BÖLÜM. REGRESYON İÇİN MRİS VE VEKÖR CEBRİ Bölüm de, doğrusl regreso tek değişkeli sit model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi giriş pılcktır. Çok değişkeli modelde değişke sısı prlel olrk thmilemesi gereke prmetre sısı d rtmktdır. Buu soucu olrk işlemler içi zı hesplm zorluklrı ort çıkmktdır. İşte u hesplm zorluklrıı gidereilmek mcı ile kitı u ölümüde itire mtris ve vektör işlemleri kullılcktır. Doğl olrk regreso lizide kullılck ol u mtris ve vektör işlemlerii tıtılmsı fdlı olcktır. Kitı u ölümüü mcı temel doğrusl ceir koulrıı sdece regreso kpsmıd ele lmktır. Bu edele temel teoremleri zılrı isptsız olrk verilecektir.. VEKÖRLER VE MRİSLER Mtris sı ve elemlrı sırlr ve sütulr şeklide düzelediği dikdörtge ir dizidir. Mtrisi oluştur u sır ve sütulrı sısı mtrisi outuu elirler. Öreği, m det sır ve det sütud oluş ir mtrisi şğıd gösterilmiştir. Bu kitpt mtrisler üük kou hrf ile vektörler ise küçük kou hrf ile gösterilecektir. m (.) m m m Bu kitpt m ifdesi, m sır ve sütud oluş ir mtrisi ifde edecektir ve sır sısı ilk sütu sısı ise ikici idisle tımlcktır. Bir skler outlu ir mtristir. m det sır ve sdece ir tek sütud oluş mtris sütu vektörüdür. Öreği, 4 mtrisi ir sütu vektörüdür. 4 4 7 6 det sütu ve sdece ir tek sırd oluş mtris ise sır vektörüdür. mtrisi örek olrk verileilir. 5 Bir m mtrisii trspozu m şeklide ifde edilir ve mtrisii sırlrı ile sütulrı er değiştirilerek elde edilir. Bşk ir deişle mtrisii i-ici sırsı mtrisii i-ici sütuuu oluşturur. mtrisii kedisi ve trspozu şğıd verilmiştir.
7 5 4 5 4 7 Yukrıdki tımd lşılcğı gii ir sütu vektörüü trspozu, 4 4 7 6 4 4 7 6 şeklide ir sır vektörü, ir sır vektörüü trspozu d, 5 5 şeklide ir sütu vektörü oluşturur. eorem.: mtrisii (vektörüü) trspozu mtrisie (vektörüe) eşittir. (.) Sır ve sütu sılrıı eşit olduğu (m = ) mtrisler kre mtris olrk dldırılır. 6 4 9 5 4 (.) Köşege elemlrı hricideki elemlrı sıfır eşit ol kre mtris, köşege mtris olrk iliir. Bir mtrisi köşege mtris olilmesi içi köşege elemlrıd ir tesii sıfırd frklı olmsı eterlidir. 5 7 44 (.4) eorem.: Eğer D ve D köşege mtrisler ise u mtrisleri çrpımlrı d ir köşege mtristir. D D =D D =D (.5) D mtrisii i-ici elemı, D ve D i i-ici elemlrıı çrpımıd elde edilir. Köşege mtrisi tüm elemlrı eşit ise skler mtristir. D
Elemlrı ire () eşit ol skler mtris irim mtristir ve I hrfi ile elirtilir. I (.6) eorem.: Herhgi ir mtrisii sold d sğd irim mtris ile çrpılmsı mtrisii değiştirmez. I I Bu özelliği irim mtrisi mtris işlemleride etkisiz elem olrk kullılmsıı sğlr. şğıdki işlem u durum ir örek olrk verileilir. YXYIYXY ( IX) Y Köşege elemlrıı üstüdeki (üst üçge) ij elemlrı ile köşege elemlrıı ltıdki (lt üçge) ji elemlrıı tümüü ire ir eşit olduğu mtris simetrik mtristir. Simetrik mtrisi trspozud kedisie eşittir, =. Bşk ir deişle mtrisii ij elemı, mtrisii ji elemı eşittir. (.7) 4 9 (.8) 6 Kre mtrisleri ir diğer öemli özel durumu ise idempotet mtristir. mtrisi ir simetrik kre mtris olsu. Eğer;... (.9) eşitliği sğlıors mtrisi idempotet mtristir. Bşk ir deişle mtrisi kedisi ile çrpımı (ve çrpımlrı) orijil mtrisi veriors u mtris idempotet mtristir. Simetrik olm herhgi ir kre mtris (.9) eşitliğii sğlıors idempotet mtristir. Fkt u kitpt sdece simetrik idempotet mtrislerle ilgileilecektir. Bu mtrisler isttistik teoriside öemli ir er tutmktdır. Bu edele ilgili teoremler ölüm soud verilecektir. Öemli ir mtris türü de ortogol mtrislerdir. Eğer C mtrisi ir kre mtris ise ve tersi lıiliors, C C (.) eşitliğii sğl mtrisler ortogol mtrislerdir. Regreso lizi içi gerekli ol mtris ve vektör işlemleri şğıd çıklcktır.. MRİS VE VEKÖR İŞLEMLERİ Mtrisleri çrpımı mtrisleri oluştur vektörleri çrpımlrı ile elde edilir. Öreği verile ve outlu vektörler iki şekilde çrpılilir:
4 C (.) ve i i i c (.) şeklidedir. Öreklerde görüldüğü gii çrpıl iki vektörde soldkii sütu outu ile sğdkii sır outu eşit olmk oruddır u özellik mtrisler içide geçerlidir. (.) ifdesideki çrpım okt (dot), skler ve iç (ier) çrpım olrk dldırılır. İki mtrisi çrpımıd u tip çrpım kullılır. m outlu ve B p outlu iki mtris ise B çrpımı mp outlu ir C mtrisii verir. p m p m C B (.) Elde edile C mtrisii elemlrı ise, j k i j i j i kj ik ij c (.4) eşitliği ile elde edilir, kz lıştırm.. eorem.4: Mtris çrpımlrıı trspozu, B C BC (.5) şeklidedir. İki vektörü d iki mtrisi toplilmesi içi her ikisii outlrıı d krşılıklı olrk eşit olmsı gerekir. ve outlu iki vektörü toplmı krşılıklı elemlrıı toplmsı ile, c (.6) şeklide elde edileilir. Elde edile vektörü outlrı d toplmlrı pıl vektörleri outlrı eşittir. Bu kurl mtrisler içi de geçerli olup,
B C (.7) m m m şeklidedir, kz lıştırm.. eorem.5: Mtris toplmlrıı trspozu, ( B C) B C (.8) şeklidedir. eorem.6: Çrpmı toplm üzerie dğılm özelliği, mtrisleri outlrı çrpm ugu olmk üzere, ( B C) B C (.9) şeklide mtrisler içi ugulilir.. MRİSİN PRÇLNMSI Bzı durumlrd ir mtrisi lt mtrislere rılmsı fdlı olilir. Bu işleme mtrisi prçlmsı işlemi dı verilir. Bir mtris çeşitli şekillerde prçlilir. Öreği, m outlu ir mtrisi, (.) şeklide lt mtrislere rılilir. Burd mtrisi m, mtrisi m, mtrisi m ve mtrisi m, outludur. rıc m +m =m ve + = olduğu görüleilir. B şeklide iki mtrisi çrpımı, u mtrisler lt mtrislere rılmış olslr ile semolik olrk gösterileilirler. Buu içi mtrisleri outlrıı çrpım içi ugu olmsı eterlidir. Eğer B mtrisi p outlu ve, B B B B B şeklide prçlmış ise B jk lt mtrisleri j p k outludur. Bu durumd B çrpımı mevcuttur. Çükü ij i outlrı m i j ve B jk i ise j p k dır ve lt mtrisleri krşılıklı elemlrı, B B B B B B B (.) B B B B B B şeklide çrpılıp, toplrk çrpım mtrisi elde edilir. Bu kou ile ilgili teoremler ölüm soud verilecektir..4 MRİSLERDE ÜREV İŞLEMİ Eğer f() foksiou k det frklı i ktsısıı içeriors u foksiou her ir i e göre kısmi türevi lıilir. Bu kısmi türevleri ir sütu vektörü formudki geel tımı, 5
6 ( ) ( ) ( ) k f f f (.) şeklidedir. Bu kısmi türevler ir sır vektörü şeklide düzeleeilir. Bu işlemde vektör ve mtrislerdeki toplm ve çrpm işlemleri içi outlrı uumlu olmsı sğlmlıdır. f() i ir doğrusl foksio olduğu kul edilerek, f ) ( = k k zılilir. Bu eşitlikteki i değerleri irer sittir. Bu ifdee eşitlik (.) i ugulmsı ile, k (.) soucu elde edileilir. Eğer f() foksiou i değerleri çısıd kresel ise, f ) ( şeklide ifde edileilir. ile elirtile mtrisi simetrik olduğu kul edilerek, kk k k k k zılilir. Buu soucu olrk, k k k k kk k olrk elde edilir. Bu ifdei kısmi türevleri, ) ( ) ( k k
