ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ( OCAK 2010) 1) Bir ABC dik üçgeninde B açısı diktir. AB kenarı üzerinde alınan bir D noktası için m( BCD) m( DCA) dır. BC kenarı üzerinde alınan bir E noktası için m( BAE) m( EAC) dır. AE 5 ve CD 8 2 olduğuna göre AC kenarının uzunluğu nedir? A) 3 5 B) 4 5 C) 6 5 D) 8 5 E) Hiçbiri 2) Timur Nasreddin Hoca ya ordusunun fillerinin bakımının yapılması için Akşehir halkına dağıtılmasını emretmiş. Nasreddin Hoca fillerin bir kısmını 28 tane esnafın her birine eşit şekilde, diğer kısmını da 37 tane esnaf olmayan kişilerin herbirine eşit olacak şekilde dağıtılmış.bu şekilde dağılım yapmanın tek bir yolu olduğuna göre Timur un ordusunda en fazla kaç tane fil olabilir? A) 518 B)1036 C)2072 D)4144 E)HİÇBİRİ 3) A) a 3 b 3 c 3 B) a 2 b 2 c 2 C)abc D)9 E)HİÇBİRİ 4) 1, 2,3,, n kümesinden öyle 9 farklı sayı seçilebilsin ki bu sayılar 3 3 lük bir satranç tahtasına herhangi iki komşu sayıdan biri diğerini bölecek şekilde yerleştirilebilsin. Bunun mümkün olabileceği n nin en küçük değeri kaçtır? A) 12 B)15 C)21 D)27 E)HİÇBİRİ 1
5) Bir ABCDEF altıgeninin kenarları AB AF 11, EF BC 7 ve CD DE 2 dir. Altıgenin tüm köşeleri bir çember üzerinde olduğuna göre bu çemberin yarıçapı nedir? A) 5 B) 5 2 C) 7 D) 7 2 E)HİÇBİRİ 6) 1 1 1 1 denkleminin 1 den farklı kaç tane tamsayı çözümü vardır. x y z A) 0 B)1 C)5 C)10 D)20 7) A) 0 B)1 C)2 D)SONSUZ E)HİÇBİRİ 8) a 2009 2010 2 1004 1005 2 1004 1005 0 a1x a2009x a2010x 1 x x x x 1 x x x x olduğu bilindiğine göre an am eşitliğini sağlayan sayı çifti aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) (1004, 1051) B) (1043, 1057) C) (1030, 1070) D) (2009, 1045) E)(1046, 1053) 2
9) Bir ABC dik üçgeninde A açısı dik açıdır. A açısının açıortayı BC yi D noktasında kesmektedir. m( DAB) 45, CD 1 ve BD AD 1 ise AC kenar uzunluğu kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 4 3 E)HİÇBİRİ 10) x + y = x 2 - xy + y 2 denkleminin tamsayı çözümleri kaç tanedir? A) 0 B)1 C)6 D)10 E)20 11) A) 0 B)1 C)2 D)3 E)HİÇBİRİ 12) Bir karenin kenarları 2010 eşit parçaya bölünerek elde edilen 2010 2010 luk bir tahtada oluşan farklı büyüklüklerdeki tüm karelerin sayısı kaçtır? a) 3 2 2010 2010 1 b) 2C 2010,3 C 2011, 2 c) 2 2 2 1 2 2009 2010 m 2 C 2011, 2 m 2 2 d) e) 2 3 4 2010 2 2 2 2 3
13) Bir ABC üçgeninde AD doğrusu BC kenarının iki eş parçaya ayırmaktadır. m( ACB) 30 ve m( ADB) 45 olduğuna göre m( ABC ) kaç derecedir? A) 60 B)75 C) 105 D) 115 E) HİÇBİRİ 14) 1000! sayısının 10 250 ye bölümünden kalan kaçtır? A) 10 249 B) 2. 10 249 C) 3. 10 249 D) 4. 10 249 E) 5. 10 249 15) A) 0 B)1 C) 2 D) 3 E) HİÇBİRİ 16) İlk 999 tamsayı arasından birini tutan Ayşe ye, Ali sadece cevabı evet ya da hayır olan sorular sorarak, Ayşe nin tuttuğu sayıyı bulmaya çalışıyor. Buna göre, Ali nin tutulan sayıyı kesinlikle bulabilmesi için en az kaç kere soru sorması gerekir? A) 9 B)13 C) 498 D) 499 E)998 4
17). P noktası ABC üçgeninin içinde bir nokta olmak üzere CP = c, BP = b, AP = a ve P noktasının üçgenin kenarlarına olan uzunlukları d dir. a + b + c = 43 ve d = 3 ise a.b.c kaçtır? A) 345 B) 387 C) 441 D) 476 E) Hiçbiri 18) Kare şeklindeki bir oda bölme duvarları kullanılarak daha küçük yine kare şeklinde odalara bölünmektedir. Her odanın kenar uzunluğu tamsayıdır. Bütün bölme duvarlarının uzunluklarının toplamı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünür? A) 3 B) 4 C)5 D)6 E)7 19) A) 95/48 B) 100/47 C)2 D)3 E)HİÇBİRİ 20) 20 adet boş kartın her birinin üzerine kare, daire ve üçgen resmi çizilebilmektedir. Buna göre kaç farklı şekilde 20 karttan oluşan bir demet oluşturulabilir? a) C(22, 20) b) C(19, 2) c) C(22, 19) d) C(20, 2) e) C(22,20)-C(22, 19) 5
