1 11. Proses Yeterlilik Analizi 11.1 Proses Yeterliliği İşletmelerin rekabette başarılı olabilmesi için, tüketici sesifikasyonları içersinde üretim yamaları gerekmektedir. Dahası yakın gelecekte işletmeler rekabet üstünlüğü sağlayabilmek için, hedef değerde üretim yama durumunda olacaklardır. İşletmelerin istenilen kalite düzeyini sağlayabilmesi için ürünler, tüketici beklentilerini ifade eden sesifikasyonlar içersinde oluşturmalıdır. Bunun için, üretim sürecinin sesifikasyonları karşılayan ürün oluşturabilme yeteneği sürekli olarak incelenmelidir. Bu inceleme, roses yeterlilik indeksleri ile yaılabilir. Proses yeterlilik indeksleri ile, sürecin sesifikasyonları sağlama derecesi belirlenebilir ve indekslerin eriyodik olarak hesalanması ile roses sürekli olarak kontrol altında tutulabilir. İstatistiksel teknikler geliştirme faaliyetleri ve imalat dahil ürün çevriminin bütün aşamalarında roses değişkenliğinin sayısallaştırılmasında, bu değişkenliğin ürün gereksinimleri ya da sesifikasyonlarına göre analiz edilmesinde ve bu değişkenliğin ortadan kaldırılmasında ya da en aza indirilmesinde büyük önem taşır. Bu tür roses değişkenliğinin azaltılması aktivitelerine genel olarak roses yeterlilik analizi adı verilir. Proses yeterliliği analizleri ile sürecin kararlı olmasını engelleyen etkenler araştırılır, bu etkenlerin ortadan kaldırılması için gerekli önlemler alınır. 11. Tolerans ve Sesifikasyon Sınırları Normal dağılıma sahi bir rosesin çıktılarının yaklaşık 0,9973 ünün µ ±3 σ sınırları içersinde olduğu ve 0,007 sinin bu sınırlar dışında oluştuğu kabul edilir. µ ±3 σ şeklinde oluşan bu sınırlara doğal tolerans sınırları (ADTS: Alt doğal tolerans sınırı ve ÜDTS: Üst doğal tolerans sınırı) adı verilir ve bu yaklaşımı kullanabilmek için verilerin normal veya normale çok yakın dağılması gerekir. Doğal toleranslar roses ortalamasına üç standart sama ekleni, çıkarılarak oluşturulur. Doğal toleranslar yerine, tüketici isteklerini ifade eden sesifikasyonları kullanmak, ürünün istenilen kalite düzeyini sağlaması açısından daha kullanışlı olabilmektedir. Sesifikasyon sınırları (ASS: Alt siesifikasyon sınırı, ÜSS: Üst sesifikasyon sınırı) tüketici isteklerini ifade ettiğinden, üretim sürecinin bu sınırlar içersinde ürün oluşturması istenir.
Bir roses yeterliliği ölçüsü olarak genellikle ürün kalite karakteristiğinin dağılımındaki altısigma hesalanır. Ortalaması μ ve standart saması σ olan bir kalite karakteristiğinin dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır. Histogram of 1 Normal 400 Mean 0,0193 StDev 0,9918 N 10000 300 Frequency 00 100 0-3,6 -,7-1,8-0,9 0,0 1 0,9 1,8,7 ADTS µ ÜDTS Şekil 11.1 Bir Proses için Doğal Tolerans Sınırları Sürecin alt doğal tolerans sınırı (ADTS) ve üst doğal tolerans sınırı (UDTS) aşağıdaki gibi hesalanır: ADTS = µ 0 UDTS = µ + 0 Proses yeterliliği için örnek seçilerek roses yeterliliği tahmin edilmek istenirse, yukarıdan hesalama yerine aşağıdaki tahmin kullanılır: ADTS = x 3s UDTS = x + 3s Normal dağılım için doğal tolerans sınırları içinde değişken değerlerinin %99,7 si bulunur. Yani sürecin yalnızca %0,3 ü doğal tolerans sınırları dışındadır. Bir milyon arça için bu yüzde 700 arçayı göstermektedir ve bu sayı küçümsenmeyecek kadar önemlidir. Proses yeterliliği hesalaması belirli bir şekle, ortalamaya ve dağılıma sahi olan bir olasılık dağılımı ile yaılabilir. Normal dağılıma sahi ortalaması μ = 1 cm. ve standart saması σ = 0.001 cm. olan roses çıktısı için roses yeterliliği hesalanabilir. Ancak bu durumda roses yeterliliği kalite karakteristiği sesifikasyonları göz önüne alınmadan hesalanmış olur.
