GIRIS 879 da Edwi H. Hall, akim tasiya bir iltk, maytik ala içi yrlstirildigid, hm akima hm d maytik alaa dik yöd bir lktrik grilim farki ürttigii ksftti. Hall olayi olarak bili bu gözlmd olusa bu grilim Hall voltaji ( V H ) olarak taimlair. Hall olayi, yüz yili aski bir sür ö ksfdilmis olmasia ragm, mtallri v yari iltklri lktroik özlliklrii alamada biz yardimi ola çok ömli tkiklrd biri olmaya dvam tmktdir. 98 yilida Klaus Vo Klitzig, bir yari iltkdki iki boyutlu lktro gaz sistmii - K arasi siakliklarda v çok yüksk maytik alalarda σ H ν il vril bir iltklik göstrdigii buldu. h Burada ν,,3,... tam sayi, lktro yükü v h plak sabiti. Bu iki boyutlu iltkligi kuatiz olduguu bir kaitiydi. Bu ömli ksfid ötürü Klaus Vo Klitzig 985 yilida fizik dalida Nobl ödülü aldi. Daha sora K da daha düsük siakliklarda ksirli sayilar kuatum Hall olayi gözldi. Yi lktroik dvr lmalarii tasarimia öülük d bu alada dysl v torik çalismalar dvam tmktdir. Bu çalismada iki boyutlu lktro sistmi (DES) düsük siakliklarda, dik v kuvvtli bir maytik ala tkisi altida olusa Kuatum Hall Olayi (QHE) v bu tkilr sasida malzm üzrid olusa sikistirilamaz bölglrdki (IS) lktro hizi ilmistir. Sikistirilamaz bölglrdki lktrou hizia, maytik ala, siaklik, malzm boyutlari, kar profili, örk özlliklri v potasiyldki düzsizliklri lktro hizidaki tkilri arastirildi. Sistmd bird fazla lktro buluduguda lktrolar arasi tkilsmlri Hartr tipi yaklasimla (HA) blirlyip, lktro dagilimii Thomas-Frmi-Poisso yaklasimiyla (TFPA) iç uyumlu (slfosistt) çözüml yötmiyl blirldi.
. HALL OLAYI Edwi H. Hall tarafida 879 da, yariiltk malzmlri yük yoguluguu, lktriksl özdiri v tasiyiilari mobilitlrii dogru bir skild blirlm grksiimi vap vrmk içi bu dyi yapti. Edwi H. Hall tarafida yapildigi içid Hall olayi olarak isimldirildi. E r Skil (.) : Hall olayi dy düzgi. Hall olayi skil (.) d d görüldügü üzr kolay bir düzg sahiptir. I bir plakaya iki uuda bir grilim uygulair v böyl plaka uçlari arasia r r lktrik ala uygulamis olur. Plaka içidki lktrolar F E ( E ( V ) ) d kuvvti il lktrik alaa trs yöd harkt baslarlar. Daha sora plakaya dik olaak skild sabit bir B r maytik ala uygulair v böyl lktrolar üzri r r r r tkiy toplam kuvvt ( E+ ϑ B) Lortz kuvvti olur. Maytik kuvvti F L tkisiyl lktrolar plakai ö yüzyi dogru harkt dr, ö v arka yüzylr arasida bir grilim farki olusur. Olusa bu grilim Hall voltaji ( V H ) adi vrilir v Ohm yasasia gör,
3 V H ρ I (.) H dir. yi lktro sayi yogulugu olarak taimlarsak Hall katsayisi, R H olmak üzr, (.) ρ B (.3) H R H Hall dirii ld dilir. Bu vrilrd faydalaarak öz iltklik, σ H (.4) R B ρ H H olur.ϑ lktro hizi olmak üzr lktro mobilitsi, ϑ µ E σ H R H (.5) baslia itldirii fiziksl paramtrlr olarak taimlair.
4. KUANTUM HALL OLAYI Skil (.) : Kuatum Hall olayii dy düzgi. 98 yilida Klaus Vo Klitzig, Hall olayii yük tasiyiilarii kuatum özlliklrii srgilygi bir dy düzgi tasarladi []. 985 yilida Nobl ödülüü kazaa çalismada iki boyutlu bir sistm (DES) olarak görülbilk çok i bir plakada foo tkilrii kayboldugu düsük siakliklarda v yüksk maytik ala siddti altida ρ H Hall dirii ksikli dgrlr sahip oldugu göstrildi.