21) Merkezi S ve yarıçapı r 2 olan bir çemberde, 45 açı ile kesişen iki yarıçap SA ve SB verilsin. AB doğrusu ile AS doğrusunun S noktasındaki dikmesi K noktasında kesişsinler. ABS üçgeninde B köşesinden inilen dikme AS kenarını L noktasında kessin. SKBL yamuğunun alanı kaçtır? A) 2 2 B) 3 2 C) 2 3 D) 1 3 E) HİÇBİRİ 22) 2000 tane dış görünüşü aynı olan bilyenin yarısının her biri 10 gram ağırlığında diğer yarısının her biri 9,9 gram ağırlığındadır. İstenen şey bu bilyeleri her gurupta aynı sayıda bilye fakat gurubun ağırlığı farklı olacak şekilde iki guruba ayırmaktır. Ağırlıksız (sadece kefeleri olan ) bir teraziyi kullanarak en az kaç kerede bunu başarabiliriz? A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5 23) A) 2 B)3 C)4 D)5 E)HİÇBİRİ 24) Düzlem üzerinde alınan, tamsayı koordinatlı n tane farklı noktayı ikişerli birleştiren doğrulardan en az bir tanesinin orta noktasının koordinatlarının tamsayı olmasını garantilemek için, n en az kaç olmalıdır? A) 2 B)4 C)5 D)7 E)11 6
25) Bir üçgenin kenarları a, b, c ve çevrel çemberinin yarıçap uzunluğu R olsun. Eğer bc b c 1 2 ise bu üçgenin açıları için m A m B oranı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) HİÇBİRİ 26) Hangi en küçük n değeri için n n boyutlarında bir kare, aralarında 40 40 ve 49 49 boyutlarında karelerin bulunacağı daha küçük karelere ayrılabilir? A) 100 B)500 C)800 C)1000 D)2000 27) A) 0 B) 1 C) 2 D) SONSUZ E) HİÇBİRİ 28) ABRAKADABRA kelimesinin harfleri, rastgele sıralandığında ilk A harfinin B harfinden önce gelme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 6/7 B) 5/6 C) 5/7 D) 2/3 E) 5/9 7
29) Alanı 7 olan bir ABC eşkenar üçgeninde M ve N noktaları sırasıyla AB ve AC üzerinde bulunan ve AN = BN koşulunu sağlayan noktalar olsun. O BN CM olmak üzere, BOC üçgeninin alanı 2 ise MB AB oranı kaç olabilir? A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/3 E) HİÇBİRİ 30) Kendisini oluşturan her bir rakama bölünen bütün iki basamaklı pozitif tamsayıların toplamını bulunuz. A) 495 B) 525 C)575 D)615 E)630 31) A) 2 B) 3 C)4 D)SONSUZ E)HİÇBİRİ 32) 1 ile başlayıp her adımda elimizdeki sayıya 1 ekleyerek veya çarpmaya göre tersinin negatifini alarak, sonlu sayıda adımda aşağıdaki sayılardan hangisini elde edemeyiz? A) 1/2 B) -2 C)5/3 D)7 E)HİÇBİRİ 8
33) Çevresi 40 cm olan ABCD eşkenar dörtgeninin A köşesini merkez olarak alan çember C, B köşesini merkez olarak alan çember ise D noktalarında geçmektedir. Bu iki çember birbirlerine teğet ise, ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç 2 cm dir? A) 50 B) 60 C) 75 D) 90 E)HİÇBİRİ 34) Bir arabanın hatalı çalışan odometresi ( kaç km yol gittiğinin göstergesi) 3 rakamından sonra 5 rakamına geçmektedir,nerede olursa olsun her zaman 4 rakamını atlamaktadır.örneğin, bir km yol aldıktan sonra odometre 000039 dan 000050 ye atlamaktadır.odometre şu anda 002005 gösteriyorsa araba gerçekte kaç km yol almıştır? A) 1462 B) 1825 C)1962 D)2005 E)HİÇBİRİ 35) a,b,c,d pozitif tamsayılar, a>b>c>d, a+b+c+d=2004 ve a 2 b 2 +c 2 d 2 =2004 ise a nın alabileceği en küçük değeri bulunuz. A) 2010 B) 1005 C) 502 D) 256 E)HİÇBİRİ 36) Bir A sayısının ondalık gösteriminde sağına 3 rakam yazarak 1 2 A toplamına eşit bir sayı elde edilmesini olanaklı kılan kaç tane A pozitif tamsayısı vardır? A) 0 B) 1 C) 3 D) SONSUZ E)HİÇBİRİ 9
10