.9. Smth Katı Blgsayala gelştlmeden önce letm hattı poblemlen çömek çn bçok abak gelştlmşt. Smth katı veya abağı gelştlen en yaygın patk hesaplama yöntemne sahp olup hala letm hatlılaının gafk olaak analnde kullanılmaktadı. Bu kat P. H. Smth (1939) taafından sanal empedans le lgl hesaplamala çn gelştlmş olmasına ağmen blgsaya tabanlı tasaım çn gelştlen yaılımlaa da öncü olaak mkodalga develen çöümlenmesnde yadımcı olmaktadı. Smth katı sanal sayılaı çeen çok çetefll hesaplamaladan kaçınaak empedans ayalama develenn tasalanmasında oldukça kolaylık sağlamaktadı. Smth katı kayıplı ve kayıpsı letm hatlaı çn kullanılabl. B buada kayıpsı letm hatlaındak hesaplamalala lgleneceğ..9.1 Paametk Denklemle Yansıma katsayısı genellkle sanal b büyüklük olup büyüklüğü le θ fa açısından oluşu. jθ e + j (1) Yukaıdak denklemde cosθ ve snθ bleşenlen kullandık. θ 1 1.8 θ 9.6.4 A θ 53. A.5 θ 18 D Kısa deve yük -1 -.8 -.6 -.4 B B.54 -. -. -.4..4.6.8 C θ Açık deve yük 1 -.6 -.8 Bm çembe -1 θ 7 Şekl.: Sanal dülem. A noktası B.5 j..54 e j. A.3 + j.4.5e j53 ve B noktası Smth katı sanal dülemnde bulunu. Şekl. de, A noktası.3 j. 4 le velen A + yansıma katsayısını, (.3.4 ) 1/ A +.5 ve tan 1 (.4 /.3) 53 ve bene θ 1
şeklde B noktası da B.54 ve θ olmak üee B.5 j. le velen yansıma katsayısını temsl ede. Dkkat edlse ve temlenn he ks de negatf sayı olmalaı halnde θ nn - dülemnde üçüncü çeyekte olacağı göülü. Bu yüden, θ açısını hesaplamada θ tan 1 ( / ) bağıntısını kullanıken θ açısının doğu değen elde etmek çn 18 deeceden çıkamak veya toplamak geekl olabl. Buada se 18 deece le topladık. Şekl - dek bm çembe 1 şatına kaşılık gel. İletm hattı çn sadece bm çembedek - dülemnde B 1 şatını sağlayan kısım fksel anlama sahp olduğu çn, bundan sonak çmle bm çemben çndek bölgede kalacak şeklde sınılanacaktı. Smth katındak empedansla nomale değele taafından temsl edlle. Öneğn hattın kaaktestk empedansı nomale edlmş sabt olaak göev yapa. Nomale empedanslaı küçük haflele gösteeceğ. Öneğn Z / Z gb. Bu duumda nomale yük empedansı Z / Z (boyutsu) olaak fade edlmş olu. Blndğ gb yansıma katsayısı, Z Z / Z / Z 1 + 1 1 + 1 () le vel. Bunun tesnden haeket edeek, tes bağıntısı aşağıdak denklemle vel. 1+ 1 1+ 1 + j j (3) Nomale yük empedansı genel olaak sanal b ncelk olup nomale yük denc ( ) ve nomale yük eaktansından (x ) meydana gel: + jx. Nomale yük empedansını Denk.1 ve 3 ü kullanaak + jx (1 + ) + (1 ) j j (4) Yukaıdak denklem çöüleek ve x çn açık fadele ve katsayılaına göe elde edlebl. Bu şlem denklem 4 ün sağ taafının pay ve paydasını paydanın sanal eşlenğ le çapıp sonucu eel ve sanal kısımlaa ayıaak yapılabl. Bu şlemle takp edeek aşağıdak denklemle elde edl. 1 (5) (1 + ) x (6) (1 ) + Yukaıda velen bu denklemle velen ve değele takımı çn yalnıca bu değelee kaşılık gelen ve x değele takımının olacağını fade ede. Ancak, eğe nn değen sabtlesek (öneğn alalım), he b nn aynı değen veecek şeklde ve katsayılaına bçok mümkün değele atanabl. Öneğn (, ) (.33,) değe takımı
