SÜREKSİZ TEMAS KOŞULLARININ ÖNGERİLMELİ İKİ KATLI İÇİ BOŞ SİLİNDİRLERDE EKSENEL SİMETRİK BOYUNA DALGA YAYILIMINA ETKİSİ(DIŞ SİLİNDİR İÇ SİLİNDİRE ORANLA DAHA RİJİT) (*) Surkay AKBAROV, (**) Cengiz İPEK (*) Yıldız Teknik Üniversitesi, Makine Mühendisliği Fakültesi, Makine Müh. Böl. İstanbul (**) İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Fakültesi, İnşaat Müh. Böl. İstanbul akbarov@yildiz.edu.tr, ipekceng@gail.co ÖZET Bu akalede öngerileli bileşik iki katlı içi boş silindirin dış katanının iç katana göre daha rijit olduğu ve katanlar arasında süreksizliğin olası duruunda eksenel sietrik boyuna dalga yayılıı ele alınıştır. Parçalı hoojen cisi odeli olarak, öngerileli ortada elastik cisilerde üç boyutlu doğrusallaştırılış elastik dalga yayılıı teorisi kullanılıştır (ÖOÜDEDYT). Bileşik silindirlerin katlarından herbiri sıkışabilir hiper elastik alzeeden oluştuğu kabul edilerek alzeenin ekanik davranışı haronik potansiyel ile tanılanıştır. Silindirler arasındaki teas koşullarının süreksizliği kaya-yay odeli çerçevesinde ele alınıştır. Bu odele dahil olan kaya-yay paraetresi ile süreksizlik derecesi belirleniştir. Kaya-yay paraetresinin dispersiyon eğrilerine etkisini gösteren sayısal sonuçlar elde ediliş ve değerlendiriliştir. ABSTRACT In this study, the dispersion of the axisyetric longitudinal waves in the pre-strained bilayered hollow cylinder under iperfect contact between the layers (soft inner and stiff outer cylinders) is investigated. The investigations are perfored within the fraework of the piecewise hoogeneous body odel by utilizing the D linearized theory of elastic waves in elastic bodies with initial stresses (TLTEWISB). It is assued that the layers of the copound cylinder are ade fro high elastic copressible aterials and their elasticity relations are given through the haronic potential. The shear spring type iperfectness of the interface conditions is considered and the degree of this iperfectness is estiated by the shear-spring paraeter. The nuerical results are presented and discussed.
. GİRİŞ Öngerileli elastik cisilerde dalga yayılıı ile ilgili son on yılda yapılan araştıraların kısa özeti [] de verilektedir. Sıkışabilir hiper elastik alzeeden yapılış öngerileli katanlı cisilerde eksenel sietrik dalga yayılıının incelenesi [,] akalelerinde yapılıştır. Parçalı hoojen cisi odeli olarak, öngerileli ortada elastik cisilerde üç boyutlu doğrusallaştırılış elastik dalga yayılıı teorisi kullanılıştır (ÖOÜDEDYT). Bu akalelerde katanlar arasındaki yüzeyin sürekli olduğu(ta teas) yani yüzeylerde oluşan kuvvet ve yer değiştirelerin sürekli olduğu varsayıı yapılıştır. Ancak uygulaada örneğin öngerileli kablolarda bunun ükün oladığını ifade etek gerekektedir. [4] akalesinde [] deki araştıra geliştirilerek içi dolu bileşik silindirlerde katlar arasındaki yüzeyin süreksizliği ele alınıştır. [,,4] akalelerinde seçilen öngerileli iki katlı bileşik alzeenin sıkışabilir ve hoojen olduğu varsayılış ve ekanik davranışı ise haronik potansiyel ile tanılanıştır. Bu çalışada [4] de yapılan araştıra iki katlı içi boş bileşik silindir için deva ettirilerek sayısal sonuçlar dış silindirin iç silindire oranla daha rijit duru için elde edilerek yorulanıştır.. PROBLEMİN MATEMATİKSEL FORMÜLASYONU Bu akalede ele alınan cisi iki katlı içi boş bileşik silindirden oluşaktadır. Şekil de iki katlı bileşik silindirin geoetrisi veriliştir. Doğal duruda silindir noktalarının konuları silindirik koordinat Or z sisteinde Lagrange koordinatları ile tanılanıştır. Silindirlerin Oz ekseni boyunca sonsuz uzunlukta olduğu ve başlangıç şekil değiştire-gerile nin bu eksene göre eksenel sietrik ve hoojen olduğu kabulü yapılıştır. Gerile alanının Oz ekseni boyunca iki katlı içi boş bileşik silindirin başlangıçta çekeye aruz kalarak oluştuğu düşünülüştür. İki katlı içi boş bileşik silindirin doğal durudaki iç silindirin yarıçapı R, iç silindirin kalınlığı h ve onu () çevreleyen dış silindirin kalınlığı h dır. Bileşik silindirde iç ve dış silindirlere ait büyüklükler sırasıyla, ve () indisleri ile gösteriliştir. Başlangıç