5 Skil (.) : V H Hall voltaji v V pp akim yöüdki voltaj olmak üzr sayfa düzlmii içi dogru B 8T dgrid sabit bir maytik ala uygulaiyor. T. 5K siakligida malzm üzrid I µ A lik sabit bir akim gçisi zorlaiyor. V g gçis voltajia bagli V pp v V H voltajlarii grafigi. Eld dil bu grafig gör, V g gçis voltajii bazi dgrlrid öz iltklik sosuzmus gibi (Hall diri yok), akim yöüdki potasiyl ( V pp sifir olur. Ayi oktalarda Hall voltajii ( V H V H düzlüklr ρ H Hall dirii ohm dgri karsilik glir. I ) düsüsü ) grafigid düzlüklr olusur v bu
6. HALL OLAYININ KUANTUM FIZIGI ILE INCELENMESI Klasik olarak iyi taimlamis hr fiziksl gözlbilir (koum, momtum, rji), kuatum fizigid bir çizgisl Hrmit islmisi karsilik glir []. Klasik fiziktki rji öz dgri kuatum fizigid, r r H ( P A) * + (..) m Hamilto islmisi karsilik glir v rji öz dgrii, H ˆ r r Ψ EΨ (..) ( ) ( ) Shrödigr dklmid yararlailarak ld dilir. A r vktör potasiyli olmak üzr, r r r B A (..3) maytik alai blirlir. Maytik ala sistm dik oldugu içi B sabit v maytik alai büyüklügü olmak üzr, r r B B k (..4) yöüd uygulairsa, vktör potasiylii dklm (..3) sartii saglaya, r A B y,, ( ) (..5) Ladau ayari olarak sçilir. Elktro harkti iki boyutta v yaliza y yöüd siirli olduguda dalga foksiyouu ; ( y) ik Φ( y) Ψ, (..6) sklid yazabiliriz. Böyl Shrödigr dklmi r r r r r r r r r ik P + A. P + A Φ y P + P. A+ A. P + r ik ( )( )[ ( )] [ A ][ Φ( y) ] ik P A Φ( y) (..7) r r r r r ik. [ ] ( ih) i + j ( yb i )[ Φ( y) ] y (..8) ik A P Φ( y) [ ] ik [ Φ( y) ] ik ( ih )( yb )( ik ) Φ( y) h ybk r r r r r ik. [ ] ( yb i )(. ih) i + j [ Φ( y) ] y (..9) [ ] ik [ Φ( y) ] ik ( yb )( i )( ik ) Φ( y) h h ybk
7 olarak ld dilir. Bu soua gör, r r r r ik ik P. A Φ y A. P Φ y (..) [ ( )] ( ) [ ] olur. Bu sitlig gör Shrödigr dklmi dklm (..) u kullaarak yazilirsa, r r r r ik ik ( P + A. P + A )[ Φ( y) ] ( P + P B k y+ B y )[ Φ( y) ] ik [ ] [ Φ( y) ] ik P ( y) Φ h y (..) h (..) h k [ ] ik [ Φ( y) ] ik ( ik )( ik ) Φ( y) buluur. Bu soua gör Shrödigr dklmi, olur. H Ψ (, y) ( P + k B hk y+ B y ) ( y) h B m h (..3) y Ψ, * l, Magtik uzuluk (..4) y h B y v k bu durumda k B h k B y olur. (..5) h Yukarida taimlaa paramtrlr Shrödigr dklmid kullailirsa, m P B y + h y * h B Bh h y y + B y Φ ( y) EΦ( y) h m * y + m * m B * Φ ( y y ) ( y) E Φ ( y) olarak buluur. Burada, B ω (..6) * m siklotro frkasi olmak üzr h m * y * + m ω Φ ( y y ) ( y) E Φ ( y) souuu ld dilir. Bu dklm harmoik saliii çözümü bzr []. (..7)
8 Φ ( y) π 4 p l Dalga foksiyou olmak üzr, y y l (..8) E h ω +, (,,,... ) (..9) Ladau rji sviylri ld dilir. Artik lktrolar sayisia gör kuatalamis rji sviylrid bulumaktadir. B B B B Skil (..) : Maytik alai tkisiyl olusa Ladau rji sviylri.
9. IKI BOYUTTA DURUM YOGUNLUGU yogulugu Birim rji araligidaki lktro sayisi olarak taimlaa durum N toplam lktro sayisi olmak üzr D( E) dn il vrilir[3]. Ilk ö de birim aladaki lktro sayisia buluur. Buu içi trs örgü kavramida yararlailir. Trs örgü kavrami priyodik yapilari aalitik olarak ilmsid ömli bir rol oyar. Trs örgü dilm di bu örgüy ait tml örgü vktörlrii birimii grçk uzaydaki vktörlri birimii trsi olmasidir (/uzuluk). Dalga r π vktörü k il tmsil dilir. L p / L k y p / L y k Skil (..): Iki boyutlu trs örgü uzayida lktro dizilimi. ( π ) L L y alada lktro olmak üzr, ( ) π L L y π k F alada N lktro ------------------------------------------------------------------ Burada alatilmak ist k F trs örgü uzayida Frmi yüzyii yari çapi Bu islmi yapaak olursak, alada bir lktro varsa, π k F alada N ta lktro olmali.