veken (, ) (.5,.9) değe takımı da yaklaşık aynı değe ve. Bunun gb sonsu sayıda değe takımı elde edlebl. Geçekte ve değe takımının değe çn bütün kombnasyonlaını - dülemnde çmek stesek şekl.1 dek çembe elde edl. Bu çembe üende, bleşen takımı bulunu. Bene çembele nn dğe değele çnde geçel olup 1 domenndek bütün çembele (, ) (1,) noktasından geçe. Cebsel baı şlemle sonucunda nn velen b değene kaşılık - dülemndek çembe çn paametk denklem Denk.5 teka düenleneek elde edl. 1 + 1 + 1+ (7) Meke ( x, y ) noktasında a yaıçaplı b çemben x-y dülemndek denklem, ( ) x x ( y y ) a + (8) le vel. Denklem 7 le 8 kaşılaştııldığında çembe x /(1 + ) ve y noktasında mekelenmş olup a 1/(1 + ) yaıçapına sahpt. Şekl -1 dek en büyük çembe değene kaşılık gelp 1 değene kaşılık gelen bm çembed. Dkkat edlse, x nn büyüklüğüne bakılmaksıın olduğu aman 1 sonucunun elde edleceğ beklen. x.5 1. x 1 x.5.5 1 P sc x -1. -.5 O.5 P oc 1. x -.5 x -1 x - Şekl -1: 1 B -1. domen çndek ve x çembe ales. Bene duum velen b x değe çn Denklem 6 dak fadenn ele alınmasıyla velen çembe çn aşağıdak denklem elde edl. ( 1) 1 1 + x x (9) 3
Buada dkkat etmem geeken b husus şudu: Yukaıdak denklemde - dülemndek x çembele çembelenden faklı b kaakte göste. Öneğn x le velen nomale edlmş eaktans hem potf hem de negatf değele alablken öte yandan nomale edlmş denç negatf olama (negatf denç fksel olaak anlamlı değld). Böylece Denklem 9 b x nn potf değelene dğe de negatf değelene kaşılık gelen k adet çembe ales üetebl. Buna ek olaak Şekl.1 de göüldüğü gb sadece velen çemben b kısmı bm çemben sınılaı çne düşe. Denklem 7 ve 9 da velen k paametk denklemn ve x değele çn çlen çembe alele Şekl - de velen Smth katını meydana get. Şekl - de velen b P noktası,.45exp( j 6.6 ) le velen voltaj yansıma katsayısına kaşılık gelen j1 le velen nomale edlmş b yük empedansını temsl ede..45 le velen büyüklük Smth katının meke le P noktası aasındak doğunun uunluğunun Smth katının meke le bm çemben kenaı aasındak doğunun uunluğuna bölünmesyle elde edl (bm çemben yaıçapı 1 değene kaşılık gel). Smth katının çeves üç adet konsantk skala çe. En çedek skala deece cnsnden yansıma katsayısı açısı veya ojnal adıyla (angle of eflecton coeffcent n degees). Bu θ fa açısı çn olan skaladı. Şekl - de göüldüğü gb, P noktası çn θ 6. 6 d. Dğe k skalanın anlamlaı ve kullanımlaı bundan sona tatışılacaktı. Şekl -: P noktası j1 le velen nomale edlmş b yük empedansını temsl ede. Yansıma katsayısı OP/OR.45 le velen büyüklüğe ve θ 6. 6 açıya sahpt. R noktası çembe üende keyf b noktayı göstemekted (bu da 1 çembed). Alıştıma.15: Smth katını kullanaak a) + j b) 1 j1 c).5 j d) j3 e) f) g) 1 le velen nomale edlmş yük empedanslaına 4