... ( ) ( k k kkk ) k şeklide uluur. Eşitliği e sğıdki i değerleri mtrisii sırlrıı ifde etmektedir. Bu kısmi türevler ir sütu vektörü olrk, k ( ) k k (.4) elde edileilir. Eşitlik (.) ve (.4) doğrusl ve kresel formlrı stdrt difersiel souçlrıı verir..5 VEKÖR GEOMERİSİ Bölüm 5 de verilecek ol regreso geometrisi kısmı temel oluşturmk üzere u kısımd vektör geometrisi iceleecektir. Pek çok prolemde ceirsel olduğu kdr geometrik orumlm pilmek oldukç fdlıdır. Bu edele temel vektör geometrisi ile ilgili zı sit otsolr verilecektir. İki elemlı ir vektör, şeklide tımlilir. Bu vektör Şekil (.) de olduğu gii düz ir doğru prçsı ile gösterileilir. Bu doğru prçsı, orjide şlıp, (,) koorditıı elirttiği oktd iter. Ok ise vektörü öüü elirtir. Bir şk vektörü ise, şeklide verileilir. Bu iki vektör geometrik olrk şğıd elirtildiği şekilde toplilir: Bu iki vektörde herhgi iri orji dikkte lırk çizilir (şekilde ilk çizile vektörüdür). Dh sor diğer vektör ilk vektörü itim koorditıd itire (u itim oktsı ikici vektör içi orji olrk kul edileilir) çizilir. Şekilde vrıl okt p dir. İlk vektörü şlgıç oktsı ile u p oktsıı irleştire doğru prçsı vektörüü verir. Elde edile u vektörü koorditlrı (,4) dür. vektörü ve vektörlerii geometrik olrk toplmsı ile elde edilir. Eğer u iki vektör ceirsel olrk toplırs, 4 soucu elde edilir. Görüldüğü gii hem geometrik hem de ceirsel olrk tmme ı souçlr elde edilmiştir. Şekilde görüldüğü gii ilk olrk vektörü çizilsedi de ı okt (p e) vrılck ve souç değişmeecekti. Vektörel çıkrm ise Şekil. de gösterilmiştir. 7
Şekil. Vektörel toplm işlemi Şekil. Vektörel çıkrm Şekil. de (+) vektörel toplmıı, ve vektörleride oluşturulmuş prlel kerı ir köşegei, (-) frkıı ise prlel kerı diğer ir köşegei olduğu görülmektedir. Şekil. Vektörel toplm ve çıkrmı krşılştırılmsı: oplm okuu tkip ede okuu ucuu i şlgıcı ile irleştire köşegedir. Çıkrm ise oktsıd oktsı oluşturul köşege ile tımlır. Şimdi ir vektörü ir sklerle çrpımı ele lısı. Bu durum ir örek olrk vektörü ile çrpılmış ve 8
6 soucu elde edilmiştir. Elde edile u vektörü öü vektörü ile tmme ıdır. rdki frk ise elde edile vektörü uzuluğuu vektörüü iki ktı olmsıdır. Bu skler egtif ir sıd olilir. Elde edile u iki vektör orjil vektörü ile irlikte Şekil.4 de gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gii u üç vektörü hepside orjide geçe ir tek doğru prçsı üzeridedir ve u doğru prçsı d vektörü ile tımlmıştır. Vektörleri toplmsı ve ir sklerle çrpılmsı işlemlerii irlikte ele lımsı soucud ve vektörlerii doğrusl komisou ol herhgi ir iki elemlı vektör elde edileilir. Elde edile u vektörü, (.5) şeklide ifde edileilir. Bu eşitlikteki λ ve λ sklerleri temsil etmektedir. Eğer vektörü, 4 şeklide tımlmış ise u vektör ve vektörlerii doğrusl ir komisou olrk, 4 5 5 ifde edileilir. Bu eşitlikte λ =/5 ve λ =-4/5 dir. Bu değerler şğıdki şekilde, deklem çiftii eşlı olrk çözülmesi ile elde edileilir. 4 Şekil.4 Bir vektörü sklerle çrpımı Bir şk örek içi vektörü, 9
6 olrk verilmiş olsu. Bu durumd ve vektörlerii doğrusl ir komisou olrk, şeklide ifde edileilir. Bu eşitlikte λ = ve λ = dır. Bu örekler dh d rttırılilir. Bu verileler dikkte lırk ir vektör uzıı tımı pılilir. Vektör uzı şğıd verile özelliklere ship vektörleri irr gelmesi ile oluşur. ) Eğer v ve v ı vektör uzıdki iki vektör ise, v +v de ı vektör uzıddır. ) Eğer v u vektör uzıd ve λ ir skler sitse, λv de ı vektör uzıddır. Bu özelliklerde görüldüğü gii toplm ve ir sklerle çrpm işlemleri soucud elde edile vektör ie ı vektör uzıddır. Vektörleri sit ceirsel işlemleri ve u işlemleri geometrik orumlrı lo. de verilmiştir. lo. Vektörleri ceirsel ve geometrik krşılştırılmsı Ceirsel işlem Geometrik orumu Pozitif ir sklerle Uzuluk değişir. Çrpımı (,)=(6,) (Şekil.4) Negtif sit ir Yö değişir. Sklerle çrpımı -(,)=(-,-) (Şekil.4) oplm ve oklrı iririi tkip edecek şekilde ekleir. (,)+(,)=(4,) Oluşturul prlel kerı köşegei toplm vektörü elirtir.(şekil.) Çıkrm (,)-(,)=(,-) +(-) toplmı eşittir. (Şekil.) Bir outlu uz IR ile elirtilsi. Sit ir vektörüü mümkü olilecek tüm sklerlerile çrpılmsı soucu orijile doğrultusud ir düz doğru oluştuğu Şekil.5 de görülmektedir. Her ir vektörü ok ve okt ile ifde edileilir. Yukrıdki çıklm L: (.6) ifdesile özetleeilir.
Şekil.5 vektörü ile oluşturul L doğrusu Şekil.6 d out sısı ir rttırılmıştır ve iki frklı rekte ok şı kullılmıştır. Düzlem içide ulu ok şlrı ez olup, düzlem dışıdki sihtır. Üç outlu uzd iki det sitlemiş vektörü oluşturduğu oktlr seti Şekil.6 d gösterilmektedir: P: +, (.7) Şekil.6 ve vektörleri ile oluşturulile P düzlemi. P= + olup ve değerlerie ğlı olrk düzlem sıırsız ir şekilde geişletilir. P ifdesi ve i tüm mümkü doğrusl komisolrıı seti olrk dldırılır ve, vektörleri ile oriji rsıd kl düzlemi elirtir. Geometrik olrk, ve i ugu doğrusl komisolrı dikkte lırk P düzlemide herhgi ir okt oluşturileceği görülmektedir. Ugu doğrusl komiso ile çıklmk istee ve i eşitlik (.7) ugu olrk seçilmiş olmsıdır. Bu koşul uulmsı durumud elde edile okt, P düzlemii ltıd d üstüde olmcktır. şğıd ve sklerlerii sıl elirleeileceği çıklmıştır. İki outlu uz IR ile elirtilsi. Bu vektör uzı tüm iki elemlı gerçel vektörlerde oluşur. Bu uzdki herhgi ir vektörü ve vektörlerii doğrusl komisou olrk ifde edileileceği çıktır. Buul irlikte ve vektörleri kefi olrk seçilmişti. Bu edele şğıdki vektör çifti ele lısı, e e u vektörler irim vektörler olrk tımlilir. IR deki herhgi ir c vektörü de u vektörleri
doğrusl ir komisou olrk ifde edileilir. Bu durum içi λ değerlerii elirlemesi sittir. Dh öce verile iki örek içi, 4 4, 4 ve 6 6, 6 ve şeklide λ ve λ değerleri uluilir. Görüldüğü gii elde edile u değerler vektörlerii elemlrıdır. Bu öreklerdeki vektör çiftlerii heriri (, ve e, e ) iki outlu uz IR içi ugu ir kk teşkil edeilir. Bu souc göre ir kğı ezersiz (eşsiz) olmdığı söleeilir. Herhgi iki vektörü IR de ugu ir kk olilmesi içi olrı frklı ölerde olmsı gereklidir. Eğer ve ı öde ise Şekil.4 de gösterildiği gii ir vektör ir sklerle çrpılrk diğer vektöre döüştürüleilir ve dh sor u vektörü çrpımlrı ve vektörlerii doğrusl ir komisou olrk ifde edileilir. Frklı ölerdeki u kk vektörler, doğrusl ğımsız vektörler olrk ifde edileilecektir. ve vektörleri eğer sdece, + = (.7) eşitliğii λ =λ = içi sğlıors doğrusl ğımsızdırlr. Eğer λ i içi sıfırd frklı ir tek değer ile uluiliors u vektörler doğrusl ğımlıdır. ve vektörleri, 6 şeklide tımlırs, u iki vektörü ı öde frklı uzulukt olduğu görüleilir. Bu durumd - doğrusl komisou sıfır değerii verecektir. Buul irlikte şlgıçt verile ve vektörleri, içi λ +λ = eşitliğii sğl sıfırd frklı λ ve λ değerleri ulmk imksızdır. Bu vektörler içi irici elemı sıfır idirgeecek λ ve λ çifti uluilir, öreği, λ = ve λ =- gii. Fkt u λ çifti ikici elemlrı sl sıfır idirgeemeecektir. Bu tım göre IR içi ir kk vektör çifti, iriride ğımsız herhgi iki elemlı vektör olrk tımlilir. İki outlu vektör geometriside görüleceği üzere, verile ir kğ göre elirtile ir vektörü eşsiz olrk temsil edileilmesi içi eşitliğii ir ve lız ir det λ, λ çiftii sğlmsı gerekmektedir.
