İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK ANALİZİ

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK ANALİZİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Mehmet ÇOBAN Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Pogamı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ HAZİRAN 2008

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK ANALİZİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Mehmet ÇOBAN (501051077) Tezin Enstitüye Veildiği Taih: 5 Mayıs 2008 Tezin Savunulduğu Taih: 11 Hazian 2008 Tez Danışmanı: Diğe Jüi Üyelei Yd. Doç. D. Fethi KADIOĞLU Pof. D. Hasan ENGİN (İ.T.Ü.) Pof. D. Yalçın AKÖZ (İ.T.Ü.) HAZİRAN 2008

ÖNSÖZ Düzlemine dik yüklele yüklü daie eksenli çubukla için geçeli olan alan denklemlei ele alınaak değişik sını koşullaı altında düzlem dışı sebest titeşimlein incelenmesini konu alan bu tez çalışması Yd. Doç. D. Fethi Kadıoğlu yönetiminde geçekleştiilmişti. Çalışmanın tüm aşamalaında göstediği he tülü ilgi, destek ve anlayış için Hocama en içten teşekküleimi sunaım. He zaman yanımda olan, destekleini benden esigemeyen aileme ve dostlaıma teşekkü edeim. Mayıs 2008 Mehmet ÇOBAN ii

İÇİNDEKİLER TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vı vıı x xı 1. GİRİŞ 1 1.1.Genel 1 1.2.Çalışmanın Amacı ve Kapsamı 3 1.3.Liteatü Aaştıması 4 2. KİRİŞ DENKLEMLERİ 6 2.1.Matematiksel Modelle 6 2.1.1. Eule-Benoulli Kiiş Modeli 6 2.1.2. Timoshenko Kiiş Modeli 7 2.2. Elastik Çubuklaın Genel Denklemlei 8 2.2.1. Giiş 8 2.2.2. Dış Kuvvetle 9 2.2.3. İç Kuvvetle 10 2.2.4. Denge Denklemlei 12 2.2.5. Kinematik Denklemle 14 2.2.6. Bünye Denklemlei 17 2.3. Kullanılacak Olan Denklemlein Çıkaılışı 19 3. FONKSİYONEL ANALİZ 24 3.1. Difeansiyel Denklemleden Fonksiyonele Geçiş 25 3.1.1. Potansiyellik Koşulu 25 3.1.1.1 Yönsel Toplam (İç Çapım) 25 3.1.1.2 Gataeux Tüevi ( Yönsel Tüev) 25 3.2. Fonksiyonelin Elde Edilmesi 28 iii

4. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ 29 4.1. Sonlu Elemanla Yöntemi Nedi? 29 4.2. Sonlu Elemanla Yöntemi Nasıl Çalışı? 30 4.3. Adım Adım Sonlu Elemanla Metodu 32 4.4. Kaışık Sonlu Elemanla Metodu 33 5. KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ ile DİNAMİK ANALİZ 34 5.1. İntepolasyon Fonksiyonlaı 34 5.2. Eleman Matisinin Elde Edilmesi 37 5.3. Dinamik Analiz 38 6.SAYISAL ÖRNEKLER 40 6.1. Bi ucu ankaste-diğe ucu boş olan daiesel çubuk 41 6.2. İki ucu ankaste mesnetli daiesel çubuk 41 6.3. Değişik sını koşullaına sahip daiesel çubuk 43 7. SONUÇLAR 44 KAYNAKLAR 46 EKLER 50 ÖZGEÇMİŞ 52 iv

TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo 6.1 Ankaste-boş uçlu yaım çembee ait düzlem dışı doğal fekans 41 Tablo 6.2 İki ucu ankaste mesnetli daiesel çubuk 42 Tablo 6.3 Değişik sını koşullaına sahip daiesel çubuk 43 vi

ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekil 2.1 Şekil 2.2 Şekil 2.3 Şekil 2.4 Şekil 2.5 Şekil 2.6 Şekil 2.7 Şekil 2.8 Şekil 4.1 : Eule-Benoulli Kiiş Modeli : Timoshenko Kiiş Modeli : Dış kuvvetle, iç kuvvetle, şekildeğiştimele ve yedeğiştimele aasındaki ilişki : Dış Kuvvetle ve İç Kuvvetle : Bileşke Kuvvetin Eksenle Doğultusundaki Bileşenlei : Bileşke Momentin Eksenle Doğultusundaki Bileşenlei : Difeansiyel Çubuk Elemanı Üzeinde Kesit Zolaının Değişimi : Difeansiyel Çubuk Elemanı Üzeinde Yedeğiştime : Daie eksenli çubuk için kullanılan sonlu eleman 6 7 9 11 11 12 12 15 34 vii

SEMBOL LİSTESİ Γ β φ p( s) s P m( s) M T t T b T n t n b M t M b M n : Süekli otam sınıı : Süekli otam : Bulunmak istenen fonksiyon : Çubuk ekseni boyunca yayılı halde bulunan dış yük : Çubuk eksen paçası : Dış yüklein vektöel toplamı : Çubuk ekseni boyunca yayılı halde bulunan kuvvet çifti : Kuvvet çiftleinin vektöel toplamı : Eksenel kuvvet : Binomal eksen doğultusundaki kesme kuvveti : Nomal eksen doğultusundaki kesme kuvveti : Teğet biim vektö : Biim nomal vektö : Binomal biim vektö : Buulma Momenti : Binomal eksen üzeindeki eğilme momenti : Nomal eksen üzeindeki eğilme momenti vii

s T M Ω γ ω ε ij C ik : Ye vektöü : Çubuk ekseni : Kuvvetteki değişim : Kuvvet çiftindeki değişim : Dönme vektöü : Biim kayma vektöü : Biim dönme vektöü : Şekil değiştime elemanlaı : Kayma ijitliği D ik [C] : Eğilme ijitliği : Malzeme matisi D 1, 1 C : Esneklik matislei χ τ R θ Q I E i : Eğilik : Eğiliğin tabi tosiyonu : Eğilik yaıçapı : Eğilik mekez açısı : Alan denklemleinin opeatö fomu : Fonksiyonel : Young (elastisite) modülü v ij : Poisson oanı G ij : Kayma modülü viii

u ω : Ye değiştime : Daiesel fekans k : Kesme katsayısı faktöü ρ A L : Malzeme yoğunlğu : Defomasyona uğamamış kesit alanı : Tüev opeatöü f : Dış yükle Le Ψ i, [ M ] Ψ j : Kiiş sonlu eleman boyunu : Şekil fonksiyonlaı : Kütle matisi ix

DAİRE EKSENLİ KİRİŞLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE DİNAMİK ANALİZİ ÖZET Bu çalışmada düzlemine dik yüklele yüklü daie eksenli çubukla için geçeli olan alan denklemlei ele alınaak değişik sını koşullaı altında düzlem dışı sebest titeşimle incelenmişti. Buada değişik sını koşullaı altında daiesel çubuk sistemle ele alınaak sisteme ait düzlemine dik doğultudaki doğal fekansla elde edilmişti. Yapılan bu çalışmada Gâteaux difeansiyel yöntemi ile daiesel çubuklaın dinamik analizinde kullanılacak olan fonksiyonel elde edileek, ye değiştimelei ve iç kuvvetlei bilinmeyen olaak ele alan ve sistem kütle matisini de içeen kaışık sonlu eleman fomülasyonu kullanılmıştı. Kullanılan sonlu eleman yöntemi ile düğüm noktalaında altı bilinmeyenin bulunduğu iki düğüm noktalı daiesel çubuk eleman üzeinde eleman matislei kapalı fomda elde edilmişti. Daiesel çubukta he eleman, bi eğilme ve bi buulma momenti, bi kesme kuvveti, iki dönme ve bi yedeğiştime olmak üzee (2 6) sebestlik deecesine sahipti.bu çalışma yedi bölümden oluşmaktadı: Bölüm l' de, yapılan çalışma tanıtılmış, amacı ve kapsamı hakkında bilgi veilmiş ve liteatüde mevcut ilgili çalışmala aktaılmıştı. Bölüm 2' de, kiiş modellei ile elastik çubuklaın genel denklemlei açıklanmış ve bu çalışmada kullanılacak alan denklemlei elde edilmişti. Bölüm 3' de, alan denklemlei opeatö fomda yazılmış, opeatöün potansiyellik koşulu açıklanmış ve Gâteaux tüevi kullanılaak daie eksenli çubuklaın düzlem dışı sebest titeşimlei için fonksiyonel elde edilmişti. Bölüm 4' de, Sonlu Elemanla Yöntemi hakkında genel bilgi veilmişti. Bölüm 5 de; Kaışık Sonlu Elemanla Yöntemi ile daiesel çubuklaın düzlem-dışı sebest titeşim denklemleinin nasıl bulunacağı açıklanmıştı. Dinamik analizde poblem, standat özdeğe poblemine indigeneek sıkıştıılmış kütle matisi fomülasyonunu esas alan kaışık sonlu eleman yöntemi kullanılmıştı. Bölüm 6 da, liteatüdeki mevcut çalışmaladan alınan poblemle kaışık sonlu elemanla yöntemi ile çözülmüştü. Yedinci ve son bölümde ise elde edilen sonuçla liteatüdeki çalışmalada elde edilen sonuçlala kaşılaştıılmış ve değelendimele yapılmıştı. x