3 Proses yeterliliği ise aynı zamanda sesifikasyonların dışında kalanların yüzdesi olarak da açıklanabilir. Genelde roses yeterliliği çalışması sürecin değil, ürünün fonksiyonel arametrelerini ölçer. Proses doğrudan gözlemleniyor ve veri tolama çalışması kontrol edili izlenebiliyorsa ancak bu durumda gerçek bir roses yeterliliği çalışması olabilir. Proses kontrol altında olduğu halde rosesin yetersizliği ile ilgili durumlar Şekil 11. de bazı roses yeterlilik durumları verilmiştir. (a) şeklinde müşteri beklentilerini karşılayan yeterli bir roses örneği verilmiştir. Şekil 11. Proses Yeterliliği ile İlgili Durumlar (b) şeklinde yine yeterli bir roses mevcuttur, ancak bu roseste değişkenlik oldukça azalmışken rosesin merkezden uzaklaştığı görülmektedir. (c) şeklinde roses ortalamasının sola kaymasından kaynaklanan bir roses yetersizliği vardır. Benzer şekilde (d) şeklinde roses ortalamasının sağa kaymasından kaynaklanan bir yetersizlik söz konusudur. (e) şeklinde roses değişkenliği müşteri sesifikasyonlarını aştığından yetersiz bir duruma
4 düşmüş roses görülmektedir. Kırmızı bölgeye düşen ürünler müşteri sesifikasyonlarını karşılayamayan ürünlerdir. 11.3 Proses Yeterliliği ve Altı-sigma Altı-sigma, faaliyet alanı ister imalat, isterse hizmet olsun tüm iş birimlerinin kalite seviyesinin ölçülmesi için geliştirilen bir birimdir. Sigma (σ) sembolü ile ifade edilen standart sama değişkenliği ölçmede kullanılan bir terimdir. Altı-sigma çoğu kez mühendis ve istatistikçiler tarafından ürün ve roseslerin mükemmelleştirilmesi için kullanılan teknik bir yöntem olarak algılanmasına rağmen temelde tüm faaliyetlerde değişkenliği azaltmakta kullanılabilecek kasamlı bir çalışma sistem ve felsefedir. İstatistiksel analiz ise bu sistemin en önemli öğesidir. 1. Altı-sigma hedefine ulaşmak için izlenmesi önerilen 6 adım aşağıda özetlenmiştir: Müşterinin fiziksel ve fonksiyonel isteklerine ulaşmak için kritik olan kalite karakteristiklerinin belirlenmesi. Bu kritik karakteristiklere ulaşmayı engelleyen ürün bileşenlerinin belirlenmesi 3. Bu elementlere göre kritik karakteristiği kontrol eden roses adımlarının veya seçimlerinin belirlenmesi 4. Nominal tasarım değeri ve gerçekçi toleransın kritik karakteristik için seçilmesi ve istenilen erformansa ulaşılmasının garanti edilmesi 5. Proses elementleri ve arça yeterliliğinin belirlenmesi 6. Ürün veya sürecin değişkenliğnin = ve k = 1,5 olana kadar azaltılması. Görüldüğü gibi kalite karakteristiklerinin istenen düzeye getirilmesinde ve kalite sesifikasyonlarının karşılanması sürecinde roses yeterliliğinin ölçülmesi, sürecin yeterlilik analizleri sonucunda iyileştirilmesinin büyük önemi vardır. Proses yeterliliğinin ölçümü ile ürünlerin kalite düzeyleri belirlendiği gibi, ürünleri üreten sürecin de iyileştirilmesi söz konusu olmaktadır. Proses yeterliliği analizinde üç temel yöntem kullanılmaktadır; histogramlar veya olasılık çizimleri, kontrol diyagramları, tasarımlanmış deneyler. 11.4 Proses Yeterliliği Çalışmasının Faydaları