IR de ve i kk vektörler olrk verilmesi durumud u uzdki herhgi ir vektörüü u kk vektörleri eşsiz ir doğrusl komisou olrk ifde edileileceği elirtilmişti. Bu göre, ve vektörleri doğrusl ğımlıdır. Çükü, deklemide sıfırd frklı ir λ ( i ktsısı olduğu içi) değeri mevcuttur. Bu durumd IR de geişletilmiş, ve vektör setie göre ifde edileilecek herhgi ir v vektörüü mevcut olup olmdığı sorulilir. Bu soru verilecek ıt şüphesiz evettir, fkt ktsılr eşsiz olmcktır. Öreği;, ve vektörleri, şeklide verilmiş ise, ve i doğrusl ir komisou olrk, 6 v 8 vektörü elde edileilir. Bu komiso, v şeklidedir. Fkt v içi (6,8) değerii vereilecek pek çok λ değerleri mevcuttur. Geel doğrusl komiso, v eide düzeleerek, v şeklide de zılilir. Dh sor d λ içi herhgi ir kefi değer trk sol trf spesifik iki elemlı ir vektör hlie getirilir ve u vektör ve i doğrusl ir komisou şeklide ifde edileilir., ve i oluşturduğu u tür vektör setleri, zicir seti olrk dldırılır. Kk ve zicir setleri rsıd ir frk mevcuttur. Bu frk d kk setleri doğrusl ğımsız vektörlerde oluşmsıd kklmktdır. Verile örekteki zicir seti ir vektör eksiltilerek kk sete döüştürüleilir. Doğrusl ğımsız vektörler frklı ölerde olduklrı içi u vektörler rsıdki çıd sıfırd frklıdır. Bu çı vektör elemlrı göre ifde edileilir. Şekil.7 de verile iki outlu ve vektörleri ele lısı. vektörü ile t ekse rsıdki çı ve vektörü ile t ekse rsıdki çı d B ile elirtilsi. İki vektör rsıdki çı, θ=b- olrk ifde edilir. rigoometri rdımı ile, Cos B CosB Cos SiB Si (.8)
Şekil.7 formülü verileilir. Pisgor teoremi ile ir vektörü uzuluğu ve ormu, ir vektörü kedisile okt çrpımıı kre kökü olup, eşitlik (.) kullılrk (.9) elde edileilir. Bu ifdei kre kökü vektörü uzuluğu olup semolü ile gösterilir ve ezer olrk, elde edilir. Bu değerler (.8) eşitliğide erie kork, Cos Cos (.) eşitliği elde edileilir. Krekökü pozitif değeri dikkte lıır, çükü u değer ir uzuluğu ifde etmektedir. Eşitlik (.) u iki özel durumu mevcuttur. Bulrd iricisi ve vektörlerii doğrusl ğımlı olmsıdır. Bu durumd, = λ zılilir. Vektörleri doğrusl ğımlı olmsı durumud (.) eşitliğii sğ trfı içi ir, uu soucud θ= olrk uluur. İkici ir durumd ve vektörlerii iririe dik olmsıdır. Bu durumd θ=9 olup Cos θ= olrk elde edilir. Cos θ= olmsı içi olmsı gerekir. Bu durum gerçekleştiğide, diğer ir deişle iki vektör rsıdki çı 9 olduğud u iki vektörü ortogol olduğu söleeilir. Souç olrk sdece ve sdece, (.) koşulu sğlıors iki vektörü ortogol olduğu söleeilir. 4
Vektörleri okt çrpımı iki outlu uzd vektörü kresel uzuluğu olrk düşüüleilir, Şekil.8 de u durum Pisgor teoremile çıklmıştır. Öreği =(,) vektörüü kresel uzuluğu şeklide olup uzuluğu dur. Uzulukl ilgili çok sık kullım şekilleride iri, λ pozitif ir sit olmk üzere, (.) şeklidedir. Bu durum Şekil 5. de görüleilir. Eğer λ egtif ise, (.) deklemi sğlmcktır. Çükü eşitliği sğ trfı egtif sol trfı ise pozitif olcktır. Bu edele λ i mutlk değeri lırk eşitlik (.) ı geel formu (.) şeklide zılilir. Şekil.8 Vektörleri kresel uzuluklrı ve Pisgor teoremile ilişkisi )İki outlu, )Üç outlu Eşitlik (.) de iki vektörü okt çrpımlrıı sıfır olmsı durumud u iki vektörü iririe ortogol olduğu elirtilmişti. Ortogolite vektör uzuluklrı dikkte lırk d ifde edileilir. Şekil.9 d görüldüğü gii, eğer ( + ) i uzuluğu ( - ) i uzuluğu eşit ise ile vektörleri iririe ortogoldir: 4 5
Souç olrk ortogollik özelliğii sğlilmesi içi eşitlik (.) i sğlmsı gerektiği görülmektedir. Şekil.9 Bu şekiller herhgi ir out içi de geçerlidir. ) ve ortogol ) ve ortogol değil. m ir üç outlu uz oluşturmk içi diğerleride ğımsız olrk elirtileilecek üçücü ir vektöre ihtiç vrdır. Bu edele P düzlemii dışı çıkılır. Buu soucu olrk u üç outlu uzdki oktlr setii ütüü : + +, (.), ifdesile oluşturulilir. Bu ifde üç outlu uzd, ve oluşumu (ve ziciri) olrk elirtilir. Bşk ir deişle, ve u üç outlu uzı temelii oluşturmktdır. Elemlrı gerçel sı ol üç elemlı ir vektör üç outlu uzd ir okt tımlr. Bu üç outlu uz IR ile tımlır ve u uzdki herhgi ir v vektörü üç doğrusl ğımsız vektörü ugu ir setii eşsiz doğrusl komisou olrk ifde edileilir. Bu üç vektör IR içi ir kk oluşturur. Bu kğı oluştur vektörler, e e e şeklide seçildikleride ir 5 ve e 5e v vektörü, eşitliği ile verileilir. Bu vektörlerde herhgi iki tesi (öreği e, e ) ele lıdığıd ulrı tüm doğrusl komisolrı IR uzıd ir lt vektör uzı oluşturur. Buu edei herir zicir vektörüde üçücü ileşei sıfır olmsıdır. Öreği; 6
5 şeklide üç elemlı iki vektör ele lıdığıd u vektörler Şekil. d görüldüğü gii ir düzlem üzei oluştururlr. Şekilde u düzlem O ile elirtilmiştir. Şekil. Üç outlu uz içi de değerii vektörü kresel uzuluğu olduğu doğrulilir. Öreği Şekil.8 de Pisgor teoremi ilk olrk BC üçgeie ugulrk C i kresel uzklığı elde edilir. Dh sor teorem CD üçgeie ugulrk, D vektörüü kresel uzuluğu ) ( (.4) olrk elde edilir ve teorem üç outlu uz içi de doğrulmış olur. =( 4 ) şeklide verilmiş vektörü kresel uzuluğu içi, 4 9 ve uzuluğu içi ise 9 soucu elde edilir. Eşitlik (.), outlu uz içi geelleştirileilir. M: + + + m m (.5) i Eşitlik (.5), m det sit vektörü tüm mümkü doğrusl komisolrıı setidir ve m outlu ir lt uz olrk dldırılır. Eğer m= ise lt uz düz ir doğru m= ise lt uz ir düzlemdir. m> olmsı durumud ise lt uz ir hiper düzlem olrk dldırılır. Sdece m= olmsı durumud det iriride ğımsız vektör mevcuttur (,,, ) ve u vektörleri tümü outlu uzı oluşturur. Bu outlu uzdki herhgi ir vektör ve ir oktsı içi,,, m ktsılrıı sdece ve sdece ir tek seti mevcuttur ve u set, = + + + (.5) 7
eşitliği ile uluilir. Bu ktsılr, (,,, ) vektörlerie göre i koorditlrı olrk dldırılırlr. Kou dh d geelleştirilirse, tüm det gerçel elem içere vektörler IR uzıı oluştururlr. IR deki her ir vektör, doğrusl ğımsız vektörü zı ugu setlerii ir eşsiz doğrusl komisou olrk ifde edileilir. Bu doğrusl komiso eşsiz olmk zoruddır. Buu göreilmek içi ir v vektörüü kk v, v,,v vektörlerii iki frklı doğrusl komisou olrk, v v v v v v v v şeklide ifde edileildiği vrsılsı. Bu iki deklem iriride çıkrılrk, v v v eşitliği elde edilir. Kk veriler doğrusl ğımsız olduklrı içi, ifdesi elde edileilir ve görüldüğü gii u ifde eşsizdir. Eğer k det elemlı doğrusl ğımsız vektörü ir seti lımış ise u set IR i ir lt uzıı oluşturur. Bu lt uzı outu u lt uzdki doğrusl ğımsız vektör sısı eşittir. elemlı vektörler içi v, v,,v k eğer, v tüm i j içi i v j soucu sğlıors u vektör seti rık ortogol settir..6 VEKÖR GEOMERİSİNDE OROGONL İZDÜŞÜM İki outlu uzd =( -) ve =( ) vektörleri dikkte lısı. Bu vektörler ütü uzı tımlcklrdır. = (4 ) şeklide verile ir vektörü ve e göre koorditlrıı ulilmek içi eşitlik (.7) kullılrk, 4 4 zılilir ve u deklem sistemii çözümüle λ =, λ = elde edilir. vektörüü ve i doğrusl ir komisou olrk ifde edileceği görülmektedir. Bu durum Şekil. de geometrik olrk görülmektedir. L doğrusuu (lt uzıı) trfıd L lt uzıı ise trfıd oluşturulduğu görülmektedir. Dh sor λ = ve λ = lırk ir prlel ker ile şekil tmmlmıştır. 8
