ROBOT MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİĞİ VE KONTROLU

Transkript

1 ISBN ROBOT MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİĞİ VE KONTROLU Prof. Dr. M. Keal ÖZGÖREN Makina Teorisi Derneği Yayınları Ders Notları Serisi No: 2

2 ROBOT MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİĞİ VE KONTROLU 3-6 Şubat 2016, Ankara Prof. Dr. M. Keal ÖZGÖREN Orta Doğu Teknik Üniversitesi Makina Teorisi Derneği Yayınları Ders Notları Serisi No: 2 ISBN Bu kitabın içeriği, Prof. Dr. M. Keal Özgören tarafından, 3-6 Şubat 2016 tarihleri arasında düzenlenen "Robot Dinaiği ve Kontrolu Çalıştayı" (RDK 2016) kapsaında veriş olduğu dersin notlarına dayanarak oluşturuluştur. Kitabın dizgisi ve elektronik kopyası, Dr. Nurdan Bilgin ve Dr. Hakan Mencek in editörlük çalışalarıyla hazırlanıştır. Makina Teorisi Derneği Bahçelievler Mahallesi 1. Cad. TRT Haber 1 Sitesi No: C8 Gölbaşı/ANKARA RDK 2016 i M. Keal Özgören

3 ROBOT DİNAMİĞİ VE KONTROLU ÇALIŞTAYI (RDK 2016) ÇALIŞTAY DÜZENLEME KURULU Dr. Nurdan BİLGİN (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Ece YILDIRIM (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Fettah KODALAK (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Burcu KÜÇÜKOĞLU (Gazi Üniversitesi) Yük. Müh. Abdurrahi DAL (Gazi Üniversitesi) ÇALIŞTAY BİLİM KURULU Prof. Dr. Eres Söyleez (MakTeD) Prof. Dr. M. Keal Özgören (MakTeD) Prof. Dr. M. Arif Adlı (Gazi Üniversitesi) Prof. Dr. Metin U. Salacı (Gazi Üniversitesi) RDK 2016 ii M. Keal Özgören

4 DÜZENLEME KURULU'NUN NOTU MakTeD in bir geleneğe dönüşen çalıştaylarından birine ev sahipliği yapış olaktan onur duyaktayız. Ev sahipliğini yaptığıız bu çalıştayın düzenlenesinde üç ayrı kuru, Türkiye de biliin ve bilisel düşüncenin başat anlayış olası ortak idealiyle bizlere destek verişlerdir. Ayrı ayrı hepsine gönül borcuuz bakidir. Bununla beraber konuşacı olarak katkıda bulunan değerli hocalarııza ve robotik alanında faaliyet gösteren katılıcı firalarııza buradan tekrar teşekkür etek isteriz. MakTeD Yöneti Kurulu Başkanı Prof. Dr. Eres Söyleez in önderliğinde süre gelen bu çalıştayları, çalıştayların katılıcısı olayı ve düzenlenesinde görev alayı çok önesedik ve önesiyoruz. Çünkü bu çalıştaylar, sadece bilgi edineizi sağlaıyor, birlikte üretenin, işbirliğinin, dostlukların zeinini oluşturuyor. Alanlarının en iyisi bili insanlarının, genç bili insanlarıyla dolaysız gönüllü ilişkisine ev sahipliği yapıyor. Planlanası, düzenlenesi ve sonuçların yayınlanasına kadar her aşaasında, tartışayı, ortak aklı ve ortak çözüü yönte ediniyor. Son söz olarak, bu çalıştayın ana konusundaki dersleri veren ve sonrasında çalıştay ders notlarını yoğun bir eekle bu kitaba dönüştüren, sayın hocaız Prof. Dr. M. Keal Özgören'e sonsuz teşekkürleriizi iletiriz. Düzenlee kurulu adına, Dr. Nurdan Bilgin RDK 2016 iii M. Keal Özgören

5 YAZAR'IN NOTU Bu kitap, Makine Teorisi Derneği'nin, Gazi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi'nin ve Makine Mühendisleri Odası'nın katkı ve destekleriyle Şubat 2016 tarihleri arasında gerçekleştirilen "Robot Dinaiği ve Kontrolu" çalıştayında verdiği iki günlük ders için hazırlayıp katılıcılara ilettiği ders notlarının tarafıca yeniden gözden geçirilip gerekli düzelteler ve yararlı olabilecek ekleeler yapıldıktan sonra uygun bir forata göre düzenlenesiyle oluşuştur. Bu kitap, yine Makine Teorisi Derneği'nin önderliğiyle Gaziantep Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölüü tarafından 31 Ağustos-03 Eylül 2015 tarihleri arasında düzenlenen "Robot Kineatiği" çalıştayında verdiği iki günlük derse dayanarak hazırlanış olan "Seri ve Paralel Manipülatörlerin Analitik ve Yarı- Analitik Yöntelerle Konu ve Hız Analizleri" başlığını taşıyan kitabın devaı niteliğindedir. Her iki kitabın da sözü edilen çalıştaylara katılanlar ve bu konularla ilgilenen diğer kişiler için faydalı birer başvuru kaynağı olacağını uuyoru. Bu kitabın içeriğiyle ilgili değerli görüşlerini bildiren ve redaksiyonu ile düzenlenesinde katkıda bulunan Y. Doç. Dr. Gökhan Kiper, Y. Doç. Dr. M. İ. Can Dede, Dr. Hakan Mencek ve Çalıştay Düzenlee Kurulu Başkanı Dr. Nurdan Bilgin'e özverili çabaları için çok teşekkür ederi. Prof. Dr. M. Keal Özgören RDK 2016 iv M. Keal Özgören

6 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1. VEKTÖR İŞLEMLERİ VE TEMEL KİNEMATİK Bir Noktanın Bir Eksen Takıına Göre Konuu Bir Vektörün Bir Eksen Takıındaki Matris Gösterii Vektör İşleleri ile Matris İşleleri Arasındaki İlişkiler Bir Vektörün Bir Eksen Etrafında Dönesi Rodrigues Forülü ve Döne Matrisi Teel Dikeysıra Matrisleri ve Teel Döne Matrisleri Döne Matrislerinin Bazı Özellikleri Örnek: İki aşaalı döne işlei Bir Vektörün Değişik Eksen Takılarındaki Matris Gösterileri Dönüşü Matrisi İfadeleri Dönüşü Matrisinin Teel Biri Vektörler Cinsinden İfade Edilesi Dönüşü Matrisinin Yöneli Kosinüsleri Cinsinden İfade Edilesi Dönüşü Matrisinin Döne Matrisi Olarak İfade Edilesi Dönüşü Matrisinin Euler Açıları Cinsinden İfade Edilesi Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Konuu ve Hoojen Dönüşü Matrisleri Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevleri Bir Vektörün Belli Bir Eksen Takıına Göre Türevi Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal Hız Tanıı Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre İkinci Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal İve Tanıı Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı ve İvesi Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre İvesi Gösterii Basitleştiriliş Bağıl Hız ve İve İfadeleri BÖLÜM 2. İKİNCİ MERTEBEDEN TENSÖRLER: DİYADİKLER Diyadiklerin Tanıı ve Kullanı Yerleri Diyadiklerle Yapılan İşleler Nokta Çarpı Çapraz Çarpı RDK 2016 v M. Keal Özgören

7 2.3. Diyadiklerin Bir Eksen Takıındaki Matris Gösterileri Diyadiklerin Farklı Eksen Takılarındaki Matris Gösterileri Vektör-Diyadik İşlelerine Karşılık Gelen Matris İşleleri Biri Diyadik ve Ters Diyadik Döne Diyadiği BÖLÜM 3. KATI CİSİMLER İÇİN TEMEL DİNAMİK Bir Katı Cisin Atalet Özellikleri Bir Katı Cisin Kütlesi Bir Katı Cisin Kütle Merkezi Bir Katı Cisin Kütle Merkezi Etrafındaki Atalet Tensörü ve Atalet Matrisi Asal Eksen Takıları ve Asal Atalet Moentleri Asal Eksenlerin ve Asal Atalet Moentlerinin Belirlenesi Örnek: Aynı Cisi için İki Farklı Asal Eksen Takıı Bileşik Katı Cisiler için Atalet Tensörünün Oluşturulası Örnek: Üç Tipik Katı Cisi ve Atalet Moentleri Örnek: Bir Bileşik Katı Cisin Atalet Tensörü Bir Katı Cise İlişkin Kuvvet-Moent ya da Newton-Euler Denkleleri Kuvvet Denklei ya da Newton Denklei Moent Denklei ya da Euler Denklei Açısal Hız Bileşenleri Sabit Olan Özel Döne Hareketleri BÖLÜM 4. KATI CİSİM SİSTEMLERİNİN DİNAMİK ANALİZİ Sistedeki Dinaik İlişkilerin Newton-Euler Denkleleriyle İfade Edilesi Sistedeki Cisilere Ait Newton-Euler Denkleleri Etkileşi Kuvvet ve Moentlerinin Ayrıntıları Ekle Örnekleri Sistein Hareket Denklei ile Devinisel ve Eyletisel Dinaik Analizleri Sistein Serbestlik Derecesi Genelleştiriliş Koordinatlar Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetleri Genelleştiriliş Yapısal Tepki Kuvvetleri Yeterince Kısıtlı ve Aşırı Kısıtlı Sisteler Tüleşik Newton-Euler Denklei Hareket Denklei ve Dinaik Analiz Aacıyla Kullanıı RDK 2016 vi M. Keal Özgören

8 4.3. Hareket Denkleinin Newton-Euler Denklelerinden Elde Edilesi Yönte 1: Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetlerini Elde Ete Yöntei Yönte 2: Genelleştiriliş İveleri Elde Ete Yöntei Yönte 3: Serbestlik ve Kısıtlaa Yönlerinin Dikliğine Dayalı Yönte Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Kineatik ve Dinaik Analizi Sistein Betilenesi Kineatik Analiz Newton-Euler Denkleleri Sayısal Uygulaa Hareket Denkleinin Lagrange Yönteiyle Elde Edilesi Skalar Lagrange Denkleleri Kinetik Enerji Genelleştiriliş Moentular Enerji Yitire İşlevi Potansiyel Enerji Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetleri Genelleştiriliş Dış Etki Kuvvetleri Hareket Denklei Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Hareket Denklei BÖLÜM 5. SERİ MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİK ANALİZİ Kineatik İlişkiler Denavit-Hartenberg (D-H) Yöntei Peşpeşe Gelen İki Uzuv Arasındaki Kineatik İlişkiler Uzuvların Zeine Göre Duruşları (Yönelileri ve Konuları) Uzuvların Zeine Göre Döne ve Ötelene Hızları Uzuvların Zeine Göre Döne ve Ötelene İveleri Eyletisel Dinaik Analiz Yenileeli Newton-Euler (Kuvvet-Moent) Denkleleri Eyleti Torkları ve Kuvvetleri Devinisel Dinaik Analiz Hareket Denklei Uzuv Ağırlıklarına İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası Hıza Bağlı Ataletsel Terilere İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası Görev Kuvveti ve Moentine İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası RDK 2016 vii M. Keal Özgören

9 Kütle Matrisinin Hesaplanası Sanal İş Yönteiyle Dinaik Analiz İşle Aygıtının Duruşundaki Sanal Değişi Görev Kuvveti ile Moentinin İşle Aygıtı Üzerinde Yaptıkları Sanal İş Manipülatörün Sanki-Statik Dengesi Örnek: Stanford Manipülatörü Manipülatörün Kineatik Betilenesi İşle Aygıtının Zeine Göre Duruşu İşle Aygıtının Zeine Göre Hızı Manipülatörün Jacobi Matrisleri Manipülatörün Sanki-Statik Denge Duruunda Kullanıı BÖLÜM 6. MANİPÜLATÖRLERİN SERBEST KONUM KONTROLU Bağısız Ekle Kontrolcuları Yöntei Hesaplanan Tork Yönteiyle Kontrol Yöntein Kısa Tanıtıı ve Tercih Edilebileceği Durular Manipülatör ile Eyleti Sisteinin Bütünleştirilesi Hesaplanan Tork Yönteinin Uygulanışı İve Koutunun Belirlenesi BÖLÜM 7. MANİPÜLATÖRLERİN YÜZEY TEMASLI KONUM KONTROLU Bir Yüzeyle Esnek Teaslı Konu Kontrolunun Esasları Manipülatörler İçin Bir Yüzeyle Esnek Teaslı Konu Kontrolu Bir Manipülatörün Bir Yüzeyle Teasını Betileyen Kineatik İlişkiler Yüzeyle Esnek Teas Sağlayan Kontrol İlişkileri Örnekler Konu Kısıtlaalı İşlelerde Birlikte Hareket ve Kuvvet-Moent Kontrolu Kısıtlaalı Dinaik Forülasyon ve Kısıtlaa Kuvvet ve Moentleri Birlikte Hareket ve Kuvvet-Moent Kontrolu Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Hareket ve Kuvvet Kontrolu EK A: KAYNAKLAR EK B: KÜÇÜK SÖZLÜK RDK 2016 viii M. Keal Özgören

10 BÖLÜM 1 VEKTÖR İŞLEMLERİ VE TEMEL KİNEMATİK 1.1. Bir Noktanın Bir Eksen Takıına Göre Konuu 3 ( ) = = / 1 ( ) 2 ( ) Şekil 1.1 Bir Noktanın Seçilen Bir Eksen Takıına Göre Konuu Üç boyutlu uzayda gözlelenen herhangi bir P noktasının konuu, geleneksel olarak, Şekil 1.1'de de görüldüğü gibi, uygunca seçilen bir F a eksen takıına göre ifade edilir. F a eksen takıının orijini, A ya da O a ile gösterilen noktayla tesil edilir. F a eksen takıının yönelii ile eksenleri ise, aşağıda gösterilen teel vektör üçlüsü ile belirlenir. U a = {u 1 (a), u 2 (a), u 3 (a) } (1.1.1) Genelde, F a, ortonoral ve sağ el kuralına uyan ya da kısaca sağ elli olan bir eksen takıı olarak seçilir. Bu özellikler aşağıda açıklanıştır. F a eksen takıının ortonoral olabilesi için teel vektörlerinin birbirine dik biri vektörler olası gerekir. Bu özellik, aşağıdaki skalar çarpı denkleiyle ifade edilir. u (a) i u (a) 1, i = j ise j = δ ij = { 0, i j ise (1.1.2) F a eksen takıının sağ el kuralına uyabilesi için de teel vektörlerinin aşağıdaki vektörel çarpı denklelerini sağlaası gerekir. u 1 (a) u 2 (a) = u 3 (a) u (a) 2 u (a) (a) 3 = u 1 } (1.1.3) u 3 (a) u 1 (a) = u 2 (a) Gözlelenen P noktasının konuu, F a eksen takıının orijinine göre AP konu vektörüyle belirlenir. Bu vektör, aşağıdaki değişik biçilerde gösterilebilir. r = r P = r P/A = r AP = AP (1.1.4) (1.1.4) denkleindeki r vektörü, F a eksen takıında şöyle çözüştürülür. r = u (a) 1 r (a) 1 + u (a) 2 r (a) 2 + u (a) 3 r (a) 3 3 = u (a) (a) k=1 k r k (1.1.5) RDK M. Keal Özgören

11 (1.1.5) denkleindeki r k (a), r vektörünün F a eksen takıındaki k-yinci bileşeni ya da P noktasının F a eksen takıındaki k-yinci koordinatı olarak tanılanır ve şu işlele elde edilir. r k (a) = r u k (a) (1.1.6) 1.2. Bir Vektörün Bir Eksen Takıındaki Matris Gösterii Önceki kısıda olduğu gibi, herhangi bir r vektörü, seçilen bir F a eksen takıında şöyle çözüştürülür. r = u 1 (a) r 1 (a) + u 2 (a) r 2 (a) + u 3 (a) r 3 (a) (1.2.1) (1.2.1) denkleindeki bileşenler, k = 1, 2, 3 için şöyle tanılanıştır. r k (a) = r u k (a) (1.2.2) Söz konusu bileşenler kullanılarak aşağıdaki biçide gösterilen bir dikeysıra atrisi oluşturulabilir. r (a) = [ r 1 (a) r 2 (a) r 3 (a) ] (1.2.3) Yukarıda oluşturulan r (a) dikeysıra atrisi, r vektörünün F a eksen takıınındaki atris gösterii olarak tanılanır. Bu dikeysıra atrisi için aşağıdaki gösteri biçileri de kullanılabilir. r (a) = [r] (a) = [r] Fa (1.2.4) Eğer ilgilenilen tü vektörler için aynı eksen takıı (örneğin F a ) kullanılıyorsa, gösteri kolaylığı olsun diye, (a) üstyazıtı gizlenebilir ve aşağıdaki basitleştiriliş gösteriler kullanılabilir. u k (a) u k, r k (a) r k, r (a) r 1.3. Vektör İşleleri ile Matris İşleleri Arasındaki İlişkiler Bu kısıda göz önüne alınan tü vektörlerin atris gösterilerinin aynı F a eksen takıında oluşturulduğu varsayılıştır. Dolayısıyla, önceki kısıda bahsedilen üstyazıtsız basitleştiriliş gösteri kullanılıştır. a) Nokta Çarpı ya da Skalar Çarpı: p ve q gibi iki vektörün nokta çarpıı, F a eksen takıındaki bileşenleri cinsinden şöyle ifade edilir. s = p q = p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 (1.3.1) Aynı işle, ilgili vektörlerin F a eksen takıındaki atris gösterileriyle bir iç çarpı olarak şöyle de ifade edilebilir. q 1 s = [p 1 p 2 p 3 ] [ q 2 ] = p t q q 3 (1.3.2) RDK M. Keal Özgören

12 Nokta çarpı işleinde çarpanların yeri değiştirilebildiği için aynı sonuç aşağıdaki dört değişik biçide ifade edilebilir. s = p q = q p = p t q = q tp (1.3.3) Bu arada, p t = [p 1 p 2 p 3 ] ve q t = [q 1 q 2 q 3 ], p ve q vektörlerinin F a eksen takıındaki yataysıra atris gösterileri olarak adlandırılır. b) Çapraz Çarpı ya da Vektörel Çarpı: p ve q gibi iki vektörün çapraz çarpıı, yeni bir r vektörü verir. Şöyle ki, r = p q (1.3.4) İlgili vektörlerin F a eksen takıındaki bileşenleri kullanılarak (1.3.4) vektör denkleinin karşılığı olarak aşağıdaki atris denklei yazılabilir. r 1 p 2 q 3 p 3 q 2 0 p 3 p 2 q 1 [ r 2 ] = [ p 3 q 1 p 1 q 3 ] = [ p 3 0 p 1 ] [ q 2 ] (1.3.5) r 3 p 1 q 2 p 2 q 1 p 2 p 1 0 q 3 (1.3.5) denklei, derleşik olarak kısaca şöyle de yazılabilir. r = p q (1.3.6) Yukarıda kullanılan p (p-tilde) sigesi, p dikeysıra atrisinden türetilen antisietrik kare atrisi gösterektedir. Bu atris, "çapraz çarpı atrisi" olarak da adlandırılır ve aşağıda gösterilen biçide "as" (antisietrik atris) işleci kullanılarak oluşturulur. p 1 0 p 3 p 2 p = [ p 2 ] p = as(p ) = [ p 3 0 p 1 ] (1.3.7) p 3 p 2 p 1 0 Yukarıdaki "as" işlecinin tersi olan "ds" (dikeysıra atrisi) işleci ise şöyle tanılanır. p = ds(p ) = as 1 (p ) (1.3.8) c) Çapraz Çarpı Matrislerinin Bazı Özellikleri Çapraz çarpı atrislerinin bazı önde gelen özellikleri aşağıda gösteriliştir. det(p ) = 0 (1.3.9) p p = 0, p t p = 0 t (1.3.10) p q = q p t (q tp )I (1.3.11) p 2 = p p t (p t p )I (1.3.12) as(p q ) = p q q p = q p t p q t (1.3.13) as(r p ) = R p R t (1.3.14) Yukarıdaki denklelerde, I biri atristir. R ise, det(r ) = 1 olan ortonoral bir atristir. Bu atrisi ortonoral yapan özellik, R 1 = R t olasıdır. RDK M. Keal Özgören

13 1.4. Bir Vektörün Bir Eksen Etrafında Dönesi Rodrigues Forülü ve Döne Matrisi Şekil 1.2 Bir Vektörün Bir Eksen Etrafında Dönesi Şekil 1.2'de bir p vektörünün bir r vektörüne dönesi görülektedir. Döne açısı θ ile, döne eksenini tesil eden biri vektör ise n ile gösteriliştir. p vektörü, r vektörüne dönerken konik bir yüzey üzerinde hareket eder. Bu dönenin söz konusu koninin tabanındaki izdüşü görüntüsü, Şekil 1.2'nin sağında gösteriliştir. Bu dönenin sonucu olan r vektörü, Şekil 1.2 göz önüne alınarak aşağıda yazılan denkle dizisi sonunda ortaya çıkar. p = OA = OD + DA = s + p p = p s (1.4.1) r = OB = OD + DB = s + r r = r s (1.4.2) s = (p n )n = n (n p) (1.4.3) q = DC = n DA = n p q = n (p s) = n [p (p n )n ] = n p (p n )(n n ) q = n p (1.4.4) Şekil 1.2'nin sağındaki görüntüye göre, DB = DA cos θ + DC sin θ. Yani, r = p cos θ + q sin θ (1.4.5) (1.4.5) denklei, (1.4.1) (1.4.4) denkleleriyle birlikte aşağıdaki denklelere yol açar. r s = (p s) cos θ + (n p) sin θ r = p cos θ + (n p) sin θ + s(1 cos θ) r = p cos θ + (n p) sin θ + n (n p)(1 cos θ) (1.4.6) RDK M. Keal Özgören

14 (1.4.6) denklei, döne sonucunda ortaya çıkan r vektörünü verektedir. Bu denkle, "Rodrigues forülü" olarak da bilinir. Rodrigues forülü, seçilen bir F a eksen takıında, r = r (a) ve benzeri kısaltalar kullanılarak aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. r = p cos θ + (n p ) sin θ + n (n tp )(1 cos θ) (1.4.7) (1.4.7) denklei, p bir çarpan olarak ayrılıp şöyle de yazılabilir. r = R p (1.4.8) (1.4.8) denkleindeki R atrisi, "döne atrisi" olarak şöyle tanılanır. R = R (n, θ) = I cos θ + n sin θ + n n t(1 cos θ) (1.4.9) Bu arada, n bir biri vektör olduğu için, yani n tn = 1 olduğu için, (1.3.11) denklei, şu şekli alır. n 2 = n n t I (1.4.10) Böylece, R atrisi şöyle de ifade edilebilir. R = R (n, θ) = I + n sin θ + n 2(1 cos θ) (1.4.11) R atrisi için Taylor serisi açılılarından yararlanarak çok daha derleşik bir ifade elde edilebilir. Bu aaçla, (1.4.11) denklei, sin θ ve cos θ işlevlerinin Taylor serisi açılıları kullanılarak şöyle yazılabilir. R = I + n (θ 1 3! θ ! θ5 1 7! θ7 + ) + n 2 ( 1 2! θ2 1 4! θ ! θ6 1 8! θ8 + ) (1.4.12) Öte yandan, (1.3.9) ve (1.4.10) denklelerine göre, n atrisinin çeşitli dereceden kuvvetleri yalnızca n ya da n 2 cinsinden ifade edilebilir. Şöyle ki, n 3 = n, n 4 = n 2, n 5 = n, n 6 = n 2, n 7 = n. (1.4.13) (1.4.12) ve (1.4.13) denkleleri birleştirilince, R için aşağıdaki Taylor serisi açılıı ortaya çıkar. R = I + n θ + 1 2! (n θ) ! (n θ) ! (n θ)4 + (1.4.14) Dikkat edilirse, (1.4.14) denkleindeki açılı, üstel işlevin Taylor serisi açılııyla aynıdır. Böylece, R için aşağıdaki son derece derleşik ifade elde ediliş olur. R = R (n, θ) = e n θ (1.4.15) Yukarıdaki ifade yalnızca derleşik olayıp aynı zaanda döne ekseni ile döne açısını da açık olarak gösteresi nedeniyle oldukça kullanışlıdır. Bu biçide ifade edildiğinde, R için kısaca "üstel döne atrisi" deyii kullanılabilir Teel Dikeysıra Matrisleri ve Teel Döne Matrisleri Teel dikeysıra atrisleri, bir üçlü grup oluşturak üzere şöyle tanılanırlar u 1 = [ 0], u 2 = [ 1], u 3 = [ 0] (1.4.16) RDK M. Keal Özgören

15 Teel dikeysıra atrisleri, üç boyutlu dikeysıra atris uzayının teelini oluştururlar. Öyle ki, c gibi herhangi bir dikeysıra atrisi, üç teel dikeysıra atrisinin doğrusal bileşii olarak aşağıda gösterilen biçide ifade edilebilir c = c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 = c 1 [ 0] + c 2 [ 1] + c 3 [ 0] = [ c 2 ] (1.4.17) c 3 Teel dikeysıra atrisleri, aynı zaanda, F a gibi bir eksen takıının teel biri vektörlerinin yine F a içinde ifade edilen atris gösterileridir. Şöyle ki, k = 1, 2, 3 için, u k = u k (a/a) = [u (a) k ] (a) = [u (a) k ] (1.4.18) Fa Eğer döne işlei, seçilen bir F a eksen takıının koordinat eksenlerinden biri, örneğin u k (a) doğrultusundaki eksen etrafında yapılıyorsa, döne ekseni biri vektörü, n = u (a) k olur. Bu duruda, n vektörünün F a eksen takıındaki atris gösterii, aşağıda görüldüğü gibi, k-yinci teel dikeysıra atrisi olur. n = n (a) = u k (a/a) = u k (1.4.19) Bu eksen etrafında belli bir θ açısıyla döneyi sağlayan atris ise, k-yinci "teel döne atrisi" olarak aşağıdaki denklele tanılanır. R k = R k(θ) = R (u k, θ) = e u kθ (1.4.20) Üç teel döne atrisinin (1.4.9) denklei kullanılarak elde edilen ayrıntılı ifadeleri aşağıda gösteriliştir R 1(φ) = e u 1φ = [ 0 cos φ sin φ] (1.4.21) 0 sin φ cos φ cos θ 0 sin θ R 2(θ) = e u 2θ = [ ] (1.4.22) sin θ 0 cos θ cos ψ sin ψ 0 R 3(ψ) = e u 3ψ = [ sin ψ cos ψ 0] (1.4.23) Döne Matrislerinin Bazı Özellikleri Döne atrislerinin bazı önde gelen özelliklerini yansıtan forüller aşağıda gösteriliştir. det(e n θ ) = 1 (1.4.24) (e n θ ) 1 = (e n θ ) t = e n θ = e n ( θ) = e ( n )θ (1.4.25) e n θ n = n, n te n θ = n t (döne ekseni üzerinde işlevsizlik forülü) (1.4.26) e n θ n = n e n θ n (1.4.27) e n θ e n φ = e n φ e n θ = e n (θ+φ) (paralel eksen forülü) (1.4.28) e n θ e φ e φ e n θ e (n θ+ φ) ( n ise) (1.4.29) (e n θ )/ θ = e n θ n = n e n θ (döne açısına göre türev forülü) (1.4.30) RDK M. Keal Özgören c 1

16 Teel döne ve teel dikeysıra atrisleri ise, aşağıdaki özellikleri paylaşırlar. e u kθ u k = u k, u kt e u kθ = u kt (1.4.31) e u iθ u j = u j cos θ + σ ijk u k sin θ (açılı forülü) (1.4.32) u it e u jθ = u it cos θ + σ ijk u kt sin θ (açılı forülü) (1.4.33) e u iπ/2 e u jθ = e σ ijku kθ e u iπ/2 (i j için kaydıra forülü) (1.4.34) e u iπ e u jθ = e u jθ e u iπ (i j için kaydıra forülü) (1.4.35) e u kπ/2 e u kθ = e u kθ e u kπ/2 = e u k(θ+π/2) (1.4.36) e u kπ e u kθ = e u kθ e u kπ = e u k(θ+π) (1.4.37) (1.4.32), (1.4.33), (1.4.34) denklelerinde yer alan σ ijk işaret sigesi, i j k için şöyle tanılanıştır. +1, ijk = 123, 231, 312 ise σ ijk = { 1, ijk = 321, 132, 213 ise Örnek: İki aşaalı döne işlei (1.4.38) Bu örnek, F a gibi bir eksen takıında gözlelenen bir döne işlei hakkındadır. İki aşaalı bu döne işlei, şeatik olarak aşağıda gösteriliştir. (a) p = bu döne[u (a) 2, θ] 1 q döne[u (a) 3, ψ] r (1.4.39) Bu işle sonucunda ortaya çıkan vektörleri belirleek aacıyla, ilgili vektörlerin F a eksen takıındaki üstyazıtsız atris gösterileri kullanılarak döne işleinin iki aşaası için aşağıdaki denkleler yazılabilir. q = R 2(θ)p = e u 2θ (bu 1) = be u 2θ u 1 (1.4.40) r = R 3(ψ)q = e u 3ψ (be u 2θ u 1) = be u 3ψ e u 2θ u 1 (1.4.41) Kısı 1.4.3'teki açılı forülleri kullanılarak (1.4.40) ve (1.4.41) denkleleri üzerinde aşağıdaki işleler yapılabilir. q = be u 2θ u 1 = b(u 1 cos θ u 3 sin θ) = u 1(b cos θ) u 3(b sin θ) (1.4.42) r = be u 3ψ (u 1 cos θ u 3 sin θ) = b[(e u 3ψ u 1) cos θ (e u 3ψ u 3) sin θ] r = b[(u 1 cos ψ + u 2 sin ψ) cos θ u 3 sin θ] r = u 1(b cos ψ cos θ) + u 2(b sin ψ cos θ) u 3(b sin θ) (1.4.43) (1.4.42) ve (1.4.43) atris denklelerinde, q = q (a), r = r (a) (a/a), ve k = 1, 2, 3 için u k = u k olduğu göz önüne alınarak söz konusu denklelerin vektör karşılıkları şöyle yazılabilir. q = u 1 (a) (b cos θ) u 3 (a) (b sin θ) (1.4.44) r = u 1 (a) (b cos ψ cos θ) + u 2 (a) (b sin ψ cos θ) u 3 (a) (b sin θ) (1.4.45) RDK M. Keal Özgören

17 1.5. Bir Vektörün Değişik Eksen Takılarındaki Matris Gösterileri Herhangi bir r vektörü, F a ve F b gibi iki farklı eksen takıında çözüştürülebilir. Şöyle ki, r = u 1 (a) r 1 (a) + u 2 (a) r 2 (a) + u 3 (a) r 3 (a) = u 1 (b) r 1 (b) + u 2 (b) r 2 (b) + u 3 (b) r 3 (b) (1.5.1) (1.5.1) denkleindeki bileşenler, şöyle tanılanıştır. r k (a) = r u k (a), r k (b) = r u k (b) (1.5.2) Söz konusu bileşenler kullanılarak aşağıdaki biçilerde gösterilebilen dikeysıra atrisleri oluşturulabilir. r (a) = [r] (a) = [r] Fa = [ r (b) = [r] (b) = [r] Fb = [ r 1 (a) r 2 (a) r 3 (a) r 1 (b) r 2 (b) r 3 (b) ] (1.5.3) ] (1.5.4) Yukarıdaki r (a) ve r (b) dikeysıra atrisleri, aynı r vektörünün F a ve F b eksen takıınlarındaki atris gösterileri olarak adlandırılırlar. Eğer F a ve F b çakışık ya da eş yönlü paralel değillerse, r (a) ve r (b), iki farklı atris olarak ortaya çıkar. Yani, genelde, r (a) r (b) (1.5.5) Bununla birlikte, r (a) ve r (b) arasında aynı r vektörünü tesil ettikleri için bir ilinti vardır. Bu ilinti, şöyle ifade edilebilir. r (a) = C (a,b) r (b) (1.5.6) (1.5.6) denkleinde görülen C (a,b), "bileşen dönüşü atrisi", ya da kısaca, "dönüşü atrisi" olarak adlandırılır. Aynı denklee göre, C (a,b) atrisi, r vektörünün F b eksen takıındaki bileşenlerini F a eksen takıındaki bileşenlerine dönüştürektedir. Öte yandan, (1.5.6) denklei şöyle de yazılabilir. r (b) = C (b,a) r (a) r (a) = [C (b,a) ] 1 r (b) (1.5.7) (1.5.6) ve (1.5.7) denkleleri karşılaştırılınca, şu sonuca varılır. [C (b,a) ] 1 = C (a,b) (1.5.8) Dönüşü atrisinin bir diğer öneli özelliği de aşağıda gösteriliştir. Noral olarak, belli bir kineatik incelee sürecinde göz önüne alınan eksen takılarının tüünün eksenlerinde aynı ölçek kullanılır. Böyle bir duruda, gözlelenen r vektörünün büyüklüğü tü eksen takılarında aynı görünür. Bu olgu, r vektörünün F a ve F b eksen takılarındaki atris gösterileri için şöyle ifade edilir. r 2 = r 2 = r r = r (a)t r (a) = r (b)t r (b) (1.5.9) RDK M. Keal Özgören

18 (1.5.9) denklei, (1.5.6) denklei kullanılarak şöyle yazılabilir. [C (a,b) r (b) ] t [C (a,b) r (b) ] = r (b)t [C (a,b)t C (a,b) ]r (b) = r (b)t r (b) (1.5.10) (1.5.10) denkleinden şu sonuç çıkar. C (a,b)t C (a,b) = I C (a,b)t = [C (a,b) ] 1 (1.5.11) (1.5.11) ve (1.5.8) denklelerinden çıkan sonuç ise aşağıdaki özelliktir. C (b,a) = [C (a,b) ] 1 = C (a,b)t (1.5.12) 1.6. Dönüşü Matrisi İfadeleri Dönüşü Matrisinin Teel Biri Vektörler Cinsinden İfade Edilesi F b eksen takıının teel biri vektörleri, k = 1, 2, 3 için, F a eksen takıında aşağıdaki dikeysıra atrisleri biçiinde gösterilebilir. u k (b/a) = [u (b) k ] (a) = C (a,b) [u (b) k ] (b) = C (a,b) u k (b/b) = C (a,b) u k (1.6.1) (1.6.1) denkleindeki u k artçarpanı, çarpılan atrisin k-yinci dikeysırasını seçer. Buna göre, u k (b/a) (a,b) dikeysıra atrisi, C kare atrisinin k-yinci dikeysırası olaktadır. Dolayısıyla, C (a,b) atrisi, aşağıdaki ayrıntıyla ifade edilebilir. C (a,b) (b/a) = [u 1 (b/a) u 2 u 3 (b/a) ] (1.6.2) Öte yandan, (1.6.1) denkleinden, a ve b indislerinin yeri değiştirilerek ve (1.5.12) denklei kullanılarak şu ilişkiler elde edilir. u k (a/b) = C (b,a) u k u k (a/b)t = u kt C (b,a)t = u kt C (a,b) (1.6.3) (1.6.3) denkleindeki u kt önçarpanı ise, çarpılan atrisin k-yinci yataysırasını seçer. Buna göre, (1.6.3) denkleinden şu sonuç çıkar. C (a,b) = [ u 2 (a/b)t u 1 (a/b)t (a/b)t u 3 ] (1.6.4) Not-1: (1.6.4) denkleindeki yataysıra atrislerinin üstyazıtlarıyla (1.6.2) denkleindeki dikeysıra atrislerinin üstyazıtları arasındaki fark, gözden kaçırılaası gereken bir husustur. Not-2: (1.5.12) ile (1.6.2) ve (1.6.4) denklelerine göre, C (a,b) atrisi, ortonoral bir atristir. Yani, tersi devriğine (transpozuna) eşittir. Ayrıca, bu atrisin dikey sıraları, birbirine dik olan biri vektörleri tesil eder. Yatay sıraları için de aynı özellik geçerlidir. Bu özellik nedeniyle, C (a,b) atrisinin dokuz eleanı arasında altı adet ortonoralite ilişkisi bulunur. Dolayısıyla, C (a,b) atrisini ifade edebilek için yalnızca üç adet bağısız paraetre gerekli ve yeterlidir. RDK M. Keal Özgören

19 Dönüşü Matrisinin Yöneli Kosinüsleri Cinsinden İfade Edilesi Şekil 1.3 İki Eksen Takıı Arasındaki Yöneli Açıları F b ve F a eksen takılarının teel biri vektörleri arasındaki açılar, "yöneli açıları" olarak tanılanırlar. Altısı Şekil 1.3'te gösterilen bu dokuz açıdan her biri, F b eksen takıının F a eksen takıına göre yöneliini ifade etek üzere şöyle ifade edilebilir. θ ij (a,b) = [u i (a) u j (b) ] (1.6.5) Yöneli açılarının kosinüsleri ise, "yöneli kosinüsleri" olarak tanılanıp aşağıdaki gibi gösterilirler. c (a,b) (a,b) ij = cos θ ij (1.6.6) Yöneli kosinüslerinden c (a,b) ij, u (a) i ile u (b) j biri vektörleri cinsinden şöyle ifade edilebilir. c (a,b) ij = u (a) (b) i u j (1.6.7) (1.6.7) denklei, ilgili vektörlerin F a eksen takıındaki atris gösterileri kullanılarak şöyle de yazılabilir. c (a,b) ij = u i (a/a)t u j (b/a) = u it (b/a) u j (1.6.8) (1.6.8) denklei ise, (1.6.1) denklei sayesinde şöyle yazılabilir. c (a,b) ij = u it C (a,b) u j (1.6.9) (a,b) (1.6.9) denkleinde, u it ile u j çarpanları, C atrisinin i-yinci yataysırası ile j-yinci dikeysırasındaki eleanı seçerler. Dolayısıyla, C (a,b) atrisi, yöneli kosinüsleri cinsinden aşağıda gösterilen ayrıntıyla ifade edilebilir. RDK M. Keal Özgören

20 C (a,b) = [ (a,b) c 11 (a,b) c 21 (a,b) c 31 (a,b) c 12 (a,b) c 22 (a,b) c 32 (a,b) c 13 (a,b) c 23 (a,b) c 33 ] (1.6.10) Daha önce de belirtildiği gibi, C (a,b) atrisi, ortonoral olduğu için yalnızca üç adet bağısız paraetre cinsinden ifade edilebilir. Yöneli açıları söz konusu olunca, bu üç bağısız paraetre, genellikle, "birincil yöneli açıları" diye adlandırılan θ (a,b) 11, θ (a,b) 22, θ (a,b) 33 açıları olarak seçilir. Diğer yöneli açıları ise, "ikincil yöneli açıları" diye adlandırılır Dönüşü Matrisinin Döne Matrisi Olarak İfade Edilesi F b eksen takıı, F a eksen takıının aynı orijine ötelenesi ve daha sonra belli bir eksen etrafında döndürülesiyle elde edilebilir. Bu duru, şeatik olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir. F a döne[n,θ] F b (1.6.11) Doğal olarak iki eksen takıının teel vektörleri de, k = 1, 2, 3 için, aşağıda gösterildiği gibi aynı döne ilişkisi içinde olurlar. u k (a) döne[n,θ] u k (b) (1.6.12) Yukarıdaki şeatik gösterii ifade etek üzere, döne işleinin F a eksen takıında gözlelendiği varsayılarak, aşağıdaki atris denklei yazılabilir. [u k (b) ] (a) = R (n (a), θ)[u k (a) ] (a) u k (b/a) = e n (a)θ u k (a/a) = e n (a)θ u k (1.6.13) Öte yandan, u k (b/a), daha önceki (1.6.1) dönüşü denklei ile şöyle ifade edilişti. u k (b/a) = C (a,b) u k (b/b) = C (a,b) u k (1.6.14) (1.6.13) ve (1.6.14) denkleleri, dönüşü ve döne atrislerinin, aşağıda ayrıca yazıldığı gibi, eşit olduklarını gösterektedir. C (a,b) = R (n (a), θ) = e n (a) θ (1.6.15) Yukarıdaki denklelerde, n vektörünün F a eksen takıındaki atris gösterii olan n (a) kullanılıştır. Aslında, n vektörünün F b eksen takıındaki atris gösterii olan n (b) de kullanılabilirdi. Bunun nedeni, n vektörünün döne ekseni üzerinde olasından dolayı, döne işleinden etkileneesi ve n (b) = n (a) olasıdır. Ancak, söz konusu döne işlei, F c gibi farklı bir üçüncü eksen takıında gözlelenirse, bu eşitlik kaybolur. Yani, n (c) n (b) = n (a). Dolayısıyla, (1.6.15) denklei kullanılırken, n vektörünün ifade edildiği eksen takıının F a ya da F b eksen takılarında biri olasına dikkat etek gerekir. Aksi halde, döne atrisi, dönüşü atrisine eşit olaz. Bu kritik husus, şöyle ifade edilebilir. C (a,b) = e n (a)θ = e n (b)θ e n (c) θ (1.6.16) RDK M. Keal Özgören

21 Dönüşü Matrisinin Euler Açıları Cinsinden İfade Edilesi Ortonoral olan C (a,b) atrisinin yalnızca üç bağısız paraetre cinsinden ifade edilebileceği daha önce belirtilişti. Euler açıları kullanıldığında, bu üç bağısız paraetre, önceden belirleniş eksenler etrafındaki döneleri gösteren birer açı olarak seçiliş olur. Söz konusu eksenlerden her biri, geleneksel olarak, bir eksen takıının eksenlerinden biri olarak belirlenir. Belirlenen eksenlere göre, çeşitli Euler açısı sıralaaları ortaya çıkar. Bu sıralaaları genel olarak tesil eden i-j-k sıralaasına göre, F a eksen takıının F b eksen takıına dönüşü, aşağıda şeatik olarak gösterilen üç aşaalı ardışık döne işleiyle gerçekleştirilir. F a (a) döne[u i, φ1 ] (), φ2 ] (n), φ3 ] döne[u j döne[u k F F n F b (1.6.17) Yukarıdaki şeada, F ve F n, ara eksen takılarıdır. Bu şeaya göre, C (a,b) şöyle oluşur. C (a,b) = C (a,) C (,n) C (n,b) (1.6.18) (1.6.18) denkleindeki dönüşü atrisleri, (1.6.15) denklei uyarınca, birer döne atrisi olarak şöyle ifade edilirler. C (a,) = e u i (a/a) φ1 = e u iφ 1 = R i(φ 1 ) (1.6.19) C (,n) = e u j (/) φ2 = e u jφ 2 = R j(φ 2 ) (1.6.20) C (n,b) = e u k (n/n) φ3 = e u kφ 3 = R k(φ 3 ) (1.6.21) Böylece, C (a,b), aşağıda görülen biçide elde ediliş olur. C (a,b) = e u iφ 1 e u jφ 2 e u kφ 3 = R i(φ 1 )R j(φ 2 )R k(φ 3 ) (1.6.22) Robotik alanında genel olarak ve sıralaaları kullanılaktadır. Araç dinaiği alanında ise, tü kara, hava ve deniz araçlarını kapsaak üzere, neredeyse istisnasız, sıralaası kullanılaktadır. Ne var ki, Euler'in bizzat öne sürüp kullandığı sıralaa, sıralaasıdır. Euler bu sıralaayı, özellikle, jiroskop rotorları ve kendi etrafında dönen gök cisileri gibi, sietrik olup sietri ekseni etrafında diğer eksenlere göre çok daha hızlı dönen cisileri inceleek için kullanıştır. RDK M. Keal Özgören

22 1.7. Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Konuu ve Hoojen Dönüşü Matrisleri 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) Şekil 1.4 Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarında Gözlelenesi Şekil 1.4'te gösterilen senaryoda, bir P noktası, birbirine göre öteleniş (A B) ve dönüş (a b) olan F a (A) ve F b (B) gibi iki farklı eksen takıında gözlelenektedir. Bu duruda, P noktasının F a (A) ve F b (B) eksen takılarına göre konuunu gösteren r AP ve r BP vektörleri arasındaki ilişki, "ötelene vektörü" olarak adlandırılan r AB aracılığıyla şu şekilde sağlanır. r AP = r AB + r BP (1.7.1) (1.7.1) vektör denklei, r AP ve r BP vektörlerinin F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki atris gösterileri kullanılarak aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. r AP (a) = C (a,b) r BP (b) (a) + r AB (1.7.2) (1.7.2) denklei, P noktasının F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki görünüleri arasında ötelene teriinin varlığı nedeniyle hoojen olayan ya da diğer bir deyişle eklentili (biased) bir ilişki teşkil etektedir. Bu ilişkiyi hoojenleştirek için (1.7.2) denklei, 1 = 1 denkleiyle genişletilerek şöyle yazılabilir. r AP (a) = C (a,b) r BP (b) (a) + r AB 1 = 1 } (1.7.3) (1.7.3) denkle çifti, tek ve hoojen bir denkle biçiinde şöyle yazılabilir. [ r AP (a) (a) (b) 1 ] = [C (a,b) r AB 0 t 1 ] [r BP 1 ] (1.7.4) (1.7.4) denklei, aşağıdaki tanılara yol açar. R AP (a) = [ r AP (a) 1 ] : P noktasının F a(a)'daki büyütülüş (4 1) konu atrisi (1.7.5) R BP (b) = [ r BP (b) 1 ] : P noktasının F b(b)'deki büyütülüş (4 1) konu atrisi (1.7.6) RDK M. Keal Özgören

