Akışkanlar Mekaniği/Aerodinamik Ders Notları Dr. Selman Nas

Transkript

1 1. GİRİŞ Gerçek akış problelerini çözek bilgisayarların ortaya çıkasından evvel oldukça zor, hatta ikansızdı. Son zaanlarda bilgisayar teknolojisindeki gelişeler bunu bir nebze ükün kılıştır. Gerçek akış problelerinin belirli bir yaklaşıklıkla çözüü olay hakkında bir fikir elde etek bakıından önelidir. Akış problelerini yaklaşık olarak çözek için kullanılan kabullerden biri de viskoz olayan akış kabulüdür. Viskoz etkilerin cisi yüzeyine yakın bölgede öneli olası ve sınır tabaka denilen bu bölgenin çok ince bir bölge olası neticesinde elde edilen sonuçlar bu bölge dışında oldukça doğru değerler verecektir. Gerçek proble hakkında çoğu zaan %90 ertebesinde doğru fikir edinek bu etodla ükündür. Diğer bir yaklaşı ise akışkanın şıkıştırılaaz olasıdır. Genelde sıvıların akışında bu yaklaşı oldukça doğrudur. Hava gibi sıkıştırılabilir gazların hareketinde ise, Mach sayısının düşük değerleri için sıkışaaz akışkan kabulü yapılabilir. Bu duruda viskoz olayan sıkışaaz akıın hareketini inceleek ükün olabilir. Üçüncü boyuttaki etkilerin ihal edildiği durularda, akı alanı iki boyutta incelenebilir. Böyle bir çalışa sonunda esela, kanat etrafındaki akı için taşıa katsayısını tahin etek ükündür. 1

2 FORMÜLASYON VE TANIMLAR Akışkanlar Mekaniği/Aerodinaik Ders Notları.1 Akı çizgileri Bir akışkan taneciğinin hız vektörüne teğet olan eğri ailesidir. Hız vektörünün yönü ve şiddeti zaanla değiştiği için akı çizgilerinin yönü de zaanla değişebilir. Akı özelliklerinin zaanla değişediği daii akılarda akı çizgileri ve yörüngeler özdeştir. V (r, t) Akı çizgisi V (r, t) V (r, t) dr Şekil.1 Şekil. V, akışkan parçacığının hız vektörü ve dr ise akı çizgisine teğet doğrultudaki diferansiyel eleanın uzunluğu olak üzere; V u i + v j + w k (.1) dr d i + dy j + dz k (.) şeklinde yazılabilir. Eger hız vektörüyle akı çizgisi aynı yönde ise (paralel iseler).1 ve. forullerinin skaler çarpıının sonucunun sıfır olacağı açıktır. Yani, V // dr V Λ dr 0. (.3)

3 Aynı zaanda hız zaanın da fonksiyonu olduğundan hızı, V V (, y, z, t ) (.4) şeklinde kısaca ifade edebiliriz. (.3) denkleini açacak olursak akı çizgilerinin dekleini d dy V Λ dr 0 u(, y, z, t) v(, y, z, t) dz w(, y,z, t) (.5) şeklinde elde edilebilir.. Çevri Vektörü Çevri akışkan parçacıklarının kendi eksenleri etrafında dönelerinin bir ölçüsüdür. Hiz vektörünün rotosyeline çevri vektörü denir. I rot V V (.6) şeklinde ifade edilebilir. Burada hızla çevri vektörünün birbirine dik olcağı açıktır. Açısal hız, ω 1 rot V (.7) olarak tanılandığından çevri vektörünü, I ω (.8) şeklinde yazak ükündür. 3

4 I i u j v k z w I i + Iy j+ I k (.9) Yukarıdaki ifadede yer alan bileşenler sırasıyla, I w v I z (, y, z, t) w I y u z w I y (, y, z, t) w y I z v u I z (, y, z, t) w z olarak verilir. Düzlesel harekette, u u(, y, z, t), v v(, y, z, t), w0 olasından dolayı I I, I 0 ifadesine varılır. X Y 0 Z Yani, çevri vektörünün sadece z yönündeki bileşeni sıfırdan farklıdır..3 Çevri Çizgileri Bir t anındaki çevri vektörlerine teğet olan eğrilere çevri çizgileri denir. Akı çizgileri ve çevri çizgileri birbiri ne diktir. 4

