Üsel Dağılım Babam: - Şu ampulleri hagisii ömrüü daha kısa olduğu hiç belli olmuyor. Baze yei alıalar eskilerde daha öce yaıyor. Hele şuradaki bildim bileli var. Evde yedek ampul yokke, gerekirse ou söküp akıveriyordum. Büü odaları gezdi. Şu salodaki de epey yaşladı, e zama akılmışı haırlamıyorum. Kızım: - Dede, dör yıl öce, emizlik yaparke aem kırmışı, haırlasaa. - Yaşlamışım kızım. Eve babam yaşlaıyordu. Epeyce yıpramış. Đşaalarda çalışmış. Toruları ile oyamayı çok seviyor. Yie başladılar op oyamaya. -Oğlum! Top oyayacaksaız parka gidi. Dememe ırsa kalmada op ampule çarpı. Yie baa iş açılar. - Kızım! Çekmecedeki ampulü ver de değişirelim. Buu da elleri kopmuş. Yei ampuller çıkmış. Đçleride el yok. Olarda almalıyım. Biraz pahalıymış, üselik zamala ükeiyor, yıpraıyor, yai alayacağıız yaşlaıyorlarmış diyorlar. Ömürleri eyse o kadar yaşarlar. Đkide bir ampul değişirmeke iyidir. Ampulleri ömrüü belirleye e? Yapılarıda zamala yıpraıp ükeecek bir malzeme de yok gibi. Eh işe; babam ve çocuklar. Arada sırada eşim. Temizlik yapmasa olmaz mı? Baze de elekrikler, hele elekrik düğmeleri, yakıveriyor ampulü. Eşim: lambayı yaksaa, diyor. - Ampul yadı. - Değişirsee, işi gücü e? Bizim ki de iş mi. Đsaisik. - Bir lambayı bile değişiremedi. Rasgele yaşıyorsu, rasgele. Rasgeleliği e olduğuu biliyor mu acaba. Be 20 yıldır Đsaisik çalışıyorum, halâ alayamadım. Öğrecilerime, Rasgelelik edir? sorusua cevap olarak, Ne alıyorsaız o dur! diyeceksiiz diye öğü veriyorum. Eşim, rasgeleliği e olduğuu bilmediğimi bir alarsa yadık. Zamaıda biliyor gibi davramışım, bei bilgisiz saması diye. Dikkali olmam lâzım. Đlk karşılaşmamızı rasgele olduğuu, rasgele sözcüğüü öz ürkçe sii gelişigüzel olduğuu, hiçbir dilde rasgelelik içi bu kadar alamlı bir sözcük bulumadığıı, kedisii bile karşıma çıkışıı gelişi güzel olduğuu alamışım. Rasgelelik olgusuu olasılık uzayı ile modellediğii heme kavramışı. Maemaik bölümü öğrecisi olduğu içi ölçü uzaylarıı ve Borel ölçülebilir oksiyoları biliyordu. Bir yaşıdaki çocukları ağırlığıı rasgelelik içerdiğii, ağırlığı da zekâ gibi, boy uzuluğu gibi ölçülmesi gerekiğii ve olgulara ölçme ile yaklaşılabileceğii alamaya başladım. Maemaikçi olduğu içi işi bu araı ile ilgilemedi, maemaiği soyu düyasıda çıkmak isemedi. Gerçek düyada rasgelelik içere bir özellik ile ilgili ölçmeye, aklımızda bir Borel ölçülebilir oksiyo karşılık geldiğii ve bua rasgele değişke dediğii söyleyice gerçek düya ile
aklıdaki maemaiği soyu düyası arasıda iribaı heme kurdu. Devamıda kile, birim, örekleme, öreklem derke isaisik kavramıa geldik. Đsaisik. Beim işim bu demişim. Uumuş demek ki. Her halde boş durduğumu sadı. Đşime bakayım. Şu ampul meselesi? Direç, kodasaör gibi seramike yapılmış elekrik parçalarıı ömürlerideki rasgelelik de ampuldekie beziyor. Şuu, isaisik kavramları ile sağlam bir düşüelim. Bir ampulü dayama süresi (ömrü, bozulucaya kadar geçe zama) T rasgele değişkei ile göserilsi. Yıpramamak, geçmişi uumak, haızasız olmak P( T > x + a / T a) = P( T > x) olsa gerek. Yıpramasa da, bir ampule ömür boyu güveemezsiiz. Güveilirlik. Öemli bir kavram. R( ) = P( T > ), 0 oksiyoua güveilirlik oksiyou (reliabiliy ucio) deir. Bir sisemi belli bir aıdaki güveilirliği ( R( ) ) bu sisemi aıda görev yapabilir olmasıı olasılığıdır, başka bir iade ile aıa kadar bozulmamış olmasıı olasılığıdır, ya da bozulmaı aıda sora olması olasılığıdır. Haızasızlıka, P( T > + a ve T a) = P( T > ) P( T a) P( T > + a ) = P( T > ) P( T a) R( + a) = R( a) R( ) elde edilir. *** Bu oksiyo deklemi, R (0) = varsayımı alıda çözülürse, pozii değerleri içi, R( ) = e, 0 olarak elde edilir. Bua göre, 0, < 0 F( ) = - e, 0 e, > 0 ( ) = 0, d.y. olmak üzere, T rasgele değişkei üsel dağılıma sahipir. Bir iş başardım. - Ampul meselesii çözdüm. - Merak eme, yarı gee bozulur. Be muağa gidiyorum. Temizlik, çamaşır, bulaşık işlerie bei bulaşırmaz. Hepsii kedi yapmaya çalışır. Biz de boş durmayalım. Ampul meselesii başka bir açıda ele alalım. Biraz daha geel başlayalım. Dayama süresi ile ilgili herhagi bir T rasgele değişkei göz öüe alalım.