23 H AB (a,b) = [ C (a,b) (a) r AB ] : 4 4 boyutlu hoojen dönüşü atrisi (1.7.7) 0 t 1 Yukarıdaki tanılar kullanılınca, (1.7.4) denklei, kısaca aşağıdaki derleşik biçide yazılabilir. R AP (a) = H AB (a,b) (b) R BP (1.7.8) Böylece, görüldüğü gibi, R 3 uzayında yazılan fakat hoojen olayan (1.7.2) denklei, bir fazla boyutlu R 4 uzayında yazıla pahasına, hoojen olan (1.7.8) denkleine dönüştürülüştür. Dikkat edilirse, H AB (a,b) atrisi iki teel öğeden oluşaktadır. Birincisi, C (a,b) ile gösterilen döne öğesidir. İkincisi ise, r AB (a) ile gösterilen ötelene öğesidir. Eğer P noktası, üç farklı eksen takıında gözleleniyorsa, o zaan şu denkleler yazılabilir. Hoojen olayan denkle grubu: r AP (a) = C (a,b) r BP (b) (a) + r AB r BP (b) = C (b,c) r CP (c) (b) + r BC (1.7.9) (1.7.10) (a) r AP = C (a,c) (c) (a) r CP + r AC = [C (a,b) C (b,c) (c) ]r CP + [C (a,b) (b) (a) r BC + r AB ] (1.7.11) Hoojen denkle grubu: R AP (a) = H AB (a,b) (b) R BP R BP (b) = H BC (b,c) (c) R CP R AP (a) = H AC (a,c) R CP (c) (a,b) (b,c) (c) = [H AB H BC ]R CP (1.7.12) (1.7.13) (1.7.14) Özellikle, (1.7.11) ve (1.7.14) denklelerinin karşılaştırılası, hoojen dönüşü denklelerinin peşpeşe yapılan dönüşülerdeki derleşiklik (kısa ve toplu ifade) avantajını ortaya koyaktadır. Hoojen olayan dönüşülerde, bileşke döne ve bileşke ötelene terilerinin ayrı ayrı ifade edilesi gerekektedir. Şöyle ki, C (a,c) = C (a,b) C (b,c) (1.7.15) (a) (a) r AC = r AB + C (a,b) (b) r BC (1.7.16) Oysa, hoojen dönüşülerde, bileşke hoojen dönüşü atrisi, tek bir yalın çarpı denkleiyle ifade edilebilektedir. Şöyle ki, (a,c) (a,b) (b,c) H AC = H AB H BC (1.7.17) Hoojen dönüşü atrislerine ait bazı özellikler aşağıda belirtiliştir. (1.7.7) denkleinden yararlanarak gösterilebilir ki, (a,b) det[h AB ] = det[c (a,b) ] = 1 (1.7.18) RDK M. Keal Özgören

24 (1.7.8) denklei, F a (A) ile F b (B)'nin yeri değiştirilerek ve H AB (a,b) aşağıdaki iki biçide yazılabilir. R BP (b) = H BA (b,a) (a) R AP R BP (b) = [H AB (a,b) ] 1 (a) R AP atrisinin tersi alınarak (1.7.19) (1.7.20) (1.7.19) ve (1.7.20) denklelerine göre, H AB (a,b) atrisinin tersi şöyle bulunur. [H AB (a,b) ] 1 = H BA (b,a) = [ C (b,a) (b) r BA 0 t 1 ] = [C (a,b)t C (a,b)t r AB ] (1.7.21) 0 t 1 F a (A) ile F b (B) arasındaki ötelene ve döne ilişkisi, aşaalı olarak aşağıda gösterilen iki biçide ifade edilebilir. F a (A) F a (A) ötelene(a B) F a (B) döne(a b) F b (B) (1.7.22) döne(a b) F b (A) ötelene(a B) F b (B) (1.7.23) Yukarıdaki şealara göre, H AB (a,b) atrisi şu iki biçide ayrıştırılabilir. (a) H AB (a,b) = H AB (a,a) H BB (a,b) = H AB (a) (a,b) H B H AB (a,b) = H AA (a,b) H AB (b,b) = H A (a,b) (b) H AB (önce ötelene, sonra döne) (1.7.24) (önce döne, sonra ötelene) (1.7.25) Yukarıdaki ayrıştıralarda yer alan H AB (a) ve H AB (b) (a,b) atrislerine "yalın ötelene atrisleri"; H A ve H B (a,b) atrislerine ise "yalın döne atrisleri" denir. Bu atrislerin ayrıntılı ifadeleri aşağıda gösteriliştir. H AB (a) = [ I 0 t (a) r AB 1 ], H AB (b) = [ I (b) r AB 0 t 1 ] (1.7.26) H A (a,b) = H B (a,b) = H (a,b) = [ C (a,b) 0 0 t 1 ] (1.7.27) (1.7.26) ve (1.7.27) denklelerinden şu sonuçlar çıkartılabilir. (i) Yalın döne atrisleri, döne noktasına bağlı değildir. Bu nedenle, bir yalın döne atrisi, (1.7.27) denkleinde olduğu gibi, herhangi bir döne noktası belirteden H (a,b) biçiinde de yazılabilir. Bu özellik, döne işleinin etrafında yapıldığı noktanın, döndürülen nesnenin yöneliindeki değişi üzerinde herhangi bir etkisinin oladığını gösterektedir. (ii) Yalın ötelene atrisleri ise, doğal olarak ötelenenin gözlelendiği eksen takıına bağlıdır. Çünkü, ötelene r AB gibi bir vektörle gösterilir ve bu vektör de farklı eksen takılarında farklı dikeysıra atrisleri biçiinde görünür. RDK M. Keal Özgören

25 1.8. Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevleri Bir Vektörün Belli Bir Eksen Takıına Göre Türevi Bir vektörün türevinin alınası, seçilen eksen takıına göre bağıl bir işledir. Örneğin, bir r vektörünün F a (A) ve F b (B) gibi iki farklı eksen takıına göre alınan türevleri aşağıdaki biçilerde gösterilebilir. D a r = d a r/dt = [dr/dt] Fa (1.8.1) D b r = d b r/dt = [dr/dt] Fb (1.8.2) Söz konusu vektörün türevi, (1.8.1) denkleine göre alınırken F a eksen takıının yönelii; (1.8.2) denkleine göre alınırken de F b eksen takıının yönelii sabitiş gibi kabul edilir. Türevi alınacak vektör, F a (A) ve F b (B) eksen takılarında şöyle çözüştürülebilir. r = u 1 (a) r 1 (a) + u 2 (a) r 2 (a) + u 3 (a) r 3 (a) = u 1 (b) r 1 (b) + u 2 (b) r 2 (b) + u 3 (b) r 3 (b) (1.8.3) Bu çözüştürelere göre, D a r ve D b r türevleri şöyle ifade edilir. D a r = u (a) 1 r 1 (a) + u (a) 2 r 2 (a) + u (a) (a) 3 r 3 D b r = u (b) 1 r 1 (b) + u (b) 2 r 2 (b) + u (b) (b) 3 r 3 (1.8.4) (1.8.5) (1.8.4) ve (1.8.5) denklelerine göre, r vektörünün ve türevlerinin F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki atris gösterileri şöyle ilişkilendirilir. [r] (a) = r (a) = [ [r] (b) = r (b) = [ r 1 (a) r 2 (a) r 3 (a) r 1 (b) r 2 (b) r 3 (b) (a) r 1 (a) ] [D a r] (a) = r (a) = [ r 2 ] [D b r] (b) = r (b) = [ r 2 (a) r 3 (b) r 1 (b) (b) r 3 ] (1.8.6) ] (1.8.7) Dikkat edilirse, (1.8.6) ve (1.8.7) denkleleri, çözüştüre ve türev ala eksen takıları aynı ise geçerlidir. Ne var ki, çözüştüre ve türev ala eksen takılarının her zaan aynı olaları gerekez. Böyle bir duruda, aşağıdaki denkleler yazılabilir. [D b r] (a) = C (a,b) [D b r] (b) = C (a,b) r (b) (1.8.8) [D a r] (b) = C (b,a) [D a r] (a) = C (b,a) r (a) (1.8.9) (1.8.8) ve (1.8.9) denklelerinin herbirinde, türev ala eksen takıı, birinde F b diğerinde F a olak üzere, aynıdır. Bununla birlikte, söz konusu denklelerle, türev alındıktan sonra ortaya çıkan vektörün farklı iki eksen takıındaki atris gösterileri ilişkilendiriliştir. RDK M. Keal Özgören

26 Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal Hız Tanıı Bir r vektörünün F a (A) ve F b (B) gibi birbirlerine göre açısal olarak farklı hareket eden iki eksen takıına göre alınan türevleri, "Coriolis Teorei" ya da "Transport Teorei" olarak bilinen teore sayesinde ilişkilendirilir. Bu teore şöyle ifade edilir. D a r = D b r + ω b/a r (1.8.10) (1.8.10) denkleindeki ω b/a vektörü, F b (B)'nin F a (A)'ya göre bağıl açısal hızı olarak tanılanır. Aynı denkleden, sol tarafın F a (A)'daki, sağ tarafın ise F b (B)'deki atris gösterileri kullanılarak aşağıdaki atris denklei elde edilir. r (a) = C (a,b) [r (b) + ω b/a (b) r (b) ] (1.8.11) (1.8.11) denklei, türev aladan önce yazılan aşağıdaki dönüşü denkleinden yola çıkılarak da elde edilebilir. r (a) = C (a,b) r (b) (1.8.12) (1.8.12) denkleinin taraf tarafa alınan türevi, aşağıdaki denklei verir. r (a) = C (a,b) r (b) + C (a,b) r (b) = C (a,b) [r (b) + C (b,a) C (a,b) r (b) ] (1.8.13) (1.8.11) ve (1.8.13) denkleleri karşılaştırılınca, iki eksen takıı arasındaki bağıl açısal hızı, iki eksen takıı arasındaki bağıl yöneli atrisiyle (yani dönüşü atrisiyle) ilişkilendiren aşağıdaki denkle elde edilir. ω b/a (b) = C (b,a) C (a,b) ω b/a (b) = ds[c (b,a) C (a,b) ] (1.8.14) (1.8.14) denkleinden de, ω b/a (a) = as[ω b/a (a) ] = as[c (a,b) ω b/a (b) ] = C (a,b) ω b/a (b) (b,a) C biçiinde ifade edilen bağıntılar dizisi kullanılarak aşağıdaki denkle elde edilebilir. ω b/a (a) = C (a,b) C (b,a) ω b/a (a) = ds[c (a,b) C (b,a) ] (1.8.15) Hatırlatak gerekirse, (1.8.14) ve (1.8.15) denklelerinde kullanılış olan "ds" (dikeysıra atrisi) işleci, daha önce Kısı 1.3'te tanıtılan "as" (antisietrik atris) işlecinin tersidir. Yani, ds = as 1. Buradan çıkartılan sonuca göre de, C (b,a) C (a,b) ve C (a,b) C (b,a) atrisleri, birer antisietrik atris olaktadırlar. Eğer r vektörünün türevleri, birbirlerinden farklı açısal hareketleri olan üç eksen takıına göre alınırsa, (1.8.10) denklei, şu üç şekilde yazılabilir. D a r = D b r + ω b/a r (1.8.16) D b r = D c r + ω c/b r (1.8.17) D a r = D c r + ω c/a r (1.8.18) Yukarıdaki üç denkleden şu sonuç çıkar. ω c/a = ω c/b + ω b/a (1.8.19) RDK M. Keal Özgören

27 (1.8.19) denklei, bağıl açısal hızların bileşkesinin yalnızca toplaa yoluyla elde edilebileceğini gösterektedir. Oysa, daha önce de görüldüğü gibi, bağıl yöneli atrislerinin bileşkesi, yalnızca çarpı yoluyla elde edilektedir. Şöyle ki, C (a,c) = C (a,b) C (b,c) (1.8.20) Bir Vektörün Farklı Eksen Takılarına Göre İkinci Türevlerinin Arasındaki İlişki ve Bağıl Açısal İve Tanıı Coriolis-Transport teorei uygulanarak bu kez de (1.8.10) denkleinin türevi, taraf tarafa aşağıdaki gösterildiği gibi alınabilir. D a 2 r = D a (D a r) = D a (D b r + ω b/a r) D a 2 r = D b (D b r + ω b/a r) + ω b/a (D b r + ω b/a r) D a 2 r = D b 2 r + ω b/a (D b r) + α b/a r + ω b/a (D b r + ω b/a r) D a 2 r = D b 2 r + 2ω b/a (D b r) + α b/a r + ω b/a (ω b/a r) (1.8.21) (1.8.21) denkleindeki α b/a vektörü, F b (B)'nin F a (A)'ya göre "bağıl açısal ivesi" olarak tanılanır ve iki eksen takıı arasındaki bağıl açısal hız vektöründen aşağıdaki türev ala işleiyle elde edilir. α b/a = D b ω b/a (1.8.22) Bununla birlikte, Coriolis-Transport teorei uyarınca ve ω b/a ω b/a = 0 olduğu için α b/a aşağıdaki türev ala işleiyle de elde edilebilir. α b/a = D a ω b/a (1.8.23) Ancak, dikkat etek gerekir ki, (1.8.22) ve (1.8.23) denkleleri, yalnızca F a (A) ile F b (B) eksen takıları için geçerlidir. Bir başka deyişle, ω b/a vektörünün üçüncü bir F c (C) eksen takıına göre alınan türevi, α b/a vektörünü verez. Bu duru kısaca şöyle ifade edilebilir. α b/a = D a ω b/a = D b ω b/a D c ω b/a (1.8.24) Yine Coriolis-Transport teoreine göre, D c ω b/a türevi doğrudan α b/a vektörünü verese de, α b/a vektörüyle aşağıda gösterilen biçilerde ilişkilidir. D c ω b/a = α b/a + ω a/c ω b/a = α b/a + ω b/c ω b/a (1.8.25) Öte yandan, daha önce, üç farklı eksen takıı söz konusu olduğunda, bağıl açısal hızların bileşkesinin yalnızca toplaa yoluyla elde edilebileceği görülüştü. Bu duru, (1.8.19) denkleiyle şöyle ifade edilişti. ω c/a = ω c/b + ω b/a (1.8.26) RDK M. Keal Özgören

28 (1.8.26) denkleinin türevi taraf tarafa F a (A) eksen takıına göre alınırsa, bağıl açısal ivelerin bileşkesi, aşağıda gösterilen biçide elde edilir. D a ω c/a = D a ω c/b + D a ω b/a α c/a = (D b ω c/b + ω b/a ω c/b ) + α b/a α c/a = α c/b + α b/a + ω b/a ω c/b (1.8.27) Görüldüğü gibi, bağıl açısal ivelerin bileşkesi yalnızca toplaa yoluyla elde edileeektedir. Bileşkeye ilgili bağıl açısal hızların çapraz çarpıından oluşan bir teri daha eklenektedir Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı ve İvesi Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre Hızı Şekil 1.4'e tekrar bakıldığında, bir P noktasının birbirine göre farklı hareket eden (ötelenen ve dönen) F a (A) ve F b (B) gibi iki eksen takıında gözlelenen bağıl konu vektörleri arasında aşağıdaki ilişkinin olduğu görülektedir. r AP = r AB + r BP (1.9.1) Eşdeğerli fakat farklı bir gösterile, (1.9.1) denklei, şöyle de yazılabilir. r P/A = r P/B + r B/A (1.9.2) (1.9.1) ve (1.9.2) denklelerindeki farklı gösteriler, ateatiksel olarak eşdeğerli olakla birlikte, sözel olarak farklı birer yorula şöyle ifade edilirler. r AB : A noktasından B noktasına doğru yöneltiliş konu vektörü. r B/A : B noktasının A noktasına göre bağıl konu vektörü. P noktasının F a (A) ve F b (B) eksen takılarında gözlelenen bağıl hızları arasındaki ilişkiyi elde etek üzere, (1.9.2) denkleinin eksen takılarından birine göre, örneğin F a (A)'ya göre, taraf tarafa türevi alınırsa, aşağıdaki denkle ortaya çıkar. D a r P/A = D a r P/B + D a r B/A (1.9.3) (1.9.3) denkleindeki teriler, aşağıdaki gibi gösterilebilen genel bir hız tanıına yol açar. v P/B/Fa = D a r P/B (1.9.4) (1.9.4) denklei ile tanılanan hız vektörü, şöyle adlandırılır: P noktasının B noktasına göre F a (A) eksen takıına göre türev alınarak elde edilen bağıl hız vektörü. Dikkat edilirse, genel hız tanıı, aşağıda belirtilen üç teel unsura dayanaktadır. 1. Hızı istenen nokta: P 2. Referans noktası: B 3. Türev ala eksen takıı: F a (A) (1.9.4) denkleindeki gösteri kullanılarak (1.9.3) denklei şöyle yazılabilir. v P/A/Fa = v P/B/Fa + v B/A/Fa (1.9.5) RDK M. Keal Özgören

29 Ne var ki, F b (B) eksen takıını kullanan gözleci, gözlelediği noktaların hız vektörlerini de aynı eksen takıına göre oluşturak ister. Bu isteği karşılaak üzere, (1.9.5) denklei, Coriolis-Transport teorei kullanılarak şöyle de yazılabilir. v P/A/Fa = v P/B/Fb + ω b/a r P/B + v B/A/Fa (1.9.6) Bir Noktanın Farklı Eksen Takılarına Göre İvesi (1.9.4) denkleindeki genel hız tanıına benzer bir biçide genel ive tanıı da aşağıdaki gibi yapılabilir. a P/B/Fa = D a 2 r P/B (1.9.7) Görüldüğü gibi, genel ive tanıı da, aşağıda belirtilen üç teel unsura dayanaktadır. 1. İvesi istenen nokta: P 2. Referans noktası: B 3. Türev ala eksen takıı: F a (A) (1.9.7) denkleindeki gösteri kullanılarak (1.9.3) denklei, bir kez daha türevi alınarak şöyle yazılabilir. a P/A/Fa = a P/B/Fa + a B/A/Fa (1.9.8) Hız denkleinde olduğu gibi, F b (B) eksen takıını kullanan gözleci, gözlelediği noktaların ive vektörlerini de yine aynı eksen takıına göre oluşturak ister. Bu isteği karşılaak üzere, (1.9.8) denklei, Coriolis-Transport teorei kullanılarak şöyle de yazılabilir. a P/A/Fa = a P/B/Fb + 2ω b/a v P/B/Fb + α b/a r P/B + ω b/a (ω b/a r P/B ) + a B/A/Fa (1.9.9) (1.9.9) denkleindeki terilerden ikisi, birinci türevlerden oluşuştur. Bu teriler, aşağıdaki özel adlarla anılırlar. Coriolis İvesi: 2ω b/a v P/B/Fb (1.9.10) Merkezcil İve: ω b/a (ω b/a r P/B ) (1.9.11) Gösterii Basitleştiriliş Bağıl Hız ve İve İfadeleri Eğer kineatik incelee süresince yalnızca F a (A) ve F b (B) gibi iki eksen takıı kullanılıyorsa, yukarıdaki ayrıntılı gösteri yerine, aşağıdaki basitleştiriliş gösteri de kullanılabilir. r P/A = r, r P/B = r, r B/A = r (1.9.12) v P/A/Fa = v, v P/B/Fb = v, v B/A/Fa = v (1.9.13) a P/A/Fa = a, a P/B/Fb = a, a B/A/Fa = a (1.9.14) ω b/a = ω, α b/a = α (1.9.15) RDK M. Keal Özgören

30 Yukarıdaki basitleştiriliş gösteri kullanılarak konu, hız, ve ive denkleleri, aşağıdaki sade görünüleriyle yazılabilir. r = r + r (1.9.16) v = v + ω r + v (1.9.17) a = a + 2ω v + α r + ω (ω r ) + a (1.9.18) (1.9.16,17,18) denklelerini, terilerin yerine göre F a (A) ve F b (B) eksen takılarındaki atris gösterilerini kullanarak da yazak ükündür. Bu aaçla,{r, v, a} ve {r, v, a } üçlülerinin F a (A)'daki üstyazıtsız atris gösterileri ile {r, v, a, ω, α} beşlisinin F b (B)'deki üstyazıtsız atris gösterileri, C = C (a,b) dönüşü atrisi eşliğinde kullanılabilir. Bu şekilde yazılan denkleler, aşağıda gösteriliştir. r = C r + r (1.9.19) v = C (v + ω r ) + v (1.9.20) a = C [a + 2ω v + (α + ω 2)r ] + a (1.9.21) (1.9.21) denkleinde şu husus dikkat çekicidir: α ve ω vektörlerine F b (B) eksen takıında karşılık gelen α ve ω atrisleri kullanıldığında, α ile ω 2 birbiriyle toplanabilir teriler haline gelektedir. RDK M. Keal Özgören

31 BÖLÜM 2 İKİNCİ MERTEBEDEN TENSÖRLER: DİYADİKLER 2.1. Diyadiklerin Tanıı ve Kullanı Yerleri Bir diyat, ya da bir teel diyadik, iki vektörün yanyana getirilesiyle oluşturulur. Şöyle ki, Δ = pq (2.1.1) Yukarıdaki diyat oluşuunda, p vektörü, öncül vektör (anterior vector); q vektörü ise, artçıl vektör (posterior vector) olarak adlandırılır. Bir diyadik ise, birden çok diyadın bir doğrusal bileşii biçiinde oluşturulur. Şöyle ki, n n D = k=1 d k Δ k = k=1 d k p k q k (2.1.2) Bir diyadiğin eşleniği (conjugate of a dyadic), o diyadiği oluşturan öncül ve artçıl vektörlerin yerleri değiştirilerek elde edilir. Şöyle ki, Δ = conj(δ ) = conj(pq) = qp (2.1.3) n D = conj(d ) = k=1 d k q k p k (2.1.4) Diyadikler, vektörlerin he yönlerini he de büyüklüklerini değiştirebilen işleçler (operatörler) olarak kullanılırlar. Diyadiklerin bu kullanıı, vektör işlelerinden olan nokta çarpı aracılığıyla gerçekleştirilir. Kineatik ve dinaik alanında kullanılan diyadikler aşağıda belirtiliştir. a) Döne ya da Döndüre Diyadiği: R Bu diyadik aracılığıyla bir vektör (p) döndürülerek bir başka vektör (r) elde edilir. Yani, r = R p (2.1.5) b) Atalet Diyadiği: J Bu diyadik aracılığıyla bir katı cisin açısal hız vektörü (ω ) ile açısal oentu vektörü (H ) ilişkilendirilir. Yani, H = J ω Tensör Terinolojisi: (2.1.6) Diyadikleri, vektörleri, hatta skalarları da kapsayan genel bir tensör terinolojisi uyarınca, diyadikler ikinci ertebeden tensörler; vektörler birinci ertebeden tensörler; skalarlar ise sıfırıncı ertebeden tensörler olarak da adlandırılırlar. Bununla birlikte, skalarların ve vektörlerin ikinci bir adlandıraya pek ihtiyaçları oladığı için, tensör terii tek başına kullanıldığında genel olarak ikinci ertebeden bir tensör, yani bir diyadik anlaşılır. Diğer bir deyişle, çoğu kez, atalet diyadiği yerine atalet tensörü, döne diyadiği yerine de döne tensörü terileri kullanılabilektedir. RDK M. Keal Özgören

32 2.2. Diyadiklerle Yapılan İşleler Diyadikler vektörlerden oluştuğu için vektörlere uygulanan nokta çarpı ve çapraz çarpı işleleri, diyadiklere de uygulanabilir. Bu işlelerin diyadiklere uygulanışı aşağıda gösteriliştir Nokta Çarpı Bir diyadikle bir vektörün nokta çarpıı, diyadiğin önden ya da arkadan çarpılasına göre farklı bir vektör verir. Bu duru aşağıda gösteriliştir. n n n k=1 D r = ( k=1 d k p k q k ) r = k=1 d k p k (q k r) = [d k (q k r)]p k n D r = k=1 b k p k = x (2.2.1) b k = d k (q k r) n n n r D = r ( k=1 d k p k q k ) = k=1 d k (r p k )q k = [d k (r p k )]q k n k=1 r D = k=1 c k q k = y (2.2.2) c k = d k (r p k ) Benzer biçide gösterilebilir ki, n D r = r D = k=1 c k q k = y (2.2.3) n r D = D r = k=1 b k p k = x (2.2.4) Eğer D = D ise, böyle bir diyadiğe sietrik diyadik denir. Genel bir sietrik diyadik, aşağıda gösterilen biçide ifade edilebilir. n D = D = k=1 d k p k p k + k=1 c k (q k r k + r k q k ) (2.2.5) Öte yandan, iki diyadiğin nokta çarpıı, aşağıda gösterildiği gibi, yine bir diyadik verir. n n i=1 D E = ( i=1 d i p i q i ) ( j=1 e j r j s j ) = j=1 d i e j p i (q i r j )s j n n D E = i=1 j=1[d i e j (q i r j )]p i s j = i=1 j=1 f ij p i s j = F (2.2.6) f ij = d i e j (q i r j ) Çapraz Çarpı Bir diyadikle bir vektörün çapraz çarpıı, diyadiğin önden ya da arkadan çarpılasına göre farklı bir diyadik verir. Bu duru aşağıda gösteriliştir. n D r = ( k=1 d k p k q k ) r = d k p k (q k r) n n k=1 D r = k=1 d k p k x k = E (2.2.7) n n r D = r ( k=1 d k p k q k ) = k=1 d k (r p k )q k n r D = k=1 d k y k q k = F (2.2.8) İki diyadiğin çarpraz çarpıı ise, bir triyadik (yani üçüncü ertebeden bir tensör) verir. Ancak, triyadikler noral olarak dinaik siste çalışalarında pek görülezler. RDK M. Keal Özgören

33 2.3. Diyadiklerin Bir Eksen Takıındaki Matris Gösterileri Bir diyadik, seçilen bir F a eksen takıında şöyle çözüştürülür. 3 3 (a) D = i=1 j=1 D ij u i (a) u j (a) (2.3.1) (2.3.1) denkleinde, D diyadiği, F a eksen takıının teel vektörlerinden oluşan diyatların doğrusal bileşii olarak ifade ediliştir. Bu ifadede yer alan D (a) ij, D diyadiğinin F a eksen takıındaki i-j bileşenidir ve ikili nokta çarpı işleiyle şöyle elde edilir. D (a) ij = u (a) (a) i D u j (2.3.2) D diyadiğinin yukarıdaki bileşenleri kullanılarak aşağıda gösterilen biçide bir kare atris oluşturulabilir. D (a) = [ (a) D 11 (a) D 21 (a) D 31 (a) D 12 (a) D 22 (a) D 32 (a) D 13 (a) D 23 (a) D 33 ] (2.3.3) Yukarıda oluşturulan D (a) kare atrisi, D diyadiğinin F a eksen takıınındaki atris gösterii olarak tanılanır. Bu atris için aşağıdaki gösteri biçileri de kullanılabilir. D (a) = [D ] (a) = [D ] Fa (2.3.4) Eğer Δ = pq gibi bir diyat söz konusuysa, bu diyadın F a eksen takıınındaki bileşenleri ve atris gösterii şöyle elde edilir. Δ (a) ij = u (a) (a) (a) (a) i Δ u j = u i pq u j Δ (a) (a) (a) ij = [u i p][q u j ] = (a) (a) pi q j (2.3.5) p (a) (a) 1 q 1 Δ (a) = [Δ ] (a) = [ p (a) (a) 2 q 1 p (a) (a) 3 q 1 p 1 (a) q 2 (a) p 2 (a) q 2 (a) p 3 (a) q 2 (a) p (a) (a) 1 q 3 p (a) (a) 2 q 3 ] (2.3.6) p (a) (a) 3 q 3 Dikkat edilirse, Δ (a), aşağıda olduğu gibi iki çarpana ayrıştırılarak daha derleşik bir biçide, yani p (a) ile q (a) dikeysıra atrislerinin dış çarpıı biçiinde de ifade edilebilir. Δ (a) = [ p 1 (a) p 2 (a) p 3 (a) ] [q 1 (a) q 2 (a) q 3 (a) ] = p (a) q (a)t (2.3.7) (2.3.7) denklei, (2.1.2) denkleiyle ifade edilen bir genel diyadik için şu şekli alır. n (a) (a)t q k D (a) = k=1 d k p k (2.3.8) Öte yandan, Bölü 1'de de belirtildiği üzere, F a gibi bir eksen takıının teel biri vektörlerinin yine F a içinde ifade edilen atris gösterileri, teel dikeysıra atrisleridir. Yani, [u (a) k ] (a) = u k (a/a) = u k (2.3.9) RDK M. Keal Özgören

34 Bu özellik ve yanısıra (2.3.1), (2.3.7) ve (2.3.8) denkleleri kullanılarak D (a) atrisi şöyle de ifade edilebilir. 3 (a) D (a) = i=1 j=1 D ij 3 u i (a/a) u j (a/a)t 3 3 = i=1 j=1 D ij (a) u iu jt (2.3.10) 2.4. Diyadiklerin Farklı Eksen Takılarındaki Matris Gösterileri Aynı bir D diyadiği, F a ve F b gibi farklı iki eksen takıında şöyle çözüştürülür. 3 3 (a) D = i=1 j=1 D ij u (a) i u (a) j = i=1 j=1 D ij 3 3 (b) u i (b) u j (b) (2.4.1) (2.3.1) ve (2.3.11) denklelerine göre, D diyadiğinin F a ve F b eksen takıınlarındaki atris gösterileri, aşağıda gösterilen biçide ortaya çıkarlar. 3 D (a) = i=1 j=1 D ij 3 D (b) = i=1 j=1 D ij 3 3 (a) u iu jt (b) u iu jt (2.4.2) (2.4.3) Bununla birlikte, D (a) atrisi, D diyadiğinin F b eksen takıındaki çözüşüü kullanılarak şöyle de ifade edilebilir. 3 (b) D (a) = i=1 j=1 D ij 3 u i (b/a) (b/a)t u j (2.4.4) (b/a) Öte yandan, F a ve F b eksen takıınları arasındaki C (a,b) dönüşü atrisi kullanılarak u k için şu ifade yazılabilir. u k (b/a) = C (a,b) u k (b/b) = C (a,b) u k (2.4.5) (2.4.5) denklei yerine konunca, (2.4.4) denklei şu şekli alır. 3 (b) D (a) = i=1 j=1 D ij D (a) = C (a,b) [ j=1 D ij 3 C (a,b) u iu jt C (a,b)t 3 3 (b) i=1 u iu jt ]C (a,b)t (2.4.6) Bilindiği üzere, C (a,b)t = C (b,a). Ayrıca, görüldüğü üzere, yukarıdaki köşeli parantezin içi, (2.4.3) denkleine göre D (b) atrisine eşittir. Dolayısıyla, D (a) ile D (b) arasında aşağıdaki dönüşü denklei elde edilir. D (a) = C (a,b) D (b) C (b,a) (2.4.7) Bu arada, hatırlanacağı üzere, bir r vektörünün F a ve F b eksen takıınlarındaki dikeysıra atris gösterileri ise şöyle ilişkilendirilir. r (a) = C (a,b) r (b) (2.4.8) (2.4.8) ve (2.4.7) denklelerine göre, bir vektörün (yani, birinci ertebeden bir tensörün) iki eksen takıı arasındaki atris gösterilerini ilişkilendirek için dönüşü atrisi bir kez kullanılırken, bir diyadiğin (yani, ikinci ertebeden bir tensörün) iki eksen takıı arasındaki atris gösterilerini ilişkilendirek için dönüşü atrisi iki kez kullanılaktadır. RDK M. Keal Özgören

35 2.5. Vektör-Diyadik İşlelerine Karşılık Gelen Matris İşleleri Bir diyadikle bir vektörün nokta çarpıı, seçilen bir F a eksen takıında şöyle ifade edilir. q = D p 3 (a) i=1 q i u (a) 3 3 (a) i = [ i=1 j=1 D ij u (a) i u (a) 3 (a) j ][ k=1 p k u (a) k ] 3 i=1 u (a) i = j=1 k=1 D ij 3 q i (a) i=1 u (a) i = j=1 k=1 D ij 3 q i (a) i=1 u (a) i = [ j=1 D ij q i (a) 3 D (a) (a) ij p j (a) p (a) k u (a) i u (a) (a) i=1 j u k (a) p (a) k u (a) i=1 i δ jk 3 3 (a) (a) (a) i=1 p j ]u i q (a) i = j=1 (2.5.1) (2.5.1) denklei, aşağıdaki atris denkleinin elean ayrıntısıyla yazılış biçiidir. q (a) = D (a) p (a) (2.5.2) Benzer biçide yapılacak işlelerle, aşağıda özetlenen karşılıklı ifadeler elde edilebilir. q = D p = p D q (a) = D (a) p (a) (2.5.3) r = D p = p D r (a) = D (a)t p (a) (2.5.4) E = D p E (a) = D (a) p (a) (2.5.5) F = p D F (a) = p (a) D (a) (2.5.6) H = D G H (a) = D (a) G (a) (2.5.7) w = q D p w (a) = q (a) D (a) p (a) (2.5.8) s = q D p s = q (a)t D (a) p (a) (2.5.9) 2.6. Biri Diyadik ve Ters Diyadik Nokta çarpıla ilişkili olarak I sigesiyle gösterilen biri diyadik öylesine tanılanır ki, çarpıldığı vektörü ya da diyadiği değiştirez. Şöyle ki, I r = r I = r (2.6.1) I D = D I = D (2.6.2) Yukarıdaki vektör-diyadik denklelerine seçilen bir F a eksen takıında karşılık gelen atris denkleleri şunlardır. I (a) r (a) = r (a) I (a) = r (a) (2.6.3) I (a) D (a) = D (a) I (a) = D (a) (2.6.4) Yukarıdaki denklelere göre, I (a) atrisi, I ile gösterilen biri atrise eşittir. Yani, I (a) = I = u 1u 1t + u 2u 2t + u 3u 3t (2.6.5) RDK M. Keal Özgören

36 Bu arada, u k = u k (a/a) = [u (a) k ] (a) olduğu göz önüne alınırsa, (2.6.5) denkleinden biri diyadik için şu ifade elde edilir. I = u 1 (a) u 1 (a) + u 2 (a) u 2 (a) + u 3 (a) u 3 (a) (2.6.6) Öte yandan, F a rastgele seçiliş bir eksen takıı olduğu için (2.6.5) ve (2.6.6) denkleleri, doğal olarak bütün eksen takıları için geçerlidir. Diğer bir deyişle, biri diyadik bütün eksen takılarında biri atris olarak görünür ve bütün eksen takılarının teel vektörlerine aynı ifadeyle bağlıdır. Yani, I (a) = I (b) = = I (y) = I (z) = I (2.6.7) 3 I = u (a) (a) 3 k=1 k u k = u (b) (b) 3 k=1 k u k = = u (z) (z) k=1 k u k (2.6.8) Yine nokta çarpıla ilişkili olarak bir diyadiğin tersi, eğer deterinantı sıfır değilse, aşağıda görüldüğü gibi tanılanır. D D 1 = D 1 D = I (2.6.9) (2.6.9) denkleine herhangi bir F a eksen takıında karşı gelen atris denklei şudur. D (a) [D (a) ] 1 = [D (a) ] 1 D (a) = I (2.6.10) (2.6.9) ve (2.6.10) denkleleri, şu özelliği ia etektedirler: Bir diyadiğin deterinantı, o diyadiğin herhangi bir eksen takıındaki atris gösteriinin deterinantına eşittir. Yani, det(d ) = det[d (a) ] = det[d (b) ] = = det [D (z) ] (2.6.11) 2.7. Döne Diyadiği Bölü 1'den hatırlanacağı üzere, bir p vektörünün n biri vektörüyle tesil edilen bir eksen etrafında θ açısıyla dönesi sonucunda ortaya çıkan r vektörü, aşağıda tekrar yazılan Rodrigues forülüyle belirlenir. r = p cos θ + (n p) sin θ + n (n p)(1 cos θ) (2.7.1) Rodrigues forülündeki vektörel teriler, biri diyadik (I ) ve n n diyadı kullanılarak şöyle ifade edilebilir. p = I p (2.7.2) n p = n (I p) = (n I ) p (2.7.3) n (n p) = (n n ) p (2.7.4) Yukarıdaki üç denkle sayesinde, (2.7.1) denkleinin sağ tarafındaki ifade aşağıdaki iki çarpana ayrıştırılabilir. r = [I cos θ + (n I ) sin θ + (n n )(1 cos θ)] p (2.7.5) (2.7.5) denkleine dayanarak döne diyadiği (R ) şöyle tanılanır. R = R (n, θ) = I cos θ + (n I ) sin θ + (n n )(1 cos θ) (2.7.6) Böylece, döne işlei, kısaca şöyle ifade ediliş olur. r = R p (2.7.7) RDK M. Keal Özgören

37 (2.7.7) sayılı vektör-diyadik denklei, seçilen bir F a eksen takıında aşağıdaki atris denklei biçiinde yazılabilir. r (a) = R (a) p (a) (2.7.8) (2.7.8) denkleindeki R (a) atrisi, R döne diyadiğini F a eksen takıında tesil eden döne atrisidir. Biri diyadiğin her eksen takıında biri atrisle tesil edildiği göz önüne alınarak sözü edilen döne atrisi şöyle ifade edilir. R (a) = I cos θ + n (a) sin θ + n (a) n (a)t (1 cos θ) (2.7.9) Eğer döne işlei, seçilen F a eksen takıının koordinat eksenlerinden biri, örneğin u k (a) doğrultusundaki eksen etrafında yapılıyorsa, döne ekseni biri vektörü, n = u (a) k olur. Bu duruda, döne diyadiği, F a eksen takıına ait k-yinci teel döne diyadiği olarak şöyle ifade edilir. Dikkat edilirse, (a) R k (θ) = R (u (a) k, θ) = I cos θ + u (a) k I sin θ + u (a) k u (a) k (1 cos θ) (2.7.10) I = u 1 (a) u 1 (a) + u 2 (a) u 2 (a) + u 3 (a) u 3 (a) (2.7.11) Ayrıca, k {1, 2, 3} için, u 1 (a) I = u 3 (a) u 2 (a) u 2 (a) u 3 (a) u 2 (a) I = u 1 (a) u 3 (a) u 3 (a) u 1 (a) u 3 (a) I = u 2 (a) u 1 (a) u 1 (a) u 2 (a) (2.7.12) (2.7.13) (2.7.14) (2.7.11) (2.7.14) denkleleri kullanılınca, F a eksen takıına ait teel döne diyadikleri, aşağıdaki ifadelerle elde edilirler. R 1 (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (θ) = u 1 u 1 + [u 2 u 2 + u 3 u 3 ] cos θ + [u 3 (a) u 2 (a) u 2 (a) u 3 (a) ] sin θ (2.7.15) R 2 (a) (θ) = u (a) 2 u (a) 2 + [u (a) 3 u (a) 3 + u (a) 1 u (a) 1 ] cos θ + [u 1 (a) u 3 (a) u 3 (a) u 1 (a) ] sin θ (2.7.16) R 3 (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (θ) = u 3 u 3 + [u 1 u 1 + u 2 u 2 ] cos θ + [u 2 (a) u 1 (a) u 1 (a) u 2 (a) ] sin θ (2.7.17) F a eksen takıına ait teel döne diyadiklerinin yine F a eksen takıındaki atris gösterileri, teel döne atrisleri olarak tanılanır. Yukarıdaki denklelerden yola çıkarak ve k (a/a) {1, 2, 3} için u k = u k ve R k (a/a) (θ) = R k(θ) olduğu göz önüne alınarak teel döne atrisleri için aşağıdaki ifadeler elde edilir. RDK M. Keal Özgören

38 R 1(θ) = u 1u 1t + (u 2u 2t + u 3u 3t ) cos θ + (u 3u 2t u 2u 3t ) sin θ (2.7.18) R 2(θ) = u 2u 2t + (u 3u 3t + u 1u 1t ) cos θ + (u 1u 3t u 3u 1t ) sin θ (2.7.19) R 3(θ) = u 3u 3t + (u 1u 1t + u 2u 2t ) cos θ + (u 2u 1t u 1u 2t ) sin θ (2.7.20) Tabii, farklı bir ifade seçeneği olarak, teel döne atrisleri, (2.7.9) denkleine göre, aşağıdaki gibi de ifade edilebilirler. R 1(θ) = I cos θ + u 1 sin θ + u 1u 1t (1 cos θ) (2.7.21) R 2(θ) = I cos θ + u 2 sin θ + u 2u 2t (1 cos θ) (2.7.22) R 3(θ) = I cos θ + u 3 sin θ + u 3u 3t (1 cos θ) (2.7.23) RDK M. Keal Özgören

39 3.1. Bir Katı Cisin Atalet Özellikleri BÖLÜM 3 KATI CİSİMLER İÇİN TEMEL DİNAMİK Şekil 3.1 Bir Katı Cisi ve İlgili Eksen Takıları Şekil 3.1'de görülen katı cisi (B), F o (O) ile gösterilen ve ataletsel olduğu varsayılan bir eksen takıında gözlenektedir. F o (O) eksen takıının ataletsel olup oladığı ise, aşağıda açıklanan basit deneyle anlaşılabilir. Eğer F o (O) eksen takıı ataletsel ise, bu eksen takıına sabitlenen birbirine dik eksenli üç iveölçerin ve üç döneölçerin tüü sürekli sıfır değeri gösterir. Şekil 3.1'deki katı cise F b (C) ile gösterilen bir eksen takıı bağlanıştır. Bu eksen takıının orijini, genellikle, burada olduğu gibi, katı cisin kütle erkezi olan C noktasına yerleştirilir. Şekil 3.1'de katı cisin herhangi bir noktası P ile, katı cisin bu noktadaki bir parçacığının kütlesi ise d = ρdv ile gösteriliştir. Burada, ρ ve dv, sözü edilen parçacığın yoğunluğu ve hacidir. Tanı gereği, bir katı cisin noktaları arasındaki esafeler, katı cisi nasıl hareket ederse etsin, sabit kalır. Bu tanı uyarınca, gözlelenen katı cise ait P noktasının, katı cise bağlı olan F b (C) eksen takıına göre konuu zaanla değişez. Diğer bir değişle, x = r CP konu vektörü için aşağıda yazılan türev denklei, katı cisin her türlü hareketi için geçerliliğini korur. D b x = [dx/dt] Fb = 0 (3.1.1) Bir Katı Cisin Kütlesi Bir katı cisin (örneğin B'nin) kütlesi, aşağıdaki denkle kullanılarak bulunur. V = ρdv 0 x 3 x 2 x 1 = ρdx 1 dx 2 dx x x x 3 (3.1.2) (3.1.2) denkleinde, {x 1, x 2, x 3 } üçlüsü, x k = x k (b) kısaltasıyla, P noktasının F b (C) eksen takıındaki koordinatlarını, x k ve x k bu koordinatların alt ve üst sınırlarını, ρ = ρ(x 1, x 2, x 3 ) katı cisin P noktasındaki yoğunluğunu, V ise katı cisin hacını gösterektedir. RDK M. Keal Özgören