durua ait büyüklükler ise, üst indisi ile tanılanıştır. Bileşik silindirde başlangıç duruunda yerdeğiştire bağıntıları aşağıda verilektedir. u ( )r, ( k ), ( k ) r ( k ), u, u ( )z, ( k ), ( k ) z λ λ, k,. () ( k), r u ve ( u ( k ), z ) başlangıç durudaki yerdeğiştire vektörünün radyal ve eksenel doğrultuda bileşenlerini, λ k ve λ k ise sırasıyla radyal yönde ve Oz ekseni boyunca biri uzaakısala paraetrelerini gösterektedir. Böylece genel duruda aşağıdaki denkle tanılanıştır. Ele alınan cisin başlangıç duruundaki konuunu O r z silindirik koordinat takıında tanılanan lagrange koordinatları ile belirlenektedir. r, z ve r, z koordinatları arasındaki bağıntı aşağıdaki gibidir. ( k) ( k) r λ r, z λ z.
Şekil. İçi boş iki katlı bileşik silindirin geoetrisi. Bu akalede ele alınan koordinat sisteine göre Oz ekseni boyunca yayılan eksenel sietrik dalgaların dispersiyonu ÖOÜDEDYT) çerçevesinde inceleniştir.inceleede kullanılan ve O r z koordinat takıı için yazılan denkleler aşağıda verilektedir [5]. Hareket denkleleri: Q Q Q Q u r z r t ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) r r r r r r Q Q Q u r z r t ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) r r. () Mekanik bağıntılar: u u u Q r r z ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) r ( k ) r ( k ) rr, u Q z u r ( k ) ( k ) r ( k ) r, u u u Q r r z ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) r ( k ) r ( k ), u Q z u r ( k ) ( k ) r ( k ) r. (4) () ve (4) nolu denklelerdeki Q k rr,, olayan Kirchoff gerile tansörü bileşenlerinin pertürbasyonu; Q terilerin öngerileli duruda sietrik k r u, k r u yerdeğiştire vektörleri bileşenlerinin pertürbasyonu; k ise k nolu alzeenin yoğunluğunu gösterektedir. (4) deki k,, büyüklükleri aşağıdaki gibi belirleniş sabitlerdir. k k
λ ( k) ( k) λ ( k) ( k) λ λ, (k) (k) (k) (k) λ λ, (k) (k) λ (k) (k) λ λ, k λ k k λ, k k k λ λ, k λ k k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) λ λ, ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) λ λ λ λ. (5) ( k ) ( k ) λ ve μ ( k, ) k nolu alzee sabitleridir. () ve (5) nolu denkleler aşağıdaki sınır koşullarını sağlaak kaydıyla bileşik silindirlerde eksenel sietrik boyuna dalga yayılıının incelenesi yapılaktadır. () Q, Q, Q, Q. (6) () () rr r R () h rz r R h rr r R h rz r R h Teas koşullarının süreksizliği dikkate alındığında aşağıdaki bağıntılar geçerli olaktadır. () Q Q, Q Q, () r r r R r r r R () z r R z r R r z r z r R r z r R u u, () r r R r r R R u u F Q. (7) (7) denkleindeki F, süreksizlik derecesini belirleyen boyutsuz kaya-yay paraetresidir.. ÇÖZÜM YÖNTEMİ VE DİSPERSİYON DENKLEMİNİN ELDE EDİLMESİ [5] teki onografına göre yerdeğiştireler için aşağıdaki ifade geçerlidir. u r z r, u ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) z t. (8) Burada (k ), aşağıdaki denklei sağlaaktadır: ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) z z z t ( k ) 4 ( k ) 4. (9) k k t (8) ve (9) denklelerinde aşağıdaki bağıntı kullanılaktadır. d dr d r dr ( k) ( k ) ( k) ( k) ( k ) ( k ) ( k), d d,
( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) d. () () () r,z,t ifadesi aşağıdaki fonksiyona dönüşektedir. ( ) ( ) r kz t. () cos ( ) () denklei (9) denkleinde kullanıldığında ve bazı değişiklikler yapıldığında için aşağıdaki denkle elde edilektedir: r ( ) ( ) ( ) ( r). () sabitleri de, aşağıdaki denkle yardııyla hesaplanabilir: k, ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k c c k c c. () 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Burada c k, c dalga yayılıının faz hızıdır, ω dalganın açısal frekansı, k ise dalga ( ) sayısıdır. r, () ve () denkleleri yardııyla iki katlı içi boş bileşik silindir için aşağıdaki şekilde elde edilektedir. r A E kr A E kr B G kr B G kr. (4) () () () () () () () () () () () () () r A E kr A E kr B G kr B G kr. (5) Burada, E J kr eğer, kr I kr eğer, G Y kr eğer, kr K kr eğer. (6) (6) denkleindeki J ve Y sıfırıncı ertebeden birinci tip ve ikinci tip Bessel x ( x x ( x fonksiyonlarıdır. I ) ve K ) sırasıyla, sıfırıncı ertebeden odifiye ediliş Bessel fonksiyonu ve Macdonald fonksiyonudur.
