaklar An Introduction to Numerical Analysis for Electrical and Computer Engineers, Christopher J Zarowski, A JOHN WILEY & SONS, INC PUBLICATION, 004 An Introduction to Numerical Analysis, Endre Süli and David F Mayers, Cambridge University Press, 003 Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach, McGraw-Hill, 980 Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets, Steven T Karris, Orchard Publications, 004 Numerical Methods and Analaysis, James I Buchanan, Peter R Turner, McGraw-Hill, 99 Numerical Methods for Mathematics, Science & Engineering, John H Mathews, Prentice Hall, 99 Applied Numerical Analysis Using Matlab, Laurene V Fausett, Prentice Hall, 999 Sayısal analiz, Galip Oturanç, 008 Sayısal analiz ve mühendislik uygulmaları, İrfan Karagöz, 00 email : erdemarzu @ gmailcom, web page: http://ummkocaeliedutr/dosyalar/difhtm; May, 03

Contents List of Figures List of Tables v vii Chapter 0 Giriş Giriş Neden Sayısal Yöntemler? Sayısal Analizin Geçmişi 3 Sayısal Analize Genel Bir Bakış Açısı 4 Sayısal Yöntemlerin Sınıflandırılması Chapter Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) 3 Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) 3 Tam Sayıların Gösterimleri (The Representation of Integers) 3 Kesirli Sayıların Gösterimleri (The Representation of Fractions) 5 3 Kayan Noktalı İşlemler (Floating Point Arithmetic) 7 4 Hata Analizi ve Hatanın Yayılması (Error Analysis & Propagation of Error) 8 Chapter 3 f (x) = 0 Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) =0) 3f (x) = 0 Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) =0) 3 Sabit Nokta İterasyonu (Fixed Point Iteration) 4 3 İkiye Bölme Yöntemi (Bisection Method) 9 33 Regula Falsi Yöntemi (Regula Falsi Method) 34 Newton Raphson Yöntemi (Newton Raphson Method) 6 35 Kirişler Yöntemi (Secant Method) 30 36 Başlangıç Yaklaşımı ve Yakınsaklık Kriterleri (Initial Approximation and Convergence Criteria) 34 37 Aitken Yöntemi (Aitken s Process) 36 38 Muller Yöntemi (Muller Yöntemi) 37 Chapter 4 Ax = b formundaki lineer sistemlerin Çözümleri (The solution of Linear Systems Ax = b) 39 4 39 4 Matris ve Vektörlerin Özellikleri (Properties of Vectors and Matrices) 39 4 Lineer Denklem Sistmelerinin Çözümleri için Direkt Yöntemler (Direct Methods for Linear Systems of Equations) 49 4 Üçgensel Sistemler(Triangular Systems) 49 4 Cramer Kuralı(Cramer s Rule) 5 43 Gauss Eliminasyonu ve Merkezi Nokta(Gauss Elimination and Pivoting) 5 44 LU Çarpanlarına Ayırma Yöntemi (LU Factorization Method) 59 45 Hata Analizi (Error Analysis) 6 Isaac Newton, 4 ocak 643 yılında Woolsthorpe-Ingiltere doğumlu 3 mart 77, Londra-Ingiltere de öldü 7 yaşında CambridgedeLucasianbaşkanlığını yaptı iii

iv CONTENTS 43 Lineer Denklem Sistmelerinin Çözümleri için İteratif Yöntemler (Iterative Methods for Linear Systems of Equations) 63 43 Richard Yöntemi (Richard s Method) 64 43 Jacobi İterasyonu(Jacobi Iteration) 66 433 Gauss-Seidel İterasyonu(Gauss-Seidel Iteration) 7 Chapter 5 İnterpolasyon (Interpolation) 77 5 77 5 Polinom İnterpolasyonu (Polynomial Interpolation) 77 5 Temel Yaklaşım (Naive Approach) 78 53 Lagrange Polinomları (Lagrange Polynomial) 79 54 Newton Yöntemi (Newton Method) 8 55 Bölünmüş Farklar (Divided Differences) 83 Chapter 6 Sayısal İntegral (Numerical Integration) 87 6 87 6 Dikdörtgenler kuralı (Rectangular rule) 87 6 Sol Nokta kuralı (Left-point rule) 87 6 Sağ Nokta kuralı (Right-point rule) 87 63 Orta nokta kuralı (Midpoint rule) 88 6 Newton - Cotes Formülü (Newton Cotes Formulas) 89 63 Yamuk Yöntemi (Trapezoidal Rule) 9 64 Genelleştirilmiş yamukformülü (Composite Trapezoidal Rule) 9 65 Simpson Yöntemi (Simpson s Rule) 94 66 Genelleştirilmiş SimpsonYöntemi (Composite Simpson s Rule) 94 Bibliography 97 Bibliography 97

List of Figures Algoritma 3 0luk sistemden lik sisteme dönüşüm 4 3 0luk sistemdeki ondalık sayıların lik sisteme dönüşümü 6 3 Topun su yüzeyindeki durumu 3 Denklemin grafiği 33 Ara değer teoreminin uygulaması 3 34 Ara değer teoremi için ters örnek! 3 35 e x x fonksiyonu 4 36 g (x) = ex ve y = x fonksiyonları 4 37 g (x) =ln(x +)vey = x fonksiyonları 5 38 (a) 0 <g (x) < oldugu durum - monoton yakınsaklık (b) <g (x) < 0 oldugu durum - salınımlı yakınsaklık (c) g (x) > oldugu durum - monoton ıraksaklık (d) g (x) > oldugu durum - salınımlı ıraksaklık 6 39 x = 3 3x +0grafiği 7 30x = e05x grafiği 8 3İkiye Bölme Yöntemi 9 3x 3 +4x 0 fonksiyonu 0 33x =tanx, x [4, 45] denklemi 34Regula Falsi Yöntemi 35İkiye Bölme ve Regula Falsi Yöntemlerinin yakınsaklıklarının karşılaştırılması 4 36İkiye bölme yönteminin Regula Falsi yönteminden daha iyi yakınsadığı durum 4 37f (x) =x x fonksiyonu 5 38 + cos (e x ) e x =0,x [0, ] 5 39Newton Raphson Yöntemi 6 30exp (x) 5sin ( ) πx 7 3f (x) =x sin (x) fonksiyonu 8 3Kirişler Yöntemi 30 33Kirişler Yönteminin yakınsaklığı 3 34x 3 +cos(x) fonksiyonu 3 35cos (x) + sin (x)+x fonksiyonu 3 36x 3 x x + fonksiyonun grafiği 34 37 f (r n ) <εkoşulu 34 38r n noktası r δ ve r + δ aralığının içinde kalması durumu 35 39 r n r <δve f (r n ) <εkoşulları 35 v

vi LIST OF FIGURES 330 r n r <δveya f (r n ) <εkoşullarından birinin olmadığı durum 36 33Muller Yöntemi 37 4 5x + y + z 5=0,x+4y + z 4=0,x+ y +3z 3=0düzlemleri 39 4 Determinant 46 43 Denklemin grafiği 74

List of Tables lik sistem ve 0luk sistem dnşm tablosu 5 Cozum 8 Cozum 8 3 x 3 +4x 0 = 0, x [, ] denkleminin çözümünü ikiyebölme yöntemi ile bulunması 4 x = tanx, x [4, 45] denkleminin çözümünüikiyebölme yöntemi ile bulunması 5 x x =0,x [0, ] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü 5 6 +cos(e x ) e x =0,x [05, 5] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü 5 7 exp(x) 5sin ( ) πx =0, denkleminin çözümünü r0 =05 başlangıç noktası ve Newton-Raphson yöntemi ile bulunması 8 8 x sin (x) = 0 denkleminin çözümünü r 0 = başlangıç noktası ve Newton-Raphson yöntemi ile bulunması 8 9 değerini Newton Raphson yöntemi ile ve r0 =,ε =0 4 seçerek 4 basamak kesinliğe göre hesaplanması 30 0 x 3 +cos(x) =0, r 0 =,r = 0 balangıç iterasyonları verilerek kirişler yöntemi ile çözümü 3 cos (x) + sin (x) +x =0, r 0 =0,r = 0 başlangıç iterasyonları verilerek kirişler yöntemi ile çözümü 33 vii