40 Bir Katı Cisin Kütle Merkezi Bir katı cisin (örneğin B'nin) kütle erkezinin (yani C noktasının) F o (O) eksen takıına göre konu vektörü, aşağıdaki denklele tanılanır. r C = 1 V r 0 PρdV (3.1.3) (3.1.3) denklei üzerinde, r P = r C + x olduğu göz önüne alınarak yapılan işlelerle, aşağıdaki sonuç elde edilir. r C = 1 V (r C + x)ρdv 0 r C = 1 r V C ρdv 0 V xρdv 0 = 0 = 1 V r 0 CρdV + 1 V xρdv V xρdv 0 = r C + 1 V xρdv 0 (3.1.4) (3.1.4) denklei, bir katı cisin kütlesinin kütle erkezi etrafında dengeli olarak dağıldığını gösterektedir Bir Katı Cisin Kütle Merkezi Etrafındaki Atalet Tensörü ve Atalet Matrisi Bir katı cisin (örneğin B'nin) kütle erkezi (yani C noktası) etrafındaki atalet tensörü ya da atalet diyadiği, aşağıdaki denklele tanılanır. V J C = J (C) = (x 2 I xx)ρdv 0 (3.1.5) (3.1.5) denkleinde, x 2 = x x = x x x 3 2. Aynı denkledeki I ise, biri tensördür. Bölü 2'de açıklandığı gibi, biri tensör, bütün eksen takılarının teel vektörleri cinsinden aynı forülle ifade edilir. Bu forül, katı cise bağlı F b (C) eksen takıı için şöyledir. I = u (b) 1 u (b) 1 + u (b) 2 u (b) 2 + u (b) 3 u (b) 3 3 = u (b) (b) k=1 k u k (3.1.6) Aynı eksen takıında, katı cisin atalet tensörü şöyle çözüştürülebilir. 3 3 J C = J (C) = J ij u (b) (b) i=1 j=1 i u j (3.1.7) (3.1.7) denkleindeki J ij sigesi, J C tensörünün F b (C) eksen takıındaki i-j bileşenini kısaca gösterek üzere kullanılıştır. Diğer bir deyişle, J ij şöyle tanılanıştır. J ij = J (b) ij (C) = J (b) Cij = u (b) (b) i J C u j (3.1.8) Katı cisin atalet tensörünün F b (C) eksen takıındaki bileşenleri kullanılarak katı cisin aynı eksen takıındaki atalet atrisi şöyle oluşturulur. J 11 J 12 J 13 J C (b) = [J C] (b) = [ J 21 J 22 J 23 ] (3.1.9) J 31 J 32 J 33 Atalet tensörünün bileşenleri, x 2 = x x x 3 2 olduğu göz önüne alınarak, i {1, 2, 3} ve j {1, 2, 3} için aşağıdaki gibi ifade edilebilir. RDK M. Keal Özgören

41 J ij = u (b) i J C u (b) V j = [x 2 u (b) i I u (b) j u (b) i xx u (b) j ]ρdv 0 V J ij = [(x x x 2 3 )δ ij x i x j ]ρdv 0 (3.1.10) (3.1.10) denkleindeki δ ij (Kronecker delta sigesi), daha önce de görüldüğü gibi, aşağıdaki denklele tanılanıştır. 1, i = j ise δ ij = { 0, i j ise (3.1.11) (3.1.10) ve (3.1.5) denklelerinden atalet tensörünün her bir bileşeni için aşağıdaki ifadeler elde edilir. V J 11 = (x x 2 3 )ρdv 0 V J 22 = (x x 2 1 )ρdv 0 V J 33 = (x x 2 2 )ρdv 0 V J 12 = J 21 = (x 1 x 2 )ρdv 0 V J 23 = J 32 = (x 2 x 3 )ρdv 0 V J 31 = J 13 = (x 3 x 1 )ρdv 0 (3.1.12) (3.1.13) (3.1.14) (3.1.15) (3.1.16) (3.1.17) Görüldüğü gibi, J ji = J ij olduğu için, atalet tensörü sietrik bir tensördür. Dolayısıyla, atalet atrisi de sietriktir. Atalet tensörünün bileşenleri, aşağıda belirtilen özel deyilerle anılırlar. a) Atalet Moentleri ya da Eksencil Atalet Terileri: J 11, J 22, J 33 b) Atalet Çarpısalları ya da Düzlecil Atalet Terileri: J 12, J 23, J Asal Eksen Takıları ve Asal Atalet Moentleri Bir katı cisin (örneğin B'nin) atalet tensörü, eğer B'nin asal eksen takılarından birinde, örneğin F p (C) eksen takıında, ifade edilirse, ortaya çıkan atalet atrisi köşegensel (diyagonal) olur. Bu atrisin yalnızca ana köşegen üzerinde yer alan eleanlarına "asal atalet oentleri" denir. F p (C) ve F b (C) sigeleriyle gösterilen asal ve kullanıdaki eksen takıları ile bu eksen takılarında ifade edilen atalet atrisleri arasındaki ilişkiler aşağıda açıklanıştır. Katı cisin J C atalet tensörünün F b (C) ve F p (C) eksen takılarındaki çözüşüleri, aşağıdaki denklee göre ilişkilidir. 3 3 J C = J ij u (b) (b) 3 i=1 j=1 i u j = J k u (p) (p) k=1 k u k (3.1.18) (3.1.18) denkleine göre, J C tensörü, F b (C) ve F p (C) eksen takılarında aşağıdaki atalet atrisleriyle ifade edilir. RDK M. Keal Özgören

42 J 11 J 12 J 13 [J C] (b) = J C (b) = J C = [ J 21 J 22 J 23 ] (3.1.19) J 31 J 32 J 33 J [J C] (p) = J C (p) = J C = [ 0 J 2 0 ] (3.1.20) 0 0 J 3 Yukarıdaki denklelerde şu tanılar kullanılıştır. J C = J C (b) : B cisinin kullanıdaki atalet atrisi J C = J C (p) : B cisinin asal atalet atrisi J k : u k (p) : B cisinin k-yinci asal atalet oenti B cisinin k-yinci asal eksenini belirleyen biri vektör (3.1.18) denkleine taraf tarafa u k (p) ile nokta çarpı işlei uygulanırsa, aşağıdaki denkle elde edilir. Not: Bu işle yapılırken indis karışıklığı olaası için (3.1.18) denkleinin en sağındaki toplaada k indisi yerine l indisi kullanılıştır. J C u (p) 3 k = J l u (p) l u (p) (p) 3 l=1 l u k = J l u (p) l=1 l δ lk Kronecker delta sigesinin varlığı nedeniyle yukarıdaki denkle, şu şekle indirgenir. J C u (p) k = J (p) k u k (3.1.21) (3.1.21) denklei, şöyle de yazılabilir. (J C J k I ) u k (p) = 0 (3.1.22) (3.1.21) ve (3.1.22) denklelerine göre, J k ve u k (p), J C tensörünün k-yinci özdeğeri ve ona karşılık gelen k-yinci özvektörü olaktadır. (3.1.22) sayılı vektör-diyadik denklei, F b (C) eksen takıında aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. (b) [J C I (b) Jk ]u k (p/b) = 0 (J C J k I )u k = 0 (3.1.23) (b) (3.1.23) denkleinde, J C = J C tanıı ile I (a) = I (b) = I (c) = = I ola özelliği kullanılıştır. Aynı denkledeki u k ise şöyle tanılanıştır. u k = u k (p/b) = [u (p) k ] (b) (3.1.24) (3.1.23) denkleine göre, asal atalet oentlerini bulak için aşağıdaki deterinant denklei k = 1, 2, 3 için çözülelidir. det(j C J k I ) = 0 (3.1.25) RDK M. Keal Özgören

43 Asal Eksenlerin ve Asal Atalet Moentlerinin Belirlenesi (3.1.25) ve (3.1.23) denkleleri, üç adet asal atalet oenti (J 1, J 2, J 3 ) ve üç adet asal eksenleri tesil eden dikeysıra atrisi (u 1, u 2, u 3 ) verir. Ne var ki, burada bir sıralaa sorunu ortaya çıkar. Şöyle ki, (3.1.25) denklei, asal atalet oentlerinin sayısal değerlerini verir aa hangisinin birinci, ikinci, ya da üçüncü olacağını söyleyeez. Dolayısıyla, (3.1.23) denklei de her bir asal atalet oentine karşılık gelen asal eksen doğrultusunu verir aa hangisinin birinci, ikinci, ya da üçüncü olacağını söyleyeez. Bununla birlikte, asal atalet oentleri için bir sıralaa seçilirse, asal eksenlerin sıralaası da doğal olarak belirleniş olur. Sıralaa seçii, genel olarak, aşağıda açıklanan iki değişik seçeneğe göre yapılaktadır. a) Küçükten Büyüğe Doğru Sıralaa Seçeneği: Bu seçeneğe göre, J 1 "küçük atalet oenti", J 2 "ortanca atalet oenti", J 3 ise "büyük atalet oenti" olarak adlandırılır. Yani, sıralaa şöyle yapılır. J 1 J 2 J 3 b) Asal Eksen Takıının Kullanıdaki Eksen Takıına En Yakın Olası Seçeneği: Bu seçeneğe göre, F p (C) eksen takıının teel vektörleri öylesine sıralanırlar ki, F b (C) eksen takıının teel vektörleri ile oluşturdukları birincil yöneli açıları en küçük olur. Diğer bir deyişle, aşağıdaki açıların en küçük olası sağlanır. θ 11 = [u 1 (b), u 1 (p) ], θ 22 = [u 2 (b), u 2 (p) ], θ 33 = [u 3 (b), u 3 (p) ] Örnek: Aynı Cisi için İki Farklı Asal Eksen Takıı Bir katı cisin atalet atrisi, kullanıdaki F b (C) eksen takıına göre şöyle veriliştir J C = [ ] (kg- 2 ) a) Asal atalet oentlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanası: Söz konusu katı cisin asal atalet oentleri küçükten büyüğe doğru sıralanırsa, asal atalet atrisi ile asal eksenleri tesil eden dikeysıra atrisleri şöyle belirlenir J C = [ 0 4 0] (kg- 2 ) u 1 = [ ], u 2 = [ ], u 3 = [ ] Bu belirleeye göre, F b (C) ile F p (C) eksen takıları arasındaki birincil yöneli açıları, aşağıdaki değerlerle ortaya çıkar. cos θ 11 = u 1t u 1 = θ 11 = 24.4 cos θ 22 = u 2t u 2 = θ 22 = cos θ 33 = u 3t u 3 = θ 33 = 70.5 RDK M. Keal Özgören

44 b) Asal atalet oentlerinin F b (C) ile F p (C) en yakın olacak biçide sıralanası: Söz konusu katı cisin asal atalet oentleri, F b (C) ile F p (C) eksen takıları arasındaki birincil yöneli açıları en küçük olacak biçide sıralanırsa, asal atalet atrisi ile asal eksenleri tesil eden dikeysıra atrisleri bu kez şöyle belirlenir J C = [ 0 6 0] (kg- 2 ) u 1 = [ ], u 2 = [ ], u 3 = [ ] Bu belirleeye göre ise, F b (C) ile F p (C) eksen takıları arasındaki birincil yöneli açıları, gerçekten de aşağıdaki en küçük değerleri alış olurlar. cos θ 11 = u 1t u 1 = θ 11 = 24.4 cos θ 22 = u 2t u 2 = θ 22 = 24.4 cos θ 33 = u 3t u 3 = θ 33 = Bileşik Katı Cisiler için Atalet Tensörünün Oluşturulası Şekil 3.2 Bir Bileşik Katı Cisi Bir çok katı cisi, atalet tensörü zaten bilinen ya da kolayca belirlenebilecek n sayıda katı cisin bileşii biçiinde odellenebilir. Şekil 3.2'de gösterilen böyle bir katı cisin kütlesi, kütle erkezi, ve kütle erkezi etrafındaki atalet tensörü, aşağıdaki gibi belirlenir. n = k=1 k (3.1.26) n r C = 1 k=1 kr k (3.1.27) r k = r Ck = r OCk (3.1.28) n J C = J (C) = k=1 J k(c) (3.1.29) RDK M. Keal Özgören

45 (3.1.29) denkleindeki J k(c) sigesi, bileşik katı cisin öğelerinden B k cisinin ortak kütle erkezi olan C noktası etrafındaki atalet tensörünü gösterektedir. Bu tensörün ifadesi şöyledir. J k(c) = V k 0 (x 2 CP I x CP x CP )ρ k dv (3.1.30) denkleindeki x CP konu vektörü şöyle ayrıştırılabilir. (3.1.30) x CP = x CCk + x Ck P = x k + x (3.1.31) Bunun üzerine, (3.1.30) denklei şöyle yazılabilir. J k(c) = V k 0 [(x k + x) (x k + x)i (x k + x)(x k + x)]ρ k dv J k(c) = V k 0 (x k x k + 2x k x + x x)i ρ k dv V k 0 (x k x k + x k x + xx k + xx)ρ k dv J k(c) = I x k 2 ( V k 0 x k x k ( x k ( V k 0 V k 0 V k 0 V k 0 ρ k dv) + 2I x k ( xρ k dv) + I ( x 2 ρ k dv) V k 0 ρ k dv) xxρ k dv V k 0 xρ k dv) ( xρ k dv)x k (3.1.32) (3.1.32) denkleindeki tülevlerden ikisi, (3.1.2) ve (3.1.4) denklelerine göre, aşağıdaki değerlere sahiptir. V k 0 V k 0 ρ k dv = k (3.1.33) xρ k dv = 0 Yukarıdaki eşitlikler kullanılınca, (3.1.32) denklei şu şekli alır. J k(c) = k (x k 2 I x k x k ) + V k 0 (x 2 I xx)ρ k dv (3.1.34) (3.1.35) (3.1.35) denkleindeki tülevli teri ise, (3.1.5) denklei uyarınca, B k cisinin kendi kütle erkezi etrafındaki atalet tensörüne eşittir. Yani, J k = V k 0 (x 2 I xx)ρ k dv (3.1.36) denkleinde şu kısalta kullanılıştır. (3.1.36) J k = J k(c k ) (3.1.37) (3.1.36) denklei kullanılınca, (3.1.35), (3.1.30) ve (3.1.29) denklelerinden aşağıdaki denkleler elde edilir. J k(c) = J k(c k ) + k (x k 2 I x k x k ) (3.1.38) n n J (C) = k=1 J k(c k ) + k=1 k (x 2 k I x k x k ) (3.1.39) Böylece, (3.1.29) ve (3.1.37) denklelerindeki kısaltalarla birlikte, bileşik cisin kütle erkezi etrafındaki atalet tensörü için aşağıdaki denkle elde ediliş olur. n n J C = k=1 J k + k=1 k (x 2 k I x k x k ) (3.1.40) RDK M. Keal Özgören

46 Örnek: Üç Tipik Katı Cisi ve Atalet Moentleri Burada, örnek olarak, üç tipik katı cisin atalet oentleri veriliştir. Her üç cisi için de kullanıldığı gösterilen eksen takıları aynı zaanda asal eksen takılarıdır. Yani, F p (C) = F b (C). Dolayısıyla, her üç cisin de kullanıdaki eksen takılarına göre yalnızca atalet oentleri (J 11 = J 1, J 22 = J 2, J 33 = J 3 ) vardır; atalet çarpısalları sıfırdır. Bu cisilerin yoğunluklarının kendi hacileri içinde sabit olduğu varsayılıştır. a) Dikdörtgenler Prizası: Şekil 3.3 Dikdörtgenler Prizası Şekil 3.3'te dikdörtgenler prizası biçiinde içi dolu bir katı cisi görülektedir. Boyutları, L 1, L 2, L 3 olan cisin atalet oentleri aşağıda veriliştir. J 1 = 1 12 (L L 3 2 ), J 2 = 1 12 (L L 1 2 ), J 3 = 1 12 (L L 2 2 ) (3.1.41) b) Dairesel Silindir: Şekil 3.4 Dairesel Silindir Şekil 3.4'te dairesel silindir biçiinde içi dolu bir katı cisi görülektedir. Boyu L, yarıçapı ise R olan bu cisin atalet oentleri aşağıda veriliştir. J 1 = J 2 = 1 12 (3R2 + L 2 ) (3.1.42) J 3 = 1 2 R2 (3.1.43) RDK M. Keal Özgören

47 c) Küre: Şekil 3.5 Küre Şekil 3.5'te küre biçiinde içi dolu bir katı cisi görülektedir. Yarıçapı R olan bu cisin atalet oentleri aşağıda veriliştir. J 1 = J 2 = J 3 = 2 5 R2 (3.1.44) Örnek: Bir Bileşik Katı Cisin Atalet Tensörü Şekil 3.6 İki Küre ve Bir Silindirsel Çubuktan Oluşan Bir Bileşik Katı Cisi Şekil 3.6'da iki küre ve ince bir silindirsel çubuktan oluşan bir katı cisi görülektedir. Kütlesi = olan bileşik katı cisin kütle erkezi, F b (C) eksen takıına göre aşağıdaki denklei sağlayacak biçide belirlenir. x C = 0 = 1 ( 1x x x 3 ) (3.1.45) Öğe cisilerin kütle erkezlerinin koordinatları arasında şu ilişkiler vardır. x 1 = x 3 (L R 1 ) (3.1.46) x 2 = x 3 + (L R 2 ) (3.1.47) (3.1.46) ve (3.1.47) denkleleri, (3.1.45) denkleinde yerine konduktan sonra yapılan işlelerle x 3 koordinatı şöyle elde edilir. 1 [x 3 (L R 1 )] + 2 [x 3 + (L R 2 )] + 3 x 3 = 0 x 3 = [( 1 2 )(L 3 2) + ( 1 R 1 2 R 2 )]/ (3.1.48) Böylece, (3.1.46) ve (3.1.47) denkleleri aracılığıyla x 1 ve x 2 koordinatları da bulunuş olur. RDK M. Keal Özgören

48 Bileşik cisin C noktası etrafındaki atalet tensörü ise şöyle bulunur. J C = J (C) = J 1(C 1 ) + J 2(C 2 ) + J 3(C 3 ) + 1 [x 1 2 I x 1 2 u 1 (b) u 1 (b) ] + 2 [x 2 2 I x 2 2 u 1 (b) u 1 (b) ] + 3 [x 3 2 I x 3 2 u 1 (b) u 1 (b) ] (3.1.49) (3.1.49) denkleinde yer alan J 1(C 1 ), J 2(C 2 ), ve J 3(C 3 ) atalet tensörleri, öğe cisiler için Kısı 3.1.8'deki örneklere bakılarak şöyle ifade edilebilir. J 1 = J 1(C 1 ) = 2 5 1R 1 2 [u 1 (b) u 1 (b) + u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] (3.1.50) J 2 = J 2(C 2 ) = 2 5 2R 2 2 [u 1 (b) u 1 (b) + u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] (3.1.51) J 3 = J 3(C 3 ) = L 3 2 [u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] (3.1.52) (3.1.52) denkleinde, R 3 0 olasının sağladığı yaklaşık ifade kullanılıştır. Öte yandan, biri tensör de şöyle ifade edilebilir. I = u 1 (b) u 1 (b) + u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) (3.1.53) (3.1.50) (3.1.53) denkleleri, (3.1.49) denkleinde yerine konunca, bileşik cisin atalet tensörü şöyle elde edilir. J C = 2 5 1R 1 2 [u 1 (b) u 1 (b) + u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] R 2 2 [u 1 (b) u 1 (b) + u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] L 3 2 [u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] + 3 x 3 2 [u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] + 1 x 1 2 [u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] + 2 x 2 2 [u 2 (b) u 2 (b) + u 3 (b) u 3 (b) ] J C = 2 5 ( 1R R 2 2 )u 1 (b) u 1 (b) +[ 2 5 ( 1R R 2 2 ) L x x x 3 2 ]u 2 (b) u 2 (b) +[ 2 5 ( 1R R 2 2 ) L x x x 3 2 ]u 3 (b) u 3 (b) (3.1.54) 3.2. Bir Katı Cise İlişkin Kuvvet-Moent ya da Newton-Euler Denkleleri Kuvvet Denklei ya da Newton Denklei Şekil 3.1'de görülen katı cisi için kuvvet denklei aşağıdaki gibi yazılabilir. a C = ΣF (3.2.1) (3.2.1) denkleindeki ΣF sigesi, katı cise etki eden topla kuvveti gösterektedir. Aynı denkledeki a C sigesi ise, katı cisin kütle erkezinin ataletsel olduğu varsayılan F o (O) eksen takıına göre tanılanış olan ivesini gösterektedir. Bu ive şöyle tanılanıştır. a C = a C/O/Fo = D o 2 r C/O = D o 2 r C = [d 2 r C /dt] Fo (3.2.2) (3.2.1) denklei, F o (O) ya da F b (C) eksen takılarında aşağıdaki atris denkleleri biçiinde de yazılabilir. RDK M. Keal Özgören

49 F o (O) eksen takıındaki atris denklei: a C (o) = ΣF (o) (3.2.3) F b (C) eksen takıındaki atris denklei: a C (b) = ΣF (b) (3.2.4) (3.2.3) ve (3.2.4) denklelerindeki dikeysıra atrisleri arasında, iki eksen takıı arasındaki dönüşü atrisi olan C (b,o) aracılığıyla ifade edilen aşağıdaki ilişkiler vardır. ΣF (b) = C (b,o) [ΣF (o) ] (3.2.5) a C (o) = r (o) C a C (b) = C (b,o) a C (o) = C (b,o) r (o) C (3.2.6) (3.2.7) Katı cisin kütle erkezinin koordinatları doğal olarak F o (O) eksen takıına göre belirtilir. Diğer bir deyişle, r C vektörü, F o (O) eksen takıında ifade edilir. Bu ifade kısaca şöyle gösterilebilir. 3 (o) r C = k=1 r k u k (3.2.8) (3.2.8) denkleinin F o (O) eksen takıındaki atris karşılığı şudur. r C (o) 3 (o/o) 3 = k=1 r k u k = k=1 r k u k (3.2.9) (3.2.9) denkleindeki u 1, u 2, u 3 sigeleri, Bölü 1'den hatırlanacağı üzere, aşağıdaki gibi tanılanış olan teel dikeysıra atrislerini gösterektedir u 1 = [ 0], u 2 = [ 1], u 3 = [ 0] (3.2.10) Yukarıdaki denklelere göre, a C ile a C (o) şöyle elde edilirler. a C = D 2 3 (o) o r C = k=1 r ku k (3.2.11) a C (o) = r (o) 3 C = k=1 r ku k (3.2.12) Moent Denklei ya da Euler Denklei Şekil 3.1'de görülen katı cisi için oent denklei, kütle erkezi olan C noktası etrafında, aşağıdaki gibi yazılabilir. D o H C = [dh C /dt] Fo = ΣM C (3.2.13) (3.2.13) denkleindeki ΣM C sigesi, katı cise C noktası etrafında etki eden topla oenti gösterektedir. Aynı denkledeki H C sigesi ise, katı cisin kütle erkezi etrafındaki açısal oentu vektörünü gösterektedir. Bu vektör şöyle tanılanıştır. H C = J C ω (3.2.14) RDK M. Keal Özgören

50 (3.2.14) denkleindeki J C katı cisin kütle erkezi etrafındaki atalet tensörüdür. Aynı denkledeki ω ise, katı cisin, yani F b (C) eksen takıının, F o (O) eksen takıına göre tanılanış olan açısal hız vektörüdür. Daha ayrıntılı bir gösterile, ω = ω b/o (3.2.15) Öte yandan, Kısı 3.1'de belirtildiği gibi, J C tensörü, F b (C) eksen takıında sabit bileşenlerle ifade edilir. Diğer bir deyişle, aşağıdaki ifadedeki J ij atalet terileri sabittir. Dolayısıyla, 3 3 J C = J ij u (b) (b) i=1 j=1 i u j (3.2.16) D b J C = [dj C/dt] Fb = 0 (3.2.17) Atalet tensörünün yukarıda belirtilen özelliğinden yaralanak aacıyla, Coriolis-Transport teorei kullanılarak (3.2.13) denklei şöyle yazılabilir. D o H C = D b H C + ω b/o H C = ΣM C (3.2.18) (3.2.14) ve (3.2.15) denkleleri yerine konunca, (3.2.18) denklei şu şekli alır. J C α + ω J C ω = ΣM C (3.2.19) Euler denklei olarak da anılan yukarıdaki oent denklei şöyle de yazılabilir. J C α = M Cg + ΣM C (3.2.20) (3.2.20) denkleindeki M Cg terii, jiroskopik oent olarak adlandırılır ve şöyle tanılanır. M Cg = ω J C ω (3.2.21) (3.2.19) ve (3.2.20) denklelerindeki α, katı cisin F o (O) eksen takıına göre tanılanan açısal ive vektörüdür. Ancak, Coriolis-Transport teorei sayesinde, ω = ω b/o vektörünün F b (C) eksen takıına göre türevi alınarak da elde edilebilektedir. Yani, α = α b/o = D o ω b/o = D b ω b/o = D b ω (3.2.22) Eğer (3.2.19) sayılı vektör denklei, atris denklei biçiinde yazılak istenirse, bu aaçla seçilebilecek en uygun eksen takıı F b (C) olur, çünkü J C tensörünün F b (C) eksen takıındaki atris gösterii sabittir. F b (C) seçilince, istenen atris denklei şöyle elde edilir. J C (b) α (b) + ω (b) J C (b) ω (b) (b) = ΣM C (3.2.23) Bu arada, (3.2.22) denkleine göre, α (b) = [D b ω ] (b) = ω (b) (3.2.24) Dolayısıyla, (3.2.23) denklei şöyle de yazılabilir. J C (b) ω (b) + ω (b) J C (b) ω (b) (b) = ΣM C (3.2.25) RDK M. Keal Özgören

51 Eğer katı cise bağlı eksen takıı asal bir eksen takııysa, yani F b (C) = F p (C) ise, (3.2.25) denklei, atrislerin eleanları görünecek biçide şöyle yazılabilir. J ω 1 0 ω 3 ω 2 J ΣM 1 [ 0 J 2 0 ] [ ω 2] + [ ω 3 0 ω 1 ] [ 0 J 2 0] [ ω 2 ] = [ ΣM 2 ] (3.2.26) 0 0 J 3 ω 3 ω 2 ω J 3 ω 3 ΣM 3 (3.2.26) denkleinden aşağıdaki skalar Euler denkleleri elde edilir. J 1 ω 1 + (J 3 J 2 )ω 2 ω 3 = ΣM 1 (3.2.27) J 2 ω 2 + (J 1 J 3 )ω 3 ω 1 = ΣM 2 (3.2.28) J 3 ω 3 + (J 2 J 1 )ω 1 ω 2 = ΣM 3 (3.2.29) Yukarıdaki denkleler şöyle de yazılabilir. ω 1 = τ 1 γ 1 ω 2 ω 3 (3.2.30) ω 2 = τ 2 + γ 2 ω 3 ω 1 (3.2.31) ω 3 = τ 3 γ 3 ω 1 ω 2 (3.2.32) Son yazılan denkleler, şu tanıları içerektedir. a) Birisiz Atalet Katsayıları: γ 1 = (J 3 J 2 )/J 1 (3.2.33) γ 2 = (J 3 J 1 )/J 2 (3.2.34) γ 3 = (J 2 J 1 )/J 3 (3.2.35) Not: Yukarıdaki katsayılar, J 1 J 2 J 3 olduğu varsayııyla, k = 1, 2, 3 için γ k 0 olacak biçide tanılanışlardır. b) Özgül Moentler: τ k = (ΣM k )/J k ; k = 1, 2, 3 (3.2.36) (3.2.27) (3.2.29) ya da (3.2.30) (3.2.32) denkle grupları, jiroskopik oent terilerinin, katı cisin asal eksenleri etrafındaki açısal hareketleri arasında genelde nasıl bir bağlaşıklık oluşturduğunu gösterektedir Açısal Hız Bileşenleri Sabit Olan Özel Döne Hareketleri Bir katı cisi, ataletsel sietri duruuna bağlı olarak, asal eksenleri etrafında sabit açısal hız bileşenleriyle döne hareketleri yapabilir. Bu tür özel döne hareketleri, üç farklı ataletsel sietri duruu için aşağıda inceleniştir. a) Ta Ataletsel Sietrik Katı Cisiler: Böyle bir katı cisin her üç atalet oenti birbirine eşittir. Yani, J 1 = J 2 = J 3 = J 0 (3.2.37) Dolayısıyla, skalar Euler denkleleri, aşağıda görüldüğü gibi, ayrışık hale gelir. ω 1 RDK M. Keal Özgören

52 J 0 ω 1 = ΣM 1 ω 1 = τ 1 (3.2.38) J 0 ω 2 = ΣM 2 ω 2 = τ 2 (3.2.39) J 0 ω 3 = ΣM 3 ω 3 = τ 3 (3.2.40) Yukarıdaki denklelere göre, söz konusu olan katı cisin kendine bağlı eksenlerden birinin etrafındaki açısal hareketi, yalnızca o eksen etrafında uygulanan bir oentle, kendine bağlı diğer iki eksen etrafındaki açısal hareketlerini etkileeden kontrol edilebilir. Aynı denklelere göre, eğer bu cise uygulanan net oent vektörü sıfırsa, yani ΣM 1 = ΣM 2 = ΣM 3 = 0 ise, bu cisi, açısal hız vektörü hiç değişeden sürekli dönebilir. a) Yarı Ataletsel Sietrik Katı Cisiler: Böyle bir katı cisin atalet oentlerinden ikisi, üçüncüden farklı olak üzere, birbirine eşittir. Böyle bir katı cisin asal eksenleri, üçüncü asal eksen sietri ekseni olacak biçide düzenlenebilir. Bu düzenleeye göre, cisin atalet oentleri, aşağıdaki gibi tanılanıp gösterilebilir. J 1 = J 2 = J n J 3 = J s (3.2.41) Böyle bir katı cisi için genel skalar Euler denkleleri, aşağıdaki özel biçilere dönüşür. J n ω 1 + (J s J n )ω 3 ω 2 = ΣM 1 (3.2.42) J n ω 2 + (J n J s )ω 3 ω 1 + ΣM 2 (3.2.43) J s ω 3 = ΣM 3 (3.2.44) Yukarıdaki denkleler şöyle de yazılabilir. ω 1 = τ 1 γω 3 ω 2 (3.2.45) ω 2 = τ 2 + γω 3 ω 1 (3.2.46) ω 3 = τ 3 (3.2.47) (3.2.45) ve (3.2.46) denklelerindeki γ paraetresi şöyle tanılanıştır. γ = (J s J n )/J n = (J s /J n ) 1 (3.2.48) (3.2.45) (3.2.47) denklelerine göre, söz konusu cisin sietri ekseni etrafındaki açısal hareketi, diğer iki eksen etrafındaki açısal hareketlerinden bağısız olarak kontrol edilebilir. Bu cisin diğer iki eksen etrafındaki açısal hareketleri ise, γ paraetresinin varlığı nedeniyle birbirlerine bağlıdır. Söz konusu cisin açısal hız bileşenlerinin sıfırdan farklı fakat sabit olduğu bir hareket yapası ükündür. Ancak, böyle bir hareket, bu cise sietri ekseni etrafında sıfır net oent, diğer eksenleri etrafında ise sıfırdan farklı fakat sabit birer oent uygulanarak sağlanabilir. Böyle bir hareket esnasında (3.2.45) (3.2.47) denkleleri, aşağıdaki denklelere indirgenir. τ 3 = 0 ω 3 = sabit (3.2.49) τ 1 = +(γω 3 )ω 2 = +k 3 ω 2 (3.2.50) τ 2 = (γω 3 )ω 1 = k 3 ω 1 (3.2.51) RDK M. Keal Özgören

53 (3.2.50) ve (3.2.51) denklelerine göre, birinci eksen etrafında sabit bir açısal hız (ω 1 ) elde edebilek için ikinci eksen etrafında sabit bir özgül oent (τ 2 ) uygulaak gerekektedir. Benzer biçide, ikinci eksen etrafında sabit bir açısal hız (ω 2 ) elde edebilek için birinci eksen etrafında sabit bir özgül oent (τ 1 ) uygulaak gerekektedir. Bu olay, "jirasyon" olarak adlandırılır. Bu olaydaki çapraz ilişkiyi betileyen k 3 = γω 3 paraetresi ise, "jirasyon katsayısı" olarak tanılanır. Jirasyon olayı sayesinde bir topacın devrileden dönesi ya da bir etal paranın devrileden yuvarlanarak ilerleesi ükün olabilektedir. c) Ataletsel Sietrisi Olayan Katı Cisiler: (3.2.30) (3.2.32) denlelerine göre, ataletsel sietriye sahip olayan bir katı cisin asal eksenleri etrafında sabit açısal hız bileşenleriyle hareket edebilesi için, bu cise asal eksenleri etrafında aşağıdaki denkleleri sağlayan sabit özgül oentlerin uygulanası gerekir. τ 1 = +γ 1 ω 2 ω 3 (3.2.52) τ 2 = γ 2 ω 3 ω 1 (3.2.53) τ 3 = +γ 3 ω 1 ω 2 (3.2.54) Yukarıdaki denklelere göre, aşağıda belirtilen özel açısal hareket biçileri ortaya çıkabilir. (i) Eğer açısal hız bileşenlerinden biri sıfır, diğer ikisi sıfırdan farklıysa, aşağıdaki durular ortaya çıkar. Bu durular öyledir ki, sıfır olayan açısal hız bileşenleri, ancak, sıfır olan açısal hız bileşeninin ekseni etrafında uygulanan sıfırdan farklı tek bir özgül oent ile sağlanabilir. ω 3 = 0 τ 1 = τ 2 = 0, τ 3 = +γ 3 ω 1 ω 2 0 (3.2.55) ω 1 = 0 τ 2 = τ 3 = 0, τ 1 = +γ 1 ω 2 ω 3 0 (3.2.56) ω 2 = 0 τ 3 = τ 1 = 0, τ 2 = γ 2 ω 3 ω 1 0 (3.2.57) (ii) Eğer τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0 ve açısal hız bileşenlerinden ikisi sıfır ise, üçüncü açısal hız bileşeni sıfırdan farklı olabilir. Ne var ki, böyle bir açısal hareket, {ω 1 0, ω 2 ω 3 0} ya da {ω 3 0, ω 1 ω 2 0} için kararlı olurken, {ω 2 0, ω 3 ω 1 0} için kararlı olaaz. Bunu görebilek için (3.2.30) (3.2.32) denkleleri, τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0 için şöyle yazılır. ω 1 = γ 1 ω 2 ω 3, ω 2 = +γ 2 ω 3 ω 1, ω 3 = γ 3 ω 1 ω 2 (3.2.58) (3.2.58) denkle grubundan ikili bileşilerle aşağıdaki denkleler elde edilebilir. γ 2 ω 1 ω 1 + γ 1 ω 2 ω 2 = 0 γ 2 ω γ 1 ω 2 2 = c 12 = sabit (3.2.59) γ 3 ω 2 ω 2 + γ 2 ω 3 ω 3 = 0 γ 3 ω γ 2 ω 3 2 = c 23 = sabit (3.2.60) γ 1 ω 3 ω 3 γ 3 ω 1 ω 1 = 0 γ 1 ω 3 2 γ 3 ω 1 2 = c 31 = sabit (3.2.61) (3.2.59) denkleine göre, ω 1 ve ω 2 bileşenleri, asal eksen takıının 1-2 düzleindeki bir elips üzerinde yer alır. Dolayısıyla, ω 1 ω 2 0 olduğu için, ω ω 3 u 3 yakınlığı deva eder. (3.2.60) denkleine göre, ω 2 ve ω 3 bileşenleri, asal eksen takıının 2-3 düzleindeki bir elips üzerinde yer alır. Dolayısıyla, ω 2 ω 3 0 olduğu için, ω ω 1 u 1 yakınlığı da deva eder. (3.2.61) denkleine göre ise, ω 3 ve ω 1 bileşenleri, asal eksen takıının 3-1 düzleindeki bir hiperbol üzerinde yer alır. Bu nedenle, ω 3 ve ω 1 hareketin başlangıcında küçük olsalar bile, küçük kalaazlar. Dolayısıyla, ω vektörü, başlangıçta yakın olduğu ω 2 u 2 vektöründen giderek uzaklaşır. Bu sonuca göre, bir katı cisin serbest (oent uygulaası olayan) döne hareketleri, atalet oentlerinin en küçük ve en büyük olduğu asal eksenler etrafında kararlı olabilirken atalet oentinin ortanca olduğu asal eksen etrafında kararlı olaaaktadır. RDK M. Keal Özgören

54 BÖLÜM 4 KATI CİSİM SİSTEMLERİNİN DİNAMİK ANALİZİ 4.1. Sistedeki Dinaik İlişkilerin Newton-Euler Denkleleriyle İfade Edilesi Sistedeki Cisilere Ait Newton-Euler Denkleleri Şekil 4.1 Bir Katı Cisi Sisteinin Tipik bir Öğesi Şekil 4.1'de bir katı cisi sisteinin tipik bir öğesi (B i ) görülektedir. Şekilde, B i cisinin B j ve B k gibi iki başka cisile etkileşi halinde olduğu gösteriliştir. Ancak, genelde, daha farklı sayıda cisile de etkileşi halinde olabilir. B i cisine ait çeşitli tanılaalar aşağıda veriliştir. i : B i cisinin kütlesi i g : B i cisinin ağırlığı C i : B i cisinin kütle erkezi J i = J i(c i ) : B i cisinin kendi kütle erkezi etrafındaki atalet tensörü Q ij : B i cisinin B j cisiyle etkileştiği teas noktası Not: Eğer B i ile B j arasında birden çok teas noktası varsa ve ekanikçe eşdeğerli tek noktalı teas odeli kullanılak isteniyorsa, teas noktaları, Q ij, Q ij, gibi sigelerle gösterilebilir. r ij : Q ij noktasının C i noktasına göre konu vektörü F ji : B j cisinin B i cisine Q ij noktasında uyguladığı etkileşi kuvveti M ji : B j cisinin B i cisine Q ij noktası etrafında uyguladığı etkileşi oenti RDK M. Keal Özgören

55 F i ext : B i cisine siste dışından C i noktasında uygulanan net kuvvet M i ext : B i cisine siste dışından C i noktası etrafında uygulanan net oent Dinaik analizi yapabilek için, sistedeki topla n = n + 1 adet katı cisiden biri (B 0 ) zein olarak tanılanır. Bu bölüde, zeinin F a (A) gibi bir ataletsel eksen takıına göre ya hareketsiz durduğu ya da yalnızca sabit bir ötelene hızıyla hareket ettiği varsayılaktadır. Bu varsayıa göre, zeine bağlanan F 0 (O) eksen takıı da ataletsel olaktadır. Zeine göre hareket edebilen katı cisilerin her biri için, örneğin B i cisi için, Newton-Euler denkleleri (ya da kuvvet ve oent denkleleri) aşağıdaki gibi yazılabilir. n i a i = i g + F ext i + j=0 F ji (4.1.1) J i α i + ω i J i ω i = M ext n i + j=0 (M ji + r ij F ji ) (4.1.2) (4.1.1) ve (4.1.2) denkleleri, i {1, 2,, n} için yazılıştır. Bu denklelerde, j = 0 duruu, B i cisinin zeinle (yani B 0 cisiyle) etkileşii varsa ortaya çıkar. Tabii, F ji ile M ji ancak B i ile B j cisileri arasında teas varsa sıfırdan farklı olur. Ayrıca, B i cisi doğal olarak kendisiyle etkileşeediği için F ii = 0 ve M ii = 0 olur. Öte yandan, Newton'un üçüncü yasasına göre, B i ile B j cisileri arasındaki etkileşiler, eşit büyüklüklü ve eşdoğrusal fakat zıt yönlüdür. Yani, F ij = F ji (4.1.3) M ij = M ji (4.1.4) Sistein hareketi zeine bağlı olan F 0 (O) eksen takıına göre ölçülendiği için (4.1.1) ve (4.1.2) denklelerindeki hareket gösteren vektörler şöyle tanılaıştır. ω i = ω i/0 : B i cisinin F 0 (O)'ya göre açısal hızı (4.1.5) α i = α i/0 : B i cisinin F 0 (O)'ya göre açısal ivesi (4.1.6) a i = a Ci /O/F 0 = D 0 2 r Ci /O : C i kütle erkezinin F 0 (O)'ya göre ivesi (4.1.7) Etkileşi Kuvvet ve Moentlerinin Ayrıntıları (4.1.1) ve (4.1.2) denklelerinde, B j cisinin B i cisi üzerindeki etkisini gösteren F ji kuvveti ile M ji oentinin bileşenleri, B i cisine uygulandıkları için doğal olarak F ij (O ij ) eksen takıında ifade edilirler. Bu eksen takıı, J ij ekleinin B i cisi üzerindeki E ij kineatik eleanına bağlanıştır. F ij (O ij ) ile F ji (O ji ) eksen takılarının yönelileri ve yerleşileri öylesine seçilir ki, E ji ile E ij kineatik eleanları arasındaki bağıl hareketin kineatik ifadesinin en basit olası sağlanır. Birbirleriyle anlık ya da sürekli olarak aynı konuu paylaşan Q ij ile Q ji teas noktaları ise, genelde, O ij ile O ji orijin noktalarından farklı yerlerde bulunurlar. RDK M. Keal Özgören

56 F ji kuvveti ile M ji oenti, F ij (O ij ) eksen takıında şöyle ifade edilebilir. 3 F (ij) (ij) jik u k F ji = k=1 (4.1.8) 3 M (ij) (ij) jik u k M ji = k=1 (4.1.9) J ij ekleinin tipine bağlı olarak F (ij) jik ve M (ij) jik bileşenleri, aşağıda belirtilen türlerden biriyle karakterize edilebilir. a) Yapısal (Strüktürel) Tepki Kuvveti Bu kuvvet, u k (ij) doğrultusunda ötelene serbestliği yoksa ortaya çıkar. Bu kuvvet, gerektiğinde, "str" üstyazıtıyla şöyle gösterilebilir. F (ij) str(ij) jik = F jik b) Yapısal (Strüktürel) Tepki Moenti (4.1.10) Bu oent, u (ij) k etrafında döne serbestliği yoksa ortaya çıkar. Bu oent, gerektiğinde, "str" üstyazıtıyla şöyle gösterilebilir. M (ij) str(ij) jik = M jik c) Bağıl Harekete Direnç (Rezistans) Kuvveti (4.1.11) Eğer u (ij) k doğrultusunda ötelene serbestliği varsa ve ekle dirençsizse, böyle bir kuvvet oluşaz. Fakat, eklede, bağıl yerdeğiştireye karşı bir esnee direnci ve/veya bağıl hıza karşı bir sürtüne direnci varsa, bir direnç kuvveti oluşur. Bu kuvvet, gerektiğinde, "res" üstyazıtıyla şöyle gösterilebilir. F (ij) jik = F res(ij) res(ij) jik = F jik (sjik, s jik) (4.1.12) (4.1.12) denkleinde, s jik sigesi, B i cisinin B j cisine göre u k (ij) doğrultusundaki bağıl ötelene yerdeğiştiresini gösterektedir. Eğer esnee direnci eklein kineatik eleanları arasına yerleştiriliş olan bir doğrusal yayla sağlanıyorsa, sürtüne direnci ise eklein kineatik eleanları arasındaki viskoz bir yağlayıcıdan kaynaklanıyorsa, (4.1.12) denklei şu şekli alır. F (ij) jik = F res(ij) jik = k jik (s jik s jik ) b jik s jik (4.1.13) (4.1.13) denkleinde, b jik doğrusal viskoz sönü katsayısını, k jik doğrusal yay katsayısını, s jik ise yayın serbest boyunu gösterektedir. d) Bağıl Harekete Direnç (Rezistans) Moenti Eğer u k (ij) etrafında döne serbestliği varsa ve ekle dirençsizse, böyle bir oent oluşaz. Fakat, eklede, bağıl yerdeğiştireye karşı bir esnee direnci ve/veya bağıl hıza karşı bir sürtüne direnci varsa, bir direnç oenti oluşur. Bu oent, gerektiğinde, "res" üstyazıtıyla şöyle gösterilebilir. M (ij) jik = M res(ij) res(ij) jik = M jik (θjik, θ jik) (4.1.14) RDK M. Keal Özgören

57 (4.1.14) denkleinde, θ jik sigesi, B i cisinin B j cisine göre u k (ij) etrafındaki bağıl döne yerdeğiştiresini gösterektedir. Eğer esnee direnci eklein kineatik eleanları arasına yerleştiriliş olan bir burgusal ya da spiral yayla sağlanıyorsa, sürtüne direnci ise eklein kineatik eleanları arasındaki viskoz bir yağlayıcıdan kaynaklanıyorsa, (4.1.14) denklei şu şekli alır. M (ij) jik = M jik res(ij) = κ jik (θ jik θ jik ) β jik θ jik (4.1.15) (4.1.15) denkleinde, β jik açısal viskoz sönü katsayısını, κ jik açısal yay katsayısını, θ jik ise yayın serbest açısal konuunu gösterektedir. e) Eyleti (Tahrik/Aktüasyon) Kuvveti Bu kuvvet, u k (ij) doğrultusunda ötelene serbestliği varsa ve bu serbestlik bir eyleticiyle kontrol ediliyorsa ortaya çıkar. Bu kuvvet, gerektiğinde, "act" üstyazıtıyla şöyle gösterilebilir. F (ij) act(ij) jik = F jik (4.1.16) f) Eyleti (Tahrik/Aktüasyon) Moenti Bu oent, u (ij) k etrafında döne serbestliği varsa ve bu serbestlik bir eyleticiyle kontrol ediliyorsa ortaya çıkar. Bu oent, gerektiğinde, "act" üstyazıtıyla şöyle gösterilebilir. M (ij) act(ij) jik = M jik (4.1.17) Ekle Örnekleri a) Döner Ekle Şekil 4.2 İki Cisi Arasındaki Döner Ekle RDK M. Keal Özgören