5 V (r, t) I dr Çevri çizgisi Şekil.3 Eğer çevri çizgileriyle çevri vektörleri aynı yönlü ise (yani paralel ise) skaler çarpılarının sıfır olası gerektiğinden, I // dr IΛ dr 0 (.10) sonucu elde edilir. Buradan hareketle çevri çizgilerinin denklei I d (, y, z, t) I y dy (, y, z, t) I z dz (, y,z, t) (.11) olarak elde edilebilir..4 Dolaşı (Sirkülasyon) Kapalı bir C eğrisi boyunca sirkülasyon, V dl C Şekil.4 5

6 Γ C V dl (.1) forülüyle tanılanır. dl kapalı eğri üzerinde diferansiyel uzunluk vektörüdür..5 Kelvin teorei Yoğunluğun sabit kaldığı veya sadece basınca bağlı olduğu ükeel bir akışta dolaşı (sirkülasyon ) sabit kalır. Yani, D Γ Dt 0 (.13) dolaşıın zaana göre türevi sıfırdır. Kelvin teoreinden hareketle başlangıçta potansiyel olan bir akı daia potansiyel kalır. Sürtünesiz ve izentropik akıda çevri ortaya çıkaz. Çünkü, tü akıların dura halinden veya düz akı halinden başladığı düşünülürse, bu akıların başlangıç sikülasyonu sıfırdır ve sıfır kalır..6 Korunu Denkleleri.6.1 Kütlenin korunuu Bir akışkan hareketinde seçilen, bir kontrol hacinde biri zaanda biriken iktarı, kütle biriken giren çıkan (.14) şeklinde ifade edilebilir. Eğer hareket daii ve sıkışaaz ise, biriken 0 (.15) olacaktır. Bunun sonucunda, 6

7 giren çıkan (.16) şeklinde ifade edebiliriz. (3.3) forülünü açacak olursak, ( ρu) ( ρv) + + t ρ 0 (.17) (3.4) denkleini elde edebiliriz. Burada ρ yoğunluk, u ve v kartezyen koordinatlardaki hız bilişenleridir. (3.4) forülünü, ρ ρ + u + v t u v + ρ + ρ y ρ 0 (.18) şeklinde yazabiliriz. (3.5) denkleini ise, Dρ + ρdiv V 0 Dt (.19) olarak kısaca ifade etek ükündür. Sıkışaaz akışkan deek, yoğunluğun topla türevinin sıfır olası, yani akışkan taneciği takip edildiğinde yoğunluğun değişeesi deektir. Dolayısıyla D ρ Dt 0 (.0) olur. (3.6) denkleinin sonucu olarak, ρ. V 0 (.1) elde edilir. Bu denklede ρ 0 olacağından,. V 0 (.) 7

8 elde edilir. Ve süreklik denklei adı verilir..6.3 Moentuun korunuu Akı alanında basınçla hızlar arasındaki ilişkiyi newton un ikinci kanunu, yani hareketin korunuu kanunu yardııyla elde edebiliriz. Daii akıda, bir kontrol haci alıp bu kontrol hacinin yüzeyleri arasındaki oentuun biri zaanda değişiini incelersek, Moentu akısı (içeri- dışarı) + f oentuun değişii (.3) (3.4) forülünü açacak olursak en genel halde, DV ρ p + ρ f + μ V (.4) Dt oentuun korunuu denkleini elde edebiliriz. Burada f, biri kütleye etkiyen haci kuvveti, μ ise viskozite katsayısıdır..6.3 Enerjinin Korunuu Bir akı alanında alınan kontrol hacinin enerji iktarının zaanla değişiini, Enerji akısı (içeri-dışarı) +δ q (içeri-dışarı) +δ w (içeri-dışarı) enerji iktarının zaanla (.5) değişii şeklinde ifade etek ükündür. Bu ifade de q kontrol hacine biri zaanda giren ısı iktarını, w ise kontrol hacine giren akışkanın biri zaan da yapış olduğu işi ifade eder. Bu denklei açacak olursak enerji denkleini, Dh Dp ρ + k T + Φ (.6) Dt Dt 8