Chapter 0 Giriş Giriş Neden Sayısal Yöntemler? Matematikte değişik tipte denklem türleri ile kaşılaşmak mümkündür Bunlardan bazıları önceki matematik derslerinde ele alınmıştır Örneğin lineer denklemler ax + b = 0,a,b IR,a 0 denkleminin çözümünü x = b/a olarak elde etmiştik Bunun yanısıra lıneer olmayan pek çoğu için ki bunlardan en kolayı ax +bx+c = 0,a,b,c IR,a 0 tipinde dereceden polinomlar(parabol) dır Bu denklemin iki çözmünü x,x olarak adalandırırsak çözümleri x i = b± b 4ac a, i =, ile gösterilir 6 yüzyılda Italyan matematikçiler Niccolo Fontana Tartaglia (499 557), Lodovico Ferrari (5 565) ve Girolamo Cardano (50 576) Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus adlı makalelerinde 3ve 4 dereceden polinomlar için bu formüle çok da benzer olmayan bir formül ortaya koydular Tabi bulunan bu formüllerin genellemesi, şu ana kadar, derecesi 5 ve 5 ten büyük hehangi bir polinomun köklerini bulmak için genelleştirilemedi Örneğin x 5 4x = 0 denklemi gibi Polinom denklemlerini çözümleri için genel anlamada bir formül olmadığı için bu türlü ve hatta daha genel anlamda f (x) = 0 formunda tüm denklemlerin çözümleri için yaklaşımlar verilicektir Burada bir denklemin çözümü var mıdır? ve eğer çözüm varsa bu çözümü nasılbuluruz? sorularının cevabını arayacağız Bu derste görüceğimiz başka bir konu ise f (x) fonksiyonunun x 0,x,, x n gibi belli noktalarda değerleri verildiğinde bu f (x) fonksiyonunu nasıl oluşturabilirizdir Diğer bir konu ise integralle ilgilidir 0 exp (x) dx veya π cos (x) dx 0 integrallerini hesaplayabilirken 0 exp ( x ) dx veya π 0 cos ( x ) dx gibi integralleri nasıl hesaplayabilir hakkında konuşucağız Ele alınacak olan tüm nümerik tenkniklerin belli oranda hata payı olduğu gibi bu hata paylarındaki analizler verilcektir Sayısal yöntemlerde, yinelemeli hesaplar için bilgisayar çözümlerine ihtiyaç duyacağız Sayısal Analizin Geçmişi Nümerik algoritmaların geçmişi çok eski zamanlara dayanmaktadır Eski Mısırda The Rhind Papyrus (650 MÖ) basit bir denklemin kökleri nasıl bulunuru açıklamıştır Archimedes of Syracuse (87- MÖ) ise geometrik eşkillerinin hacimlerin, alanların veya uzunlukların nasıl hesaplandığını bulmuştur Yaklaşımını bulma yöntemi kullanılmı sayısal integrallemenin ruhunu oluşturmuştur ki bu ise saac Newton and Gottfried Leibnitz in öcülüğünde matematiksel hesaplamanın gelişimine katkıda bulunmuştur Nümerik hesaplamanın gelişiminin büyük bir kısmı, matematiksel modellemenin fiziksel gerçekliğe(fiziksel olaylar,mühendislik, tıp, ticaret vbgibi) uygulamalarıyla Newton and Leibnitz tarafından hesaplamanın keşfi ile başlamıştır Bu matematik modeller zaman zaman açık bir şekilde çözülemediğinden sayısal yöntemlere ihtiyaç duyulmuştur Sayısal analizdeki en önemli gelişmelerden bir diğeri de Napier (64) tarafından logaritmanın keşfidir Newton çeşitli problemlerin sayısal çözümleri için bazı yöntemler bulmuştur Onlardan bir kaçı kök bulma ve polinomların interpolasyonudur Newtonu takip eden 8 ve 9 yüzyıldaki matematikçilerin çok büyük bir kısmı, matematiksel problemlerin sayısal çözümlerinde büyük katkılar sağlamışlardır Bunlardan bazıları Leonhard Euler (707-783), Joseph-Louis Lagrange (736-83), and Karl Friedrich Gauss (777-855) tır 800 li yıllarin sonlarında matematikçilerin büyük bir kısmı ilgi alanları çerçevesinde sayısal analizi kullanmış olupgelişimlerde bulunulmaya devam etmektedir

0 GIRIŞ 3 Sayısal Analize Genel Bir Bakış Açısı Sayısal analiz, problemlerin sayısal çözümlerinin teorik gelişmeleri ve bunların bilgisayar programlarına etkisi ve güvenilirliği ile ilgilenmektedir Pek çok sayısal analizci küçük alt alanlarda çalışmalarını sürdürmekte olmasına rağmen genel bir perspektif ve ilgiyi paylaşmaktadırlar Bunlardan bazıları şunlardır: () Genel anlmada bir problem direkt olarak çözülemiyorsa problemi, probleme çok yakın olan ve problemden daha kolay başka bir problem ile değiştirmek Örneğin nümerik integralleme ve kök bulma yöntemleri () Lineer cebir, reel analiz ve fonksiyonel analiz alanlarında oldukça geniş bir kullanım alanına sahiptir (3) Hata ile ilgili temel bir merak söz konusudur Hatanın büyüklüğü ve onun analitik formu bunlarda bazılarıdır şıkta bahsedildiği üzere problemin kendisi değilde yaklaşık problem ele alındığında hesaplamalrdan doğüacak bir hata kaçınılmazdır Dahası hatanın formunu anlamak sayısal metodun yakınsaklık davranışını iyileştirecek şekilde tahmin etme yöntemini oluşturur (4) Kararlılık, problemlerdekiparameterelerinveyaverilerdekiküçük değişimlerekarşıproblemingöstermiş olduğu hassasiyet olarak adalandırılır ve sayısal analzide oldukça öenmli bir konudur Örneğin p (x) = (x ) (x ) (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) (x 7) = x 7 8x 6 + 3x 5 960x 4 + 6769x 3 3 3x + 3 068x 5040 polinomunun köklerinden biri 5 ve 6 dır x 6 teriminin önündeki katsayıyı 800 ile değiştirdiğimizde 5459±0540i, olarak buluyoruz ki değerde oldukça büyük bir değişim vardır Bu türlü polinomlara, kök bulma problemlerine göre kararlı olmayan veya iyi tanımlı olmayan polinomlarda denir Bu anlamda problemlerin çözümleri için geliştirilen sayısal yöntemler, orjinal problemin çözülmesinden daha fazla hassasiyet taşırlar Dahası, orjinal problemin kararlı ve iyi tanımlı olduğuda incelenmelidir Bu türlü konuları özelliklede sayısal lineer cebirde görebilirsiniz (5) Numerik analizciler, bilgisayar aritmetiğini kullanan sonlu ifadelerin etkileri ile oldukça ilgilidirler Bu türlü problemleri yine sayısal lineer cebirde görüceğiz (Örneğin yuvarlama hatasını içeren büyük problemler gibi) (6) Nümerik analizciler, algoritmaların etkisinin ölçümü ile oldukça ilgilidirler Belirli algoritmanın maaleiyeti nedir sorusu onlar için çok önemlidir Örneğin, n denklem içeren Ax = b lineer denklemini çözerken n 3 miktarında aritmeatik işlem kullanılmaktadır Bunu diğer problemlerin çözümleri için sayısal yöntemlerle nasıl kaşılaştırabiliriz? 4 Sayısal Yöntemlerin Sınıflandırılması () Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) () Denklemlerin köklerinin bulunması (The Solution of Equations) (3) Lineer denklem sistemlerinin çözümlerinin bulunması (Matrices and Systems of Linear Equations) (4) Optimizasyon (Optimization) (5) İnterpolasyon (Interpolation) (6) Eğri uydurma (Regression) (7) Sayısal integral (Integration by numerical methods) (8) Sayısal türev (Numerical differentiation) (9) Adi Diferansiyel denklemlerin çözümleri(the Solution of Ordinary Differential Equations) (0) Kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri (Numerical Solution of Partial Differential Equations)