Şekil. İzdüşüm ile i koorditlrıı ve e göre geometrik olrk ifde edilmesi. Bşk ir deişle, i koorditlrıı ulmk içi ilk olrk L e prlel olck şekilde L üzerie i izdüşümü lırk λ elde edilir. Dh sor ezer ir işlem λ içi pılır, L e prlel olck şekilde L üzerie i izdüşümü lıır. E sit izdüşüm pısı ortogol izdüşümdür. Bu durum ile i iririe ortogol olmlrı durumud ort çıkr, (kz Şekil.). Şekil. üzerie i ortogol izdüşüm Şekil. İki outlu ortogol izdüşüm Eşitlik (.) ile tıml vektörler içi ortogollik şrtı oldukç sit olduğu içi ortogol izdüşümü hesplmk d oldukç sittir. vektörüü tımldığı L doğrusu üzerie i ortogol izdüşümü ile elirtilmiş ve Şekil. de gösterilmiştir. izdüşüm vektörü L üzeride ulucğı içi u vektör i ir sklerle çrpımı şeklide =λ (.6) ifde edileilir. Burd soru λ ktsısıı elirleeilmesidir. Şekil. de görüleileceği gii ile irleştirilerek - vektörü tımlilir. Bu işlemde elde edile vektör ile rsıdki ortogol pı korumlıdır. (- ) ve ortogol olduğud eşitlikler (.) ve (.6) kullılrk, 9
(-λ ) = elde edilir. Eşitlik (.7), eşitlik (.6) d erie kork (.7) (.8) soucu uluilir. Eşitlik (.8) i sğıdki ilk ileşei pı ve pdsı ir skleri tımldığı içi trspozlrı kedilerie eşittir. Bu eşitlikteki ifdesi üzerie i ortogol izdüşümüü elirtmektedir. Bu izdüşüm vektörüü kresel uzuluğu, (.9) olup, ormu ve uzuluğu ise (.4) şeklidedir. Şekil. icelediğide, ortogol izdüşüm i L üzerideki e e kı lt okt olduğu görüleilir. Ortogol olm ve * ile gösterileilecek diğer herhgi ir izdüşümü oktsı ol uzklığı dh fzl olcktır. * uzklığı uzklığıd dh üüktür. Çükü * dik üçgei üçgeii hipoteüsüdür. Üç outlu durum Şekil.4 de gösterilmiştir. Şekil.4 Üç outlu uzd ortogol izdüşüm eorem.7. + + + m m lt uzı üzerie i ortogol izdüşümü u lt uzdki e e kı oktı elirtir..7 DENKLEM SİSEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ
Bir doğrusl deklem sistemi, m m c mm c m m c şeklide verileilir. Bu sistem mtris otsoud, B c (.4) ifdesi ile verileilir. Bu eşitlikte B, m outlu mtris, m outlu vektör c ise outlu ir vektördür. Verile ij ve c j seti içi B=c eşitliğii sğl ir i seti mevcut mudur? Bu soru içi dikkte lıilecek üç durum sözkousudur. ) Eşitliği çözümü oktur. Bu durumd sistemi eşitliğii sğl ir vektörü oktur ve sistem tutrsızdır. ) Sistemi eşitliğii sğl ir tek i seti vrdır. Bu durumd sistemi ir tek çözümü vrdır. ) Sistemi eşitliğii sğl irde fzl vektörü vrdır. Eğer eşitliği sğl irde fzl vektörü vrs sosuz sıd çözüm uluilir. Deklem sistemide ktsılr mtrisi B dir. Bu mtrise c vektörüü ir sütu olrk ekleip sütu outuu ir rttırılmsı ile elde edile G mtrisi geişletilmiş mtristir. G m m m c c c (.4) Bu iki mtris dikkte lırk B=c deklem sistemii çözümü ile ilgili zı öemli teoremler şğıd verilmiştir. eorem.8: B=c deklem sistemii tutrlı olilmesi (u sistemi sğl e z ir det vektörüü mevcut olmsı) içi gerek ve eter koşul, ktsı mtrisii B rkı ile geişletilmiş mtrisi G rkıı eşit olmsı gereklidir. B G (.4) eorem.9: Eğer (B)= (G)=p ve p<m ise ilimee m-p det i değeri kefi olrk tır ve kl p det i eşsiz olrk elirleir. eorem.: Eğer (B)= (G)=m ve m< ise B=c deklemii sğl ir eşsiz vektörü mevcuttur.
Bir deklem sistemii çözüm şmsıd geellikle mtrisi tersii lımsı gereksiim duulur. mtrisi outlu ir kre mtris ve sütulrıı hepside doğrusl ğımsız olsu. Bu durumd, B I (.44) eşitliğii sğl outlu ir B mtrisi rştırılır. B mtrisii ilk sütuu ile elirtilirse eşitlik (.44) i her iki trfıdki irici eşitlik ir vektör deklemii, e (.45) verir. Bu eşitlikteki e şeklide tımlır. mtrisii sütulrı doğrusl ğımsız olduğu içi e vektörü u sütulrı eşsiz ir doğrusl komisou olrk ifde edileilir. Buu soucud eşsiz olrk elirleeilir. B mtrisii her ir sütuu d ezer ir şekilde eşsiz olrk elirleeilir. Souç olrk eşitlik (.44) i sğl ir B mtrisi olduğu görüleilir. Eğer mtrisii sütuu doğrusl ğımsız ise det sırsı d doğrusl ğımsızdır. Bezer ir klşım kullılrk, C = I (.46) eşitliğii sğl outlu ir C mtrisi uluilir. Bu eşitlikte C mtrisii her ir sırsı mtrisii sırlrıı doğrusl ir komisouu ktsılrı olrk eşsiz ir şekilde elirleeilir. Bu göre eşitlik (.44) ve (.46) u her ikisi de doğrudur. Eşitlik (.46) sğd B mtrisi ile çrpılırs, CB IB B ve ezer şekilde CB IC C elde edilir. Bu göre, B=C olduğu görülmektedir. Eğer mtrisii sütuu (ve sırsı) doğrusl ğımsız ise mtrisii tersi olrk dldırılıp - ile gösterile outlu eşsiz ir kre mtris mevcuttur ve eşitlik (.44) ve (.46), I (.47) şeklide verileilir. Bir mtrisi tersii lıilmesi kousu mtrisi rkı kvrmı ile kı olrk ilgilidir..8 BİR MRİSİN RNKI Herhgi ir m outlu mtrisi ele lısı. mtrisii sütulrı IR m uzıdki vektörü tımlr. ı şekilde ı sırlrı d IR uzıd m vektörü elirler. mtrisideki mksimum doğrusl ğımsız sır sısı r ile elirtilsi, r m. Eğer r, m de küçük ise doğrusl ğımsız sır vektörlerii lt seti sısı irde dh fzl olilir. Öreği, dört sırlı (m=4) ir mtris ele lıdığıd,,,4 sırlrı ir doğrusl ğımsız set tımlildiği gii,,4 sırlrı d ir diğer doğrusl ğımsız seti tımlilir. Fkt dört sırı tümü doğrusl ğımlıdır. Bu durumd
r= dür. Bu mtrisi içi herhgi r doğrusl ğımsız sırı ir setii oluşturduğu ve kl m- r sırı ihml edildiği r outlu ir ~ mtrisi tımlilir. mtrisideki mksimum doğrusl ğımsız sütu sısı c ile elirtilsi. Bu c değeri ı zmd ~ mtrisideki mksimum doğrusl ğımsız sütu sısıı d elirtir. ~ mtrisideki her ir sütu r elem shiptir. Bu göre, c r (.48) eşitsizliği verileilir. IR uzıdki herhgi ir vektör, r det doğrusl ğımsız vektörü doğrusl ir komisou şeklide verileilir. Yukrıd sırlr içi verile işlem ezer şekilde sütulr içide gerçekleştirileilir. mtrisideki c det doğrusl ğımsız sütuu ir lt seti lıır ve kl c det sütu ihml edilerek mc outlu ir ~ mtrisi oluşturulilir. mtrisideki mksimum doğrusl ğımsız sır sısı r ile elirtildiği içi u değer ı zmd ~ ~ mtrisideki mksimum doğrusl ğımsız sır sısıı elirtmektedir. Fkt dki her ir sır c elem ship olduğu içi, r c (.49) şeklidedir. Eşitlik (.48) ve (.49) irlikte ele lırk, r=c (.5) elde edileilir. Souç olrk m outlu ir mtrisii mksimum doğrusl ğımsız sır sısı, mksimum doğrusl ğımsız sütu sısı eşittir. Bu sı mtrisi rkı olrk tımlır ve () semolü ile gösterilir. çık olrk görüleceği gii ir mtrisi rkı stır ve sütu sılrıd e küçük olıı şmz. Bşk ir deişle, () mi(m,) (.5) eşitsizliği verileilir. ()=m durumud mtris tm sır rklı ()= durumud ise tm sütu rklıdır. Rklrl ilgili teoremler ve zı çıklmlr şğıd verilmiştir. eorem.: mtrisii trspozuu rkı mtrisii rkı eşittir. (.5) Özel ir durum olrk, outlu rkı ol ir kre mtris ise mtrisi tekil değildir ve - ile elirtile eşsiz ir ters mtrisi mevcuttur. I Bu mtrisii rkı de küçük ise tekil mtristir ve ters mtrisi mevcut değildir. Boutlrı m ol ve rkı ()=r ol ir mtrisi ele lıdığıd e z ir te r det doğrusl ğımsız sırı oluşturduğu set ve e z ir te de r det doğrusl ğımsız sütuu oluşturduğu set mevcuttur. Buu soucu olrk mtrisii stır ve sütulrı, ilk sırsı ve ilk sütuu doğrusl ğımsız olck şekilde düzeleeilir ve dh sor ilk r sır ve sütu dikkte lırk prçlilir.
