Lif çarpımı ve simplektik manifoldlar Ahmet Beyaz, Orta Doğu Teknik Üniversitesi 11 Haziran 2015, Ankara Matematik Günleri
1 2-Küre üzerindeki Lefschetz Lif Uzayları 2 Lif çarpımı 3 Lif toplamı 4 Chern değişmezleri 5 References
Lefschetz Lif Uzayları Lefschetz lif uzayı, düzgün bir 4-manifold X ve X ten S 2 ye düzgün bir fonksiyon p den oluşur. S 2 içindeki sonlu sayıda kritik değerler dışındaki her noktadaki lif (p nin geri görüntüsü) g cinsli bir yüzey Σ g dir.
Lefschetz Lif Uzayları Lefschetz lif uzayı, düzgün bir 4-manifold X ve X ten S 2 ye düzgün bir fonksiyon p den oluşur. S 2 içindeki sonlu sayıda kritik değerler dışındaki her noktadaki lif (p nin geri görüntüsü) g cinsli bir yüzey Σ g dir.
Lefschetz Lif Uzayları
Lefschetz Lif Uzayları Kritik nokta etrafında p fonksiyonu p(x, y) = xy gibi görünür.
Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım.
Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım. Chern sayısı c 2 (X )=Euler sayısı =kritik noktaların sayısı+2(2 2g)
Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım. Chern sayısı c 2 (X )=Euler sayısı =kritik noktaların sayısı+2(2 2g) Chern sayısı c 2 1 (X )
Lefschetz Lif Uzayları X in topolojik özellikleri π 1 (X ) = 1 olduğunu varsayalım. Chern sayısı c 2 (X )=Euler sayısı =kritik noktaların sayısı+2(2 2g) Chern sayısı c 2 1 (X ) Lefschetz lif uzayları simplektiktir.
Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun.
Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p 1 1 2
Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p 1 1 2 Sonlu sayıda nokta dışında lifler Σ 1 Σ 2 olur.
Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p 1 1 2 Sonlu sayıda nokta dışında lifler Σ 1 Σ 2 olur. İki lif uzayının kritik değerlerinin ayrık olduğunu varsayarsak 6 boyutlu düzgün bir manifold M elde ederiz.
Lif çarpımı i = 1, 2 için X i izdüşüm fonksiyonu p i ile verilen ve tekil olmayan lifleri g i cinsli yüzey Σ i olan Lefschetz lif uzayları olsun. Bunların lif çarpımı S 2 üzerinde a S 2 için lifi (a) p 1(a) olan lif uzayıdır. p 1 1 2 Sonlu sayıda nokta dışında lifler Σ 1 Σ 2 olur. İki lif uzayının kritik değerlerinin ayrık olduğunu varsayarsak 6 boyutlu düzgün bir manifold M elde ederiz. M aynı zamanda simplektiktir. π 1 (M) = 1
Lif çarpımı
Lif toplamı Yapımda kullanılan lif uzaylarının kritik değerlerini ayrı yarıkürelerde toplayalım.
Lif toplamı Yapımda kullanılan lif uzaylarının kritik değerlerini ayrı yarıkürelerde toplayalım.
Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz.
Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun.
Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun. M 1 ve M 2 içinde Σ 1 Σ 2 bulunur öyle ki normal demetleri çarpım şeklindedir: Σ 1 Σ 2 D 2.
Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun. M 1 ve M 2 içinde Σ 1 Σ 2 bulunur öyle ki normal demetleri çarpım şeklindedir: Σ 1 Σ 2 D 2. M = M 1 (Σ 1 Σ 2 ) M 2 (Σ 1 Σ 2 )
Lif toplamı Bu resimden anlayacağımız: M manifoldunu başka iki 6-manifoldun lif toplamı şeklinde de görebiliriz. Yani lif çarpımını lif toplamı olarak verebiliriz. M 1 = X 1 Σ 2 ve M 2 = X 2 Σ 1 olsun. M 1 ve M 2 içinde Σ 1 Σ 2 bulunur öyle ki normal demetleri çarpım şeklindedir: Σ 1 Σ 2 D 2. M = M 1 (Σ 1 Σ 2 ) M 2 (Σ 1 Σ 2 ) Yapıştırma ortak sınır olan (Σ 1 Σ 2 D 2 ) = Σ 1 Σ 2 S 1 üzerinden yapılıyor.
Chern sayıları c 3 = 2c 2 (X 1 )(1 g 2 ) + 2c 2 (X 2 )(1 g 1 ) 8(1 g 1 )(1 g 2 ) c 3 1 = 6(1 g 2 )c 2 1 (X 1 ) + 6(1 g 1 )c 2 1 (X 2 ) 48(1 g 1 )(1 g 2 ) c 1 c 2 = 2(1 g 2 )(c 2 1 (X 1) + c 2 (X 1 )) +2(1 g 1 )(c 2 1 (X 2 ) + c 2 (X 2 )) 24(1 g 1 )(1 g 2 )
Simplektik Calabi-Yau manifoldları Eğer X 1 ve X 2 i üzerindeki eliptik lif yapısı ile E(2) alırsak c 1 (M) = 0 olur. Not: E(2) manifoldu K3 olarak da bilinir.
Simplektik Calabi-Yau manifoldları Eğer X 1 ve X 2 i üzerindeki eliptik lif yapısı ile E(2) alırsak c 1 (M) = 0 olur. Not: E(2) manifoldu K3 olarak da bilinir. c 1 (M) = 0 olan simplektik manifoldlara simplektik Calabi-Yau manifoldları denir. Yukarıda anlatılan yolla sadece bir tane simplektik Calabi-Yau manifoldu elde ederiz. Bu manifoldun temel grubu tek elemanlı gruptur.
Teşekkürler!
References [1] A. Beyaz, Symplectic geography problem in dimension six, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics 41 (5), 709 713, 2012 [2] R. Gompf, A new construction of symplectic manifolds. Ann.ofMath.(2) 142 (1995), no.3, 527 595. [3] M. Halic, On the geography of symplectic 6-manifolds, Manuscripta Math. 99 (3), 371 381, 1999. [4] B. Hunt, Complex manifold geography in dimension 2 and 3, J. Differential Geom.30 (1), 51 153, 1989. [5] C. LeBrun, Topology versus Chern numbers for complex 3-folds, Pacific J. Math. 191 (1), 123 131, 1999. [6] C. Schoen, On fiber products of rational elliptic surfaces with section. Mathematische Zeitschrift, 197, 177 200, 1988.