Chapter Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) Tam Sayıların Gösterimleri (The Representation of Integers) Hayatımızda sayıları ondalıklı sistemlerde kullanırız Buna göre 57 sayısının ondalık gösterimini 57 = 00 + 50 + 7 = 0 +50 + 70 0 olarak yazabiliriz Buna göre herhangi bir tam sayıyı, katsayıları 0 ile 9 arasında değişicek şekilde polinom olarak ifade edebiliriz Bunun için kullanmış olduğumuz gösterim aşağıdaki gibidir: a 0,a,a,, a n {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} için N = (a n a n a 0 ) 0 = a n 0 n + a n 0 n + + a 0 0 0, Neden 0 luk sistem kullanıldığına dair temel bir gerçek de bulunmamaktadır Bununla birlikte elektriksel tepkilerde açık(on)-kapalı(off) ifadeleri kullanılmaktadır ve bunların bilgisayarlarda gösterimleri ikili sistemlerle (binary system) ifade edilir Bu ifadelerde ise taban olup olup, polinomun katsayıları 0 ile dir Negatif olmayan bir tamsayıyı lik sistemde aşağıdaki gibi gösteririz a 0,a,a,, a n {0, } için N = (a n a n a 0 ) = a n n + a n n + + a 0 0, Bilimsel çalışmalarda kullanılan pek çok çalışma lik sistemde işlem yapsada bilgisayar kullanıcıların çoğunluğu 0luk sistemde çalışmayı tercih ederler Bu sebepten ötürü iki sistemin birbirine çevirilmesi gerekmektedir lik sistemden 0luk sistme çeviriyi lik sitemin tanımından direk olarak verebiliriz Örneğin Bunu genel olarak aşağıdaki algoritma ile verebiliriz () = + 0 =3 (0) = 3 + +0 + 0 =3 Algoritma N =(a n a n a 0 ) x, 0 <x<0 doğal sayısının 0 tabanında N = b 0 olarak gösteririz ki burda b 0 aşağıdaki yinelemeli işlemler sonucunda elde edilir: 3 Figure Algoritma

4 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) b n = a n b n = a n + b n x b n = a n + b n x b n 3 = a n 3 + b n x b = a + b x b 0 = a 0 + b x Örnek (0) ifadesini yukarıdaki algoritmasını kullanarak 0luk sisteme dönüştürünüz Çözüm 0 = a 3 a a a 0 b 3 = a 3 = b = a + b 3 =+ =3 b = a + b =0+ 3=6 b 0 = a 0 + b =+ 6=3 (0) = b 0 =3 Örnek 3 (0000) ifadesini yukarıdaki algoritmasını kullanarak 0luk sisteme dönüştürünüz Çözüm 0000 = a 4 a 3 a a a 0 b 4 = a 4 = b 3 = a 3 + b 4 =0+ = b = a + b 3 =0+ =4 b = a + b =0+ 4=8 b 0 = a 0 + b =0+ 8=6 (0000) = b 0 =6 Örnek 4 87 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm 87 = 93 + b 0 = 93 = 46 + b = 46 = 3 + 0 b =0 3 = + b 3 = = 5 + b 4 = 5 = + b 5 = = + 0 b 6 =0 Figure 0luk sistemden lik sisteme b 7 = 87 = (00) dönüşüm Uyarı 5 lik sistemden 8lik sisteme dönüşüm yaparken veya 8lik sistemden lik sisteme dönüşüm yaparken aşağıdaki tablıyou kullanırız ve sayıları 3 hane olarak birler basamağından başlayarak ayırırız

(347) 8 = ( (0) (00) () ) = (000) (00) = ( (0) () (0) ) = (73)8 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) 5 Table lik sistem ve 0luk sistem dnşm tablosu 0luk sistem lik sistem 0 (0) () (0) 3 () 4 (00) 5 (0) 6 (0) 7 () 8 (000) 9 (00) 0 (00) Örnek 6 (347) 8 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm Örnek 7 (00) ifadesini 8lik sisteme dönüştürünüz Çözüm Kesirli Sayıların Gösterimleri (The Representation of Fractions) Tanım 8 x bir pozitif tam sayı ve x I bu sayıdan küçük en büyük tam sayı olmak üzere x F = x x I ifadesine x reel sayısının kesirli kısmı denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir: x F = b k 0 k, 0 b k < 0 Eğer b k sayısı herhangi bir sayıda sıfır oluyorsa kesirli ifade durdurulmuştur denir Örneğin 4 =05= 0 +5 0 kesirli ifadesi durdurulmuştur ancak k=0 3 =03333 =3 0 +3 0 + Notasyon x = a n a n a 0 b b reel sayısını 0luk sistemde (a n a n a 0 b b ) 0 veya lik sistemde (a n a n a 0 b b ) olarak göstericeğiz

6 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) Algoritma 9 N =(0b b ) 0, reel sayısının x tabanında aşağıdaki işlemlerle elde ederiz: f 0 = 0b b d = (x f 0 ) I,f =(x f 0 ) F d = (x f ) I,f =(x f ) F d 3 = (x f ) I,f 3 =(x f ) F N = (0d d ) x Örnek 0 (07) 0 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm 07 =4 d =(4) I =,f =(4) F =04 04 =08 d =(08) I = 0,f =(08) F =08 08 =6 d 3 =(6) I =,f 3 =(6) F =06 06 = d 4 =() I =,f 4 =() F =0 0 =04 d =(04) I = 0,f 5 =(04) F =04 (07) 0 = ( 0000 ) Örnek (065) 0 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm Figure 3 0luk sistemdeki ondalık sayıların lik sisteme dönüşümü 065 = 5 d =(5) I =,f =(5) F =05 05=05 d =(05) I = 0,f =(05) F =05 05 = d 3 =() I =,f 3 =() F =0 0=0 d 4 =(0) I = 0,f 4 =(0) F =0 (065) 0 =(00) Örnek (00) ifadesini 0luk sisteme dönüştürünüz Çözüm Algoritma 9 yi kullanabiliriz: 0 (00) = (00) (00) = (00) d = ((00) ) I = (0) =(6) 0,f = ((00) ) F =(00) 0 (00) = (00) (00) =(0) d = ((0) ) I = (0) =() 0,f =((0) ) F =(0) 0 (0) = (00) (0) = (0) d 3 = ((0) ) I = (0),f 3 = ((0) ) F =(0) (065) 0 = (0)

838 = 0838 0 3 fl c ( 838) = 083 0 3,fl f ( 838) = 084 0 3 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) 7 : 3 Kayan Noktalı 00 00 = 0 0 0 = 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 İşlemler (Floating Point Arithmetic) Bilgisayar (computing) camiasında reel sayılara reel sayı değil de kayan noktalı sayı denmesinin nedeni noktanın yerinin değiştirilebilir olmasından kaynaklanıyor olmasıymış misal reel sayıları göstermek için 8 basamak kullanalım dersek 345678, 345678, 00000345678, 345678000000000, vs şeklinde sayıları gösterebiliyoruz eğer sabit noktalı kullanım olsaydı, her sistemin ben noktadan sonra en fazla şu kadar basamak gösteririm şeklinde tasarlanması gerekirdi Öyle olunca noktadan sonra üç basamak göstereceğim denilirse 93 gösterilebilir ama 934 gösterilemezdi Tanım 3 n basamaklı β tabanındaki kayan noktalı x sayısının en genel halde gösterimi aşağıdaki gibidir: x = ± (0d d ) β β e burada 0d d sayısına mantis (mantissa-ondalık kısım), e sayısına da kuvvet (exponent) denir d 0ise kayan noktalı x sayısına normalleştirilmiştir denir Tanım 4 k, bir bilgisayarın kayan noktalı hesaplamalarındaki kullanımlarındaki maksimum basamak olmak üzere x = ± (0d d d k ) β β e kayan noktalı sayısını türlügösterimi vardır Bunlardan si kesilmiş kayan nokta gösterimidir(chopped floating number representation) ve aşağıdaki şekilde verilir: fl c (x) =± (0d d d k ) β β e diğer gösterim ise yuvarlanmış kayan nokta gösterimidir(rounded floating number representation) ve aşağıdaki şekilde verilir: fl r (x) =± (0d d d k r k ) β β e Burada r k sayısı d k d k+ d k+ ondalıklı sayısının en yakın tamsayıya yuvarlaması ile oluşur Örnek 5 fl c ( 3) =?,flf ( 3) =?,flc ( 838) =?,fl f ( 838) =?( ondalık basamaklı kayan nokta gösterimleri nelerdir?) Çözüm 3 ( ) ( ) = 06 fl c =066 0 0,fl f =067 0 0 3 3 Tanım 6 x = ± (0d d d k ) β β e kayan noktalı sayısı ile fl c (x) veya fl r (x) arasındaki farka yuvarlama hatası denir Yuvarlama hatası x sayısına bağlı olup aşağıdaki bağıntı geçerlidir fl c (x) = x + xδ c, β k <δ c < 0 fl r (x) = x + xδ r, δ r < β k