9 şeklinde yazabiliriz. Burada h, entalpi, T ise sıcaklıktır. Φ ise disipasyon teriidir. Mekanik enerjinin ısı enerjisine dönüşüünü ifade eder..7 Sıkışaaz ükeel akışkan hareketi Sıkışaaz ükeel akışkan hareketini viskoz etkilerin sıfır olduğu ve yoğunluğun sabit olduğu akılarda yapabiliriz. Yani, Dρ μ 0, 0 Dt kabulleriyle korunu denklelerini çözerek sıkışaz ükeel akışkanı inceleyebiliriz. Bu kabullerle süreklilik denklei,. V 0 ve oentu denklei, DV Dt 1 p + f ρ (.7) olarak yazılabilir. Bu denkleleri verilen sınır şartları için çözersek (sayısal olarak) ilgili hız alanını ve basınç dağılıını buluruz. Bu ifadede çevri vektörü, I 0 veya I 0 olabilir..8 Potansiyel (Çevirisiz) Hareket Kelvin teoreine göre başlangıçta potansiyel olan bir akış daia potansiyel kalır. Her akı alanı düz bir akış alanından veya duran bir akıştan başladığına göre, bu hallerde çevri vektörü sıfırdır. Dolayısıyla sonraki zaanlarda çevri vektörü, 9

10 I 0 olacaktır. V r φ olarak kabul edeli. Burada φ potansiyel fonksiyondur. I V r olduğu için, i j k r ( φ) 0 z φ φ φ z (.8) olarak yazabiliriz. V r hız vektörünün bu seçii çevirisiz hareketi otoatik olarak sağlar. φ φ φ u, v, ω (.9) z bu kabulleriizi süreklilik denklein de yerine koyalı φ φ φ z φ 0 (Laplace denklei) (.30) elde ederiz.laplace denkleinin verilen sınır şartları için çözüü hızlar alanını verir. Bu hız alanını kullanarak Moentu denklei yardııyla basınç dağılıını buluruz. 10

11 .9 Akı Fonksiyonu Sıkışaaz akış ve düzlesel hareket kabulu ile u ve v hızlarının aşağıdaki gibi kabulü süreklilik denkleini sağlar. ψ ψ u, v (.31) bu kabulü süreklilik denkleinde yerine yazarsak, u v + 0 (süreklilik denklei) ψ ψ 0 (.3) elde edilir. Burada ψ akı fonksiyonudur. Ve ψ ψ(, y,z) sabit eğrileri belirli bir t anındaki akı çizgileri denkleini verir. Potansiyel akıda üçüncü büyuttaki sirkülasyon sıfır olacağından dolayı, v u I z 0 (.33) denklede yerine yazarak, ψ ψ ψ ψ I z ( ) ( ) ( + ) 0 ψ 0 (.34) şeklinde ifade edebiliriz. Ve potansiyel fonksiyonla birleştirirsek, 11

12 φ ψ 0 İki ve üç boyutta geçerli Sadece iki boyutta geçerli (.35) olarak yazak ükündür. İki boyutlu harekette bir t anındaki akıda Laplace denklei lineer bir denkledir. Bu yüzden akı veya potansiyel fonksiyonlarının çözüleri toplanabilir. ψ ψ ( ψ 1 + ψ ) 0 ψ 1 + ψ (süperpozisyon) (.36).10 Silindirik koordinatlarda akı fonksiyonu: y q q r r Şekil.5 q r : silindirik koordinatlarda hız olarak verilirse, teğetsel ve radyal yöndeki hız bileşenlerinin şekindeki gibi seçii 1 ψ q r (.37) r ψ q (.38) r süreklilik denklei kendiliğinden sağlanır. 1

13 Süreklilik denklei: q r 0 olarak verildiğinden r 1 1 q div q (rq r ) + 0 r r r (.39) şeklinde yazılabilir..11 Silindirik Koordinatlarda Potansiyel Hareket q φ (.40) 1 φ q (.41) r φ q r r (.4) Teğetsel ve radyal hız bileşenleri yukarıdaki gibi seçilirse I 0 kendiliğinden sağlanış olur. Silindirik koordinatlarda, ola şartı φ φ 1 φ e r + e (.43) r r şeklinde verilir. Laplace denkleinin çözüü, verilen sınır şartları için nüerik olarak çözüü ükün olsada, her proble için yeniden yazılalıdır. Bir başka yönte ise laplace denkleini sağlayan analitik ψ fonksiyonlarının grafiğini çizek ve akı çizgilerinin pratikte anlaı olan bir akıı verip verediğini görektir. 13