π k F N ( π ) L L y g s olur v hr rji sviysid spi djrlikt dolayi ayi sviyd iki lktro buluaagida g il çarpilmasi grkir. Iki boyutta lktro sayi yogulugu blirlk olursa, olur v burada, s D N k F vya k D F π L L π (..) E y h (..) m F k * F Frmi rjisi buluur. Elktro sayi yogulugu Frmi rjisi isid taimlairsa, E * h D D m π vya * E F (..3) m h π F olarak buluur. Elktrolar sürkli rji sviylrid dgil d gör kuatalaa rji sviylrid buluaagida yazilip v gör dgisimii aliirsa, d d ( ) E d d h π D E d d m * * m + π hω h D d i, durum yoguluguda D( E) yri de * m B * h π h m δ ( E ) E D g π l s ( E) δ ( E E ) (..4) dklmi ld dilir. Bu dklm bird fazla rji sviysi olduguu v lktrolari bu rji sviylri trafida dagilmasi grktigii alatir.
D(E) Ω hω hω 3 hω 5 hω E Skil (..) : Ω siklotro rjisi olmak üzr, maytik alai tkisiyl kuatalaa rji sviylri trafida lktrolari dagilimi. blirlbilir. Durum yoguluguu bilidigi gör lktro sayi yoguluguu da ( ) de f ( E) D( E) µ (..5) g s ( E) δ ( E E ) de f πl g π l s f ( E) δ ( E E )de g µ (..6) πl s (, T ) f ( E ) Burada Frmi-Dira dagilimi f ( E) p ( E µ ) + k T B Ek bilgi: Dira-Dlta foksiyou f ( ) ( ) d f ( ) taimlair. olarak taimlair. δ, olarak
Elktro sayi yogulugu siakligi bir foksiyou olarak ld dildigi gör artik durum yogulugu da siakligi bir foksiyou olarak taimlaabilir. D D ( µ, T ) d dµ (..7) Durum yoguluguu bu skild taimlaip dklm (..6) da bulua lktro sayi yogulugu dklmd yri yazilirsa. d g s f dµ π l g s l π d dµ ( E ) ( f ( E )) g d dµ s ( E µ ) πl k BT + ( E ) µ ( E µ g ) k BT k BT k BT s π l + ( E µ ) kbt + olsu. Yai f ( ) v E ( E ) µ k T B olur. D g D k T π l s ( µ, T ) B g s π l k T B ( ) g s ( µ T ) f ( f ), f ( ) D D, π l k BT f (..8) E Siakliga bagli olarak durum yoguluguu ld dilir.
3 6 D T (m;t) / D 5 4 3 k B T / W. k B T / W.5 k B T / W.5 * m D π h,,5,,5, m /W Skil (..3) : Sabit maytik ala altida ( B ), durum yoguluguu siakliga gör dgisim grafigi.
4.3 DOLDURMA (FILLING) FAKTÖRÜ L y L boyutladirilmasi. Skil (.3.) : Kuatum Hall dyid iki boyutlu lktro gazi (DES) Hamiltoy, Py H ( P B y) * + (.3.) * m m olarak dklm (..7) d bulumustu. Dklm (..5) gör lktrolar, y ksi boyua k i dgri gör yrlsirlr []. Dy V(y) y () y () y (3) y (4) y potasiyllr. Skil (.3.) : Elktrolari y ksi boyua dizilimi v olusturduklari h y k olarak dklm (..5) d taimlamistik. Bu taimi, B P y (.3.) B
5 sklid momtuma bagli olarak taimladirilir v burada lktrolari momtum uzayidaki yrlsimi bakilirsa, DP P () P () P (3) P (4) P Skil (.3.3) : Momtum uzayidaki lktrolari dizilimi. P yai y aralikla sistm kadar lktro koyulaagii blirlmk içi hr rji sviysi kaç ta lktro yrlstirilbilgi ilmlidir. N Φ NΦ N Φ 3 hω 5 hω hω Ladau sviylri N Φ : B maytik alaida hr rji sviysi alabilgi toplam lktro sayisi olsu. Bu biz, L y gisligidki sistm koyabilgimizi alatir[5]. Dolayisiyla, yo araliklarla kadar lktro Ly N Φ (.3.3) N Φ y L h k B B L π h L B y y L y h L
6 Maytik aki v Φ B L L y (.3.4) h Φ (.3.5) kuatum maytik aki olmak üzr hr rji sviysii alabilgi lktro sayisi Φ N (.3.6) Φ Φ olur. Doldurma faktörü ( ν ), toplam lktro sayisii, hr rji sviysii alabilgi lktro sayisia oraidir ( ν,,3,... ). N ν (.3.7) N Maytik ala arttigida Φ N Φ artaagida tüm lktrolar taba durumudaki rji sviysi yrlsmy baslayaaklardir. ν oldugu durumda tüm lktrolar taba durumua yrlstigi alamia glmktdir. Spii d hsaba katilaak olursa ν + olaaktir. E gl haliyl doldurma faktörü ν,4,6,... dgrlrii alir. g s πl f dklm (..6) da bulumustu. h B l magtik uzuluk bu dklmd yri yazilirsa, B g s πh f (.3.8) olur v dklmi hr iki tarafii L il çarpilirsa, L y L L y ( B L L y ) g s f (.3.9) h yukarda buldugumu paratz içidki ifadlri yrlri yazip biraz islm yaptikta sora, ν g s f, ν,4,6,... (.3.) sklid gl hald doldurma faktörü buluur.
