N. K. Ekinci Ekim 2015 İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi 1. Tek Sektörlü Ekonomide Gelir Dağılımı Tek mal (buğday) üreten bir ekonomi ele alalım. 1 birim buğday üretimi (birim alanda) a 11 kadar buğday girdisi ve l kadar emek girdisi gerektiriyor olsun: (a 11 /dönem, l/dönem) 1 birim buğday/dönem. Karışıklığa yol açmadıkça bundan sonra birimlerde dönem belirtilmeyecektir. Buna göre (bir dönem için) net buğday üretimi = 1 a 11 olacaktır. Burada genel olarak Q = brüt üretim Y = net (nihai) üretim dersek Q = a 11 Q + Y = ara girdi kullanımı + Net (nihai) üretim (1.1) olmak üzere Y = Q a 11 Q = (1 a 11 )Q ya da (1.2) olur. Dolayısı ile bu ekonomi ancak ve ancak a 11 < 1 ise üretkendir, yani herhangi bir pozitif nihai üretim mümkündür. Başka bir anlatımla bir ekonomi üretken ise artık üretim (pozitif net üretim) mümkündür. Şimdi, bir birim brüt üretim l birim emek girdisi gerektirdiğine, 1 birim brüt üretim (1 a 11 ) nihai üretim yarattığına göre 1 birim nihai üretim λ = l/(1 a 11 ) kadar emek içerecektir. Yani λ bir birim nihai üretimin içerdiği doğrudan ve dolaylı emek miktarıdır ve emek değer teorisine göre buğdayın değeridir. Şimdi bu sistemin fiyat denklemini, ücretin dönem sonunda ödendiği varsayımı ile p = buğdayın nominal fiyatı w = nominal ücret r = kâr oranı olmak üzere p = (1 + r)pa 11 + wl (1.3) olarak yazabiliriz. Ücret dönem sonunda ödendiği için birim sermaye gereksinimi içinde değildir. 1 Birim sermaye gereksinimi sadece ara girdi maliyeti olan pa 11 dir ve kâr bunun üzerinden hesaplanır. Bu fiyatlamayı farklı şekilde ifade edersek 1 Eğer ücret dönem başında ödenseydi p = (1 + r)(pa 11 + wl) olurdu.
p(1 a 11 ) = rpa 11 + wl (1.3 ) yani katma değer = sermayenin payı + ücretin payı olmak üzere bildiğimiz bir biçim alırdı. Şimdi, (1.3) denkleminden ilk olarak: A) r = 0 ise p = pa 11 + wl p(1 a 11 ) = wl w/p = (1 a 11 )/l = 1/λ (1.4) olacaktır. Buna göre bu ekonomide ödenebilecek maksimum (buğday cinsinden) reel ücret (w/p) bir birim emeğin üretebileceği net buğday miktarı olan 1/λ kadar olabilir. Tersinden bakarsak p/w = buğdayın ücret cinsinden reel fiyatı = λ demektir ki bu da r = 0 olduğunda malın (ücret cinsinden) reel fiyatı içerdiği toplam (doğrudan dolaylı) emek miktarına eşit olur demek olur. b) w = 0 ise p = (1 + r)pa 11 1 = (1 + r)a 11 r m = 1/a 11 1 = (1 a 11 )/a 11 (1.5) olur ki bu da bu ekonomide elde edilebilecek en yüksek kâr oranıdır. Doğal olarak ekonomi hiç bir zaman bu kâr oranına ulaşamayacaktır. Öyleyse