14 3. TEMEL ψ 0 ÇÖZÜMLERİ Birçok karaşık akı 4 farklı akışın toplaı olarak elde edilebilir. Bunlar Düz akı, Kaynak veya Kuyu, Duble ve Noktasal girdaptır. 3.1 DÜZ AKIM: Düz akıın sadece önünde olduğunu varsayarsak (Şekil 3.1) uu ( her yerde) Y ΨC 1 ΨC U ΨC 3 ΨC 4 ΨC 5 Şekil 3.1 ΨC 6 Yatay yöndeki hız bileşeni, ψ u U olarak verildiğinden bu ifadeyi inteğre edersek, ψ Uy + f () (3.1) ifadesini elde ederiz. Aynı zaanda düşey yöndeki hızın da türevi akı fonksiyonunu vereceğinden, ψ ' v f () 0 f () C 14

15 (3.1) ifadesindeki f() fonksiyonun sabit bir değer (C) olduğunu anlarız. Ve akı fonksiyonunu, ψ Uy + C (3.) şeklinde yazak ükündür. Potansiyel fonksiyonuda aynı şekilde, φ u U olarak verildiğinden φ U + f () inteğre ederek elde edilir. Düşey hız bileşenin türevide potansiyel fonksiyona eşit olduğundan φ ' v f () 0 f () C φ U + C (3.3) olarak akı ve potansiyel fonksiyoları düz akış için buluruz. Hız alanı ψ nin türevinden elde edildiği için C nin değeri öneli değildir. Genelde bu sabit, dura noktasından (hızın tü bileşenlerinin sıfır olduğu nokta) geçen akı çizgisi için ψ 0 olacak şekilde şeçilir. Düz akışta dura noktası yoktur. ve y yi kutupsal koordinatlarda yazacak olursak, düz akı için akı ve potansiyel fonsiyonları, ψ U y + C U r sin + C (3.4) 15

16 φ U + C U r cos + C (3.5) olarak yazılabilir. ψ sbt eğrileri ψ sbt ve φ sbt eğrileri birbirine diktir. φ sabit eğrileri Şeki Kaynak veya Kuyu Kaynak akıı bir noktadan radyal dogrultuda çıkan akı çizgilerinin oluşturduğu hayali bir akı şeklidir (Şeki 3.3). Kaynak akıının debisi sabit olup ile belirtilirse, akı alanında teğetsel yöndeki hız bileşenin bulunadığını hatırlayarak, q 0 q r 0 φ sabit eğrileri ψ sabit doğruları Şekil 3.3 Mekezde kaynak akıı 16

17 r yarıçapında ve biri derinlilikten biri zaanda geçen debiyi yazarsak, debi q r (r.1) (3.6) 3. boyutta biri uzunluk silindirik koordinatlada radyal yöndeki hızı akı fonksiyonu cinsinden, q r 1 ψ r r olarak verildiğinden inteğre ederek, ψ + F(r) (3.7) aynı zaanda akı fonksiyonu, q ψ r olarak tanılandığından, ψ r ' F (r) 0 buradan F(r) nin sabit olduğu sonucuna varırız. Ve kaynak için akı fonksiyonunu, ψ + C (3.10) şeklinde ifade edilebilir. Burada kaynak şiddeti, C ise sabit bir sayıdır. Hız alaları ψ nin türevinden elde edildiğinden değerinin ne olduğunun önei yoktur. Kaynak için potansiyel fonksiyonu bulaya çalışalı. Bunun için radyal yöndeki hız tanıından yararlanırsak, 17

18 q r φ r r Akışkanlar Mekaniği/Aerodinaik Ders Notları olarak yazılabilir. Ve inteğre edilerek, φ lnr + F( ) (3.11) bulunur. F() yı bulak için teğetsel hızın potansiyel tanıından yararlanırsak, q φ olarak tanılandığı için φ F ' ( ) 0 olacağından kaynak için potansiyel fonksiyonu, φ lnr + C (3.1) şeklinde elde edilir. > 0 halinde (3.10) ve (3.1) forulleri başlangıç noktasındaki kaynağı, < 0 olası halinde başlangıç noktasındaki kuyuyu tesil eden forüllerdir. 18