7 4, 3,5 3, k B T / W. k B T / W.5 k B T / W.5,5 (m;t),,5,,5,,,5,,5, m /W 6 5 4 k B T / W. k B T / W.5 k B T / W.5 D T (m;t) / D 3,,5,,5, m /W Skil (.3.4) : Maytik ala sabit tutularak ( B ), siaklikla doldurma faktörü v durum yoguluguu dgisim grafigi.
8.4 HALL DIRENCI Hr rji sviysii alabilgi toplam lktro sayisii dklm (.3.6) da N Φ Φ Φ olarak taimladi. Elktro sayi yoguluguu, N N Φ ν B ν (.4.) L L L L h y y v Hall dirii ( ρ B ), ohm yasasida ( V ρ I ) yri yazip asagidaki H islmlr yapilaak olursa, V ρ H V H V H H B I I B I B ν h h I ν h H (.4.) ν ρ H H Hall diri v σ H ν ( ν, 4, 6,...) (.4.3) ρ h H öz iltklik doldurma faktörü bagli olarak ld dilmis olur.
9 6 5 kbt. E F hπ B,5,4 r ( W ) 4 3 3.58 m Klasik Hall Diri ρ H 583Ω,3, r H ( h/ ),,,,,4,6,8, B / B Skil (.4.) : Hall dirii ( ρ H ) v akim yöüdki diri ( ρ ) maytik alala dgisimi.
8 D T : Durum Yogulugu ( D T ) / D, T 6 4 8 6 4 T : Doldurma Faktörü kbt. E F,,,4,6,8, B / B dgisimi. Skil (.4.) : Doldurma faktörü v durum yoguluguu maytik alala
3. ELEKTROSTATIK IÇ UYUM Iki boyutta (z düzlmid), y dogrultusuda v d<<d araligida düzgü dagilmis () lktro dizii l alalim. Düzgü dagilmis doorlari olusturdugu potasiyl V bg () olsu. Elktrolar arasi tkrarli Coulomb tkilsmlri, Hartr yaklasimi il blirlir. Bu potasiyl V H () il göstrlim. V H, κ d ( ) d K( ) ( ) d (3.) il göstrilir. V H (), lktro yogulugu tarafida Poisso sitligi il buluur. Dgistokus v korlasyo tkilri ihmal dilip v spi djrasyou hsaba katilmamistir. Böyl lktrolara tkiy toplam potasiyl, V ( ) V ) V ( ) ( (3.) bg + H olur.κ, malzmi ortalama sabit dilktrik sabiti v lktro yükü olmak üzr, ( ) K, siir kosullari altida çözül, K ( ) ( d ) ( d ) + d, l (3.3) ( )d krl (çkirdk) foksiyoudur [5,6,7]. Düzgü dagilmis doorlari olusturdugu potasiyl asagidaki gibidir. ( d), E π d κ V bg ( ) E (3.4), Hall çubuguda pozitif yüklri ( doorlari ) homoj yogulugudur. Iç uyumlu çözüm is Thomas Frmi Poisso yaklasimia (TFPA) v Thomas Frmi Yaklasimia (TFA) dayair.