58 Şekil 4.2, birbirleriyle bir döner ekle (J ij = J ji ) aracılığıyla bağlanış iki cisi (B i ve B j ) gösterektedir. Bir döner eklede, genel olarak, u 3 (ij) = u 3 (ji) döne eksenini tesil etek üzere seçilir. Bu eksen etrafında tanılanan döne açılarından θ ij açısı, u 1 (ij) vektöründen u 1 (ji) vektörüne doğru; θ ji açısı ise, u 1 (ji) vektöründen u 1 (ij) vektörüne doğru ölçülür. Dikkat edilirse, bu iki açı arasında şu ilişki vardır: θ ij + θ ji = 2π. Bu döner eklee ilişkin biri vektörlerden u 1 (ij), C i O ij doğrultusunda; u 1 (ji) ise, C j O ji doğrultusunda seçilir. O ij ile O ji noktaları ise, döner eklein ekseni üzerinde, u (ij) (ij) 1 u 3 ve u (ji) (ji) 1 u 3 olacak biçide seçilirler. İki orijin arasında sabit olan d ji = O ji O ij ya da d ij = O ij O ji esafesi, döner ekledeki "kaçıklık" olarak adlandırılır. Bir döner eklede, eklein kineatik eleanlarının eklein erkezinde birbirlerine teas ettikleri varsayılır. Sürekli çakışık olan bu teas noktaları, Şekil 4.2'de Q ij ve Q ji sigeleriyle gösteriliştir. Bu örnekteki döner eklein eyletili ve sürtüneli olduğu fakat bir yayla desteklenediği varsayılıştır. Dolayısıyla, B i ile B j cisileri arasındaki etkileşi kuvvet ve oentleri şöyle ifade edilebilir. F ji = F (ij) ji1 u (ij) 1 + F (ij) ji2 u (ij) 2 + F (ij) (ij) ji3 u 3 (4.1.18) F ij = F (ji) ij1 u (ji) 1 + F (ji) ij2 u (ji) 2 + F (ji) (ji) ij3 u 3 M ji = M (ij) ji1 u (ij) 1 + M (ij) ji2 u (ij) (ij) 2 + (T ji β ji θ ji)u 3 M ij = M (ji) ij1 u (ji) 1 + M (ji) ij2 u (ji) (ji) 2 + (T ij β ij θ ij)u 3 (4.1.19) (4.1.20) (4.1.21) (4.1.18) (4.1.21) denklelerinde, döne ekseni etrafındaki oent bileşenleri hariç, diğer bütün kuvvet ve oent bileşenleri yapısal tepkileri yansıttığı için ayrıca "str" üstyazıtıyla belirtileişlerdir. (4.1.20) ve (4.1.21) denklelerindeki T ji ve T ij sigeleri, ekle eyleticisinin B i ile B j cisilerine uyguladığı eyleti torklarını gösterektedir. Aynı denklelerdeki β ji ve β ij sigeleri ise, açısal viskoz sürtüne katsayılarını gösterektedir. Tabii, bu katsayılar birbirine eşittir. Yani, β ji = β ij. Öte yandan, Newton'un üçüncü yasasına göre, etkileşi kuvvet ve oentleri arasında şu eşitlikler vardır: F ji = F ij ve M ji = M ij. Bu eşitliklerin ayrıntılı yazılış biçileri aşağıda gösteriliştir. (ij) (ij) (ij) (ij) F ji1 u 1 + Fji2 u 2 + (ij) (ij) Fji3 u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) = F ij1 u 1 Fij2 u 2 Fij3 u 3 (4.1.22) (ij) (ij) (ij) (ij) (ij) M ji1 u 1 + Mji2 u 2 + (Tji β ji θ ji)u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) = M ij1 u 1 Mij2 u 2 (Tij β ij θ ij)u 3 (4.1.23) RDK M. Keal Özgören

59 Bu arada, F ij (Q ij ) ile F ji (Q ji ) eksen takılarının teel vektörleri arasındaki ilişkiler, aşağıda açıklanan biçide elde edilebilir. (ij) [u k ] (ji) = C (ji,ij) (ij) [u k ] (ij) (ij/ji) u k = C (ji,ij) (ij/ij) u k = C (ji,ij) u k (4.1.24) F ij (Q ij ) ile F ji (Q ji ) arasındaki döne, u 3 (ij) = u 3 (ji) etrafında olduğuna göre, C (ji,ij) = e u 3θ ji (4.1.25) Böylece, k = {1, 2, 3} için şu ilişkiler elde edilir. (ij/ji) u 1 = e u 3θ ji u 1 = u 1 cos θ ji + u 2 sin θ ji u 1 (ij) = u 1 (ji) cos θ ji + u 2 (ji) sin θ ji (4.1.26) (ij/ji) u 2 = e u 3θ ji u 2 = u 2 cos θ ji u 1 sin θ ji u 2 (ij) = u 2 (ji) cos θ ji u 1 (ji) sin θ ji (4.1.27) (ij/ji) u 3 = e u 3θ ji u 3 = u 3 u 3 (ij) = u 3 (ji) (4.1.28) (4.1.26) (4.1.28) denkleleri, (4.1.22) ve (4.1.23) denklelerinde yerlerine konunca aşağıdaki denkleler elde edilir. (ij) (ji) (ji) (ij) (ji) F ji1 [u 1 cθji + u 2 sθji ] + F ji2 [u 2 cθji u (ji) 1 sθ ji ] + F (ij) (ji) ji3 u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) = F ij1 u 1 Fij2 u 2 Fij3 u 3 (4.1.29) (ij) M ji1 [u (ji) 1 cθ ji + u (ji) (ij) (ji) 2 sθ ji ] + M ji2 [u 2 cθji u (ji) (ji) 1 sθ ji ] + (T ji β ji θ ji)u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) = M ij1 u 1 Mij2 u 2 (Tij β ij θ ij)u 3 (4.1.30) Yukarıdaki denkleler taraf tarafa karşılaştırılınca, kuvvet ve oent bileşenleri arasında aşağıdaki ilişkiler ortaya çıkar. (ji) (ij) (ij) F ij1 = [Fji1 cos θji F ji2 sin θji ] (4.1.31) (ji) (ij) (ij) F ij2 = [Fji2 cos θji + F ji1 sin θji ] (4.1.32) (ji) (ij) F ij3 = Fji3 (4.1.33) (ji) (ij) (ij) M ij1 = [Mji1 cos θji M ji2 sin θji ] (4.1.34) (ji) (ij) (ij) M ij2 = [Mji2 cos θji + M ji1 sin θji ] (4.1.35) T ij β ij θ ij = (T ji β ji θ ji) (4.1.36) (4.1.36) denklei ise, β ji = β ij olduğu için, aşağıdaki zaten bilinen ilişkileri doğrulaaktadır. T ij = T ji (4.1.37) θ ij = θ ji (4.1.38) RDK M. Keal Özgören

60 b) Kayar Ekle Şekil 4.3 İki Cisi Arasındaki Kayar Ekle Şekil 4.3, birbirleriyle bir kayar ekle (J ij = J ji ) aracılığıyla bağlanış iki cisi (B i ve B j ) gösterektedir. Bir kayar eklede, genel olarak, u 3 (ij) = u 3 (ji) kaya eksenini tesil etek üzere seçilir. Bir kayar eklede, δ ij ve δ ji döne açıları sabittir. Bu açılardan δ ij açısı, u 1 (ij) vektöründen u 1 (ji) vektörüne doğru; δ ji açısı ise, u 1 (ji) vektöründen u 1 (ij) vektörüne doğru ölçülür. Bu iki açı arasında şu ilişki vardır: δ ij + δ ji = 2π. Bu eklee özgü olarak, s ji kaya esafesi, u 3 (ij) = u 3 (ji) ekseni üzerinde O ji orijininden O ij orijinine doğru; s ij kaya esafesi ise, tersine O ij orijininden O ji orijinine doğru ölçülür. Bir döner eklede olduğu gibi, u 1 (ij), C i O ij doğrultusunda; u 1 (ji) ise, C j O ji doğrultusunda seçilir. O ij ile O ji noktaları ise, kayar eklein ekseni üzerinde, u 1 (ij) u 3 (ij) ve u 1 (ji) u 3 (ji) olacak biçide seçilirler. Dinaik analizi kolaylaştırak için, çoğu kez, özellikle de kuru sürtünenin etkin oladığı durularda, kayar eklein kineatik eleanlarının Q ji ve Q ij gibi tek bir noktalarıyla birbirlerine teas ettikleri varsayılır. Şekil 4.3'te, kuşatıcı kineatik eleana ait olan Q ji teas noktası, bu eleanın sabit bir noktası (orta noktası) olarak alınıştır. Kayar kineatik eleana ait olan Q ij teas noktası ise, hareket esnasında bu elean üzerindeki yeri sürekli değişebilen geçici bir nokta olarak alınıştır. Yerine göre, teas noktaları için yapılan bu tercih, tersine de çevrilebilir. Bu örnekteki kayar eklein eyletisiz fakat sürtüneli olduğu ve şekilde gösterileiş olan bir yayla desteklendiği varsayılıştır. Böyle bir eklee örnek olarak bir aortisör gösterilebilir. Bu eklele bağlanan B i ile B j cisileri arasındaki etkileşi kuvvet ve oentleri aşağıda görüldüğü gibi ifade edilebilir. RDK M. Keal Özgören

61 F ji = F (ij) ji1 u (ij) 1 + F (ij) ji2 u (ij) 2 [k ji (s ji s (ij) ji ) + b ji s ji]u 3 F ij = F (ji) ij1 u (ji) 1 + F (ji) ij2 u (ji) 2 [k ij (s ij s (ji) ij ) + b ij s ij]u 3 M ji = M (ij) ji1 u (ij) 1 + M (ij) ji2 u (ij) 2 + M (ij) (ij) ji3 u 3 M ij = M (ji) ij1 u (ji) 1 + M (ji) ij2 u (ji) 2 + M (ji) (ji) ij3 u 3 (4.1.39) (4.1.40) (4.1.41) (4.1.42) (4.1.39) (4.1.42) denklelerinde, kaya ekseni doğrultusundaki kuvvet bileşenleri hariç, diğer bütün kuvvet ve oent bileşenleri yapısal tepkileri yansıttığı için ayrıca "str" üstyazıtıyla belirtileişlerdir. (4.1.39) ve (4.1.40) denklelerindeki k ji = k ij ve b ji = b ij katsayıları, eklei destekleyen yayın direngenliğini ve eklei yağlayan sıvının viskozitesini gösterektedir. Aynı denklelerdeki s ji ile s ij sigeleri ise, yayın serbest (yüksüz) boyunu gösterektedir. Öte yandan, Newton'un üçüncü yasasına göre, etkileşi kuvvet ve oentleri arasında şu eşitlikler vardır: F ji = F ij ve M ji = M ij. Bu eşitliklerin ayrıntılı yazılış biçileri aşağıda gösteriliştir. (ij) (ij) (ij) (ij) F ji1 u 1 + Fji2 u 2 [kji (s ji s (ij) ji ) + b ji s ji]u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) = F ij1 u 1 Fij2 u 2 [kij (s ij s (ji) ij ) + b ij s ij]u 3 (4.1.43) (ij) (ij) (ij) (ij) (ij) (ij) M ji1 u 1 + Mji2 u 2 + Mji3 u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) = M ij1 u 1 Mij2 u 2 Mij3 u 3 (4.1.44) Bu arada, F ij (Q ij ) ile F ji (Q ji ) eksen takılarının teel vektörleri arasındaki ilişkiler, aşağıda açıklanan biçide elde edilebilir. (ij) [u k ] (ji) = C (ji,ij) (ij) [u k ] (ij) (ij/ji) u k = C (ji,ij) (ij/ij) u k = C (ji,ij) u k (4.1.45) F ij (Q ij ) ile F ji (Q ji ) arasındaki sabit döne, u 3 (ij) = u 3 (ji) etrafında olduğuna göre, C (ji,ij) = e u 3δ ji (4.1.46) Böylece, döner ekledekine benzer bir biçide, k = {1, 2, 3} için şu ilişkiler elde edilir. u 1 (ij) = u 1 (ji) cos δ ji + u 2 (ji) sin δ ji (4.1.47) u 2 (ij) = u 2 (ji) cos δ ji u 1 (ji) sin δ ji (4.1.48) u 3 (ij) = u 3 (ji) (4.1.49) (4.1.47) (4.1.49) denkleleri, (4.1.43) ve (4.1.44) denklelerinde yerlerine konunca aşağıdaki denkleler elde edilir. RDK M. Keal Özgören

62 (ij) (ji) (ji) (ij) (ji) (ji) F ji1 [u 1 cδji + u 2 sδji ] + F ji2 [u 2 cδji u 1 sδji ] + [k ji (s ji s (ij) ji ) + b ji s ji]u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) = F ij1 u 1 Fij2 u 2 [kij (s ij s (ji) ij ) + b ij s ij]u 3 (4.1.50) (ij) M ji1 [u (ji) 1 cδ ji + u (ji) (ij) (ji) 2 sδ ji ] + M ji2 [u 2 cδji u (ji) (ij) (ji) 1 sδ ji ] + M ji3 u 3 (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) (ji) = M ij1 u 1 Mij2 u 2 Mij3 u 3 (4.1.51) Yukarıdaki denkleler taraf tarafa karşılaştırılınca, kuvvet ve oent bileşenleri arasında aşağıdaki ilişkiler ortaya çıkar. (ji) (ij) (ij) F ij1 = [Fji1 cos δji F ji2 sin δji ] (4.1.52) (ji) (ij) (ij) F ij2 = [Fji2 cos δji + F ji1 sin δji ] (4.1.53) [k ji (s ji s ji ) + b ji s ji] = [k ij (s ij s ij ) + b ij s ij] (4.1.54) (ji) (ij) (ij) M ij1 = [Mji1 cos δji M ji2 sin δji ] (4.1.55) (ji) (ij) (ij) M ij2 = [Mji2 cos δji + M ji1 sin δji ] (4.1.56) (ji) (ij) M ij3 = Mji3 (4.1.57) (4.1.54) denklei ise, k ji = k ij ve b ji = b ij olduğu için, aşağıdaki zaten bilinen ilişkileri doğrulaaktadır. (s ji s ji ) = (s ij s ij ) (4.1.58) s ij = s ji (4.1.59) 4.2. Sistein Hareket Denklei ile Devinisel ve Eyletisel Dinaik Analizleri Bir katı cisi sisteinin dinaik analizi, aşağıda belirtilen iki genel biçide yapılır. a) Devinisel Dinaik Analiz Bu analiz, belirtilen eyleti kuvvet ve/veya torkları için sistein hareketini (deviniini) belirleek aacıyla yapılır. Bu analiz esnasında, sistee dışardan etkiyen kuvvet ve oentlerin bilindiği ya da kestirilebildiği varsayılır. Bu analiz sayesinde, sistein çeşitli koşullardaki davranışlarının bilgisayar ortaında benzetii yapılabilir. b) Eyletisel Dinaik Analiz Bu analiz, sistein belirtilen bir hareketi yapabilesi için gereken eyleti kuvvet ve/veya torklarını belirleek aacıyla yapılır. Bu analiz esnasında da, sistee dışardan etkiyen kuvvet ve oentlerin bilindiği ya da kestirilebildiği varsayılır. Bu analiz sayesinde, sistein istenen bir hareketi yapabilesi için uygun eyleticilerin seçii ya da tasarıı yapılabilir. Yukarıda kısaca tarif edilen dinaik analizleri yapabilek için sistein hareket denkleine gereksini vardır. Hareket denkleini elde etek için gereken ayrıntılar ve eşitlikler ise, aşağıdaki kısılarda açıklanıştır. RDK M. Keal Özgören

63 Sistein Serbestlik Derecesi Bir katı cisi sisteinin serbestlik derecesi (), Kutzbach-Grübler forülü ile şöyle bulunur. = λn r (4.2.1) (4.2.1) forülünde, λ 1 r = k=1 (λ k)j k (4.2.2) (4.2.1) ve (4.2.2) denklelerinde görülen sigelerin anlaları aşağıda belirtiliştir. : sistein serbestlik derecesi λ : sistein çalışa uzayının serbestlik derecesi n : sistedeki zeine (B 0 cisine) göre hareket edebilen katı cisilerin sayısı r : sistedeki eklelerin neden olduğu serbestlik kısıtlaalarının topla sayısı j k : sistedeki bağıl serbestlik derecesi k olan eklelerin sayısı Kutzbach-Grübler forülündeki λ paraetresi, sistein çalışa uzayındaki bir katı cisin başka hiç bir katı cisile bağlantıya gireişken sahip olduğu serbestlik derecesi olarak tanılanır. Bu tanıa göre, λ paraetresi şu değerleri alır. Sistein çalışa uzayı iki boyutlu ise, yani siste düzlesel ise, λ = 3 Sistein çalışa uzayı üç boyutlu ise, yani siste uzaysal ise, λ = 6 Çalışa uzayının serbestlik derecesi (λ), bir katı cisin çalışa uzayındaki duruşunu (konuunu ve yöneliini) ta olarak belirten birbirinden bağısız paraetre sayısı olarak tanılanır. Bu tanıa göre, bir katı cisin iki boyutlu bir uzaydaki serbestlik derecesi üç olur, çünkü bu cisin duruşunu belirtek için gereken bağısız paraetre sayısı üçtür. Bu paraetreler, cisin bir noktasının iki koordinatı ve cisin yöneliini gösteren bir açıdır. Bir katı cisin üç boyutlu uzaydaki serbestlik derecesi ise altı olur, çünkü bu cisin duruşunu belirtek için gereken bağısız paraetre sayısı altıdır. Bu paraetreler, cisin bir noktasının üç koordinatı ve cisin yöneliini gösteren üç açıdır Genelleştiriliş Koordinatlar Eğer bir katı cisi sisteinin serbestlik derecesi ise, bu sistein zeine göre konuunu belirleek için adet birbirinden bağısız değişkene gereksini vardır. Bu değişkenlerden her biri "genelleştiriliş koordinat" olarak adlandırılır. Genelleştiriliş koordinatlar, geleneksel olarak aşağıdaki küede yer alan sigelerle gösterilir. {q 1, q 2, q 3,, q } (4.2.3) Genelleştiriliş koordinatlar, birbirinden bağısız olak koşuluyla, herhangi bir biçide seçilebilirler. Bu seçi, konuu önesenen noktaların koordinatlarını ve yönelii önesenen cisilerin yöneli açılarını kapsayabilir. Özel bir duru olakla birlikte, sistedeki adet eyletili eklee ait ekle değişkenlerinden her biri de genelleştiriliş koordinat olarak seçilebilir. Bu seçi benisendiği taktirde, eğer J ij eyletili bir döner eklese, bu eklee ait θ ij ya da θ ji değişkenlerinden biri geneleştiriliş koordinatlardan biri olarak seçilir. Benzer biçide, eğer J ij eyletili bir kayar eklese, bu eklee ait s ij ya da s ji değişkenlerinden biri geneleştiriliş koordinatlardan biri olarak seçilir. Burada sözü edilen iki döne açısından birinin ya da iki kaya değişkeninden birinin seçilesinin nedeni, bunların birbirlerine θ ij = 2π θ ji ve s ij = s ji olacak biçide bağılı olalarıdır. RDK M. Keal Özgören

64 Genelleştiriliş koordinatlar seçildikten sonra, sistedeki zeine göre hareket edebilen tü cisilerin döne ve ötelene hızları ile iveleri, genelleştiriliş koordinatlar (q 1, q 2,, q ), genelleştiriliş hızlar (q 1, q 2,, q ) ve genelleştiriliş iveler (q 1, q 2,, q ) cinsinden ifade edilebilir. Bu ifadeler, i {1, 2, 3,, n} için aşağıda gösterilen biçide yazılabilir. ω i = j=1 Ω ij q j (4.2.4) v i = j=1 V ij q j (4.2.5) α i = D 0 ω i = D i ω i = j=1 Ω ij q j + j=1 k=1 Γ ijk q jq k (4.2.6) a i = D 0 v i = D i v i + ω i v i = j=1 V ij q j + j=1 k=1 A ijk q jq k (4.2.7) Yukarıdaki denklelerde yer alan katsayı vektörleri (Ω ij, V ij, Γ ijk, A ijk ), "hız ve ive etki katsayıları" olarak adlandırılır. Bu katsayılar genelleştiriliş koordinatların işlevleridir. Örneğin, Ω ij = Ω ij (q 1, q 2, q 3,, q ). Yukarıda görüldüğü gibi, birinci ertebeden Ω ij ve V ij katsayıları, genelleştiriliş hızların sistedeki katı cisilerin döne ve ötelene hızları üzerindeki etkilerini gösterir. Aynı katsayılar, genelleştiriliş ivelerin söz konusu cisilerin döne ve ötelene iveleri üzerindeki etkilerini de gösterir. İkinci ertebeden Γ ijk ve A ijk katsayıları ise, genelleştiriliş hızların ikili çarpılarının söz konusu cisilerin döne ve ötelene iveleri üzerindeki etkileri gösterir. Γ ijk ve A ijk katsayıları, Ω ij ve V ij katsayılarından bu katsayıların ifade edildikleri eksen takılarına bağlı olak üzere, aşağıdaki kısi türevler içeren forüller kullanılarak elde edilirler. Γ ijk = 0 Ω ij / q k = i Ω ij / q k (4.2.8) A ijk = 0 V ij / q k = i V ij / q k + Ω ik V ij (4.2.9) Yukarıdaki 0 / q k ile i / q k sigeleri, F 0 (O 0 ) ile F i (C i ) eksen takılarına göre tanılanış kısi türev işleçleridir Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetleri Sistein serbestlik derecesinin olası, sistein istendiği gibi kontrol edilebilesi için en az adet bağısız (birbirinden bağısız çalışabilen) eyleticiye sahip olasını gerektirir. Bu eyleticiler tarafından uygulanan kuvvet ve torklardan her biri "genelleştiriliş eyleti kuvveti" olarak adlandırılır. Eyletisel artıksıllığı olayan bir siste, adet bağısız eyleticiye sahiptir. Böyle bir sistee ait olan genelleştiriliş eyleti kuvvetleri, aşağıdaki küede yer alan sigelerle gösterilebilir. RDK M. Keal Özgören {P 1, P 2, P 3,, P } (4.2.10) Daha önce de söylendiği gibi, eyletili bir ekle ancak bir döner ya da kayar ekle olabilir. Dolayısıyla, eğer J ij eyletili bir döner eklese, bu eklee ait eyleticinin kendisini paylaşan B i ve B j cisilerine uyguladığı T ji ve T ij torklarından biri, geneleştiriliş eyleti kuvvetlerinden biri olarak seçilir. Benzer biçide, eğer J ij eyletili bir kayar eklese, bu eklee ait eyleticinin kendisini paylaşan B i ve B j cisilerine uyguladığı F ji ve F ij kuvvetlerinden biri, geneleştiriliş eyleti kuvvetlerinden biri olarak seçilir. Burada sözü edilen iki torktan birinin ya da iki kuvvetten birinin seçilesinin nedeni, bunların birbirlerine T ij = T ji ve F ij = F ji olacak biçide bağılı olalarıdır.

65 Genelleştiriliş Yapısal Tepki Kuvvetleri Yapısal tepki kuvvet ve oentleri, ekleleri oluşturan kineatik elean çiftlerinin birbirlerine bağıl hareket serbestliği olayan yönlerde uyguladığı kuvvet ve oent bileşenleridir. Bu kuvvet ve oent bileşenleri, birlikte, "genelleştiriliş yapısal tepki kuvvetleri" olarak adlandırılır ve aşağıdaki küede yer alan sigelerle gösterilebilir. {R 1, R 2, R 3,, R r } (4.2.11) Aslında, yapısal tepki kuvvet ve oent bileşenlerinden her biri, örneğin R k, {R k, R k } biçiindeki bir etki-tepki çiftinin üyelerinden biridir Yeterince Kısıtlı ve Aşırı Kısıtlı Sisteler Bağıl serbestlik derecesi k olan bir eklede, k = λ k adet bağıl hareket serbestliği olayan birbirine dik yön vardır. Dolayısıyla, böyle bir eklede k adet genelleştiriliş yapısal tepki kuvveti oluşur. Bu nedenle, yeterince kısıtlı bir sistede, yani yeterli ve gerekli sayıda bağısız ekle kısıtlaası içeren bir sistede, genelleştiriliş yapısal tepki kuvvetlerinin sayısı olan r, ekle kısıtlaalarının serbestlik derecesini azalttığı sayıya eşittir. Diğer bir deyişle, (4.2.1) ve (4.2.2) denklelerinden de görülebileceği gibi, λ 1 r = k=1 (λ k)j k = λn (4.2.12) Bu bölüde yalnızca yeterince kısıtlı sistelere yer veriliştir. Bununla birlikte, özellikle uzaysal ekanik sisteler arasında, aşırı kısıtlı sistelere de rastlanaktadır. Kardan eklei, ya da diğer bir adıyla evrensel (üniversel) ekle, aşırı kısıtlı sistelerin tipik bir örneğidir. Aşırı kısıtlı bir sistede gereğinden fazla ekle kısıtlaası bulunur. Ancak, sistedeki bazı özel geoetrik biçileneler nedeniyle, ekle kısıtlaalarının bir kısı bağılı hale gelir ve serbestlik derecesini azalta yönündeki etkilerini yitirirler. Bu özel geoetrik biçileneler, değişik görünülerde olabilir. Tipik örnekler olarak, bazı ekle eksenlerinin paralel olası ya da tek bir noktada kesişesi gösterilebilir. Bağısız ekle kısıtlaalarının azalış olası nedeniyle, aşırı kısıtlı bir siste için (4.2.12) eşitliği, bir eşitsizliğe dönüşür. Şöyle ki, λ 1 r = k=1 (λ k)j k = λn f > λn a (4.2.13) (4.2.13) denkleindeki f sigesi, sistein forüler serbestlik derecesini; a sigesi ise, sistein gerçek serbestlik derecesini gösterektedir. Görüldüğü gibi, yeterince kısıtlı bir siste için f = a = iken, aşırı kısıtlı bir siste için f < a = olur. Bununla birlikte, bağılı ekle kısıtlaaları, sistein serbestlik derecesini azaltaasalar bile, yine de ilgili eklelerin fiziksel yapıları nedeniyle yapısal tepki oluştururlar. Dolayısıyla, aşırı kısıtlı bir sistede, yapısal tepki artıksıllığı oluşur. Bir başka deyişle, genelleştiriliş yapısal tepki kuvvetleri arasında derecesi = a f olan bir belirsizlik bulunur. Bu nedenle, bu kuvvetlerin tüü, Newton- Euler denkleleri kullanılarak belirleneez. Belirlenebileleri için kullanılabilecek basit bir yol, bu kuvvetlerden adeti için uygun görülebilecek bir takı varsayılar yapaktır. Örneğin, bazılarının sıfır, bazılarının birbirine eşit, bazılarının da bazı başka kuvvetlerin ortalaalarına eşit oldukları varsayılabilir. Tabii, daha bilisel fakat külfetli olan bir yol ise, katı oldukları varsayılan cisilerin bile aslında az da olsa belli bir esnekliğe sahip olduklarını göz önüne alak ve gerinç-gerinti ilişkilerini kullanarak adet ek denkle oluşturaktır. RDK M. Keal Özgören

66 Tüleşik Newton-Euler Denklei (4.2.4) (4.2.7) denkleleri kullanılarak ve etkileşi kuvvet ve oentleri eyletisel, yapısal ve dirençsel kısılarına ayrıştırılarak (4.1.1) ve (4.1.2) sayılı Newton-Euler denkleleri ile (4.1.3) ve (4.1.4) sayılı etki-tepki denkleleri şöyle yazılabilir. Newton (Kuvvet) Denkleleri (i = 1, 2,, n): j=1 ( i V ij )q j = i g + F ext i j=1 k=1( i A ijk )q jq k n + j=0 (F act ji + F str ji + F res ji ) (4.2.14) Euler (Moent) Denkleleri (i = 1, 2,, n): j=1 (J i Ω ij )q j = M ext i j=1 k=1(j i Γ ijk + Ω ij J i Ω ik )q jq k n + j=0 [M act ji + M str ji + M res ji + r ij (F act ji + F str ji + F res ji )] (4.2.15) Etki-Tepki Denkleleri: F ij act + F ij str + F ij res = (F ji act + F ji str + F ji res ) (4.2.16) M ij act + M ij str + M ij res = (M ji act + M ji str + M ji res ) (4.2.17) B i cisi için yazılış olan (4.2.14) ve (4.2.15) sayılı vektör-diyadik denkleleri, genellikle B i cisine bağlı F i (C i ) eksen takıında; B i ile B j cisileri arasında yazılış olan (4.2.16) ve (4.2.17) sayılı vektör denkleleri ise, genellikle, ifade ortaklığının sağlanabilesi için zeine bağlı F 0 (O) eksen takıında, aşağıda görülen atris denkleleri biçiinde yazılabilir. Newton-Euler Denkleleri (i = 1, 2,, n): [ i V ij (i) j=1 ]q j = C (i,0) [ g (0) i + F i ext(0) ] [ i A (i) j=1 k=1 ijk]q jq k +C (i,ij) n [F ji act(ij) + F ji str(ij) + F ji res(ij) j=0 ] (4.2.18) [J i (i) (i) j=1 Ω ij ]q j = C (i,0) M iext(0) j=1 k=1[j i n + C (i,ij) [M ji act(ij) + M ji str(ij) + M ji res(ij) j=0 ] (i) (i) (i) (i) Γ ijk + Ω ij J i Ω ik (i) ]q jq k n + r ij (i) C (i,ij) [F ji act(ij) + F ji str(ij) + F ji res(ij) j=0 ] (4.2.19) Etki-Tepki Denkleleri: C (0,j) C (j,ji) [F ij act(ji) + F ij str(ji) + F ij res(ji) ] = C (0,i) C (i,ij) [F ji act(ij) + F ji str(ij) + F ji res(ij) ] (4.2.20) C (0,j) C (j,ji) [M ij act(ji) + M ij str(ji) + M ij res(ji) ] = C (0,i) C (i,ij) [M ji act(ij) + M ji str(ij) + M ji res(ij) ] (4.2.21) Yukarıdaki denklelerde, C (0,i) ve C (i,ij) atrisleri, F i (C i ) eksen takıının F 0 (O) eksen takıına göre ve F ij (Q ij ) eksen takıının F i (C i ) eksen takıına göre yönelilerini tesil etektedir. RDK M. Keal Özgören

67 Yukarıda i {1, 2,, n} için yazılış olan Newton-Euler atris denkleleri, Kısı ve 4.2.3'teki tanılar kullanılarak tek bir atris denklei biçiinde topluca yazılabilir. Bu atris denklei, aşağıda görüldüğü gibi iki farklı biçiden birine göre yazılabilir. H a = L P + D R + X (4.2.22) N q = L P + D R + Y (4.2.23) (4.2.22) ile (4.2.23) denkleleri birbirleriyle aşağıdaki eşitlikler aracılığıyla ilişkilidir. v = W q a = W q + a (4.2.24) N = H W (4.2.25) Y = X H a (4.2.26) (4.2.22) ve (4.2.23) denklelerinin her ikisi de, "tüleşik Newton-Euler denklei" olarak adlandırılır. Bu denklelerde, eyletisel artıksıllık ve/veya aşırı kısıtlılık oladığı varsayılarak şu tanılar kullanılıştır. a = a 1 a 2 α 1 R λn : α 2 [ ] q 1 Cisilerin ötelene ve döne ivelerinin bileşenlerinden oluşan dikeysıra atrisi (4.2.27) q 2 q = [ ] R : Genelleştiriliş koordinatlar dikeysıra atrisi (4.2.28) q P 1 P P = [ 2 ] R : Genelleştiriliş eyleti kuvvetleri dikeysıra atrisi (4.2.29) P R 1 R 2 R = [ ] Rr : Genelleştiriliş yapısal tepki kuvvetleri dikeysıra atrisi (4.2.30) R r W = W (q ) R λn : Genelleştiriliş hız ve ivelere ait etki atrisi (4.2.31) H = H (q ) R λn λn : Cisilerin ivelerine ait büyütülüş kütle atrisi (4.2.32) N = N (q ) R λn : Genelleştiriliş ivelere ait büyütülüş kütle atrisi (4.2.33) L = L (q ) R λn : Genelleştiriliş eyleti kuvvetlerine ait etki atrisi (4.2.34) D = D (q ) R λn r : Genelleştiriliş tepki kuvvetlerine ait etki atrisi (4.2.35) a = a (q, q, t) R λn : Cisilere ait eklentisel iveler dikeysıra atrisi (4.2.36) X = X (q, q, t) R λn : Genelleştiriliş eklentisel kuvvetler dikeysıra atrisi (4.2.37) Y = Y (q, q, t) R λn : Genelleştiriliş eklentisel kuvvetler dikeysıra atrisi (4.2.38) Not: Yukarıda he X he de Y, aynı isile adlandırılışlardır. Ancak, böyle olsa bile, tabii ki, yer aldıkları denklee göre uygun olan anlaı üstlenirler. RDK M. Keal Özgören

68 Hareket Denklei ve Dinaik Analiz Aacıyla Kullanıı Bir sistein hareket denklei, o sistein genelleştiriliş iveleri (q ) ile genelleştiriliş eyleti kuvvetleri (P ) arasındaki ilişkiyi arada genelleştiriliş yapısal tepki kuvvetleri (R ) görüneyecek biçide ifade eden denkle olarak tanılanır. Hareket denklei, genellikle şöyle yazılır. M q = E P + Z (4.2.39) (4.2.39) denkleindeki atrisler, boyutları küçülüş olakla birlikte, daha öncekilere benzer bir biçide aşağıdaki gibi adlandırılırlar. M = M (q ) R : Genelleştiriliş kütle atrisi (4.2.40) E = E (q ) R : Genelleştiriliş eyleti kuvvetleri etki atrisi (4.2.41) Z = Z (q, q, t) R : Genelleştiriliş eklentisel kuvvetler dikeysıra atrisi (4.2.42) Hareket denklei yapısal tepkiler görüneyecek biçide elde edildikten sonra, he devinisel he de eyletisel dinaik analiz için aşağıda anlatılan biçilerde kullanılabilir. a) Devinisel Dinaik Analiz Böyle bir analiz yapılacaksa, genelleştiriliş eyleti kuvvetleri, genel bir duruda, aşağıdaki denklede ifade edildiği gibi belirtilir. P = P (q, q, t) (4.2.43) Bunun üzerine (4.2.39) sayılı hareket denklei şu şekilde düzenlenir. q = f (q, q, t) = [M (q )] 1 [E (q )P (q, q, t) + Z (q, q, t)] (4.2.44) (4.2.44) denkleinde [M (q )] 1 şeklinde gösterilen ters kütle atrisi sorunsuzca elde edilebilir, çünkü gerçek bir fiziksel sistein kütle atrisinin hiç bir zaan tekil oladığı bilinen bir gerçektir. (4.2.44) denkleindeki Z (q, q, t) işlevi ise, Z (q, q, t) işlevinin bilinen ya da ölçülere dayanan ya da kestirilen ifadesidir. (4.2.44) denklei, q (t) için bir türevsel denkle duruundadır. Bu denkle, belirtilen bir başlangıç konuu (q 0) ve bir başlangıç hızı (q 0) için uygun bir bilgisayar yazılıı aracılığıyla tülevlenerek q (t) dikeysıra atrisinin belli bir zaan aralığındaki değişii bulunabilir. Böylece, siste davranışının bilgisayar aracılığıyla benzetii (siülasyonu) yapılış olur. Bu işle değişik senaryolar için tekrarlanarak sistein dinaik davranışları incelenip değerlendirilebilir. Kullanılacak tipik bir sayısal tülevlee yöntei için (4.2.44) denklei, genellikle aşağıdaki iki denklee ayrıştırılır. q = v (4.2.45) v = a = f (q, v, t) (4.2.46) RDK M. Keal Özgören

69 (4.2.45) ve (4.2.46) türevsel denkleleri için kullanılabilecek en basit yenileeli tülevlee yöntei ise, ikinci ertebeden Euler yönteidir. Bu yönte, sistein t anındaki konu ve hızına dayanarak, yeterince küçük bir τ zaan artııyla, sistein t + τ anındaki konu ve hızını aşağıdaki denklelere göre verir. q (t + τ) = q (t) + v (t)τ + a (t)τ 2 /2 (4.2.47) v (t + τ) = v (t) + a (t)τ (4.2.48) Aslında, çok daha gelişkin fakat hesaplaa yükü de bir o kadar artış olan tülevlee yönteleri de vardır. Bu duruda, kullanılacak tülevlee yöntei, aşağıdaki hususlar göz önüne alınarak seçilebilir. Eğer sistein dinaik benzetileri kontrolsuz ya da açık çevrili bir kontrol kuralına göre yapılacaksa, yani belirtilen eyleti girdisi P = P (t) biçiinde olup geribeslee unsurları içeriyorsa, o zaan, yapılan benzeti hatası ile harcanan bilgisayar zaanı ölçütlerini dengeleyen yeterince gelişkin bir tülevlee yöntei seçilelidir. Eğer sistein dinaik benzetileri, kararlı olacak biçide tasarlanış bir geribesleeli kontrolcunun etkisi altında yapılacaksa, yani belirtilen eyleti girdisi P = P (q, q, t) biçiinde olup q ve q atrislerini geribeslee unsurları olarak içeriyorsa, o zaan, (4.2.47) ve (4.2.48) denkleleriyle tanılanan basit ve hızlı tülevlee yöntei seçilebilir. Çünkü, geribesleeli kontrolcu, sistein q ve q çıktıları üzerindeki sayısal hataların etkilerini de, sanki saptırıcı girdilerin etkileriyiş gibi, yok eteye çalışır. b) Eyletisel Dinaik Analiz Böyle bir analiz yapılacaksa, sistein yapası istenen bir hareket, yani genelleştiriliş koordinatların zaana göre istenen değişileri, aşağıdaki denklede ifade edildiği gibi belirtilir. q = q (t) (4.2.49) Bunun üzerine, eğer E atrisi tekil değilse, (4.2.39) sayılı hareket denklei şu şekilde düzenlenir. P = P (q, q, q, t) = [E (q )] 1 [M (q )q Z (q, q, t)] (4.2.50) (4.2.50) denkleindeki Z (q, q, t) işlevi, daha önce de bahsedildiği gibi, Z (q, q, t) işlevinin bilinen ya da ölçülen ya da kestirilen ifadesidir. (4.2.50) denklei sayesinde, sistein, q (t) biçiinde belirtilen istenen bir görev hareketini, Z (q, q, t) biçiinde olduğu varsayılan bir eklentisel kuvvet takıına karşın yapabilesi için gereken genelleştiriliş eyleti kuvvetleri (P ) belirlenebilir. Böylece, sistein bu görev için yeterli olup oladığı değerlendirilebilir. Eğer yeterli oladığı görülürse, eyleticilerinden hangilerinin ne kadar güçlendirilesi gerektiği kararlaştırılabilir. Eğer E atrisi tekilse, sistede eyletisel tekillik oluşur. Böyle bir tekillik duruunda, rank(e ) = < olduğu için (4.2.39) denklei, Z = Z, rank(e 11 ) =, P 1 R, P 2 R ve = olak üzere aşağıdaki iki denklee ayrıştırılabilir. E 11 P 1 + E 12 P 2 = M 1q Z 1 (4.2.51) E 21 P 1 + E 22 P 2 = M 2q Z 2 (4.2.52) RDK M. Keal Özgören

70 E 11 atrisinin rankı ta olduğu için (4.2.51) denklei P 1 dikeysıra atrisini P 2 dikeysıra atrisine bağlı olarak şöyle verir. P 1 = E 11 1 (M 1q Z 1 E 12 P 2) (4.2.53) (4.2.53) denklei yerine konunca, (4.2.52) denklei şu şekli alır. (E 22 E 21 E 11 1 E 12 )P 2 = (M 2 E 21 E 11 1 M 1)q + (E 21 E 11 1 Z 1 Z 2 ) (4.2.54) (4.2.54) denkleine göre, eyletisel tekilliğe rağen, yani rank(e 22 E 21 E 11 1 E 12 ) = 0 olasına rağen, P 2 dikeysıra atrisinin sınırlı büyüklükte kalabilesi için, aşağıdaki iki denklein sağlanası gerekir. (E 22 E 21 E 11 1 E 12 )P 2 = 0 (4.2.55) (M 2 E 21 E 11 1 M 1)q = Z 2 E 21 E 11 1 Z 1 (4.2.56) (4.2.55) denkleine göre, P 2 dikeysıra atrisi, sınırlı büyüklükte kalsa bile tüüyle belirsizleşir. Diğer bir deyişle, P 2 dikeysıra atrisine rastgele bir değer verilebilir; ancak bu değer ne olursa olsun siste üzerinde herhangi bir etki yarataaz. Öteyandan, (4.2.53) denkleine göre, P 2 dikeysıra atrisine, sistein davranışını etkileese bile, öyle bir değer verilebilir ki, hiç değilse P dikeysıra atrisinin büyüklüğü, yani P 2 = P tp = P 1t P 1 + P 2t P 2 en küçük yapılabilir. (4.2.56) denkleine göre ise, eyletisel tekillik duruunda, eyleti kuvvetlerinin sınırlı büyüklüklerde kalabileleri için sistein istenen hareketinin bu denklele uyulu olası gerekir. Bu uyuu sağlaak üzere, q dikeysıra atrisinin ancak q 1 R ayrışkası istendiği gibi belirtilebilir. Aynı atrisin q 2 R ayrışkasının ise, (4.2.56) denkleinin aşağıdaki şeklini sağlayacak biçide belirlenesi gerekir. (M 21 E 21 E 11 1 M 11 )q 1 + (M 22 E 21 E 11 1 M 12 )q 2 = Z 2 E 21 E 11 1 Z 1 (4.2.57) (4.2.57) denkleinden, (M 22 E 21 E 11 1 M 12 ) atrisinin tekil oladığı varsayııyla, q 2 ayrışkası, q 1 ayrışkasına bağlı olarak şöyle bulunur. q 2 = (M 22 E 21 E 11 1 M 12 ) 1 [(Z 2 E 21 E 11 1 Z 1 ) (M 21 E 21 E 11 1 M 11 )q 1] (4.2.58) 4.3. Hareket Denkleinin Newton-Euler Denklelerinden Elde Edilesi Kısı 4.2'de tanılanan (4.2.39) sayılı hareket denklei, (4.2.22) ya da (4.2.23) denklei biçiinde yazılış olan tüleşik Newton-Euler denkleinden aşağıda anlatılan yöntelerden biri kullanılarak elde edilebilir Yönte 1: Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetlerini Elde Ete Yöntei Bu yöntei uygulaak için (4.2.23) denklei şöyle düzenlenir. L P + D R = [L D ] [ P R ] = N q Y (4.3.1) RDK M. Keal Özgören

71 Eğer siste eyletisel tekillik duruunda değilse, yani det [L D ] 0 ise, [L D ] atrisinin tersi şöyle ifade edilebilir. [L D ] 1 = [ Φ Ψ ] (4.3.2) Bunun üzerine, (4.3.1) denklei, Q ve R dikeysıra atrislerini şöyle verir. P = Φ (N q Y ) = (Φ N )q Φ Y (4.3.3) R = Ψ (N q Y ) = (Ψ N )q Ψ Y (4.3.4) Böylece, hareket denklei, aşağıda görüldüğü gibi, doğrudan doğruya genelleştiriliş eyleti kuvvetlerini verecek biçide elde ediliş olur. P = (E ) 1 (M q Z ) (4.3.5) (4.3.3) ve (4.3.5) denklelerine göre, M, E ve Z atrisleri ile Φ ve Y atrisleri arasında şu ilişkiler bulunaktadır. (E ) 1 M = Φ N M = E Φ N (4.3.6) (E ) 1 Z = Φ Y Z = E Φ Y (4.3.7) Burada söyleek gerekir ki, (4.2.39) sayılı hareket denkleindeki M, E ve Z atrisleri yerine M, E ve Z gibi farklı atrisler de kullanılabilir. Ancak, doğal olarak, bu atrisler birbirleriyle tekil olayan herhangi bir A atrisi aracılığıyla aşağıda gösterilen biçide ilişkilidirler. M = A M (4.3.8) E = A E (4.3.9) Z = A Z (4.3.10) Öte yandan, geleneksel forülasyona göre, kütle atrisinin sietrik olası beklenir. Bu beklentiyi sağlaak üzere, E atrisi, (4.3.6) denkleine göre şöyle seçilebilir. E = [I + (Φ N ) t (Φ N ) 1 ]/2 (4.3.11) Bu seçi üzerine, M ve Z atrisleri şöyle ifade edilirler. M = [(Φ N ) + (Φ N ) t ]/2 (4.3.12) Z = [I + (Φ N ) t (Φ N ) 1 ]Φ Y /2 (4.3.13) Yönte 2: Genelleştiriliş İveleri Elde Ete Yöntei Yönte 1'e benzeyen bu yöntei uygulaak için (4.2.23) denklei bu kez şöyle düzenlenir. N q D R = [N D ] [ q R ] = L P + Y (4.3.14) Eğer siste eyletisel tekillik duruunda değilse, yani det [N D ] 0 ise, [N D ] atrisinin tersi şöyle ifade edilebilir. [N D ] 1 = [ Θ Ξ ] (4.3.15) RDK M. Keal Özgören

