{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

Transkript

1 OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,..., i ) p i Aşağıdaki gibi taımlaa, i P : U R A P( A) pi ωi A foksiyou bir olasılık ölçüsüdür. p p p olduğuda, ( A) P( A) ( Ω) olacaktır. Örek: { ω, ω, ω, ω, ω, ω} Ω Ω, U ve Ω ı elemalarıa karşılık getirile sayılar sırasıyla, p 0., p 0., p 3 0.3, p 4 0., p 5 0., p 6 0. olsu. Bu sayılara dayalı olarak taımlaa, Olasılık Ölçüsüe göre, P( ω ) 0. P : U { 6 } { 3 5} { 4 6} olur. A { ω, ω3, ω5} ve B { ω5, ω6} P( A) P( { ω, ω3, ω5} ) 0.5 P( B) P( { ω5, ω6} ) 0. P( A B) P( { ω 5 }) 0. P A B P{ ωω3ω5ω6} P( A B) P( { ω} ) 0. R A P( A) pi P( ω, ω, ω ) P( ω, ω, ω ) olayları içi ( ) (,,, 0.6 P( A B) P( A / B) 0.5 P( B) 6 ωi A

2 Böyle bir Olasılık Uzayı hagi deeyi modellemeside (hagi deeyi alamaalatımıda) kullaılabilir? Öreği, içide beyaz, siyah, 3 mavi, yeşil, sarı, kırmızı top bulua bir torbada bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyide, ya da 0 beyaz, 0 siyah, 30 mavi, 0 yeşil, 0 sarı, 0 kırmızı top bulua bir torbada bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyide kullaılabilir. Bir torbada bilimeye oralarda altı farklı rekte top bulusa, bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyi içi bir Olasılık Uzayı asıl oluşturulabilir? Aşağıdaki olasılık uzayı hagi deeyleri modellemeside kullaılabilir? Ω ω, ω, ω, ω, ω, ω { } Ω U p, p, p 3, p 4, p 5, p P : U R ( A) A P( A) pi 6 ωi A Bu olasılık uzayı düzgü bir tavla zarıı atılması deeyide kullaılabilir mi? Ω ω, ω, ω, ω, ω, ω üzeride kaç tae olasılık uzayı oluşturulabilir? Ω ı elemalarıa, { } ) p 0, i,,3, 4,5,6 i 6 ) p i i olmak üzere, sosuz farklı şekilde p, p, p3, p4, p5, p 6 sayıları karşılık getirilebilir. Bu sosuz tae Olasılık Uzayıda hagisi elimizdeki tavla zarıı modellemektedir? Zarı maddesel olarak homoje olduğuu düşüürsek, p, p, p 3, p 4, p 5, p 6 alıması uygu görümektedir. Yüzeylerdeki oktalar içi açıla kuyular göz öüe 6 alıırsa, p 0.64, p 0.65, p , p , p , p öerilebilir. Buda sora, tavla zarları (hilesiz) içi, Ω ω, ω, ω, ω, ω, ω { } Ω U p, p, p 3, p 4, p 5, p P : U R ( A) A P( A) pi 6 ωi A Olasılık Uzayıı kullaacağız. Atış sırasıda zar tutmayı aklııza getirmeyi.

3 .. Ω { ω, ω,, ω, } olsu. Sayılabilir sosuz elemaa sahip ola Ω ı her ω i elemaıa aşağıdaki özellikleri sağlaya bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,, Ω U olmak üzere, i ) p i foksiyou bir olasılık ölçüsüdür. Örek: { ω, ω, ω,...} 3 i P : U R A P( A) pi ωi A Ω Ω, U ve Ω ı elemalarıa karşılık getirile sayılar sırasıyla, p, p, p, olsu. Bu sayılara dayalı olarak taımlaa, P : U R olasılık ölçüsüe göre, P( ω ) 0.5 { } p A P( A) i ω i A 5 P( { ω, ω3, ω 5} ) P( { ω3, ω4, ω5,... }) P( { ω, ω} ) 0.5 ω, ω, ω,... B ω, ω olayları içi olur. A { } ve { } P( A) P( { ω, ω3, ω5,... }) P( B) P( { ω5, ω6} ) P( A B) P( { ω 5 }) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A B) P( { ω 6 }) 6 64

4 P( A B) / 3 P( A / B) P( B) 3/ 64 3 Böyle bir Olasılık Uzayı hagi deeyi modellemeside (hagi deeyi alamaalatımıda) kullaılabilir? Öreği, düzgü bir paraı tura geliceye kadar atılması ve üste gele yüzeyi gözlemesi deeyide kullaılabilir. Bu durumda Örek Uzay, Ω Y, YT, YYT, YYYYT, YYYYT,... { } olup, yukarıdaki A olayı, turaı tek sayılı atışlarda gelmesi olayı olacaktır. 3. Ω R (veya Ω R ) olsu. Ölçme souçları geellikle sayı olarak ifade edildiğide bu e çok karşılaşıla bir durumdur. Böyle bir Ω Örek Uzayıdaki olaylar (altkümeler) içide bizi e çok ilgiledireler aralık türüde olalar R, reel sayıları kümeside ( a, b) { x R : a < x < b} olmak uzere U {( a, b) : a < b, a, b R} [ a, b] { x R : a x b} olmak uzere U {[ a, b] : a b, a, b R} ( a, b] { x R : a < x b} olmak uzere U {( a, b] : a < b, a, b R} 3 4 { R} [ a, b) { x R : a x < b} olmak uzere U [ a, b) : a < b, a, b (, a) { x R : x < a} olmak uzere U5 {(, a) : a R} (, a] [ x R : x a} olmak uzere U {(, a] : a R} 6 ( a, ) { x R : x > a} olmak uzere U {( a, ) : a R} 7 [ a, ) { x R : x a} olmak uzere U {[ a, ) : a R} 8 Ω sııfları birer σ -cebir değildir. U kuvvet kümesi bu sııfları her birii kapsamakta Ω U kuvvet kümesi bir σ -cebirdir. Acak, bu σ -cebir üzeride Olasılık Ölçüsü taımlamak matematik teorisi açısıda sıkıtılı olmakta Buu ileride kavrayabilecek düzeye geleceksiiz. Örek Uzayımız reel sayılar olduğuda, σ -cebir olarak tüm aralıklar ile bular üzeride,, / işlemlerii solu veya sayılabilir sosuz kez uygulamasıyla ortaya çıka kümelerde oluşa ve adıa Borel Cebiri dee σ -cebir kullaılacaktır. Borel Cebiri geellikle B harfi ile gösterilmektedir. P Olasılık Ölçüsüü B de taımlı olduğuu düşüeceğiz. P : B R A P( A) ve P ( R ) olup, bir birim olasılık R üzerie dağılmış olacaktır. R üzerideki bir P olasılık ölçüsüe olasılık dağılımı da demektedir.