3. THOMAS-FERMI YAKLASIMI V ( ), maytik uzuluk birimid ( l h ) sviylri prtürb olmus gibi davrair[5,6,7]. Bu durumda; mw yavas dgisiyorsa, Ladau ( X ), E w ( ) E ( X ) E + V h + (3..) sklid ld dildikt sora Durum yogulugu ( DOS ) blirlir v burada lktro dagilimii ld dilir. D πl ( E) δ ( E ) E (3..) ( ) ded( E) f ( E+ V ( ) µ ) (3..3) Burada ( E ) ( p( E k T ) + ) f B Frmi foksiyou, µ kimyasal potasiyl, k B Boltzma sabiti v T siakliktir. Sistm iki boyutlu ( D ) v pozitif yüklri ( doorlari ) sayi yogulugu dir. Bu yüklri olusturdugu potasiyl V bg () ( Bakgroud potasiyl ) dir. Prdlm paramtrsi α π a d, prdlm uzulugu a κh ( m ) olup, s lktrolari buludugu bölgyi b gisligid sçip, T v B daki durumu ilygiz. Bu durum içi sistm tkiy toplam potasiyl rji; ( ) V ( ) K(, )[ µ V ( )] V bg α s d d d d (3..4)
* sklid olur. Elktro dagilimi da m ( π ) ( B, T ) D [ V ( )] 3 D olmak üzr h ; µ olur. Ortalama lktro sayi yogulugu ( B, T ) d ; d dir v sistmi Frmi rjisi d E F D olur. Iki boyutlu lktro gazii tk boyuta idirgyrk b il +b arasida simtrik olarak lktrolari dagildigii kabul dilir. V bg ( ) potasiyli ilk dgrmis gibi hsapta kullailir. (3.), (3..) v (3..3) dklmlrid maytik alada yüksk siaklikta lktro yoguluguu hsaplaabilir. Daha sora siakligi adim adim düsürrk Nwto-Rapso yötmi yaklasimi il çözülür. 3. THOMAS-FERMI-POISSON YAKLASIMI Iki boyutlu lktro gazi, z düzlmid v <-d il >d d bulua düzlmsl kapilarla karlarda siirladirilir. Bu kapilar sirasi il V L v V R potasiyllri il bslir. d b gisligi sahip bosaltilis bölglr hr iki tarafta da simtrik olduguda sad V(±)V L V R il V()V(-) simtrik potasiyl özlligi göstrir. Bu da lktro yoguluguu simtrik birakir v ( ) ( ) sklid olur. Pozitif yüklri (doorlari) yogulugu olmak üzr, homoj yüzy yük yoguluguu ( ) [ ( ) ] ρ olarak taimlairsa sistmdki potasiyl; V κ d ( ) d K(, ) ρ( ), K(, ) l ( d ) ( d ) ( ) d d + d (3..) sklid olur [6,7]. Bu durumda Poisso sitligi bir lktrou potasiyl rjisi içi souç vrir.
4 3.3 IÇ UYUMLU (SELF-CONSISTENT) ÇÖZÜM Iç uyumlu (slf-osistt) çözüm Doorlar Elktrolar Kapilar Poisso dk. V() ε ( X Ψ α ) ε ( ) + V( X δ ( X ) ) l Eltro yog. ( ) ded( E) f ( E+ V ( ) µ ) Skil(3.3.): Thomas-Frmi-Poisso yaklasimi il iç uyumlu (slfosistt) çözümü smatik alatimi. Karlardaki kapilari (gats) taimlayip sistm doorlari yrlstirdikt sora kuatum kuyularida da bildigimiz tuzaklama yötmi il lktrolari kuatum kuyusu içrisi hapsttikt sora (Skil (3.3.)) doorlari olusturdugu ilk potasiyl V bg ( ) i tkisi il lktrolari malzm üzridki dagilimlari blirlir. Daha sora bu dagilimi Poisso dklmi il çözüp sistmi olusturdugu potasiyli hsapladikta sora tkrar lktro dagilimii hsaplair v bu olay sistm dgy yai lktro dagilimi dgy gl kadar bir çmbr sklid dvam ttirilir[6,7].
5 Skil(3.3.): (a) Üst üst prslmis farkli yari iltklrl, (b) kuatum kuyusu içrisid olusturula lktro dizi v () bu lktrolari kuatum kuyusu içrisid Frmi rjisi altida bulumalari.
6 4. SIKISTIRILAMAZ BÖLGELER B Skil(4.): (a,d) Iki boyutlu lktro gazi. (b,) bu gaza dik v düzgü uygulaa maytik alai tkisiyl olusa Ladau sviylri. (,f) lktro dagilimii göstrimi.