Sonuç olarak, (4), (8), (), (4) ve (5) denkleleri kullanılarak eksenel sietrik boyuna dalganın dispersiyon denklei det ij, i; j,,,4,5,6,7,8. (7) (6) ve (7) denklelerinden elde edilektedir. Makalenin kısa tutulası nedeniyle ij açılılarına yer verileiştir. 4. SAYISAL SONUÇLAR VE DEĞERLENDİRİLMESİ Sayısal değerlendirede bileşik silindirin katan yoğunluklarının oranı () () () katan elastik sabitlerin oranları λ λ.5 alınıştır. [4] de geliştirilen algorita yardıı ile (7) denkleinin sayısal çözüü sonucunda elde edilen dispersiyon eğrilerini yani c c( kr ) fonksiyonlarının grafikleri incelenektedir. Bu inceleede F () boyutsuz kaya-yay paraetresini, λ ve λ öngerile (biri uzaa ve kısala paraetreleri) nin farklı değerleri için yapılaktadır. Problein çözüünde kolaylık sağlaası açısından Teel odlara ait c ( k ) ( k ) ( k ) / ().5, notasyonu kullanılıştır. h R.5 ve., () h R. duruunda farklı F (k) değerlerinde, öngerilesiz duruda ( λ =. ) elde edilen dispersiyon eğrileri inceleniştir. Bu eğriler Şekil de verilektedir. F duruunda (yani sürekli teas koşulları sağlandığı duruda) elde edilen dispersiyon eğrilerinin, F duruunda elde edilen dispersiyon eğrileri ile karşılaştırılası gösteriyor ki, teas koşullarının süreksizliği yeni tip iki tür teel od oluşturur. Bunlardan birincisine(ikincisine) ait dispersiyon eğrisi F duruunda elde edilen dispersiyon eğrisinin altında(üstünde) oluşur. Başka bir değişle, birinci tür dispersiyonda dalga yayılı hızını c IF ile, ikinci tür dispersiyonda dalga yayılı hızını c IIF ile ve F duruundaki dalga yayılı hızı c ile işaret edilirse aşağıdaki ilişki yazılabilir. c c c (8) IF IIF Bundan başka, Şekil de verilen sonuçların analizi gösteriyor ki, F, c c (9) IIF olaktadır. Ancak, c IF in ait olduğu dispersiyon eğrilerinin başlangıç değerlerine karşı gelen kr değerleri (bu değerleri ( kr )* ile işaret edilirse) F in küçülesi ile onoton olarak büyüektedir. Bir başka değişle, F, ( kr) * () olaktadır.