19 q 0 q r 0 φ sabit eğrileri ψ sabit doğruları Şekil 3.4 erkezde kuyu 3.3 DUBLE Başlangıç noktasında yer alan μ şiddetindeki ve ekseni reel eksenle açısı yapış duble, bu eksen üzerinde sietrik konuda yer alan eşit şiddetteki bir kaynakla, bir kuyunun birbirine çok yaklaştırılası süretiyle elde edilebilir. μ a (3.13) li(kanak + kuyu) duble ( μ a sonlu) duble elde edilir. a 0 y a a ( Kaynak ) - ( kuyu ) Şekil 3.5 erkeze a esafedeki kaynak ve kuyu 19

20 y Şekil 3.6 erkezde yatay eksenle açısı yapış duble Duble için akı ve potansiyel fonksiyonları, μ cos + y sin ψ (3.14) r μ sin y cos φ (3.15) r olarak ifade edebilir. 3.4 VORTEKS (NOKTASAL GİRDAP) Başlangıç noktasında yer alan sabit sirkülasyonlu bir noktasal girdabın oluşturduğu akı alannda radyal hızlar sıfır olup, akı çigileri eş erkezli dairelerden ibarettir(şekil 3.7). Sikülasyonun değeri Γ ve saat ibrelerine zıt yön pozitif olak üzere, Γ q r 0

21 ve buradan teğetsel hız için Akışkanlar Mekaniği/Aerodinaik Ders Notları (3.16) ψ Γ q (3.17) r r yazak ükündür. Kaynak için yapılana benzer şekilde polar koordinatlarda q r ve q hız bileşenlerini φ ve ψ fonksiyaonlarına bağlayan bağıntılardan inteğral alarak Γ ψ ln r + C (3.18) Γ φ + C (3.0) potansiyel ve akı fonksiyonunu elde edebiliriz. y q 0 q r 0 Şekil 3.7 noktasal girdap Daire üzerindeki biri dl uzunluğunu, r.d.e ds. e dl (3.1) şeklinde yazarsak, sirkülasyonu, 1

22 Γ Γ V dl q rd rd r C C C 0 Γ d Γ Γ (3.) şeklinde bulabiliriz. Deek ki kapalı bir C eğrisi üzerinde sirkülasyon sabit kalaktadır. Merkezi içine alayan herhangi bir eğri üzerinde hesaplanan dolaşı sıfırdır. Bir çok karaşık akı, basit tekilliklerin ve düz akıın süperpozisyonu ile elde edilebilir. Örnek: Cisi elde edilir u kaynaklar kuyular Şekil 3.8: Değişik akı alanlarının birleşiiyle cisi elde edilesi Girdap hareketinin girdap erkezi hariç olak üzere neden çevrisiz olduğuna bakalı. Birbirine dik akışkan kolonları düşüneli.(şekil 3.9) dt zaan sonra bu kolonlar dα 1 pozisyonunda şekildeki gibi olacaklardır. dα1 q 0 dα1 r Şekil 3.9 dr Önce düşey akışkan kolonunu düşüneli. q.dt α1 (r.dα q.dt ds) r d 1 (3.3)

23 C dt C α 1 dt (3.4) r r r d Sonra yatay akışkan kolonunu düşüneli. q + dq q 0 r dr dr dα <0 Şekil 3.10 dq dr.dα 1 dq.dt ds dα dt (3.5) dr 1 dα1 dα 1 c c ( + ) ( ) 0 (3.6) dt dt r r w Γ yüzey w. ds ds alan wçevri vektörü Noktasal girdap hareketinde bütün çevri erkez noktasın da konsantre oluştur. O noktası dışında akı çevrisizdir. O yu dışarıda bırakan C kapalı eğrisi üzerinde dolaşı sıfırdır. Bunu Şekil 3.11 üzerinde göstereli. C 3 C C 1 T r 1 O ε T Şekil

24 Γ c1 Γ r q1.dl 1 C1 C1 1 r d Γ Γ Γ + q.dl+ Γ q.dl Γ + Γ C C 1 C 3 1 C C 3 T T Γ r r. + Γ r 3 r.( ) 3 0 Γ C Γ Γ 0 Örneğin çevrili ( potansiyel olayan ) harekette yatay ve akışkan sütunlarını dt zaan sonra incelersek, bu kolonların açı ortaylarının döndüğünü görürüz (Şekil 3.1). Buradan bu akışkan hareketinde çevrinin var olduğu sonucuna varırız. y eksenler dönüyor w z v u u Şekil KOMPLEKS POTANSİYEL VE KOMPLEKS EŞLENİK HIZ Bir analitik fonksiyonun reel ve iajiner kısıları ayrı ayrı laplace denkleini sağlar. Bir potansiyel akı alanında potansiyel ve akı fonksiyonları haronik fonksiyon olduları ve ψ φ u 4