OUT-OF-PLANE DYNAMIC ANALYSIS OF CURVED BEAMS USING MIXED FINITE ELEMENT METHOD SUMMARY In this thesis, the out-of-plane fee vibations of cuved beams was studied unde diffeent and complex bounday conditions. In this study, using Gâteaux diffeantial a functional is obtained fo out-of-plane fee vibations of cuved beam elements. In dynamic analysis, the poblem educes to the solution of a standat eigenvalue poblem and the mixed finite element is based upon a consistent mass matix fomulation. The cicula beam element which have two nodes have been used. Fo cicula beam, the element have one bending and one twisting moments, one shea foce, two otations and one displacement (2 6 DOF). This study consists of seven chaptes : The aim of this study on the contents is descibed and the poblem which we deal with intoduced in the fist chapte. Also the studies about the subject which had been done in the past wee given. In the second chapte, beam models, functions of elastic ods and the field equations which was used in this study wee biefly given. In the thid chapte, bief infomation about functional analyses and potentiality has been taken place. Gateaux diffeential method which was using fo developed in this study by using mixed finite element fomulation is explained. Bief infomation of how to obtain the functional by using the Gateaux diffeential is also take place. In the fouth chapte, geneal infomation about Finite Element Analysis was given. In fifth chapte, the mixed finite element solution of out-of-plane fee vibation of cuved beams was explained. The poblem was educed to the solution of a standat eigenvalue poblem and the mixed finite element was based upon a consistent mass matix fomulation. In the sixth chapte, numeical examples which has been studied befoe in liteatue was studied and the esults wee discussed. In the last chapte, the conclusions and the opinions wee biefly given. xi

1.GİRİŞ 1.1. Genel Eği eksenli çubuk elemanla, eski zamanladan bu yana kemeli kubbelede, disk şeklindeki fen balatalaında, tekelek dinamiğinde, bou sistemleinde, tubo makineli bıçak ağızlaında, güdümlü füzelein denge çaklaında, uzay aaçlaında ve yapılaında, keme köpülede, eği eksenli kiiş köpülede, büyük açıklıklı çatı yapılaında ve depeme dayanıklı yapı tasaımında sıkça kullanılan yapı elemanlaıdı. Eği eksenli çubuklaın dinamik özelliklei 19. yüzyıldan bu yana biçok aaştımacının uğaşısı olmuştu. Mühendislik çalışmalaının içinde titeşim poblemlei önemli bi yee sahipti. Titeşimin çalışma konusu dinamik sistemlein salınımlı haeketleinin analizi hakkındadı. Titeşim, bi denge noktası etafındaki mekanik salınımdı ve dinamik bi davanışa sahipti. Bütün fiziksel yapıla, yüklee veya yedeğiştimelee kaşı dinamik bi davanış segilemektedile. Bu, dinamik davanış gösteen he yapıda titeşim olacağını göstemektedi. Bu salınımla bi sakacın haeketi gibi peiyodik ya da çakıllı bi yolda tekeleğin haeketi gibi astgele de olabilmektedi. Bu titeşimlein bazılaı çok küçük salınımlıdıla ve hissedilmezle, bazılaının salınımı da büyüktüle ve ahatsız edicidile; yapının pefomansını olumsuz etkilediğinden dolayı istenilmemektedile. Tasaımcı iyi bi titeşim pefomansını tasalamadan önce sistemin titeşim kaakteistiğini anlamalı, analiz etmeli ve modellemelidi. Dinamik davanışın kaakteindeki ek atalet kuvvetlei, Newton un ikinci yasasından, kütle ile ivmenin çapımına eşitti. Yükle ve yedeğiştimele çok yavaş etkidiğinde atalet yüklei göz adı edilebilmekte ve statik yük analizi uygulanabilinmektedi. Bu da göstemektedi ki dinamik analiz aslında statik analizin basit bi genişletilmiş şeklidi. Bi yapı, üzeine yapılan yükleme altında haeket etmektedi. Eğe yükleme bi fekansa bağlı olaak değişiyo ve bu fekansta yapının doğal fekansının 1/3 den daha düşük oluyo ise poblem statik poblem 1

olaak sınıflandıılabili. Diğe yandan yükleme yüksek fekanslı veya astgele olaak değişiyosa veya yük aniden uygulanıyosa, poblem için dinamik analiz geekmektedi. Dinamik analizde de statik analizde olduğu gibi ijitlik matisi kullanılmakta, fakat bi kütle ve bi sönüm matisine de analiz için ihtiyaç duyulmaktadı. Bunun yanında, bütün fiziksel yapıla potansiyel olaak sonsuz sayıda yedeğiştimeye sahiptile. Bu bakımdan, yapısal analizin en zo kısmı geçek yapının davanışını segileyecek olan, sonlu sayıda kütlesiz eleman ve düğüm noktası yedeğiştimesi seçeek, bi bilgisaya modeli yaatmaktı. Yapısal bi sistemin kütlesinin düğüm noktalaında toplayabileceğimizi ahatlıkla kabul edebiliiz. Bununla bilikte, deneysel veile sayesinde elastik yapılaın elemanlaının ijitlik özelliklei yüksek bi doğulukla bulunabilinmektedi. Ancak, dinamik yükleme, eneji sönümleme kaakteistiği ve sını koşullaını tahmin etmek güç olmaktadı. Yukaıda anlatılan belisizlikleden ötüü, faklı yükleme ve sını koşullaı etkisinde biden çok bilgisaya modeli kullanaak biçok değişik dinamik analiz yapmak geekmektedi. Tipik bi dinamik analiz için çok fazla sayıda bilgisaya analizi yapmamız geeki ki bu da çok youcu ve kamaşık bi iş olmaktadı ve etkili bi çözüm olamamaktadı. Bu sebeple etkili ve doğu sonuç veen sayısal yöntemlele sonuca ulaşmak geekmektedi. İnsanoğlunun diğe biçok aktivitesinde olduğu gibi, yapılaın mekanik poblemleinin çözümü de hızla gelişen moden bilgisaya teknolojisinden etkilenmektedi. Yeni nesil bilgisayalaın kapasitesi ve hızı günümüzde halen daha da hızla gelişmektedi. Bu gelişmele, daha kamaşık ve zaman isteyen poblemlei çözebilmemizi ve daha genel çözüm yollaı üetmemizi sağlamaktadı. Sayısal çözüm yöntemleinin daha işle hale getiilmesi bilgisaya teknolojisi ile çok yakından bağlantılıdı. Bilgisayalaın gelişimi ile bilikte sayısal yöntemleden bi tanesi olan Sonlu Elemanla Metodu da gelişmiş ve atık mekanik poblemleinin çözümünde en genel aaç olmuştu. Bu çalışmada Kaışık Sonlu Elemanla Metodu ile daie eksenli kiişlein sebest titeşim fekanslaı elde edilmiş ve liteatüdeki diğe çalışmalala kaşılaştıılmıştı. 2