F paraetresinin büyüesi dispersiyon eğrilerinin daha başka bir liit duruuna yaklaşasını sağlaaktadır. Yani, F 5 ve F değerlerinde elde edilen dispersiyon eğrileri heen heen çakışaktadır. Şekil ve Şekil 4 te iki katlı içi boş bileşik silindirin öngerilesinin sırası ile, ikinci ve birinci tür dispersiyon eğrilerine etkisini gösteren sonuçlar verilektedir. Bu sonuçlardan () gözüktüğü gibi c IF ve ciif değerleri λ ( λ ) nin artası ile büyüektedir. Şekil. Öngerilesiz duruda F in dispersiyon eğrilerine etkisi. Şekil. Öngerilenin dispersiyon eğrisinin teel odun ikinci tipine etkisi. Şekil 4. Öngerilenin dispersiyon eğrisinin teel odun birinci tipine etkisi. Şekil 5a. h R paraetresinin F. teel odun birinci tip ğrisine etkisi. te,
Fiziksel ve ekaniksel öngörülere göre, h R nin büyüesi söz konusu dispersiyon eğrilerinin belirli bir liit eğrisine yaklaşasını sağlaalıdır. Bu liit eğrisi ise uygun içi dolu iki katlı bileşik silindire karşı gelen dispersiyon eğrileridir. Bu öngörüyü kanıtlayan dispersiyon eğrileri birinci tip dispersiyon eğrileri için Şekil 5, ikinci tip dispersiyon eğrileri için Şekil 6 da sırası ile F. ün, (Şekil 5a ve Şekil 6a) da, F. in, (Şekil 5b ve Şekil 6b) de, F. ün, (Şekil 5c ve Şekil 6c) de, F 5. in, (Şekil 5d ve Şekil 6d) verilektedir. Teel odlara ait birinci tip eğrinin dalga yayılı hızı içi boş ve içi dolu için sırası ile c ve IB c ikinci tip eğrinin dalga yayılı hızı sırası ile ID c IIB ve c IID tanılanıştır. Şekil 5 ve Şekil 6 daki sonuçlara bakıldığında bütün kr değerleri için ; h R. duruunda c c, c c ifadesi geçerli olaktadır. IB ID IB ID Şekil 5b. h Rparaetresinin F. de, teel odun birinci tip eğrisine etkisi. Şekil 5c. h Rparaetresinin F. te, teel odun birinci tip eğrisine etkisi. Şekil 5d. h Rparaetresinin F 5. te, teel odun birinci tip eğrisine etkisi. Şekil 6a. h Rparaetresinin F.te, teel odun ikinci tip eğrisine etkisi.
c ve IIB c dalga yayılı hızları arasındaki ilişki incelendiğinde IID h kaya-yay paraetresi F in değerlerine bağlı olduğu görülektedir. R, kr ve boyutsuz Şekil 6b. h Rparaetresinin F. te, teel odun ikinci tip eğrisine etkisi. Şekil 6c. h Rparaetresinin F. te, teel odun ikinci tip eğrisine etkisi. Şekil 6d. h R paraetresinin F 5. te, teel odun ikinci tip eğrisine etkisi. Kaya-yay paraetresi F in oldukça küçük değerleri için örneğin F. değeri dikkate alındığında bütün kr değerleri için; h R. duruunda, ciib ciid duruunda, ciib ciid ifadesi elde edilektedir.
5. SONUÇLAR Sayısal sonuçlar incelendiğinde aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilektedir: Kaya-yay paraetresi tipi süreksiz teas koşulları kullanıldığında teel odun iki tip eğrisi eydana gelektedir. F duruunda birinci tip eğri kaybolakta ikinci tip eğri ise teas koşullarının sürekli olduğu duru için elde edilen dispersiyon eğrisine yaklaşaktadır. Teas yüzeylerindeki F kaya-yay paraetresi büyürken teel odun iki tip eğrisi sürekli ta kaya yüzeyindeki liit dispersiyon eğrisine yani F da elde edilen eğrisine yaklaşaktadır. Öngerileli iki katlı bileşik silindirin katanlarındaki ön şekil değiştirelerin dispersiyon eğrilerinin davranışı üzerinde teas koşullarındaki süreksizliğin etkisinde nitelik bakıından değiştirediği gözleniştir. İki katlı içi boş bileşik silindirin iç silindirinin kalınlığı arttıkça yani, h R. duruunda elde edilen dispersiyon eğrileri uygun içi dolu bileşik silindir için elde edilen dispersiyon eğrilerine yaklaşaktadır. 6. KAYNAKLAR [] Akbarov, S. D., Recent investigations on dynaic probles for an elastic body with initial(residual) stresses(review). International Applied Mechanics, 4(), 5-4, 7. [] Akbarov, S. D., Guliev M. S., Axisyetric longitudinal wave propagation in a finite pre-strained copound circular cylinder ade fro copressible aterials. CMES: Coputer Modeling in Engineering and Science. 9, 55 77, 9. [] Akbarov, S. D., Guliev, M. S., The influence of the finite initial strains on the axisyetric wave dispersion in acircular cylinder ebedded in a copressible elastic ediu. International Journal of Mechanical Sciences, 5, 89-95,. [4] Akbarov, S.D., Ipek, C., The influence of the interface conditions on the dispersion of the axisyetric longitudinal waves in the pre-strained copound cylinder. CMES:Coputer Modeling in Engineering and Science. 7 9-,. [5] Guz, A.N., Elastic Waves in Bodies with initial (residual) stresses, A.C.K., Kiev, 4.