o kaşılık gelen yansıma katsayılaını bulunu. Cevap: a). 33 b).45 63.4 c) o o.83 5.9 d) 1 36.9 e) 1, f) 1 g).9. Gş Empedansı Denklem.61 den yüke doğu yönde l uaklığındak gş empedansı aşağıdak fomülle vel. Z 1+ e e j βl n Z 1 j βl (Ω) (1) Smth katını kullanmak çn empedansla dama kaaktestk empedansa nomale edl. Bu yüden nomale edlmş gş empedansı n Z 1+ e j βl n (boyutsu) (11) j βl Z 1 e le vel. Daha önce de beltldğ gb e jθ yüktek voltaj yansıma katsayısıdı. Fa kaymasına sahp voltaj yansıma katsayısını aşağıdak gb tanımlayalım. l e j βl e jθ e j l j( βl) β e θ (1) l fa kaymasına sahp yansıma katsayısı le yüktek voltaj yansıma katsayısı aynı büyüklüğe sahp olup l nn faı ye göe βl kada kaymış duumdadı. Denklem 11, l ye göe teka yaalım: n 1+ 1+ e 1+ e j βl j( θ βl) l j βl j( θ βl) 1 l 1 e 1 e (13) Denklem 13 ün fomu denklem 3 de velen le aynıdı. Bu fom benelğne göe, eğe l ye dönüştüülüse de n e dönüştüülmüş olu. Smth katı üende yansıma katsayısının l ye dönüştüülmes demek nn sabt tutulaak faın βl kada aaltılması anlamına gel ve bu Smth katı üende saat yönünde dönüşe kaşılık gel. Dkkat edlse Smth katı etafında tam b dönüş π kada b fa değşmne eşt olup bu değşme kaşılık gelen l uunluğu aşağıdak fomülden elde edl: π βl l π (14) λ veya l λ /. Şekl. de velen Smth katı çevesnde en dış kısımda bulunan skala jeneatöe doğu dalga boylaı skalası olaak adlandıılı ve letm hattı üende jeneatöe doğu dalga boyu bmle üenden haeket temsl etmek çn oluştuulmuştu. Yan, l dalga boylaında ölçülü ve tam b dönüş l λ / ye kaşılık gel. Baı letm hattı poblemlende letm hattı üende faın attığı duumuna kaşılık gelen b noktadan yüke daha yakın başka b noktaya haeket edlmes geekl olabl, k bu da saat yönünün tes yönünde dönüşe kaşılık gel. Uygunluk açısından, smth katı çeves etafında üçüncü b skalayı çe: yüke doğu dalga boylaı skalası. 5
Uunluğu l.1λ, kaaktestk empedansı Z 5 olan kayıpsı b letm hattı Z 1 j5 le velen b yük empedansında sonlandıılmış se bu hattın gş empedansının ne olduğunu bulalım. Gş empedansını Z n bulmak çn Smth katını kullanalım. Buada yapmamı geeken yükten l. 1λ kada uakta gş empedansını bulmak olacaktı. Nomale edlmş yük empedansı Z / Z j1 le vel ve Smth katında Şekl -3 de göüldüğü gb A noktası le göstelmşt. Yüke doğu dalga boylaı skalasında A noktasının ye.87λ d. B pegel kullanılaak meke Smth katının mekende çeves A dan geçecek şeklde b dae çl. Smth katının meke ve eksenlenn kesşme noktası olduğu çn çlen dae üendek bütün noktala aynı değene sahpt. Buna sabt daes adı vel ve çoğunlukla SWR daes le anılı. Şekl -3: A noktası WTG skalası üende.87λ konumundak j1 le velen nomale yük empedansını temsl ede. B noktası se yükten l.1λ kada uaktak.6 j.66 le velen gş empedansını temsl ede. Duan dalga oanı (SWR) le aasındak bağıntı daha önce de beltldğ gb, 1+ S (15) 1 le vel. Böylece, nn sabt b değe S nn öel b değene kaşılık gel. y n e dönüştümek çn yı sabt tutmamı geek, bu da SWR daes üende kalmamı ve nın faının βl kada aaltılması anlamına gel. Yan, WTG skalası üende jeneatöe doğu l. 1λ mesafes kada haeket edlmes geek. A noktasının ye.87λ de olduğundan WTG skalası üende.78λ +.1λ. 387λ yene haeket etmem geek. WTG üende bu yen konumdan geçen adyal doğu SWR çembe üende B noktasıyla 6