1.2. Çalışmanın Amacı ve Kapsamı Γ yüzeyi ile sınılandıılmış β süekli otamını ele alalım. φ, β süekli otamı içeisinde tanımlanan bi skale fonksiyon olmak üzee φ nin β içeisindeki hehangi bi noktadaki davanışı şöyle ifade edilmektedi: L( φ) f = 0 (1.1) Çözmek istediğimiz süekli otam poblemlei en genel anlamda genellikle denklem (1.1) deki gibi ifade edilmektedi. Buada, f sebest değişkenlein bilinen skale bi fonksiyonunu, L ise linee veya nonlinee difeansiyel opeatöü göstemektedi. Denklem (1.1) in özel bi çözümünün bulunabilmesi için sını koşullaının bilinmesi geekmektedi. Sını değelei bilinmeden he ne kada denklem (1.1) in integali alınabilise de elde edilen sonuç, opeatö adi difeansiyel opeatö ise keyfi sabitle, kısmi difeansiyel opeatö ise keyfi fonksiyonla içeecekti. Bu keyfi sabitle ve fonksiyonla ancak ve ancak poblemin sını değelei bilindiği takdide özel bi değe almaktadıla. Bu nedenden dolayı süekli otam poblemlei sık sık sını değe poblemi olaak da isimlendiilmektedi. Poblem, β süekli otamında, Γ üzeindeki sını koşullaına uygun, (1.1) denklemini sağlayan φ fonksiyonunu bulmaktı. Linee ve nonlinee difeansiyel denklemlein çözümü için kesin sonuç veen analitik metodlala, yaklaşık sonuç veen sayısal yöntemle mevcuttu. Bikaç özel poblem için difeansiyel denklemlein integalini alaak kesin sonuçla bulmak mümkündü. Kesin çözüm, değişkenlei ayıaak ya da değişkenlei ayılabili hale getien dönüşümle kullanılaak bulunabilinmektedi. Bazen de difeansiyel denklemlee Fouie ya da Laplace dönüşümlei uygulanaak kesin çözüm bulunabilinmektedi. Ancak kesin çözümü bulunabilinen poblemle az sayıdadı ve çoğu çözülmüş duumdadı. Bu poblemle klasik poblemledi. Günümüzdeki gelişmiş bilgisayala sayesinde çözüm yöntemleindeki eğilim, Ağılıklı Rezidüle Yöntemi, Ritz Metodu, Sonlu 3

Fakla Metodu, Sonlu Elemanla Metodu gibi yüksek doğulukta yaklaşık sonuçla veen sayısal yöntemlei kullanmaktı. Bu çalışmada, düzlemine dik yüklele yüklü daiesel çubuklaa ait alan denklemlei ele alınaak düzlem dışı sebest titeşimle incelenmişti. Değişik sını koşullaı altında daie eksenli çubuklaın düzlemine dik doğultudaki doğal fekanslaı elde edilmişti. Elde edilen sonuçla liteatüdeki mevcut çalışmalala kaşılaştıılmıştı. Bilinmeyenlei bulmak amacıyla, Gâteaux difeansiyel yöntemi ile daiesel çubuklaın dinamik analizinde kullanılacak olan fonksiyonel elde edileek, sistem kütle matisini de içeen, yedeğiştimelei ve iç kuvvetlei bilinmeyen olaak ele alan kaışık sonlu elemanla fomülasyonu kullanılmıştı. Kullanılan bu yöntem ile he düğüm noktasında altı bilinmeyenin bulunduğu iki düğüm noktalı R yaıçaplı daiesel çubuk eleman üzeinde eleman matislei elde edilmişti. Bunla Fotan dilinde yazılmış bi bilgisaya pogamı kullanılaak elde edilmişti. Bu pogam yadımıyla, enkesiti düzgün ya da değişken daiesel çubuklada he tülü sını koşullaı için sonuç elde etmek mümkündü. Bu çalışmada ayıca, kiiş modellei tanıtılmış ve elastik çubuklaa ait genel denklemlein elde edilişi açıklanmıştı. Kullanılacak olan kiiş modelinde kayma etkisi göz önüne alınıken dönme ataleti ihmal edilmişti. Kiiş elemanlaın homojen ve izotop malzemeden oluştuğu, malzeme asal eksenlei ile kesit asal eksenleinin çakıştığı kabul edilmişti. 1.3. Liteatü Aaştıması Daiesel çubuklaın ( yaylaın ) düzlem dışı titeşimlei için biçok faklı teknik denenmişti. Daiesel bi yay için düzlem-içi ve düzlem-dışı titeşimlein klasik denklemlei Love un kitabında bulunmaktadı ve analitik çözümlei veilmişti [1]. Voltea ve Moell [2], iki ucu ankaste yayın en düşük fekansını bulmak için Rayleigh-Ritz Yöntemi ni kullanmaktadı. Bu çalışmalaında kesme etkisi göz önüne alınmamıştı Iie ve akadaşlaı [3], Taşıma Matisi Metodu nu kullanaak sinüsoidal tekil yük veya moment etkisindeki, içsel sönüme sahip Timoshenko yayının kaalı düzlem- 4

dışı titeşimini aaştımıştı. Iie ve akadaşlaı [4], başka bi çalışmalaında yine Taşıma Matisi Metodu kullanaak, sabit yaıçaplı Timoshenko yayının düzlem-dışı sebest titeşimini incelemişti. He iki ucu ankaste yayın kae ve dikdötgen kesitlei için sonuçlaı elde etmişti. Wang ve akadaşlaı [5], bi yayın dinamik ijitlik matisini elde etmişledi. Eğilme titeşimlei için kayma defomasyonlaı ve dönme ataleti dikkate alınmış ancak buulma titeşimlei için dönme ataleti dikkate alınmamıştı. Bickfod ve Maganty [6], kesme etkisi ve dönmeyi dikkate alaak ince yüzüklein düzlem-dışı titeşimleini incelemişti. Silva ve Ugueia [7], dinamik ijitlik matisini, kesme ve dönme etkisini de dikkate alaak kullanmış ve analitik bi çözüm veeek deneysel çalışmalala kaşılaştımıştı. Kawakami ve akadaşlaı [8],değişken geometi ve kesite sahip yaylaın düzlem-içi ve düzlem-dışı titeşimlei için yaklaşık bi yöntem otaya koymuştu. Bu çalışmada Timoshenko kiiş teoisi kullanılmıştı. Kang ve akadaşlaı [9], daiesel yaylaın düzlem-içi ve düzlem-dışı titeşimlein özdeğeleini hesaplamak için difeansiyel kuadate metodunu kullanmıştı. Howson ve akadaşlaı [10], dinamik ijitlik tekniğinde kullanılan ek bi yöntem sunmuştu. Eğilme titeşimleinde dönme etkisi ihmal edilmişti. Howson ve Jemah [11], eği eksenli Timoshenko kiişinin düzlem-dışı fekanslaını kesin olaak bulan bi metod sunmuşladı. Huang ve akadaşlaı [12], daiesel olmayan yaylaın düzlem-dışı dinamik davanışı için bi metod sunmuştu. Laplace dönüşümünü kullanaak Timoshenko teoisine ek olaak viskoz sönümü de dikkate almıştı. Yine Huang ve akadaşlaı [13], değişken kesit ve geometili yaylaın düzlem-dışı titeşimini incelemişti. Dinamik ijitlik matisi ve eşdeğe düğüm kuvveti vektöü kullanaak difeansiyel denklemlein sei çözümlei tüetilmişti. Lee ve Chao [14], eğilme titeşiminde dönme, kesme, çapılma etkisini göze almadan düzgün olmayan yaylaın düzem-dışı titeşimleini incelemişti. Rubin ve Tüfekçi [15], düzgün dikdötgen enkesitli daiesel yaylaın üç boyutlu sebest titeşimleini faklı bi teoik yaklaşımla ( Cosseat Noktası Teoisi ) aaştımışladı. Sonlu elemanla yöntemi ile elde edilen sonuçlala kendi çalışmalaını kaşılaştımışladı. Tüfekçi ve Doğue [16], düzgün kesitli daiesel yaylaın düzlem-dışı titeşim poblemleinde, difeansiyel denklemlein kesin çözümleini vemişledi. Bu çalışmalaında başlangıç değelei metodunu kullanmışladı. Sadece çapılma etkisi ihmal edilmişti.liteatüde daie eksenli çubuklala ilgili daha biçok çalışma mevcuttu[17-28]. 5

2. KİRİŞ DENKLEMLERİ 2.1. Matematiksel Modelle Yapılaın tepkisini, davanışını önceden tayin edebilmek, anlamak ve geçeğe yakın bi teoi kuabilmek amacıyla matematiksel modellee ihtiyaç duyulmaktadı. Yapısal mekanikte kullanılan iki adet kiiş teoisi vadı: 2.1.1. Eule-Benoulli Kiiş Modeli Klasik Kiiş Modeli ya da Mühendislik Kiişi de denilen bu kiiş modeli, malzeme mekaniğinde kullanılan ilk ve en basit modeldi. Bu model, geilme ve şekil değiştime hesaplaında eğilme momenti etkisine açıklık getimektedi. Hesaplamalada, kiiş üzeindeki kesme kuvvetleinden kaynaklanan şekil değiştimelei göz önüne almamakta, ihmal etmektedi. Bu teoideki ana vasayım: Şekil değiştimeden önce düzlem olan ve çubuk eksenine dik olan kesit, şekil değiştidikten sona da düzlem kalı ve yine çubuk eksenine dik olmaktadı. Şekil 2.1 Eule- Benoulli Kiişi Modeli [28] 6