Elde edile mtrisi rr outlu tekil olm ir kre mtristir. Homoje deklem seti, = (.5) şeklide verileilir. ; det ilimee elem içere sütu vektörüdür. Eşitlik (.5) i sğ trfı ir vektörü olduğu içi u deklemleri homoje olduğu söleeilir. Eğer = ve ise deklemleri homoje olmdığı söleeilir. Eğer, eşitlik (.5) i ir çözümü ise c herhgi ir skler olmk üzere c de u eşitliği ir çözümüdür. Eşitlik (.5) i u çözümler seti mtrisii oş uzı olrk ilie ir vektör uzıı oluştururlr. İlk olrk u oş uzı outu rştırılcktır. Bu out lt uzı tıml iriride ğımsız vektör sısıdır. mtrisii so m r sırsı çıkrılıp ve vektörü de mtrisii sütulrı ugu olrk prçlırs, (.54) eşitliği elde edilir. Bu ifde de, r det ise kl r det elemı içerir. Souç olrk det ( r) ilimee içere r det doğrusl ğımsız deklemli ir set elde edilir. Eşitlik (.54), şeklide eide zılilir. tekil olmdığı içi tersi mevcuttur ve u ifde sold çrpılrk, ile (.55) elde edilir. lt vektörüdeki -r elem herhgi ir şekilde elirleeilir. Fkt elirledikte sor lt vektörü eşitlik (.55) kullılrk elirleir. Eşitlik (.55) kullılrk eşitlik (.54) deki çözüm vektörü, I-r (.56) şeklide düzeleeilir. Elde edile (.56) eşitliği sır ve r sütu shiptir. Bu r sütu doğrusl ğımsızdır. Buu edei de sütulrı doğrusl ğımsız ol I -r lt mtrisii mevcut olmsıdır. Bir irim mtrisi sütulrı (sırlrı) doğrusl ğımsızdır. Souç olrk eşitlik (.56), r det elemlı doğrusl ğımsız vektörü eşitlik (.54) i tüm çözümleri içi r det doğrusl komiso şeklide ifde eder. Eşitlik (.54), çıkrıl sırlr [ ] i sırlrıı doğrusl ir komisou olduğu içi, eşitlik (.5) içide ir çözüm verir. Bu ugu olrk çıkrıl sırlr, 4
c formud gösterileilir. Burd c herhgi ugu ir r elemlı sır vektörüdür. Bu ifde sğd ile çrpılilir. c Buu edei ise, i eşitlik (.54) u sğlmsıdır. Bu göre her ir çözümü çıkrıl sırlr göre ele lıır ve eşitlik (.56), eşitlik (.5) içi u çözüm vektörüü elirler. mtrisii oş uzı r outludur. Burd çıkrılck öemli ir souç: r rklı ve outlrı m ol ir mtrisi içi; Sütu sısı = rk + oş uz outu = r + ( r ) (.57) eşitliği zılilir. Eşitlik (.57) i özel ir durumu m outlu ir mtrisii rkıı olmsıdır. Bu durumd mtrisii oş uzıı outu dir ve = deklemii tüm çözümleri orjide geçe ir tek doğru üzeridedir. Eğer çözüm vektörü, ise c c c c vektörü de (c herhgi ir sit) ir çözüm vektörüdür. Eşitlik (.57) i soucu çeşitli mtrisleri rklrı üzerie verile zı öemli teoremleri sit isptlrıı oluşturur. eorem.: Eğer, m outlu r rklı herhgi ir mtris ve P mm outlu, Q ise outlu tekil olm kre mtrisler ise, P Q PQ (.58) eşitlikleri verileilir. Bşk ir deişle, mtrisi tekil olm ir mtrisle sold ve sğd çrpılırs mtrisii rkı değişmez. P eşitliğii ispt etmek içi mtrisii oş uzıdki herhgi ir vektör olrk m ele lısı; m= ve Pm= olck ve souç olrk m vektörü ı zmd P ı oş uzıd d er lcktır. Bu krşı P ı oş uzıdki herhgi ir vektör s ile elirtilerek, Ps= zılilir. P tekil olm ir mtris olduğu içi u eşitlik sold P - ile çrpılrk, s= elde edilir. Görüleceği gii s ı zmd ı oş uzıddır. Souç olrk P ve ı oş uz shiptirler. Bu edele rklrı ıdır. Bu isptlrd rrlrk, Q Q Q içi ispt, 5
şeklide pılilir. üm u souçlr ile, PQ eşitliği zılilir. Rklrl ilgili diğer ir teorem ise dikdörtge ir mtris ile diğer ugu ir dikdörtge mtrisi çrpımlrı içi geel durumu ifde eder. eorem.: mtrisi m, B mtrisi s outlu ise B çrpımıı rkı, u mtrislerde rkı dh küçük olı rkı eşit ve dh küçüktür. mi, B B (.59) vektörü mtrisii oş uzıdki herhgi ir vektör olsu, B= ve B= zılilir. Bu durumd vektörü B i oş uzıd d ulumktdır. Fkt mtrisi kre mtris olmdığı içi ters mtrisi ulumz, u edele, B= işlemide B= işlemie geçilemez. Souç olrk, B i oş uzıı outu B i oş uzıı outu eşitsizliği elde edileilir. B ve B i sütu sısı ı olduğu içi eşitlik (.57) de, B kullılrk, B B B ve trspoz işlemi soucu elde edilerek (.59) eşitsizliği isptlmış olur. Rklrl ilgili öemli zı teoremler şğıd isptsız olrk verilecektir. eorem.4: Boutlrı ol iki kre mtris ve B i rklrı r ve s ise B i rkı, B rs (.6) eşitsizliğii sğlr. eorem.5: ve B mtrislerii toplmıı rkı, B B (.6) eşitsizliğii sğlr. eorem.6: Boutlrı p ol ir mtrisi içi:.9 ERS MRİSLER. Bu kısımd ters mtrisleri hesplmsı ve zı özellikleri verilmiştir. mtrisii outlu ir kre mtris olduğu kul edilsi. Bu mtrisi tersii mevcut olmsı içi gerekli şrt şğıd dört değişik tıml verilmiştir. Bu tımlrı hepsi ı lmı tşımktdır. ) mtrisi tekil olm ir mtris olmlıdır. ) mtrisii rkı olmlıdır. ) mtrisii sırsı doğrusl ğımsız olmlıdır. 6
4) mtrisii sütuu doğrusl ğımsız olmlıdır. ers mtrisi elde edilmesi çlışmlrı durumu ile şlcktır. mtrisi ve ters mtrisi - şğıd verilmiştir. ers mtris tımıd, I (.6) geel deklemi elde edilir. İlk olrk eşitlik (.6) i her iki trfıı irici sütulrı ele lısı, ters mtrisi elemlrı ilimemektedir. Deklemler u elemlr içi çözülürse, eşitlikleri elde edilir. Eşitlik (.6) i ikici sütulrı içi, souçlrı elde edilir. Bu souçlr kullılrk ters mtris, (.6) şeklide uluur. - mtrisideki her ir elem dki elemlrı ir foksioudur. ers mtristeki her ir elem ortk öleie shiptir. Bu değer mtrisideki tüm elemlrı ir foksiou olup mtrisii determitı olrk tımlır. durumu içi determit, det (.64) olrk elde edileilir. Determit içi dh geel ve kol ir ötem outlu ir mtris, şeklide verilmiş olsu. Eğer elemı it stır ve sütu çıkrılırs, 7
lt mtrisi elde edilir. mtriside i-ici sır ve j-ici sütu silidikte sor elde edile outlu lt mtrisi determitı M ij ile elirtilsi. M ij, ir miör olrk isimledirilir. c ij i j M ij ifdesi ise kofktör şk ir deişle işretli miördür. Eğer i+j toplmı çift ise, M ij i işreti değişmez, i+j toplmı tek ise işret değiştirir. Her ir ij elemı krşılık gele c ij değerleri ulurk elde edile mtris ile ölüerek - elde edileilir. c c c c c c c c c şeklidedir. Kofktörler rdımı ile mtrisii determitı ir tek sır ve sütu göre, (.65) c c c (.66) şeklide elde edileilir. Bu tımd d lşılcğı gii herhgi ir sır ve sütuu elemlrı göre elde edileilir. outlu geel durum içi determit, ve c c c i,..., (.67) i i i i i i j cj jc j jc j j,..., (.68) eşitlikleride uluilir. Bu ifdedeki kofktörler outlu lt mtrislerdir. ers mtris ise, c c c c c c c c c şeklide elde edileilir.. DEERMİNNLR VE ERS MRİSLER ÜZERİNE EOREMLER eorem.7: mtrisi simetrik ise mtrisii determitı, (.69) (.7) trspozuu determitı eşittir. eorem.8: mtrisii herhgi iki sırsıı ve sütuuu değiştirilmesi ile ir B mtrisi elde edilirse, B mtrisii determitı mtrisii determitıı ters işretlisie eşittir. B (.7) 8