8 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) Örnek 7 x =0 0,y =077 0 6 olmak üzere x + y ve x y ifadelerini ondalık basamaklı kayan nokta gösterimleriyle bulup yuvarlama hatalarını elde ediniz Çözüm x = 000000 0 6,y =077 0 6 x + y = 00000077 0 6 x + y =000000077 0 fl c (x + y) =00 0 δ c =000000077 0 00 0 =0000000077 0 =077 0 6 fl r (x + y) =00 0 δ r =000000077 0 00 0 =0000000077 0 =077 0 6 x y =0 0 077 0 6 =54 0 6 =054 0 5 fl c (x y) =05 0 5 δ c =054 0 5 05 0 5 =0004 0 5 =04 0 7 4 Hata Analizi ve Hatanın Yayılması (Error Analysis & Propagation of Error) Sayısal yöntemlerde pek çok problemin çözümü için hesapladığımız değerler gerçek değerler olmayabilir Bu anlamda özelliklede sayısal algortimaların gelişmesinde bize rehberlik edicek olan bazı tanımlamaları vermemiz gerekmektedir Tanım 8 x gerçek değerine yaklaşık değeri x ile gösterelim Buna göre E x = x x ifadesine hata (error) ifadesine de bağıl hata (relative error) denir R x = x x x,x 0 Örnek 9 değerleri için hata ve bağıl hatayı bulunuz Çözüm (a) x = 3459 x =34 (b) y = 000000 ỹ = 999996 (c) z = 00000 z =0000009 E x = x x =3459 34 = 59 0 3 R x = x x x = 59 0 3 3459 =5067 5 0 4 E y = y ỹ = 000000 999996 = 4 R y = y ỹ y = 4 =4 0 6 000000 E z = z z =00000 0000009 = 30 0 6 R z = z z z = 30 0 6 00000 =05 Tanım 0 Çok kompleks bir matematiksel ifade daha elementer işlemler içeren bir formül ile yer değiştirdiğinde kesme hatası (truncation error) kavramı meydana gelmektedir Genel anlamda sayısal yöntemlerin kesilmesinden elde edilen hatadır

SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) 9 Örnek ifadesinde ilk 4 toplamı: aldığımızda kesme hatası meydana gelecektir e x =+x + x4! + x6 xn + + + 3! n! +x + x4! + x6 3! Tanım Yuvarlama hatası (round-off error) özelliklede bilgisayardaki kısıtlı depolamadan kaynaklamktadır Örneğin 0 = ( 0000 ) olmasına rağmen bilgisayarda bu değer son hanesine kadar alınamayacağından belli bir ondalıktan sonra kesilip yuvarlanmaktadır Tanım 3 Örneğin x =34596536 ve y =34595734 sayılarını ele alalım x y =34596536 34595734 = 30805 0 6 farkı bize x ve y sayılarının ilk 6 hanesi aynı olduğunu söylemektedir ki virgülden sonra 5 sayının aynı olması demektir Bu gibi ifadelere basamakların anlamını yitirmesi (loss od significance digits) de denir Örnek 4 f (x) =x ( x + x ),g(x) = ve g (500) değerlerini bulunuz x x++ x fonksiyonları için f (500) Çözüm ( ) f (500) = 500 50 500 = 500 (3830 3607) = 500 00 3 = 500 500 500 g (500) = = 50 + 500 3830 + 3607 = 500 447437 =748 gerçekte f (x) veg (x) fonksiyonları cebirsel olarak birbirine denk olmasına rağmen elde edilen sayısal sonuçlar aynı olmamaktadır ve gerçekte g (500) = 748 değeri gerçek değer olan 7475530074798 ifadesinin 4 basamağa yuvarlanmış halidir Not Hatanın artmasını (propogation of error) toplama, çarpmada şu şekilde verebilir x gerçek değerine yaklaşık değeri x, y gerçek değerine yaklaşık değeri ỹ ile gösterelim Buna göre x = x + E x y = ỹ + E y () Toplamada hata artışını Toplamdaki hata, hataların toplamıdır şeklinde ifade edebiliriz x + y =( x + E x )+(ỹ + E y )=( x + ỹ)+(e x + E y ) () Çarpmada hata artışını biraz daha karmaşıktır: xy =( x + E x )(ỹ + E y )= xỹ + xe y + ỹe x + E x E y olarak elde ederiz ki x ve ỹ burda den büyük bir değerde ise xe y, ỹe x terimleri yeterince büyük olabilir Tanım 5 Bir sayısal yöntemde başlangıçta verilen değerlerdeki küçük hatalar sonuca da küçük hata olarak yansıyorsa bu yöteme kararlıdır (stable) aksi durumda ise kararlı değildir (unstable) denir

0 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) Örnek 6 p (x) = (x ) (x ) (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) (x 7) = x 7 8x 6 + 3x 5 960x 4 + 6769x 3 3 3x + 3 068x 5040 polinomunun köklerinden biri 5 ve 6 dır x 6 teriminin önündeki katsayıyı 800 ile değiştirdiğimizde 5459 ± 0540i, olarak buluyoruz ki değerde oldukça büyük bir değişim vardır Bu türlü polinomlara, kök bulma problemlerine göre kararlı olmayan veya iyi tanımlı olmayan polinomlar da denir

Chapter 3 f (x) =0Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) =0) f 3(x) = 0 Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) = 0) ax + b =0,a 0 türündeki denklemleri çözmek oldukça kolaydır ve hatta lineer olmayan ax + bx + c =0,a,b,c IR,a 0 denklemlerinin çözümünü de kolayca bulabiliriz Ancak 3 mertebden ve daha yüksek polinomlar için çözüm bulmak her zaman çok kolay olmamaktadır Şimdi ise özgül ağırlığı 06 veyarıçapı 55cm olan bir topun suda ne kadar battığını bulucak bir problemi ele alalım Newton un 3 hareket kuralına göre topun ağırlığı suyun kaldırma kuvvetine eşit olacaktır Topun ağırlığı =(Topun Hacmi) (Topun yoğunluğu) (Y ercekimi ivmesi) ( ) 4 = 3 πr3 (ρ b ) (g) R := Topun yarıçapı (m metre) ρ b := Topun yoğunluğu ( kg/m 3) g := Yercekimi ivmesi ( m/s ) Kaldırma kuvveti = Yer değiştiren suyun ağırlığı = (suyun altında kalan topun hacmi) ( (suyun yoğunluğu) (Yercekimi ivmesi) = πx R x ) (ρ w ) (g) 3 x := topun batan kısmının yüksekliği ρ w := suyun yoğunluğu ( kg/m 3) Figure 3 Topun su yüzeyindeki durumu

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Newton un 3 hareket kuralına göre ( ) 4 3 πr3 (ρ b ) (g) =πx ( R x 3 ( 4R 3 ρ b =3x R x 3 4R 3 ρ b 3x Rρ w + x 3 ρ w =0 ) (ρ w ) (g) ) ρ w 4R 3 ρ b 3x R + x 3 =0 ρ w γ b := ρ b =06 (topun özgül ağırlığı) ρ w R =55cm =0055m 3 993 0 4 065x + x 3 =0 Bu ise lineer olmayan bir denklem olup topun batan kısmının yüksekliğini gösteren x i bulmak bundan sonraki ilgileniceğimiz konu olucaktır Ki bu denklemin kökleri, 046 36, 6 37 8 0, 43737 0 olup grafiğini aşağıdaki gibi verebiliriz y 00003 0000 0000-004 -00 00 004 006 008 00 0 04-0000 x -0000 Figure 3 Denklemin grafiği Problem Buna göre bu konu altında f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde r [a, b] çözümünü bulabilirmiyiz sorusunun cevabını bulmaya çalışacağız ki bu durumda 3 soru aklımıza gelmektedir () Bir fonksiyonun çözümünün var olup olmadığını nasıl bulabiliriz? () Çözüm varsa çözümü nasıl bulabiliriz? (3) Bulduğumuz çözüm, gerçek çözüme ne kadar yakınsaktır? 3 sorunun cevabı için yakınsaklık tanımını verelim: Tanım 3 olsun Eğer lim x n = x n x n+ x c x n x p koşulu sağlanıyorsa {x n } dizisine p mertebeden yakınsaktır denir ve p ye de yakınsaklık derecesi denir sorunun cevabını aşağıda verelim Diğer soruların cevabını ise bu konudaki altbaşlıklarla vermeye çalışacağız Teorem 3 f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (a) f (b) 0 koşulunu sağlasın O halde f (r) =0koşulunu sağlayan r [a, b] vardır