5 Taım: P reel sayılardaki Borel Cebiri üzeride bir Olasılık Ölçüsü olmak üzere, F : R [0, ] x F( x) P((, x]) foksiyoua P olasılık ölçüsüe karşılık gele dağılım foksiyou veya kısaca dağılım foksiyou deir. Teorem: P olasılık ölçüsüe karşılık gele dağılım foksiyou, F( x) P((, x]), x R olmak üzere, a) F azalmaya ( x < x F( x ) F( x)), Đspat: b) F sağda sürekli (lim F( x + h) F( x)), + h 0 c) lim F( x) 0, lim F( x) x x + x < x, x, x P(, x ) P(, x ) F( x ) F( x ) a) ( ] ( ] ( ] ( ] b) A, x +,,,3,... içi A A A lim P( A ) P( A ) lim P, x + P, x P, x + lim F( x + ) F( x) (( ]) A,,,,3,... içi c) ( ] A A A lim P( A ) P( A ) lim P ((, ] ) P (, ] P( ) 0 lim F( ) 0 lim F( x) 0 x

6 ( ] A,,,,3,... içi A A A lim P( A ) P( A ) lim P ((, ] ) P (, ] P( Ω ) lim F( ) lim F( x) 0 x Bir P olasılık ölçüsüe karşılık gele F dağılım foksiyou azalmaya, sağda sürekli, eksi sosuzda limiti sıfır ve artı sosuzda limiti bir ola bir foksiyodur. Tersie, böyle bir F foksiyou yardımıyla, P((, b]) F( b), (, b] B olacak şekilde bir olasılık ölçüsü taımlaabilir. a < b, a, b R içi P(( a, b]) F( b) F( a) P(( a, )) F( a) P({ a}) F( a) lim F( a h) F( a) F( a ) + h 0 olduğu kolayca gösterilebilir. Örek 3: 0, x < 0 F( x) x, 0 x <, x foksiyou, azalmaya, sürekli ve lim F( x) 0, lim F( x) ola bir foksiyo olup, x dağılım foksiyou olma özelliklerii sağlamakta x + F(x) x

7 Bu dağılım foksiyoua karşılık gele P olasılık ölçüsüü göz öüe alalım. ({ }) ( ) ( ) ({ }) ( ) ( ) 0, P 0.5 F 0.5 F P a F a F a a R P((, / ]) F(/ ) F( ) / P((/ 3, / ]) F(/ ) F(/ 3) / / 3 / 6 P([ / 3, 3]) F(3) lim F( h) h 0 3 / / P((/ 3, )) F(/ 3) / 3 / 3 Dağılım foksiyouda olasılık hesabı yapmak, Fizik dersleride gördüğüüz yolzama grafiğide yol miktarıı hesaplamaya bezemektedir. Hatırlatma: Bir hareketi yol-zama ve hız-zama grafikleri aşağıdaki gibi olsu. Yol-zama grafiğide t aıda t aıa kadar geçe zama aralığıdaki yol miktarı y t ) y( ) farkıa eşittir. Bu yol miktarı hız-zama grafiğide v ( t) dt alaıa eşittir. t t ( t Yol-zama grafiği ya da hız-zama grafiği tek başıa hareketi alatmakta Biride diğerie türev-itegral alarak geçilmektedir. Bular hareketi birer matematiksel modelidir (alatımıdır). Bu grafikler dik atış içidir. Modelde, cismi e kadar bir yüksekliğe çıkabileceği, e kadar bir zama sora yere düşeceği, yere düştüğü adaki hızı, belli bir ada buluduğu koumu ve hızı gibi hareket ile ilgili souçlar elde edilebilir. Modeli verdikleri ile gerçek düyada olup biteleri tamamıyla ayı olduğu söyleemez. Öreği, başlagıç aıda modeli alattığıa göre hız aide v 0 değerie ulaşmakta Bu gerçek düya ile ilgili gözlemlerimize ters düşmektedir. Gerçek düyada eler olmaktadır? Buları modeldeki yeri e olabilir?

8 Yukarıdaki F dağılım foksiyou x 0 ve x oktaları dışıda türevleebilir. Bu iki okta dışıda, türev foksiyou, 0, < x< 0 df( x) f ( x), 0< x< dx 0, < x< olmak üzere, / / P((/ 3, / ]) F(/ ) F(/ 3) f ( x) dx. dx / / 3 / 6 /3 /3 ({ }) ( ) ( ) ( ) 0, P a F a F a f x dx a R a a Bir F dağılım foksiyouu türevi ola f foksiyoua, heme aşağıda, olasılık yoğuluk foksiyou diyeceğiz. Olasılık yoğuluk foksiyolarıda olasılık hesabı, hızzama grafiğide yol hesabıa bezemektedir. Hız-zama grafiğide belli bir zama aralığıda alıa yol miktarı bir alaa karşılık geldiği gibi, olasılık yoğuluk foksiyouda da bir aralığı olasılığı bir alaa karşılık gelmektedir. Yalız, olasılık yoğuluk foksiyoları hiçbir zama egatif değer almamakta Bir P olasılık ölçüsüe (olasılık dağılımıa) karşılık gele F : R [0,] dağılım foksiyou, ) f ( x) 0, x R ) f ( x) dx özelliklerie sahip bir f foksiyou yardımıyla, x F( x) f ( x) dx, x R biçimide yazılabiliyorsa, olasılık dağılımıa sürekli dağılım ve f foksiyoua bu dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou demektedir. Sürekli bir dağılımı F dağılım foksiyou sürekli bir foksiyodur. Ayrıca, a < b, a, b R içi b P(( a, b]) F( b) F( a) f ( x) dx P({ a}) F( a) lim F( a h) F( a) F( a ) 0 + h 0 Örek 4: Bir olasılık dağılımıı olasılık yoğuluk foksiyou, x e, x 0 f ( x) 0, x< 0 olsu. Bu dağılımı dağılım foksiyou, a