bu ekonominin reel ücret-kâr oranı çizelgesi (bölüşüm olanakları çizelgesi, faktör fiyat çizelgesi) Şekil 1.1 deki gibi olacaktır. r = kâr oranı r m r o v o 1/ λ w/p = reel Dikkat edilirse bu kurguda bölüşüm olanakları çizelgesi doğrusaldır, reel ücret arttıkça kâr oranı aynı oranda düşer. Çizelgenin denklemi (1.3) fiyat denklemini yeniden düzenleyerek: p = (1 + r)pa 11 + wl 1 = (1 + r)a 11 + (w/p)l (1 a 11 ) (w/p)l = ra 11 Şekil 1.1 Tek Sektörlü Ekonomide Gelir Bölüşümü Olanakları ( ) (1.6)
olarak elde edilir. Şimdi, maksimum ücret düzeyinde ( r = 0 iken) p/w = λ olduğunu gördük. Ama kâr oranı pozitif olunca (ücret cinsinden) reel fiyat değerden farklılaşacaktır. (1.3) denklemini düzenlersek: p = (1 + r)pa 11 + wl p/w = (1 + r)(p/w)a 11 + l (p/w)[1 (1 + r)a 11 ] = l (p/w) = l/[1 (1 + r)a 11 ] = l/[1 a 11 ra 11 ] (p/w) = (1.7) olur. Kâr oranı (r) pozitif ise p/w > λ olur ve r arttıkça p/w artar. 2 (1.7) denkleminin paydasındaki a 11 /(1 a 11 ) bir birim net üretimin gerektirdiği doğrudan dolaylı ara girdi miktarı ya da bir birim net üretimin sermaye gereksinimidir. Bu sermaye üzerinden kâr hesaplanması reel fiyatın değerden sapmasına yol açmaktadır. Başka bir anlatımla kapitalist fiyatlama veri bir kâr oranına göre gelir dağılımını birim sermaye kullanımı ile orantılı kâr yaratacak şekilde belirlemek üzere yapılır. Kâr oranı ve/veya birim sermaye kullanımı yüksekse (ücret cinsinden) fiyat içerilen emek değerinden büyüktür. Örnek 1.1: Üretim tekniği (a 11, l) = (0.5, 3) 1 birim buğday olsun. Ekonomide nominal ücret w = 2 olsun. Buradan λ = l/(1 a 11 ) = 3/0.5 = 6 olur. Yani bir birim brüt buğday üretimi 3 birim emek gerektirirken, her brüt birim 0.5 net üretim yarattığından, bir birim net buğday üretimi doğrudan ve dolaylı toplam 6 birim emek girdisi gerektirir. Ekonominin fiyat denklemi p = (1 + r)0.5p + 3w = 6/[0.5(1 r)] olur. Buradan Şekil 1.1 de (maksimum kâr oranı) r m = (1 a 11 )/a 11 = 0.5/0.5 = 1 (ya da %100) olur. Bu ekonominin ödeyebileceği maksimum reel ücret 1/λ = 1/6 olacaktır. Şimdi, fiyat denklemini kullanarak aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz: Kâr Oranı (r) Fiyat (p) Reel Ücret (w/p) p/w 1 0 0.99 1200 0.00 600 0.8 60 0.03 30 0.6 30 0.07 15 0.4 20 0.10 10 0 12 0.17 = 1/6 6 Görüldüğü gibi p/w kâr oranı ile sürekli artmaktadır. 2 r arttıkça (7) ifadesinin payı aynı kalırken, paydası azalır, yani p/w artar. Daha formel olarak (7) ifadesinin r ye göre türevini alarak d(p/w)/dr > 0 olduğu gösterebiliriz.