Şekil 2.1 de kesme etkisi ihmal edildiğinden, toplam dönme θ sadece eğilme etkisiyle oluşmaktadı. Bu dönme, çubuk kesit mekezinden geçen eksene göe oluşmaktadı. Bu modeldeki, düzlem ve eksene dik olan kesitin eğilmeden sona da düzlem ve eksene dik kaldığı vasayımı, ancak uzunluğun kalınlığa oanı büyükse ve kiişteki dönmele küçükse geçeli olmaktadı. Oanın küçük olduğu duumlada, eğilmeden sona kesit, çubuk eksenine dik kalmayacaktı. Bu teoi yüksek sayıdaki titeşim moduna sahip poblemlede hatalı sonuçla vemektedi. Ancak, yapının pefomansını değelendiebilmek fazla sayıda titeşim modunu incelemekle olabilmektedi. Bu teoiyi kullanan tasaımcı, yüksek sayıda moda sahip yapının pefomansını tatmin ede nitelikte, kesin sonuçla elde edeek inceleyememektedi. 2.1.2. Timoshenko Kiiş Modeli Bu model, kiişteki kesme şekil değiştimeleini de göz önüne alaak Eule-Benoulli Modeli nin hatalaını gidemektedi. Daha geçekçi bi yapı modeli teşkil ettiğinden sonuçlaı da geçeğe yakın olmaktadı. Eule-Benoulli Modeli ne göe, şekil değiştimeden önce düzlem olan ve çubuk eksenine göe dönme haeketi yapan kesit, bu modelde de aynı davanışı segilemektedi. Ancak, kesit, şekil değiştien eksene dik kalmamaktadı. Dikeylikten sapma, tüm kesitte yayılı halde bulunan kayma geilmeleinden kaynaklanmaktadı. Şekil 2.2 Timoshenko Kiişi Modeli [28] 7

Kiişteki eğim iki paçadan oluşmuştu. Biisi eğilmeden kaynaklanan θ, diğei de kayma etkisinden kaynaklanan β dı. Bu çalışmada, daha geçekçi davanışı yansıttığı için Timoshenko Kiiş Modeli kullanılmıştı. 2.2. Elastik Çubuklaın Genel Denklemlei Bu bölümde çubuk elemanlaın dış kuvvetle altındaki davanışını simgeleyen denklemle elde edilecekti. 2.2.1. Giiş Çubukla eksen ve dik kesiti ile beliginleşmektedi. Eksen, genel olaak bi uzay eğisi olup, çubuğun büyük olan boyutunu temsil edeken dik kesit ise kapalı bi eği ile çevelenmiş düzlem paçasıdı. Çubuğa etkiyen dış kuvvetle çoğu defa yayılı olup doğultulaı genellikle çubuk ekseninden geçmektedi. Eğe dış kuvvetlein tesi çizgilei çubuk ekseninden geçmiyosa bu kuvvetle çubuk eksenine kuvvet çiftlei ile bilikte taşınmaktadı. Cisme dış kuvvetle etkidiğinde, cisimde bi şekil değişimi ile bilikte cismi oluştuan paçacıkla aasında bu paçacıklaı bi aada tutacak iç kuvvetle otaya çıkmaktadı. Dış kuvvetle ile iç kuvvetle aasındaki ilişki denge denklemleiyle, şekildeğiştimele ile yedeğiştimele aasındaki ilişki kinematik denklemlele, iç kuvvetle ile şekildeğiştimele aasındaki ilişki de bünye denklemlei ile elde edilmektedi.(şekil 2.3) 8

Şekildeğiştimele Bünye Denklemlei Geilmele Kinematik Denklemle Statik Uygunluk Denklemlei Yedeğiştimele Dış Kuvvetle Şekil 2.3. Dış kuvvetle, iç kuvvetle, şekildeğiştimele ve yedeğiştimele aasındaki ilişki Bahsedilen denklemlein uygulanmasıyla bulunan geilme ve biim şekil değiştimelein elemanın sını koşullaına uygun olması geekmektedi. Bu duum, sını koşullaının sağlanması olaak ifade edilmektedi. Geilme ve şekil değiştime analizinde, şekil değiştime enejisi kavamından haeketle geliştiilen eneji yöntemlei, denge yöntemi yeine kullanılmaktadı. He iki yöntem, yükleme ve eleman şeklinin düzenli olması duumunda yeteli hassaslıkta sonuç veiken, kamaşık poblemlein çözümünde de sayısal yöntemlein uygulanabileceği temeli oluştumaktadıla. Bu bölümde, alan denklemlei elde edilecek ve dış yüklele geilmele, şekildeğiştimele ve yedeğiştimele aasındaki bağıntıla çıkaılacaktı. 2.2.2. Dış Kuvvetle Çubuk elemanına etki eden bütün dış kuvvetle p( s) gösteilebili: ve m( s) gibi iki fonksiyonla p( s) vektöü, doğultulaı çubuk ekseninden geçen ve çubuk üzeinde, s ekseni boyunca yayılı bulunan dış kuvvetlei göstemektedi ve matematiksel olaak; 9

P lim ( ) = s 0 s p (2.1) şeklinde gösteili. Buada, s, çubuk eksen paçasını; P ise vektöel toplamını simgelemektedi. m( s) s eksen paçasına etkiyen dış kuvvetlein vektöü, yine çubuk ekseninde yayılı olaak bulunan kuvvet çiftleini göstemektedi ve matematiksel olaak; M lim ( ) = m s 0 s (2.2) şeklinde ifade edilebili. Buada, vektöel toplamını simgelemektedi. M, s eksen paçasına etkiyen kuvvet çiftleinin 2.2.3. İç Kuvvetle İç Kuvvetle, cismin bünyesini oluştuan malzeme paçalaı aasındaki etkileşim kuvvetlei olaak algılanmaktadı. Kesit tesilei ya da kesit zolaı da denilen iç kuvvetle, bi kesitle kesilen çubuk paçalaı aasındaki etki ve tepki kuvvetleidi. Etki ve tepki kuvvetlei bibiine eşit olduğundan kesim yüzleindeki kuvvetle bibiine eşit fakat zıt yönlü olmaktadı. Bu kuvvetle cisim paçalaı aasındaki etkitepki kuvvetlei olduğundan tüm kesit boyunca yayılı halde bulunmaktadıla. Ancak bu yayılı kuvvetle kesit ağılık mekezleinde toplanabilile ve bi kuvvetle bi kuvvet çifti vektöü olaak gösteilebilile.(şekil 2.4) 10

Şekil 2.4. Dış Kuvvetle ve İç Kuvvetle [29] Kesitin ağılık mekezindeki bu vektöle kesite dik ve teğet doğultudaki bileşenleine ayılmaktadı. Böylece çeşitli yönlede yayılı şekilde bulunan ve kesit mekezine toplanan iç kuvvetle daha sağlıklı bi şekilde taif edilmektedi. T = T t + T b + T n t b n T t : Eksenel Kuvvet T b : Kesme Kuvveti T n : Kesme Kuvvet Şekil 2.5. Bileşke Kuvvetin Eksenle Doğultusundaki Bileşenlei [29] 11

M = M t + M b + M n t b n M t : Buulma Momenti M b : Eğilme Momenti M n : Eğilme Momenti Şekil 2.6. Bileşke Momentin Eksenle Doğultusundaki Bileşenlei [29] 2.2.4. Denge Denklemlei Çubuk elemanından Şekil 2.7 deki s kadalık çok küçük bi paçayı aldığımızı düşünelim: Şekil 2.7. Difeansiyel Çubuk Elemanı Üzeinde Kesit Zolaının Değişimi [29] 12