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)3 Figure 33 Ara değer teoreminin uygulaması Uyarı 33 Burda dikkat edilmesi gereken en önemli noktalardan birisi ise fonksiyonun sürekli ve sınırlı olmasıdır Eğere bu koşullardan biri sağlanmıyorsa yukaridaki teoremi uygulamamız mümkün değildir Figure 34 Ara değer teoremi için ters örnek! Örnek 34 Aşağıdaki fonksiyonların verilen aralıklarda çözümünün olup olmadığını belirtiniz () f (x) =e x x, [ 5, 3] ve [ 3, ] () f (x) =cos(x)+ x, x radyan olarak alınacak, [, ] ve [, 3] (3) f (x) = ln (x) 5+x, [, 3] ve [3, 5] Çözüm () f (x) =e x x f ( 5) f ( 3) = 3 564 > 0 olduğundan [ 5, 3] aralığında kök yoktur f ( 3) f ( ) = 066359 < 0 olduğundan [ 5, 3] aralığında kök vardır () f (x) =cos(x)+ x f ( ) f () = 375 > 0 olduğundan [, ] aralığında kök yoktur f () f (3) = 655 < 0 olduğundan [, 3] aralığında kök vardır

4 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) (3) f (x) = ln (x) 5+x f () f (3) = 3 6056 > 0 olduğundan [, 3] aralığında kök yoktur f (3) f (5) = 4507 < 0 olduğundan [3, 5] aralığında kök vardır 3 Sabit Nokta İterasyonu (Fixed Point Iteration) Sabit nokta iterasyonunun ana fikri f (x) =0 denklemini x = g (x) formuna getirmektir Örnek 35 e x x =0denklemini x [, ] aralığında x = g (x) şekline getiriniz y 0 5 0 05 00 3 4 5 6 7 8 9 0 x Figure 35 e x x fonksiyonu Çözüm f (x) = e x x =0,x [, ] x = ex = g (x) g () = e =08594 / [, ] olduğundan bu şekilde dönüştüremeyiz y 3 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Figure 36 g (x) = ex ve y = x fonksiyonları x e x = x + x =ln(x +)=g (x) g () = ln ( +)= 0986 [, ], g () = ln ( +)= 6094 [, ] olduğundan bu formu kullanmalıyız

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)5 y 0 9 8 7 6 5 4 3 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Figure 37 g (x) =ln(x +)vey = x fonksiyonları x Tanım 36 g (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli,sınırlı ve g (x) [a, b] olsun x n+ = g (x n ),n=0,,, 3, (3) ile verilen yineleme formülüne sabit nokta veya basit iterasyon (fixed point iteration or simple iteration)denir x n,n 0 sayılarına iterasyon n = 0 durumunda x 0 sayısına başlangıç iterasyonu denir Eğer (3) ile tanımlanan {x n } dizisi x noktasına yakınsak ise x sayısı g (x) fonksiyonunun sabit noktasıdır: Gerçekten x = g ( x) lim n x n = x ise ( ) x = lim x n+ = lim g (x n)=g lim x n = g ( x) n n n Yöntemi aşağıdaki şekilde verebiliriz: Algoritma 37 Adım : Adım : x 0 başlangıç iterasyonunuveε>0 hata payını verin ve n =0alın x n+ = g (x n ) formülü ile bir sonraki iterasyonu elde ediniz Adım 3: x n+ x n >εise n yi arttırın (n = n +) ve adıma gidiniz Adım 4: Bulunan x n+ sayısını x = g (x) denkleminin çözümü olarakbelirtiniz Problem (3) ile tanımlanan {x n } dizisi ne zaman yakınsaktır? Teorem 38 g (x) ve g (x) fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli ve x (a, b) sabit noktayı göstersin (i) Eğer x [a, b] için g (x) K< koşulu sağlanıyorsa x 0 (a, b) için (3) ile tanımlanan {x n } dizisi x sabit noktasına yakınsar (ii) Eğer x [a, b] için g (x) > koşulu sağlanıyorsa (3) ile tanımlanan {x n } dizisi x sabit noktasına yakınsamaz x noktasına ıraksak sabit nokta (repulsive fixed point) denir ve iterasyon da lokal olarak ıraksaklık gösterir

6 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) (a) (b) (c) (d) Figure 38 (a) 0 <g (x) < oldugu durum - monoton yakınsaklık (b) <g (x) < 0 oldugu durum - salınımlı yakınsaklık (c) g (x) > oldugu durum - monoton ıraksaklık (d) g (x) > oldugu durum - salınımlı ıraksaklık Proof (i) Öncelikle (3) ile tanımlanan {x n} dizisinin [a, b] aralığında olduğunu gösterelim: Ara değer teoremini kullanarak aşağıdaki sonucu elde ederiz: x x = g ( x) g (x 0 ) = g (c 0 )( x x 0 ) = g (c 0 ) x x 0 K x x 0 < x x 0 <δ x (a, b) Şimdi tümevarım yöntemi ile x n (a, b) olsun x n+ (a, b) olduğunu gösterelim: x x n+ = g ( x) g (x n ) = g (c n )( x x n ) = g (c n ) x x n K x x n < x x n <δ x n+ (a, b) Şimdi ise x x n+ K n x x 0 olduğunu gösterelim Yukarıda x x K x x 0 olduğunu göstermiştik Tümevarım yönteminden faydalanarak x x n K n x x 0 olduğunu kabul edelim Buna göre x x n+ g ( x) g (x n ) = g (c n )( x x n ) = g (c n ) x x n K x x n KK n x x 0 = K n x x 0 Buna göre x x n+ K n x x 0 olduğunu göstermiş oluruz Burada limit aldığımızda, 0 <K< olduğundan: lim n x x n+ lim n Kn x x 0 =0

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)7 Sonuç 39 g (x) ve g (x) fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli ve x (a, b) sabit noktayı göstersin Eğer x [a, b] için g (x) K< koşulu sağlanıyorsa x 0 (a, b) için (3) ile tanımlanan iterasyonun yakınsaklık derecesi dir Ve dahası x x n K n x x 0, n x x n Kn x x 0 K hata değerlendirmeleri geçerlidir Proof Teorem 38 in ispatında görüldüğü üzere x x n+ K x x n elde ederiz Buna göre tanım 3 den yakınsaklık derecesini olarak elde ederiz Ve yine Teorem 38 den x x n K n x x 0, n değerlendirmesini elde ederiz x x n = g ( x) g (x n ) = g (c n )( x x n ) K x x n = K x x n + x n x n K x x n + K x n + x n x x n K K x n + x n x x = g (x ) g (x 0 ) = g (c 0 )(x x 0 ) K x x 0 x 3 x = g (x ) g (x ) = g (c )(x x ) K x x K x x 0 x n x n = g (x n ) g (x n ) = g (c n )(x n x n ) K x n x n K n x x 0 ifadesini yerine yazdığımızda sonucu elde ederiz Örnek 30 x 3 3x 0 = 0, x [, 4] fonksiyonun çözümünü sabit nokta iterasyonu ile bulunuz Başlangıç iterasyonux 0 =5, hata payı ε =0 4 ve virgülden sonra 4 basamak alınız Çözüm x 3 3x 0 = 0 x = x3 0 ifadesini alamayız çünkü x =için x3 0 = 3 0 = 6 3333 / [, 4] 3 3 3 x 3 3x 0 = 0 x 3 =3x +0 x = 3 3x +0 x =için 3 3 +0= 8439 [, 4] x = 4 için 3 3 4+0=3 748 [, 4] x = 3 3x +0=g (x) g (x) = 3= 3 =0357 < 3 3 (3x + 0) 3 (3x + 0) 0 y 4 3 0 4 6 8 0 4 6 8 30 3 34 36 38 40 Figure 39 x = 3 3x +0grafiği x