2. İki Sektörlü Ekonomi Miktar Denklemleri İki mal (birinci mal x ve ikinci mal y) üreten bir ekonomide girdi gereksinimleri (bir dönem için oldukları unutulmadan) (a 11, a 21, l 1 ) 1 birim x, (a 12, a 22, l 2 ) 1 birim y, olsun. Buna göre x üretimi a 11 kadar kendinden, a 21 kadar y-sektöründen ara girdi ve l 1 kadar doğrudan emek kullanarak 1 birim brüt üretim yapar. y-üretiminin girdi gereksinimleri benzer şekilde yorumlanır. Ara girdi gereksinimleri sütunları her sektörün girdileri olacak şekilde matris olarak yazılırsa girdi-çıktı katsayı matrisi elde edilir: Şimdi, [ ] [ ] iki malın herhangi bir miktarda brüt üretimini göstermek üzere [ ] [ ] [ ] elde edilir ki AQ nün elemanları Q 1 kadar x, Q 2 kadar y-malı brüt üretiminin her mal için toplam ara girdi kullanımını verir. Q 1 = 1, Q 2 = 1 koyarsak, A matrisinin satır toplamlarını elde etmiş oluruz ki bunlar da bize ilgili malın tüm sektörlerce birer birim brüt üretim yapıldığından toplam ara girdi olarak kullanımını verir. Örneğin birinci satır toplamı (a 11 + a 12 ) 1 birim x, 1 birim y-malı brüt üretimi yapıldığında x-malının toplam ara girdi olarak kullanımıdır. Öyleyse, olmak üzere [ ] [ ] [ ] Q = AQ + Y (2.1) ya da I birim matris olmak üzere Y = Q AQ = (I A)Q (2.2) bize her mal için veri bir brüt üretim miktarlarına karşı gelen nihai üretim miktarlarını gösteren nihai üretim vektörünü (Y) verir. Bu ifade (1.2) nin genel durumdaki halidir (burada n-sektör olsaydı da A nxn olmak üzere aynı ilişki geçerli olacaktı). Örnek 2.1: [ ] [ ] [ ] [ ]
olur. O halde Q = (1, 1) olmak üzere her maldan bir birim brüt üretim yapılırsa nihai üretim miktarları ( ) [ ] [ ] [ ] olur. Çünkü A nın birinci satır toplamı 0.9 dir. Öyleyse birer birim brüt üretim yapılırsa 0.1 birim net x-malı kalır. A nın ikinci satır toplamı da 0.9 dir. Öyleyse birer birim brüt üretim yapılırsa 0.1 birim net x-malı kalır. Şimdi bu ekonomi hangi koşullarda üretken olur? Yani herhangi bir pozitif [ ] nihai üretim vektörünü üretmek hangi koşullarda mümkündür? (2.2) den Q = (I A) 1 Y (2.3) olduğuna göre bir ekonomi üretken ise keyfi bir (pozitif) Y vektörüne karşı gelen brüt üretim vektörü Q pozitif olmalıdır. Bu da ancak (I A) 1 ters matrisinin bütün elemanları pozitif ise olabilir. Örnek 2.2: Bir ekonomide [ ] [ ] [ ] [ ] olur. Şimdi [ ] yani sadece bir birim x-malı nihai üretimi yapılmak istensin. (2.2) den [ ] ( ) [ olmalıdır. Yani aradığımız brüt üretim miktarları 0.5Q 1 0.3Q 2 = 1 0.4Q 1 + 0.2Q 2 = 0 ] [ ] [ ] denkleminin çözümüdür. İlk denklemi dört ile ikinciyi beş ile çarparak 2Q 1 1.2Q 2 = 4 2Q 1 + Q 2 = 0 olur. Bu iki denklemi toplarsak 0.2Q 2 = 4 Q 2 = 20 olacaktır. İşlemi sürdürürsek Q 1 = 10. Dolayısı ile [ ] olacak şekilde pozitif [ ] brüt üretim miktarları yoktur ve bu ekonomi üretken değildir: bir maldan bir birim nihai üretim bile yapamaz. Aslında ( ) [ ] [ ] olduğundan yani (I A) matrisinin tersinin tüm elemanları eksi olduğundan, bu ekonomi hiçbir pozitif nihai üretimi gerçekleştiremez.