9 F : R [0,] 0, x< 0 x x 0, x 0 x < x x F( x) e dx t t e x e dt, x 0 e, x 0 0 t 0 f(x) F(x) 4 5 x x Bu olasılık dağılımıda birim olasılık (0, ) aralığı üzerie dağılmıştır. Ayı uzuluklu ola (, ) ile (4,5) aralıklarıda ilkii olasılığı daha büyüktür. 5 x x e dx F() F() > e dx F(5) F(4) 4 x-ekseide sağa doğru gittikçe aralıkları (ayı uzuluklu) olasılıkları azalmaktadır, başka bir ifade ile x-ekseide sağa doğru gittikçe yoğuluk azalmakta Örek 5: Olasılık yoğuluk foksiyouu grafiği aşağıdaki gibi ola bir dağılımda, olasılık sıfır etrafıda yoğulaşmış olup, ( 3,3) aralığıı dışıda olasılık heme heme sıfır Olasılık yoğuluk foksiyou sıfıra göre simetriktir. Olasılığı %50 si sıfırı sağıda Grafiği ça eğrisi ismii de taşıya bu olasılık yoğuluk foksiyou,

10 x f ( x) e, < x< π Örek 6: Aşağıdaki foksiyo da dağılım foksiyou özelliklerii taşımaktadır (azalmaya, sağda sürekli, lim F( x) 0, lim F( x) ). x x + 0, x < F( x), x < +,,, + F(x) 3 4 x Bu dağılım foksiyoua karşılık gele P olasılık ölçüsüü göz öüe alalım. A B, A (, ) içi P( A ) 0 A { },,, 3, içi, P ({ }) F ( ) lim F ( h ) + h 0 + ( + ) Üstelik, + P( Z ) P( { }) ( + ) olup, bir birim olasılık pozitif tamsayılara karşılık gele oktalara dağılmıştır.

11 Dağılım foksiyou basamak foksiyou biçimide ola dağılımlarda bir birim olasılık bazı oktalara (sıçrama oktalarıa) dağılmakta Bu tür dağılımlara kesikli olasılık dağılımları demektedir. Dağılım foksiyouu sıçrama oktaları x,,3,... olmak üzere, f ( x ) F ( x ) F ( x ),,,3,... x( x) x + foksiyoua bu dağılımı olasılık foksiyou deir. Bu derste göreceğimiz olasılık dağılımları ya sürekli, ya da kesikli olacaktır. Örek7: Aşağıdaki foksiyo dağılım foksiyou özelliklerii (azalmaya, sağda sürekli, lim F( x) 0, lim F( x) ) taşımakta x x + 0, x < 0 F( x), 0 x <, x F(x) x Bu dağılım foksiyoua karşılık gele olasılık ölçüsü P olsu. P({0}) F(0) F(0 ) P({}) F() F( ) ve x {0, } içi P({ x }) 0 Bir birim olasılık 0 ile oktasıdadır ve eşit miktarda A {0, } içi P( A ) 0

12 4. Geometrik Olasılık. Ω, herhagi bir küme, U, Ω da bir σ -cebir ve { } m : U R A m( A) foksiyou içi : ) m( A) 0, A U ) m( ) 0 3) ( A ) U da ayrık kumeleri dizisi ike m( A ) m( A ), özellikleri sağladığıda m ye U da bir ölçü deir. Ölçü kavramı Matematiği bir kavramıuzuluk, ala, hacim ölçüleri bua birer örektir. Bir m ölçüsü içi, m( Ω ) < (solu) olduğuda, P : U R m( A) A P( A) m( Ω) olarak taımlaa P foksiyou U da bir olasılık ölçüsüdür. Herhagi bir m ölçüsü içi B U ve m( B ) < olsu. U B { A : A B C, C U} olmak üzere, P : U R A m( A) PB ( A) m( B) foksiyou U B de bir olasılık ölçüsüdür. B B Şimdi geometrik olasılık diye bilie ve uzuluk, ala, hacim yardımıyla taımlaa olasılık ölçülerie değielim. N, M R, N < M içi Ω [ N, M ] aralığıı göz öüe alalım. A Ω bir aralık olduğuda, A ı aralık uzuluğu P( A ) Ω ı aralık uzuluğu ve diğer A Ω altkümeleri (aralıkları birleşimi, kesişimi, tümlemesi türüde olalar) içi " A ı uzuluk ölçüsü" P( A ) Ω ı aralık uzuluğu olarak taımlaabilir. Buradaki Ω ı bir olasılık deeyii Örek Uzayı olduğuu göz öüde kaçırmayı.