8 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table Cozum İterasyon x g(x) Eps hata Devam/Dur-Karar Çözüm y=x 0,5000,9044 0,000,5,9044 3,06 0,000,4044 Devam 0,7 3,06 3,0789 0,000 0,578 Devam 0,9 3 3,0789 3,0807 0,000 0,067 Devam 0, 4 3,0807 3,0808 0,000 0,008 Devam 0,3 5 3,0808 3,0809 0,000 E-04 Dur çözüm=3,0808,5 Örnek 3 x = e05x, x [0, ] fonksiyonun çözümünü sabit nokta iterasyonu ile bulunuz Başlangıç iterasyonu x 0 =0,ve3 iterasyona kadar hesaplayıp virgülden sonra 4 basamak alınız Çözüm x = g (x) = e05x g (0) = 05,g() = 084 36 g (x) = 4 e05x 08436 = 00609 4 olduğundan sabit nokta iterasyonunu kullanabiliriz y 0 09 08 07 06 05 04 03 0 0 00 00 0 0 03 04 05 06 07 08 09 0 Figure 30 x = e05x grafiği x Table Cozum İterasyon x g(x) Eps Devam/Dur Devam/Dur-Karar Çözüm y=x 0 0,0000 0,5000 0,000 0,5 0,5000 0,640 0,000 0,5 Devam 0 0,5 0,640 0,6893 0,000 0,4 Devam 0 0,54 3 0,6893 0,7057 0,000 0,0473 Devam 0 0,56

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)9 3 İkiye Bölme Yöntemi (Bisection Method) f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde r [a, b] çözümünü bulmak için İkiye Bölme Yöntemi için aşağıdaki algoritmayı uygularız: Figure 3 İkiye Bölme Yöntemi Algoritma 3 Adım : ε>0 hata payını verin ve n =0alınız ve başlangıç aralığı a 0 = a, b 0 = b seçerek [a 0,b 0 ] şeklinde belirleyiniz Adım : r n = a n + b n şeklinde aralığın orta noktasını alınız Adım 3: Eğer f (r n )=0ise r = r n şeklinde çözümü eldeederiz Adım 4: Eğer f (a n ) f (r n ) < 0 ise a n+ = a n,b n+ = r n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[a n,r n ] şeklinde belirleyiniz Adım 5: Eğer f (r n ) f (b n ) < 0 ise a n+ = r n,b n+ = b n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[r n,b n ] şeklinde belirleyiniz Adım 6: Eğer a n b n >εise n yi arttırın (n = n +) ve adıma gidiniz aksi durumda işleme son ver Problem Algoritma 3 ile verilen ikiye bölme yönteminin yakınsaklığı nedir? durur? İterasyon ne zaman Teorem 33 (İkiye bölme teoremi-bisection theorem) f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) = 0 koşulunu sağlayan r [a, b] olsun Eğer f (a) f (b) 0 koşulunu sağlanıyorsa Algoritma 3 de tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır ve r r n b a,n=0,,, n+ eşitsizliği sağlanır ε>0 hata payını göstermek üzere maksimum iterasyon sayısı (n max )aşağıdaki şekilde verilir: ln (b a) ln (ε) n max = ln () Proof r ve r n [a, b] aralığında olduğundan aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz r r n b n a n

0 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) ( a) Eğer a = a 0,b = r 0 = a0+b0 ise b a = b0 a0 ( b) Eğer a = r 0 = a0+b0,b = b 0 ise b a = b0 a0 ( a) Eğer a = a,b = r = a+b ise b a = b a = b0 a0 ( b) Eğer a = r = a+b,b = b ise b a = b a = b0 a0 Tümervarım yöntemi ile b n a n = b0 a0 olduğunu kabul edelim n (n a) Eğer a n = a n,b n = r n = an +bn ise b n a n = bn an = b0 a0 n (n b) Eğer a n = r n = an +bn,b n = b n ise b n a n = bn an = b0 a0 n Böylece r r n b n a n = b 0 a 0 n+ sonucunu elde ederiz b 0 a 0 n+ = b a n+ ε b a ε n n ln ( ) b a ε n max = ln () ln (b a) ln (ε) ln () Not İkiye bölme yöntemi, en yavaş yakınsaklığa sahip bir yöntem olmasına rağmen hatalı sonuçlanmayan bir yöntemdir Örnek 34 x 3 +4x 0 = 0, x [, ] denkleminin çözümünü ikiye bölme yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 6 ve virgülden sonra 6 basamak alınız y 4 0 8 6 4 0-3 4 5 6 7 8 9 0 x -4 Figure 3 x 3 +4x 0 fonksiyonu Çözüm

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table 3 x 3 +4x 0 = 0, x [, ] denkleminin çözümünü ikiyebölme yöntemi ile bulunması İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0mı? r=(a+b)/ f(r) eps devam Kök 0,000000-5,000000,000000 4,000000 KökVar,5,375 0,00000 Devam,000000-5,000000,500000,375000 KökVar,5 -,79688 0,00000 Devam,50000 -,796875,500000,375000 KökVar,375 0,609 0,00000 Devam 3,50000 -,796875,375000 0,609 KökVar,35-0,84839 0,00000 Devam 4,3500-0,848389,375000 0,609 KökVar,34375-0,35098 0,00000 Devam 5,343750-0,350983,375000 0,609 KökVar,359375-0,0964 0,00000 Devam 6,359375-0,096409,375000 0,609 KökVar,36788 0,03364 0,00000 Devam 7,359375-0,096409,36788 0,03364 KökVar,3638-0,034 0,00000 Devam 8,3638-0,0338,36788 0,03364 KökVar,36535 0,00008 0,00000 Devam 9,3638-0,0338,36535 0,00008 KökVar,36459-0,0603 0,00000 Devam 0,36459-0,0607,36535 0,00008 KökVar,364747-0,00797 0,00000 Devam,364747-0,007974,36535 0,00008 KökVar,36499-0,00395 0,00000 Devam,36499-0,003946,36535 0,00008 KökVar,3653-0,0093 0,00000 Devam 3,3653-0,0093,36535 0,00008 KökVar,36574-0,00093 0,00000 Devam 4,36574-0,00095,36535 0,00008 KökVar,36505-0,0004 0,00000 Devam 5,36505-0,00043,36535 0,00008 KökVar,365-0,0007 0,00000 Devam 6,3650-0,00065,36535 0,00008 KökVar,3658-3,3E-05 0,00000 Devam 7,3658-0,000033,36535 0,00008 KökVar,3653 0,000033 0,00000 Devam 8,3658-0,000033,3653 0,000033 KökVar,3653 0 0,00000 Devam 9,36530 0,000000,36530 0,000000 KökYok,3653 0 0,00000 Dur Çözüm=,3653 Örnek 35 x =tanx, x [4, 45] denkleminin çözümünü ikiye bölme yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 3 ve virgülden sonra 3 basamak alınız y 8 6 4 0 8 6 4 0 08 06 04 0 00 4 4 43 44 45 x Figure 33 x =tanx, x [4, 45] denklemi Çözüm

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table 4 x = tanx, x [4, 45] denkleminin çözümünü ikiye bölme yöntemi ile bulunması İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0 mı? r=(a+b)/ f(r) eps devam Kök 0 4,000,84 4,500-0,37 Kök Var 4,50,44 0,00 Devam 4,50,44 4,500-0,37 Kök Var 4,375,54 0,00 Devam 4,375,54 4,500-0,37 Kök Var 4,438 0,885 0,00 Devam 3 4,438 0,885 4,500-0,37 Kök Var 4,469 0,44 0,00 Devam 4 4,469 0,44 4,500-0,37 Kök Var 4,485 0,63 0,00 Devam 5 4,485 0,63 4,500-0,37 Kök Var 4,493 0,008 0,00 Devam 6 4,493 0,008 4,500-0,37 Kök Var 4,497-0,074 0,00 Devam 7 4,493 0,008 4,497-0,074 Kök Var 4,495-0,03 0,00 Devam 8 4,493 0,008 4,495-0,03 Kök Var 4,494-0,0 0,00 Devam 9 4,493 0,008 4,494-0,0 Kök Var 4,494-0,0 0,00 Dur Çözüm =4,494 33 Regula Falsi Yöntemi (Regula Falsi Method) İkiye bölme yönteminin yakınsaklık hızı oldukça yavaş olduğundan bu yöntem geliştirilmiştir f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde r [a, b] çözümünü bulmak için Regula Falsi Yöntemi için öncelikle (a, f (a)) noktası ile (b, f (b)) noktalarını birleştiren doğru praçasının x eksenini kestiği noktanın eğim yardımıyla bulunması hedef alınmıştır: f (b) f (a) m = b a ve bunun için aşağıdaki algoritmayı uygularız: = 0 f (b) c b c = f (b) a f (a) b f (b) f (a) Figure 34 Regula Falsi Yöntemi Algoritma 36 Adım : ε>0 hata payını verin ve n =0alınız ve başlangıç aralığı a 0 = a, b 0 = b seçerek [a 0,b 0 ] şeklinde belirleyiniz Adım : r n = f (b n) a n f (a n ) b n f (b n ) f (a n ) şeklinde noktayı bulunuz Adım 3: Eğer f (r n )=0ise r = r n şeklinde çözümü eldeederiz