T ve M iç kuvvetlei he kesitte aynı kalmayıp çubuk ekseni boyunca değişmektedile. Amaç bu T(s) ve M(s) fonksiyonlaının bulunmasıdı. Bilindiği gibi iç kuvvetle dış kuvvetlein yapısal elemana etkimesi sonucunda oluşmaktadıla. Öyleyse, cisme etkiyen bu dış kuvvetle ile cisim paçacıklaı aasında oluşan iç kuvvetle aasında bi ilişkinin olacağını söylemek yanlış olmamaktadı. Çubuk eksenindeki dış kuvvetlein toplamı p s, kuvvet çiftleinin toplamı da m s kada olmaktadı. Çubuğa etkiyen bu kuvvetle neticesinde, s kesitine etkiyen iç kuvvetlein vektöel toplamı T ve kuvvet çiftleinin toplamı da M olsun. Çubuk ekseni üzeinde s kada gittiğimizde iç kuvvetteki değişim T ve kuvvet çiftindeki değişim de M kada olsun. Dolayısıyla s+ s kesitindeki iç kuvvetlein vektöel toplamı T + T ve kuvvet çiftleinin vektöel toplamı da M + M kada olu. Şekil 2.7 de veilen bu çubuk elemanı (difeansiyel eleman), üzeine etkiyen dış kuvvetle ve kesitleinde oluşan iç kuvvetle altında dengededi. Öyleyse aşağıdaki denge denklemlei yazılabili: i. T + T + T + p s = 0 T + p s = 0 (2.3) T + p = 0 s s sıfıa gideken limite geçilise; T lim + p = 0 s 0 s dt p 0 ds + = (2.4) (2.5) elde edili. 13

ii. Sol kesite göe moment dengesi yazılısa; ( ) 0 ' M + m s + p s + T + T = (2.6) ' M + m s + p s + T + T = 0 elde edili. İkinci metebeden teimle ihmal edilise ve he teim s ye bölünüse; M s + m + T = 0 s (2.7) yazılı ve s yi sıfıa götüüp limite geçilise; M lim + m + lim T = 0 s 0 s s 0 s dm m t T ds + + = 0 (2.8) (2.9) elde edili. Elde edilen (2.5) ve (2.9) denklemlei Vektöel Difeansiyel Denge Denklemlei olaak adlandıılmaktadı. 2.2.5. Kinematik Denklemle Dış etkile sonucunda çubuk elemanda oluşan iç kuvvetle ve bunlaın aasındaki bağıntıla önceki kısımda açıklanmıştı. Bu kısımda da dış etkileden doğan çubuktaki şekildeğiştime duumlaı incelenecekti. Çubuktaki ye değiştime olayı, çubuk eksenindeki hehangi bi noktanın ye değiştimesi ile taif edilmektedi. Bu da demekti ki ye değiştime çubuk eksenine bağlı bi fonksiyondu. Ye değiştime U ile gösteilise bu fonksiyon da U (s) ile gösteilmektedi. 14

Çubuk ekseni üzeindeki A noktasının ye değiştidikten sona C noktasına geldiğini düşünelim. A noktasının konumu, ( s) iken, ötelenmiş ve U vektöü ile gösteilen ye değiştimeyi yapmıştı. Ye değiştidikten sonaki konumu şekilden anlaşılacağı üzee ( s) + U vektöü olmaktadı. Öyleyse ye değişiminden sonaki konumu belileyebilmek için U ye değiştime vektöünün bilinmesi yeteli olmaktadı. Şekil 2.8. Difeansiyel Çubuk Elemanı Üzeinde Yedeğiştime [30] Çubuk eleman şekildeğiştidikten sona düzlem olan kesit atık düzlem kalmamakta ve kaışık bi hal almaktadı. Ancak çok küçük olacak bu şekildeğiştimelei ihmal edeek düzlem kesitin yine düzlem kaldığını vasaymak teoiyi çok kolaylaştımaktadı. Bu vasayım altında kesitte oluşacak yedeğiştimelein ijit bi haeket olduğu düşünülmektedi. Düzlem kesitteki bu ijit yedeğiştimele ötelenme ve dönme haeketleinden ilei gelmektedi. Şekil 2.8 de göülen çok küçük olan çubuk elemanında, B noktası A noktasına göe U kadalık faklı yedeğiştime yapmaktadı. U yedeğiştimesi iki sebepten oluşmaktadı: 15

Biincisi, B noktası A noktasına göe γ s kada faklı haeket etmektedi. İkincisi, A dan geçen kesit Ω dönmesini yapasa B den geçen kesit de Ω dönmesini yapmaktadı. U = γ s + Ω (2.10) Bu ifadedeki γ vektöü biim uzunluklu çubuk elemanındaki özgül şekildeğiştimeyi du göstemektedi. = γ ds ifadesi ile tanımlanmaktadı ve biim kayma Ω = 0 vektöü ismini almaktadı. Ω vektöü ise kesit ağılık mekezinden geçen eksen etafındaki dönmeyi göstemektedi. Biim uzunluklu bi çubuk elemanındaki dω dönme, ω = ifadesi ile tanımlanmaktadı ve biim dönme vektöü ismini ds almaktadı. (2.10) denkleminde taafla s e bölünüp limite geçilise, U s lim = γ + Ω s 0 s s s du ds = γ + Ω t (2.11) olaak yazılı. Elde edilen ifade, çubuktaki ötelenme ve dönme haeketlei aasındaki bağıntıyı vemektedi. Demek ki kesitin yapmış olduğu ötelenme ve dönme haeketlei bibiinden bağımsız olmamakta, aalaında difeansiyel bi bağıntı bulunmaktadı. Hesaplada γ 0 alınıyosa uzama ve kayma haeketlei ihmal ediliyo demekti. Hatılanacağı gibi bu duum Eule-Benoulli hipotezi için geçeli olmaktadı ve dikkate alınıyo ise Timoshenko hipotezi geçeli olmaktadı. Sonuç olaak, du γ + t Ω = 0 ds (2.12) 16

dω ω = ds 0 (2.13) Bu denklemle Vektöel Difeansiyel Kinematik Denklemle olaak adlandıılmaktadı. 2.2.6. Bünye Denklemlei 2.2.4 de, denge denklemlei yazılıp dış kuvvetle ile iç kuvvetle aasındaki bağıntıla elde edilmişti. Ancak kinematik denklemle çıkatılıken dış kuvvetlele şekildeğiştimele aasındaki bağıntıla elde edilmemişti. Şekildeğiştimele dış kuvvetle neticesinde oluştuğuna göe bu kuvvetlele şekildeğiştimele aasında bi bağıntı bulunması geekmektedi. Bu sebeple bu kısımda da bünye denklemlei vasıtasıyla, sözü edilen bağıntıla çıkaılacaktı. Elastik bi cisimde, cismin kesitleindeki iç kuvvetle ile şekildeğiştimele aasında doğusal bi bağıntı vadı. Bu bağıntı cisimlein fiziksel özellikleine bağlıdı ve he cisim için faklı faklı olmaktadı. Kesitlede oluşan kuvvet vektölei ile kayma biim vektölei ve kuvvet çifti vektölei ile dönme biim vektölei aasında böyle bi doğusal bağıntı bulunmaktadı. Hehangi bi eksen takımı için bu vektölein koodinatlaı bibiine doğusal olaak bağlıdı. Bu doğusal bağıntı Hooke Kanunu esaslaına dayanmaktadı. Hehangi bi eksen takımı için T vektöünün koodinatlaı ( T1, T2, T 3) ve M vektöünün koodinatlaı da ( M1, M 2, M 3) ise, T1 = C11γ 1 + C12γ 2 + C13γ 3, M1 = D11ω 1 + D12ω 2 + D13ω 3 T2 = C21γ 1 + C22γ 2 + C23γ 3, M 2 = D21ω 1 + D22ω2 + D23ω 3 (2.14) T3 = C31γ 1 + C32γ 2 + C33γ 3, M 3 = D31ω 1 + D32ω 2 + D33ω 3 17

Kısa gösteimle, Ti = Cikγ k ve M i = Dikω k ilişkilei vadı. Buadaki C ik ve D ik katsayılaı sadece cismin malzemesine ve kesitin geometisine bağlı olup γ ve ω değeleinden bağımsızdıla. Malzememiz homojen, izotopsa ve kesit ve kesitin konumu da değişmiyosa bu katsayıla s değişkeninden de bağımsız olmaktadıla. Bu katsayılaa cismin kaymaya ve dönmeye kaşı ijitliklei denmektedi. Matis fomda, T1 C11 C12 C13 γ 1 T 2 C21 C22 C 23 γ = 2 T 3 C31 C32 C 33 γ 3, M1 D11 D12 D13 ω1 M 2 D21 D22 D 23 ω = 2 M 3 D31 D32 D 33 ω 3 (2.15) şeklinde olup kesitteki geilmele ile şekildeğiştimele tansö notasyonu ile de T = Cγ ve M = Dω (2.16) şeklinde gösteilebili. C ve D tansöleinin ikisi de simetikti. Yani, Cik = Cki ve D ik hali, = D di. Öyleyse 9 adet olan katsayılaın 6 adedinin bilinmesi yetelidi. Açık ki T1 C11 C12 C13 γ 1 T 2 C12 C22 C 23 γ = 2 T 3 C13 C23 C 33 γ 3, M1 D11 D12 D13 ω1 M 2 D12 D22 D 23 ω = 2 M 3 D13 D23 D 33 ω 3 (2.17) şeklindedi.c ve D matisleinin deteminantlaı sıfıdan faklı olduğu için bu matislein teslei de vadı. Bu matislein tes matisleini taif edebiliyosak ; γ = 1 C T ve ω = 1 D M (2.18) 1 1 C T 11 C12 C13 1 γ γ 2 C12 C22 C 23 T = 2 γ 3 C13 C23 C 33 T 3, 1 1 D M 11 D12 D13 1 ω ω 2 D12 D22 D 23 M = 2 ω 3 D13 D23 D 33 M 3 (2.19) 1 C ij, 1 D ij tansöleine esneklik tansöü denmektedi. 18