13 ve Ω R, solu alalı bir küme olmak üzere A ı ala ölçüsü P( A) Ω ı ala ölçüsü 3 Ω R, solu hacimli bir küme olmak üzere, A ı hacim ölçüsü P( A) Ω ı hacim ölçüsü olarak taımlaabilir. Bu olasılık ölçüleri, bir birim olasılığı Ω üzeride düzgü olarak dağıldığı durumlar içi kullaışlı Örek 8: Ω,, + {( x y) : ( x y) R, x y 9} olmak üzere, A ı ala ölçüsü P( A) Ω ı ala ölçüsü 4 A {( x, y) : 0 x, y } içi P( A) 9π B x y x y P B {(, ) : + } içi ( ) 9 C {( x, y) : ( x, y) Ω, x y} içi P( C) 0 Örek 9: Yarıçapı birim ola dairesel ice madei bir pul, taba yarıçapı 3 birim ola bir silidiri içie atıldığıda tabaı merkezii örtmesi olasılığı edir? a) Pulu, tabaı merkez oktasıı örtmesi içi, pulu merkezi ile tabaı merkez oktası arasıdaki uzaklığı birimde küçük olması gerekir. Pulu merkezi ile tabaı merkezi arasıdaki uzaklık d olmak üzere 0 d dir. Deeyi souçlarıı kümesi Ω { d :0 d } ve " A ı uzuluk ölçüsü" P ( A ) Ω ı aralık uzuluğu olmak üzere, pulu taba merkezii örtmesi olayı içi, A d :0 d elde edilir. { } P ( A )

14 b) Silidiri tabaıda, başlagıç oktası silidiri merkezi ile çakışa bir dik koordiat sistemi ele alalım. Bu koordiat sistemie göre pulu merkez oktasıı koordiatlarıı ( x, y) ile gösterelim. Deeyi souçlarıı kümesi ve { x y x + y } Ω (, ) : 4 A ı ala ölçüsü P( A) Ω ı ala ölçüsü olmak üzere, pulu taba merkezii örtmesi olayı içi elde edilir. {(, ) : } A x y x + y π P ( A) π 4 Görüldüğü gibi modeller farklı souçlar vermektedir. Bu deey içi başka modeller de oluşturulabilir. Bu modellerde hagisi deeyimize "uygudur"? Pulu çok defa attığımızda olaya uygu souçları sayısıı atış sayısıa oraı bize yardımcı olabilir. Acak her atışta sora oraı bir öcekie göre değişmesi, belli sayıda atış yeide yapıldığıda ayı oraı elde edilmemesi gibi sorular ortaya çıkacaktır. Bu tür soruları daha ileri düzeyde Đstatistik bilgiside sora açıklığa kavuşacağıı yeide hatırlatalım. Şimdilik amacımız, olasılık uzayı yai model verildiğide, olasılık hesabı yapabilmektir. Beli bir ( Ω, U, P) olasılık uzayı bir olasılık deeyii modeli olarak kullaıldığıda U σ -cebirideki kümeler deey ile ilgili olaylara karşılık gelecektir. Bu σ -cebir her zama kuvvet kümesi olmak zoruda değildir. Öreği bir olasılık deeyide sadece beli bir A olayıı gerçekleip gerçeklemediği ile ilgileiyorsak σ -cebir olarak { Ω,, A, A} yı almamız yeterlidir. Eğer bir olasılık deeyide tüm olaylar ile ilgileiyorsak σ -cebir olarak Ω ı kuvvet kümesii almalıyız. Bir σ -cebir sayılabilir birleşim, sayılabilir kesişim ve tümlemeye göre kapalı A U içi A olayıı gerçekleşmesi demek deey soucuu A ı elemaı olması demektir. A, B U içi, A B { ω : ω Ω, ω A veya ω B} A B { ω : ω Ω, ω A ve ω B} A { ω : ω Ω, ω A} olduğu göz öüe alıırsa A B olayıı gerçekleşmesi demek A ve B olaylarıda eaz birii gerçekleşmesi, A B olayıı gerçekleşmesi demek A ve B olaylarıı her ikisii de gerçekleşmesi, A olayıı gerçekleşmesi demek A ı gerçekleşmemesi demektir. Bu hatırlatmaları göz öüde tutarak aşağıdaki çözülmüş problemleri iceleyiiz.

15 Çözülmüş Problemler:.Problem ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı, A, A, A3, A4, A5 U olayları tam bağımsız ve her birii olasılığı /3 olsu. a) A, A, A3, A4, A 5 olaylarıda hiç birii gerçekleşmemesi olasılığı edir? Deey soucuda A, A, A 3, A 4, A 5 olaylarıda hiç birii gerçekleşmemesi olayı A A A3 A4 A5 olmak üzere bu olayı olasılığı, 5 3 P( A A A3 A4 A5 ) P( A ) P( A ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) ( ) 3 43 b) A, A, A3, A4, A 5 olaylarıda e az birii gerçekleşmesi olasılığı edir? Deey soucuda A, A, A 3, A 4, A 5 olaylarıda e az birii gerçekleşmesi olayı A A A3 A4 A5 olmak üzere bu olayı olasılığı, P( A A A A A ) P( A A A A A ) P( A A A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) ( ) P( A A A A A ) P( A ) P( A A ) + P( A A A ) c) A, A, 3 i i j i j k i < i j 5 < i j< k 5 5 < i j< k< l 5 P( A A A A ) + P( A A A A A ) i j k l P( A ) P( A ) P( A ) + P( A ) P( A ) P( A ) i i j i j k i < i j 5 << i j k 5 P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) + P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) < i j< k< l 5 i j k l 5 0 ( ) + 0 ( ) 5 ( ) + ( ) A olaylarıda yalız birii gerçekleşmesi olasılığı edir? Deey soucuda A, A, A 3 olaylarıda yalız birii gerçekleşmesi olayı, ( A A A3) ( A A A3) ( A A A3) olmak üzere bu olayı olasılığı, P( ( A A A) ( A A A) ( A A A) ) P( A A A) + P( A A A) + P( A A A)

