Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ
Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı noktaları düzlem üzerine ya da düzleme açılabilen yüzeylere belirli matematiksel bağıntılara göre aktarmaktır. Yeryüzü için referans yüzeyi olarak haritanın amacına ve ölçeğine göre küre ya da dönel elipsoit kullanılır. Her iki yaklaşımda da orijinal yüzey, düzlem yüzeye değişime uğramadan açılabilir değildir.
Bu nedenle orijinal yüzey üzerindeki noktalar deformasyonsuz olarak harita düzlemine izdüşürülemez. Ancak orijinal yüzeydeki bazı büyüklüklerin (uzunluk, alan ve doğrultu) korunarak düzleme aktarılması mümkündür. Öte yandan projeksiyonu yapılan yüzeyin değişik elemanlarının deformasyonlarının bilinmesi, haritadan alınan büyüklüklerin orijinal değerlerinden farklılığının bilinmesi bakımından önemlidir.
Yeryüzünün şekli Küre? Pisagor felsefi olarak (MÖ 6.YY), Aristo gözlemlere dayanarak (MÖ 4.YY) yerin küresel olduğu sonucuna varmışlardır. Eratoshenes yerin çevrei ilk kez hesaplamıştır (MÖ 50) Elipsoit? Newton (643-77) yerin dönmeden kaynaklanan merkezkaç kuvvetinin kutuplarda basıklığa Ekvatorda şişkinliğe yol açması gerektiğini öne sürmüştür. Fransız Bilimler Akademisi Ekvator ve kuzey kutbu civarında meridyen ölçmeleri yaparak Newton un haklı olduğunu belirlemiştir. Küre? Elipsoit? Yeryüzü, : Milyon ve daha küçük ölçeklerde küre, daha büyük ölçeklerde dönel elipsoit kabul edilir.
Datum? Kullanılan referans elipsoitinin uzaydaki konumu datum olarak tanımlanır. Aynı elipsoit, farklı ülkelerde farklı datumlarda kullanılabilir. ED50, Avrupa için yerel olarak tanımlanmış International 94 elipsoitini ifade eder.
Yerel Datum? Global Datum Bir referans elipsoiti yeryüzünde bir noktada geoid yüzeyine çakışık alınırsa, yerel datum tanımlanmış olur. Örnek: ED50 Yeryüzünün tamamına en iyi uymak üzere tanımlanmış; ancak herhangi bir noktada geoid ile çakışık olmayan datum ise global datumdur. Örnek: WGS84, GRS80
Çekül Doğrultusu Elipsoit Normali y zü Fiziksel Yer ü Jeoit Referans Yüzeyi (Elipsoit/Küre)
Jeoit? Durgun deniz yüzeyinin karaların altında da devam ettiği varsayılarak oluşturulan kapalı yüzey. Yeryüzünde her noktada çekül doğrultusuna dik sonsuz sayıda nivo yüzeyi vardır ki bunlardan deniz seviyesi ile çakışık olanı geoit olarak adlandırılır. Gauss: Geometrik anlamda yeryüzünün şekli olarak adlandırdığımız yüzey her noktasında çekül doğrultularını dik açılarla kesen ve kısmen okyanus yüzeyi ile çakışık olan yüzeyden başka bir şey değildir. Gauss un tanımladığı bu yüzeye Listing tarafından Jeoit adı verilmiştir.
Coğrafi Koordinatlar (Küre) Yerin Dönme Ekseni Kuzey Kutbu Paralel Daire B l aş angıç Meridiyeni M P Meridyen Ekvator GüneyKutbu :Enlem :Boylam δ: Kutup uzaklığı
Kartezyen Koordinatlar (Küre) R Z R Y R X + arctan Y X Z X Y arctan R X h Ekvator Z X Y Baþlangýç Meridiyeni P Xp Yp Zp
Küresel Geometri Büyük Daire: Küre yüzeyinde merkezleri küre merkezi ile çakışık daireler Küre yüzeyinde iki nokta arasındaki en kısa yol Üzerindeki her noktada eğrinin asal normali ve yüzey normali çakışık Kenarları büyük daire yayları olan küre yüzeyinde tanımlı üçgenlere küresel üçgen denir. Küresel üçgenlerin iç açıları toplamı 80 +ε kadardır. Bu fark küresel ekses olarak adlandırılır.