72 Bunun üzerine, (4.3.15) denklei, q ve R dikeysıra atrislerini şöyle verir. q = Θ (L P + Y ) = (Θ L )P + Θ Y (4.3.16) R = Ξ (L P + Y ) = (Ξ L )P + Ξ Y (4.3.17) Görüldüğü gibi, bu yönte, hareket denkleini önceki yöntedekinden farklı atrisler (M, E, Z ) oluşturarak aşağıda yazılan biçide verir. q = (M ) 1 (E P + Z ) (4.3.18) (4.3.16) ve (4.3.18) denklelerine göre, M ve Z atrislerinin ifadeleri şöyledir. (M ) 1 E = Θ L M = E (Θ L ) 1 (4.3.19) (M ) 1 Z = Θ Y Z = E (Θ L ) 1 Θ Y (4.3.20) Bu yöntede de M atrisinin sietrik olası için E atrisi şöyle seçilebilir. E = [I + (L tθ t ) 1 (Θ L )]/2 (4.3.21) Dikkat edilirse, Yönte 1 ve Yönte 2, yalnızca hareket denkleini verekle kalayıp aynı zaanda genelleştiriliş yapısal tepki kuvvetlerini (R dikeysıra atrisini) de verirler. Fakat, eğer R için özel bir ilgi duyuluyorsa, bu atrisi daha işin başında yok ederek hareket denkleini doğrudan ve çok daha kolay bir biçide (λn λn boyutlu bir atrisin tersini alaya gerek kaladan) elde etek de ükündür. Bunun için aşağıda anlatılan Yönte 3 kullanılabilir Yönte 3: Serbestlik ve Kısıtlaa Yönlerinin Dikliğine Dayalı Yönte (4.2.23) denklei, taraf tarafa W t R λn atrisiyle çarpılarak ve (4.2.25) denklei kullanılarak aşağıdaki denkle elde edilir. (W th W )q = (W tl )P + (W td )R + W ty (4.3.22) Bu yöntein dayanak noktası, aşağıdaki eşitliktir. Bu eşitlik, sistein serbestlik yönlerinin kısıtlaa yönlerine dik olduğunu ifade etektedir. W td = 0 (4.3.23) (4.3.23) eşitliği sayesinde, (4.3.22) denklei basitleşerek şu şekli alır. (W th W )q = (W tl )P + W ty (4.3.24) (4.2.39) ve (4.3.24) denkleleri karşılaştırılınca, M, E ve Z atrisleri için şu ifadeler elde edilir. M = W th W (4.3.25) E = W tl (4.3.26) Z = W ty (4.3.27) (4.3.25) denkleinde görüldüğü gibi, Yönte 3, M atrisini doğrudan doğruya sietrik bir atris olarak verektedir. Bu yöntein yararlı bir özelliği de, (4.2.22) ve (4.2.23) sayılı tüleşik Newton-Euler denkleleri için bir doğrulaa sağlaasıdır. Eğer söz konusu denklelerde herhangi bir hata yapılışsa, büyük bir olasılıkla, W td = 0 sonucu alınaayacaktır. Bunun üzerine, tü ayrıntıları içeren (4.2.18) (4.2.21) denkleleri yeniden gözden geçirilerek hata ya da hatalar bulunup düzeltilebilir. RDK M. Keal Özgören

73 4.4. Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Kineatik ve Dinaik Analizi 35 = 53 = 45 = 54 3 = 3 4 = = = 0 = 0 = Şekil 4.4 İki Serbestlik Dereceli Düzlesel Bir Paralel Manipülatör Sistein Betilenesi Şekil 4.4'te iki serbestlik dereceli düzlesel bir paralel anipülatör görülektedir. Manipülatörün kullanı aacı, P noktasında taşınan B 5 cisini istenen bir biçide hareket ettirektir. Manipülatör, J 13 ve J 24 kayar eklelerindeki doğrusal eyleticilerle kontrol edilektedir. Eyleti kuvvetleri, F 13 = F 1 ve F 24 = F 2 olarak tanılanıştır. Genelleştiriliş koordinatlar ise, eyletili ekle değişkenleri olarak değil de, doğrudan doğruya, ilgi odağı olan B 5 cisinin x ve y koordinatları olarak seçiliştir. Bu örnekteki kineatik ve dinaik analizi bir iktar basitleştirebilek aacıyla, sistein yapısal özellikleri hakkında şu varsayılar yapılıştır. (1) B 3 ve B 4 uzuvları birbirinin aynıdır, yani 4 = 3 ve J 4 = J 3. B 1 ve B 2 uzuvları da birbirinin aynıdır, yani 2 = 1 ve J 2 = J 1. Ayrıca, bu uzuvların kütle erkezleri, döne erkezlerine çok yakındır. Yani, c 1 = AC 1 0 ve c 2 = BC 2 0 (2) P noktasında yalnızca taşınan cise bağlı olan J 35 ve J 45 döner ekleleri vardır. Sistein aşırı kısıtlı olaası için J 34 döner ekleinin oluşturuladığı varsayılıştır Kineatik Analiz P noktasının x ve y koordinatları için şu denkleler yazılabilir. x = s 3 cθ 1 b 0 (4.4.1) y = s 3 sθ 1 (4.4.2) x = b 0 s 4 cθ 2 (4.4.3) y = s 4 sθ 2 (4.4.4) RDK M. Keal Özgören

74 (4.4.1) (4.4.4) denklelerinden ekle değişkenleri şöyle bulunur. s 3 = (b 0 + x) 2 + y 2 (4.4.5) s 4 = (b 0 x) 2 + y 2 (4.4.6) θ 1 = atan 2 [y, (b 0 + x)] (4.4.7) θ 2 = atan 2 [y, (b 0 x)] (4.4.8) (4.4.1) (4.4.4) denklelerinin taraf tarafa türevleri alınırsa, aşağıdaki hız denkleleri elde edilir. x = s 3cθ 1 s 3 θ 1sθ 1 (4.4.9) y = s 3sθ 1 + s 3 θ 1cθ 1 (4.4.10) x = s 4 θ 2sθ 2 s 4cθ 2 (4.4.11) y = s 4 θ 2cθ 2 + s 4sθ 2 (4.4.12) (4.4.9) (4.4.12) denklelerinden ekle hızları (ekle değişkenlerinin birinci türevleri) şöyle bulunur. s 3 = y sθ 1 + x cθ 1 (4.4.13) s 4 = y sθ 2 x cθ 2 (4.4.14) θ 1 = (y cθ 1 x sθ 1 )/s 3 (4.4.15) θ 2 = (y cθ 2 + x sθ 2 )/s 4 (4.4.16) (4.4.13) (4.4.16) denklelerinin türevlerinden de ekle iveleri (ekle değişkenlerinin ikinci türevleri) şöyle bulunur. s 3 = y sθ 1 + x cθ 1 + (y cθ 1 x sθ 1 )θ 1 s 3 = y sθ 1 + x cθ 1 + a 3 (4.4.17) s 4 = y sθ 2 x cθ 2 + (y cθ 2 + x sθ 2 )θ 2 s 4 = y sθ 2 x cθ 2 + a 4 (4.4.18) θ 1 = 1 s 3 (y cθ 1 x sθ 1 ) 1 s 3 (y sθ 1 + x cθ 1 )θ 1 1 s 3 2 (y cθ 1 x sθ 1 )s 3 θ 1 = 1 s 3 (y cθ 1 x sθ 1 ) α 1 (4.4.19) θ 2 = 1 s 4 (y cθ 2 + x sθ 2 ) 1 s 4 (y sθ 2 x cθ 2 )θ 2 1 s 4 2 (y cθ 2 + x sθ 2 )s 4 θ 2 = 1 s 4 (y cθ 2 + x sθ 2 ) α 2 (4.4.20) Not: Yukarıda kullanılan ekle hızı ve ekle ivesi terileri, aslında çok doğru oluşturuluş teriler değildir. Bununla birlikte, ifade kısalığı aacıyla, ekle değişkeninin birinci türevi ve ekle değişkeninin ikinci türevi gibi doğru fakat uzun terilere göre, çoğu kez, tercih edilirler. RDK M. Keal Özgören

75 Yukarıdaki aşaadan sonra, c 3 = PC 3 = PC 4 paraetresi ile yerleri belirtilen kütle erkezlerinin de konu, hız ve iveleri aşağıda görüldüğü gibi bulunabilir. r 1 = r C1 r A v 1 0 a 1 0 (4.4.21) r 2 = r C2 r B v 2 0 a 2 0 (4.4.22) r 3 = r C3 = b 0 u x + s 3 u (θ 1 ) ; s 3 = s 3 c 3 (4.4.23) v 3 = D 0 r 3 = s 3u (θ 1 ) + s 3 θ 1u (θ 1 ) (4.4.24) a 3 = D 0 v 3 = s 3u (θ 1 ) + s 3 θ 1u (θ 1 ) + 2s 3θ 1u (θ 1 ) s 3 θ 12 u (θ 1 ) a 3 = s 3u (θ 1 ) + s 3 θ 1u (θ 1 ) + a 3 (4.4.25) r 4 = r C4 = b 0 u x + s 4 u (π θ 2 ) ; s 4 = s 4 c 3 (4.4.26) v 4 = D 0 r 4 = s 4u (π θ 2 ) s 4 θ 2u (π θ 2 ) (4.4.27) a 4 = D 0 v 4 = s 4u (π θ 2 ) s 4 θ 2u (π θ 2 ) 2s 4θ 2u (π θ 2 ) s 4 θ 2 2 u (π θ 2 ) a 4 = s 4u (π θ 2 ) s 4 θ 2u (π θ 2 ) + a 4 (4.4.28) Yukarıdaki denklelerde, belli bir θ açısı için x ekseninin pozitif doğrultusuna göre yön belirten biri vektörler şöyle tanılanışlardır. u (θ) = u x cos θ + u y sin θ (4.4.29) u (θ) = u (θ + π/2) = u y cos θ u x sin θ (4.4.30) Newton-Euler Denkleleri Sistein yapısal özellikleri hakkında yapılan varsayılar kullanılarak sistee ait Newton-Euler denkleleri şöyle yazılabilir. 3 a 3 = F 1 u (θ 1 ) + N 13 u (θ 1 ) (F x 35 u x + F y 35 u y ) 3 gu y (4.4.31) 3 a 4 = F 2 u (π θ 2 ) + N 24 u (π θ 2 ) (F 45 x u x + F 45 y u y ) 3 gu y (4.4.32) 5 a 5 = (F x 35 + F x 45 )u x + (F y 35 + F y 45 )u y 5 gu y (4.4.33) 1 a 1 0 = F 1 u (θ 1 ) N 13 u (θ 1 ) + F x 01 u x + F y 01 u y 1 gu y (4.4.34) 1 a 2 0 = F 2 u (π θ 2 ) N 24 u (π θ 2 ) + F x 02 u x + F y 02 u y 1 gu y (4.4.35) J 3 α 3 = M 13 u z s 3 N 13 u z c 3 u (θ 1 ) (F x 35 u x + F y 35 u y ) (4.4.36) (s 3 = s 3 c 3 b 1, b 1 = AQ 13 ) J 3 α 4 = J 3 θ 2u z = M 24 u z s 4 N 24 u z c 3 u (π θ 2 ) (F 45 x u x + F 45 y u y ) (4.4.37) (s 4 = s 4 c 3 b 1, b 1 = BQ 24 ) J 1 α 1 = J 1 θ 1u z = M 13 u z b 1 N 13 u z (4.4.38) J 1 α 2 = J 1 θ 2u z = M 24 u z b 1 N 24 u z (4.4.39) RDK M. Keal Özgören

76 Dikkat edilirse, (4.4.34) ve (4.4.35) denklelerinin tek kullanı aacı, diğer bilineyen kuvvet bileşenleri bulunduktan sonra, F 01 ve F 02 yapısal tepki kuvvetlerinin bileşenlerini aşağıdaki gibi verektir. F x 01 = F 1 cθ 1 N 13 sθ 1 (4.4.40) F 01 y = F 1 sθ 1 + N 13 cθ g (4.4.41) F x 02 = F 2 cθ 2 N 24 sθ 2 (4.4.42) F 02 y = F 2 sθ 2 N 24 cθ g (4.4.43) Geriye kalan vektör denklelerinden de aşağıdaki 10 skalar denkle elde edilir. J 1 α 1 = b 1 N 13 M 13 (4.4.44) J 1 α 2 = b 1 N 24 M 24 (4.4.45) J 3 α 3 = s 3 N 13 + M 13 + c 3 F x 35 sθ 1 c 3 F y 35 cθ 1 (4.4.46) J 3 α 4 = s 4 N 24 + M 24 + c 3 F 45 x sθ 2 + c 3 F 45 y cθ 2 (4.4.47) 3 a x x 3 = F 1 cθ 1 N 13 sθ 1 F 35 (4.4.48) 3 a 3 y = F 1 sθ 1 + N 13 cθ 1 F 35 y (4.4.49) 3 a 4 x = F 2 cθ 2 N 24 sθ 2 F 45 x (4.4.50) 3 a 4 y = + F 2 sθ 2 N 24 cθ 2 F 45 y (4.4.51) 5 a x 5 = F x x 35 + F 45 (4.4.52) 5 a 5 y = F 35 y + F 45 y 5 g (4.4.53) Eyletisel dinaik analiz açısından, yukarıdaki 10 denklede yer alan 10 bilineyen şunlardır. F 1, F 2 ; N 13, M 13, N 24, M 24, F x 35, F y 35, F x y 45, F 45 Yukarıdaki 10 denklede yer alan döne ve ötelene ivelerinin bileşenleri ile genelleştiriliş iveler arasındaki ilişkiler ise, daha önceki kineatik analiz sonuçlarına dayanarak şöyle ifade edilebilir. α 1 = θ 1 = 1 s 3 (y cθ 1 x sθ 1 ) α 1 (4.4.54) α 2 = θ 2 = 1 s 4 (y cθ 2 + x sθ 2 ) + α 2 (4.4.55) α 3 = θ 1 = 1 s 3 (y cθ 1 x sθ 1 ) α 1 (4.4.56) α 4 = θ 2 = 1 s 4 (y cθ 2 + x sθ 2 ) + α 2 (4.4.57) a x 3 = s 3cθ 1 s x 3 θ 1sθ 1 + a 30 a x 3 = c 3 y sθ s 1 cθ (s 3 s 3 c 2 θ 1 + s 3 s 2 θ 1 )x + (a x 30 + a 3 cθ 1 s 3 α 1 sθ 1 ) (4.4.58) 3 RDK M. Keal Özgören

77 a y 3 = s 3sθ 1 + s 3 θ 1cθ 1 + a y 30 a y 3 = 1 (s s 3 s 2 θ 1 + s 3 c 2 θ 1 )y + c 3 x sθ 3 s 1 cθ 1 + (a y a 3 sθ 1 s 3 α 1 cθ 1 ) (4.4.59) a x 4 = s 4cθ 2 + s x 4 θ 2sθ 2 + a 40 a x 4 = c 3 y sθ s 2 cθ (s 4 s 4 c 2 θ 2 + s 4 s 2 θ 2 )x + (a x 40 a 4 cθ 2 s 4 α 2 sθ 2 ) (4.4.60) 4 a y 4 = s 4sθ 2 + s 4 θ 2cθ 2 + a y 40 a y 4 = 1 (s s 4 s 2 θ 2 + s 4 c 2 θ 2 )y c 3 x sθ 4 s 2 cθ 2 + (a y a 4 sθ 2 s 4 α 2 cθ 2 ) (4.4.61) a 5 x = x (4.4.62) a 5 y = y (4.4.63) Sayısal Uygulaa Sistee ilişkin atrisleri sayısal olarak görek için, sistein aşağıda belirtilen paraetreleri ve konuu için bir sayısal uygulaa yapılıştır. b 0 = 0.5, b 1 = b 2 = 0.5, b 3 = b 4 = 1.0, c 3 = c 4 = = 2 = 2 kg, 3 = 4 = 3 kg, 5 = 10 kg J 1 = 1 b 1 2 /3 = kg- 2, J 3 = 3 b 3 2 /12 = 0.25 kg- 2 J 2 = J 1, J 4 = J 3 x = 0.25, y = 1.0 Belirtilen koordinatlar için ekle değişkenleri şöyle bulunuştur. θ 1 = 53.13, θ 2 = ; s 3 = 1.25, s 4 = 1.03 Bu sistee özgü a, q, P ve R dikeysıra atrisleri, devrik biçileriyle şöyle tanılanıştır. a t = [α 1 α 2 α 3 α 4 a 3 x a 3 y a 4 x a 4 y a 5 x a 5 y ] (4.4.64) q t = [x y] (4.4.65) P t = [F 1 F 2 ] (4.4.66) x R t = [N 13 M 13 N 24 M 24 F 35 F y x 35 F 45 F y 45 ] (4.4.67) Sistee ilişkin çeşitli atrisler ise, sayısal değerleriyle şöyle belirleniştir. H = diag [J 1 J 2 J 3 J ] H = diag [ ] (4.4.68) RDK M. Keal Özgören

78 D = [ ] (4.4.69) W t = [ ] (4.4.70) L t = [ ] (4.4.71) M = W th W = [ ] (4.4.72) E = W tl = [ ] (4.4.73) Böylece, sistein belirtilen konudaki hareket denklei, şöyle yazılabilir [ ] [x ] = [ y ] [F 1 ] + [ Z 1 ] (4.4.74) F 2 Z 2 Bu sayısal uygulaanın diğer bir beklenen sonucu olarak (4.3.23) eşitliği de aşağıda görüldüğü gibi doğrulanıştır. W td = [ ] (4.4.75) 4.5. Hareket Denkleinin Lagrange Yönteiyle Elde Edilesi Kısı 4.2'de sözü edilen (4.2.39) sayılı hareket denklei, yapısal tepki kuvvet ve oentleriyle forülasyon aşaasında bile hiç uğraşadan doğrudan doğruya Lagrange yönteiyle elde edilebilir. Bu yönte, iş ve enerji ilişkilerine dayanır. Yapısal tepki kuvvet ve oentlerinin yönleri ise hareket serbestliği olan yönlere diktir. Bu nedenle yapısal tepki kuvvet ve oentleri iş yapaazlar ve iş yapaadıkları için de Lagrange yönteinde yer alaazlar. Lagrange yöntein uygulanışı ve aşaaları aşağıda anlatılıştır Skalar Lagrange Denkleleri Serbestlik derecesi olan bir siste için adet birbirinden bağısız genelleştiriliş koordinat (q 1, q 2, q 3,, q ) seçildikten sonra, k {1, 2, 3,, } için, skalar Lagrange denkleleri geleneksel olarak şöyle yazılır. d ( L ) L + D = Q dt q k q k q k + S k (4.5.1) k RDK M. Keal Özgören

79 Skalar Lagrange denkleleri, daha ayrıntılı olarak şöyle de yazılabilir. p k K + D + U = Q q k q k q k + S k (4.5.2) k (4.5.1) ve (4.5.2) denklelerinde aşağıda açıklanan tanılar kullanılıştır. K = K(q, q ) : Kinetik Enerji İşlevi (4.5.3) U = U(q ) : Potansiyel Enerji İşlevi (4.5.4) L = L(q, q ) = K(q, q ) U(q ) : Lagrange İşlevi (4.5.5) D = D(q, q ) : Enerji Yitire İşlevi (4.5.6) Q k : q k koordinatına ait genelleştiriliş eyleti kuvveti (4.5.7) S k : q k koordinatına ait genelleştiriliş dış etki kuvveti (4.5.8) p k = K/ q k : q k koordinatına ait genelleştiriliş oentu (4.5.9) Lagrange denklelerinden sistein hareket denklelerini elde edebilek için öncelikle yukarıda tanılanan niceliklerin ve ilgili işlevlerin elde edilesi gerekir. Bunların elde edilişiyle ilgili ayrıntılı açıklaalar aşağıda yapılıştır Kinetik Enerji Sistein kinetik enerjisi şöyle ifade edilebilir. K = 1 M 2 i=1 j=1 ij q iq j = 1 q t M q (4.5.10) 2 (4.5.10) denkleinde şu tanı kullanılıştır. M = M (q ) : Genelleştiriliş Kütle Matrisi (4.5.11) Not: M atrisi, genelliği bozadan, sietrik bir atris olarak, yani M ji = M ij olacak biçide, tanılanabilir. Çünkü, M sietrik olasaydı, M = M + M biçiinde, sietrik olan (M ) ve antisietrik olan (M ) iki atrise ayrıştırılabilirdi. Fakat, M atrisi antisietrik olduğu için, q t M q 0 olur ve bu nedenle de q t M q q t M q olurdu. Dolayısıyla, (4.5.10) denklei, M atrisi sietrik olasa bile yerine sietrik olan M = (M + M t)/2 atrisinin kullanılasıyla elde edilen sonucun aynısını verirdi. Genelleştiriliş kütle atrisi, sistedeki cisilerin kütlelerine ve atalet tensörlerine bağlı olarak aşağıda anlatılan biçide elde edilebilir. Sistein kinetik enerjisi, sistedeki cisiler için ayrı ayrı ifade ediliş kinetik enerjilerin toplaı olarak şöyle yazılabilir. n n K = r=1 K r = 1 ( 2 r=1 rv r v r + ω r J r ω r ) (4.5.12) Öte yandan, Kısı 4.2'deki (4.2.4) ve (4.2.5) denkleleriyle, cisilerin açısal hızları ve kütle erkezi hızları, genelleştiriliş hızlara bağlı olarak şöyle ifade edilişti. v r = i=1 V ri q i ; V ri = V ri (q ) (4.5.13) ω r = i=1 Ω ri q i ; Ω ri = Ω ri (q ) (4.5.14) (4.5.13) ve (4.5.14) denkleleri yerlerine konunca, (4.5.12) denklei şu şekli alır. n K = 1 [ ( 2 i=1 j=1 r=1 rv ri V rj + Ω ri J r Ω rj )] q iq j (4.5.15) RDK M. Keal Özgören

80 (4.5.10) ve (4.5.15) denklelerine göre, M ij şu ifadeyle elde edilir. M ij = n r=1 ( r V ri V rj + Ω ri J r Ω rj ) (4.5.16) Eğer V ri ve Ω ri vektörlerinin B r cisine bağlı F r (C r ) eksen takıındaki atris gösterileri kullanılırsa, M ij şöyle de ifade edilebilir. n (r)t J r (r) Ω rj (r) ] M ij = [ r V ri (r)t V rj (r) r=1 + Ω ri (4.5.17) Kinetik enerji işlevinin (4.5.2) denkleinde gereken türevi ise, aşağıdaki denkleler kullanılarak elde edilebilir. K = 1 M ij q k 2 i=1 j=1 q q iq j (4.5.18) k M ij (r)t V rj (r) (r)t V ri + q r k q k V rj (r) + Ω ri (r)t (r) Ω rj (r) J r + Ω ri (r)t n q k q J r (r) k Ω rj (r) r=1 ] q k = [ r V ri M ij n (r)t (r) A rjk + r A (r)t rik V rj (r) + Ω ri (r)t J r (r) Γ rjk (r) + Γ rik (r)t J r (r) Ω rj (r) r=1 ] q k = [ r V ri M ij = n [ q r k V ri (r)t (r) A rjk + r V rj (r)t A (r) rik + Ω ri (r)t J r (r) Γ rjk (r) + Ω rj (r)t J r (r) Γ rik (r) r=1 ] (4.5.19) Genelleştiriliş Moentular (4.5.9) ve (4.5.10) denklelerine göre, geneleştiriliş oentular, k {1, 2, 3,, } için şöyle elde edilir. p k = K = 1 M q k 2 i=1 j=1 ij q iδ jk + 1 M 2 i=1 j=1 ij δ ik q j p k = 1 M 2 i=1 ikq i + 1 M 2 j=1 kjq j = 1 (M 2 i=1 ki + M ik )q i Kütle atrisi sietrik (yani M ik = M ki ) olduğu için, yukarıdaki denkle kısaca şöyle yazılabilir. RDK M. Keal Özgören p k = i=1 M ki q i (4.5.20) (4.5.20) denkleine karşılık gelen atris denklei şudur. p = M q (4.5.21) Genelleştiriliş oentuların (4.5.2) denkleinde gereken türevleri ise, şöyle ifade edilebilir. p k = i=1 M ki q i + i=1 M kiq i = i=1 M ki q i + i=1 j=1 q iq j (4.5.22) Enerji Yitire İşlevi Enerji yitire işlevi, sistedeki enerji yitirenin viskoz sürtüneden kaynaklandığı varsayılırsa, "Rayleigh enerji yitire işlevi" olarak anılır. Bu işlev, kinetik enerjinin ifadesine benzer bir biçide şöyle ifade edilebilir. D = 1 B 2 i=1 j=1 ij q iq j = 1 q t B q (4.5.23) 2 (4.5.24) denkleinde şu tanı kullanılıştır. B = B (q ) : Genelleştiriliş Viskozite Matrisi (4.5.24) Kinetik enerji ifadesindeki M atrisi gibi, B atrisi de genelliği bozadan sietrik bir atris olarak tanılanabilir. Buna göre, D işlevinin (4.5.1) ya da (4.5.2) denkleinde gereken türevi, şöyle ifade edilebilir. M ki q j

81 D = q i=1 B ki q i (4.5.25) k Enerji yitire işlevi, sistedeki viskoz sürtüne unsurlarına bağlı olarak ayrıntılı bir biçide şöyle de ifade edilebilir. n b 2 n β 2 D = 1 b 2 k=1 kv relk + 1 β 2 k=1 kω relk (4.5.26) (4.5.26) denkleindeki v relk ve ω relk sigeleri, aralarında viskoz sürtüne bulunan yüzeyler arasındaki bağıl ötelene ve döne hızlarını; b k ve β k sigeleri ise, ilgili viskoz sürtüne katsayılarını gösterektedir. Öte yandan, bağıl hız vektörlerini genelleştiriliş hızlarla ilişkilendirek üzere, (4.5.13) ve (4.5.14) denklelerine benzeyen aşağıdaki denkleler yazılabilir. v relk = i=1 V relki q i ; V relki = V relki (q ) (4.5.27) ω relk = i=1 Ω relki q i ; Ω relki = Ω relki (q ) (4.5.28) Bunun üzerine, (4.5.26) denklei şöyle yazılabilir. n b n β k=1 D = 1 ( b 2 i=1 j=1 k=1 kv relki V relkj + β k Ω relki Ω relkj )q iq j (4.5.29) (4.5.29) denkleine göre, genelleştiriliş viskoz sürtüne katsayıları için aşağıdaki forül elde edilir. n b n β B ij = k=1 b k V relki V relkj + k=1 β k Ω relki Ω relkj (4.5.30) Potansiyel Enerji Sistein potansiyel enerjisi, genelde, aşağıda görüldüğü gibi iki teriden oluşur. U = U g + U s (4.5.31) Sistedeki cisilerde yerçekiine karşı depolanan potansiyel enerjiyi gösteren U g terii, şöyle ifade edilebilir. n U g = i=1 i g r i (4.5.32) (4.5.32) denkleindeki r i = r Ci /O vektörü, B i cisinin kütle erkezinin zeine göre konuunu gösterektedir. Eğer zeinin yönelii, g = gu 3 (0) olacak biçideyse, U g terii, aşağıdaki daha alışılageliş biçilerde de ifade edilebilir. n (0) U g = i g[u 3 (0) i=1 ri ] = i=1 i gr i3 = i=1 i gh i (4.5.33) U g işlevinin (4.5.1) ya da (4.5.2) denkleinde gereken türevi ise, şöyle ifade edilebilir. U g q k = G gk = n i=1 i g ( r i q k ) (4.5.34) Öte yandan, türev ala kuralları ve (4.5.13) denklei kullanılarak gösterilebilir ki, r i = v i = V q k q ik (4.5.35) k (4.5.35) denklei yerine konunca, (4.5.34) denklei şu şekli alır. n G gk = i=1 i g V ik (4.5.36) RDK M. Keal Özgören

82 Eğer g = gu 3 (0) ise, (4.5.36) denklei şöyle de yazılabilir. n (0) G gk = i=1 i gu 3 V ik (4.5.37) (4.5.37) denklei, ilgili vektörlerin F i (C i ) ve F 0 (O) eksen takılarındaki atris gösterileri kullanılarak aşağıdaki biçilerde de yazılabilir. n G gk = i=1 i gu 3t V ik (0) = i=1 i gu 3t n C (0,i) V ik (i) (4.5.38) Sistedeki yay ve benzeri esnek eleanlarda depolanan potansiyel enerjiyi gösteren U s teriine gelince, bu teri şöyle ifade edilebilir. n k n κ U s = 1 k 2 i=1 i(ξ reli ξ reli ) κ 2 i=1 i(ψ reli ψ reli ) 2 (4.5.39) (4.5.39) denkleindeki ξ reli ve ψ reli sigeleri, birbirlerine yaylarla bağlanış cisiler arasındaki bağıl uzaklığı ve açıyı; ξ reli ve ψ reli sigeleri, bu uzaklık ve açının ilgili yaylar serbest iken aldığı değerleri; k i ve κ i sigeleri ise, ilgili doğrusal ve dönel yay katsayılarını gösterektedir. U s işlevinin (4.5.1) ya da (4.5.2) denkleinde gereken türevi ise, şöyle ifade edilebilir. U s n k = G q sk = k i (ξ reli ξ reli ) ξ reli k i=1 + κ i (ψ reli ψ reli ) ψ reli i=1 (4.5.40) Öte yandan, (4.5.27), (4.5.28) ve (4.5.35) denklelerine dayanarak gösterilebilir ki, ξ reli q k ψ reli q k = v reli q k = ω reli q k q k n κ = V relik (4.5.41) = Ω relik (4.5.42) (4.5.41) ve (4.5.42) denkleleri yerine konunca, (4.5.40) denklei şu şekli alır. n k n κ G sk = i=1 V relik k i (ξ reli ξ reli ) + i=1 Ω relik κ i (ψ reli ψ reli ) (4.5.43) Genelleştiriliş Eyleti Kuvvetleri Sistedeki eyleticiler tarafından uygulanan kuvvet ve torkların yaptığı topla sanal iş, aşağıda görülen iki biçide ifade edilebilir. δw act = i=1 P i δξ i = k=1 Q k δq k (4.5.44) (4.5.44) denkleinde, P i sigesi, i-yinci eyleticinin n i biri vektörüyle tesil edilen eyleti ekseni boyunca ya da etrafında uyguladığı kuvveti ya da torku; δξ i sigesi de, aynı eyleticinin iki ucu arasında n i boyunca ya da etrafında oluşabilecek sanal yerdeğiştireyi gösterektedir. Aynı denkledeki Q k sigesi ise, q k genelleştiriliş koordinatına karşılık gelen genelleştiriliş eyleti kuvvetini gösterektedir. Bu arada, δξ i ile δq k arasındaki ilişki şöyle ifade edilebilir. δξ i = k=1 E ki δq k (4.5.45) Bu ilişki kullanılarak (4.5.44) denklei şöyle yazılabilir. i=1 δw act = k=1 E ki P i δq k = k=1 Q k δq k (4.5.46) (4.5.46) denkleinden Q k ile P i arasında şu ilişki elde edilir. Q k = i=1 E ki P i (4.5.47) q k RDK M. Keal Özgören

83 (4.5.45) ve (4.5.47) denkleleri, aşağıdaki atris denkleleri biçiinde de yazılabilir. δξ = E tδq (4.5.48) Q = E P (4.5.49) Genelleştiriliş Dış Etki Kuvvetleri Sistedeki cisilere dışarıdan uygulanan kuvvet ve oentlerin yaptığı topla sanal iş, şöyle ifade edilebilir. n n δw ext = i=1 F ext i δr i + i=1 M ext i δη i = k=1 S k δq k (4.5.50) Öte yandan, (4.5.13) ve (4.5.14) denklelerine benzer bir biçide, cisilerin sanal ötelene ve döne yerdeğişileri, genelleştiriliş koordinatların sanal değişileriyle aşağıdaki denklelere göre ilişkilendirilebilir. δr i = k=1 V ik δq k (4.5.51) δη i = k=1 Ω ik δq k (4.5.52) Böylece, k-yinci geneleştiriliş dış etki kuvveti, aşağıdaki ifadeyle elde ediliş olur. n n S k = i=1 F ext i V ik + i=1 M ext i Ω ik (4.5.53) (4.5.53) denkleindeki vektörlerin ifade edildikleri eksen takılarına bağlı olarak aynı denkle aşağıdaki biçilerde de yazılabilir. n V ik (0)t ext(0) F i S k = i=1 + i=1 Ω ik n ext(i) n n (0)t M iext(0) (i)t M iext(i) = V ik (i)t i=1 F i + i=1 Ω ik (4.5.54) Hareket Denklei Önceki kısılarda yapılan hazırlıklar kullanılarak skalar Lagrange denkleleri, k {1, 2,, } için aşağıdaki hareket denkleleri biçiinde yazılabilir. i=1 M ki q i = i=1 E ki P i + Z k (4.5.55) (4.5.55) denkleindeki eklentisel Z k terii şöyle tanılanıştır. Z k = S k G sk G gk i=1 B ki q i i=1 j=1 C kij q iq j (4.5.56) (4.5.56) denkleindeki C kij katsayısı ise sistedeki Coriolis, erkezkaç ve jiroskopik etkileri tesil eder. Bu katsayı, şöyle tanılanıştır. C kij = M ki q j 1 2 M ij q k (4.5.57) (4.5.55) denklei, aşağıdaki atris denklei biçiinde yazılarak (4.2.39) sayılı hareket denkleine tekrar ulaşılış olur. M q = E P + Z (4.5.58) RDK M. Keal Özgören

84 Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Hareket Denklei Şekil 4.5 İki Serbestlik Dereceli Düzlesel Bir Paralel Manipülatör Daha önce Şekil 4.4'te gösterilen düzlesel paralel anipülatör, Şekil 4.5'te daha az ayrıntıyla tekrar gösteriliştir. Bu örnekte, sözü edilen anipülatörün hareket denklei Lagrange yönteiyle elde edilecektir. Mateatiksel ayrıntıyı azaltak aacıyla, anipülatörün kütlesinin P noktasında taşınan cisin kütlesine göre ihal edilebilir küçüklükte olduğu varsayılıştır. Ayrıca, eklelerdeki sürtüne kuvvet ve torklarının da ihal edilebilir düzeyde oldukları varsayılıştır. Genelleştiriliş koordinatlar olarak P noktasının koordinatları (x ve y) alınıştır. Eyleti kuvvetleri ise, doğrusal eyleticilerin uyguladığı F 1 ve F 2 kuvvetleridir. Manipülatöre taşınan cisin ağırlığından başka bir dış kuvvetin etki etediği varsayılıştır. Lagrange yönteinin uygulanış aşaaları ve ayrıntıları aşağıda gösteriliştir. Kinetik Enerji: K = 1 2 (x 2 + y 2 ) (4.5.59) Genelleştiriliş Moentular: p x = K/ x = x (4.5.60) p y = K/ y = y (4.5.61) Potansiyel Enerji: U = gy (4.5.62) Enerji Yitire İşlevi: D = 0 (4.5.63) Genelleştiriliş Kuvvetlerin Sanal İş Yönteiyle Belirlenişi: δw = F 1 δs 3 + F 2 δs 4 = Q x δx + Q y δy (4.5.64) Kısı 4'teki kineatik analize göre, anipülatörün bacak boyları, x ve y koordinatlarına aşağıdaki denklelerle bağlıdır. s 3 = (b 0 + x) 2 + y 2 (4.5.65) s 4 = (b 0 x) 2 + y 2 (4.5.66) RDK M. Keal Özgören

85 (4.5.65) ve (4.5.66) denklelerinden δs 3 ve δs 4 şöyle elde edilir. δs 3 = yδy+(b 0+x)δx (b 0 +x) 2 +y 2 (4.5.67) δs 4 = yδy (b 0 x)δx (b 0 x) 2 +y 2 (4.5.68) Bunu üzerine, (4.5.64) denklei, Q x ve Q y genelleştiriliş kuvvetlerini şöyle verir. Q x = Q y = b 0 +x F b (b 0 +x) 2 +y x F (b 0 x) 2 +y 2 2 (4.5.69) y (b 0 +x) 2 +y 2 F 1 + Skalar Hareket Denkleleri: p x K + D + U = Q x x x x p y K + D + U = Q y y y y x = y = y (b 0 x) 2 +y 2 F 2 (4.5.70) } b 0 +x F b (b 0 +x) 2 +y x F (b 0 x) 2 +y 2 2 (4.5.71) y (b 0 +x) 2 +y 2 F 1 + Toplu Hareket Denklei: M q = E P + Z [ 0 0 ] [x ] = [ y b 0 +x (b 0 +x) 2 +y 2 y (b 0 +x) 2 +y 2 Manipülatörün Sanki-Statik İşletii: y (b 0 x) 2 +y 2 F 2 g (4.5.72) b 0 x (b 0 x) 2 +y 2 F y ] [ 1 ] [ 0 F 2 g ] (4.5.73) (b 0 x) 2 +y 2 Eğer anipülatör sanki-statik koşullarda işletiliyorsa, q 0 olur ve böyle bir işleti için gereken eyleti kuvvetleri, eğer det (E ) 0 ise, aşağıdaki forülle bulunur. P = E 1 Z (4.5.74) Örnekteki anipülatör için, det(e ) = 2b 0 y (b 0 +x) 2 +y 2 (b 0 x) 2 +y 2 (4.5.75) Dolayısıyla, eğer y 0 ise, eyleti kuvvetleri şöyle bulunur. [ F 1 ] = (b 0+x) 2 +y 2 (b 0 x) 2 +y 2 [ F 2 2b 0 y y (b 0 x) 2 +y 2 y (b 0 +x) 2 +y 2 b 0 x (b 0 x) 2 +y 2 b 0 +x ] [ (b 0 +x) 2 +y 2 0 g ] F 1 = g b 0 x 2b 0 y (b 0 + x) 2 + y 2 (4.5.76) F 2 = g b 0+x 2b 0 y (b 0 x) 2 + y 2 (4.5.77) RDK M. Keal Özgören

86 Manipülatörün Eyletisel Tekil Konuu: Eğer det (E ) = 0 olursa, yani y = 0 olursa, anipülatör, bir eyletisel tekil konua girer. Böyle bir konuda, (4.5.71) ve (4.5.72) denkleleri, aşağıdaki özel denklelere indirgenir. x = (F 1 F 2 )/ (4.5.78) y = g (4.5.79) Yukarıdaki denklelere göre, anipülatör için istenen bir hareket ancak x yönünde belirtilebilir; y yönünde ise, anipülatör ancak y = g gibi çok özel bir iveyle hareket edebilir, yani anipülatörün y yönünde yapabileceği tek hareket taşıdığı cisile birlikte düşektir. Görüldüğü gibi, (4.5.79) denkleinde F 1 ve F 2 kuvvetleri yer alaaktadır. Yani, tekil konuda, F 1 ve F 2 kuvvetlerinin y yönünde hiç bir etkisi kalaaktadır. Dolayısıyla, eyleti kuvvetleri ne olursa olsun, anipülatör düşe hareketini engelleyeez. Öte yandan, F 1 ve F 2 kuvvetlerinin her ikisinin de (4.5.78) denkleinde yer alası, anipülatör tekil konudayken x yönünde bir eyleti artıksıllığı oluşturaktadır. Bu artıksıllıktan yararlanarak x yönündeki istenen hareket, en düşük çabayla, yani (F F 2 2 ) en küçük olacak biçide, gerçekleştirilebilir. Bu özelliği sağlayan F 1 ve F 2 kuvvetleri, (4.5.78) denkleinden aşağıdaki ifadelerle elde edilir. F 1 = x /2, F 2 = x /2 (4.5.80) Daha önce, anipülatörün tekil konudaki düşe hareketini engelleyeeyeceği söylenişti. Bununla birlikte, istenir ki, tekil konua olabildiğince yakın bir konuda, yani y = y in gibi bir konuda, düşe hareketi engellenebilsin. Verilen bir y in değeri için, yani σ = ±1 olak üzere, y = σy in iken, gereken F 1 ve F 2 kuvvetleri, (4.5.76) ve (4.5.77) denkleleri kullanılarak belirlenebilir. Özel olarak x = 0 ise, F 1 ve F 2 kuvvetleri, şöyle belirlenir. F 1 = F 2 = σf ax (4.5.81) F ax = 1 2 g 1 + (b 0/y in ) 2 (4.5.82) (4.5.82) denkleine göre, F ax ne kadar büyük olabilirse, y in de o kadar küçük olabilir. Dolayısıyla, yeterince güçlü eyleticilerle, y in y y in gibi küçük bir bölge dışında düşe hareketi engellenebilir. RDK M. Keal Özgören

87 BÖLÜM 5 SERİ MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİK ANALİZİ 5.1. Kineatik İlişkiler Denavit-Hartenberg (D-H) Yöntei Şekil 5.1 Peşpeşe Ekleleniş Uzuvlara D-H Yönteinin Uygulanışı Bir seri anipülatörün peşpeşe ekleleniş uzuvlarının geoetrik ve kineatik betilenesi için kullanılabilecek en uygun yöntelerden biri, D-H (Denavit-Hartenberg) yönteidir. Ne var ki, D-H yönteinin aynı teel unsurlara dayanan değişik uygulaa biçileri vardır. Bu uygulaa biçilerinin farklılığı, aynı eksenler ve paraetreler için değişik sigelerin ve indislerin kullanılasından kaynaklanaktadır. D-H yönteinin bu bölüde kullanılan uygulaa biçii, Şekil 5.1'de gösteriliştir. Gerekli tanılaalar ve açıklaalar ise aşağıda yapılıştır. Manipülatörün k-yinci uzvu, k {0, 1, 2,, } olak üzere, B k sigesiyle gösterilir. Buna göre, B 0 uzvu, zein olarak tanılanır. Manipülatörün B k 1 ile B k uzuvları arasındaki J (k 1)k eklei, k 1 olak üzere, kısaca J k sigesiyle gösterilir. Manipülatör seri olduğu için eklelerinin her biri ya döner ya da kayar ekledir. Ayrıca, bu eklelerin tüü eyletilidir. J k ekleinin ekseni, u 3 (k) biri vektörü ile tesil edilir. Bu vektörün ekle ekseni üzerindeki yönelii, keyfi olarak seçilebilir. J k ile J k+1 eklelerinin eksenleri arasındaki ortak dike, u 1 (k) biri vektörü ile tesil edilir. Bu vektörün ortak dike üzerindeki yönelii, eğer ekle eksenleri kesişiyorsa, yakıncıl ekleden uzakçıl eklee doğru seçilir. Buradaki yakıncıl (proxial) ve uzakçıl (distal) sıfatları, zeine göre tanılanıştır. Eğer ekle eksenleri kesişiyorsa, u 1 (k) vektörünün yönelii keyfi olarak seçilebilir. RDK M. Keal Özgören