16 d) A, A, 3 A olaylarıda yalız ikisii gerçekleşmesi olasılığı edir? Deey soucuda A, A, A 3 olaylarıda yalız ikisii gerçekleşmesi olayı, ( A A A3) ( A A A3) ( A A A3) olmak üzere, P( ( A A A) ( A A A) ( A A A) ) P( A A A) + P( A A A) + P( A A A) e) A, A, A3, A4, A 5 olaylarıda yalız ikisii gerçekleşmesi olasılığı edir? p ( ) ( ) f) A, A, A3, A4, A 5 olaylarıda e az ikisii gerçekleşmesi olasılığı edir? p ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) p ( ) ( ) ( ) ( ) Problem Bir tavla zarıı bir kez atılması deeyide örek uzay {,, 3, 4, 5, 6} olsu. Bua göre, bir zar iki kez ardı ardıa atıldığıda örek uzay, S {( x, y) : x, y,, 3, 4, 5, 6} {(,), (, ), (,3 ), (, 4 ), (,5 ), (,6 ), (,), (, ), (,3 ), (,4 ), (,5 ), (,6 ), ( 3, ), ( 3, ), ( 3,3 ), ( 3,4 ), ( 3,5 ), ( 3,6 ), ( 4, ), ( 4, ), ( 4, 4 ), ( 4,5 ), ( 4,6 ), ( 4,7 ), ( 5, ), ( 5, ), ( 5,3 ), ( 5, 4 ), ( 5,5 ), ( 5,6 ), ( 6, ), ( 6, ), ( 6,3 ), ( 6,4 ), ( 6,5 ), ( 6,6)} ve ( S ) 36 U P( S) ve P( A) ( A) / 36 olarak taımlaa ( S, U, P) olasılık uzayıı deeyi bir modeli olarak kulladığımızda, öreği üste gele sayılar toplamıı 9 da büyük olma olayı, olmak üzere, bu olayı olasılığı A {(5, 5),(6, 4),(4, 6),(5, 6),(6, 5),(6, 6)} P( A) ( A) / 36 6/ 36 / 6

17 Birici atışta gele sayıı ikici atışta gele sayıda farklı olması olayı B {( x, y) S : x y} olmak üzere ( B ) 30 ve P( B ) 30/ 36 5/ 6 Birici veya ikici atışta çift sayı gelmesi olayıı olasılığıı hesaplamak içi C. atışta çift sayı gelmesi D. atışta çift sayı gelmesi olaylarıı taımlayalım. O zama araa olasılık P( C D) P( C) + P( D) P( C D) veya P( C D) P( C D) P( C D) Gele sayılar toplamıı 9 da büyük olduğu bilidiğide, birici atışta 6 gelmiş olması olasılığı edir? E olayı birici atışta 6 gelmesi olayı olsu. Sorula olasılık, P( E A) 3/ 36 P( E / A) P( A) / 6 A,B,C,D,E olaylarıı bağımsızlığıı araştıralım. 4 P( A B) 36 olup A ile B bağımsız değildir. 5 P( A). P( B) P( A C) 36 P( A). P( C) 6 4 P( A D) 36 P( A). P( D) 6 olup A ile C bağımsız değildir. olup A ile D bağımsız değildir. değildir. P( E A) 3/ 36 P( E / A) P( E) olduğuda A ile E bağımsız P( A) / 6 6

18 . 5 P( B C) 36 5 P( B). P( C) 6 5 P( B D) 36 5 P( B). P( D) 6 5 P( B E) 36 5 P( B). P( E) P( C D) 36 P( C). P( D) P( C E) 36 P( C). P( E) 6 olup B ile C bağımsız değildir. olup B ile D bağımsız değildir. olup B ile E bağımsız olaylar olup C ile D bağımsız olaylar olup C ile E bağımsız olaylar değildir. 3 P( D E) 36 olup D ile E bağımsız olaylar P( D). P( E) 6 P( A B C) 36 olup A,B,C olayları 3-lü bağımsız değildir. 5 P( A). P( B). P( C) 6 6 P( A B C D) 36 5 P( A). P( B). P( C) P( D) 6 6 olup A,B,C,D olayları 4-lü bağımsız değildir. P( A B C D E) 36 olup A,B,C,D,E olayları 5-li bağımsız değildir. 5 P( A). P( B). P( C) P( D). P( E) 6 6 6

19 3 P( C D E) 36 olup C,D, E olayları 3-lü bağımsız değildir. P( C). P( D). P( E) 6 Daha kaç tae karşılaştırma yapılacaktır? 5 tae olay içi 3 tae eşitliği karşılaştırılması gerekmektedir. 3.Problem a, b, c, d harfleri 4 ayrı kağıt parçasıa yazılsı ve bir kavaoza atılsı: ) çekilei geri atma şartıyla ardarda, ) çekilei geri atmama şartıyla ardarda, 3) ayı ada üç tae kağıt parçası çekilsi. Bu deeyleri Örek uzayları sırasıyla S { a, b, c, d} { a, b, c, d} { a, b, c, d} {( x, y, z) : x, y, z { a, b, c, d}} S {( x, y, z) : x, y, z { a, b, c, d}, x y, x z, y z} S {{ x, y, z} :{ x, y, z} { a, b, c, d}} 3 olmak üzere ( S) , ( S) 4 3 4, ( S3) 4 * Bu deeyleri her biri içi; çekilişlerde a harfii kavaozda alımamış olması olayıı olasılığıı hesaplayalım.. deey içi olay A { b, c, d} { b, c, d} { b, c, d} olmak üzere, ( A ) P ( A) ( S ) deey içi olay olmak üzere, B {( x, y, z) S : x, y, z { b, c, d}} ( B) 3 P ( B) ( S ) deey içi olay C {{ b, c, d}} olmak üzere, ( C) P3 ( C) ( S3) 4 * Çekile üç harfi de ayı harf olması olayıı göz öüe alırsak,.deey içi olay, A {( a, a, a),( b, b, b),( c, c, c),( d, d, d)} ikici deey içi B ve üçücü deey içi C olmak üzere olasılıklar