2.3. Kullanılacak Olan Denklemlein Çıkaılışı Yukaıdaki paagaflada elastik çubuk teoisini tanımlayan 6 adet denklem elde edilmişti. Bu denklemlei daha açık bi biçimde yazmak için Fenet fomülleinden yaalanılmıştı. Bunla : dt = χ n ds dn = τ b χ n χ = ds db = τ n ds 1 R (2.20) şeklinde olup χ eğiliği, τ ise eğiliğin tabi tosiyonunu ifade etmektedi. τ değei uzay eğileinde sıfıdan faklı olduğu halde bütün düzlem eğile için sıfıdı. i. Denge denklemleinden; a) dt p 0 ds + = d ( T t + T b + T n ) + ( p t + p b + p n ) = 0 ds t b n t b n (2.21) dt.. dt.. dt t dt db dn t T b b T n. n T. ( p t p b p n) 0 ds + t ds + ds + b ds + ds + n ds + t + b + n = 19

t, n, b biim vektölei aasındaki bağıntıla (Fenet Fomüllei) hesaba katılıp düzenlenise, aşağıdaki denklemle elde edilmektedi. Bu denklemlein ilk ikisi düzlem içi üçüncüsü ise düzlem dışı poblemlede geçelidi. dt 1 t ( t. T + p ) = 0 ds R n t 1 dt n(. T + n + p ) = 0 R t ds n dt b( b + p ) = 0 ds b (2.22) ds = Rdθ yazılıp yukaıdaki denklem teka düzenleni ise; dt t T + Rp = 0 dθ n t dt n T + Rp = 0 dθ t n dt b + Rp = 0 dθ b (2.23) elde edili. dm b) m t T 0 ds + + = (2.24) d ( M t + M b + M n ) + ( m t + m b + m n ) + t ( T t + T b + T n ) = 0 ds t b n t b n t b n dm dm dm t dt.. b db dn.. n t + M + b + M +. n + M. ds t ds ds b ds ds n ds + ( m t + m b + m n) + ( T n + T b) = 0 t b n b n 20

t, n, b biim vektölei aasındaki bağıntıla (Fenet Fomüllei) hesaba katılıp düzenlenise, aşağıdaki denklemle elde edilmektedi. Bu denklemlein ilk ikisi düzlem dışı üçüncüsü ise düzlem içi poblemlede geçelidi. dm 1 t ( t. M + m ) = 0 ds R n t 1 dm n(. M + n + m T ) = 0 R t ds n b dm b( b + m T ) = 0 ds b n (2.25) ds = Rdθ yazılıp yukaıdaki denklem teka düzenleni ise; dm t M + Rm = 0 dθ n t dm n M + Rm RT = 0 dθ t n b (2.26) dm b + Rm RT = 0 dθ b n ii. Yedeğiştimele ile şekildeğiştimele aasındaki uygunluğu gösteen kinematik denklemleden ; du a) γ + t Ω = 0 ds d ( U t + U b + U n ) + ( γ t + γ b + γ n ) + t ( Ω t + Ω b + Ω n ) = 0 ds t b n t b n t b n (2.27) t, n, b biim vektölei aasındaki bağıntıla (Fenet Fomüllei) hesaba katılıp düzenlenise, aşağıdaki denklemele elde edilmektedi. Bu denklemlein ilk ikisi düzlem içi üçüncüsü ise düzlem dışı poblemlede geçelidi. 21

du 1 t ( t. U γ ) = 0 ds R n t 1 du n(. U + n γ Ω ) = 0 R t ds n b du b( b γ + Ω ) = 0 ds b n (2.28) ds = Rdθ yazılıp yukaıdaki denklem teka düzenleni ise; du t + U Rγ = 0 dθ n t du n + U R γ R Ω = 0 dθ t n b (2.29) du b Rγ + RΩ = 0 dθ b n elde edili. dω b) ω = 0 ds d ( Ω t + Ω b + Ω n) + ( ω t + ω b + ω n) = 0 ds t b n t b n (2.30) t, n, b biim vektölei aasındaki bağıntıla (Fenet Fomüllei) hesaba katılıp düzenlenise, aşağıdaki denklemele elde edili. Bu denklemlein ilk ikisi düzlem dışı üçüncüsü ise düzlem içi poblemlede geçelidi. dω 1 t ( t +. Ω ω ) = 0 ds R n t 1 dω n(. Ω + n ω ) = 0 R t ds n dω b( b ω ) = 0 ds b (2.31) 22

ds = Rdθ yazılıp yukaıdaki denklem teka düzenleni ise; dω t + Ω Rω = 0 dθ n t dω n + Ω Rω = 0 dθ t n (2.32) dω b Rω = 0 dθ b c) Bünye denklemleinden; γ = C 1 ω = D T (2.33) 1 M (2.34) elde edili. Bilinmeyenle olaak kesit tesilei T, M, şekildeğiştimele γ, ω, yedeğiştimele ile dönmeyi U, Ω, elde ettiğimiz bu 6 adet denklemle bulabiliiz. Elastik çubuk poblemlei tamamen elde ettiğimiz bu 12 denklem vasıtasıyla çözümlenebili. Bu çalışmada düzlem dışı sebest titeşim ele alınacağından denklemleden bazılaı dikkate alınmayacaktı. Düzlem dışı çubuk poblemi şu altı denklemle tanımlanı: dm t M + Rm = 0 dθ n t dm n M + Rm RT = 0 dθ t n b dω t + Ω n Rωt = 0 dθ (2.35) dω n + Ω t Rωn = 0 dθ du b Rγ R 0 dθ b + Ω n = dt b Rp dθ + = 0 b 23

Ancak bu denklemle çubuğun düzlem dışı statik davanışını tanımlamaktadı. Bu çalışmada düzlem dışı sebest titeşim inceleneceğinden atalet kuvveti yazılmalıdı. p dış kuvveti yeine - mu&& b b 3. FONKSİYONEL ANALİZ Süekli otam poblemlei difeansiyel fomülasyonla ifade edilebildiği gibi vayasyonel (değişim) fomülasyonla da ifade edilebilmektedi. Difeansiyel fomülasyonda, çözüm, belili sını koşullaı altındaki difeansiyel denklemi ya da denklem sistemini intege etmekti. Vayasyonel fomülasyonda ise poblem, aynı sını koşullaı altındaki fonksiyonelin değişimini sıfı yapan fonksiyonu ya da fonksiyonlaı bulmaktı. Fonksiyonel, içeisinde aanan fonksiyon ve bu fonksiyonun tüevlei bulunan integal ifadesine deni. Difeansiyel denklemi ve onun sını koşullaını sağlayan fonksiyon aynı zamanda fonksiyonelin değişimini de sıfı yapan fonksiyon olmaktadı. Bu sebeple he iki fomülasyon da bibiine denk olmaktadı. Vayasyonel fomülasyonun difeansiyel fomülasyona göe avantajlaı vadı: Fonksiyonel belili bi fizik anlama sahip olup koodinat dönüşümlei altında değişmez. Böylece bi koodinat takımında elde edilen ifade diğe bi koodinat takımı için de geçelidi. Kaışık poblemlein difeansiyel denklemleinin ve sını koşullaının elde edilmesinde güvenili bi yoldu. Bi pobleme ait difeansiyel denklem takımının veilen sını koşullaı altında çözümü güçse, pobleme Ritz, Galekin, Sonlu elemenla gibi yöntemle kullanılaak yaklaşık bi çözüm veilebili.[31] 24

3.1. Difeansiyel Denklemleden Fonksiyonele Geçiş 3.1.1. Potansiyellik koşulu Q=Ly-f alan denklemleinin opeatö yapıda gösteimi olmak üzee, L tüev opeatöünü, y değişkenlei, f ise dış yüklei temsil etmektedi. Q=Ly-f opeatöünün potansiyel bi opeatö olabilmesi için potansiyellik koşulunu sağlamalıdı. Potansiyellik koşulunun matematiksel olaak ifade edilebilmesi için Q opeatöünün bi yöne göe tüevinin diğe yöndeki toplamı, bu işlemin tesine eşitlenmelidi. Matematik fomat ile dq(y, y), y = dq(y, y ), y (3.1) şeklinde gösteili. Q opeatöünün y yönüne göe tüevinin y yönündeki toplamı, aynı fonksiyonun y yönüne göe tüevinin y yönündeki toplamına eşitti şeklinde ifade edili. Bu denklemin yazılabilmesi için yönsel tüev (Gateaux tüevi) ve yönsel toplam tanımlaması geekmektedi. 3.1.1.1 Yönsel Toplam (İç Çapım) Yönsel toplam, bi fonksiyonla bi değişkenin çapımının belili bi aalıktaki integalidi ve aşağıdaki gibi hesaplanı. a f ( x), y * = f ( x) y * dx b (3.2) 3.1.1.2 Gateâux Tüevi ( Yönsel Tüev) Yönsel tüevin matematiksel ifadesi η bi skale olmak üzee Q( y + ηy) dq( y, y) = η η = 0 (3.3) 25