P( < T + / T > ) h()= lim, 0 0 oksiyoua bozulma oraı (ölüm oraı, risk, hazard) oksiyou dediğii haırlayalım. h() P( < T + / T > ) olmak üzere, h() değeri, aıa kadar bozulma olmadığı bilidiğide (, + ] zama aralığıda bozulma olma olasılığı olarak düşüülebilir. Bua göre, P( < T + / T > ) h() olup, h() değeri birim zamada bozulaları oraıdır. Bozulma oraı birim zamada bozulaları oraıdır diyebiliriz. T i olasılık yoğuluk oksiyou ve dağılım oksiyou F olmak üzere, dır. R( ) = P( T > ) = F( ) = ( ) d, 0 df( ) dr( ) ( ) = R '( ) d = d = P( < T + / T > ) h()= lim 0 P( < T + ve T > ) = lim 0 P( T > ) P( < T + ) = lim 0 R( ) F( + ) F( ) = lim R( ) 0 ( ) R '( ) = = R( ) R( ) R '( ) = h( ) R( ) dierasiyel deklemide, R( ) = R(0) e h( ) d 0 olup, R(0) = F(0) = olmak üzere, R( ) = e h( ) d 0 0 elde edilir. Böylece, F, R, h oksiyolarıda birii bilimesi durumuda diğerleri elde edilebilir. F ( ) = ( ) R'( ) d h( ) = 0 R( ) = F ( ) R( ) F R h F ( ) ( ) ( ) ( ) = F = R h ( ) d d R( ) = e 0
Dayama süreleri rasgele ola belli bir ür, öreği elekroik, parça içi bozulma oraıı, yai beli bir zamaa kadar dayaa parçalarda bir birim zama aralığıda bozulaları oraıı sabi kaldığı gözlemiş olsu. O zama, ve h( ) = c, 0 cd F( ) = 0 c e = e, 0 0, < 0 c ce, > 0 ( ) = 0, d.y. dır, yai bu parçaları dayama süresi üsel dağılıma sahipir. Başka bir iade ile bu parçaları dayama süresi üsel dağılım ile modellemekedir (alaılmakadır). Bu modelde c sabiii değerii bilimesi gerekiğie dikka edi. Babam, bizim ampuller içi alı ayda oralama bir aesii yadığıı söylemeke. Evde 0 ampul var. Bozulma oraıı alı aylık bir zama birimide sabi kaldığı ve /0 olduğu söyleebilir mi? Biraz düşüelim. Zama içide bozulma oraıı gözlemlemek isesek, asıl bir örekleme ve gözlemleme yapmalıyız. Öreği, ampuller içi bu asıl olacak. Üreile ampulleri kileside belli sayıda (00 olsu) ampullü rasgele seçer, göreve başlaır ve bozuldukça bozulma zamalarıı kaydederiz. 00 ücüsü de bozulduka sora, yai gözlemleme işi biike sora, elimizdeki veriyi aaliz ederiz. Babama söylesem, bıyık alıda güler. Be göremem, ama belki orular görür der. Ou gözlemii de bir işe yarayıp yaramadığıı bilemiyorum. Elimde, ayı dağılımlı ve birbiride bağımsız birimlik bir öreklem olsa be yapacağımı biliyorum, ama şimdi e olacak. Yarı, biraz kiap karışırmam gerekecek. Boş durmamak içi, elimizde birimlik bir öreklem olduğuu düşüelim. T, T2,..., T ler bağımsız ve her biri T gibi dağılmış olsu. Ayrıca, dayama süresi T i üsel dağılıma sahip olduğuu varsayalım (bir yerlerde biliyor olalım, öreği haızasızlıka). T i dağılımı ile ilgili, e, > 0 ( ) =, 0, d.y. 0, < 0 F( ) = - e, 0 R( ) = e, 0, h( ) =, 0 E( T ) =, Var( T ) 2 =