7 Skil (4.) i ilirs, (a) da malzm üzri uygulaa dik v düzgü bir maytik ala uygulaiyor. Bu durumda (b) d maytik alai tkisiyl Ladau rji sviylri olusur. Frmi rji sviysi kadar malzmy sol tarafta bakilirsa birii Ladau rji svisi (LL) kadar ola bölgd hiç lktro olmayaak, LL glidigid lktrolar ilk rji sviysi yrlsk v () d LL y gl kadar sabit kalaak. Ilrlmy dvam ttigimizd is lktrolar malzm üzrid bu özllig gör yrlsklri görülür. Fakat D.B. Chklovskii, B.I. Shklovskii v L.I. Glazma makallrid sistmi bu skild olmadigii göstrmislrdir [8]. Düsük siaklikta maytik alai tkisiyl malzm uzrid sikistirilamaz bölglr (ISs) olusaaktir. Egr malzm üzrid akim gçirilirs bu akim IS lrd gçktir. Bu olay kisaa (d,,f) d açiklamistir. () (3) () () () () (3) LL LL () () () (3) Skil(4.): Sikistirilamaz bölglri asil olustuguu alata smatik göstrim. Skil (4.) d B durumuda lktro dagilimii kirmizi il göstrildigi gibi olmasi grkir. Sistm lktro gazia dik maytik ala uyguladigida
8 olusaak ola Ladau rji sviylri (LL) Skil (4.) d görüldügü gibi lktrolar yrlsmy baslayaaklardir. () durumuda LL dolmamis, () durumuda tam dolu v (3) durumuda is LL dolmus LL a lktrolar yrlsmy baslayaaktir. Bu durumda LL dki lktrolar yüksk rji sviysid buluduklarida burada durmak istmyklr v daha düsük rji sviylri dogru harkt dip rjilrii miimum duruma gtirmk istyklrdir. Dolayisiyla (3) durumuda LL dki lktrolar, () durumudaki dolmamis LL yrlsklrdir. Bu durumda da () il (3) arasida tam dolu yörüglr olusur. Üst sviydki lktrolar rjilrii azaltmak içi alt sviylrdki hüz dolmamis sviylr yrlsmsi grkiyor is (3) durumuu sagidaki lktrolari () durumu soludaki dolmamis sviylr dogru gitmmsi ömli bir soruyu güdm gtirir. () durumudaki sviylr yrlsmlri halid hm daha gis bir sikistirilamaz bölgmiz olusmasi hm d sistm kdii daha düsük rji sviysi gtirmis olmasi fiziksl olarak trih dil bir çözümdür. Aak burada bu çözüm trih dilmmktdir. Bu soruu açiklamasi söyl yapilabilir: Bir otobada yogu bir trafigi olduguu düsülim. Araçlar hiz siirii izi vrdigi ölçüd hizli harkt tsilr. Bu durumda bir yayai karsida karsiya gçmsi imkasiz olaaktir. Blki ilk gl arai görüp oda kurtulabilktir ama sorasida hizli gl araçlarda kurtulamayip kaçiilmaz bir kazaya sbp olaaktir. Sikistirilamaz bölglrd ola olayda bu örkt oldugu gibidir. Sikistirilamaz bölglri oldugu yrd siki bir lktro dizilimi oldugu içi tam prdlm yapar v sol tarafi il sag tarafii bilgi alis vrisii ksr. Elktrolari düsük sviylr gçisi tamamladikta sora sistm dgy glir.
9 -,5 5 -,5 -,54 4 -,56 V() / E -,58 -,6 E F : Frmi rjisi 3 () -,6 -,64 -,66 T K B 3 Tsla d mm -,68 -, -,75 -,5 -,5, /d Skil(4.3): µ m gisligid, TK siaklikta, B3T büyüklügüd bir maytik ala tkisi altida 3 m lktro sayi yogulugudaki malzm üzridki lktro dagilimi. Bu lktro dagilimii olusturdugu potasiyl rji v sistmi Frmi rjisi (E F ).
3 4 () 8 6 B Tsla B 3 " B 5 " B 7 " T K d mm 4 -, -,5,,5, /d Skil(4.4): µ m gisligid, TK siakligida, 3 m lktro sayi yogulugua sahip malzm üzri uygulaa farkli maytik ala dgrlri içi lktro dagilimi.
3 5 4, 4 4,5 () 4, () 3 3,95 3,9 -,8 -,78 -,76 -,74 -,7 -,7 /d, T K T 3K T 5K T 7K (),5, B 3 Tsla d mm,95,9 -,89 -,88 -,87 -,86 -, -,5,,5, /d /d Skil(4.5): µ m gisligid, 3 m lktro yogulugua sahip malzmy, B3T büyüklügüd maytik ala tkisi altida olusa sikistirilamaz bölglr siakligi tkisi.
3 V l ( 6 m/s ) 4 3 V 3 mv V V V d mm T K T 5K 5 6 7 8 9 B (Tsla) Skil(4.6): µ m gisligid, 3 m lktro sayi yogulugua sahip malzmy kapilarda (gat) uygulaa farkli V potasiyl rjilri il maytik alaa bagli olarak sikistirilamaz bölglrd aka lktrolari hizlaridaki dgisim.
33, V l ( 6 m/s ),5,,5, d mm T K T 5K V 5 6 7 8 9 B (Tsla) V 3 mv V V Skil(4.7): 4 µ m gisligid, 3 m lktro sayi yogulugua sahip malzmy kapilarda (gat) uygulaa farkli V potasiyl rjilri il maytik alaa bagli olarak sikistirilamaz bölglrd aka lktrolari hizlaridaki dgisim.
34,5 d5 mm V l ( 6 m/s ),,5 T K T 5K V 3 mv V V V, 5 6 7 8 9 B (Tsla) Skil(4.8): µ m gisligid, 3 m lktro sayi yogulugua sahip malzmy kapilarda (gat) uygulaa farkli V potasiyl rjilri il maytik alaa bagli olarak sikistirilamaz bölglrd aka lktrolari hizlaridaki dgisim.