şeklinde ifade edili. İç çapım aşağıdaki denklemle aasında geçekleşmişti.( Düzlem dışı sebest titeşim difeansiyel denklemlei ) dt b + Rρ Aω 2 u = 0 u dθ b b dm n M + RT = 0 Ω dθ t b n dm t + M = 0 Ω dθ n t d Ω t R Ω M = 0 dθ n D t t d Ω n R + Ω M = 0 dθ t D n n M t Μ n dub R R n Tb 0 b dθ C b (3.4) Buna göe, alan denklemleinin değişkenlee göe (yönsel) tüevi * yönünde toplanacak şekilde iç çapımı yazılısa; yönündeki Gateaux dq(y,y),y * = RρA ω 2 u, u * T ', u * - M, Ω * - M ', Ω * + R T, Ω * b b b b t n n n b n - M ', Ω * + M,Ω * - Ω, M * + Ω ', M * t t n t n t t t (3.5) R * * * R - M, M + Ω ', M + Ω, M - M, M * D t t n n t n D n n t n * * R + u ', T +R Ω, T - T, T * b b n b C b b b 26

elde edili. Benze şekilde * yönündeki yönsel tüevi yönünde toplanacak şekilde iç çapımı yazılısa * 2 * dq(y,y ),y =RρA ω u, u T * ', u - M *, Ω - M * ', Ω + R T *, Ω b b b b t n n n b n - M * ', Ω + M *,Ω - Ω *, M + Ω * ', M t t n t n t t t R * * * R - M, M + Ω ', M + Ω, M - M *, M D t t n n t n D n n t n * * R + u ', T +R Ω, T - T *, T b b n b C b b b (3.6) (3.5) denkleminde a ' b tazındaki ifadele a ' b = ( ab)' ab' şeklinde teka yazılıp geekli düzeltmele yapılısa; * * * dq(y, y), y = dq(y, y ), y + T, u + M *, Ω * b b n n 0 0 + M, Ω * + Ω, M * Ω, M * u, T * t t t t n n b b 0 0 0 0 (3.7) elde edili. (3.7) denklemindeki son altı teim sını koşullaını belitmektedi. σ + ε = 0 ifadesi sını koşullaı ifadesi olduğu bilindiğinden denklem (3.7) de yeleştiili ise; 27

* * * dq(y,y), y dq(y,y ),y,, * = + T u + T u + M *, Ω * b b b b n n σ ε σ + M *, Ω * + M, Ω * + M, Ω * + Ω, M * n n t t t t t t ε σ ε σ + Ω, M * Ω, M * Ω, M * u, T * u, T * t t n n n n b b b b ε σ ε σ ε (3.8) bağıntısı elde edili. σ ve ε alt indisli teimle sıasıyla geometik ve dinamik sını koşullaını tanımlamaktadı. (3.8) denkleminde sını koşullaı tanıtılıp sol taafa eklendiğinde sını değele bibiini götüecek, böylece opeatöün potansiyelliği kanıtlanmış olacaktı. 3.2. Fonksiyonelin Elde Edilmesi Potansiyellik koşulu sağlatılan opeatö daha önce elde edilmişti. Bu opeatöün Gateâux tüevi alınısa, fonksiyonel şu şekilde ifade edili [32] : 1 I(y) = Q( sy, y), y ds (3.9) 0 Buada s skale bi büyüklüktü. ρaω 2 R R I(y) = u, u + R T, Ω T ', u M, M 2 b b b n b b 2D t t t R R M, M T, T M, Ω + M, Ω M ', Ω 2D n n 2C b b t n n t n n n b (3.10) M ', Ω + uˆ, T + Ω ˆ, M + Ω ˆ, M + ( M Mˆ ), Ω t t b b ε n n ε t t ε n n n σ + ( T Tˆ ), u + ( M Mˆ ), Ω b b b σ t t t σ olaak fonksiyonel son şeklini alı. 28

4. SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ 4.1. Sonlu Elemanla Yöntemi Nedi? Sonlu Elemanla Yöntemi, çok çeşitli mühendislik alanlaındaki poblemlein yaklaşık çözümleini bulmamızı sağlayan sayısal bi çözümleme tekniğidi. Uçak gövdeleindeki geilme çözümlemesinde kullanılmak üzee geliştiilmesine ağmen yılla boyunca üzeinde çalışılmış, daha da geliştiilmiş ve böylece süekli otamla mekaniğinde çok geniş bi uygulama alanı bulmuştu. Değişik ve esnek bi çözümleme aacı olduğundan mühendislik okullaında ve endüstide çok daha fazla dikkat çekmiş ve faklı faklı poblemlee uygulanmıştı. Günümüzde biçok mühendislik poblemleinde kapalı fomdaki kesin çözümleden ziyade yaklaşık sayısal çözümlei bulmamız geekmektedi. Öneğin, kamaşık şekilli bi levhanın yük taşıma kapasitesini, faklı atmosfe koşullaında havadaki kililik oanını ya da değişken geometili bi kanaldaki akışkanın debisini bulmak isteyebiliiz. İlk olaak, bu fiziksel olaylaın difeansiyel denklemleini yazıp sını koşullaını tanıtı ve çözümü elde edebiliiz fiki aklımıza gelmektedi. Fakat çözümü yapaken bu poblemlein basit bi analitik çözümünün olmadığını hemen anlaız. Çözümledeki zolukla, geometideki ve diğe bazı özellikledeki düzensizlikten ve değişkenlikten kaynaklanmaktadı. Peki, bu tü kamaşık poblemle nasıl çözümlenmektedi? Belki poblem daha basite indigenebili. Çözümdeki zoluklaı ihmal edeek poblem bu şekilde ele alınabili. Bu düşünce bazen sonuç vemektedi. Ancak çoğu zaman çok ciddi hatala ve yanlış sonuçla elde edilmektedi. Diğe bi düşünce, poblemi tüm zoluklaıyla ele almak ve kesin sonuçtan ziyade kesine yaklaşık bi sonuç elde etmekti. Atık çok gelişmiş bi bilgisaya teknolojimiz va olduğundan ikinci düşünce tazı çok daha mantıklı gözükmektedi. Çünkü bu tü kamaşık 29

poblemlein yaklaşık çözümleme tekniklei uzun zaman alan ve youcu yöntemledi. Gelişmiş bilgisayalaı kullanmayı kaçınılmaz kılmaktadı. Yılla boyunca biçok sayısal yaklaşık çözümleme yöntemi geliştiilmişti. Bunla Sonlu Fakla Yöntemi, Sonlu Elemanla Yöntemi ve Sını Elemanla Yöntemi di. 4.2. Sonlu Elemanla Yöntemi Nasıl Çalışı? Bi süekli otam pobleminde, alan değişkeni ( basınç, sıcaklık, şekildeğiştime, geilme ) süekli otamın noktasal bi fonksiyonu olduğundan sonsuz sayıda değee sahip olmaktadı. Bu nedenle sonsuz sayıda bilinmeyeni olan bi poblemle kaşılaşılı. Sonlu Elemanla Yöntemi, süekli otamı elemanlaa böleek ve he elemandaki alan değişkenleini yaklaşım fonksiyonlaı cinsinden tanımlayaak, sonsuz sayıda bilinmeyeni olan poblemi sonlu sayıda bilinmeyeni olan bi pobleme indigemektedi. İntepolasyon fonksiyonlaı, alan değişkenleinin nod adı veilen özel noktaladaki (düğüm noktalaı) değelei cinsinden tanımlanmaktadı. Nodla genellikle bitişik elemanlaın bileşim yeleinde, eleman sınılaı üzeinde bulunmaktadı. Sını noktalaında tanımlanan nodlaın yanında bazen elemanla iç nodlaa da sahip olabilile. Alan değişkeninin nodal değelei ve elemandaki intepolasyon fonksiyonlaı, alan değişkenleinin elemanladaki davanışını tamamen tanımlamaktadı. Bi poblemin sonlu elemanla tasaımında alan değişkenleinin nodal değelei bilinmeyenle olaak seçilmektedi. Bu bilinmeyenle bulunduğunda, intepolasyon fonksiyonlaı alan değişkenleini bütün elemanla boyunca tanımlamaktadı. Çözümün kaaktei ve yaklaşımın deecesi sadece elemanlaın şekline ve sayısına değil seçilen intepolasyon fonksiyonlaına da bağlı olmaktadı. İntepolasyon fonksiyonlaı gelişigüzel seçilmemeli, süeklilik koşullaı sağlanmalıdı. Detaylı bilgi [33] nolu kaynakta bulunmaktadı. Sonlu Elemanla Yöntemi ni diğe sayısal yöntemleden ayıan başka bi özellik de, bütün süekli otamı çözümlemeden önce, ayıklaştıdığımız süekli otamda he elemana ait çözümü bulmamız geektiğidi. Öneğin; bi geilme analizi pobleminde he eleman için ijitlikle bulunu ve daha sona bütün elemanla bileştiileek bütün süekli otamın ijitliği elde edili. Esas olaak yapılmak istenilen; kaışık bi poblemi basit poblemlee ayıaak, kaışık poblemi bu basit poblemlein bileşimi şeklinde düşünmekti. 30