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)3 Adım 4: Eğer f (a n ) f (r n ) < 0 ise a n+ = a n,b n+ = r n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[a n,r n ] şeklinde belirleyiniz Adım 5: Eğer f (r n ) f (b n ) < 0 ise a n+ = r n,b n+ = b n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[r n,b n ] şeklinde belirleyiniz Adım 6: Eğer a n b n >εise n yi arttırın (n = n +) ve adıma gidiniz aksi durumda işleme son ver Problem Algoritma 36 ile verilen Regula Falsi yönteminin yakınsaklığı nedir? Teorem 37 f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında mertebeye kadar türevi var ve sürekli bir fonksiyon olmak üzere eğer f (a) < 0 <f(b) ve f (x) 0(f (x) 0) koşulunu sağlanıyorsa Algoritma 36 de tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır Proof f (x) 0,x [a, b] =[a 0,b 0 ]koşulu ile f fonksiyonunun konveksliği sonucunu elde ederiz Böylece p 0 (x) =c 0 x + d 0 şeklinde bir doğru için f (x) p 0 (x) koşulu sağlanır p 0 (r 0 ) = 0 olduğundan yukarıdaki eşitsizliklten f (r 0 ) 0 Bu durumda yeni aralığımız [a,b ]=[r 0,b 0 ] Eğer f (r 0 )=0iseyöntem yakınsaktır aksi durumda yine f (x) 0,x [a,b ]=[r 0,b 0 ] [a 0,b 0 ]koşulu ile p (x) =c x + d şeklinde bir doğru için f (x) p (x) ifadesi geçerlidir p (r ) = 0 olduğundan yukarıdaki eşitsizliklten f (r ) 0 Bu durumda yeni aralığımız [a,b ]=[r,b ] Ve bu yöntemi bu şekilde devam ettirdiğimizde r k a k = r k olucak şekilde monoton artan bir dizi elde ederiz Diğer yandan sağ sınır hiçbir zaman değişmemektedir: b k = b k = = b 0 ve b k r k a k = r k sağlandığından monoton artan {r n } n=0 dizisi üstten sınırlı olduğundan yakınsaktır Buna göre r n = f (b n) a n f (a n ) b n f (b n ) f (a n ) lim r f (b n ) r n f (r n ) b n n = lim r = f (b 0) r f (r) b 0 n n f (b n ) f (r n ) f (b 0 ) f (r) (r b 0 ) f (r) =0 f (r) =0,r b 0 Not f (x) 0 olduğu durumda yakınsaklık iyi tanımlı olmayıp çözümün bulunması zorlaşır Aşağıdaki şekilde ikiye bölme yöntemi ile regula falsi yönteminin yakınsaklıklarını gösterebiliriz Buna göre genel anlamda regula falsi yönteminin yakınsaklığı daha iyidir denilebilir

4 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Figure 35 İkiye Bölme ve Regula Falsi Yöntemlerinin yakınsaklıklarının karşılaştırılması Tabiikiherfonksiyoniçin bu genellemeyi yapmak yanlıştır Bu sorunun cevabını evet olarak vermek her zaman doğru olmayabilir Örneğin eğer başlangıç aralığını hileli olarak oldukça yakın değerlerde belirlersek ikiye bölme yönteminin yakınsaklığının daha iyi olduğunu belirtebiliriz Aşağıdaki şekilde verilen f (x) = sign (arctan (x)) 0 arctan(x) π + 9 0 fonksiyonu buna bir örnektir: Figure 36 İkiye bölme yönteminin Regula Falsi yönteminden daha iyi yakınsadığı durum Örnek 38 x x =0, x [0, ] denkleminin çözümünü regulafalsiyöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 5 ve virgülden sonra 5 basamak alınız

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)5 y -5-4 -3 - - 3 4 5 x -0-0 -30 Çözüm Figure 37 f (x) =x x fonksiyonu Table 5 x x =0,x [0, ] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0 mı? r=(f(b)a-f(a)b)/(f(b)-f(a))f(r) eps devam Kök 0 0,00000 -,00000,00000 0,50000 Kök Var 0,66667 0,0367 0,0000 Devam 0,00000 -,00000 0,66667 0,0367 Kök Var 0,64306 0,007 0,0000 Devam 0,00000 -,00000 0,64306 0,007 Kök Var 0,643 0,0009 0,0000 Devam 3 0,00000 -,00000 0,643 0,0009 Kök Var 0,640 0,0000 0,0000 Devam 4 0,00000 -,00000 0,640 0,0000 Kök Var 0,649 0,0000 0,0000 Devam 5 0,00000 -,00000 0,649 0,0000 Kök Var 0,648-0,0000 0,0000 Dur Çözüm =0,648 Örnek 39 +cos(e x ) e x =0, x [05, 5] denkleminin çözümünü regulafalsiyöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 3 ve virgülden sonra 3 basamak alınız(cos fonksiyonu için radyan alınız) y 0-0 04 06 08 0 4 6 8 0 x - -3-4 Figure 38 +cos(e x ) e x = 0, x [0, ] Çözüm Table 6 +cos(e x ) e x =0,x [05, 5] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0 mı? r=(f(b)a-f(a)b)/(f(b)-f(a))f(r) eps devam Kök 0 0,500,90,500-3,7 Kök Var 0,783 0,794 0,00 Devam 0,783 0,794,500-3,7 Kök Var 0,93 0,353 0,00 Devam 0,93 0,353,500-3,7 Kök Var 0,979 0,7 0,00 Devam 3 0,979 0,7,500-3,7 Kök Var 0,998 0,044 0,00 Devam 4 0,998 0,044,500-3,7 Kök Var,005 0,0 0,00 Devam 5,005 0,0,500-3,7 Kök Var,007 0,003 0,00 Dur Çözüm =,007

6 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) 34 Newton Raphson Yöntemi (Newton Raphson Method) Eğer f (x),f (x),f (x) fonksiyonları x = r çözümü civarında sürekli fonksiyon ise Newton-Raphson yöntemini kullanabiliriz Newton-Raphson Yöntemi için öncelikle r 0 gibi bir başlangıç noktası verilirşekile göre r 0 noktasından geçen eğimi aşağıdaki şekilde verebiliriz: m = f (r ) f (r 0 ) = f (r 0 ) f (r )=0 0 f (r 0) = f (r 0 ) r = r 0 f (r 0) r r 0 r r 0 f (r 0 ) Figure 39 Newton Raphson Yöntemi ve bunun için aşağıdaki algoritmayı uygularız: Algoritma 30 Adım : ε>0 hata payını verin ve n =0alınız ve başlangıç aralığı r 0 başlangıç noktasını belirleyiniz Eğer f (r 0 )=0ise başka bir r 0 noktası seçiniz Adım : r n+ = r n f (r n) f,n=0,,, (r n ) şeklinde noktayı bulunuz Adım 3: Eğer r n+ r n >εise n yi arttırın (n = n+) ve adıma gidiniz aksi durumda f (r n )=0 ise işleme son veriniz değil ise r r n olarak çözümü eldeediniz Teorem 3 f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında mertebeye kadar türevi var ve sürekli bir fonksiyon olmak üzere eğer f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde çözüm mevcut ise ve f (r) 0koşulunu sağlanıyorsa r 0 [r δ, r + δ] olucak şekilde δ >0 için Algoritma 30 de tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır Uyarı 3 g (x) =x f (x) f (x) ile tanımlanan fonksiyona Newton-Raphson iterasyon fonksiyonu denir Isaac Newton, 4 ocak 643 yılında Woolsthorpe-Ingiltere doğumlu 3 mart 77, Londra-Ingiltere de öldü 7 yaşında CambridgedeLucasianbaşkanlığını yaptı