eorem.9: ı elemd oluş iki ve dh fzl sır (ve sütu) ship mtrisi determitı sıfırdır. (.7) eorem.: mtrisii herhgi ir sırsıı (ve sütuuu) herhgi ir değerle çrpılıp ir şk sırsı (ve sütuu) ile toplmsı ile elde edile B mtrisii determitı mtrisii determitı eşittir. eorem.: Eğer mtrisii sırlrı (ve sütulrı) doğrusl ğımlı ise, doğrusl ğımsız ise dır. Bu ugu olrk tekil olm mtrisler sıfırd frklı, tekil mtrisler ise sıfır determit shiptir. eorem.: Bir üçge mtrisi determitı köşege elemlrıı çrpımı eşittir. lt üçge mtris, (.7)... ve üst üçge mtris, şeklide tımlır. eorem.: Bir köşege mtrisi determitı köşege elemlrıı çrpımı eşittir.... eorem.4: Birim mtrisi determitı ire eşittir. eorem.5: Bir mtrisii herhgi ir sır (ve sütuu) ir siti ile çrpılrk B mtrisi elde edilirse, elde edile mtrisi determitı orijil mtrisi determitıı ktıdır. B eorem.6: Eğer mtrisii tüm elemlrı ile çrpılrk B mtrisi elde edilirse B mtrisii determitı, 9
B şeklide elde edilir. eorem.7: İki kre mtrisi çrpımıı determitı u mtrisleri determitlrıı çrpımı eşittir. B B (.74) eorem.8: Eğer C ir ortogol mtris ise determitı C ve C şeklidedir. eorem.9: Eğer C ir ortogol mtris ve herhgi ir mtris ise, elde edilir. C C (.75) eorem.: mtrisi, şeklide lt mtrislere rılmış ve ile kre mtrislerdir. Eğer = ve = ise, (.76) olrk elde edilir. mtrisii irim mtris olmsı durumud, I uluilir. Bu souç kullılrk I I elde edilerek eşitlik (.76) ü isptı pılilir. Dh sor, I ifdesi verileilir. Üçge (lt ve üst) mtrisi determitı I I şeklide uluilir. Prçlmış mtrisleri determitı içi geel tım şğıdki şekilde verileilir. ve kre ve tekil olm mtrisler olmk üzere, I I B ve B I - I şeklide B ve B mtrisleri tımlrk,
B B çrpımı elde edilir. B B olduğu içi, (.77) ve ezer ir şekilde ltertif olrk, (.78) şeklide elde edileilir. eorem.: Eğer, B, C mtrisleri tekil olm mtrisler ise u mtrisleri çrpımlrıı tersi, C B BC (.79) şeklide elde edilir. eorem.: ers mtrisi tersi orijil mtrisi verir. eorem.: Bir mtrisi trspozuu tersi, tersii trspozu eşittir. (.8) eorem.4: - mtrisii determitı mtrisii determitıı devriğidir. (.8) eorem.5: Bir üst (ve lt) üçge mtrisi terside ir üst (ve lt) üçge mtristir. eorem.6: Eğer mtrisi, şeklide prçlmış ve tekil değilse (,, mtrisleri kre mtrislerdir) mtrisii tersi, şeklide elde edilir. eorem.7: mtrisi, şeklide prçlmış, ve tekil olm kre mtrisler ise mtrisii tersi,
B B (.8) B B urd B dir d B B (.8) B B şeklie elde edilir, urd B dir. Bu teoremi isptı içi, kz lıştırm.5. Bir mtrisi tersii lımsı üzerie tımlmış öemli teoremlerde iri de Sherm-Morriso- Woodur teoremidir. Bu teoremi souçlrı Bölüm 7 de suul PRESS isttistiği ve Bölüm de tıml etkili ir veri oktsıı tı isttistikleri içi temel oluşturur. çıkl teorem i-ici veri oktsıı veri seti dışıd ırkıldığı durumlr içi zı öekli regreso isttistiklerii kol ir şekilde hesplmsıı sğlmktdır. Boutu pp ol ve tekil olm ir mtrisi ve p outlu ir sütu vektörü ele lısı. Regreso ugulmsı içi =X X ve lıır. Burd i i ik vektörü X mtrisii i-ici sırsıdır. Bu durumd (- ) mtrisi X X mtrisii i-ici sırsıı çıkrıldığı mtrisi temsil eder. Bu mtrisi tersi ise şğıdki teorem ile elde edilir. eorem.8: (.8). BİR MRİSİN ÖZDEĞERLERİ (KRKERİSİK KÖKLERİ) VE EOREMLER Öceki kısımlrd, eşitlik (.4) ile tıml B=c şeklideki deklem setlerii çözümü ile ilgileildi. Bu kısımd ise, = (.84) setii çözümü ile ilgileilecektir. Bu eşitlikte elemlrı ilie outlu ir kre mtris, elemlrı ilimee elemlı ir sütu vektörü ve ilimee ir sklerdir. Bu prolem ir özdeğer prolemi olrk iliir. Eşitlik (.4) de ir ilimee vektörü mevcuttu, fkt eşitlik (.84) de ise ilimee vektörüü ısır ir de ilimee skler mevcuttur. Her ir ir vektörü krşılık gelir. Bu değerleri, özdeğerler d krkteristik kök olrk, vektörleri ise öz vektörler d krkteristik vektörler olrk iliirler. = içi eşitlik (.84) homoje deklem seti olrk, şeklide zılilir. Bu deklem seti mtris otsoud, I (.85) i
eşitliği ile verileilir. Eşitlik (.85) verile herhgi ir içi eşitlik (.84) e eşittir. Eğer (-I) mtrisi tekil olm ir mtris ise eşitlik (.85) içi sdece = soucu elde edilir. Sıfırd frklı ir soucu mevcut olilmesi içi mtris tekil olmk zoruddır. Bşk ir deişle, determitı sıfır olmsı gerekir. Bu şrt göre, I (.86) eşitliği elde edilir. Bu eşitlik mtrisii krkteristik deklemi olrk iliir. Bu deklem, ilimee göre ir poliom deklemi verir. Her ir kök ve özdeğer i eşitlik (.85) de erie kork krşılık gele i vektörü elde edileilir. durumu içi krkteristik deklem, (.87) şeklide olup kökleri, 4 4 deklemleride elde edilir. Mtris simetrik ise, = olduğu içi kökler, 4 olrk elde edilir. Gerçel ir simetrik mtris içi kökleri gerçel olmsı gereklidir. Krkteristik deklem, şeklide zılilir. Bu deklem, eşitlik (.87) ile krşılştırıldığıd, Kökler toplmı (.88) = ı köşege elemlrıı toplmı (mtrisi izi) Kökler çrpımı (.89) souçlrı elde edilir, kz. lıştırm.6. eorem.9: Özdeğerler gerçeldir, kz. lıştırm.7. eorem.4: Frklı özdeğerlere krşılık gele özvektörler ortogoldir, kz. lıştırm.8. eorem.4: Eğer ir değeri k def tekrrlıor ise u özdeğere krşılık gele k det ortogol vektör mevcut olilecektir. eorem.4: outlu simetrik mtrisii ship olduğu det özdeğeri,, hepsii iriride frklı olmsı gerekli değildir. eorem 9 ve 4 det ortogol özvektörü,, mevcut olduğuu elirtmektedir. eorem.4: Eğer X ortogol ir mtris ise ile XX - mtrislerii özdeğerleri özdeştir.