88 Ekle eksenleriyle eklelerarası ortak dikelerin kesiştiği noktalar şöyle gösterilir ve tanılanır. O k : J k ekleinin ekseni ile J k -J k+1 ortak dikesinin kesiştiği nokta (5.1.1) B k : J k ekleinin ekseni ile J k 1 -J k ortak dikesinin kesiştiği nokta (5.1.2) B k uzvuna bağlanan F k eksen takıı ise, orijini ve teel biri vektörleriyle şöyle gösterilir. F k = F k {O k ; u 1 (k), u 2 (k), u 3 (k) } (5.1.3) F k eksen takıının diklik yanında sağ elli de olabilesi için u 2 (k) biri vektörü şöyle belirlenir. u 2 (k) = u 3 (k) u 1 (k) Yukarıdaki tanılara dayanarak dört adet D-H paraetresi şöyle tanılanır. (5.1.4) β k : u 1 (k 1) ekseni etrafında u 3 (k 1) eksenini u 3 (k) eksenine döndüren açı (5.1.5) θ k : u 3 (k) ekseni etrafında u 1 (k 1) eksenini u 1 (k) eksenine döndüren açı (5.1.6) b k : u 1 (k 1) ekseni üzerinde O k 1 ile B k noktaları arasındaki uzaklık (5.1.7) s k : u 3 (k) ekseni üzerinde B k ile O k noktaları arasındaki uzaklık (5.1.8) Yukarıdaki paraetrelerden β k ile b k her zaan sabittir. Bunlardan β k açısı, "burula açısı" olarak; b k uzunluğu ise, "ekleler arası uzaklık" olarak adlandırılır. Diğer iki paraetre (θ k ve s k ) ise, eklein tipine göre, değişken ya da sabit olabilir. Eğer J k döner eklese, θ k açısı, ekle değişkeni olur; s k uzunluğu ise, sabit olur ve özel olarak d k sigesiyle gösterilir. Bu duruda, d k uzunluğu, "ekle kaçıklığı" olarak adlandırılır. Eğer J k kayar eklese, s k uzunluğu, ekle değişkeni olur; θ k açısı ise, sabit olur ve özel olarak δ k sigesiyle gösterilir. Bu duruda, δ k açısı, "kıvrıla açısı" ya da "büküle açısı" olarak adlandırılır Peşpeşe Gelen İki Uzuv Arasındaki Kineatik İlişkiler B k uzvunun B k 1 uzvuna göre bağıl yönelii (açısal konuu), aşağıdaki atrisle ifade edilir. Φ k = C (k 1,k) = e u 1β k e u 3θ k (5.1.9) B k uzvunun B k 1 uzvuna göre bağıl konuu, yani O k noktasının O k 1 noktasına göre konuu, aşağıdaki vektörle ifade edilir. r k = r k 1,k = b k u 1 (k 1) + s k u 3 (k) (5.1.10) Bu vektör, F k 1 ve F k eksen takılarında, aşağıdaki dikeysıra atrisleri biçiinde ifade edilebilir. r k = r k (k 1) = b k u 1 (k 1/k 1) + s k u 3 (k/k 1) = b k u 1 + s k C (k 1,k) u 3 (k/k) r k = b k u 1 + s k e u 1β k e u 3θ k u 3 = b k u 1 + s k e u 1β k u 3 r k = u 1b k u 2s k sin β k + u 3s k cos β k (5.1.11) RDK M. Keal Özgören

89 r k = r k (k) = C (k,k 1) r k (k 1) r k = Φ kt r k (5.1.12) r k = r k (k) = b k u 1 (k 1/k) + s k u 3 (k/k) = b C (k,k 1) k u 1 (k 1/k 1) + s k u 3 r k = b k e u 3θ k e u 1β k u 1 + s k u 3 = b k e u 3θ k u 1 + s k u 3 r k = u 1b k cos θ k u 2b k sin θ k + u 3s k (5.1.13) B k ile B k 1 uzuvları arasındaki hoojen duruş (konu ve yöneli) atrisi ise, (5.1.9) ve (5.1.11) denklelerinden yararlanılarak şöyle oluşturulur. H k = (k 1,k) H Ok 1 O k = [ C (k 1,k) (k 1) r k 1,k 0 t 1 ] = [Φ k r k 0 t 1 ] H k = [ eu 1β k e u 3θ k u 1b k u 2s k sin β k + u 3s k cos β k ] (5.1.14) 0 t 1 H k atrisi, sθ = sin θ ve cθ = cos θ kısaltalarıyla, daha ayrıntılı olarak şöyle yazılabilir. cθ k sθ k 0 b k cβ H k = [ k sθ k cβ k cθ k sβ k s k sβ k ] (5.1.15) sβ k sθ k sβ k cθ k cβ k s k cβ k Uzuvların Zeine Göre Duruşları (Yönelileri ve Konuları) Ekle değişkenlerinin belirtilen değerleri için anipülatörün uzuvlarının zeine göre duruşları, aşağıdaki yenileeli forüller kullanılarak hesaplanabilir. a) Yenileeli Uzuv Yönelileri Forülü Ψ k = C (0,k) = C (0,k 1) C (k 1,k) Ψ k = Ψ k 1 Φ k = Ψ k 1 e u 1β k e u 3θ k (5.1.16) k = 1, 2, 3,, ; Ψ 0 = I b) Yenileeli Orijin Konuları Forülü p k = O 0 O k = O 0 O k 1 + O k 1 O k p k = p k 1 + r k (5.1.17) k = 1, 2, 3,, ; p 0 = 0 (5.1.17) sayılı vektör denklei, zeine bağlı F 0 eksen takıında, aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. p k (0) = p k 1 (0) + r k (0) = p k 1 (0) + C (0,k 1) r k (k 1) ; p k (0) = p k, r k (k 1) = r k p k = p k 1 + Ψ k 1 r k (5.1.18) k = 1, 2, 3,, ; p 0 = 0 RDK M. Keal Özgören

90 (5.1.10) ve (5.1.11) denklelerinden hatırlanacağı üzere, r k = b k u 1 (k 1) + s k u 3 (k) r k = u 1b k u 2s k sin β k + u 3s k cos β k c) Kütle Merkezleri Konu Forülü Şekil 5.2 B k Uzvu ve Kütle Merkezi B k uzvu, C k kütle erkeziyle birlikte Şekil 5.2'de gösteriliştir. C k noktasının zeine göre konuu, aşağıdaki vektörle belirlenir. p k = O 0 C k = O 0 O k + O k C k = p k + c k (5.1.19) (5.1.19) denkleine F 0 eksen takıında karşılık gelen atris denklei şöyle yazılabilir. p k (0) = p k (0) + c k (0) = p k (0) + C (0,k) c k (k) p k = p k + Ψ kc k (5.1.20) C k noktası B k uzvunun sabit bir noktası olduğu için (5.1.20) denkleindeki c k = c k (k) dikeysıra atrisi de sabittir Uzuvların Zeine Göre Döne ve Ötelene Hızları Ekle değişkenleri ile birinci türevlerinin belirtilen değerleri için anipülatörün uzuvlarının zeine göre döne ve ötelene hızları, aşağıdaki yenileeli forüller kullanılarak hesaplanabilir. a) Yenileeli Açısal Hızlar Forülü ω k = ω k/0 = ω k 1/0 + ω k/k 1 (k) ω k = ω k 1 + θ ku 3 k = 1, 2, 3,, ; ω 0 = 0 (5.1.21) denkleinin F 0 eksen takıındaki atris karşılığı şöyle ifade edilebilir. (5.1.21) ω k (0) = ω k 1 (0) + θ ku 3 (k/0) = ω k 1 (0) + θ kc (0,k) u 3 (k/k) ; ω k = ω k (0) ω k = ω k 1 + θ kψ ku 3 (5.1.22) k = 1, 2, 3,, ; ω 0 = 0 RDK M. Keal Özgören

91 Gerektiğinde, ω k = ω k (k) dikeysıra atrisi de şöyle elde edilebilir. ω k = Ψ kt ω k (5.1.23) b) Yenileeli Orijin Hızları Forülü v k = D 0 p k = D 0 (p k 1 + r k ) = v k 1 + D 0 r k ; r k = b k u (k 1) 1 + s k u (k) 3 v k = v k 1 + b k D 0 u (k 1) 1 + s ku (k) 3 + s k D 0 u (k) 3 v k = v k 1 + s ku 3 (k) + b k ω k 1 u 1 (k 1) + s k ω k u 3 (k) (5.1.24) (5.1.24) denklei üzerinde şu sadeleştire yapılabilir. ω k u 3 (k) = [ω k 1 + θ ku 3 (k) ] u 3 (k) = ω k 1 u 3 (k) (5.1.25) Dolayısıyla, (5.1.24) denkleinin sağ tarafındaki son iki teri, şöyle düzenlenebilir. ω k 1 [b k u 1 (k 1) + s k u 3 (k) ] = ω k 1 r k (5.1.26) (5.1.26) denklei sayesinde, (5.1.24) denklei, daha kısa olarak şöyle yazılabilir. v k = v k 1 + s ku (k) 3 + ω k 1 r k (5.1.27) k = 1, 2, 3,, ; v 0 = 0 (5.1.27) sayılı vektör denklei, zeine bağlı F 0 eksen takıında, aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. v k (0) = v k 1 (0) + s ku 3 (k/0) + ω k 1 (0) r k (0) ; v k (0) = v k, r k (k 1) = r k v k = v k 1 + s kψ ku 3 + ω k 1 Ψ k 1 r k (5.1.28) k = 1, 2, 3,, ; v 0 = 0 c) Kütle Merkezleri Hız Forülü B k uzvuna ait C k kütle erkezinin zeine göre hızı, (5.1.19) denkleinden yola çıkılarak şöyle elde edilir. v k = D 0 p k = D 0 p k + D 0 c k v k = v k + ω k c k (5.1.29) (5.1.29) denklei, F 0 eksen takıında aşağıdaki atris denklei biçiinde yazılabilir. v k = v k + ω kψ kc k (5.1.30) Uzuvların Zeine Göre Döne ve Ötelene İveleri Ekle değişkenleri ile birinci ve ikinci türevlerinin belirtilen değerleri için anipülatörün uzuvlarının zeine göre döne ve ötelene iveleri, aşağıdaki yenileeli forüller kullanılarak hesaplanabilir. RDK M. Keal Özgören

92 a) Yenileeli Açısal İveler Forülü α k = α k/0 = D 0 ω k/0 = D 0 ω k = D 0 ω k 1 + θ ku 3 (k) + θ kd 0 u 3 (k) α k = α k 1 + θ ku 3 (k) + θ kω k u 3 (k) α k = α k 1 + θ ku 3 (k) + θ kω k 1 u 3 (k) k = 1, 2, 3,, ; α 0 = 0 (5.1.31) denkleinin F 0 eksen takıındaki atris karşılığı şöyle ifade edilebilir. (5.1.31) α k = α k 1 + θ kψ ku 3 + θ kω k 1 Ψ ku 3 (5.1.32) k = 1, 2, 3,, ; α 0 = 0 Gerektiğinde, α k = α k (k) dikeysıra atrisi de şöyle elde edilebilir. α k = Ψ kt α k (5.1.33) b) Yenileeli Orijin İveleri Forülü a k = D 0 v k = D 0 [v k 1 a k = a k 1 a o k = a k 1 + s ku 3 (k) + ω k 1 r k ] + s ku 3 (k) + s kd 0 u 3 (k) + (D 0 ω k 1 ) r k + ω k 1 D 0 r k + s ku 3 (k) + s kω k u 3 (k) + α k 1 r k + ω k 1 [s ku 3 (k) + ω k 1 r k ] a k = a k 1 + s ku (k) 3 + 2s kω k 1 u (k) 3 + α k 1 r k + ω k 1 (ω k 1 r k ) (5.1.34) k = 1, 2, 3,, ; a 0 = 0 (5.1.36) sayılı vektör denklei, zeine bağlı F 0 eksen takıında, aşağıdaki atris denklei biçiinde de yazılabilir. a k = a k s kψ ku 3 + 2s kω k 1 Ψ ku 3 + (α k 1 + ω k 1 )Ψ k 1 r k (5.1.35) k = 1, 2, 3,, ; a 0 = 0 c) Kütle Merkezleri İve Forülü B k uzvuna ait C k kütle erkezinin zeine göre ivesi, (5.1.31) denkleinden yola çıkılarak şöyle elde edilir. a k = D 0 v k = D 0 (v k + ω k c k ) a k = a k + α k c k + ω k (ω k c k ) (5.1.36) (5.1.36) denklei, F 0 eksen takıında aşağıdaki atris denklei biçiinde yazılabilir. a k = a k + (α k + ω k2 )Ψ kc k (5.1.37) RDK M. Keal Özgören

93 5.2. Eyletisel Dinaik Analiz Yenileeli Newton-Euler (Kuvvet-Moent) Denkleleri Bir seri anipülatörün B k uzvu, Şekil 5.3'te bir serbest cisi diyagraı biçiinde gösteriliştir. B k uzvuna yakıncıl koşusu olan B k 1 uzvu ve uzakçıl koşusu olan B k+1 uzvu tarafından uygulanan etkileşi kuvvetleri, F (k 1)k ve F (k+1)k sigeleriyle; etkileşi oentleri ise, M (k 1)k ve M (k+1)k sigeleriyle gösteriliştir. Şekilde de görüldüğü gibi, B k uzvunun koşularıyla etkileştiği noktaların, ekle eksenleri üzerindeki O k ve O k+1 orijinleri olduğu varsayılıştır. Şekil 5.3 B k Uzvuna Etkiyen Kuvvet ve Moentler Uzuvlara ait kuvvet ve oent denkleleri yazılırken, seri anipülatörün son uzvu olan B uzvunun uzakçıl koşusunun, arada herhangi bir ekle olasa da, B 0 (zein) olduğu kabul edilir. Buna göre, son uzuv için şu eşitlikler kullanılır. F (+1) = F 0 (5.2.1) M (+1) = M 0 (5.2.2) (5.2.1) ve (5.2.2) denklelerindeki F 0 kuvveti ile M 0 oenti, işle aygıtına uygulanan görev kuvveti ile görev oenti olarak tanılanırlar. Bu kuvvet ve oent, anipülatör üstlendiği görevi yerine getirirken, işle aygıtı tarafından anipüle edilen cisi ya da işle aygıtının üzerinde çalıştığı yüzey tarafından uygulanır. Manipülatörün dinaik analizi yapılırken F 0 kuvveti ile M 0 oentinin belirtiliş olduğu (bilindiği ya da kestirilebildiği) varsayılır. Öte yandan, Newton'un üçüncü kanununa göre, son uzuv hariç, diğer uzuvlar için yazılan kuvvet-oent denklelerinde de aşağıdaki etki-tepki ilişkileri kullanılır. F (k+1)k = F k(k+1) (5.2.3) M (k+1)k = M k(k+1) (5.2.4) Yukarıda sözü edilen etkileşi kuvvet ve oent vektörlerinin ilgili ekle eksenleri üzerindeki izdüşüleri ise, eklelerdeki eyleti ve direnç etkilerini yansıtır. Bu duru, direnç etkilerinin viskoz sürtüneden kaynaklandığı varsayılarak şöyle ifade edilebilir. RDK M. Keal Özgören

94 Eğer J k eklei döner eklese, M (k 1)k u 3 (k) = M(k 1)k3 = T k γ k θ k (5.2.5) (5.2.5) denkleinde, T k eyleti torkunu, γ k ise açısal viskoz sürtüne katsayısını gösterektedir. Bu ekle için, M (k 1)k vektörünün diğer iki bileşeni ile F (k 1)k vektörünün her üç bileşeni, ekledeki yapısal tepkileri oluşturur. Eğer J k eklei kayar eklese, F (k 1)k u 3 (k) = F(k 1)k3 = F k γ k s k (5.2.6) (5.2.6) denkleinde, F k eyleti kuvvetini, γ k ise doğrusal viskoz sürtüne katsayısını gösterektedir. Bu ekle için, F (k 1)k vektörünün diğer iki bileşeni ile M (k 1)k vektörünün her üç bileşeni, ekledeki yapısal tepkileri oluşturur. a) Yenileeli Vektör Denkleleri Yukarıdaki açıklaalara dayanarak anipülatörün uzuvları için aşağıdaki Newton-Euler (Kuvvet-Moent) denkleleri yazılabilir. Kuvvet Denklei: k a k = k g + F (k 1)k + F (k+1)k k a k = k g + F (k 1)k F k(k+1) (5.2.7) Kütle Merkezi Etrafında Moent Denklei: J k α k + ω k J k ω k = M (k 1)k + M (k+1)k + C k O k F (k 1)k + C k O k+1 F (k+1)k = M (k 1)k M k(k+1) + ( c k ) F (k 1)k + ( c k ) [ F k(k+1) ] = M (k 1)k M k(k+1) c k F (k 1)k + c k F k(k+1) (5.2.8) (5.2.7) ve (5.2.8) denklelerindeki k ile J k sigeleri, B k uzvunun kütlesi ile kütle erkezi etrafındaki atalet tensörünü gösterektedir. J k tensörü, F k eksen takıındaki sabit bileşenleri ile şöyle ifade edilebilir. 3 3 J k = J kij u (k) (k) i=1 j=1 i u j (5.2.9) (5.2.7) ve (5.2.8) denkleleri, etkileşi kuvvet ve oentlerini son ekleden başlayıp ilk eklee kadar yenileeli olarak belirleek üzere aşağıda görülen biçide düzenlenebilir. Buradaki aaç eyletisel dinaik analiz olduğu için, anipülatörün hareketinin (yani a k, α k, ω k vektörlerinin) ve işle aygıtına etkiyen görev kuvveti ile oentinin (yani F 0 ile M 0 vektörlerinin) belirtiliş olduğu kabul edilektedir. RDK M. Keal Özgören

95 F (k 1)k = F k(k+1) + F k k g (5.2.10) M (k 1)k = M k(k+1) + c k F (k 1)k c k F k(k+1) + M k (5.2.11) k =, 1, 2,, 1 F (+1) = F 0 = F 0 (5.2.12) M (+1) = M 0 = M 0 (5.2.13) (5.2.10) ve (5.2.11) denklelerinde, anipülatörün belirtiliş olan hareketine bağlı olarak bilinen ataletsel kuvvet (F k ) ile C k etrafındaki ataletsel oent (M k ) şöyle tanılanışlardır. F k = k a k (5.2.14) M k = J k α k + ω k J k ω k (5.2.15) (5.2.10) ve (5.2.11) denkleleri, (5.2.10) denklei (5.2.11) denkleinde yerine konarak ve c k c k = r k+1 olduğu göz önüne alınarak şöyle de yazılabilir. F (k 1)k = F k(k+1) k g + F k (5.2.16) M (k 1)k = M k(k+1) + r k+1 F k(k+1) k c k g + M k (5.2.17) k =, 1, 2,, 1 Dikkat edilirse, (5.2.17) denklei, C k yerine O k etrafında yazılış olan oent denkleidir. Aynı denklede yer alan M k ise, O k etrafındaki ataletsel oent olarak şöyle tanılanıştır. M k = M k + c k F k = J k α k + ω k J k ω k + k c k a k (5.2.18) b) Yenileeli Matris Denkleleri (5.2.16) ve (5.2.17) denkleleri, uygun eksen takıları kullanılarak atris denkleleri biçiinde de yazılabilir. Bu aaçla, ilgili dikeysıra atrisleri şöyle tanılanabilir. F (k 1)k = [F (k 1)k ] (k), M (k 1)k = [M (k 1)k ] (k) (5.2.19) F k(k+1) = [F k(k+1) ] (k+1), M k(k+1) = [M k(k+1) ] (k+1) (5.2.20) F k = [F k ] (k), M k = [M k ] (k), M k = [M k ] (k) (5.2.21) g = g (0) (5.2.22) Yukarıdaki tanılar kullanılarak aşağıdaki atris denkleleri yazılabilir. F (k 1)k = Φ k+1 F k(k+1) k Ψ kt g + F k (5.2.23) M (k 1)k = Φ k+1 M k(k+1) + r k+1φ k+1 F k(k+1) k c kψ kt g + M k (5.2.24) k =, 1, 2,, 1 Yukarıdaki yenileeli denkleler, k = için aşağıdaki eşitlikler kullanılarak başlatılır. Φ +1 = C (,+1) = C (,0) = Ψ t (5.2.25) RDK M. Keal Özgören

96 F (+1) = [F 0 ] (+1) = [F 0 ] (0) = F 0 (5.2.26) M (+1) = [M 0 ] (+1) = [M 0 ] (0) = M 0 (5.2.27) Ataletsel kuvvet ve oent vektörlerinin atris gösterileri ise şöyledir. F k = k Ψ kt a k (5.2.28) M k = M k + c kf k = J kα k + ω k J kω k + k c kψ kt a k (5.2.29) (5.2.22) (5.2.29) denklelerindeki atrisler hakkında şunlar söylenebilir. Hatırlanacağı üzere, "Kineatik İlişkiler" kısında (Kısı 5.1'de), ω k ile α k dikeysıra atrisleri F k eksen takıında, a k dikeysıra atrisi ise F 0 eksen takıında ifade edilişlerdi. Öte yandan, doğal olarak, J k ve c k atrisleri F k eksen takıında, g dikeysıra atrisi ise F 0 eksen takıında ifade edilir. (5.2.9) denkleine göre, J k = J k (k) atalet atrisinin ifadesi şöyledir. 3 3 J k = i=1 j=1 J kij u iu jt (5.2.30) Genel olarak F 0 eksen takıı, u 3 (0) biri vektörü yeryüzüne yukarıya doğru dik olacak biçide konulandırılır. Böyle yapıldığı taktirde, g için şu eşitlik yazılabilir. g = g (0) = gu 3 (0/0) = gu 3 (5.2.31) Eyleti Torkları ve Kuvvetleri Önceki kısıdaki yenileeli denkleler aracılığıyla etkileşi kuvvet ve oentleri elde edildikten sonra, (5.2.5) ve (5.2.6) denklelerinden de yararlanılarak, eyleti torkları ve kuvvetleri, k {1, 2, 3,, } için aşağıda açıklandığı gibi belirlenir. Eğer J k eklei, viskoz sürtüneli döner eklese, T k γ k θ k = u 3 (k) M (k 1)k = u 3t M (k 1)k T k = u 3t M (k 1)k + γ k θ k (5.2.32) Eğer J k eklei, viskoz sürtüneli kayar eklese, F k γ k s k = u 3 (k) F(k 1)k = u 3t F (k 1)k F k = u 3t F (k 1)k + γ k s k (5.2.33) 5.3. Devinisel Dinaik Analiz Hareket Denklei Bir seri anipülatörün devinisel dinaik analizi, genel olarak, ekle değişkenleri aracılığıyla yapılır. Bu aaçla, anipülatörün hareket denklei, Bölü 4'teki Lagrange forülasyonu foratına uygun olarak şöyle yazılabilir. M q + C + Γ q + G = Q + D M q = Q + (D G C Γ q ) RDK M. Keal Özgören

97 M q = Q + Z (5.3.1) (5.3.1) denkleindeki eklentisel teri (Z ), şöyle tanılanıştır. Z = D G C Γ q (5.3.2) (5.3.1) ve (5.3.2) denklelerinde ayrıca şu tanılar kullanılıştır. q : Ekle değişkenlerini içeren dikeysıra atrisi (5.3.3) Q : Eyleti torkları ve/veya kuvvetlerini içeren dikeysıra atrisi (5.3.4) M = M (q ) : Manipülatörün kütle atrisi (5.3.5) Γ : Viskoz sürtüne katsayıları atrisi (5.3.6) D : Görev kuvveti ve oentine ilişkin dikeysıra atrisi (5.3.7) G = G (q ) : Uzuv ağırlıklarına ilişkin dikeysıra atrisi (5.3.8) C = C (q, q ) : Hıza bağlı ataletsel terilere ilişkin dikeysıra atrisi (5.3.9) C dikeysıra atrisi, Merkezkaç, Coriolis ve Jiroskopik etkileri yansıtan terilerden oluşur. Yukarıdaki atrislerden Γ, bilinen (ya da kestirilen) viskoz sürtüne katsayılarından oluşan köşegensel bir atristir. Diğer atrisler ise (D, G, C, M ), herhangi bir t anında, değerleri bilinen ekle değişkenleri ve türevleri (q ve q ) kullanılarak hesaplanabilirler. Ekle değişkenleri ve türevlerinin t anındaki bilinen değerleri ise, ya siülasyon yoluyla (uygulaa süreçdışı ise) ya da ölçülerek (uygulaa süreçiçi ise) elde edilir. Önceki paragrafta sözü edilen hesaplaalar, önce yenileeli kineatik denkleler ve heen ardından yenileeli Newton-Euler denkleleri kullanılarak oldukça hızlı bir biçide yapılabilir. Bu sayede, aşırı hızlı icra edileyen süreçiçi bir uygulaada bile kullanılabilirler. Söz konusu hesaplaalar, anipülatörün değişik varsayısal yüklene koşullarında Q dikeysıra atrisinin hesaplanasına dayanır. Bu hesaplaaların nasıl yapılacağı, G, C, D ve M atrisleri için aşağıda ayrı ayrı açıklanıştır Uzuv Ağırlıklarına İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası Bu hesaplaa için şu varsayılar yapılır. q = 0, q = 0, Γ = 0, F 0 = 0, M 0 = 0 ; g 0 Bu varsayılara göre, yenileeli denkleler Q için şu sonucu verir. Q = Q G Bunun üzerine, (5.3.1) ve (5.3.2) denkleleri de G için şu sonucu verir. G = Q G (5.3.10) Eğer istenirse, G dikeysıra atrisinin eleanları, k {1, 2, 3,, } için, anipülatörün potansiyel enerji (U) işlevinin kısi türevleri alınarak aşağıda olduğu gibi de elde edilebilir. G k = U/ q k (5.3.11) RDK M. Keal Özgören

98 Hıza Bağlı Ataletsel Terilere İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası Bu hesaplaa için şu varsayılar yapılır. q = 0, g = 0, Γ = 0, F 0 = 0, M 0 = 0 ; q 0 Bu varsayılara göre, yenileeli denkleler Q için şu sonucu verir. Q = Q C Bunun üzerine, (5.3.1) ve (5.3.2) denkleleri de C için şu sonucu verir. C = Q C (5.3.12) Görüldüğü gibi, yalnızca seri anipülatörler için geçerli olan bu yöntele, C dikeysıra atrisi oldukça kolay bir biçide elde edilebilektedir. Oysa, eğer Bölü 4'te anlatılan Lagrange forülasyonu kullanılsaydı, aynı atrisi elde etek çok daha zor olurdu. Çünkü, (4.5.56) ve (4.5.57) denkleleri uyarınca, C dikeysıra atrisinin k-yinci eleanını aşağıdaki denklee göre, denkledeki kütle atrisi türevlerini ise (4.5.19) denkleine göre hesaplaak gerekirdi. C k = ( M ki 1 M ij i=1 j=1 2 q iq j (5.3.13) q j q k ) Görev Kuvveti ve Moentine İlişkin Dikeysıra Matrisinin Hesaplanası Bu hesaplaa için F 0 kuvveti ile M 0 oentinin bilinen (ölçülen ya da kestirilen) değerleri kullanılır. Gerekli hesaplaalar, şu varsayılarla yapılır. q = 0, q = 0, g = 0, Γ = 0 ; F 0 0, M 0 0 Bu varsayılara göre, yenileeli denkleler Q için şu sonucu verir. Q = Q D Bunun üzerine, (5.3.1) ve (5.3.2) denkleleri de R için şu sonucu verir. D = Q D (5.3.14) Eğer istenirse, D dikeysıra atrisi, sanal iş yöntei ile de elde edilebilir. Bunun nasıl yapıldığı, bir sonraki kısıda (Kısı 5.4'te) anlatılıştır Kütle Matrisinin Hesaplanası Bu hesaplaa, ilgilenilen t anında, kez yapılır. Her seferinde şu değerler kullanılır. q = 0, g = 0, Γ = 0, F 0 = 0, M 0 = 0 ; q = e k ; k = 1, 2, 3,, (5.3.15) Buradaki e k dikeysıra atrisi, k-yinci eleanı 1, diğer eleanları 0 olacak biçide tanılanıştır. Diğer bir değişle, {e k: k = 1, 2, 3,, } küesinin öğeleri, aşağıdaki diklik ve biri boyluluk denkleini sağlar. e i t 1, i = j ise e j = δ ij = { 0, i j ise (5.3.16) Yukarıdaki değerler kullanılarak yapılan k-yinci hesaplaada, yenileeli denkleler Q için şu sonucu verir. Q = Q Mk RDK M. Keal Özgören

99 Bu hesaplaaya göre, (5.3.1) denklei şu şekli alır. M e k = M k = Q Mk (5.3.17) (5.3.17) denkleine göre, yenileeli denklelerle hesaplanış olan Q Mk dikeysıra atrisi, M atrisinin k-yinci dikeysırası (yani M k) olaktadır. Böylece, kez yapılan hesaplaaların sonucunda, M atrisi, aşağıda gösterilen biçide elde ediliş olur. M = [M 1 M 2 M 3 M ] (5.3.18) Yine görüldüğü gibi, yalnızca seri anipülatörler için geçerli olan bu yöntele, M atrisi de oldukça kolay bir biçide elde edilebilektedir. Oysa, eğer Bölü 4'te anlatılan Lagrange forülasyonu kullanılsaydı, aynı atrisi elde etek için, gerektirdiği hesaplaalar çok daha fazla olan (4.5.17) denkleini kullanak gerekirdi Sanal İş Yönteiyle Dinaik Analiz İşle Aygıtının Duruşundaki Sanal Değişi Şekil 5.4 İki Paraklı Tutucu Biçiinde Tipik Bir İşle Aygıtı Bir seri anipülatörün işle aygıtı, kullanı aacına bağlı olarak çeşitli biçilere sahip olabilir. Bununla birlikte, bir çok anipülatörde kullanılan en tipik işle aygıtı, iki paraklı kıskaç biçiinde bir tutucudur. Böyle bir işle aygıtı, uzuvlu bir anipülatörün son uzvu olarak Şekil 5.4'te gösteriliştir. Bu işle aygıtına özgü noktalar ve paraetreler şunlardır. P = O : İşle aygıtının ve anipülatörün uç noktası R = O 1 : İşle aygıtının ve anipülatörün bilek noktası d = RP : İşle aygıtının uzunluğu İşle aygıtının zeine göre duruşu (konuu ve yönelii), aşağıdaki atris ve vektörlerle ifade edilebilir. C = Ψ = C (0,) : İşle aygıtının (son uzvun) yöneli atrisi (5.4.1) p = r OP : Uç noktasının konu vektörü (5.4.2) r = r OR : Bilek noktasının konu vektörü (5.4.3) Yukarıdaki konu vektörlerinin, O = O 0 olak üzere, F 0 eksen takıındaki atris gösterileri şöyledir. p = p (0) (5.4.4) r = r (0) (5.4.5) RDK M. Keal Özgören

100 İşle aygıtının konu vektörleri ile atris gösterileri arasında şu ilişkiler vardır. p = r + d u 3 () (5.4.6) p = r + d u 3 (/0) = r + d C (0,) u 3 (/) p = r + d C u 3 (5.4.7) İşle aygıtının zeine göre konuunu tesil eden p ve r dikeysıra atrisleri, doğal olarak, ekle değişkenlerinin işlevleridir. Dolayısıyla, bu atrislerin sanal değişileri, ekle değişkenlerinin sanal değişilerine bağlı olarak aşağıda görüldüğü gibi ifade edilebilir. δp = k=1 ) δq q k = k=1 V Pk δq k (5.4.8) k ( p δr = k=1 ) δq q k = k=1 V Rk δq k (5.4.9) k ( r (5.4.8) ve (5.4.9) denklelerindeki V Pk ve V Rk dikeysıra atrisleri, uç ve bilek noktalarına ait "değişisel etki katsayıları" olarak adlandırılırlar. Bu katsayıların ilgili denklelerde de görülen ifadeleri şöyledir. V Pk = p q k V Rk = r q k (5.4.10) (5.4.11) Bu arada, (5.4.7) denkleinden yola çıkarak aşağıdaki sanal değişi denklei yazılabilir. δp = δr + d (δc )u 3 = δr + d [(δc )C t ]C u 3 = δr + d (δψ )C u 3 (5.4.12) (5.4.12) denkleindeki δψ = as(δψ ) atrisi, işle aygıtının yöneliindeki sanal değişii F 0 eksen takıında tesil eden antisietrik atris olarak tanılanır. Bu atris, ekle değişkenlerinin sanal değişilerine bağlı olarak şöyle ifade edilebilir. δψ = (δc )C t = k=1 ) C t δq q k = k=1 Ω kδq k (5.4.13) k ( C (5.4.13) denkleindeki Ω k dikeysıra atrisi, işle aygıtının yöneliine ait "değişisel etki katsayısı" olarak tanılanır. Bu katsayının antisietrik atris (as) biçiindeki ifadesi şöyledir. Ω k = as(ω k) = ( C RDK M. Keal Özgören q k ) C t (5.4.14) Öte yandan, herhangi bir seri anipülatöre ait C atrisi için aşağıdaki genel ifade yazılabilir. C = e n 1θ 1 e n 2θ 2 e n 3θ 3 e n θ C 0 (5.4.15) (5.4.15) denkleinde, C 0 atrisi ile her k {1, 2, 3,, } için, n k dikeysıra atrisi sabittir. Ayrıca, anipülatördeki kayar eklelerin sayısına ve sırasına bağlı olarak (5.4.15) denkleindeki açılardan bazıları sabit olabilir. (5.4.14) ve (5.4.15) denkleleri kullanılarak ve açıların hepsine değişken uaelesi yapılarak gösterilebilir ki, Ω 1 = n 1, Ω 2 = e n 1θ 1 n 2, Ω 3 = e n 1θ 1 e n 2θ 2 n 3, Ω = e n 1θ 1 e n 2θ 2 e n 1θ 1 n (5.4.16)

101 Yukarıda tanılanan değişisel etki katsayıları kullanılarak aşağıdaki Jacobi (Yakobi) atrisleri oluşturulabilir. a) Uç Noktası Jacobi Matrisi J P = [ V P1 Ω 1 V P2 Ω 2 V P3 Ω 3 b) Bilek Noktası Jacobi Matrisi J R = [ V R1 Ω 1 V R2 Ω 2 V R3 Ω 3 V P ] (5.4.17) Ω V R ] (5.4.18) Ω Jacobi atrisleri kullanılarak da, işle aygıtının duruşundaki (konuundaki ve yöneliindeki) sanal değişii ifade etek üzere, aşağıdaki büyütülüş dikeysıra atrisleri (δξ P ve δξ R) tanılanıp δq ile ilişkilendirilebilir. Ek Açıklaa: δξ P = [ δp δψ ] = J Pδq (5.4.19) δξ R = [ δr δψ ] = J Rδq (5.4.20) Bu kısıda kullanılan değişisel etki katsayıları ile daha önce hız analizinde kullanılış olan hız etki katsayıları aslında aynıdır. Dolayısıyla, bu katsayılar ve onlardan oluşan Jacobi atrisleri, işle aygıtının hızı ile ekle değişkenlerinin türevlerini, aşağıdaki denklelere göre ilişkilendirek için de kullanılabilirler. v P = p = k=1 ) q q k = k=1 V Pk q k (5.4.21) k ( p v R = r = k=1 ) q q k = k=1 V Rk q k (5.4.22) k ( r ω = ω /0 = C C t = k=1 ) C t q q k = k=1 Ω kq k (5.4.23) k ( C v P = v R + d ω C u 3 (5.4.24) η P = [ v P ω ] = J Pq (5.4.25) η R = [ v R ω ] = J Rq (5.4.26) Görev Kuvveti ile Moentinin İşle Aygıtı Üzerinde Yaptıkları Sanal İş Kısı 5.2'de, işle aygıtına yaptığı görev nedeniyle anipülatörün dışından uygulanan görev kuvveti ve görev oenti, F 0 ve M 0 vektörleriyle gösterilişti. Bu vektörleri F 0 eksen takıında tesil eden dikeysıra atrisleri ise, F 0 ve M 0 sigeleriyle gösterilişti. Kısı 5.3'te, görev kuvveti ve oentini ekle uzayına yansıtan D dikeysıra atrisi, yenileeli denkleler yönteiyle elde edilişti. Bu kısıda ise, D dikeysıra atrisinin sanal iş yönteiyle elde edilişi üzerinde durulacaktır. D dikeysıra atrisini bu şekilde elde etek aacıyla, aşağıda açıklanan iki forülasyon seçeneğinden biri kullanılabilir. RDK M. Keal Özgören

102 a) Uç Noktasına Göre Sanal İş Forülasyonu Görev kuvveti ve oentinin anipülatörün duruşundaki sanal değişi nedeniyle yaptıkları iş, görev kuvvetinin işle aygıtının uç noktasına etkidiği varsayııyla, şöyle ifade edilebilir. δw 0 = F 0 δp + M 0 δψ (5.4.27) (5.4.27) denklei, denklede yer alan vektörlerin F 0 eksen takıındaki atris gösterileri kullanılarak şöyle de yazılabilir. t t δw 0 = F 0 δp + M 0 δψ (5.4.28) (5.4.28) denkleindeki δp ve δψ sanal değişileri, (5.4.10) ve (5.4.13) denkleleri kullanılarak ekle değişkenlerindeki sanal değişiler cinsinden ifade edilebilir. Bunun sonucunda, (5.4.28) denklei şu şekli alır. δw 0 = t t k=1 (F 0 V Pk + M 0 Ω k)δq k = k=1 (V Pk t F 0 + Ω kt M 0 )δq k (5.4.29) Öte yandan, (5.3.1) denkleinde, görev kuvvet ve oentinin ekle uzayına yansıası D dikeysıra atrisiyle gösterilişti. Bu atrisin eleanları kullanılarak δw 0 şöyle de ifade edilebilir. δw 0 = k=1 D k δq k (5.4.30) (5.4.29) ve (5.4.30) denkleleri karşılaştırılınca, aşağıdaki sonuçlara ulaşılır. D k = V Pk t F 0 + Ω kt t M 0 = [V Pk Ω kt ] [ F 0 M 0 ] (5.4.31) D = D 1 D 2 D 3 = [ D ] [ t V P1 t V P2 t V P3 t V P Ω 1t Ω 2t Ω 3t Ω t ] [ F 0 M 0 ] (5.4.32) (5.4.32) denklei, (5.4.17) denkleiyle tanılanan Jacobi atrisi (J P) kullanılarak aşağıdaki derleşik biçide de yazılabilir. D = J Pt F 0 (5.4.33) (5.4.33) denkleindeki F 0 dikeysıra atrisi ise, "büyütülüş görev kuvveti" adıyla şöyle tanılanıştır. F 0 = [ F 0 M 0 ] R 6 (5.4.34) D dikeysıra atrisinin (5.4.33) denkleiyle elde edilesinden sonra, anipülatörün daha önce (5.3.1) denklei biçiinde yazılan hareket denklei, bu kez şöyle yazılabilir. M q = Q + J Pt F 0 (Γ q + C + G ) (5.4.35) RDK M. Keal Özgören

103 b) Bilek Noktasına Göre Sanal İş Forülasyonu Yukarıda uç noktasına göre yapılan forülasyon, istenirse, bilek noktasına göre de yapılabilir. Bu seçeneğin tercih edile gerekçesi, J R atrisinin J P atrisine göre daha basit bir ifadeye sahip olasıdır. Bilek noktası seçeneğini kullanak üzere, (5.4.12) sayılı atris denkleine karşılık gelen vektör denklei şöyle yazılabilir. δp = δr + δψ [d u 3 () ] = δr + d δψ u 3 () (5.4.36) (5.4.36) denklei yerine konunca, (5.4.27) sayılı sanal iş denklei şu şekli alır. δw 0 = F 0 [δr + d δψ u 3 () ] + M 0 δψ δw 0 = F 0 δr + F 0 [d δψ u 3 () ] + M 0 δψ (5.4.37) Öte yandan, u, v, w gibi üç vektör arasında aşağıdaki ilişkinin olduğu gösterilebilir. u (v w ) = v (w u ) = (w u ) v (5.4.38) (5.4.38) denklei sayesinde, (5.4.37) denklei şöyle de yazılabilir. δw 0 = F 0 δr + [d u 3 () F0 ] δψ + M 0 δψ δw 0 = F 0 δr + M 0 δψ (5.4.39) (5.4.39) denkleindeki M 0 oenti şöyle tanılanıştır. () M 0 = M 0 + d u 3 F0 (5.4.40) (5.4.40) denkleinin F 0 (O) eksen takıındaki atris karşılığı şöyle yazılabilir. M 0 = M 0 + d C u 3C t F 0 (5.4.41) Dikkat edilirse, {F 0, M 0 } çifti, {F 0, M 0 } çiftinin, aynı etkiyi yaratak üzere, uç noktasından (P noktasından) bilek noktasına (R noktasına) kaydırılış eşdeğerlisidir. {F 0, M 0 } çifti yerine {F 0, M 0 } çifti kullanılınca, (5.4.33) ve (5.4.35) denkleleri aşağıdaki şekilleri alırlar. D = J Rt F 0 (5.4.42) M q = Q + J Rt F 0 (Γ q + C + G ) (5.4.43) (5.4.42) ve (5.4.43) denklelerindeki F 0 dikeysıra atrisi, "kaydırılış ve büyütülüş görev kuvveti" olarak şöyle tanılanıştır. F 0 = [ F 0 ] R 6 (5.4.44) M Manipülatörün Sanki-Statik Dengesi Hassas konulaa ve/veya ağır yük taşıa gerektiren bazı görevlerde, anipülatörün oldukça düşük hız ve ivelerle hareket etesi istenebilir. Böyle bir görev sırasında, anipülatörün sanki statik dengede olduğu varsayılabilir. Bu varsayıa göre, (5.4.35) ve (5.4.43) denkleleri, aşağıdaki denklelere indirgenir. RDK M. Keal Özgören

104 Q + J Pt F 0 G = 0 (5.4.45) Q + J Rt F 0 G = 0 (5.4.46) (5.4.45) ve (5.4.46) denkleleri de, anipülatörün sanki-statik dengede kalabilesini sağlayan eyleti kuvvet ve/veya oentlerini içeren Q dikeysıra atrisini şöyle verir. Q = G J Pt F 0 = G J Rt F 0 (5.4.47) 5.5. Örnek: Stanford Manipülatörü Manipülatörün Kineatik Betilenesi Stanford anipülatörünün yandan ve üstten görünüşleri, Şekil 5.5'te gösteriliştir. Şekilde de görüldüğü gibi, bu anipülatör, beş döner ekle (R) ve bir kayar ekle (P) içerir. Bu ekleler, RRPRRR sıralaasına göre düzenlenişlerdir. Stanford anipülatörüne özgü geoetrik ayrıntılar ise, Şekil 5.6'da, çizgi diyagraları eşliğinde gösteriliştir. (yandan görünüş) (üstten görünüş) Şekil 5.5 Stanford Manipülatörü Şekil 5.6 Stanford Manipülatörüne Özgü Geoetrik Ayrıntılar RDK M. Keal Özgören

105 Stanford anipülatörüne ait ekle değişkenleri, sabit paraetreler ve özel noktalar aşağıda belirtiliştir. Ekle Değişkenleri: θ 1, θ 2, s 3 = SR, θ 4, θ 5, θ 6 Sabit Paraetreler: s 2 = d 2 = OS, s 6 = d 6 = RP, θ 3 = δ 3 = 0 ; β 1 = 0, β 2 = π 2, β 3 = π 2, β 4 = 0, β 5 = π 2, β 6 = π 2 Özel Noktalar: O: zein orijini, S: ouz noktası, R: bilek noktası, P: uç noktası İşle Aygıtının Zeine Göre Duruşu a) İşle Aygıtının Yönelii İşle aygıtının F 0 (O) eksen takıına göre yöneliini gösteren C = C (0,6) atrisine, aşağıdaki yenileeli denkle silsilesiyle ulaşılabilir. C (0,k) = Ψ k = Ψ k 1 Φ k (5.5.1) Φ k = C (k 1,k) = e u 1β k e u 3θ k (5.5.2) Ψ 1 = Φ 1 = e u 10 e u 3θ 1 = e u 3θ 1 (5.5.3) Ψ 2 = Ψ 1Φ 2 = (e u 3θ 1 )(e u 1π/2 e u 3θ 2 ) = e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 1π/2 (5.5.4) Ψ 3 = Ψ 2Φ 3 = (e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 1π/2 )(e u 1π/2 e u 30 ) = e u 3θ 1 e u 2θ 2 (5.5.5) Ψ 4 = Ψ 3Φ 4 = (e u 3θ 1 e u 2θ 2 )(e u 10 e u 3θ 4 ) = e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 (5.5.6) Ψ 5 = Ψ 4Φ 5 = (e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 )(e u 1π/2 e u 3θ 5 ) = e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 e u 1π/2 (5.5.7) Ψ 6 = Ψ 5Φ 6 = (e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 e u 1π/2 )(e u 1π/2 e u 3θ 6 ) = e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 e u 3θ 6 (5.5.8) C = Ψ 6 = e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 e u 3θ 6 (5.5.9) b) Bilek Noktasının Konuu Bilek noktasının zeine göre konuu, şu vektörle tesil edilir. r = r OR = r OS + r SR = d 2 u 3 (2) + s 3 u 3 (3) (5.5.10) Bu vektörün F 0 (O) eksen takıındaki atris gösterii, şöyle ifade edilebilir. r = r (0) = d 2 u 3 (2/0) + s 3 u 3 (3/0) = d C (0,2) 2 u 3 (2/2) + s C (0,3) 3 u 3 (3/3) r = d 2 Ψ 2u 3 + s 3 Ψ 3u 3 r = d 2 e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 1π/2 u 3 + s 3 e u 3θ 1 e u 2θ 2 u 3 r = e u 3θ 1 (d 2 u 2 + s 3 e u 2θ 2 u 3) r = e u 3θ 1 (u 1s 3 sθ 2 + u 2d 2 + u 3s 3 cθ 2 ) = e u 3θ 1 r (5.5.11) RDK M. Keal Özgören