olup, paramere kümesi Θ = (0, ) R dır. Dayama süresii modelleye (alaa) dağılımları ailesi, x F= (.; ) : (x; )= e I( x > 0), Θ = (0, ) olmak üzere, problemimiz parameresii ahmii olsu. içi bir ˆ ahmi edicisi bulursak, bozulma oraı içi, h ( ) =, 0 ˆ şeklide bir ahmi edici (plug-i esimaor) elde ederiz. Bildiğimiz gibi, T = T i öreklem oralaması, içi düzgü e küçük varyaslı yasız ahmi edici (UMVUE) dir. Daha iyisi ca sağlığı. - Yemek hazııır. - Tamam geldik. - Ampul işi e oldu. - Yarı okulda çözeceğim. - Eve geirme. Biir de gel. Biraz da çocuklarla ilgile. - Evde boş durmuyoruz ya. Düşüüyoruz. - Dü akşam maemaik problemimi bile çözemedi, baba. Düşüebildiği belli. - Kızım be isaisikçiyim. - Ou içi mi haa soları parka izik sohbeleri yapıyorduk. Oyamaya bile vaki kalmıyordu. - Oğlum, o, kaydıraka daha biliçli kayabilme içidi. - Pekiii, kırda iye bilim elseesi yapıyormuşuz, şimdi aladığım kadarıyla. Yazık olmuş o zamalara. - Kızım, bikileri, böcekleri ve hayvaları da seyrediyorduk ya. - Şua, gözlem yapıyorduk desee baba. - Çocuklar, babaız hep öyleydi. Bede maemaikçi mi, isaisikçi mi, e olduğuu alayamadım. Düşüüp durur, ilozo gibi. Düşümeyi iş sayar, uykuyu da abi. Đşie geliyor. Bulmuş geçim yoluu. Dersae öğremei olsaydı, çoka kovarlardı. Problemleri düşümede, pa diye çözeceksi. Pa sesi de asıl çıkarılır, öğreciye buu öğreeceksi. Düşümeyi değil. - Se öyle mi yapıyorsu? Samıyorum. - Mecbur kalıyorum. - Đşi aslıa bakarsa, biz de ayısıı yapıyoruz. Taa yüksek lisasa çocuklar biraz ayıkıyor. Düşümeye başlıyor.
Fe akülesi. Düşümek serbes. Zae başka iş de yok. Neyi düşüüyorduk? Dayama süresii. Dayama süresi ile ilgili elimizde bir model (dağılım) olmazsa e yapacağız? Dayama süresii bir dağılımı var ama biz bilmiyoruz. Bırakı parameresii, biçimii bile bilmiyoruz. Hiçbir şey bilmiyoruz diyelim. Dayama süreleri ile ilgileile parçaları kileside N aesi rasgele seçilsi ve zama içide gözlem alıa alısı. N ( ), aıda görev yapa (sağlam) parça sayısı, s N ( ), aıda görev yapamaz durumda ola (bozula) parça sayısı ve uygu seçilmiş bir zama aralığı olsu. Güveilirlik oksiyou ve bozulma oraı oksiyouu değerleri içi dağılımda bağımsız ( her kile dağılımı içi kullaılabilir) birer ahmi edici, ( ) ( ) ˆ ˆ Ns N R( ) = P( T > ) = = N N ve N ( ) N ( ) N ( + ) N ( ) hˆ( ) = N = = Ns ( ) Ns ( ) Ns ( ) N dır. Sözle iade edilirse, dır. (, + ) zama aralığı içi birim zamada bozula parça sayısı hˆ( ) = aıda görev yapabilir durumda ola parça sayısı 00 ae parça içi bozulma zamaı ile ilgili gözlemler aşağıdaki ablodaki gibi olsu. (saa) Ns ( ) N ( ) N ( + ) N ( ) N ( + ) N ( ) hˆ( ) = N ( ) s 0 00 0 4 0.040 0 86 4 8 0.0098 20 78 22 6 0.0077 30 72 28 6 0.0083 40 66 34 6 0.0090 50 60 40 6 0.000 60 54 46 6 0.0 70 48 52 Sabrımız ükedi. 70 saa dayaabildik. Bu gözlemlerde, bozulma oraıı yaklaşık olarak 0.0 olduğuu ve sabi kaldığıı (70. saae sora da), yai h ( ) = 0.0, 0