35 a ) b ) d mm, T 5K () () 3, d mm, T K 7 7, B (Tsla) 6 6 B (Tsla), 5 -, -,5,,5, /d 5 -, -,5,,5, /d ),3,5 W (mm) / d,,5, d mm T K T 3K T 5K,5, 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 B (Tsla) Skil(4.9): µ m gisligid, (a) T5K, (b) TK siakligida lktro dagilimi maytik alala dgisimi v sikistirilamaz bölglr. () Farkli siakliklarda sikistirilamaz bölglri kaliliklarii maytik alala dgisimi.
36 d 3mm, T K a ) b ) () d 3mm, T 5K 3, 7 7, B (Tsla) 6, B (Tsla) 6 5 -, -,5,,5, /d 5 -, -,5,,5, /d ),,5 W (mm) / d, d 3mm T K T 3K T 5K,5, 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 B (Tsla) Skil(4.): 6 µ m gisligid, (a) T5K, (b) TK siakligida lktro dagilimi maytik alala dgisimi v sikistirilamaz bölglr. () Farkli siakliklarda sikistirilamaz bölglri kaliliklarii maytik alala dgisimi.
37 5. KENAR ETKILERI VE DONOR DAGILIMI Simdiy kadar sistmdki door dagilimii düzgü alidi. Ama grçkt kar tkilrid dolayi doorlar sabit bir dagilim göstrmyip orta bölglr dogru yogulasma gilimi göstrilmktdir[7]. Dogal olarak bu durum sistm üzrid bazi dgisikliklr mydaa gtirktir. Doorlari orta bölglrd yogulasmasi souu lktro gazi il çkii tkilsmlrid dolayi lktrolari orta bölglrd yogulasmasii saglayaaktir. Bu dagilimi alata iki farkli door dagilimi içi sistmi ildik[7]. Skil (5.) d ksikli v parabolik door dagilimi içi lktro gazia tkiy potasiyllr görülüyor. Burada u d il taimlamis v door yogulugu ( u) dur. Bu dagilima sahip doorlari lktro gazia tkiy ilk (bakgroud) potasiyli d V bg ( u) dur. paramtrsi d doorlari hagi aralikta sabit dagilim göstrdigi alatir. Dolayisiyla paramtrsii sçrk door dagilimii blirlmis olur. Ksikli door dagilimida doorlar d bölglri arasida lir arta bir skild dagilim göstrirk ara bölgd is oktasida itibar kski bir skild dgisrk sabit bir dagilim göstrir. Parabolik dagilimda is d bölglri arasida parabolik bir gri sklid dagilim göstrirk ara bölgd is oktasida itibar parabolik gri saysid daha yumusak bir gçis yaparak ayi ksikli dagilimda oldugu gibi sabit bir dagilim srgilr. Skil (5.) d görüldügü gibi ksikli v parabolik dagilimlari altida lktro dagilimi, bu dagilimi olusturdugu potasiyl, sikistirilamaz bölglr v bu bölglrdki lktrolari hizi ilmistir.
38 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) < + < + + < < +,,,,,, u u u u u u u u u u ρ ρ Skil(5.): i dgrlri gör farkli ρ (u) (ksikli dagilim) v ρ (u) (parabolik dagilim) door dagilimlarii olusturduklari ilk potasiyllr v u da farkli door dagilimlarii olusturdugu potasiyllrii dgisimi.
39 Skil(5.): B v T dgrlrid, i farkli dgrlri gör sirasiyla ρ (u) v ρ (u) door dagilimlarii prdlmis potasiyllri v frmi rjisii farkli door dagilimlari altida y bagliligi.
4 4 Parabolik Dagilim ( r (u) ) 3 ν.6.8. Frmi Erjisi V(u) / E, -, -, -,3 -,4 d3mm TK B5Tsla -,5 -, -,5,,5, u Skil(5.3): 6µm gisligid,tk siaklikta, parabolik door dagilimda.6,.8, dgrlri içi v B5T maytik alada lktro dagilimlari v bu lktro dagilimii olusturdugu potasiyllr.
4 Ksikli Dagilim ( r (u) ) 4 3 ν.6.8. Frmi Erjisi, V(u) / E -, -, d3mm TK B5Tsla -,3 -, -,5,,5, u Skil(5.4): 6µm gisligid,tk siaklikta, ksikli door dagilimda.6,.8, dgrlri içi v B5T maytik alada lktro dagilimlari v bu lktro dagilimii olusturdugu potasiyllr.
4 Skil(5.5): TK (kali çizgi) v T5K (i çizgi), dµm (üs), 3 µm (orta), 5µm (alt) gisligid, doldurma faktörüü ν oldugu durumdaki ρ (u) (a,,) v ρ (u) (b,d,f) door dagilimlarida olusa sikistirilamaz bölglri kaliliklarii maytik alaa gör dgisimi.