kesş. Bu nokta n temsl ede ve değe n.6. 66 j d. Son olaak n Z 5 le çapıp tes nomale edeek Zn 3 33 j elde ede. Bu sonucu kontol etmek çn Denklem 1 da velen analtk bağıntı kullanılabl. SWR çembe üendek A ve B aasındak noktala letm hattı boyunca faklı noktalaı temsl ede. Alıştıma.16: Smth katını kullanaak uunluğu l olan ve nomale edlmş yük empedansında sonlandıılmış kayıpsı b letm hattının nomale edlmş gş empedansını şu duumla çn bulunu. a) l. 5λ, 1+ j, b) l.5λl, 1+ j1, c) l. 3λ, 1 j1, d) l 1. λ,. 5 j. 5 e) l.1λ, (kısa deve) f) l.4λ, j3 g) l.λ,. Cevap: a) n 1+ j, b) n 1+ j1, c) n.76 + j.84, d) n.59 + j.66, e) j.73, f) n + j.7, g) j.3, n +.9.3 Duan Dalga Oanı (SWR), Voltaj Maksmumu ve Mnmumu + j1 le velen yük empedansını ele alalım. Şekl -4 de den (A noktası) geçecek şeklde SWR çembe çlmş b Smth katını göstemekted. SWR çembe eel eksen ( ), P max ve P mn olmak üee k noktada kesmekted. Böylece he k noktada da ve. Buna ek olaak eel eksen üende yük empedansının sanal kısmı x dı. Yansıma katsayısının tanımından, n 1 + 1 (16) P max ve P mn noktalaı, < 1 olduğu aman Pmn ve > 1 olduğu aman se Pmax olmak üee aşağıda velen öel duuma kaşılık gel: 1 + 1 ( çn) (17) çn Denklem 16 yı S ye göe teka yaasak S 1 S + 1 (18) P max ve P mn noktalaı çn olup böylece, S 1 (19) S + 1 Denklem 18 ve dek fom benelğ S olmasını öne. Ancak, S 1 tanımından dolayı sadece P max noktası ( > 1) benelk şatını sağlamaktadı. Şekl -4 de P max noktasında.6 olup böylece S.6 dı. Başka b değşle, S sayısal olaak SWR çembenn eel eksen katın mekenn sağ taafında kestğ nokta olan P max noktasında nn değene eştt. 7
P mn ve P max noktalaı aynı amanda, hat üendek voltaj maksmum ve mnmumlaının yükten olan uaklıklaını temsl ede. Bu fadenn doğuluğu Denklem 1 de nn tanımı ele alınaak kolayca göstelebl. P max noktasında nn toplam faı ( θ βl ) sıfıa eştt l l (eğe θ > se) veya π ye eştt (eğe θ < se), bu daha önce Denklem.55 de fade edldğ gb V duumuna kaşılık gel. Bene şeklde P mn noktasında nn toplam max faı π ye eştt, bu V max duumuna kaşılık gel. Böylece, Şekl -4 de velen SWR çembe taafından temsl edlen letm hattı çn yük le en yakın voltaj maksmumu aasındak mesafe lmax. 37λ olup, saat yönünde A noktasında yükten P max noktasına haeket edleek elde edl. Bene şeklde, yük le en yakın voltaj mnmumu aasındak mesafe l mn.87λ olup, saat yönünde A noktasında P mn noktasına haeket edleek elde edl. V le velen voltaj maksmumunun ye aynı amanda I nn ye olduğundan max ve yne V mn le velen voltaj mnmumunun ye