106 (5.5.11) denkleindeki r dikeysıra atrisi, r vektörünün F 1 (O) eksen takıındaki atris gösteriidir. Bir başka deyişle, r = r (1) = u 1r 1 + u 2r 2 + u 3r 3 = u 1s 3 sθ 2 + u 2d 2 + u 3s 3 cθ 2 (5.5.12) Eğer istenirse, (5.5.11) denklei, daha da açılarak R noktasının F 0 (O) eksen takıındaki koordinatlarını verecek biçide şöyle de yazılabilir. r = u 1r 1 + u 2r 2 + u 3r 3 = u 1(s 3 cθ 1 sθ 2 d 2 sθ 1 ) + u 2(s 3 sθ 1 sθ 2 + d 2 cθ 1 ) + u 3(s 3 cθ 2 ) (5.5.13) c) Uç Noktasının Konuu Uç noktasının F 0 (O) eksen takıına göre konuunu ifade etek üzere, şu denkleler yazılabilir. p = r + d 6 u 3 (6) p = p (0) = r (0) + d 6 u 3 (6/0) = r (0) + d 6 C (0,6) u 3 (6/6) (5.5.14) p = r + d 6 C u 3 (5.5.15) İşle Aygıtının Zeine Göre Hızı a) İşle Aygıtının Açısal Hızı İşle aygıtının F 0 (O) eksen takıına göre açısal hızı, (5.4.23) denklei kullanılarak şöyle ifade edilebilir. ω = k=1 Ω kq k (5.5.16) (5.5.16) denkleindeki açısal hız etki katsayıları, k {1, 2,,6} için, antisietrik atris biçileriyle şöyle tanılanıştır. Ω k = ( C q k )C t (5.5.17) (5.5.9) ve (5.5.17) denkleleri kullanılarak gösterilebilir ki, Ω 1 = u 3, Ω 2 = e u 3θ 1 u 2, Ω 3 = 0, Ω 4 = e u 3θ 1 e u 2θ 2 u 3 Ω 5 = e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 u 2, Ω 6 = e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ } (5.5.18) 5 u 3 (5.5.18) denkle grubu sayesinde, ω şöyle elde edilir. ω = θ 1u 3 + θ 2e u 3θ 1 u 2 + θ 4e u 3θ 1 e u 2θ 2 u 3 + θ 5e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 u 2 + θ 6e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 u 3 (5.5.19) b) Bilek Noktasının Hızı Bilek noktasının F 0 (O) eksen takıına göre hızı, (5.4.22) denklei kullanılarak şöyle ifade edilebilir. v R = k=1 (5.5.20) V Rk q k RDK M. Keal Özgören

107 (5.5.20) denkleindeki bilek noktasına ait hız etki katsayıları, k {1, 2,,6} için şöyle tanılanıştır. V Rk = r q k (5.5.21) (5.5.11) ve (5.5.21) denkleleri kullanılarak gösterilebilir ki, V R1 = e u 3θ 1 u 3(u 1s 3 sθ 2 + u 2d 2 + u 3s 3 cθ 2 ) = e u 3θ 1 (u 2s 3 sθ 2 u 1d 2 ) (5.5.22) V R2 = s 3 e u 3θ 1 (u 1cθ 2 u 3sθ 2 ) (5.5.23) V R3 = e u 3θ 1 (u 1sθ 2 + u 3cθ 2 ) (5.5.24) V R4 = V R5 = V R6 = 0 (5.5.25) (5.5.22) (5.5.25) denkleleri sayesinde, v R şöyle elde edilir. v R = e u 3θ 1 [θ 1(u 2s 3 sθ 2 u 1d 2 ) + s 3 θ 2(u 1cθ 2 u 3sθ 2 ) b) Uç Noktasının Hızı +s 3(u 1sθ 2 + u 3cθ 2 )] (5.5.26) Bilek noktasının hızı ile işle aygıtının açısal hızı elde edildikten sonra, uç noktasının hızı da şöyle elde edilir. v P = v R + d 6 ω C u 3 (5.5.27) Manipülatörün Jacobi Matrisleri a) Bilek Noktası Jacobi Matrisi Bir önceki alt kısıda ifade edilen hız etki katsayıları kullanılarak bilek noktasına ait Jacobi atrisi şöyle oluşturulur. J R = [ V R1 V R2 V R3 Ω 1 Ω 2 0 a) Uç Noktası Jacobi Matrisi ] (5.5.28) Ω 4 Ω 5 Ω 6 (5.5.27) denkleinden yola çıkarak uç noktasına ait hız etki katsayıları, aşağıda açıklanan biçide elde edilir. k=1 V Pk q k = k=1 V Rk q k + d 6 ( k=1 Ω kq k )C u 3 V Pk = V Rk + d 6 Ω kc u 3 (5.5.29) k = 1, 2,,6 Böylece, J P atrisi de şöyle oluşturulur. J P = [ V P1 V P2 V P3 Ω 1 Ω 2 0 V P4 V P5 0 ] (5.5.30) Ω 4 Ω 5 Ω 6 RDK M. Keal Özgören

108 (5.5.30) denkleinde V P6 = 0 olduğu aşağıda gösteriliştir. V P6 = V R6 + d 6 Ω 6C u 3 = d 6 Ω 6C u 3 V P6 = d 6 (e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 u 3e u 2θ 5 e u 3θ 4 e u 2θ 2 e u 3θ 1 ) (e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 e u 3θ 6 )u 3 V P6 = d 6 e u 3θ 1 e u 2θ 2 e u 3θ 4 e u 2θ 5 u 3u 3 ; u 3u 3 = 0 V P6 = 0 (5.5.31) Manipülatörün Sanki-Statik Denge Duruunda Kullanıı Buradaki inceleede, anipülatörün icra ettiği bir iş nedeniyle uç noktasına zaanın işlevi olarak bilinen bir {F 06, M 06 } kuvvet-oent çifti etkiektedir. Bu kuvvet-oent çifti, eşdeğerli olarak bilek noktasına {F 06, M 06 } çifti biçiinde kaydırıldığında, ortaya çıkan M 06 oenti, şu denklee göre belirir. M 06 = M 06 + d 6 u (6) 3 F 06 = M 06 + d 6 u a F 06 (5.5.32) (5.5.32) vektör denkleinin F 0 eksen takıındaki atris karşılığı, şöyle yazılabilir. M 06 = M 06 + d 6 u af 06 = M 06 + d C u 3C t 6 F 06 (5.5.33) (5.5.33) denkleinde, u a = u a (0) = C u 3, u a yaklaşı vektörünün F 0 eksen takıındaki atris gösteriidir. Manipülatörün son üç uzvunun kütlelerinin diğerlerine göre ihal edilebilir düzeyde olduğu varsayılabilir. Dolayısıyla, potansiyel enerji işlevi şöyle ifade edilebilir. U = 3 g(s 3 c 3 )cθ 2 (5.5.34) (5.5.34) denkleinde, c 3 = RC 3 uzunluğu, üçüncü uzvun kütle erkezinin bilek noktasına göre konuunu gösterektedir. Aynı denkleden G dikeysıra atrisinin eleanları, G k = U/ q k eşitliğine göre, şöyle elde edilir. G 1 = G 4 = G 5 = G 6 = 0 (5.5.35) G 2 = 3 g(s 3 c 3 )sθ 2 (5.5.36) G 3 = 3 gcθ 2 (5.5.37) Bunun üzerine, (5.4.47) denkleine göre, anipülatörü sanki-statik dengede tutak için gereken Q dikeysıra atrisi, şöyle belirlenir. Q = G J Rt F 0 (5.5.38) Özel bir duru olarak, anipülatörün aşağıda belirtilen duruşunda statik dengede tutulası istenektedir. θ 1 = 0, θ 2 = 45, s 3 = 2c 3, θ 4 = 0, θ 5 = 0, θ 6 = 0 (5.5.39) RDK M. Keal Özgören

109 Yukarıda belirtilen özel duruda, C ve u a atrislerinin ifadeleri şöyle olur. C = e u 2π/4 (5.5.40) u a = C u 3 = 0.707(u 1 + u 3) (5.5.41) (5.5.41) denkleine göre, (5.5.33) denklei şu şekli alır. M 06 = M d 6 (u 1 + u 3)F 06 (5.5.42) (5.5.42) denkleinden de M 06 oentinin F 0 'daki bileşenleri şöyle elde edilir. M 061 = M d 6 F 062 (5.5.43) M 062 = M d 6 (F 061 F 063 ) (5.5.44) M 063 = M d 6 F 062 (5.5.45) Bu arada, G dikeysıra atrisinin sıfır olayan eleanları, şöyle ifade edilir. G 2 = 0.707c 3 3 g (5.5.46) G 3 = g (5.5.47) (5.5.18) ile (5.5.22) (5.5.25) denkleleri ise, hız etki katsayıları için şu sonuçları verir. Ω 1 = u 3 (5.5.48) Ω 2 = Ω 5 = u 2 (5.5.49) Ω 3 = 0 (5.5.50) Ω 4 = Ω 6 = 0.707(u 1 + u 3) (5.5.51) V R1 = 1.414c 3 u 2 d 2 u 1 (5.5.52) V R2 = 1.414c 3 (u 1 u 3) (5.5.53) V R3 = 0.707(u 1 + u 3) (5.5.54) V R4 = V R5 = V R6 = 0 (5.5.55) Bu özel duruda uygulanası gereken eyleti kuvveti ve oentleri ise, (5.5.38) denklei, k = 1, 2,, 6 için, elean bazında yazılarak şöyle ifade edilebilir. Q k = G k V Rk t F 06 Ω kt M 06 (5.5.56) (5.5.56) denklei, her ekle için ayrı ayrı kullanılınca, eyletici kuvvet ve torkları aşağıdaki ifadelerle elde edilir. Q 1 = T 1 = d 2 F c 3 F 062 M 063 (5.5.57) Q 2 = T 2 = 0.707c 3 3 g 1.414c 3 (F 061 F 063 ) M 062 (5.5.58) Q 3 = F 3 = g 0.707(F F 063 ) (5.5.59) Q 4 = T 4 = 0.707(M M 063 ) (5.5.60) Q 5 = T 5 = M 062 (5.5.61) Q 6 = T 6 = 0.707(M M 063 ) (5.5.62) RDK M. Keal Özgören

110 BÖLÜM 6 MANİPÜLATÖRLERİN SERBEST KONUM KONTROLU 6.1. Bağısız Ekle Kontrolcuları Yöntei otor indirgeç Şekil 6.1 Elektrik Motoru ve İndirgeçli Eyleti Yapısı Bir anipülatörün eyletili eklelerinde kullanılan eyleticiler, genellikle, yüksek devirli fakat düşük torklu elektrik otorları olarak seçilirler. Dolayısıyla, böyle bir otorun ait olduğu ekle aracılığıyla anipülatörü eyletebilesi için hız indirgeesi yüksek olan bir indirgeçle birlikte kullanılası gerekir. Böyle bir eyleti yapısı, J k eklei için Şekil 6.1'de gösteriliştir. Şekildeki J k eklei, bir döner ekle gibi gözükektedir. Ancak, indirgeçle anipülatör uzvu arasında vidasal bir dönüştürgeç barındıran bir kayar ekle de olabilir. Şekilde kullanılan sigeler aşağıda açıklanıştır. Q k : İndirgecin anipülatöre uyguladığı eyleti torku (T k ) ya da kuvveti (F k ) T k : Motorun indirgece uyguladığı eyleti torku q k : Ekle değişkeni (θ k ya da s k ) ω k : Motorun açısal hızı V k : Motora uygulanan eyleti voltajı n k = q k/ω k : Hız indirgee oranı (n k = 1/N k ) Not: Hız indirgee oranı, genellikle, N k birden büyük bir tasayı olak üzere, 1/N k biçiinde ifade edilir. N k ise, "tork yükselte oranı" olarak tanılanır. Yani, N k = Q k /T k. Eyleti sisteine ait diğer paraetreler şunlardır. I k : Motor rotorunun ve indirgecin tüleşik atalet oenti B k : Motorun indirgeçteki sürtüneyle tüleşiş geri elektrootif etki katsayısı A k : Motorun tork/voltaj katsayısı Yukarıda açıklanan paraetreler ve değişkenler kullanılarak aşağıdaki dinaik ve kineatik ilişki denkleleri yazılabilir. I k ω k + B k ω k = A k V k T k (6.1.1) q k = n k ω k (6.1.2) Q k = T k /n k (6.1.3) RDK M. Keal Özgören

111 (6.1.2) ve (6.1.3) denkleleri kullanılarak ω k ve T k değişkenleri q k ve Q k değişkenleri cinsinden yerlerine konunca, (6.1.1) denklei şu şekli alır. I k q k + B k q k = n k A k V k D k (6.1.4) (6.1.4) denkleinde saptırıcı girdi olarak görünen D k torku şöyle tanılanıştır. D k = n k 2 Q k (6.1.5) (6.1.4) ve (6.1.5) denklelerine göre, özellikle n k oranı oldukça küçük olan bir indirgeç kullanılıyorsa, anipülatörün eyleti sistei üzerindeki etkisini gösteren D k = n k 2 Q k torku çok daha küçük olur. Örneğin n k = 1/50 ise, D k = Q k /2500 olur. Diğer bir deyişle, anipülatörün kendisini eyleten bu siste ve bunun benzeri diğer ekle eyleti sisteleri üzerindeki etkisi, küçük bir saptırıcı girdi iiş gibi görünür. İşte bu nedenle, J k ekleinin eyleticisi, anipülatörün diğer eklelerindeki dinaik davranışlarla ilgileneksizin ve onlardan bağısız olarak, yalnızca q k değişkenini, bu değişken için istenen q k referans değerine olabildiğince yakın tutabilek için V k voltajı aracılığıyla kontrol edilebilir. Eklelere ilişkin referans değerleri (q 1, q 2,..., q ) ise, anipülatörün yapacağı işe göre, önce işle uzayında yapılan ve ardından ters kineatik çözüle ekle uzayına aktarılan hareket planlaası sonucunda, zaanın işlevleri olarak oluşturulurlar. Yukarıda sözü edilen bağısız kontrol yaklaşıı, çeşitli kontrol kurallarından biri kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bununla birlikte, bu aaçla kullanılan en yaygın kontrol kuralı, PID (oransal-tülevsel-türevsel) kontrol kuralıdır. Bu kuralın uygulanışı aşağıda açıklanıştır. PID kontrol kuralı uyarınca, V k voltajı, kontrol bilgisayarına bağlı uygun bir elektronik işleci aracılığıyla, en genel biçiiyle, şu şekilde oluşturulur. t V k = K pk ε k + K dk ε k + K ik ε k dτ 0 (6.1.6) denkleinde şu tanılar kullanılıştır. + K vk q k + K ak q k (6.1.6) ε k = q k q k q k q k : Konu hatası (6.1.7) q k : q k değişkeninin ölçülen değeri K pk : Oransal geribeslee katsayısı K dk : Türevsel geribeslee katsayısı K ik : Tülevsel geribeslee katsayısı K vk : Hız ileribeslee katsayısı K ak : İve ileribeslee katsayısı (6.1.7) denkleinde, q k q k olarak alınıştır. Bunun nedeni, eklelerdeki q k ölçülerinin genellikle "enkoder" denen oldukça hassas (hassas olduğu kadar da ucuz ve kullanışlı) cihazlarla yapılasıdır. RDK M. Keal Özgören

112 (6.1.6) denklei, (6.1.4) denkleinde yerine konunca, aşağıdaki kapalı döngü hata denklei elde edilir. I k q k + B k q k = I k (q k ε k) + B k (q k ε k) t 0 = n k A k [K pk ε k + K dk ε k + K ik ε k dτ + K vk q k + K ak q k ] D k t I k ε k + (B k + n k A k K dk )ε k + n k A k K pk ε k + n k A k K ik ε k dτ 0 (6.1.8) denkleindeki etkin saptırıcı girdi şöyle tanılanıştır. = D k (6.1.8) D k = D k + (B k n k A k K vk )q k + (I k n k A k K ak )q k (6.1.9) (6.1.9) denkleine göre, q k ve q k referans değerlerinin ε k üzerindeki etkilerini azaltak üzere, K ak ve K vk ileribeslee katsayıları şöyle seçilebilir. K ak = I k /(n k A k ) (6.1.10) K vk = B k /(n k A k ) (6.1.11) (6.1.10) ve (6.1.11) denklelerindeki {I k, B k, A k } üçlüsü, {I k, B k, A k } üçlüsünün noinal ya da kestirilen değerleridir. Bu şekilde seçilen ileribeslee katsayıları kullanılınca, (6.1.9) denklei, etkin saptırıcı girdiyi, paraetrik belirsizliklerin etkisi azaltılış olarak, şöyle verir. D k = D k + ( B k B k A k A k ) B k q k + ( I k I k A k A k ) I k q k (6.1.12) Bu arada, (6.1.8) denklei, taraf tarafa I k ile bölünerek ve türevi alınarak şöyle yazılabilir. ε k + (β k + α k K dk )ε k + α k K pk ε k + α k K ik ε k = δ k (6.1.13) (6.1.13) denkleinde şu tanılar kullanılıştır. β k = B k /I k (6.1.14) α k = n k A k /I k (6.1.15) δ k = D k /I k (6.1.16) (6.1.13) denklei, çıktısı ε k, girdisi ise δ k olan, üçüncü ertebeden doğrusal bir sistei tesil etektedir. Bu sistein karakteristik polinou, (6.1.13) denkleinin Laplace dönüşüü alınarak aşağıda görüldüğü gibi elde edilir. P(s) = s 3 + (β k + α k K dk )s 2 + α k K pk s + α k K ik (6.1.17) Bu sistein asiptotik kararlı olası, karakteristik polinounun aşağıdaki polinoa eşitlenesiyle sağlanabilir. P(s) = (s 2 + 2ζω n s + ω n 2 )(s + ηω n ) P(s) = s 3 + (2ζ + η)ω n s 2 + (1 + 2ζη)ω n 2 s + ηω n 3 (6.1.18) Asiptotik kararlılığı garantileek üzere, (6.1.18) denkleindeki paraetreler için uygun değerler aşağıdaki gibi seçilebilir. ω n ω n ; ω n : yeterince büyük pozitif bir değer (6.1.19) 2/2 ζ 1 (6.1.20) η 1 (6.1.21) RDK M. Keal Özgören

113 Yukarıdaki seçii sağlayan kontrol katsayıları, (6.1.17) ile (6.1.18) denkleleri karşılaştırılarak elde edilebilir. Tabii, bu karşılaştıra, ancak α k ve β k paraetrelerinin noinal ya da kestirilen değerleri (α k ve β k ) için yapılabilir. Bu karşılaştıra, kontrol katsayılarını şöyle verir. K ik = ηω n 3 /α k (6.1.22) K pk = (1 + 2ζη)ω n 2 /α k (6.1.23) K dk = [(2ζ + η)ω n β k ]/α k (6.1.24) Yeterince büyük seçilesi istenen ω n paraetresi ise, sistein geçici davranış evresinden sonraki kalıcı hatayı küçültek üzere aşağıda anlatılan biçide belirlenebilir. Eğer δ k (etkin saptırıcı girdinin türevi), frekansı ω n olan bir sinüsoide göre çok yavaş denilebilecek bir biçide değişiyorsa, (6.1.13) ve (6.1.22) denklelerine göre, yaklaşık olarak aşağıdaki kalıcı hataya neden olur. ε k = δ k/(α k K ik ) = (α k /α k )δ k/(ηω n 3 ) (6.1.25) Bu hatanın küçültülesi, yeterince küçük seçilen bir aksiu hata paraetresi (ε k ) için, ω n paraetresinin aşağıdaki koşulu sağlaasıyla gerçekleştirilebilir. ε k ax (α k /α k )ε k (6.1.26) Bu koşulu sağlaak üzere ω n paraetresi, aşağıdaki alt sınır koşuluna uyacak biçide seçilelidir. ω n ω n = [δ k /(ηε k )] 1/3 (6.1.27) (6.1.27) denkleindeki δ k terii, δ k değişkeninin bilinen ya da kestirilen aksiu değeri olarak şöyle tanılanıştır. δ k = δ k ax (6.1.28) Öte yandan, çeşitli fiziksel nedenlerle, ω n paraetresinin belli bir değerin üstüne çıkası da istenez. Dolayısıyla, şöyle bir üst sınır koşulunun da sağlanası gerekir. ω n ω n (6.1.28) 6.2. Hesaplanan Tork Yönteiyle Kontrol Yöntein Kısa Tanıtıı ve Tercih Edilebileceği Durular Bu kontrol yöntei, indirgeçli eyleti sistelerinde hız indirgeesinin yeterince yüksek oladığı ya da indirgeçsiz eyleti (dolaysız ya da doğrudan eyleti) kullanıldığı durularda, eklelerin bağısız kontrolu yöntei yerine tercih edilebilir. Bu gibi durularda, anipülatörün dinaik davranışının eyleticiler üzerindeki etkisi, küçük bir saptırıcı girdi olanın ötesine geçer. Dolayısıyla, eyleticilere uygulanan kontrol girdilerinin de birbirleri üzerinde ihal edileeyecek etkileri oluşur. Bu nedenle, uygulanacak kontrol yönteinin, tatinkar olabilesi için ekle eyleticilerinin birbirleri üstündeki etkilerini hesaba katası ve bunları olabildiğince giderebilesi lazıdır. Bu kısıda göz önüne alınan yönte, işte böyle bir kontrol yönteidir. RDK M. Keal Özgören

114 Ne var ki, bu yönte, adı üstünde, hesaplaa yükü fazla olan bir yöntedir. Yöntein uygulanışı esnasında, an be an, ekle değişkenlerinin ve türevlerinin ölçülen değerlerine bağlı olarak hareket denkleindeki kütle atrisinin ve eklentisel terilerin hesaplanası gerekektedir. Dolayısıyla, bu yönte, özellikle, bu paragrafın başında bahsedilen biçide eyletilen bir anipülatör yüksek konulaa hassasiyeti gerektiren görevler için kullanılacaksa tercih edilebilir. Ayrıca, anipülatörün gereken hesaplaalara vakit bırakayacak kadar aşırı hızlı hareket eteesi de gerekir. Bu yöntele ilgili ayrıntılar aşağıda açıklanıştır Manipülatör ile Eyleti Sisteinin Bütünleştirilesi Zeine göre duruşu eyletili ekle değişkenleriyle belirtilen bir anipülatörün hareket denklei, Bölü 4'te etraflıca açıklandığı gibi, şöyle yazılabilir. M q = Q + Z (6.2.1) (6.2.1) denklei, her ekle için (k = 1, 2,, olak üzere) ayrı ayrı şöyle de yazılabilir. j=1 M kj q j = Q k + Z k (6.2.2) Öte yandan, önceki kısıdaki (6.1.4) ve (6.1.5) denklelerinde olduğu gibi, eyleti sisteine ait hareket denklei ise şöyle yazılabilir. I k q k + B k q k = n k A k V k n k 2 Q k (6.2.3) (6.2.3) denkleinin Q k için çözüü şöyle ifade edilebilir. Q k = N k A k V k N k 2 I k q k N k 2 B k q k (6.2.4) (6.2.4) denkleindeki N k sigesi, "tork yükselte oranı" adıyla şöyle tanılanıştır. N k = 1/n k (6.2.5) (6.2.2) ve (6.2.4) denkleleri şöyle birleştirilebilir. j=1 M kj q j = N k A k V k N 2 k I k q k N 2 k B k q k + Z k j=1 (M kj + N 2 k I k δ kj )q j = N k A k V k + (Z k N 2 k B k q k) (6.2.6) Dikkat edilirse, (6.2.6) ve (6.2.2) denklelerinin foratı aynıdır. Dolayısıyla, aşağıda yeniden yapılan bütünleştire tanılarıyla (6.2.2) denklei, (6.2.6) denkleini tesil etek üzere kullanılabilir. M kj + N 2 k I k δ kj = M kj M kj (6.2.7) Z k N k 2 B k q k = Z k Z k (6.2.8) N k A k V k = (A k /A k )N k A k V k η k Q k (6.2.9) η k = A k /A k (6.2.10) Q k = N k A k V k (6.2.11) RDK M. Keal Özgören

115 Yukarıdaki tanılar kullanılarak (6.2.2) ve (6.2.1) sayılı hareket denkleleri, bütünleşik siste için aşağıdaki biçilerde yazılabilir. j=1 M kj q j = η k Q k + Z k (6.2.12) M q = H Q + Z (6.2.13) (6.2.13) denkleindeki H atrisi, belirsizlik içeren eleanlardan oluşan köşegensel bir atristir. Bu atris şöyle tanılanıştır. H = diag(η 1, η 2, η 3,, η ) (6.2.14) Hesaplanan Tork Yönteinin Uygulanışı (6.2.13) denklei şöyle de yazılabilir. E M q = Q + E Z (6.2.15) (6.2.15) denkleinde, E = H 1 = diag(1/η 1, 1/η 2,, 1/η ) (6.2.16) Hesaplanan tork yöntei uyarınca, sistei istenen biçide eyletek üzere, Q dikeysıra atrisi, aşağıdaki denklee göre oluşturulur. Q = M u Z (6.2.17) (6.2.17) denkleindeki u dikeysıra atrisi, ive koutu olarak adlandırılır. Aynı denkledeki M ve Z atrisleri, M ve Z atrislerinin noinal ya da kestirilen değerleridir. Ayrıca, tanıları gereği, E ve H atrislerinin noinal değerleri biri atristir. Yani, E = H = I (6.2.18) Hesaplanan tork yönteinde, u ive koutu, geçici kontrol girdisi olarak kullanılır. Hesaplanan tork yöntei, aşağıda anlatılan hesaplaa aşaalarından geçilerek uygulanır. Birinci aşaada, uygun görülen bir kontrol kuralına göre, u ive koutunun değeri, şöyle hesaplanır. u = f (q, q, q, q, q, t) (6.2.19) (6.2.19) denkleinde, q ve q, t anında ölçülen değerlerdir; q, q, ve q ise, t anı için belirtiliş olan referans değerleridir. Aynı denkledeki f işlevi, kullanılan kontrol kuralını karakterize eden bir işlevdir. Bu işlev, belirtilen argüanlardan bazılarının tülevlerini de içerebilir. İkinci aşaada, yine ölçülüş olan q ve q değerleri ile paraetrelerin ve görev kuvveti ile oentinin noinal ya da kestirilen değerleri kullanılarak M = M (q ) ve Z = Z (q, q, t) atrisleri hesaplanır. Daha sonra, bu atrisler kullanılarak (6.2.17) denkleine göre, Q dikeysıra atrisi (yani eyleti torkları ve kuvvetlerinden oluşan atris) hesaplanır. Üçüncü aşaada ise, (6.2.11) denkleine göre, eyleticilere uygulanası gereken eyleti voltajları, k {1, 2, 3,, } için, şöyle hesaplanır. V k = Q k /(N k A k ) (6.2.20) RDK M. Keal Özgören

116 İve Koutunun Belirlenesi (6.2.17) denklei, (6.2.15) denkleinde yerine konunca, aşağıdaki denkle elde edilir. E M q = M u (Z E Z ) (6.2.21) (6.2.21) denklei, E = H 1 olduğu hatırlanarak, şöyle de yazılabilir. q = (M 1 H M )u M 1 (H Z Z ) q = N u δ (6.2.22) (6.2.22) denkleinde şu tanılar kullanılıştır. N = M 1 H M (6.2.23) δ = M 1 (H Z Z ) (6.2.24) Dikkat edilirse, N ve δ noinal değerler olak üzere, N N = I (6.2.25) δ δ = 0 (6.2.26) (6.2.22) denklei, aşağıdaki hata denklei biçiinde de yazılabilir. ε = N u + q + δ (6.2.27) (6.2.27) denkleindeki hata tanıı şöyledir. ε = q q (6.2.28) a) Geri Adılı Kontrol Kuralı (6.2.27) denkleindeki ive koutu (u ), çeşitli kontrol kurallarından birine göre oluşturulabilir. Burada, uygulanası oldukça kolay olan geri adılı kontrol kuralı tercih ediliştir. Bu kuralı uygulaak üzere, (6.2.27) denklei, iki aşaalı olarak şöyle ayrıştırılır. ε = γ (6.2.29) γ = N u + q + δ (6.2.30) Geri adılı kontrol kuralı uygulanırken, asıl aaç (6.2.29) denkleiyle ifade edilen ε hatasını küçültek olsa bile, önce bir adı geriye gidilerek (6.2.30) denklei göz önüne alınır. Bu denkledeki ive koutu (u ), γ ile gösterilen hata değişi hızının aşağıda belirtilen hedef değere ulaşasını sağlayacak biçide belirlenir. γ = K 1ε (6.2.31) Bu belirleenin istenen sonucu olarak γ, γ hedefine yaklaşırken, (6.2.29) denklei de aşağıdaki denklee yaklaşır. ε = K 1ε (6.2.32) (6.2.31) ve (6.2.32) denklelerindeki K 1 atrisi, noru yeterince büyük olan bir pozitif belirli atris olarak seçilir. Böylece, γ γ yakınsaası gerçekleşirken ε 0 yakınsaası da sağlanış olur. RDK M. Keal Özgören

117 Yeniden (6.2.30) denkleine dönülecek olursa, γ γ = K 1ε aacıyla, ive koutu şöyle oluşturulabilir. yakınsaasını sağlaak u = K 2(γ γ ) + q (6.2.33) (6.2.33) denkleindeki K 2 atrisi de, noru yeterine büyük olan bir pozitif belirli atris olarak seçilir. Bu denklee göre oluşturulan ive koutu, (6.2.30) denkleinde yerine konunca, aşağıdaki denkle elde edilir. γ = N K 2(γ γ ) N q + q + δ γ + N K 2γ = N K 2γ + δ (6.2.34) (6.2.34) denkleinde aşağıdaki tanılar kullanılıştır. δ = δ N q (6.2.35) N = N I (6.2.36) Daha önce, (6.2.25) ve (6.2.26) denkleleriyle, N I ve δ 0 olduğu belirtilişti. Dolayısıyla, (6.2.35) ve (6.2.36) denklelerine göre de, N 0 ve δ 0 olur. Böylece, (6.2.34) denkleine göre, noru yeterince büyük olan bir K 2 atrisiyle γ γ yakınsaası sağlanabilir. Bu yakınsaanın sağlanabileceği, aşağıdaki asiptotik kararlılık analizi ile gösteriliştir. (6.2.34) denkleiyle betilenen sistein asiptotik kararlı olup oladığını anlaak için aynı sistein girdisiz (serbest) davranışlarını betileyen aşağıdaki denklei göz önüne alak gerekir. γ + N K 2γ = 0 (6.2.37) Eğer (6.2.37) denkleiyle tesil edilen girdisiz siste asiptotik kararlı ise, (6.2.34) denkleiyle betilenen girdili siste de, doğrusallık özelliği nedeniyle, asiptotik kararlı olur. Girdisiz sistein asiptotik kararlılık analizi, aşağıdaki Lyapunov işlevi (V) aracılığıyla yapılabilir. V = γ t K 3γ (6.2.38) (6.2.38) denkleindeki K 3 atrisi, sietrik ve pozitif belirli olarak seçilen sabit bir atristir. Lyapunov işlevinin türevi, (6.2.37) denkleinden yaralanılarak şöyle ifade edilir. V = γ t K 3γ + γ t K 3γ V = γ t K 3N K 2γ γ t K 2N tk 3γ = γ t (K 3N K 2 + K 2N tk 3)γ V = γ t K 4γ (6.2.39) (6.2.39) denkleindeki K 4 atrisi şöyle tanılanıştır. K 4 = K 3N K 2 + K 2N tk 3 (6.2.40) Bu arada, (6.2.23) ve (6.2.14) denklelerinden hatırlanacağı üzere, N = M 1 H M (6.2.41) H = diag(η 1, η 2, η 3,, η ) (6.2.42) RDK M. Keal Özgören

118 Öte yandan, herhangi bir sistein kütle atrisi (gerçek ya da kestirilen), her zaan sietrik ve pozitif belirlidir. Ayrıca, (6.2.42) denkleine göre, H atrisi pozitif eleanlı bir köşegensel atristir; yani H atrisi de pozitif belirlidir. Yukarıdaki açıklaalar ile (6.2.41) ve (6.2.42) denklelerine göre, (6.2.40) denkleiyle tanılanan K 4 atrisinin de sietrik ve pozitif belirli olduğu görülektedir. Dolayısıyla, (6.2.38) ve (6.2.39) denklelerine göre, V işlevi, aşağıdaki özelliklere sahip olur. γ 0 V > 0, V < 0 γ = 0 V = 0, V = 0 Bu özellikler nedeniyle de, (6.2.34) denkleiyle betilenen siste, asiptotik kararlı olur. Dolayısıyla, δ 0 olduğu için, noru yeterince büyük olacak biçide seçilen bir K 2 atrisiyle γ γ yakınsaası ve bu sayede de q q yakınsaası sağlanabilir. b) İve İleribesleeli PD Kontrol Kuralı Yukarıda açıklanan ve asiptotik kararlılık sağladığı gösterilen geri adılı kontrol kuralı, aslında, ive ileribesleeli PD kontrol kuralı ile eşniteliklidir. Bunu görek için, (6.2.29), (6.2.31) ve (6.2.34) denkleleri birleştirilerek elde edilen aşağıdaki denkle kullanılabilir. ε + N K 2ε + N K 2K 1ε = (I N )q + δ (6.2.43) Öte yandan, ive ileribesleeli PD kontrol kuralına göre, ive koutu şöyle oluşturulur. u = q + K pε + K dε (6.2.44) (6.2.44) denklei yerine konunca, (6.2.27) denklei şu şekli alır. ε + N K dε + N K pε = (I N )q + δ (6.2.45) (6.2.43) ve (6.2.45) denkleleri karşılaştırılınca görülür ki, geri adılı ve ive ileribesleeli PD kontrol kuralları gerçekten de eşniteliklidir. Bu eşniteliklilik, aşağıdaki katsayı atrisi eşleşeleriyle daha da pekişerek eşdeğerlilik biçiine dönüşür. K d = K 2 ve K p = K 2K 1 (6.2.46) RDK M. Keal Özgören

119 BÖLÜM 7 MANİPÜLATÖRLERİN YÜZEY TEMASLI KONUM KONTROLU 7.1. Bir Yüzeyle Esnek Teaslı Konu Kontrolunun Esasları Şekil 7.1 Yatay Bir Düzle Üzerinde Konu Kontrolu Şekil 7.1'de yatay bir düzle ve bu düzle üzerindeki konuu kontrol edilek istenen bir cisi görülektedir. Cisin düzle üzerindeki konuu kontrol edilirken, düzlein dikey yöndeki hareketliliğine rağen, cisin düzlele teasının da sürekli kalası istenektedir. Bu iki istei yerine getirek aacıyla cise F x ile F y kontrol kuvvetleri uygulanaktadır. Robotik uygulaalarda, bu kuvvetler, bir anipülatör tarafından uygulanır. Cise uygulanan diğer kuvvetler ise, yatay yöndeki F d saptırıcı kuvveti, cisin kendi ağırlığı (g) ve düzlein uyguladığı N teas kuvvetidir. Buradaki inceleede, cisile düzle arasındaki olası sürtüne kuvvetinin de F d kapsaına alındığı varsayılıştır. Cisin x ve y yönlerindeki hareket denkleleri, aşağıda yazıldığı gibidir. x = F x F d (7.1.1) y = F y N + g (7.1.2) Burada incelenen sistele ilgili teel varsayı şudur: Cisin yatay ve dikey yönlerdeki konuu ve hızı (x, x, y, y ) ölçülebilekte, fakat N teas kuvveti ölçüleeektedir. Dolayısıyla, cisile düzle arasındaki teasın varlığını ve niteliğini gösteren N kuvveti, y ve y ölçülerine dayanarak dolaylı bir biçide kontrol edilecektir. Diğer bir deyişle, dikey yöndeki istein de, yatay yönde olduğu gibi, konu kontroluyla karşılanasına çalışılacaktır. Yukarıda açıklanan kontrol yaklaşıı uyarınca, kontrol kuvvetleri, PD kontrol kuralına göre şöyle oluşturulabilir. F x = k 1 (x x) + c 1 (x x ) (7.1.3) F y = k 2 (y y) + c 2 (y y ) (7.1.4) Dikkat edilirse, PD kontrol kuralını uygulaak, cisin yatay ve dikey hareketlerini birer esnek ileteç (yay ve sönüleyici çifti) aracılığıyla kontrol etekle eşniteliklidir. Eşnitelikli esnek ileteçli sistede, cisin hareketleri, ileteçlerin öbür uçları istenen biçide hareket ettirilerek kontrol edilir. Eşnitelikli esnek ileteçli siste, Şekil 7.2'de gösteriliştir. RDK M. Keal Özgören

120 1 2 2 Şekil 7.2 Eşnitelikli Esnek İleteçli Siste (7.1.3) denkleindeki x, istenen hareketi tesil eden referans girdisidir. (7.1.4) denkleindeki y referans girdisi ise, şöyle tanılanıştır. y = y + h (7.1.5) (7.1.5) denkleindeki y terii, düzlein noinal dikey hareketini gösterektedir. Bir çok uygulaada, düzlein sabit durası beklenir, yani y sabittir. Düzlein isteneyen ve bekleneyen hareketliliği, çevreden iletilen titreşi ve sarsıntılar nedeniyle ortaya çıkar. Yine (7.1.5) denkleindeki baskı paraetresi olarak adlandırılan h eklentisi ise, düzlele teası kaybeteek için N > 0 olasını sağlaak aacıyla, cisi düzlein yüzeyinden daha öteye doğru zorlaak için kullanılan sabit bir paraetredir. (7.1.3) ve (7.1.4) denkleleri kullanılınca, (7.1.1) ve (7.1.2) denklelerinden aşağıdaki kapalı çevri denkleleri elde edilir. x = k 1 (x x) + c 1 (x x ) F d ε + c 1 ε + k 1 ε = F d + x (7.1.6) ε = x x (7.1.7) y = k 2 (y + h y) + c 2 (y y ) N + g N = k 2 (y + h y) + c 2 (y y ) + (g y ) (7.1.8) a) Yatay Yöndeki Kontrol Paraetrelerinin Belirlenesi Kontrol sisteinin yatay yönde asiptotik kararlı olabilesi için c 1 ve k 1 katsayıları, şöyle seçilebilir. c 1 = 2ζω n (7.1.9) k 1 = ω n 2 (7.1.10) ω n ω n > 0, 2/2 ζ 1 (7.1.11) Yukarıdaki katsayılar kullanılınca, (7.1.6) denklei şu şekli alır. 1 ε + 2ζω n ε + ω n 2 ε = δ = (F d + x )/ (7.1.12) Eğer, F d (t) ile x (t) değişkenleri zaan içinde çok hızlı değişiyorlarsa, (7.1.12) denkleine göre, yaklaşık olarak, aşağıdaki kalıcı hata oluşur. ε δ/ω n 2 = (F d + x )/k 1 (7.1.13) RDK M. Keal Özgören

121 (7.1.13) denkleine göre, kalıcı hatayı olabildiğince küçültek için k 1 katsayısını olabildiğince büyütek gerekir. Bu gereklilik ise, esnek ileteçli siste benzeşiine göre, yatay ileteç için olabildiğince sert (yani esnekliği olabildiğince az olan) bir yay seçerek sağlanır. Böyle çok sert bir ileteçle de, topla saptırıcı etki (F d + x ) ne olursa olsun, ε 0 ya da x x olası sağlanır. Örneğin, yüzey üzerinde yazı yazılacaksa, yazının güzel ve düzgün olası (yani titrek ve biçisiz olaası) için yatay iletecin yeterince sert seçilesi gerekir. Bu gereklilik ise, k 1 k 1 olacak biçide seçilen yeterince büyük bir k 1 katsayısı ile sağlanır. Topla saptırıcı etkinin en büyük değeri ve belli bir hata toleransı (ε ) için k 1 alt sınır değeri, (7.1.13) denkleinden şöyle belirlenir. ε ax = (F dax + x ax)/k 1 ε k 1 k 1 = (F dax + x ax)/ε (7.1.14) b) Dikey Yöndeki Kontrol Paraetrelerinin Belirlenesi Kontrol sisteinin dikey yönde tatinkar olabilesi için aşağıdaki koşulun sağlanası gerekir. 0 < N in N N ax (7.1.15) (7.1.15) eşitsizliğinde, N N in olası, he cisin yüzeyle teasının kesileesi he de cisin yüzeyle yeterince bastırılış olarak teas halinde tutulası için gerekir. Böylece, yüzey üzerindeki işlein etkinlikle yapılabilesi sağlanır. Öte yandan, N N ax olası ise, he cisin he de yüzeyin hasar göreesi için gerekir. Örneğin, yüzey üzerinde yazı yazılacaksa, yazı aygıtı olan cisin (kalein) yüzeye belli bir kuvvetle bastırılası gerekir. Aksi halde, zayıfça bastırarak yazılan yazı silik ve okunaksız olur. Buna karşılık, baskı kuvveti çok büyük olursa, o zaan da he kale he de yüzey hasar görebilir. Bu duruda, dikey iletecin çok sert ya da çok yuuşak olaası gerekir. Diğer bir deyişle, k 2 katsayısı, belli sınırlar içinde tutularak yani k 2 k 2 k 2 olacak biçide seçilelidir. Dikey iletecin sertlik ve yuuşaklık sınırlarını belirleek üzere, (7.1.8) denklei kullanılarak (7.1.15) eşitsizliği şöyle yazılabilir. N in k 2 (y + h y) + c 2 (y y ) + (g y ) N ax (7.1.16) Öte yandan, cisin dikey yöndeki hareketi, cisi düzlele teas halinde kaldığı sürece bellidir. Dolayısıyla, dikey yöndeki kontrolun aacı, asiptotik kararlılık olayıp yalnızca baskı kuvvetinin ayarlanasıdır. Bu nedenle, c 2 = 0 seçii yapılabilir ve dikey yönde yalnızca P (oransal) kontrol kuralı uygulanabilir. Böyle yapılınca, (7.1.16) eşitsizliği, aşağıdaki daha basit eşitsizliğe dönüşür. N in k 2 (y y + h) + (g y ) N ax (7.1.17) Düzlein hareketi belli olduğuna göre, k 2 paraetresi için uygun bir değer, h > y y olduğu varsayııyla, aşağıdaki eşitsizliği sağlayacak biçide seçilebilir. N in g+y h (y y ) k 2 N ax g+y h (y y ) (7.1.18) RDK M. Keal Özgören

122 c) Dikey Yöndeki Kontrol için Örnek Daha önce de bahsedildiği gibi, düzlein dikey yöndeki hareketi, genellikle titreşi biçiindedir. Bir titreşi hareketi ise, basitleştire aacıyla üst haronikler gözardı edilerek şöyle ifade edilebilir. y = y + y a sin(ωt) (7.1.19) (7.1.19) denkleinde, y a titreşiin genliği, ω ise frekansıdır. Bu titreşi aşağıdaki iveye neden olur. y = ω 2 y a sin(ωt) (7.1.20) (7.1.19) ve (7.1.20) denkleleri, h > y a olduğu varsayııyla kullanılınca, (7.1.18) eşitsizliği şu şekli alır. N in g ω 2 y a sin(ωt) h y a sin(ωt) k 2 N ax g ω 2 y a sin(ωt) h y a sin(ωt) (7.1.21) (7.1.21) eşitsizliği, 1 sin(ωt) 1 olduğundan dolayı, aşağıdaki her iki uç duruda da, yani he sin(ωt) = 1 he de sin(ωt) = 1 için sağlanalıdır. N in g ω 2 y a h y a + = k in + k 2 k ax = N ax g ω 2 y a (7.1.22) h y a N in g+ω 2 y a h+y a = k in k 2 k ax = N ax g+ω 2 y a h+y a (7.1.23) + Özel bir uygulaa olarak, N in = g olası yeterli görülebilir. Bu duruda, k in pozitif alt liit k in = k in olarak ortaya çıkar. Yani, < 0 olur ve k in = 1 η+1 ω2 (7.1.24) (7.1.24) denkleindeki η oranı, η > 1 olak üzere, şöyle tanılanıştır. η = h/y a (7.1.25) Aynı uygulaada, N ax için de, μ > 1 olak üzere, N ax = g + μω 2 y a seçii yapılabilir. + Bunun üzerine, k ax ve k ax için şu değerler oluşur. + k ax = μ 1 η 1 ω2 ve k ax = μ+1 η+1 ω2 (7.1.26) + Eğer, λ > 1 olak üzere, μ = λη seçii yapılırsa, (7.1.26) denkle çiftine göre, k ax ve k ax şu değerleri alırlar. + k ax = λη 1 η 1 ω2 ve k ax = λη+1 η+1 ω2 (7.1.27) Dikkat edilirse, k ax < k + ax. Dolayısıyla, k 2 için üst liit k ax olur. Yani, k ax = λη+1 η+1 ω2 (7.1.28) Yukarıdaki analize göre, k 2 katsayısı, k in ile k ax arasında kalak üzere şöyle seçilelidir. 1 η+1 ω2 k 2 λη+1 η+1 ω2 (7.1.29) RDK M. Keal Özgören