25 ψ φ v Akışkanlar Mekaniği/Aerodinaik Ders Notları şeklindeki Cauchy-Rieann şartlarını sağladıkları bilinir. O halde bu iki fonksiyonu F(z, t) φ(z, t) + iψ(z, t) (4.1) şeklinde verilen bir analitik fonksiyonun reel ve iajiner kısıları olarak yazak ükündür. Bu analitik fonksiyon kopleks potansiyel olarak adlandırılır. Kopleks potnasiyelin z ye göre türevi yönünden yaklaşırsak; F φ ψ + i z (4.) y yönünden yaklaşırsak; F φ ψ i + z (4.3) şeklinde yazılabilir. Veya u ve v kartezyen koordinatlarda hız bileşenleri olak üzere φ u, ψ v (4.3) olduğunu hatırlarsak w(z, t) F u i v (4.4) z olarak yazılabilir. Bu son ifadedeki w, akı alanının herhangi bir noktasındaki u ve v hız bileşenlerinin w(z, t) u iv (4.5) 5

26 şeklinde kopleks bir ifadenin eşleniği olup, kopleks eşlenik hız adını adı verilir. O halde, herhangi bir F(z) analitik fonksiyonu bir potansiyel alanı tesil eder. Fonksiyonun z e göre türevi ise bu akı alanı içindeki hızları tanılaaya yeterlidir. Daha evvel gördüğüüz teel çözülerin kopleks fonksiyonlarını elde edeli. 4.1 Düz Akış y U v u α U Şekil 4.1: Düz akı ekseni ile α açısı yapan U hızındaki unifor paralel akı göz önüne alalı. Reel ve iajiner eksenler doğrultusundaki hız bileşenleri u ve v olak üzere φ ψ u, φ ψ v bağıntıları yazılabilir. Diğer taraftan kopleks potansiyelini, F(z) φ(z, t) + iψ(z, t) şekinde tanılandığı hatırlanırsa, hız bileşenleri için verilen bağıntılardan integre edilerek φ ve ψ değerleri bulunur ve kopleks fonksiyonda yerine yazılırsa, F (z) (u + vy) + i(uy v) (u iv)( + iy) (4.6) 6

27 elde edilir. Bu bağıntıdan da, z + iy u U cosα v U sinα (4.7) olduğu hatırlanarak iα F (z, t) U z e (4.8) elde edilebilir. Koleks hız da türev alınarak, iα w U e (4.9) şeklinde bulunur. α nın çeşitli değerleri için özel olarak reel ve iajiner eksene paralel akı tipleri elde edilebilir. α 0 F(z) U y W(z) U z U π α F(z) iu y W(z) iu U z U α π F(z) U y W(z) U z Şekil 4. Değişik yönde ünifor-paralel akılar 7

28 4. Kaynak veya Kuyu: Akışkanlar Mekaniği/Aerodinaik Ders Notları a-) Merkezde iy q r Şekil 4.3: Merkezde kaynak Kartezyen koordinatlarda akı ve potansiyel fonksiyonları, φ lnr + C ψ + C olarak elde etiştik. Bu iki fonksiyonu birleştirerek kopleks potansiyel fonksiyonu i F(z) φ(z, t) + iψ(z, t) (ln r + i) ln r e (4.10) ve ayrıca z r e i olduğunu hatırlarsak F(z) ln z (4.11) 8

29 şeklinde ifade edilir. Kopleks eşlenik hız da bu bağıntıdan türev alınarak, w(z) (4.1) z şeklinde elde edilir. b-) z z 0 da kaynak z düzleinin başlangıç noktası dışındaki herhangi bir z 0 noktasındaki bir kaynak veya kuyunun yarattığı akıa ait kople potansiyel fonksiyonu ve kople eşlenik hızı yukarıdaki bağıntılardan bir eksen kaydırılası yoluyla elde edilebilir. Bu aaçla z 0 noktasını başlangıç noktası kabul eden ve eksenleri z düzleinin eksenlerine paralel olan yeni bir z1(1,iy1) kopleks düzlei göz önüne alınırsa ( Şekil 4.4 ), ele alınan kaynak bu yeni düzlein başlangıç noktasında yer aldığından, kopleks potansiyel fonksiyonu kolaylıkla F(z1 ) ln z 1 (4.13) şeklinde yazabiliriz. Ayrıca her iki düzle arasında z 1 z - z 0 (4.14) bağıntısı yazılarak kopleks potansiyel (z) ln(z z ) (4.15) F 0 şeklinde ve kople eşlenik hız da, yine türev alınarak, w(z) (z z ) (4.16) 0 9