5 Proses yeterliliği çalışmaları kalite iyileştirmede önemli bir aşamayı temsil eder. Proses yeterliliği çalışmaları sonucu elde edilen veriler aşağıdaki konularda kullanılabilecek önemli çıktılar sağlar: 1. Önemli karakteristiklerin veya rosesin sesifikasyonları karşılayı karşılamadığını değerlendirmek.. Üretim sürecinin değişkenliğinin sürekli azaltılmasını sağlamak ve bunu gözlemlemek, 3. Prosesteki sürekli iyileşmeyi gözlemlemek, 4. Proses çıktısının tekdüzeliğini ölçmek, 5. İyileştirmeye ihtiyacı olan roses veya kalite karakteristiğini tanımlamak, 6. Önemli müşteri gereksinimlerinin karşılandığından emin olmak, 7. Bir ürünü üretmek için alternatif makine veya rosesler arasından seçim yaabilmek, 8. Kontrol diyagramları için alt gru örnekleme aralığını belirlemede yardımcı olmak, 9. Dizayn ve tolerans için mühendisliğe bilgi sağlamak, 10. Prosesi merkezleyerek veya roses değişkenliğini azaltarak hatalı üretimin azaltılmasının en iyi nasıl sağlanabileceğine karar vermek, 11. Raki tedarikçiler arasında seçim yaılması. Bir roses iyileştirmeden önce belirli bir roses yeterliliğine sahi olmalıdır. Proses iyileştirme çalışmalarında başarılı olunabilmesi için roses yeterliliği çalışması başarılı şekilde tamamlanmış olmalıdır. 11.5 Proses Yeterliliği Analiz Yöntemleri 11.5.1 Histogram ile Proses Yeterliliği Analizi: Anlamlı bir roses yeterliliği sonucuna ulaşmak için en azından 100 ya da daha fazla gözlem yaılması gereklidir. Veri tolama öncesinde aşağıdaki aşamalar gerçekleştirilmelidir: Öncelikle kullanılacak makine ya da makineler seçilmelidir. Seçilenler için yaılacak uygulama daha büyük bir makine grubuna genişletilecekse seçilen makineler tüm kütleyi temsil edebilmelidir.
6 Proses çalışma koşulları (kesme hızları, sıcaklıklar vb.) tanımlanmalı ve seçilmelidir. Bu faktörlerdeki değişiklerin roses yeterliliği üzerindeki etkilerinin incelenmesi önemli olabilir. Oeratör seçimi oeratör değişkenliğinin tahmin edilmesine olanak verecek şekilde yaılmalıdır. Bunun için rassal seçim yaılabilir. Veri tolama süreci dikkatli bir şekilde izlenmeli ve her birimin üretim zamanı kaydedilmelidir. Histogram, örnek ortalaması x ve örnek standart saması s ile birlikte roses yeterliliği hakkında bilgi verir. Örnek 1. Aşağıda 100 adet lastik malzemenin çatlama sonuçları verilmiştir. İkinci tabloda ise frekans dağılımları yer almaktadır. Tablo 11.1 Bir Plastik Malzeme İçin Gözlemlenen Çatlama Değerleri (si) 65 197 346 80 65 00 1 65 61 78 05 86 317 4 54 35 176 6 48 50 63 74 4 60 81 46 48 71 60 65 307 43 58 31 94 38 63 45 74 70 0 31 76 8 3 96 31 301 337 98 68 67 300 50 60 76 334 80 50 57 60 81 08 99 308 64 80 74 78 10 34 65 187 58 35 69 65 53 54 80 99 14 64 67 83 35 7 87 74 69 15 318 71 93 77 90 83 58 75 51 100 veriden elde edilen ortalama ve sama: x = 64.04, s = 3.0 olduğundan roses yeterliliği aşağıdaki şekilde tahmin edilir: x ± 3 s 64 ± 96 = 168; 360 si