Küresel Üçgen c b. Küresel Üçgenin kenarları bu yayları merkezden gören açılar olarak tanımlanır.. Metrik uzunluklar için açıdan küre yarıçapı kullanılarak yay uzunluğuna geçilmelidir. β a γ
Küresel Üçgen a b c β γ γ β b a b a c c a c a b b c b c a + + + c b a β β γ γ γ β γ β γ β + + + γ β c b a Kenar koüs teoremi Açı koüs teoremi Sinüs teoremi
Kürede Temel Ödevler ( ) ( ) ( ) tan tan,,,,, π δ δ δ δ + +.Temel.Temel Ödev dev
Kürede Temel Ödevler ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan,,,,, π δ δ + + δ P P K.Temel.Temel Ödev dev
Elipsoit Ekvator B l Yerin Dönme Ekseni aþ angýç Meridiyeni M Kuzey Kutbu b a h P' P Paralel Daire Meridyen GüneyKutbu :Enlem Jeodezik Enlem :Boylam h: Yükseklik
a b a e Elipsoit Geometrisi Basıklık Birinci Eksantrisite İkinci Eksantrisite Kutup eğrilik yarıçapı Meridyen yönünde eğrilik yarıçapı M, meridyene dik yönde eğrilik yarıçapı N b b a e a b a f b a c
X Kartezyen Koordinatlar (Elipsoit) Baþlangýç Meridiyeni Z Yp P Zp Xp Ekvator X Y Z Y N ( N + h) ( N + h) ( e ) N + h) a e Z arctan arctan h Y X + e X X N + Y N
Harita Yapımında Referans Yüzeyi Bilindiği gibi yeryüzü için referans yüzeyi olarak küre ya da dönel elipsoit kullanılır. Eğer arazi ölçmelerinden temel harita olarak üretim yapılacaksa ya da harita ölçeği :000000 dan büyük ise referans elipsoidi kullanılır. Daha küçük ölçeklerde yeryüzünün küre olarak kabul edilmeden kaynaklanan hatalar, projeksiyon deformasyonlarından ve çizim hatalarından küçük olduğundan yeryüzünün küre olarak kabul edilmede kelikle bir sakınca yoktur.
Projeksiyonların Ayrımı Projeksiyon yüzeyinin türüne göre Azimutal Silindirik Konik Projeksiyon yüzeyinin konumuna göre Normal Transversal Eğik
Projeksiyonların Ayrımı Projeksiyon yüzeyinin geometrik anlamına göre Gerçek anlamlı projeksiyonlar Gerçek anlamda olmayan projeksiyonlar Deformasyonlara göre Alan koruyan Açı koruyan (konform) Uzunluk koruyan (meridyen uzunluğu)
Gerçek Anlamda Projeksiyon Yüzeyleri
Konik Projeksiyonlar
x m P y m, : kutupsal koordinatlar x,y : dik koordinatlar
Azimutal Projeksiyon
x m P y m, : kutupsal koordinatlar x,y : dik koordinatlar
Silindirik Projeksiyonlar
x y
Projeksiyon Yüzeyinin Konumu K D S S K S E S K K E D Normal Transversal K D : Düzlem yüzey S D K S : Koni yüzeyi : Silindir yüzeyi Eğik S E K E : Yerin dönme ekseni
Projeksiyon Eşitlikleri ve Deformasyonlar Gerçek anlamlı projeksiyonlarda ( ), f ( ), x f ( ) y ( ) m f, f Gerçek anlamda olmayan projeksiyonlarda m ( ), f (, ), x f (, ), y ( ) f,, 3 f4
Herhangi bir yönde uzunluk deformasyonu r s s h: Meridyen yönünde uzunluk deformasyonu katsayısı (Kuzey Güney doğrultusu) ( h r) k: Paralel daireler yönünde uzunluk deformasyonu katsayısı (Doğu Batı doğrultusu) ( k r) a : Maksimum uzunluk deformasyonu katsayısı b : Minimum uzunluk deformasyonu katsayısı ( a r ) max ( b r ) min
x y y P x x t t P O y b a Deformasyon Elipsi (Tissot Endikatrisi)
Doğrultu deformasyonu a b a + b ( t t) ( t + t) Maksimum doğrultu deformasyonu π ( t + t) ( t + t) a b ( t t) max ω a + b Açı deformasyonu w ω Açı koruma (konform olma) şartı a b
Alan deformasyonu Φ F F F yerine deformasyon elipin alanı, F yerine orijinal yüzeydeki birim yarıçaplı dairenin alanı konularak, Φ a. b. π. π Alan koruma şartı a. b Φ a. b Elips denkleminden herhangi bir yönde uzunluk deformasyonu r r OP OP OP a t + b t
Projeksiyon Yüzeyinin Eğik Olması H
Eğik ve transversal konumlarda normal konumdaki meridyen ve paralellerin yerini yatay ve düşey daireler alır. Projeksiyon yüzeyinin küreye teğet olduğu (azimutal projeksiyonlar) ya da projeksiyon yüzeyinin asal ekseninin küreyi deldiği nokta ( asal nokta, H) kutup noktası gibi düşünüldüğünde yatay ve düşey daireler oluşur. Yatay daireler paralellere, düşey daireler ise aynı düşünce şekliyle meridyenlere karşılık gelirler.