30 şeklinde bulunur. iy 1 iy 1 Şekil 4.4 Merkez dışında bir kaynak Yukarıda çıkartılan bu forüller, > 0 halinde kaynağı, < 0 olası halinde de kuyuyu tesil etektedir. 4.3 Noktasal Girdap Kartezyen koordinatlarda akı ve potansiyel fonksiyon için Γ ψ ln r + C Γ φ + C bağıntıları elde etiştik. Bu bağıntıları birleştirerek kopleks potansiyel fonksiyonu Γ i Γ i F( z) φ( z, t) + iψ ( z, t) ( + i ln r) ln r e (4.17) i Γ F( z) ln z (4.18) 30

31 şeklinde elde edilir. Türev alarak kopleks eşlenik hızı da i Γ w( z) (4.19) z şeklinde buluruz. iy q 0 q r 0 Γ Γ ψ sabit Şekil 4.5 noktasal girdap z düzleinin herhangi bir z 0 noktasındaki girdap (Şekil 4.5), yine kaynak hareketine benzer şekilde bir eksen kaydırırılasıyla i Γ F( z) ln( z z0 ) (4.0) şeklinde ifade edilir. Γ < 0 olası saat yönündeki bir girdabı tesil eder. iy iy 1 Γ z 0 1 Şekil 4.6: z 0 noktasında girdap 31

32 4.4 Başlangıç Noktasında Duble Akışkanlar Mekaniği/Aerodinaik Ders Notları Daha öncede belirttiğiiz gibi duble birbirne eşit şiddetteki kaynak ve kuyunun bir birine çok yaklaştırılası ile elde ediliyordu. Şöyle ki; Şekil 4.7 de görüldüğü gibi sırasıyla z i( π + ) i 1 ae ae, i z ae noktalarında yer alan şiddetindeki bir kaynakla, yine aynı şiddetteki bir kuyu, aralarındaki uzaklıkla şiddetlerinin çarpıı μ a (4.1) şeklinde dublenin şiddetini verecek ve sabit kalacak şekilde tutulurken, bir birine yaklaştırılırlar, ve liitte a 0 olduğunda duble elde edilir. Bu aaçla kaynak ve kuyunun kopleks potaniyel fonksiyonları Duble ekseni iy a z a - ( kuyu) z 1 ( Kaynak ) Şekil 4.7: kaynak + kuyu akıı i F 1( z) ln( z z1) ln( z + ae ) (4.) F i z) ln( z z ) ln( z ae ) (4.3) ( şeklinde yazılarak birleştirilirse, 3

33 Şekil 4.8: Merkezde açılı duble i i [ ln( z + ae ) ln( z ae )] F( z) F1 ( z) + F ( z) (4.4) veya μ yazılarak liit alınırsa a F( z) li 4π a0 i i [ ln( z + ae ) ln( z ae )] a 0 0 olduğu görülür. Belirsizliği giderek için ifadenin pay ve paydasının ayrı ayrı a ya göre türevleri alınarak Hospital kuralı uygulanırsa, F( z) li 4π a0 i e z + ae i i e z ae 1 i i μe z (4.5) elde edilir. Kopleks eşlenik hızda türev alınarak, 33

34 μe i w(z) (4.6) z şeklinde bulunur. nın çeşitli değerleri seçilerek dublenin ekseni istenildiği gibi döndürülebilir. Örneğin 0 için reel eksene paralel olan bir duble, π/ için iajiner eksene paralel bir duble elde edilir. Herhangi bir z 0 noktasında yer alan dublenin (Şekil 4.9) kopleks potansiyeli yine eksen kaydıra yoluyla iy i μe F( z) π ( z z 0 ) μ z 0 şeklinde bulunabilir. Şekil 4.9 z 0 noktasında duble 34