7 0 Plastik Malzemelerin Kirilganlik Histogrami Normal Mean 64,1 StDev 3,0 N 100 15 Frekans 10 5 0 180 10 40 70 çatlama noktasi 300 330 Şekil 11.3 Çatlama Değerleri İçin Histogram Grafiği Verilerden elde edilen histogramdan verilerin yaklaşık olarak normal dağıldığını söyleyebiliriz. Dolayısıyla verilerin %99.73 ünün 64 96=168 ile 64+96=360 arasında olduğu sonucu çıkar. Histogramların roses yeterliliğinin tahmininde kullanılmasının en büyük yararı roses erformansının hızlı ve görsel olarak izlenebilmesidir. Histogramlar ayrıca zayıf roses erformansının nedenlerini de ortaya koyar. Aşağıdaki grafiklerde bu durumlar gösterilmiştir. Proses Yeterliligi ASS USS O v erall aability P 0,56 PPL 0,55 PPU 0,56 Pk 0,55 m *,5 5,0 7,5 10,0 1,5 15,0 17,5
8 Proses Yeterliligi ASS USS O v erall aability P 0,76 PPL 1,37 PPU 0,15 Pk 0,15 m * 86 88 90 9 94 96 98 100 Şekil 11.5 Yetersiz bir roses örneği Yukarıdaki histogramlara bakıldığında ilk histogramda rosesin otansiyel yeterliliğe elverişli ancak zayıf olarak yerleştiği görülebilir. Burada roses üst sesifikasyon sınırı aşılırken alt sesifikasyon sınırının çok ötesinde bir dağılım ortaya çıkmıştır. İkinci histogramda ise sesifikasyon sınırlarının her ikisinin de aşıldığı ve roses değişkenliğinin fazla olduğu sonucuna varılmaktadır. 11.5. Normal Olasılık Grafiği Çizimi ile Proses Yeterlilik Analizi: Gözlem değerlerinin dağılımı bilinirse sürecin yeterliliği bu dağılım kullanılarak belirlenebilir. Yukarıda anlatılan histogram grafiği dağılımın şeklinin belirlenmesinde yetersiz kalmaktadır. Dağılımın şeklinin belirlenmemsinde frekans dağılışının şeklinin yanı sıra istatistik testlerden yararlanılabilir. Gözlem değerlerinin çoğu zaman en çok uyum gösterdiği normal dağılım için Anderson - Darling, Shairo-Wilk, Kolmogorov-Simirnov Ki kare gibi değişik testler kullanılmaktadır. Diğer dağılımlar için de Kolmogorov-Simirnov Ki kare gibi testlerden yararlanılır. Dağılım belirlendiği taktirde roses yeterliliği söz konusu dağılımın arametrelerine dayanarak belirlenebilir. Örnek Histogram örneğindeki verilerin dağılımı için Anderson-Darling normallik testi uygulayarak sonucu yorumlayalım.
9 Normal Olasilik Grafigi Olasilik,999,99,95,80,50,0,05,01,001 Arit. ortalama: 63,91 St. sama: 31,4453 N: 100 00 50 Çatlama noktasi 300 350 Anderson-Darling Normallik Testi A-Kare: 0,70 Olasilik: 0,058 Şekil.11.5 Çatlama Değerleri İçin Normal Olasılık Grafiği Şekil11.5 ten gözlem değerlerinin dağılımı doğruya çok yakın olduğu görülmektedir. Bu durum gözlem değerlerinin normal dağılıma yakınlığının bir göstergesidir. Öte yandan Anderson-Darling A =0,7 olu bunun olasılığı 0,058 olarak elde edilmiştir. Bu olasılık anlam düzeyi 0,05 alındığında ondan daha büyük olduğundan normal dağılım hiotezinin kabulü için yeterli bir delil olarak görülür. Yani çatlama noktası değerleri Ortalaması 63,91, standart saması 31,445 olan normal dağılıma uymaktadır. Şu halde roses yeterliliği için normal dağılımdan faydalanılabilir. Bu verilere göre roses yeterliliği µ± = 63,91±3*31,445 = 169,575 ; 335,335 olur. 11.5.3 Proses Yeterlilik İndeksleri Proses yeterlik çalışmalarında kullanılan indekslerin doğru olarak hesalanabilmesi ve elde edilen değerlerin güvenilir olabilmesi için aşağıdaki koşullar sağlanmalıdır; i.) Sürecin istikrarlığının sağlanması, ii.) Sürecin özel sebeli değişkenlikten arındırılması, iii.) Sürecin normal dağılıma sahi olması.