aynı amanda I max ın ye olduğundan Smth katı hat üendek bütün maksmum ve mnmumlaına olan mesafele tespt etmekte uygun b yöntem sağlamış olu (Duan dalga öüntüsü λ/ le velen kendn tekalama peyoduna sahpt). mn l Şekl -4: A noktası + j1 le velen yük empedansını temsl ede. Duan dalga oanı S.6 (P max noktasında). Yük le bnc voltaj maksmumu aasındak mesafe l max. 37λ ve yük le bnc voltaj mnmumu aasındak mesafe l. 87λ d..9.4 Empedanstan Admtansa Dönüşümle Baı tüde letm hatlaı poblemlen çöeken empedans yene admtans le çalışılması daha uygundu. He hang b Z empedansı genel halde sanal b fade olup b R dencne ve X eaktansına sahpt: max 8
( ) Z R + jx Ω () Y le temsl edlen admtans Z nn tesne eştt: Y 1 1 R jx (S) (1) Z R + jx R + X Admtansın eel kısmına letm kablyet G (conductance) ve sanal kısmına se suseptans B adı vel. Y G + jb (S) () Denklem 3 le kaşılaştııldığında aşağıdak eştlk elde edl. R G ( S) (3) R + X X B ( S) (4) R + X Daha önce de fade ettğm gb nomale edlmş empedans Z/Z le vel. Aynı duum nomale edlmş admtans çn de geçeld. Yan, y Y /Y d. İletm hattının kaaktestk admtansı Y 1 Z le tanımlayaak, / G B y + j g + Y Y jb (boyutsu) (5) G g GZ (boyutsu) (6) Y B b BZ (boyutsu) (7) Y Yukaıdak bağıntılada g ve b sıasıyla nomale edlmş letm kablyetn (conductance) ve nomale edlmş suseptansı temsl ede. Nomale edlmş admtans ( y) tab bu aada nomale edlmş empedansın ()tes olduğu dkkatten kaçmamalıdı. Y Z 1 y (boyutsu) (8) Y Z Denklem 14 ü kullanılaak nomale edlmş yük admtansı aşağıdak gb elde edl. 1 1 y (9) 1+ 9
Şmd yükten l λ / 4. 5λ mesafesnde bulunan nomale edlmş gş empedansını ( ) ele alalım. Denklem 11 ve βl 4πl / λ 4πλ / 4λ π duumunu kullanaak n aşağıdak bağıntı elde edl. Şekl -5 de A noktasında.6 + j1. 4 le velen yük empedansından l λ / 4. 5λ mesafesnde bulunan gş empedansı n.5 j. 6 olaak bulunu. jπ 1+ e 1 n ( l λ / 4) y j (3) π 1 e 1+ Böylece, Smth katı üende βl 4π/ λ 4πλ / 4λ π kada dönüş y y ye dönüştümüş olu. Şekl -5 de göülebleceğ gb ve y y temsl eden noktala SWR çembende dyagonal olaak bblene ıttıla. Geçekte, Smth katı üende böyle b dönüşüm hehang b nomale edlmş admtansın buna kaşılık gelen nomale edlmş empedanstan belleneblmes çn kullanılabl. Bunun tes de geçeld. Smth katı nomale edlmş empedansla çn veya nomale edlmş admtansla çn kullanılabl. B empedans katı olaak Smth katı, nomale edlmş yük empedansının ( ) nomale edlmş denç ( ) ve nomale edlmş eaktans (x ) çembelen çe. Admtans katı olaak kullanıldığında se çembele g çembele halne gelken x çembele de b çembele halne gel. Buada daha önce fade edldğ gb g ve b, nomale edlmş yük admtansının (y ) sıasıyla nomale edlmş letm kablyet ve nomale edlmş suseptansını temsl etmekted. Şekl -5: A noktası.6 + j1.4 le velen yük empedansını temsl ede. Buna kaşılık gelen admtans se B noktası taafından temsl edlen gş empedansı admtanstı:.5 j.6 olaak bulunu. y 1