20 olacaktır. 4 P ( A), P ( B) 0, P3 ( C) 0 64 olmak üzere, * Çekile üç harf arasıda a veya b i gelmesi olayı;. deey içi A S \{ c, d} { c, d} { c, d} ( A) 8 7 P ( A) ( S ) deey içi B S, P( B) ve 3. deey içi C S3 olmak üzere, P( C ) * Đlk öce a sora b ve sora c i çekilmesi olayı;. deey içi A {( a, b, c)} olmak üzere P ( A ) / 64,. deey içi B {( a, b, c)} olmak üzere P ( B ) / 4, 3. deey içi böyle bir olay taımsız * E,. deeyde çekile harfleri birbiride farklı ve alfabetik sıraya göre çekilmesi olayı olmak üzere, ( E) 4 3 3! P ( E) ( S) 64 6 * D, ). deeyde b harfii. çekilişte gelmesi olayı olmak üzere ( D) 3 P ( D) ( S) 4 4 * F, 3).deeyde a ve b harflerii çekilmesi olmak üzere ( F) P3 ( F) ( S ) 4.Problem Bir kavaozda k tae kırmızı ve b tae beyaz top bulusu. Bir top çekilip regie bakıldıkta sora bu rekte başka c tae top ile birlikte kavaoza geri atılsı. B, i,, i.çekilişte beyaz top gelmesi olayı, i K i, i,, i.çekilişte kırmızı top gelmesi olayı olmak üzere:

21 k b P( K), P( B ) b + k b + k P( K ) P[( K B ) K ] P( K K ) + P( B K ) P( K ) P( K / K ) + P( B ) P( K / B ) P( K ). P( K / K ) + P( B ). P( K / B ) k k + c b k + b + k b + k + c b + k b + k + c k b + k b P( B ) P( K) b + k Görüldüğü gibi P( B ) P( B ) ve P( K) P( K) Bir top çekilip regie bakıldıkta sora bu rekte başka c tae top ile birlikte kavaoza geri atıldığıda olasılıklar değişmemektedir. Şimdi ikici çekilişte topu kırmızı olduğu bilidiğide birici çekile topu kırmızı olması olasılığıı hesaplayalım. P( K K) k + c P( K/ K) P( K) b + k + c Burada, b P( B/ K) P( K/ K) b + k + c 5.Problem,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları ile oluşturula, farklı rakamlı 6 basamaklı sayılarda biri rasgele seçildiğide: a) Çift sayı olması olasılığı edir? S kümesi,,, 9 rakamları ile oluşturula farklı rakamlı 6 basamaklı sayıları kümesi (Örek Uzay) olmak üzere, ( S ) Çekile sayıı çift sayı olması olayı, A { x S : x çift sayı} olmak üzere, ( A ) A olayıı olasılığı,

22 ( A) 4 P( A) ( S) 9 Buda soraki şıklarda Örek Uzayı yazmayacağız. b) Rakamlar toplamıı çift sayı olması olasılığı edir? B { x S : x i rakamları toplamı cift sayı} ve k,, 3, 4 içi Bk { x S : x sayısıı k tae rakamı cift} olmak üzere, B B B 4 ( B) ( B ) + ( B ) 4 ve !+ 6! 40 6! ! 40 3! 0 P( B) c) Çift rakamları ya yaa (bir arada) olması olasılığı edir? C { x S : x deki cift rakamlar yayaa} olmak üzere, C C S C ( B B B B ) 3 4 ( C B ) ( C B ) ( C B ) ( C B ) 3 4 ( C) ( C B ) + ( C B ) + ( C B ) + ( C B ) !+ 5!!+ 4! 3!+ 3! 4! ve ( C) 4 6! P( C) ( S) d) 3 tae rakamı tek, 3 tae rakamı çift veya 8 rakamıı içermesi olasılığı edir? D { x S : x, 8 rakamıı icerir} olmak üzere D B3 D olayıı olasılığı,

23 P( D ) P( B ) + P( D) P( B D) 3 3 ( B3 ) + ( D) ( B3 D) ( S) !+ 6! 6! / 4 e) Çift sayı olması veya 8 rakamıı içermesi olasılığı edir? E A D olmak üzere araa olasılık P( E) P( A) + P( D) P( A D) ! ! ( S) ( S) f) Rakamları azala veya arta sırada olması olasılığı edir? F { x S : x deki rakamlar azala veya arta sırada} olmak üzere ( F ) ! ve P( F 6! 360 g) 3 tae rakamı tek, 3 tae rakamı çift, tek rakamlar azala ve çift rakamlar azala sırada olması olasılığı ! 3! 3! ( S) h) 3 tae rakamı tek, 3 tae rakamı çift olması, ayı ciste iki rakamı yayaa olmaması ve sayıdaki e büyük tek rakamı teklere göre e sağda olması olasılığı [3! 3!] 3! ( S)

24 i) Ya yaa iki çift rakam bulumaması olasılığı edir? I { x S : x de yayaa iki cift rakam yok} olmak üzere ve I ( I B ) ( I B ) ( I B ) ( I) 6!+ 4!!+ 3! 3! ( I) P( I ) ( S) j) Rakamlar toplamıı e az 3 olması olasılığı edir? K rakamlar toplamıı e az 3 olması olayı olmak üzere P( K) P( K) 6! 6! + ( S) ( S) Problem Elimizde,,,3,..., sayıları ile umaralamış tae top ve tae kutu bulusu. Bir topu umarası içide buluduğu kutuu umarasıa eşitse bu durumda bir "eşleşme" vardır deir. a) tae top tae kutuya her kutuda bir top buluacak şekilde rasgele atıldığıda e az bir eşleşme olması olasılığı edir? tae farklı (umaralamış) top tae farklı (umaralamış) kutuya her kutuda bir top buluacak şekilde! biçimde atılabilir. Örek Uzayı elema sayısı! dir. A, i,,3,..., olayı i. kutu içi eşleşme olması olayı olsu. i ( )! P( Ai ), i! ( )! P( Ai Aj ), i< j! ( )