Örnek 2.3: Örnek 2.1 deki teknoloji matrisi ile [ ] [ ] [ ] [ olduğunu biliyoruz. Burada ] ( ) [ ] olur. Buna göre bu ekonomi her nihai üretimi yapabilir. Çünkü Q = (I A) 1 Y denklemi her Y pozitif Y vektörü için pozitif Q vektörü verir. Örneğin bu ekonomide [ ] nihai üretimi ( ) [ ] [ ] [ ] olmak üzere mümkündür. Dikkat edilirse [ ] nihai üretimi için gerekli brüt üretim (I A) 1 matrisinin birinci sütunudur ve bir birim net x- üretimi için gerekli doğrudan ve dolaylı toplam brüt üretim miktarlarını gösterir. Yani ekonomi Q = [ ] üretimi yaparsa bunun [ ] kadarı nihai üretim, Q Y = [ ] kadarı ise ara girdi kullanımı olacaktır. Benzer şekilde [ ] olsaydı [ ] olmak üzere ters matrisin ikinci sütunudur ve bir birim net y-üretimi için gerekli doğrudan ve dolaylı toplam brüt üretim miktarlarını gösterir. A matrisinin sütunları karşı gelen malın 1 birim brüt üretimi için gerekli doğrudan girdi miktarlarını verirken, (I A) 1 matrisinin sütunları karşı gelen malın 1 birim nihai üretimi için gerekli doğrudan ve dolaylı brüt üretim miktarlarını verir. Burada dolaylılık her aşamada gerekli doğrudan girdiyi üretmek için gerekli girdileri içermek anlamındadır. Peki bir ekonominin üretken olması teknoloji için nasıl bir kısıt getirir. Tek sektörlü durumda üretkenlik için 1 a 11 > 0 olması gerektiğini gördük. Burada da benzer koşullar geçerlidir. Şimdi, [ ] olduğuna göre det(i A) = (1 a 11 )(1 a 22 ) (a 12 a 21 ) ve ( ) [ ] olur. Öyleyse ters matrisin elemanlarının negatif olmaması yani ekonominin üretken olması için det(i A) = (1 a 11 )(1 a 22 ) (a 12 a 21 ) > 0 (1 a 11 ) > 0 ve (1 a 22 ) > 0 ya da a 11 < 1 ve a 22 < 1
olmalıdır (a 12 ve a 21 tanım gereği pozitiftir). 3 İkinci koşul gayet açıktır: her sektör kendi doğrudan girdi kullanımından daha fazla üretim yapabilmelidir. Determinant koşulunu daha okunabilir hale getirmek için s 1 = a 11 + a 12 = A nın birinci satır toplamı s 2 = a 21 + a 22 = A nın ikinci satır toplamı tanımlaması yaparsak koşul det(i A) = (1 a 11 )(1 a 22 ) (s 1 a 11 )( s 2 a 22 ) > 0 halini alır ve sağlanması için yeterli bir koşul s 1 < 1 ve s 2 < 1 olmasıdır. Yani her iki satır toplamı birden küçük olan bir A matrisi üretken bir ekonomiyi tanımlar. Her iki satır toplamı bire eşit ise det(i A) = 0 olur ve ters matris yoktur, ekonomi üretken olamaz. Bu koşulun her iki satır toplamı da birden büyük iken sağlanamayacağı da açıktır. Ama bir satır toplamı birden büyük, diğeri küçük iken sağlanabilir. Örneğin, [ ] [ ] ( ) [ ] olur. Ancak satır toplamları arttıkça koşul bir noktadan sonra sağlanamaz, dolayısı ile satır toplamlarından biri birden küçük iken, birden büyük olan diğeri çok büyük olmamalıdır. 3. Değerler Şimdi yukarıda belirtildiği gibi l =(l 1, l 2 ) emek girdi vektörü [ ] için gerekli olan doğrudan emek girdilerini gösterir. Üretken ekonomide bir [ ] için gerekli doğrudan ve dolaylı üretim miktarları Q = (I A) 1 Y olduğuna göre λ =(λ 1, λ 2 ) = l(i A) 1 Y (3.1) bize her maldan birer birim nihai üretim yapıldığında her mal için kullanılacak doğrudan ve dolaylı emek miktarlarını yani emek değer teorisi açısından değerleri verir. Örnek 3.1: Örnek 2.3 teki sistemde l =(l 1, l 2 ) = (1, 1.2) olsun. Buna göre ( ) ( ) [ ] ( ) olacaktır. Bir birim nihai x-malı üretimi toplamda 9.5 birim, y-üretimi ise 12.5 birim emek girdisi gerektirir. Emek değer teorisine göre birinci malın ikincisi cinsinden değeri (göreli fiyatı) içerdikleri toplam emeklerin oranı olan: λ 1 /λ 2 = 9.5/12.5 = 0.76 olur. 3 Bu koşul Hawkins-Simon koşulu olarak bilinen genel koşulların 2x2 için halidir.