eorem.44: Her simetrik mtris içi, köşege elemlrı ı özdeğerleri ol ir D köşege mtris ve ir X ortogol mtrisi, XX mevcuttur. D (.9) eorem.45: Bir mtrisii köşege elemlrıı toplmı (izi) özdeğerlerii toplmı eşittir, kz. lıştırm.9. eorem.46: mtrisii özdeğerlerii çrpımı u mtrisi determitı eşittir, kz. lıştırm.. eorem.47: mtrisii rkı, u mtrisi sıfırd frklı özdeğerlerii sısı eşittir. eorem.48: mtrisii özdeğerleri, mtrisii özdeğerlerii krelerie eşittir. Fkt her iki mtriside özvektörleri ıdır. X X u ifdei sold ile çrprk X X X ispt tmmlır. Bu souç dimik sistemleri durğlığıı lizide çok fdlı ir ugulm shiptir. t, ir değişkei t periodud ldığı değerleri elirte vektör olsu. Bu değişkei deklem sistemii öceki değerlerie göre, t t (.9) şeklide ifde edileileceği kul edilsi. Sistemi orjili irde fzl gecikmei içerse ile, ei değişkeleri ugu ir tımı eşitlik (.9) şeklide elde edilmiş ir sistem ile oluşturulilir. Eşitlik (.9)'d iririi tkip ede değerler erie kork, t t elde edileilir. Bu ifde de değişkei şlgıç değerii elirtir. Elde edilmiş ol mtrisi özvektörleri doğrusl ğımsız ir setie shiptir, ve - X X D - XDX =XDX - XDX - =XD X - souç olrk t =XD t X - elde edilir. t vektörüü elemlrıı, mtrisii özdeğerlerii t-ici kuvvetii doğrusl komisou olduğu görüleilir. Bu souc göre sistemi durğ olilmesi içi i i,..., olmsı gereklidir. 4
eorem.49: - mtrisii özdeğerleri mtrisii özdeğerlerii evriğie eşittir. Fkt her iki mtrisi özvektörleri ıdır. =λ u eşitlik sold - ile çrpılrk ve elde edilir. =λ - - =(/ λ) eorem.5: Bir idempotet mtrisi her ir özdeğeri sıfır d irdir. eorem.47 kullılrk = λ ve idempotet ir mtris ise, == λ λ(λ-)= ve herhgi ir özvektörü sıfır vektörü olmdığıd, λ= d λ= uluur.. KRESEL FORMLR VE POZİİF NIMLI MRİSLER mtrisi outlu simetrik ir mtris ve iki elemlı ir sütu vektörü ise kresel form, şeklidedir. outlu geel durum ise, ifdesi ile verileilir. üm sütu vektörleri içi eğer > ise kresel form ve mtrisi pozitif tımlıdır. Eğer tüm sütu vektörleri içi ise kresel form ve mtris pozitif rı tımlıdır. Yukrıdki eşitsizlikleri öü değiştirilerek egtif tımlı ve egtif rı tımlı kresel form ve mtrisler tımlilir. Eğer ir form zı vektörleri içi pozitif, diğerleri içi egtif ise tımsızdır. eorem.5: Gerçel simetrik mtris ı pozitif tımlı olilmesi içi gerek ve eter koşul mtrisii tüm özdeğerlerii pozitif tımlı olmsı gerekir. Pozitif rı tımlı ir mtrisi özdeğerleri egtif değildir. eorem.5: Gerçel simetrik ir mtrisii pozitif tımlı olilmesi içi gerek ve eter koşul mtrisii her ir lt mtrisii determitıı pozitif olmsı gerekir. 5
(.9) eorem.5: mtrisi simetrik ve pozitif tımlı ir mtris ise, =PP (.9) eşitliğii sğl tekil olm ir p mtrisi mevcuttur. mtrisii özvektörleride oluş X mtrisi kullılrk X X=D ve =XDX elde edileilir. mtrisi pozitif tımlı ise tüm özdeğerleri pozitiftir. Bu edele ir köşege mtris ol D mtrisi D D D şeklide zılilir. Burd D / mtrisi D şeklidedir. Bu ugu olrk, XD D X XD XD elde edilir. Souç olrk, P XD olduğu görüleilir. P mtrisi tekil olm mtrisleri çrpımı olduğud tekil olm ir mtristir. eorem.54: mtrisi outlu ve pozitif tımlı ve P, m outlu rkı m ol ir mtris ise P P pozitif tımlıdır. eorem.55: mtrisi m outlu rkı m ol ir mtris ise pozitif, pozitif rı tımlıdır. eorem.56: mtrisi m outlu rkı k ( k m, k) ol ir mtris ise ve çrpımlrıı her ikiside pozitif rı tımlıdır. eorem.57: ve B pozitif tımlı mtrislerse -B ve B - - - mtrisleri de pozitif tımlıdır. eorem.58: Pozitif tımlı ir mtrisi determitı pozitiftir. eorem.59: ve mtrisleri simetrik, pozitif tımlı mtris ve eğer - mtrisi pozitif rı tımlı (ve pozitif tımlı) ise dir. 6
. MKSİMUM MİNİMUM DEĞERLER ve JKOBYEN Mksimum ve miimum değerler içi zı öemli souçlrı mtris otsoud vermek rrlı olcktır. Bir skler değişkei, ğımsız değişkei foksiou olrk, f,, f, tımlilir. Bu foksiou toplm difersieli, d f d f d f d (.94) olrk verilir. Burd f i i,..., i şeklidedir. d i, i deki herhgi ir değişikliği elirtir. Küçük ir d i içi irici derecede difersiel değişkeide oluş değişimi klşık ir değerii verir. Kısmi türev vektörü f ve difersiel vektörü d, f d f d f d f d ile elirtilerek i irici derecede difersieli d f d ifdesi ile verileilir. Eğer değişkei, oktsıd durğ ir değere shipse * ı kııdki tüm oktlr içi d= olcktır. Bu oktlrd d olcğı içi eşitlik (.94) dikkte lıdığıd ir durğ değer içi gerekli şrtı, f= olduğu görülmektedir. Bşk ir deişle durğ oktd tüm kısmi türevler sıfırdır. Bir durğ okt ir mksimum okt olilir. Bu durumd * çevresideki tüm oktlrd foksiou değeri zlır. İkici ir durum ise durğ oktı ir miimum oktsı olmsıdır ki u durumd * çevresideki tüm oktlrd foksiou değeri rtr. Solrk ir eğer oktsı olilir. Bu durumd * d uzklşıl zı ölerde foksio zlır diğer ölerde ise rtr. Ort çıkilecek u muhtemel durumlr rsıdki frkı ırt edeilmek içi ikici derecede difersiel d kullılır. İkici derecede difersiel ile toplm difersieli irici derecede difersieli uluilir. Bu ifde de * oktsıd uzklşmı d değeride oluşturduğu değişim içi klşım elde edilmesii sğlr. Bir mksimum değer içi d sıfırd ir egtif değere doğru zlcktır, u edele d egtif ir değer lilecektir. Bu ugu olrk ir miimum değer içi d pozitif değer lilir. Eğer diğerleri içi egtif değer lır. Eşitlik (.94) toplm difersieli, oktsı içi d zı d değerleri içi pozitif 7
d fd f d f d d fd f d d d f fd f d f d d = fd fdd fdd f dd f d f d d f d d şeklide elde edilir. Burd, + f d (.95) f ij f ji i j ifdesi ile verilir. d i ise d i difersielii kresidir. Eşitlik (.95) de görüleileceği gii ikici derecede difersiel d i kresel ir formu olrk zılilir. Kresel form mtrisi ikici derecede kısmi türevleri simetrik Hessie mtrisidir. f f f f f f F f f f souç olrk, d d Fd (.96) eşitliği zılilir. Bu ifdee ugu olrk F pozitif tımlı ise d pozitif, egtif tımlı ise egtiftir. Bir * oktsıd mksimum ve miimum mevcut olmsı içi şrtlr şğıd özetlemiştir. Birici derece şrtı İkici derece şrtı Mksimum f F egtif tımlı Miimum f F pozitif tımlı Kısıtlı Mksimum ve Miimum; =f(,, ) foksiou durğ değerleri rştırılırke leri ğımsız değişkeler olduğu vrsılmıştı. Bu edele det kefi difersiel d, d,..., 8
d elirleeilmektedi. Buul irlikte zı prolemlerde ler ir ve dh kısıt ship olilirler ve u durumd i ir mksimum ve miimumu u kısıtlr dikkte lırk ulumk zoruddır. Foksiou ir tek mksimum ve miimum ship olduğu vrsımı ile prolem şğıdki şekilde ifde edileilir: Verile m det (m<) kısıt ltıd i mksimum (miimum) p * vektörüü ulu. j ( ) j,, m Kısıt sütu vektörü, ( ) m ve Lgrge çrplrı sütu vektörü, λ m Bu veriler kullılrk ei ir mç foksiou, f λ (.97) tımlır. değeri ve lerde oluş m det değişkei oluşturduğu ir sklerdir. i durğ ir değeri içi irici derece koşulu tüm m det irici derecede kısmi türevi, λ f ( ) λ sıfır olmsıdır. λ,,, +,,, +,,, m m (.98) olup kısmi türevleri, λ () m m... λ () m m şeklidedir. Bu ifdede, 9