25 ( 3)! P( Ai Aj Ak ), i< j< k! ( )( )... P( A A... A )! olmak üzere, e az bir eşleşme olması olayıı olasılığı, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i + i j + i j k i i i< j i< j< k P A P A P A A P A A A P A A A ( ) ( ) 3 ( )( )! + + +! 3!!... ( )... B-hiçbir eşleşme olmaması olayı olsu. Bu olayı olasılığı, P( B) P( B) P( A A... A ) ( )!! 3!! B olayıı olasılığıı p ile gösterelim. olmak üzere, p ( )!! 3!! e ( ) +...!! 3!! sayısı göz öüe alıırsa, p olasılığı e sayısıı seri açılımıdaki ( + ). kısmi toplam e ve p , p , p , p olmak üzere, p i değerleri küçük ler içi bile e değerie yakı Böylece e az bir eşleşme olması olasılığıı pratik olarak de ( > 5) bağımsız olduğuu ve yaklaşık olarak olduğuu söyleyebiliriz. b) tae top, her bir kutuda bir top olacak şekilde, kutuya rasgele atıldığıda tam r ( r ) tae eşleşme olması olasılığı edir? r içi bu olasılık! r durumu söz kousu olamaz, çükü tae kutuda kedi umaralarıa karşılık gele toplar buluuyorsa geriye kala kutuda da bir eşleşme var r,,..., içi B r olayı, tam r tae eşleşme olması olayı olsu. Bir a içi r tae eşleşmei,,, r umaralı kutularda olduğuu düşüelim. Diğer r kutuda hiçbir eşleşme olmayacak şekilde farklı düzelemeleri sayısı ( r)! p r olacaktır. Burada, ( r)! p r r P( Br ) ( ( ) ), r,,... r! r!!! 3! ( r)!

26 7.Problem,,..., sayıları ile umaralamış tae kutu ve özdeş k tae top göz öüe alalım. k tae özdeş top farklı kutuya kaç yolda dağıtılabilir? (Boş kutu kalabileceği gibi topları tümü bir tek kutuda da olabilir.) Kutular umara sırasıa göre ya yaa dizildikte sora aralarıa birer ayıraç (levha) kosu ve sadece k tae top ile - tae ayıraç göz öüe alısı. Aşağıdaki gibi bir durum, umaralı kutuda 3, umaralı kutuda 0, 3 umaralı kutuda, dört umaralı kutuda, 5 umaralı kutuda 0,..., - umaralı kutuda ve umaralı kutuda 0 tae top ola dağılışı alatmakta Bua göre farklı dağılışları sayısı, k taesi özdeş (top) ve - taesi özdeş (levha) ola - + k tae esei farklı sıralaışlarıı sayısı kadar olacaktır. Bua göre, k özdeş topu farklı kutuya dağılışlarıı sayısıı s(, k ) ile gösterilirse, ( + k )! F I s(, k ) - + k k!( )! k Öreği 3, k içi dağılışlar; HG KJ olmak üzere, dağılış sayısı 3-+ s(3,) 6 3, k 3 içi dağılışlar olmak üzere, 3-+3 s(3,3) 0 3

27 0 özdeş top 5 farklı kutuya rasgele atıldığıda (dağıtıldığıda): Boş kutu kalmaması olasılığı Topları hepsii ayı kutuda olması olasılığı Yalız bir kutuu boş olması olasılığı Yalız bir umaralı kutuu boş olması olasılığı Yalız iki kutuu boş olması olasılığı Kutularda eşit sayıda top olması olasılığı

28 8.Problem Cıvata üretile bir atölyede üç işçi çalışmakta Birici işçi üretimi %40 ıı, ikici işçi %35 ii ve üçücü işçi %5 ii gerçekleştirmektedir. Birici işçi cıvatalarda %5 ii, ikici işçi %4 üü ve üçücü işçi % ii bozuk üretmektedir. Bu atölyede üretile cıvatalarda rasgele seçile bir cıvataı bozuk olduğu görüldüğüde birici işçi tarafıda üretilmiş olması olasılığı edir? A -seçile cıvataı birici işçi tarafıda üretilmiş olması olayı A -seçile cıvataı ikici işçi tarafıda üretilmiş olması olayı A -seçile cıvataı üçücü işçi tarafıda üretilmiş olması olayı 3 B-seçile cıvataı bozuk olması olayı olsu. Bua göre sorula olasılık, P( A ) P( B / A ) P( A / B) P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) 3 3 %40 % %40 %5 + %35 %4 + %5 % Ağaç Diyagramı yardımıyla çözüm: Yolları Olasılıkları %95 Sağlam %40x%95 %40 %5 %35. Đşçi.Đşçi 3.Đşçi %5 %96 %4 %98 Bozuk Sağlam Bozuk Sağlam %40x%50.0 *** %35x%96 %35x%40.04 * %5x%98 % Bozuk %5x%0.005 * *** 0.0 *** + * + *

29 9.Problem Bir cam kavaozda beyaz 3 siyah ve bir tahta kavaozda beyaz siyah top bulumakta Rasgele bir kavaoz seçilip içide bir top çekilip diğer kavaoza atılmaktadır ve bu kavaozda bir top çekilmektedir. a) Çekile her iki topu da siyah olması olasılığı edir? b) Çekile ikici topu siyah olduğu görüldüğüde birici topu da siyah olması olasılığı edir? Yolları Olasılıkları / 3/5 /5 / / /4 3/ / /3 /3 /3 /3 / / a) b) 3 37 p / p /

30 0.Problem (0,) aralığıdaki reel sayılarda rasgele iki sayı seçildiğide çarpımlarıı 0.5 de küçük olması olasılığı edir? Örek Uzay: Ω {( x, y) : 0< x<, 0< y< } Olasılık Ölçüsü: " Aı ala ölçüsü" P( A ) " Ω ı ala ölçüsü" Đlgilediğimiz olay: A ( x, y) : 0< x<, 0< y<, xy< y Ω A 0.5 x " Aı ala ölçüsü" P( A ) " Ω ı ala ölçüsü" dx x l x x l (l l )