4. İki Sektörlü Ekonomi Sraffa Sistemi ya da Fiyat Denklemleri Şimdi girdi katsayıları [ ] ve l =(l 1, l 2 ) olan üretken bir ekonomide (1.3) fiyat denkleminin karşılığı p 1 = x-malının nominal fiyatı p 2 = y-malının nominal fiyatı w = nominal ücret r = kâr oranı olmak üzere p 1 = (1 + r)(p 1 a 11 + p 2 a 21 ) + wl 1 p 2 = (1 + r)(p 1 a 12 + p 2 a 22 ) + wl 2 (4.1) olur. Burada yine ücretlerin dönem sonunda ödendiğini varsaydık. Her iki sektörde kadim klasik varsayım gereği kâr oranları eşitlenmek gerektiğinden aynı kâr oranı kullanılmıştır. Birinci mal için (p 1 a 11 + p 2 a 21 ) kullanılan doğrudan birim girdilerin değeridir ve bu modelde de malın üretiminde kullanılan birim sermayeyi gösterir. Denklemleri p 1 (p 1 a 11 + p 2 a 21 ) = r(p 1 a 11 + p 2 a 21 ) + wl 1 p 2 (p 1 a 11 + p 2 a 21 ) = r(p 1 a 12 + p 2 a 22 ) + wl 2 katma değer biçiminde ifade edersek, sol taraflar birim katma değeri, sağ tarafla ise bunun ücret ve kâr arasında dağılımını gösterir. Dikkat edilirse sermayenin payı kâr oranı (r) ile kullanılan sermayenin çarpımıdır. Sraffa sisteminde klasik anlayışta olduğu gibi fiyatlandırma katma değeri veri olan kâr oranı ve nominal ücrete göre emek ve sermaye arasında dağıtmak üzere yapılmaktadır. Dolayısı ile kâr oranı değiştikçe fiyatlar ve göreli fiyatlar da değişecek ve değerlerden farklılaşacaktır. Şimdi (2.4) sistemini matris notasyonu ile yazarsak p = (p 1, p 2 ) satır nominal fiyat vektörü olmak üzere ( )( ) [ ] ( ) (4.2) elde ederiz. Buradan ( )( ) [ ] ( ) ( ( ) ) ( ) (4.3) olur. Şimdi, A. r = 0 ise (4.3) ( ) ( ) halini alır ve buradan da ekonomi üretken olduğuna göre ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) olmak üzere ücret cinsinden göreli fiyatlar içerilen toplam emek miktarlarına eşit olur ve
p 1 /p 2 = λ 1 /λ 2 olur. Yani kâr oranı sıfır ise malların birbirleri cinsinden göreli fiyatları emek değer teorisi uyarınca belirlenir. B. w = 0 ise (4.3) ( ( ) ) halini alır. Burada p sıfırdan farklı olmak gerektiğine göre bu homojen denklem sistemi a.v.a det(i (1 + r)a) = 0 ise sıfırdan farklı çözüm üretir. Yani öyle bir r m > 0 olmalıdır ki det(i (1 + r m )A) = 0 olsun. Bu da bu ekonominin sağlayabileceği en yüksek kâr oranı olacaktır. Örneğin Örnek 2.3 teki [ ] matrisi için r m = 0.1111 (yani %11.11) olur, çünkü: [ ] ( ) [ ] olur ki bu matrisin determinantı sıfırdır. Bu ekonomide ücret sıfır olduğunda kâr oranı en çok %11.1 olabilir. Üretken her A matrisi için r m > 0 vardır ve tektir. r = kâr oranı r m r o v o 1/ λ w/s = reel ücret Şekil 4.1. İki Sektörlü Ekonomide Gelir Bölüşümü Olanakları Şimdi Şekil 1.1 in benzerini burada da gösterebilmek için reel ücret eksenini tanımlamamız gerekiyor. Tek mallı modelde reel ücreti o mal cinsinden ifade ettik. Burada w/p 1, w/p 2 ya da p = ap 1 + bp 2 gibi bir fiyat endeksi ile w/p hesaplayabiliriz. Bunların hepsi r = r m olduğunda reel ücret = 0 olacaktır, ama maksimum reel ücret her durumda farklı olacağından Gelir Bölüşümü Olanakları Eğrisi farklılaşacaktır. Yani gelir dağılımı olanakları numeraire (birim) seçiminden bağımsız değildir. Keyfi bir birim ile gelir dağılımı olanakları eğrisi doğrusal olmayabilir. Kâr oranı arttıkça reel ücret her birim cinsinden düşer ama bu düşüş bir doğru üzerinde olmayabilir. Sraffa gösterdi ki A matrisi ile verilen teknoloji için özel olan bir ağırlıklandırma ile seçilen bir fiyat endeksi cinsinden gelir dağılımı olanakları doğrusal olacaktır. Burada a* ve b* A teknolojisine bağlı olarak elde edilen özebir (unique) ağırlıklar olmak üzere 4 s = a*p 1 + b*p 2 fiyat endeksi için gelir dağılım olanakları Şekil 4.1 de gösterilmiştir. Sraffa fiyat sisteminin genel çözümü (2.6) dan veri bir nominal ücret w için ( )( ( ) ) (2.7) 4 z = 1/(1 + r m ) olmak üzere Ax = zx koşulunu sağlayan x = (a*, b*) vektörü arzu edilen katsayıları verir.