4 i i m i i i,,, olrk verilmiştir. f, outlu ir vektör olduğu içi, () λ değerii de sırlı olck şekilde düzelemesi gereklidir. Kısmi türevler m outlu G mtrisi ile, m m m G elirtileilir. Bu durumd Gλ f zılilir ve durğ ir okt içi irici derece koşul, Gλ f () = (.99) şeklidedir. Eşitlik (.99) deki ikici deklem durğ oktı kısıtlrı sğlmsıı grti eder. Mksimum ve miimumu ırt edeilmek içi eşitlik (.96) deki kresel formu pozitif mi oks egtif mi tımlı olduğuu rştırılmsı gereklidir. Fkt u çlışm sdece kısıtlrı ihll etmee d vektörleri içi pılır. j-ici kısıtı,,,, j toplm difersieli, j j j j d d d d olrk verileilir. Her ir kısıt içi ezer ir şrt mevcuttur. Bu eşitliği sğl d vektörleri kısıtlrı ihll etmez ve u vektörler, G d= (.) eşitliği ile elde edileilir. Pek çok durumd F mtrisi sitlerde oluşur, u mtrisi tımsızlığı herhgi değerlerii ğımsızlığı ile oluşturulilir..4 OROGONL RNSFORMSYONLR VE İZDÜŞÜMLER
4 Her ikisi de outlu ol vektörüü vektörüe doğrusl trsformsou = şeklide zılilir. Burd, outlu trsformso ktsılr mtrisidir. Eğer mtrisi tekil değilse trsformso ireirdir. Bu durumd vektörüü üzerie ters trsformsou = - şeklidedir. Eğer =I ise u doğrusl trsformso ortogol trsformsodur. Bu ugu olrk mtrisii sırlrı ortogoldir ve uzuluklrı ir irimdir. Ortogol trsformsolr vektörler rsıdki uzklık ve çılrı değiştirmez. Bşk ir deişle vektörler rsıdki uzsl ilişkiler ortogol trsformso ile değişmez. Öreği 4 6 ve vektörleri ile ktsı mtrisi, olrk verilmiş olsu doğrusl döüşümler, = = = 7 ve = = 4 6 = 5 4 olrk i e ve i e doğrusl trsformsou elde edilir. Bulr ortogol trsformso değildir. Çükü I 6 çrpımı irim mtrisi vermemektedir. mtrisii sırlrı rık ortogoldir, köşege dışı elemlr sıfırdır, fkt uzuluklrı ir irim değildir. Bu trsformso her ir sır kedi uzuluğu ölüerek ortogol hle döüştürüleilir. Bu işlem ile sırlrı uzuluğu ir irim olck şekilde ölçeklemiş olur. Elde edile * mtrisi ve ortogol trsformso, 6 7 6 6 6 * * ve
* * 4 5 6 olrk uluur. İki vektör (u ve v) rsıdki uzklığı kresi, (u-v) (u-v) şeklidedir. Bu ifdede fdlrk orijil vektörleri rsıdki ile ortogol trsformso soucu elde edile vektörleri rsıdki uzklığı değişmediği isptlilir: 6 Bir lt uz içie ir vektörü izdüşümü trsformsolrı özel ir durumudur. İzdüşüm EKK d htr ir dımdır, kz.bölüm 4. eorem.6: Eğer C ortogol ir mtris ise tr CCtr dır. eorem.6: Eğer, rkı r ol idempotet ir mtris ise PP E r olck şekilde ir P ortogol mtrisi mevcuttur. Burd E r, r det köşege elemı ir ve kl elemlrı sıfır ol ir köşege mtristir. eorem.6: Eğer idempotet P ortogol mtris ise.5 BİR DİKDÖRGEN MRİSİN EKİL DEĞER YRIŞIMI PP mtrisi idempotetdir. Kısım. de verile özdeğer lizi ir kre mtrise ugulmktdı. Bu kısımd özdeğer lizi, tekil değer rışımı dı verile ezer ir rışımı geliştirmek içi kullılcktır. ekil değer rışımı dh sor ileşe lizii vermekte kullılır. X outlrı p ol (>p) ol ir mtris ise X X pp outlu ir simetrik kre mtristir. Bu mtrisi özdeğerleri ve özvektörleri tımldığı Z mtrisi kullılrk, X X =ZDZ (.) ifdesi verileilir. Burd D köşege mtris olup elemlrı X X mtrisii özdeğerleridir. Bezer olrk XX mtrisi de simetrik ir kre mtristir, fkt outu dir. XX mtrisii rkı e çok p olileceği içi sıfırd frklı özdeğerlerii sısıd e çok p olilecektir. Elde edile u sıfırd frklı özdeğerler X X mtrisii özdeğerleri ile ıdır. XX mtrisi p det sıfır eşit özdeğere shiptir. Bu p det özdeğer ve olrı özvektörleri şğıd verildiği şekildedir. XX mtrisi özvektörlerii mtrisi U ile elirtilmektedir. Bu mtris X X ile XX mtrisii müşterek p det özdeğerie krşılık gele özvektörlerde oluşmktdır. Her ir özvektör u i outludur. XX mtrisi içi, XX =UDU eşitliği verileilir. Eşitlik (.) ve (.) irlikte ele lırk dikdörtge mtris X, X=UD / Z (.) şeklide zılilir. Burd D / mtrisi X X mtrisii p det özdeğerii pozitif kre köklerii oluşturduğu köşege mtristir. Bu göre D / D / = D dır. Eşitlik (.) dikdörtge X mtrisii 4
tekil değer rışımıdır. D / mtrisii elemlrı tekil değerlerdir ve U ile Z deki sütu vektörleri ise sol ve sğ tekil vektörlerdir. D / ir köşege mtris olduğud, p X iu i z i şeklidedir. Eğer özdeğerler e üükte e küçüğe doğru düzeleirse u mtrisleri ilki X içi e ii rk- klşımıı verir, ilk iki mtrisi toplmı ise X içi e ii rk- klşımıı oluşturur, işlem u şekilde devm eder. Bulr EKK lmıd d e ii klşımlrdır. EKK lmıd e ii klşım: Orijil X mtrisi ile dh ii ir ütülük sğl ı rk ship şk ir mtris oktur şeklide tımlır. Yklşımı ölçümü ise klşım ve X mtrisii krşılıklı elemlrı rsıdki frkı kreler toplmı ile elde edilir. Her ir durumdki klşımı uum iiliği, klşımd kullıl özdeğerleri toplmıı tüm özdeğerleri toplmı orı ile verilir. Bşk ir deişle rk- klşımı iiliğie shiptir., rk- klşımı uum i i ekil değer rışımı ileşeler lizii ilk dımıdır. X=UD / Z soucu ve Z Z=I özelliği kullılrk p outlu W=XZ= UD / (.) şeklide ir W mtrisi tımlilir. Z mtrisii ilk sütuu X mtrisii sğ tekil değerler vektörüü iricisidir. Bşk ir deişle X X mtrisii özvektörlerii ilkidir. Bu durumd irici özvektördeki ktsılr, W mtrisii ilk sütuuu oluşturck şekilde X mtrisii sütulrıı elirli ir doğrusl fksiouu tımlr. W W=D olduğu elirtilmelidir. W ir p outlu fkt X de frklı ir mtristir. Bu mtrisi ir özelliğide tüm sütulrıı ortogol olmsıdır. D mtrisii köşege dışıdki elemlrı W mtrisii sütulrı rsıdki çrpımlrı toplmı olup hepsi sıfır değerii lmktdır. W mtrisii i-ici sütuuu kreler toplmı i olup D mtrisii i-ici köşege elemı eşittir. Eğer X mtrisi p det değişkei det gözlemide oluş p outlu ir mtris ise W mtrisii her ir sütuu orijil değişkeleri doğrusl ir trsformsou ol ei ir değişkei tımlr. i-ici ei değişke i kreler toplmı ship olup tüm değişke çiftleri ortogoldir. Bu liz X mtrisii ileşeler lizi olrk iliir. Ve W mtrisii sütulrı ileşelerdir. ileşe lizi X mtrisii sütulrıı oluştur frklı değişkeleri gözlemleri içi kullılilecektir. Bu trsformso ir ortogol değişkeler setii oluşturur. Bu değişkelerde irici ileşe, toplm dğılımı e üük kısmıı çıklr. İkici ileşe ise kl dğılımı mümkü ol e üük miktrıı çıklr. oplm dğılım orijil değişkeleri kreler toplmı eşit olup tüm özdeğerleri toplmı ile verilir. tr X X trw W i 4