31 DAĞILIŞLAR VE ÖRNEK SEÇĐMĐ Bu kısımda ilk olarak eseleri kutulara (gözelere) dağılışı ve daha sora eselerde seçim ele alıacaktır. çıkmaktadır: Neseleri veya kutuları özdeş olup olmamasıa göre karşımıza değişik durumlar a) r tae farklı ese, tae farklı kutuya r farklı şekilde dağıtılabilir. b) r tae özdeş ese, tae farklı kutuya, F + ri s(, r) r farklı şekilde dağıtılabilir. HG KJ c) r içi r tae farklı ese, tae farklı kutuya her kutuda e çok bir ese olacak şekilde ( )( )...( ( r )) farklı biçimde dağıtılabilir. d) r içi r tae özdeş ese, tae farklı kutuya bir kutuda e çok bir ese olacak şekilde r farklı biçimde dağıtılabilir. (r içi r özdeş esei farklı kutuya bir dağılışı, tae kutuda r taesii bir seçimi olmak üzere, farklı dağılışları sayısı r ) e) r durumuda r tae özdeş ese tae farklı kutuya boş kutu kalmayacak şekilde, r farklı biçimde dağıtılabilir. (Boş kutu kalmaması içi r özdeş esede taesi her kutuda bir ese olacak şekilde yerleştirilir (bir tek biçimde yapılabilir) ve buda sora geriye kala r özdeş ese kutuya dağıtılır. Bua göre souç sayısı, s(, r ) F HG + r r r I F KJ HG r I KJ f),,..., ile umaralamış tae ese,,,..., ile umaralamış kutuya her kutuda bir ese buluacak şekilde! farklı biçimde dağıtılabilir. Belli bir dağılışta bir kutuu umarası ile bu kutuda bulua esei umarası ayı ise bir eşleşme vardır deir. Tüm

32 kutular içi eşleşme olacak şekilde bir tek dağılış var Bir umaralı kutuda eşleşme olacak şekildeki dağılışları sayısı (-)! Bir umaralı kutuda eşleşme ola dağılışları bazıları içi diğer kutularda da eşleşme olabileceğie dikkat edi. Belli iki kutuda, öreği ve 3 umaralı kutularda eşleşme olacak şekildeki dağılışları sayısı (-)! g) (r + r r r,0 ri,i,,..., ) olmak üzere r farklı ese,. kutuda r,. kutuda r,...,. kutuda r ese olacak şekilde farklı kutuya, F HG r r IF KJHG r r r I KJ... F HG I KJ r ( r + r r ) r! r r! r!... r! biçimde dağıtılabilir. değielim. Şimdi eselerde seçim veya başka bir ifade ile örekleme kousua kısaca A) farklı esede iadeli olarak (çekilei yerie atarak) birer birer k ese çekilmesi (çekiliş yapılması) ve çekiliş sırasıa bakılarak souçları değerledirilmesi durumuda karşımıza esei k -lı tekrarlı permütasyoları çıkmaktadır Buları sayısı k B) farklı esede iadeli olarak birer birer k ese çekilmesi ve çekiliş sırasıa bakılmaksızı souçları değerledirilmesi durumuda souçları birbiride ayırt ede özellik her bir esei kaç kez çekilmiş olması i,,..., içi x i ler her bir esei kaç kez çekildiğii göstermek üzere souç sayısı, x + x x k deklemii egatif olmaya tamsayılar kümesideki çözüm sayısı kadar Bua göre farklı souçları sayısı, s(, k ) F HG + k k I KJ Bu durumda souçlar ayı zamada farklı esei k -lı tekrarlı kombiasyoları olarak da isimledirilmektedir. C) farklı esede iadesiz olarak birer birer k ese ( k ) çekilmesi ve çekiliş sırasıa göre souçları değerledirilmesi durumuda karşımıza farklı esei k -lı permütasyoları çıkmakta Buları sayısı, ( )( )...( ( k ))

33 D) farklı esede iadesiz olarak birer birer k ese ( k ) çekilmesi ve çekiliş sırasıa bakılmaksızı souçları değerledirilmesi durumuda farklı souçları sayısı, k Her bir souca, farklı esei k -lı bir kombiasyou deir. farklı esede iadesiz olarak birer birer k ese ( k ) çekilmesi ve çekiliş sırasıa bakılmaksızı souçları değerledirilmesi deeyi ile bu esede ayı ada k ese alıması deeyi souçlar bakımıda birbirii ayısı PROBLEMLER. ω ω ω3 ω4 ω5 ω6 Ω {,,,,, }, U P( Ω ) olsu. a) P ({ ω }) / 6,,,, 6 b) P ({ ω }) /,,,, 6 P ({ ω }) P ({ ω }) /, P3 ({ ω }) 0, 3, 4, 5, 6 c) 3 3 A { ω, ω, ω }, B { ω, ω3} olmak üzere i,, 3 içi ve 3 5 olasılıklarıı hesaplayıız. P( A), P( B), P( A B), P( A B), P( A/ B) i i i i i. Ω {( x, y) R : x, y ve, A ı ala ölçüsü P( A) Ω ı ala ölçüsü olsu. Aşağıdaki kümeleri (olayları) olasılıklarıı hesaplayıız. A {( x, y) : x y}, B {( x, y) : x y}, C {( x, y) : x + y > } D A C, E {( x, y) : y > 0}, F {( x, y) : x 0, y 0}

34 3. P, P, P3 ve P 4 olasılık ölçüleri sırasıyla aşağıda verilmiş F, F, F3 ve F 4 dağılım foksiyolarıı belirlediği ölçüler olsu. 0, x < 0 0, x < [[ x]] F ( x) x, 0 x < 6 F ( x), x < 6 6 6, x 6, x 6 0, x < 0 0, x < F3 ( x) F / 4( x) x e, x 0, x Bu foksiyoları grafiklerii çiziiz ve A (, 3], B {3}, C (, 3), D (, ), E (, 0], 3 F [, ), G (7, ), H {,, 3}, I { } kümelerii (olaylarıı) P, P, P3 ve P 4 e göre olasılıklarıı hesaplayıız. 4. Bir torbaı içide 5 beyaz ve bir siyah top bulumakta 6 oyucu sırayla, a) çekile topu geri atarak, b) çekile topu geri atmaksızı, birer top çekmektedir. Siyah top çekildiğide oyu bitmekte ve çeke oyuu kazamakta Kaçıcı olmak isterdiiz?