olacaktır. Buradaki ters matris r ile değişeceğine göre çözüm de genel olarak öngörülemeyecek şekilde değişir. Genel olarak kâr oranı arttıkça hangi malın göreli fiyatının artacağını öngöremeyiz. Örnek 2.3 teki [ ] matrisi ve w = 1 için hesaplamalar aşağıda özetlenmiştir. Burada w = 1 olduğundan fiyatlar p/w olmak üzere emek cinsindendir ve doğrudan değerler ile karşılaştırılabilir. Kâr oranı(%) 0 2 4 6 8 10 p 1 9.5 11.57 14.80 20.57 33.75 94.36 p 2 12.5 15.26 19.57 27.26 44.83 125.64 w/p 1 0.105 0.086 0.068 0.049 0.030 0.011 w/p 2 0.080 0.066 0.051 0.037 0.022 0.008 w/s 0.045 0.037 0.029 0.021 0.013 0.005 s = p 1 + p 2 (bu teknoloji için z = 0.9, a* = b* = 1 olur) 5. Değerlendirme Sraffa sistemini sonuçlarını toparlarsak: 1. Sraffa klasik anlamda sektörler arası kâr oranlarını eşitleyecek şekilde bir fiyat sisteminin mümkün olduğunu göstermiştir. Kâr oranı sıfır iken göreli fiyatlar emek değer teorisi ile belirlenir. Kâr oranı arttıkça göreli fiyatlar emek değerlerinden farklılaşır ama genel olarak hangi malın göreli fiyatının nasıl değişeceğini bilemeyiz. 2. Bunun nedeni, kâr oranı arttıkça fiyatlar değişmekte, fiyatlar değiştikçe birim sermaye kullanımları değişmektedir. Tek sektörlü ekonomide biri sermaye kullanımı (a 11 ) fiyatlardan bağımsızdır, kâr oranı arttıkça fiyat monoton doğrusal artar. Ama mevcut durumda birim sermaye kullanımları K 1 = (p 1 a 11 + p 2 a 21 ) K 2 = (p 1 a 11 + p 2 a 21 ) olduğundan kâr oranı değiştikçe fiyatlar, buna bağlı olarak da birim sermaye kullanımları değişecektir. Bu değişmeler düzenli olmadığından sektörler arası sermaye yoğunluğu ve eşit kâr oranı ile orantılı kâr dağılımları değişeceğinden göreli fiyatların ne yönde değişeceği belirsizdir. 3. Sraffa sisteminin en önemli sonuçlarından birisi bu son gözlemden kaynaklanır. Sermaye yoğunluğu tanımlayabilmek için fiyatları, fiyatları belirleyebilmek için kâr (faiz) oranını bilmemiz gerekir. Dolayısı ile sermaye mallarının da A matrisi uyarınca mallarla üretildiği bir dünyada neoklasik iktisadın Y = F(K, L) biçimindeki üretim fonksiyonunda yer aldığı biçimiyle bir K = sermaye tanımlamak, ve bu K nın marjinal üretkenliği üzerinden kâr oranını belirlemek döngüsel muhakeme yürütmek demektir.