10 Yukarıda sayılan üç şart sağlandığında, roses yeterlilik indeksleri güvenilir bir şekilde hesalanabilir ve elde edilen sonuçlar güvenilir olur. Uygulamalarda verilerin, normal dağılım dışındaki şekillerde de dağıldığı görülmektedir. Proses istikrarlığının kontrolü, temel olarak istatistiksel kontrol diyagramları ile yaılır. Yeterlilik indeksleri hesalamaları yaılmadan önce, kontrol kartları kullanılarak sürecin istikrarlılığı araştırılmalıdır. İstatistiksel kontrol kartları ile yaılan incelemede, rosesten elde edilen veriler kontrol kartları sınırları içersinde ise sürecin istikrarlı olduğu sonucuna varılır. 11.5.3.1 Proses Potansiyel İndeksi Proses yeterlilik indeksi ( ve P ) rosesin sesifikasyonları karşılayan ürün imal etme yeteneğinin bir ölçüsüdür. roseslerin kısa dönemli yeterliliğini gösterirken, P roseslerin uzun dönemli yeterliliğini gösteren bir indekstir. Tüketici gereksinmelerinin sağlanma derecesini belirleyebilmek için, roses ortalamasının yerleşimi ve değişkenliğin büyüklüğünün, üretim sürecinden elde edilen arçalar ile incelenmesi gerekir. Yalnızca roses ortalaması µ ve roses standart saması σ nın tahmincileri X ve s yi kullanarak, roses ile ilgili değerlendirme yamak yanıltıca olabilir. Bu nedenle, ortalama ve standart sama değerleri ile sesifikasyon sınırları ilişkilendirilerek, sürecin sesifikasyonları sağlama derecesi değerlendirilmelidir. Proses otansiyel indeksi, roses standart samasının, sesifikasyon sınırları ile ilişkilendirilmesiyle oluşturulur ve verilerin yayılımını inceler. u ve l, roses ortalaması ve sesifikasyon sınırı arasındaki standardize edilmiş uzaklıkları esas alan alt ve üst roses otansiyel indeksleridir. Bu ölçüler; u indeksi, USS µ µ ASS =, l = şeklinde bulunur. Bu ölçülerden hareketle roses otansiyel + u l = olarak yazılabilir.
11 Bir başka şekilde bu indeksi şöyle de ifade edebiliriz. Ölçümlenen bir (x) kalite karakteristiği için, alt ve üst sesifikasyon sınırları (ASS, ÜSS) olarak ve standart saması da σ olarak ifade edilirse, Proses otansiyel indeksi aşağıdaki gibi formüle edilir. ÜSS ASS = 6σ Formülden de görüldüğü gibi, indeksi yalnızca roses yayılımını analiz eder. değerinin 1 den büyük olması istenen bir durumdur. Buna karşılık uygulamalarda 1,33 durumunun olması önerilir. Ayrıca güvenilir sonuçlar elde edebilmek için, örnek sayısı en az 50 olmalıdır. Bu ölçünün bir benzeri olan ön roses otansiyel indeksi (P ) benzer şekilde hesalanır, ancak standart sama değeri için alt örnek grubuna ait iken P de bütün örnek grularını kasamaktadır. P indeksinin 1,67 ya da daha büyük olması arzu edilir. Bu konuda ayrıca P indeksi üzerinde durulmayacaktır. P formülünün aydasındaki σ roses değişkenliğini ifade eder. İstatistik uygulamalarında kullanılan s = R d ( X i X ) yerine, standart samanın daha önce verilen s = N 1 formülü tercih edilmelidir. Böylece örnek verilerinden hareketle tahmini değeri ÜSS ASS = şeklinde yazılır. 6s Proses Yeterlilik indeksi () için tavsiye edilen minimum değerler Devam etmekte olan bir roses için. 1,33 Yeni bir roses için.. 1,5 Güvenlik, dayanıklılık veya kritik özelliğe sahi devam eden roses. 1,5 Güvenlik, dayanıklılık veya kritik özelliğe sahi yeni bir roses için. 1,67 Proses Potansiyel İndeksi Güven Aralıklarının Belirlenmesi