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)7 Proof Şekilde neden r 0 başlangıç iterasyonunuçözüme oldukça yakın seçmeliyiz veya neden mertebeye kadar türevlenebilir ve türevi sürekli bir fonksiyon seçiyoruz sorularının çok net bir cevabını alamıyoruz ancak ispatta neden bu varsayımlarda bulunuyoruz açıklmaya çalışacağız f (x) fonksiyonunun x = r 0 noktasındaki Taylor seri açılımını verirsek f (x) =f (r 0 )+f (r 0 )(x r 0 )+f (c) (x r 0),! c, r 0 ile x arasında bir değer x = r değerini yazdığımızda 0=f (r) =f (r 0 )+f (r 0 )(r r 0 )+f (c) (r r 0) bu ifade ile eğer r 0 başlangıç noktasır noktasına oldukça yakın olduğunda (r r0)! terimi yeterince küçük bir değer alıcaktır Böylece 0 f (r 0 )+f (r 0 )(r r 0 ) r r 0 f (r 0) f (r 0 ) olarak elde ederiz Buna göre yukarıdaki yaklaşımı sonraki noktayı bulmak için kullanabiliriz r r 0 f (r 0) f (r 0 ) ve daha sonra r 0 noktasının sırasıyla r k ile değiştirdiğimizde Newton-Raphson iterasyonunu kurmuş oluruz Yakınsaklığı değerlendirmek için sabit nokta iterasyonundaki koşulun sağlanması gerekmektedir: g (x) =x f (x) f (x) g (x) = (f (x)) f (x) f (x) (f (x)) = f (x) f (x) (f (x)) Eğer f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde bir çözüm var ise yukarıdaki tanımlamadan g (r) =0dırveg sürekli fonksiyon olduğundan g (x) <,x [r δ, r + δ] koşulunu sağlayacak şekilde δ >0 bulmak mümkündür Böylece koşulu sağlanır f (x) f (x) (f (x)) <,x [r δ, r + δ] Örnek 33 exp (x) 5sin ( ) πx =0, denkleminin çözümünü r0 =05 başlangıç noktası ve Newton- Raphson yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 5 ve virgülden sonra 5 basamak alınız(cos fonksiyonu için radyan alınız)! y 0 0 0 03 04 05 06 07 08 09 0 x - - Figure 30 exp (x) 5sin ( ) πx Çözüm f (x) =exp(x) 5sin ( ) πx f (x) =e x 5 π cos ( πx)

8 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table 7 exp (x) 5sin ( ) πx = 0, denkleminin çözümünü r0 =05 başlangıç noktasıve Newton-Raphson yöntemi ile bulunması İterasyon r f(r) f'(r) eps devam Kök 0 0,50000 -,8868-3,90488 0,0000 0,068 0,88494-6,8349 0,0000 Devam 0,4630 0,0859-6,48996 0,0000 Devam 3 0,496 0,00005-6,47853 0,0000 Devam 4 0,497-0,0000-6,47849 0,0000 Devam 5 0,497-0,0000-6,47849 0,0000 Dur Çözüm =0,497 Örnek 34 x sin (x) =0denkleminin çözümünü r 0 = başlangıç noktası ve Newton-Raphson yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 6 ve virgülden sonra 5 basamak alınız(sin fonksiyonu için radyan alınız) y 4 0 8 6 4 0 8 6 4-5 -4-3 - - 3 4 5 Figure 3 f (x) =x sin (x) fonksiyonu Çözüm f (x) =x sin (x) f (x) =x cos x x Table 8 x sin (x) = 0 denkleminin çözümünü r 0 = başlangıç noktası ve Newton- Raphson yöntemi ile bulunması İterasyon r f(r) f'(r) eps devam Kök 0,00000-0,8447,45970 0,00000,57647 0,4857 3,586 0,00000 Devam,484 0,03539,6985 0,00000 Devam 3,4097 0,0006,65906 0,00000 Devam 4,4096 0,00000,65877 0,00000 Dur Çözüm =,40967740 Problem Algoritma 30 ile verilen Newton-Raphson yönteminin yakınsaklığı nedir? Tanım 35 f (x) fonksiyonu M mertebeye kadar türevlenebilir ve türevleri sürekli bir fonksiyon olmak üzere f (r) =f (r) = = f (M ) (r) =0,f (M) (r) 0

3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)9 koşulu sağlanıyorsa x = r noktasına M dereceden kök denir Eğer M =ise basit kök, M =ise katlı kök de denebilir Lemma 36 Eğer f (x) fonksiyonu x = r noktasında M dereceden köke sahip ise olacak şekilde sürekli h (x) fonksiyonu mevcuttur f (x) =(x r) M h (x),h(r) 0 Örnek 37 f (x) =x 3 3x + fonksiyonunun x = basit köküdür ve x =ise çift katlı köküdür f ( ) = 0 f (x) = 3x 3 f ( ) 0 f () = 0 f () = 0 f (x) = 6x f () 0 f (x) = (x ) (x +) Teorem 38 Algoritma 30 ile verilen Newton-Raphson yönteminde tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır Eğer x = r basit kök ise yakınsaklık derecesi dir ve r r n+ f (r) f (r) r r n eğer x = rmmertebeden bir kök ise yakınsaklık derecesi dir ve r r n+ M M r r n Proof 0 f (r n )+f (r n )(r r n )+f (c) (r r n) ifadelerini taraf tarafa çıkardığımızda elde ederiz ki buradan sonucunu çıkartırız 0 f (r n )+f (r n )(r n+ r n ) 0 f (r n )(r r n+ )+f (c) (r r n) r r n+ f (r) f (r) r r n Uyarı 39 (Newton-Raphson yönteminin yakınsaklığının arttırılması) Eğer x = r fonksiyonun M mertebeden bir kökü ise yukarıdaki teoremden yakınsaklık mertebesinin olduğunu belirtmiştik Eğer yakınsaklık mertebesini arttırmak istiyorsak r n+ = r n M f (r n) f,n=0,,, (r n ) iterasyonunu kullanabiliriz Örnek 330 değerini Newton Raphson yöntemi ile ve r 0 =,ε =0 4 seçerek 4 basamak kesinliğe göre hesaplayınız!!

30 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Çözüm f (x) =x =0 f (x) =x Table 9 değerini Newton Raphson yöntemi ile ve r 0 =,ε =0 4 seçerek 4 basamak kesinliğe göre hesaplanması İterasyon r f(r) f'(r) eps devam Kök 0,00000 -,00000,00000 0,000 #DEĞER! #DEĞER!,50000 0,5000 3,00000 0,000 Devam,4667 0,00694,83333 0,000 Devam 3,44 0,0000,8843 0,000 Dur Çözüm =,445686745 4,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =,4435637469 5,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =,44356373 6,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =,44356373 7,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =,44356373 8,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =,44356373 9,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =,44356373 35 Kirişler Yöntemi (Secant Method) Newton Raphson yönteminde herbir iterasyonda f (x) vef (x) fonksiyonlarının değerlerini hesaplamak zorundayız Genel anlmada bu hesaplama açısından daha fazla zahmetli olmakla birlikte elementer işlemleri içermeyen fonksiyonlar için (içinde integral veya toplam bulunduran fonksiyonlar için) değerlerin hatalı hesaplanmasına da yol açabilmektedir Bu anlamda türevi hesaplamadan diğer iterasyonu bulabileceğimiz kirişler yöntemi geliştirilmiştirkirişler yöntemi için öncelikle r 0 ve r gibi bir başlangıç noktaları verilirşekile göre r 0 noktasından geçen eğimi aşağıdaki şekilde verebiliriz: m = f (r ) f (r 0 ) = f (r ) f (r ) = 0 f (r ) r r 0 (f (r )=0) r = r f (r ) r r 0 r r r r f (r ) f (r 0 ) Figure 3 Kirişler Yöntemi