Önek -1: Kaaktestk empedansı Z 5 Ohm olan kayıpsı b letm hattı Z ( 5 + j5) le velen yük empedansında sonlandıılmıştı. Smth katını kullanaak (a) voltaj yansıma katsayısını, (b) voltaj duan dalga oanını, (c) bnc voltaj maksmumun le voltaj mnmumunun yüke olan mesafesn, (d) uunluğu l 3. 3λ le velen hattın gş empedansını ve (e) hattın gş admtansını bulunu. Çöüm: (a) Nomale edlmş yük empedansı Z / Z (5 + j5) / 5.5 + j1 olup Şekl -6 dak Smth katında A noktasıyla şaetlenmşt. İletky kullanaak, katın mekendek O noktasından tbaen A noktasından geçecek şeklde katın dış çembene doğu b doğu çl. Çlen doğu θ 83 de angle eflecton coeffcent n degees skalasını kese. Bundan sona, letk kullanılaak O le A aasındak OA doğusunun uunluğu ve çembenn yaıçapı ölçülü. Bu aten 1 çembenn yaıçapına eştt. j83 Buadan nın büyüklüğü.6 olaak elde edl. Böylece,.6e.6 83. Şekl -6: Önek -1 un çöümü: (b) Pegel kullanaak, meke O noktasında ve çeves A noktasından geçecek şeklde b SWR çembe çl. Bu çembe eksenn B ve C noktalaında kese. B noktasında nn değe 4.6 dı. Bu aynı amanda duan dalga oanına eştt. (c) SWR çembe üende bnc voltaj maksmumu B noktasındadı. Bu WTG skalasında.5λ yended. WTG skalası üende A noktası taafından temsl edlen yük.135λ yended. Böylece, yük ve bnc voltaj maksmumu aasındak mesafe I (.5.135) λ. 115λ le vel. Bnc voltaj mnmumu se C noktasındadı. max WTG skalası üende A ve C noktalaı aasında haeket edeek,. 365λ olup l max tan.5λ kada mesafe sonadı. I mn (.5.135) λ 11
(d) İletm hattının 3.3λ uunluğunda olduğu velmşt. Bundan.5λ nın katlaının çıkaılmasıyla.3λ elde edl. WTG skalası üende yükten.135λ noktasında letm hattının gş (.135+.3)λ.435λ ded. Bu SWR çembe üende D noktası le etketlenmşt ve nomale edlmş empedans.8 j. 4 olaak okunu. Böylece, Z n nz (.8 j.4) 5 14 j Ω olaak elde edl. (e) Nomale edlmş gş admtansı Smth katı üende.3λ den n göüntü noktasına dae boyunca haeket edleek bulunu. Bu nokta SWR çembe üende E le şaetlenmşt. E noktasının koodnatlaı y n 1.15 + j1. 7 le vel. Buna kaşılık gelen gş admtansı Y 1.15 + j1.7 yny (.3 j.34) S dı. 5 n + Önek -11: Bu poblem Smth Katının kullanılması hacnde Önek -5 le aynıdı. Voltaj duan dalga oanı S 3 olaak velen 5 ohm luk letm hattında bnc voltaj mnmumu yükten 5 cm mesafede oluşmaktadı ve bundan sonak mnmum cm dedd. Yük empedansını bulunu. Çöüm: Bbn takp eden k mnmum aasındak mesafe λ/ d. Böylece, λ 4 cm d. Dalga boyu bmnde bnc voltaj mnmumu I mn 5 / 4. 15 λ d. Şekl -7 de Smth katı üende A noktası S 3 e kaşılık gel. Pegel kullanılaak sabt S çembe A noktasından geçecek şeklde çl. B noktası voltaj mnmumun yene kaşılık gel. B noktasından yüke doğu WT skalası üende.15λ kada haeket edeek C noktasına vaıı. Bu nokta yükün yen temsl ede. C noktası üendek nomale yük empedansı.6 j.8 dı. Z 5 Ω le çapaak Z 5(.6 j.8) ( 3 j4)ω elde ede. n Şekl -7: Önek.11 n çöümü. 1