123 (7.1.29) koşulu uyarınca, k 2 için uygun bir değer, k in ile k ax değerlerinin ortalaası olarak seçilebilir. Yani, k 2 = 1 2 (k in + k ax ) = λη+2 2(η+1) ω2 (7.1.30) Daha spesifik olak gerekirse, η = 1.5 ve λ = 4 oranları için, N in ve N ax sınırları ile k 2 katsayısı aşağıdaki değerle ortaya çıkar. N in = g, N ax = g + ληω 2 y a = g + 6ω 2 y a (7.1.31) k 2 = 8 3 ω2 (7.1.32) Yukarıdaki analize ve seçilen değerlere göre belirlenen k 2 katsayısı ile daha önce bahsediliş olan c 2 = 0 seçii kullanılırsa, (7.1.8) denklei, yüzeye uygulanan noral kuvveti şöyle verir. N = g ω2 y a 5 3 ω2 y a sin(ωt) (7.1.33) (7.1.33) denkleine göre, noral kuvvet, istenen sınırlar arasında kalarak aşağıda görüldüğü gibi değişir. N in < g ω2 y a N g ω2 y a < N ax (7.1.34) 7.2. Manipülatörler İçin Bir Yüzeyle Esnek Teaslı Konu Kontrolu Bir Manipülatörün Bir Yüzeyle Teasını Betileyen Kineatik İlişkiler Şekil 7.3 Bir Yüzeyle Teas Halinde Çalışan Bir Manipülatör Bir seri ya da paralel anipülatörün işle aygıtının zeine bağlı F 0 (O) eksen takıına göre yönelii ve uç noktasının konuu, daha önce de görüldüğü gibi, aşağıdaki C ve p atrisleriyle belirtilebilir. C = C (0,) (7.2.1) p = p (0) (0) = r P/O (7.2.2) RDK M. Keal Özgören

124 Eğer işle aygıtının kendisinin ya da tuttuğu cisin yaptığı iş, bir yüzeyle teas halinde kalak üzere sürdürülüyorsa, üçüncü eksenleri işle yüzeyine dik olan F s (P) ve F s (P r ) gibi iki eksen takıı tanılaak uygun olur. Şekil 7.3'te de görülen bu eksen takıları, şöyle tanılanır. F s (P) : Yüzey üzerinde işle aygıtıyla birlikte hareket eden eksen takıı F s (P r ) : F s (P) için hedeflenen referans olarak belirtilen eksen takıı (P r = P ref ) Yukarıda tanılanan eksen takılarının yöneli ve konuları için aşağıdaki denkleler yazılabilir. S = C (0,s) = C (0,) C (,s) = C D (7.2.3) S = C (0,s ) = C (0, ) C (,s ) = C D = C D (7.2.4) S = C (0,s) = C (0,s ) C (s,s) = S S (7.2.5) S = S t S (7.2.6) S = (D tc t )(C D ) = D t(c t C )D = D tc D (7.2.7) C = C t C (7.2.8) p r = p r (0) (0) = r P r /O (7.2.9) p = p (s ) = p (s ) (s ) p r = S t (p p r) = S t Δp (7.2.10) p = D tc t Δp (7.2.11) Not: Yukarıdaki denklelerde yer alan D atrisi sabittir. Yürütülen yüzey teaslı iş esnasında, anipülatörle yüzey arasındaki teas sağlandığı sürece, anipülatör tarafından oluşturulan Z = C D atrisi, yüzey tarafından belirlenen S atrisine intibak eder, yani S = Z = C D olur. Böylece, C atrisi, C = S D t eşitliğine uyacak biçide oluşur. Bu duru, Şekil 7.3'ün sağ yanında gösteriliştir. Bu yan şekilde, işle aygıtına (tutucuya) bağlı F (P) eksen takıı ile yüzeyle teas halinde tutularak anipüle edilen cise bağlı F s (P) eksen takıı birlikte görülektedir. Manipülatörün cisi sısıkı (hiç kaydıradan) tuttuğu varsayıldığı için, F s (P)'nin F (P)'ye göre duruşu (yönelii ve konuu) değişeektedir. Bu nedenle de, D atrisi sabit kalaktadır. Eğer yöneli hatasını gösteren S = S t S atrisi, I biri atrisine yakınsa, döne ekseni n biri vektörüyle tesil edilen ve küçük bir Δψ açısına bağlı olan bir döne atrisi olarak ifade edilebilir. Bu ifade, n = [n ] (s ) olak üzere şöyle yazılabilir. S = e n Δψ = I + n sin(δψ) + n 2 [1 cos(δψ)] I + n Δψ (7.2.12) Bunun üzerine, S = S t S eşitliği kullanılarak n Δψ için aşağıdaki yaklaşık ifade elde edilir. n Δψ S t S I (7.2.13) (7.2.13) denkleine dayanarak ve n = [n ] (0) eşitliği kullanılarak, aşağıdaki denklele ifade edilen açısal değişi vektörü (Δψ = n Δψ) tanıı yapılabilir. Δψ = [Δψ ] (s ) = n Δψ = (S t n )Δψ = (D tc t n )Δψ (7.2.14) RDK M. Keal Özgören

125 Öte yandan, p ve C atrisleri ile p r ve C atrisleri arasındaki ilişkiler, ekle değişkenlerindeki değişilere (Δq 1 = q 1 q 1, Δq 2 = q 2 q 3,..., Δq = q q ) bağlı olarak aşağıda gösterilen biçilerde yaklaşık olarak ifade edilebilir. p = S t Δp = S t (p p ) S t {p + [( p / q k ) qk ]Δq k p } RDK M. Keal Özgören k=1 p k=1 S t V k(q k )Δq k = k=1 V k Δq k (7.2.15) Δψ = n Δψ S t S I = D tc t C D I Δψ D tc t C D I = D tc t {C + Δψ D tc t { k=1 k=1 [( C / q k ) qk ]Δq k }D I [( C / q k ) ]C t qk C Δq k }D + D tc t C D I k=1 Δψ k=1 D tc t Ω k(q )C k D Δq k = S t Ω k(q )S k Δq k Δψ k=1 S t Ω k(q k )Δq k = k=1 Ω k Δq k (7.2.16) (7.2.15) ve (7.2.16) denklelerinde şu tanılar yapılıştır. V k = S t V k(q k ) (7.2.17) Ω k = S t Ω k(q k ) (7.2.18) (7.2.15) ve (7.2.16) denkleleri, değişilerin yeterince küçük olduğu varsayııyla ( ) yerine (=) yazılarak, aşağıdaki tek denkle biçiinde birleştirilebilir. Δξ = J Δq (7.2.19) (7.2.19) denkleinde aşağıda açıklanan iki tanı kullanılıştır. (i) İşle aygıtının ya da tuttuğu cisin duruşundaki hatayı F s (P r ) eksen takıında tesil eden büyütülüş dikeysıra atrisi: Δξ = Δξ (s ) = [ p Δψ ] = [S t Δp S t Δψ ] (7.2.20) (ii) İşle aygıtının uç noktasına ilişkin olup F s (P r ) eksen takıına göre ifade ediliş olan Jacobi atrisi: J = [ V 1 V 2 V 3 Ω 1 Ω 2 Ω 3 V ] (7.2.21) Ω Aynı Jacobi atrisi, işle aygıtının F s (P r ) eksen takıında ifade edilen ötelene ve döne hızları için de kullanılabilir. Şöyle ki, η = J q (7.2.22) (7.2.22) denkleinde, η şöyle tanılanıştır. η = η (s ) = [ v ω ] = [S t v S t ω ] (7.2.23) (7.2.22) denklei kullanılarak hız hatası da şöyle ifade edilebilir. η η r = J (q q r) = J (q q ) Δη = J Δq (7.2.24)

126 Yüzeyle Esnek Teas Sağlayan Kontrol İlişkileri İşle aygıtına ya da işle aygıtının tuttuğu cise anipülatör tarafından uygulanan kuvvet ve oent vektörleri, F s (P r ) eksen takıında aşağıdaki dikeysıra atrisleriyle gösterilebilir. F = [F] (s ) (7.2.25) M = [M ] (s ) (7.2.26) F = [ F M ] (7.2.27) İşle aygıtı ya da tuttuğu cisi, F s (P) F s (P r ) yakınsaasını sağlaak üzere kontrol edilek istendiği için, F dikeysıra atrisi, Kısı 7.1'de anlatılan "bir yüzeyle esnek teaslı kontrol" esasları göz önüne alınarak PD kontrol kuralına göre şöyle oluşturulabilir. F = K PS ξ K DS η (7.2.28) (7.2.28) denkleindeki K PS ve K DS katsayı atrisleri, F s (P r ) eksen takıına göre tanılanan yerel işle uzayı içinde seçilen oransal ve türevsel kontrol kazanç atrisleridir. (7.2.19) ve (7.2.24) denkleleri kullanılarak (7.2.28) denklei şöyle de yazılabilir. F = K PS J Δq K DS J Δq (7.2.29) Öte yandan, Bölü 5'teki sanal iş analizine göre, F dikeysıra atrisine ekle uzayında karşılık gelen eyleti kuvvet ve/veya torklarından oluşan Q dikeysıra atrisi şöyle ifade edilir. Q = J t F (7.2.30) (7.2.29) ve (7.2.30) denklelerinden aşağıdaki denkle elde edilir. Q = K PJ Δq K DJ Δq (7.2.31) (7.2.31) denkleindeki K PJ ve K DJ katsayı atrisleri, ekle uzayı kapsaındaki oransal ve türevsel kontrol kazanç atrisleridir. Bu atrisler, yerel işle uzayı kapsaında seçilen K PS ve K DS atrisleri ile aşağıdaki denklelere göre ilişkilidirler. K PJ = J t K PS J (7.2.32) K DJ = J t K DS J (7.2.33) K PS ve K DS atrisleri, genelliği pek de bozadan, köşegensel olarak seçilebilir. Bu atrislerin köşegen eleanları, Kısı 7.1'de incelenen "bir yüzeyle esnek teaslı kontrol" esaslarına göre aşağıda açıklanan biçide belirlenebilir. (i) K PS atrisinin köşegen eleanlarına, yüzeye göre serbest olan yönlerdeki p i = u it p ve ψ j = u jt Δψ değişileri için büyükçe; yüzey tarafından kısıtlanış olan p k = u kt p ve ψ l = u lt Δψ değişileri için de küçükçe değerler verilir. (ii) K DS atrisinin köşegen eleanlarına ise, yüzeye göre serbest olan yönlerdeki v i = u it v ve ω j = u jt Δω hız değişileri için yeterli sönülee etkisi yaratak üzere sıfırdan farklı pozitif değerler; yüzey tarafından kısıtlanış olan yönlerdeki v k = u kt v ve ω l = u lt Δω hız değişileri için de sıfır değerleri verilir. RDK M. Keal Özgören

127 Örnekler (i) Eğer işle aygıtı yüzeyle noktasal teas yapan bir şekle sahipse (örneğin bir kalese), yüzeye göre kısıtlanış olan konu/yöneli ve hız değişileri şunlardır: p 3 ve v 3. Dolayısıyla, K PS3 katsayısına küçükçe bir değer; K DS3 katsayısına ise sıfır değeri verilir. Diğer katsayılara ise büyükçe değerler verilir. (ii) Eğer işle aygıtı yüzeyle düzlesel teas yapan bir şekle sahipse (örneğin bir silgiyse), yüzeye göre kısıtlanış olan konu/yöneli ve hız değişileri şunlardır: p 3, ψ 1, ψ 2 ; v 3, ω 1, ω 2. Dolayısıyla, K PS3, K PS4, K PS5 katsayılarına küçükçe değerler; K DS3, K DS4, K DS5 katsayılarına ise sıfır değeri verilir. Diğer katsayılara ise büyükçe değerler verilir. (iii) Eğer işle aygıtı yüzeyle çizgisel teas yapan bir şekle sahipse (örneğin bir sıyırıcıysa), yüzeye göre kısıtlanış olan konu/yöneli ve hız değişileri şunlardır: p 3, ψ 1 ; v 3, ω 1. Dolayısıyla, K PS3 ile K PS4 katsayılarına küçükçe değerler; K DS3 ile K DS4 katsayılarına ise sıfır değeri verilir. Diğer katsayılara ise büyükçe değerler verilir. Yukarıda sözü edilen üç değişik cisi, yüzey üzerindeki referans konularında iken Şekil 7.4'te gösterilişlerdir. Şekildeki biri vektörler, F s eksen takıının teel vektörleridir Şekil 7.4 Düzlesel Bir Yüzey Üzerinde Konulandırılan Üç Değişik Cisi 7.3. Konu Kısıtlaalı İşlelerde Birlikte Hareket ve Kuvvet-Moent Kontrolu Kısıtlaalı Dinaik Forülasyon ve Kısıtlaa Kuvvet ve Moentleri Eğer bir seri ya da paralel anipülatörün işle aygıtının duruşu üzerinde herhangi bir kısıtlaa yoksa, q dikeysıra atrisi, eyletili ekle değişkenleriyle oluşturulabilir ve anipülatörün hareket denklei şöyle yazılabilir. M q = Q + Z (7.3.1) q R, Q R (7.3.2) (7.3.1) denkleinde, Q dikeysıra atrisi, eyleti kuvvet ve/veya torklarından; Z dikeysıra atrisi ise, her türlü eklentisel kuvvet ve oent terilerinden oluşaktadır. Eğer işle aygıtının hareketi üzerinde bazı kısıtlaalar varsa, bu kısıtlaalar konu düzeyinde topluca şöyle ifade edilebilir. φ (q ) = 0 ; φ R r, r < (7.3.3) RDK M. Keal Özgören

128 (7.3.3) denklei, hız ve ive düzeylerinde şöyle yazılabilir. Φ q = 0 (7.3.4) Φ q + α = 0 (7.3.5) α = Φ q (7.3.6) (7.3.4) ve (7.3.5) denklelerindeki Φ = Φ (q ) atrisinin eleanları, aşağıdaki denklee göre tanılanıştır. Φ ij = φ i / q j (7.3.7) (7.3.3) denkleiyle ifade edilen kısıtlaalar nedeniyle, aşağıdaki sanal değişi eşitliklerine göre tanılanan ve kısıtlaa kuvvet ve/veya torkları dikeysıra atrisi olarak anılan Q atrisi oluşur. φ (q ) = 0 Φ δq = 0 λ t Φ δq = (Φ tλ ) t δq = (Q ) t δq = δw = 0 Q = Φ tλ (7.3.8) λ R r (7.3.9) Yukarıdaki λ dikeysıra atrisinin eleanları, her bir kısıtlaaya (yani φ dikeysıra atrisinin her bir eleanına) ilişkin Lagrange çarpanlarıdır. Aslında, kısıtlaa kuvvet ve oentlerinin işle uzayındaki tesilcisi, λ atrisi olaktadır. Q atrisi ise, kısıtlaa kuvvet ve oentlerinin ekle uzayındaki tesilcisidir. Q dikeysıra atrisinin eklenesiyle, hareket denklei, şu şekli alır. M q = Q + Q + Z (7.3.10) (7.3.10) denklei, şöyle de yazılabilir. M q = Q + Φ tλ + Z (7.3.11) Birlikte Hareket ve Kuvvet-Moent Kontrolu Bu kısıda açıklanan kontrol uygulaasının aacı, (7.3.10) ve (7.3.11) denkleleriyle tesil edilen sistein he hareketini he de karşılaştığı kısıtlaa kuvvet ve oentlerini kontrol altına alaktır. Bu aaçla kullanılacak kontrol girdisi, Q dikeysıra atrisidir. Bu atris, eyleti kuvvet ve/veya torklarından oluşaktadır. Kontrol uygulaası esnasında, sistein hareketini ekle uzayında gösteren q ve q atrisleri ile sistein karşılaştığı kısıtlaa kuvvet ve oentlerini işle uzayında gösteren λ atrisinin ölçülebildiği varsayılaktadır. Ne var ki, Q R olduğu için, q R ve λ R r atrisleri, doğal olarak, tü eleanlarıyla birden kontrol edileezler. Daha açık bir deyişle, q atrisi, ancak v R r gibi daha düşük boyutlu bir hız atrisi aracılığıyla kontrol edilebilir. Önceki paragrafta sözü edilen v atrisi, ekle uzayındaki q hız atrisi ile, (7.3.4) kısıtlaa denkleini sağlaak üzere, şöyle bir denklele ilişkilendirilebilir. q = B v (7.3.12) RDK M. Keal Özgören

129 (7.3.12) denkleindeki B atrisi, (7.3.4) denklei uyarınca, aşağıdaki denklei sağlaalıdır. Φ B = 0 (7.3.13) (7.3.13) denkleini sağlaası koşuluyla, B atrisi keyfi olarak seçilebilir. Ancak, bu seçii bir sisteatiğe bağlaak için B atrisinin aşağıdaki denklei de sağlaası istenebilir. Ψ B = I (7.3.14) (7.3.14) denkleindeki Ψ atrisinin Φ atrisine bağlı özel bir seçiiyle, B atrisi, aşağıda açıklanan biçide belirlenebilir. (7.3.13) ve (7.3.14) denkleleri, uygun ayrıştıralarla, aşağıda görüldüğü gibi yazılabilir. [Φ a Φ b] [ B a ] = Φ ab a + Φ bb b = 0 (7.3.15) B b [Ψ a Ψ b] [ B a ] = Ψ ab a + Ψ bb b = I (7.3.16) B b Yukarıdaki ayrıştıralarda yer alan alt atrislerin boyutları şöyledir. B a R r ( r), B b R ( r) ( r) Φ a R r r, Φ b R r ( r), Ψ a R ( r) r, Ψ b R ( r) ( r) Burada, Φ a atrisinin tekil oladığı varsayılaktadır. Eğer anipülatörün özel bir duruşunda Φ a tekilleşirse, yeni Φ a tekil olayacak biçide farklı bir ayrıştıra yapılabilir. Tekil olayan bir Φ a atrisine bağlı olarak da Ψ a ve Ψ b atrisleri şöyle seçilebilir. Ψ a = Φ bt (7.3.17) Ψ b = 2Φ bt Φ a 1 Φ b (7.3.18) Yukarıdaki seçi üzerine, B a ve B b atrisleri, (7.3.15) ve (7.3.16) denklelerinden şöyle elde edilir. B b = (Φ bt Φ a 1 Φ b) 1 (7.3.19) B a = (Φ a 1 Φ b)(φ bt Φ a 1 Φ b) 1 (7.3.20) Ψ ve B atrisleri, yukarıda açıklanan biçide seçilip belirlendikten sonra, (7.3.12) denklei kullanılarak (7.3.11) sayılı kısıtlaalı hareket denklei şöyle yazılabilir. M B v Φ tλ = Q + Z M B v (7.3.21) (7.3.21) denklei şöyle de yazılabilir. [M B Φ t] [ v ] = Q + Z M B v (7.3.22) λ (7.3.22) denkleine uyu sağlaak üzere, Q dikeysıra atrisi, u R r ve μ R r gibi iki yeni dikeysıra atrisine bağlı olarak şöyle oluşturulabilir. Q = [M B Φ t] [ u μ ] + M B v Z (7.3.23) RDK M. Keal Özgören

130 (7.3.23) denkleindeki Z atrisi, Z atrisinin bilinen ya da kestirilen değeridir. Bu denklele oluşturulan Q atrisi yerine konunca, (7.3.22) denkleinden aşağıdaki basitleşiş ve ayrışış denkleler elde edilir. v = u δ v (7.3.24) λ = μ δ λ (7.3.25) (7.3.24) ve (7.3.25) denklelerindeki δ v R r ve δ λ R r dikeysıra atrisleri, siste üzerindeki saptırıcı etkileri gösterektedir. Bu atrisler, aşağıdaki denklee göre tanılanışlardır. [ δ v ] = δ = [M B Φ t] 1 (Z Z ) (7.3.26) δ λ (7.3.24) ve (7.3.25) denklelerinde yer alan u ve μ dikeysıra atrisleri, "ive koutu" ve "kuvvet-oent koutu" olarak adlandırılırlar. u koutu ile sistein hareket eteye serbest olduğu yönlerdeki hareketi, v hız atrisi aracılığıyla kontrol edilebilir. μ koutu ile de sistein hareket edeediği yönlerde karşılaştığı kısıtlaa kuvvet ve oentlerini tesil eden λ atrisi kontrol edilebilir. a) Hareket Kontrolu (7.3.18) denkleindeki kontrol girdisi (u ), çeşitli kontrol kurallarından birine göre oluşturulabilir. Burada, basitliği ve yeterliliği nedeniyle, ive ileribesleeli PI kontrol kuralı tercih ediliştir. Bu kontrol kuralına göre, kontrol girdisi şöyle oluşturulur. t 0 u = v + K pε v + K i ε v(τ)dτ (7.3.27) ε v = v v (7.3.28) (7.3.28) denkleindeki v ve v atrisleri, v atrisinin istenen ve gözlelenen değerleridir. Bu atrisler, iş planlaasıyla belirlenen q ve hız sensörleriyle ölçülen q atrislerine, (7.3.12) ve (7.3.14) denklelerinden kaynaklanan aşağıdaki denklelerle bağlıdır. v = Ψ q (7.3.29) v = Ψ q (7.3.30) Hız sensörlerinin kusursuz oldukları varsayılabilir. Dolayısıyla, v v = Ψ q olarak alınabilir. İve ileribesleesi için gereken v terii ise, (7.3.29) denkleinden şöyle elde edilir. v = Ψ q + Ψ q (7.3.31) (7.3.27) denkleine göre oluşturulan kontrol girdisi, (7.3.24) denkleinde yerine konunca, aşağıdaki hata denkleine yol açar. t 0 v = v + K pε v + K i ε v(τ)dτ t 0 δ v ε v + K pε v + K i ε v(τ)dτ = δ v ε v + K pε v + K iε v = δ v (7.3.32) RDK M. Keal Özgören

131 (7.3.32) denkleiyle belirlenen hata dinaiğinin asiptotik kararlı olası için uygunca seçilen ω n ve ζ değerleri kullanılarak K p ve K i atrisleri şöyle belirlenebilir. K i = ω n 2 I (7.3.33) K p = 2ζω n I (7.3.34) Sistein hareket kontrolu yukarıda açıklanan biçide gerçekleştirilince, v hız atrisi, zaanın işlevi olarak elde ediliş olur. Sistein buna karşılık gelen konuu ise, (7.3.12) denkleinden oluşan aşağıdaki türevsel denkle tülevlenerek elde edilir. q = f (q, t) = B (q )v (t) (7.3.35) b) Kuvvet-Moent Kontrolu (7.3.25) denkleindeki kontrol girdisi (μ ), çeşitli kontrol kurallarından birine göre oluşturulabilir. Burada, basitliği ve yeterliliği nedeniyle, kuvvet-oent ileribesleeli PI kontrol kuralı tercih ediliştir. Bu kontrol kuralına göre, kontrol girdisi şöyle oluşturulur. μ = λ t + H pε λ + H i ε λ(τ)dτ 0 (7.3.36) ε λ = λ λ (7.3.37) (7.3.37) denkleindeki λ ve λ λ atrisleri, λ atrisinin istenen ve ölçülen değerleridir. Burada, ölçüler için kullanılan kuvvet-oent sensörlerinin kusursuz olduğu varsayılıştır. (7.3.36) denkleine göre oluşturulan kontrol girdisi, (7.3.25) denkleinde yerine konunca, aşağıdaki hata denkleine yol açar. λ = λ t + H pε λ + H i ε λ(τ)dτ 0 t ε λ + H pε λ + H i ε λ(τ)dτ 0 δ λ t = (H p + I )ε λ + H i ε λ(τ)dτ 0 = δ λ ε λ + L p 1 H iε λ = L p 1 δ λ (7.3.38) (7.3.38) denkleindeki L p atrisi şöyle tanılanıştır. L p = H p + I (7.3.39) (7.3.36) denkleiyle belirlenen hata dinaiğinin asiptotik kararlı olası için uygunca seçilen h p > 0 ve h i > 0 değerleri kullanılarak H p ve H i atrisleri şöyle belirlenebilir. H p = h p I, H i = h i I (7.3.40) Not: Kuvvet-oent kontrolcusunun daha basit olası için H i = 0 seçii yapılarak yalnızca kuvvet-oent ileribesleeli P kontrol kuralı uygulanası düşünülebilirdi. Ancak, o zaan, kontrolcunun δ λ bozucu girdisi üzerinde hiç bir dinaik filtrelee ve yuuşata özelliği kalazdı. RDK M. Keal Özgören

132 Örnek: Düzlesel Bir Paralel Manipülatörün Hareket ve Kuvvet Kontrolu Şekil 7.5 İki Serbestlik Dereceli Düzlesel Bir Paralel Manipülatör Daha önce Bölü 4'te incelenen düzlesel paralel anipülatör, burada tekrar göz önüne alınıştır. Bu örnekteki görev tanıı şöyledir: Manipülatör, taşıdığı cisin x yönündeki hareketini tepesindeki yatay ve sabit (y = y 0 = sabit) olan düzlee belli bir kuvvetle bastırarak kontrol edecektir. Sözü edilen kontrol senaryosu, Şekil 7.5'te gösteriliştir. Kontrol sisteine geribeslee sağlaak üzere, yatay yönde x ve x değerlerinin, dikey yönde ise yüzeye uygulanan noral kuvvetin uygun sensörlerle hatasız ölçülebildiği varsayılaktadır. Bir başka varsayı da, yüzeyin yeterince kaygan olduğu, yani yüzeyle cisi arasındaki sürtüne kuvvetinin ihal edilebilecek kadar küçük olduğudur. Yüzeye uygulanan baskı kuvveti, aslında, y = y 0 kısıtlaasından kaynaklanan ve anipülatörün uç noktasına uygulanan dikey kısıtlaa kuvvetinin tersidir. Kısıtlaa denklei, standart biçiiyle şöyle ifade edilir. φ(x, y) = y 0 y = 0 (7.3.41) Kısıtlaa kuvvetleri, kısıtlaaya ilişkin Lagrange çarpanı (λ) kullanılarak şöyle elde edilir. δφ = δ(y 0 y) = 0 δy = 0 λδy = Q x δx + Q y δy = 0 Q x = 0, Q y = λ (7.3.42) Bölü 4'ün kısındaki örnekte, anipülatörün skalar hareket denkleleri, anipülatörün kütlesinin taşınan cisin kütlesine göre çok küçük olduğu varsayııyla, kısıtlaasız hareketler için şöyle elde edilişti. x = b 0 +x F b (b 0 +x) 2 +y x F (b 0 x) 2 +y 2 2 (7.3.43) y + g = y F y (b 0 +x) 2 +y F (b 0 x) 2 +y 2 2 (7.3.44) RDK M. Keal Özgören

133 Bu örnekteki y = y 0 kısıtlaası ve ilgili kısıtlaa kuvveti (λ) işin içine katılınca, (7.3.43) ve (7.3.44) denkleleri aşağıda görülen şekilleri alırlar. x = g = b 0 +x (b 0 +x) 2 +y 0 2 y 0 (b 0 +x) 2 +y 0 2 F 1 F 1 + b 0 x (b 0 x) 2 +y 0 2 y 0 (b 0 x) 2 +y 0 2 (7.3.45) ve (7.3.46) denkleleri, kısaca şöyle de yazılabilir. F 2 (7.3.45) F 2 λ (7.3.46) x = u (7.3.47) γ = μ g (7.3.48) (7.3.47) ve (7.3.48) denklelerindeki kontrol koutları (u ve μ) ile özgül baskı kuvveti (γ), aşağıdaki denklelere göre tanılanışlardır. γ = λ/ (7.3.49) u = μ = b 0 +x (b 0 +x) 2 +y 0 2 y 0 (b 0 +x) 2 +y 0 2 F 1 F 1 + b 0 x (b 0 x) 2 +y 0 2 y 0 (b 0 x) 2 +y 0 2 F 2 (7.3.50) F 2 (7.3.51) Manipüle edilen cisin yatay hareketinin istendiği gibi (yani ε x = x x 0 olacak biçide) kontrol edilebilesi için u kontrol koutu, ive ileribesleeli PD kontrol kuralı uyarınca şöyle oluşturulabilir. u = x + k p ε x + k d ε x (7.3.52) Bu kontrol koutu, k p = ω n 2 ve k d = 2ζω n tanılarıyla uygulanınca, (7.3.47) denkleinden aşağıdaki hata denklei elde edilir. ε x + 2ζω n ε x + ω n 2 ε x = 0 (7.3.53) (7.3.53) denkleine göre, ε x hatası asiptotik olarak sıfıra yakınsar. Böylece, x x yakınsaası da sağlanış olur. Manipüle edilen cisin yüzeye istendiği gibi (yani ε γ = γ γ 0 olacak biçide) bastırılabilesi için μ kontrol koutu, özgül kuvvetin istenen değerini ve yerçekii ivesini ileribeslee terileri olarak kullanan bir PI kontrol kuralı uyarınca şöyle oluşturulabilir. μ = (γ t + g) + c p ε γ + c i ε γ (τ)dτ 0 (7.3.54) (7.3.54) denkleine göre oluşturulan kontrol koutu uygulanınca, (7.3.48) denkleinden aşağıdaki hata denklei elde edilir. t (c p + 1)ε γ + c i ε γ (τ)dτ 0 = 0 ε γ + ω c ε γ = 0 (7.3.55) (7.3.55) denkleindeki ω c paraetresi şöyle tanılanıştır. ω c = c i /(c p + 1) (7.3.56) RDK M. Keal Özgören

134 (7.3.55) denkleine göre, ε γ hatası asiptotik olarak sıfıra yakınsar. Böylece, γ γ ve λ λ yakınsaaları da sağlanış olur. Yukarıda belirlenen u ve μ kontrol koutlarını fiziksel olarak uygulayabilek için gereken eyleti kuvvetleri ise, (7.3.50) ve (7.3.51) denkleleri çözülerek şöyle bulunur. F 1 = (b 0+x) 2 +y2 0 [(b 2b 0 y 0 x)μ + y 0 u] (7.3.55) 0 F 2 = (b 0 x) 2 +y2 0 [(b 2b 0 y 0 + x)μ y 0 u] (7.3.56) 0 Dikkat edilirse, y 0 > 0 ve b 0 > 0 olduğu için, anipülatör, istenen görevi herhangi bir eyletisel tekil durula karşılaşadan yerine getirebilir. RDK M. Keal Özgören

135 EK A: KAYNAKLAR Özgün bir içeriğe sahip olan bu kitabın hazırlanasında aşağıda belirtilen kaynaklardan teel yapı taşları ve yol gösterici unsurlar olarak yararlanılıştır. 1. M. K. Özgören, "Lecture Notes for ME 522 (Principles of Robotics)", Makina Mühendisliği Bölüü, ODTÜ. 2. M. K. Özgören, "Lecture Notes for ME 502 (Advanced Dynaics)", Makina Mühendisliği Bölüü, ODTÜ. 3. M. K. Özgören, "Seri ve Paralel Manipülatörlerin Analitik ve Yarı-Analitik Yöntelerle Konu ve Hız Analizleri", MakTeD Robot Kineatiği Çalıştayı, Gaziantep Üniversitesi, Eylül J. Denavit, R. S. Hartenberg, "A Kineatic Notation for Lower-Pair Mechaniss Based on Matrices", ASME J. of Applied Mechanics, 22(2), pp , R. P. Paul, "Robot Manipulators: Matheatics, Prograing and Control", MIT Press, Cabridge, MA, J. J. Craig, "Introduction to Robotics, Mechanics and Controls", Addison-Wesley, Reading, MA, W. Khalil, E. Dobre, "Modeling, Identification and Control of Robots", Heres Penton Science, J. Angeles, "Fundaentals of Robotic Mechanical Systes", Springer, L. W. Tsai, "Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators", Wiley, H. Asada, J. J. E. Slotine, "Robot Analysis and Control", Wiley, A. J. Koivo, "Fundaentals for Control of Robotic Manipulators", Wiley, R. J. Schilling, "Fundaentals of Robotics: Analysis and Control", Prentice-Hall, L. Sciavicco, B. Siciliano, "Modeling and Control of Robot Manipulators", McGraw-Hill, M. W. Spong, S. Hutchinson, M. Vidyasagar, "Robot Modeling and Control", Wiley, M. K. Ozgoren, "Soe Rearks on Rotation Sequences and Associated Angular Velocities", Journal of Mechanis and Machine Theory, Vol. 29, No. 7, pp , M. K. Ozgoren, "Kineatic Analysis of a Manipulator with its Position and Velocity Related Singular Configurations", Journal of Mechanis and Machine Theory, Vol. 34, pp , M. K. Ozgoren, "Topological Analysis of Six-Joint Serial Manipulators and Their Inverse Kineatic Solutions", Journal of Mechanis and Machine Theory, Vol. 37, pp , M. K. Ozgoren, "Kineatic Analysis of Spatial Mechanical Systes Using Exponential Rotation Matrices", Journal of Mechanical Design, ASME, Vol. 129, pp , Noveber M. K. Ozgoren, "Optial Inverse Kineatic Solutions for Redundant Manipulators by Using Analytical Methods to Miniize Position and Velocity Measures", Journal of Mechaniss and Robotics, ASME, Vol. 5, pp :1-16, August M. K. Ozgoren, "Kineatic Analysis of Spatial Mechanical Systes Using a New Systeatic Forulation Method for Lower and Higher Kineatic Pairs", Journal of Mechaniss and Robotics, ASME, Vol. 6, pp :1-17, Noveber RDK M. Keal Özgören

136 EK B: KÜÇÜK SÖZLÜK Mekanik sisteler ve robotik alanında kullanılan ve kullanılabilecek bazı Türkçe terilerin İngilizce karşılıkları bu küçük sözlük kapsaında belirtiliştir. Bu terilerin bazıları zaten kullanılaktadır. Bazıları ise yeni önerilen ve tartışaya açık terilerdir. Önerilerden bazıları için esinlene kaynakları da gösteriliştir. Ayrıca, bazı kavralar için birden fazla öneri de bulunaktadır. Aynı İngilizce teri için yerine göre farklı Türkçe teriler kullanılabilir. Tabii, Bunun tersi de olabilir. Örneğin, "end-effector" terii için "işle aygıtı" ya da "uç işleci" terileri kullanılabilir. Öte yandan, "duruş" terii için de "pose" ya da "posture" terileri kullanılabilir. Türkçe'nin zengin yapı ekleri dağarcığından kaynaklanan kelie türete yeteneği, ilginç nüans farklılıkları da doğurabilektedir. Örneğin, her ikisi de İngilizce'deki "translation" keliesine karşılık gelen "ötelee" ve "ötelene" kelielerinin anlaları arasında azısanayacak bir nüans farkı vardır. Hele, her ikisi de İngilizce'deki "resolution" keliesine karşılık gelen "çözünürlük" ve "çözüştüre" kelielerinin anlaları tüüyle farklıdır. Ayrıca, yine İngilizce'deki "resolution" keliesine karşılık gelen "çözüştüre" ve "çözüşü" kelielerinin anlaları arasında da nüans farkı vardır. Açık Çevrili Kontrol = Döngüsüz Kontrol = Open-Loop Control Artıksıl = Redundant (Esinlene: Yoksul, Varsıl) Artık Eyletili = Over Actuated Artçıl = Posterior Aşırı Eyletili = Over Actuated Aşırı Artıksıl = Hyper Redundant Aşırı Kısıtlı = Over Constrained Altyazıt = Subscript Asal = Principal Atalet = Inertia Atalet Moenti = Moent of Inertia Atalet Çarpısalı = Product of Inertia Ataletsel Kuvvet = Inertia Force Ataletsel Moent = Inertia Moent Ataletsel Eksen Takıı = Inertial Reference Frae Atalet Tensörü = Inertia Tensor Aygıt = Tool, Device Aygıt-Ekle Kineatiği = Inverse Kineatics (fro Tool to Joints) Ayrıştırak = To Partition Ayrışka = Partition (Esinlene: Bileşke, Yerleşke) Ayrışık = Decoupled Atılı Açısı = Hücu Açısı = Angle of Attack A RDK M. Keal Özgören

137 Bağıl = Relative Bağlanca = Network (Esinlene: Eğlence, İzlence) Bağlantı = Connection Bağlaç = Connecting Serial Chain (such as that between the platfors of a parallel anipulator) Bağlaşık = Coupled Bağlaşka = Linkage (Esinlene: Yerleşke) Bağlar Uzuv = Bağlantı Uzvu = Coupler Link (in a echanis) Bağlangaç = Coupler Link (in a echanis) (Esinlene: Solungaç) Benzeti = Siulation Benzeşi = Analogy Bileşen = Coponent Bileşke = Cobination Biçilene = Configuration Boyut = Diension Bölüntü = Division, Partition Bölüntüleek = To Divide, To Partition Burula Açısı = Twist Angle Burgu = Vida = Screw Burgusal Ekle = Vidasal Ekle = Screw Joint Büküle Açısı = Kıvrıla Açısı = Turn Angle, Deflection Angle Çalışa Haci = İşle Haci = Workspace Çevriiçi = Süreçiçi = Online Çevridışı = Süreçdışı = Offline Çözüştürek = To Resolve (a vector) Çözüşü = Resolution (of a vector) Çözünürlük = Resolution (of an iage) B C, Ç D Dayanç = Mukaveet = Strength (Esinlene: Basınç, Güvenç) Derleşik (Derli Toplu) = Copact Devini = Hareket = Motion Devinisel Dinaik = Forward Dynaics, Direct Dynaics (for finding otion) Devinicil Dinaik = Devinisel Dinaik Devinisel Tekillik = Motion Singularity Devrik = Transpoz = Transpose Dikeysıra Matrisi = Colun Matrix Döner Ekle = Revolute Joint Döner Uzuv = Crank (in a echanis) RDK M. Keal Özgören

138 Döngeç (Döner Uzuv) = Crank (in a echanis) (Esinlene: Süzgeç, Yüzgeç) Döndürgeç = Crank (for cranking) (Esinlene: Süzgeç, Yüzgeç) Döndüreç = Crank (for cranking) (Esinlene: Kaldıraç) Döneölçer = Gyroscope Döngü = Loop Döngülü Kontrol = Kapalı Çevrili Kontrol = Closed-Loop Control Döngüsüz Kontrol = Açık Çevrili Kontrol = Open-Loop Control Döngü Kapanı Denklei = Loop Closure Equation Dönüşü = Transforation Dönüştürek = To Transfor Dönüştürgeç = Transforer Dörtleç = Quaternion Duru = Situation, State Duruş = Pose, Posture Düzlecil Atalet Terii = Atalet Çarpısalı = Product of Inertia (defined over a plane) Ekle = Joint Ekle-Aygıt Kineatiği = Forward Kineatics (fro Joints to Tool) Ekle Uzayı = Joint Space Eklenti = Bias Ter (in a nonhoogeneous expression) Eksen Takıı = Reference Frae Eksencil Atalet Terii = Atalet Moenti = Moent of Inertia (defined about an axis) Eksiksil = Deficient (Esinlene: Yoksul, Varsıl, Artıksıl) Eksik Eyletili = Under Actuated Eşlenik = Conjugate Eşdeğerli = Equivalent (quantitatively) Eşnitelikli = Equivalent (qualitatively) Etkileşi = Interaction Etkin = Effective, Dextrous Etkili = Effective, Dextrous Etki-Eyle Dinaiği = Forward Dynaics, Direct Dynaics (fro Cause to Action) Eyle-Etki Dinaiği = Inverse Dynaics (fro Action to Cause) Eyletek = To Actuate Eyleti = Actuation Eyletici = Actuator Eyletisel Dinaik = Inverse Dynaics (for finding actuating forces/torques) Eyleticil Dinaik = Eyletisel Dinaik Eyletisel Tekillik = Actuation Singularity Fazla Eyletili = Over Actuated RDK M. Keal Özgören E F

139 Geribeslee = Feedback Geriye Doğru Kineatik = Ters Kineatik = Inverse Kineatics Gerinç Gerile = Stress (Esinlene: Basınç, Dayanç, Güvenç) Gerinti Gerini = Strain (Esinlene: Esinti, Gezinti, Yaşantı) Hücu Açısı = Atılı Açısı = Angle of Attack İkileç = Diyadik İleribeslee = Feedforward İleri Kineatik = Forward Kineatics İleriye Doğru Kineatik = Forward Kineatics İleteç = Transitter, Transission Tool İndirgeç = Redüktör = Reduction Gearbox İşle Aygıtı = End-Effector İşle Haci = Çalışa Haci = Workspace İşle Uzayı = Task Space İveölçer = Acceleroeter G H I, İ Kaçıklık = Offset Kalıcı Hata = Residual Error (after the transient response phase) Kapalı Çevrili Kontrol = Döngülü Kontrol = Closed-Loop Control Kararlı = Stable Kayar Ekle = Prisatic Joint Kayar Uzuv = Slider (in a echanis) Kayaç = Slider (in a echanis) (Esinlene: Kaldıraç) Kaygaç = Slider (in a echanis) (Esinlene: Süzgeç, Yüzgeç) Kayalı Yuvarlana = Rolling with Slipping Kayasız Yuvarlana = Rolling without Slipping Kapanı = Closure Kıvrıla Açısı = Büküle Açısı = Turn Angle, Deflection Angle Konu = Position Konusal Tekillik = Position Singularity Kontrol = Control Kontrolcu = Controller Kontrol Kuralı = Control Law K RDK M. Keal Özgören

140 O, Ö Orta Dike = Perpendicular Bisector (of a line segent) Ortak Dike = Coon Noral (between two axes) Öğe = Eleent (e.g., eleent of a atrix) Öncül = Anterior Ötelee = Translation (driven) Ötelene = Translation (self driven) Özgül = Specific Özgül Kuvvet = Specific Force (force per unit ass) Özgül Moent = Specific Moent (oent per unit rotational inertia) Rank = Rank (of a atrix) R S, Ş Salınak = To Oscillate, To Rock Salını = Oscillation, Rocking Salınır Uzuv = Rocker (in a echanis) Salıngaç = Rocker (in a echanis) (Esinlene: Solungaç) Süreçiçi = Çevriiçi = Online Süreçdışı = Çevridışı = Offline Ters Kineatik = Inverse Kineatics Ters Dinaik = Inverse Dynaics Tutucu = Gripper Tülev = Integral Türev = Derivative Uç İşleci = End-Effector Uzuv = Link Üstyazıt = superscript Uzakçıl = Distal (Further Away fro the Base) T U, Ü RDK M. Keal Özgören

141 Y Yakıncıl = Proxial (Closer to the Base) Yakınsaa = Convergence Yandöne Açısı = Yaw Angle Yankaya Açısı = Sideslip Angle Yataysıra Matrisi = Row Matrix Yerleşi = Location Yenilee = Recursion, Renewal Yenileeli Denkle = Recursive Equation Yinelee = Iteration, Repetition Yineleeli Çözü = Iterative Solution Yönelek = To get oriented Yöneltek = To ake oriented Yöneli = Orientation (self driven) Yönelti = Orientation (driven) Yunuslaa Açısı = Pitch Angle Yuvarlana Açısı = Roll Angle Yükselteç = Aplifier RDK M. Keal Özgören

142 ROBOT MANİPÜLATÖRLERİN DİNAMİĞİ VE KONTROLU Prof. Dr. M. Keal ÖZGÖREN Orta Doğu Teknik Üniversitesi Kütük No: Bahçelievler Mahallesi 1. Cad. TRT Haber 1 Sitesi No: C8 Gölbaşı/ANKARA Makina Teorisi Derneği Yayınları Ders Notları Serisi No: 2 ISBN