1 Proses otansiyel indeksi n 1 serbestlik dereceli dağılımına uygunluk gösterir. Bu dağılım temel alınarak güven aralığı aşağıdaki gibi ifade edilir. nin (1-α) güven aralığı: ˆ 1 α, n 1 ˆ α, n 1 n 1 n 1 Yukarıdaki formülde Ĉ : sürecin otansiyel indeks tahmini, 1 α, n 1 : n 1 serbestlik derecesi ve 1-α/ olasılığı için teorik ki kare değeridir. Bu değeri 4. konunun ekler kısmındaki Ki-kare tablosundan okuyabiliriz. Bu genel formülasyonun dışında, bazı araştırmacılar farklı yaklaşımlar da sunmuşlardır. Ancak yer darlığı ve konunun fazla dağılmaması için bu konulara yer verilmemiştir. Örnek: Yukarıda Tablo 11.1 de verilen lastik malzemenin çatlama deneyi verileri için roses yeterlilik indeksini bularak %95 güven aralığını oluşturunuz. Prosesin ortalaması için 64, standart saması için 3, alt tolerans limiti için (ASS) 190 ve üst tolerans limiti için (ÜSS) 330 alınız. Çözüm: Proses yeterlilik indeksi ÜSS ASS 330 190 140 = = = = 0,73 olarak bulunur. Tavsiye edilen roses 6s 6 3 19 yeterlilik indeksi 1,33 olduğundan roses yeterli değildir. Bu roses için yeterlilik indeksinin %95 güven sınırlarını şöyle oluşturabiliriz. ˆ 1 α, n 1 n 1 ˆ α, n 1 n 1 = 0,73 1 0,05,5 1 5 1 0,73 0,05/,5 1 5 1 Ki kare değerleri tablodan okunur. (4. hafta ders notları ek tablo 3)
13 s.d. 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.10 0.05 0.05 0.01 0.005 4 0.07 0.97 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 13.77 14.860 0,73 0,975,4 5 1 0,73 0,05,4 5 1 0,48 = 0,73 5 1 0,73 11,14 5 1 0,73 0,346 0,73 1,668 0,5 1,17 olarak bulunur. %95 güven aralığı için rosesin oldukça yetersiz olduğu anlaşılmaktadır. Zira Güven sınırının alt sınırı için 0,5 değeri elde edilmiştir ki bu son derece yetersiz bir sonuçtur. Aşağıdaki grafikte rosesin yetersizliğini göstermektedir. Gözlem değerlerinin değişkenliği fazla olması bir kısım değerlerin sesifikasyon limitleri dışında yer almasına sebe olmuştur. Bu rosesin müşteri ihtiyaçlarını karşılayacak şekilde ( 1,33) geliştirilmesi gerekmektedir. 11.5.3. Proses Performans İndeksi ( k ) Bir ürünün kalitesinin belirlenmesinde, ürünün gösterdiği yayılımın incelenmesi kadar, ortalama değerinin ne ölçüde hedef değerde oluştuğunun da incelenmesi önemlidir. indeksi ile roses yayılımının hangi düzeyde olduğunun incelenebilmesine karşılık, sürecin hedef değerde oluşma derecesi ile ilgili bilgi sağlanamaz.
14 Şekil 11.7. Değişkenliği ve sesifikasyonları aynı ortalaması farklı iki roses Şekil 11.7 (a) ortalaması 5, standart saması 1,5 olan roses olu müşteri sesifikasyon değerlerini ASS=0, ÜSS=30 olarak belirlemişse bu durumda roses yeterlilik indeksi; ÜSS ASS 30 0 = = = 1,11 olur. 6σ 6 1,5 (b) deki şekilde ise roses ortalaması 3 e kaydığı takdirde standart samanın değişmemesi nedeni ile roses yeterlilik indeksi ÜSS ASS 30 0 = = = 1,11 olarak bulunur. 6σ 6 1,5 Görüldüğü gibi (b) rosesi şekilde de görüldüğü gibi ortalaması kaydığı için yetersiz bir rosestir. indeksi merkezi dikkate almadığı için rosesin yetersizliğini fark edememiştir. İşte bu roblemi ortadan kaldırmak için roses erformans indeksi k ya ihtiyaç vardır. k indeksi devam etmekte olan roseslerin erformans indeksi iken bunun bir benzeri olan P k ön roses erformans indeksi yeni rosesler için kullanılan bir indekstir. Farkları k indeksinde alt örnek grubunun standart saması kullanılırken. P k da bütün örnek grularına ait standart sama değerinin kullanılmasıdır. Yani k kısa dönemli erformans indeksi iken P k uzun dönemli roses erformans indeksidir. Burada P k üzerinde ayrıca durulmayacaktır. indeksi için çift taraflı sesifikasyon sınırlarının kullanılmasının yananda, yalnızca tek taraflı sınarlar da kullanılabilir. Uygulamalarda ürün ile ilgili olarak yalnızca alt veya üst sesifikasyon sınırı önemli olabilir. Yalnızca tek sesifikasyon sınırının geçerli olduğunda iki durum söz konusudur. Bilindiği gibi roses alt yeterlilik ( l ) ve üst yeterlilik ( u ) indeksleri u USS µ =, l µ ASS = idi.