Sonlu Elemanla Yöntemi nde, sonlu eleman özellikleini fomüle etmek amacıyla üç değişik yaklaşım bulunmaktadı: İlk yaklaşım, kökeninin Doğudan Rijitlik Metodu na dayanması maksadıyla Doğudan Yaklaşım olaak adlandıılmaktadı. Bu yaklaşım daha çok basit poblemle için kullanılmaktadı. İkinci yaklaşım, Değişim Yöntemi Yaklaşımı dı. Bu yaklaşımın kökeni değişim hesaplaına dayanmaktadı. Detaylı bilgi [33] nolu kaynakta bulunmaktadı. Katı cisimle mekaniğinde, fonksiyonel olaak potansiyel eneji, tamamlayıcı eneji veya bunlaın değişik bi biçimi olan Reissne değişim pensibi kullanılmaktadı. Değişim Yöntemi Yaklaşımı nın bilinmesi, Sonlu Elemanla Yöntemi nin çok daha faklı ve geniş mühendislik poblemleine uyalanabilmesi için geekmektedi. Çünkü Doğudan Yaklaşım sadece basit eleman şekillei için kullanılmasına kaşılık Değişim Yöntemlei hem basit hem çok daha kamaşık eleman şekilleine uygulanmaktadı. Üçüncü ve daha genel bi yaklaşım, Ağılıklı Rezidüle Yöntemi di. Matematiksel esaslaa dayanı. Fonksiyonelin bulunmadığı poblemlei de çözmek amaçlıdı. Eleman özellikleini bulmak amaçla hangi yaklaşımı kullanısak kullanalım, Sonlu Elemanla Metodu adım adım uygulanan bi sistematiğe sahipti. Aşağıda sıasıyla sistematiğin aşamalaından kısaca bahsedilecekti. 31

4.3. Adım Adım Sonlu Elemanla Metodu 1. Süekli Otamı Ayıklaştıma İlk adım süekli otamı veya çözüm alanını elemanlaa bölmekti. Değişik eleman şekillei aynı çözüm alanı içeisinde kullanılabili. Kiişle, kabukla gibi değişik yapısal elemanlaa sahip elastik yapılada değişik taz eleman şekillei kullanmak geeklidi. 2. İntepolasyon Fonksiyonlaının Seçimi Bi sonaki adım he elemana nodlaın atanması ve alan değişkeninin eleman üzeindeki değişimini tanımlayan intepolasyon fonksiyonlaının seçimidi. Alan değişkeni bi skale, vektö ya da tansö olabili. Tüevleini ve integalleini almak kolay olduğundan intepolasyon fonksiyonlaı olaak genellikle polinomla seçili. Polinomun deecesi elemana atanan nod sayısına, nodladaki bilinmeyen sayısına ve süeklilik koşullaına göe seçili. Alan değişkenlei veya bunlaın tüevlei nodladaki bilinmeyenle olaak seçilebili. 3. Eleman Özellikleinin Bulunması Elemanla ve intepolasyon fonksiyonlaı seçildikten sona he elemana ait özelliklei tanımlayan matis denklemleini elde etmeye hazıız demekti. Şu halde, yukaıda açıklanan üç yaklaşımdan bii kullanılı. 4. Eleman Denklemleinin Bi Aaya Getiilmesi Tüm sistemin özellikleini tanımlayan matis denklemleini kumak amacıyla, he elemana ait matis denklemleini bi aaya getimek geeki. Bi aaya getimenin mantığı, elemanlaın bibiine bağlandığı nodlada komşu elemanlaın alan değişkenleinin aynı değelee sahip olmasıdı. 32

5. Sını Koşullaının Eklenmesi Tüm sistemin matis denklemlei elde edildikten sona, bu denklemle, çözümlemeye geçmeden, sistemin sını koşullaını da içeecek şekilde teka düzenlenmelidi. Bu safhada denklemlee nodladaki bilinen değele ekleni. 6. Tüm Sistem Denklemleinin Oluştuulması Tüm sistemin matis denklemlei elde edilince kaşımıza çözmemiz geeken denklem takımı otaya çıka. Bu denklem takımının çözümü sonucunda poblemdeki nodal bilinmeyenle elde edilmiş olu. Eğe poblem, statik veya denge poblemi ise linee veya nonlinee cebisel denklem takımlaının çözümüyle kaşılaşılı. Eğe poblem dinamik tazda ise poblem özdeğe bulma poblemine indigenmiş olacaktı. 7. Diğe Sonuçlaın Hesaplanması Genellikle denklem takımlaının çözümünden bulunan sonuçla, diğe önemli paametelein bulunmasında kullanılı. Bulunan yedeğiştimeleden geilme ve şekildeğiştimele hesaplanabili. 4.4. Kaışık Sonlu Elemanla Metodu Klasik sonlu elemanla yönteminde sadece yedeğiştimele bilinmeyen olaak alınmakta ve yedeğiştimele bulunduktan sona diğe büyüklükle yedeğiştimele yadımıyla bulunmaktadı. Bu çalışmada kullanılan Kaışık Sonlu Elemanla Yöntemi nde ise bilinmeyenle tüm büyüklükle olaak alınmaktadı. Denklem takımlaı bütün bilinmeyen değelei içemektedi. 33

5. KARIŞIK SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ ile DİNAMİK ANALİZ 5.1. İntepolasyon Fonksiyonlaı t j n R θ e θ i i Şekil-5.1 Daie eksenli çubuk için kullanılan sonlu eleman Süekli otamı kesikleştidikten (elemanlaa böldükten) sona, alan değişkenleimizin he eleman üzeindeki değişimini tanımlayan intepolasyon fonksiyonlaı (yaklaşım fonksiyonu, şekil fonksiyonu) seçmemiz geekmektedi. Tüev ve integal işlemleinin kolaylığı nedeniyle intepolasyon fonksiyonu olaak genellikle polinomla seçilmektedi. Süekli otam yetei kada çok elemana ayılısa, alan değişkenleinin elemanla üzeindeki değişiminin (davanışının) doğusal olacağı yaklaşımı yapılabili. Tek sebest değişkenin olduğu ( bi boyutlu hal ) poblemlede aanan büyüklük, he eleman için, ( e) ( e) ( e) φ = α + α x (5.1) 1 2 polinom fonksiyonu ile ifade edilmektedi. Buada e indisi eleman anlamında ( e) ( e) kullanılmıştı. α ve α bulunması geeken sabitledi. Değişkenlein 1 2 elemanlaın düğüm noktalaındaki (nod) değelei, 34

( e) ( e) ( e) φ = α + α x (i nodu için) i 1 2 i ( e) ( e) ( e) φ = α + α x (j nodu için) j 1 2 j (5.2) halleini almaktadı. (5.2) denklemleinin otak çözümünden, φ x φ x ( e) i j j i α = 1 x x j i ve φ φ ( e) j i α = 2 x x j i (5.3) bulunmaktadı. (5.3) denklemlei (5.1) denkleminde yeleine yeleştiilise, x x ( e) j φ x x i x x φ = + i x x φ j j i j i (5.4) denklemi ile yaklaşım fonksiyonu nodladaki değelei cinsinden elde edilmektedi. x x j ψ = i x x j i ve x x ψ = i j x x j i ile gösteilise (5.4) denklemi ( e) ( e) ( e) φ = ψ φ + ψ φ (5.5) i i j j halini alı. L = x x ifadesi sonlu eleman boyunu ifade etmektedi. Daie eksenli e j i çubukla için x j = Rθ ve x = Rθ yazılmalıdı. j i i θ, i nodundaki dönme açısını, i θ j nodundaki dönme açısını ve R de eğilik yaıçapını göstemektedi. j 35