K (Kutup Noktası) Küresel Üçgen! Büyük daire yayı N δ N H N N H. Ekvator.
KHN küresel üçgeninden δ N + H N H N N tan N N H δ δ H H ( N tan N N N H ; ) ( H N N δn ) H N Transversal konumda H 0 Alınacağından yukarıdaki eşitlikler basitleşir.
Eğik konumlu projeksiyonların çizimi için aşağıda verilen adımların uygulanması yararlıdır:. Asal nokta (kutup) seçilir. Bu noktanın enlem ve boylam değerleri genellikle tam sayılı değerler olarak alınır.. Çizimi yapılacak tüm noktalar için ve değerleri hesaplanır. 3. Projeksiyon eşitliklerinde, hesaplanan ve değerleri boylam farkı, ve kutup uzaklığı δ (ya da enlem ) değerleri yerine geçerler. δ 4. Kutupsal koordinatlarla çizim yapmak çoğu kez pratik olmadığından, bunların dik koordinatlara dönüşümü yapılır. Bu dönüşümde x y koordinat sisteminin orijini olarak genellikle H noktası, x ekseni olarak ise bu noktadan geçen meridyen alınır. 5. Dik koordinatları hesaplanan noktaların çizimi elle ya da uygun yazılımlar yardımıyla yapılır. δ
Burada (,) sisteminden (,δ) sistemine dönüşüm söz konusudur. Bu dönüşüm ise küre yüzeyinden temel ödev çözümünden başka bir şey değildir!
Ana deformasyon yönleri? Eğik ve transversal konumlu projeksiyonlarda meridyenler ve paraleller yönündeki h ve k deformasyonları artık Tissot Endikatriin eksenleri ile aynı yönde değildir (h a, k b, h b, k a). Burada ana deformasyon yönleri (eğik ve transversal konumlu gerçek anlamda projeksiyonlar için) yatay ve düşey daireler yönündedir.
Ortodrom Küre üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yol, iki noktadan geçen büyük dairenin kısa olan parçasıdır. Bu eğri ortodrom olarak adlandırılır. O halde ortodrom, küre üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yol olarak tanımlanır. Ortodrom boyu küresel trigonometri formülleriyle hesaplanabilir.
Küre üzerinde temel ödev çözümlerindeki kenar (δ ) iki nokta arasında yüzey üzerinde en kısa kenar olduğuna göre kenar aynı zamanda ortodrom eğrisidir.
Loksodrom Loksodrom küre üzerinde tüm meridyenleri sabit açı altında kesen eğridir. Deniz ve hava ulaşımında önemlidir. İki nokta arasında ( ve ) loksodrom eğriin azimutu ve boyu aşağıdaki formüllerle hesaplanır: tan ln tan ( π ) ( ) π + ln tan + 4 4 l R ( )
Bir noktadan geçen ve azimutu bilinen loksodrom eğriin genel ifadesi + tan [ ln tan( π ) ln tan( )] π + + 4 4
Küre Üzerinde Alan Hesabı Küre kapağının alanı F πrh F πr ( ) Kuşak alanı F πr ( ) Küre üzerinde paralel daire ve meridyenlerle sınırlanan bir trapez yüzeyin alanı F o π ( ) o R 360
f 0 f 9 f 8 f 4 f 5 f 3 F F f 6 f 7 Küre üzerinde düzensiz şekillerin alanlarının bulunması
. Bölümün sonu