15 Bu iki indeksle ortalama değerin, alt veya üst sesifikasyon sınırına olan uzaklığı ayrı ayrı incelenebilir. İki sesifikasyon sınırının da mevcut olduğu durumlar için aşağıdaki yaklaşım uygulanır. k µ ASS ÜSS µ = min ; k indeksi ile roses ortalamasının sesifikasyon sınırlarına ne kadar uzaklıkta olduğu yorumlanmaya çalışılır. Ortalama değer ASS ye yakınsa l < u ve ortalama değer ÜSS ye yakınsa u < l olur. Burada amaç, ortalama değerin hangi sesifikasyon sınırına yaklaştığı ile roses yeterliliğini yorumlamak olduğundan, min( l, u ) yaklaşımı kullanılır. (b) deki şekli verilen rosesin ortalaması 3 olu diğer özellikleri aynıdır. Bu sürecin roses yeterlilik indeksi de: ÜSS ASS 30 0 = = = 1,11 olarak hesalanmıştır. 6σ 6 1,5 Halbuki (b) rosesi şekilde de görüldüğü gibi ortalaması kaydığı için yetersiz bir rosestir. indeksi merkezi dikkate almadığı için rosesin yetersizliğini fark edememiştir. İşte bu roblemi ortadan kaldırmak için roses erformans indeksi k ya ihtiyaç vardır. k indeksi devam etmekte olan roseslerin erformans indeksi iken bunun bir benzeri olan P k ön roses erformans indeksi yeni rosesler için kullanılan bir indekstir. Farkları k indeksinde alt örnek grubunun standart saması kullanılırken. P k da bütün örnek grularına ait standart sama değerinin kullanılmasıdır. Yani k kısa dönemli erformans indeksi iken P k uzun dönemli roses erformans indeksidir. Burada P k üzerinde ayrıca durulmayacaktır. indeksi için çift taraflı sesifikasyon sınırlarının kullanılmasının yananda, yalnızca tek taraflı sınarlar da kullanılabilir. Uygulamalarda ürün ile ilgili olarak yalnızca alt veya üst sesifikasyon sınırı önemli olabilir. Yalnızca tek sesifikasyon sınırının geçerli olduğunda iki durum söz konusudur. Bilindiği gibi roses alt yeterlilik ( l ) ve üst yeterlilik ( u ) indeksleri u USS µ =, l µ ASS = idi.
16 Bu iki indeksle ortalama değerin, alt veya üst sesifikasyon sınırına olan uzaklığı ayrı ayrı incelenebilir. İki sesifikasyon sınırının da mevcut olduğu durumlar için aşağıdaki yaklaşım uygulanır. k µ ASS ÜSS µ = min ; k indeksi ile roses ortalamasının sesifikasyon sınırlarına ne kadar uzaklıkta olduğu yorumlanmaya çalışılır. Ortalama değer ASS ye yakınsa l < u ve ortalama değer ÜSS ye yakınsa u < l olur. Burada amaç, ortalama değerin hangi sesifikasyon sınırına yaklaştığı ile roses yeterliliğini yorumlamak olduğundan, min( l, u ) yaklaşımı kullanılır. Şekil 7 de verilen iki roses için k indekslerini hesalayalım. (a) rosesi için; k µ ASS ÜSS µ 5 0 30 5 min ; = min ; = 1,11 3 1,5 3 1,5 = k b rosesi için; k µ ASS ÜSS µ 3 0 30 3 min ; = min ; = min = 3 1,5 3 1,5 { 0,67;1,55} 0, 67 = k olarak hesalanır. Bu sonuçlara göre (a) rosesi yeterli iken (b) rosesinin yetersiz olduğu anlaşılmaktadır. Halbuki roses yeterlilik indeksi her iki roses için de =1,11 elde edilmiş olu roseslerin yeterli olduğunu göstermektedir.