43 6. SONUÇ VE TARTISMA Klasik Hall olayidaki rjii sürkliligi, iki boyutlu olarak il bu kuatum Hall olayida artik gözlmmktdir. Bu ilk olarak Ladau rji sviylrid görülüyor. Bua gör lktrolar izi vril hrhagi rji sviylri rastgl dgil, maytik alaa bagli olarak kuatumlaa Ladau rji sviylrid buluaaklardir. Burada siakligi büyük bir ömi oldugu görülmktdir. Siakligi artmasi sistmi gittikç klasik Hall olayia yaklastirir. Kuatum Hall olayii ömli souçlarida biri d, iki boyutlu iltkligi h 583 ohm üzrid kuatiz olmasidir. Bu durum azida 5 d bir dogrulukla öziltkligi ölçülbilm olaagii saglar. Bu çalismada görüldügü gibi akim, düsük siaklikta v yüksk maytik ala dgrlrid olusa sikistirilamaz bölglrd akmaktadir. Sikistirilamaz bölglrdki lktrolar sikistirilabilir bölglr gör birbirlri daha yakidirlar. Egr malzm üzrid akim akitilirsa lktrolar bu siki bölglrd (sikistirilamaz bölglrd) iltimi daha kolay yapaaklarida dolayi akim maytik alai tkisiyl olusa sikistirilamaz bölglrd akaaktir. Siakligi sabit tutup ( T < K ) maytik ala arttirilirsa ( B > 7. 4T ) lktrolar Ladau rji sviylrii altia iklrid sikistirilamaz bölglr ortada kalkaaktir v bu durumda is akim tüm yüzyd akaaktir. Ayi skild maytik alai sabit tutup ( 4.5 K < B < 7. 4 K ) siaklik arttirilirsa ( T > K ) Ladau rji sviylri ortada kalkip sürkli bir rji sviylri olusaaktir v dolayisiyla sikistirilamaz bölglrd kaybolaaklardir. Bu durumda da akim tüm yüzyd akaaktir.
44 Ilk olarak sikistirilamaz bölglri olusumu hsaba katilmada sad Ladau kuatizasyou göz öü aliarak lktro hizii foksiyol formu v maytik alai lktrik alaa bagimliligi ld dildi. SPV (surfa photovoltag) dylrii [9] yorumlari, ld ttigimiz souçlarla v digr dylrl [] siddtli bir skild trs düstügü göstrildi. Örgi karlarida lktrik alai F B sklid davradigi iç uyumlu potasiyli gimii B il dgistigi görüldü. Mah- Zhdr itrfromtr [,] tipi dylri souçlarii aaliz dilmsiyl, lktro hizii sabit oldugu farz tmi bazi farkli souçlara yol açaagi göstrildi. Ikii olarak, iç uyumlu potasiyli l alimasi il sikistirilamaz bölglr içid v Frmi rjisi ivarida lktro hizi ld dildi. Tk parçaikli durumda lktrou hizi B y bagimli oldugu göstrildi. Tam prdlmis potasiyli sikistirilamaz bölglrdki gimi hsapladigida maytik alai iki farkli rjim ortaya koyduguu blirldi. Bu iki rjim lir v o-lir olarak lktro hizii maytik alaa bagimli olduguu ortaya çikardi. Öyl görüüyor ki Mah-Zhdr itrfromtrsi [,] dylrii souçlari iç uyumlu (slf-osistt) bir yaklasimla tkrar gözd gçirmk, modld yata fizigi alasilmasida yardimi olaaktir.
45 KAYNAKLAR [] K. Vo Klitzig, G. Dorda ad M. Pppr, Phys. Rv. Lttr, 45, 494 (98) [] Kuatum Mkaigi Giris Bkir Karaoglu (6) [3] Katihal Fizigi Giris Charls Kittl (996) [4] K. Vo Klitzig i 9..985 yilida vrdigi Nobl drsi. Ma-Plak-Istitut für Fstkörprforshug, D-7 Stuttgart 8 [5] Afif Siddiki ad Rolf Grhardts, Phys. Rv. B 7, 95335 (4) [6] A.Siddiki ad R.R.Grhardts,Phys.Rv.B 68,535(3). [7] D. Eksi, E.Cik, A. I. Ms, S. Aktas, A. Siddiki, T.Hakioglu, Phys.Rv. B 76, 75334 (7) [8] D.B. Chklovskii, B.I. Shklovskii, L.I. Glazma, Phys.Rv. B 46, 46 (99) [9] B. Karmakar ad B. M. Arora, Pramaa, J. Phys. 67, 9 (6). [] M. Hubr, M. Grayso, M. Rothr, W. Bibrahr, W. Wgshidr, ad G. Abstr itr, Phys. Rv. Ltt. 94, 685 (5) [] Y. Ji, Y. Chug, D. Sprizak, M. Hiblum, D. Mahalu, ad H. Shtrikma, Natur (Lodo) 4, 45 (3). [] I. Ndr, M. Hiblum, Y. Lviso, D. Mahalu, ad V. Umasky, Phys. Rv. Ltt. 96, 684 (6)