olduğuu ahmi emekeyiz, diyebiliriz. h ( ) ile h ( ) de hagisi daha iyi ahmi edici? Bozulma oraıı zama içide sabi kaldığı soucuda dayama süresi T i üsel dağılıma sahip olduğu soucu çıkarılabilir. Ayrıca, bu üsel dağılımı parameresi içi ɶ =00 ahmi değerii öerebiliriz. T i olasılık yoğuluk oksiyou, 00 e, > 0 ( ) = 00 0, d.y. olduğuu ahmi emekeyiz. Paramereyi veya olasılık yoğuluk oksiyouu ahmi emek içi başka ahmi edicileri de kullaılabileceğii haırlaalım. Üsel dağılımı göz öüe alalım. Bir T rasgele değişkei üsel dağılıma sahip olduğuda, e, > 0 ( ) = 0, d.y. 0, < 0 F( ) = - e, 0 R( ) = e, 0 h( ) =, 0 olmak üzere bu oksiyoları graikleri, öreği = içi aşağıdaki gibidir. Dayama süresii üsel dağılıma sahip olduğu bilie elli ae direç içi bozulma zamaları yıl olarak aşağıdaki gibi gözlemiş olsu. 5.2 0.2.8 0.9.2 0.5.6 2.2.3.2 0.8.6.4 0.6.9 4.5 0.7. 0.3 3.4 2.4 2. 0.6 4.8 2.8 0.4 2.5 4.7 2.8 0. 4.8.9 4.5 2. 5.2 0. 3.9 0.8 4.9 3.0 0.7 9.7 8.6 6. 6.9 7.8.6 0.7 6.8 3.0 Bu veriler içi öreklem oralaması, sadar sapması ve oracası N i = N =2.77
N 2 ( i ) s = = 2.38 N (25) + (26) m = =2 2 olup, hisogram aşağıdaki gibidir. 4 2 0 8 6 4 2 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Şekil... Üsel dağılım içi bozulma oraı oksiyou, h( ) =, 0 olmak üzere, parameresii değeri öreklem oralamasıda 2.77 olarak ahmi edilirse bozulma oraı oksiyou içi bir (plug-i) ahmi, hˆ( ) = =0.36, 0 2.77 olur. Güveilirlik (risk) aalizide sisemleri veya parçaları dayama sürelerii gözlemlemek doğal oramlarda yapıldığı gibi yapay olarak oluşurula oramlarda da yapılmakadır. Dayama süresi büyük ola parçaları bozulma zamaıı gözlemlemek uzu yıllar alabilir. Böyle durumlarda doğal oramlara bezer ve hızladırılmış şarlar alıda
gözlemler alımakadır. Örekleme soucu seçile parçaları ümü bozulucaya kadar gözlem yapılıp herbirii dayama süresii gözlemesi veya belli bir zamaa kadar gözlemleme yapılıp bu aa kadar bozulaları dayama sürelerii gözlemesi yada ilk bozulalarda belli bir sayıda olaları dayama sürelerii gözlemesi gibi değişik gözlemleme sraejileri kullaılabilir. Birici durumda, örekleme seçile birimi herbirii bozulma zamaı gözlemeke (am gözlem), ikici durumda belli bir * aıa kadar olaları bozulma zamaları gözlemeke ve gözlemleme işlemi durdurulmakadır. Bua birici ip durdurma (ype I cesorig) demekedir. Üçücü durumda birimide ilk r ( r ) aesi bozulduka sora gölemleme işlemi durdurulmakadır. Bua ikici ip durdurma (ype II cesorig) demekedir. Bu üç durum içi olabilirlik oksiyoları aşağıdaki gibidir. Tam gözlem: Dayama süresi X rasgele değişkei, olasılık yoğuluk oksiyou ( x; ) ve birimlik örek içi X, X 2,..., X öreklemii gözlee değerleri x, x2,..., x olmak üzere, olabilirlik oksiyou, ( x, x,..., x ; ) = ( x ; ) ( x ; )... ( x ; ) = ( x ; ). 2 2 i Birici ip durdurulmuş gözlem: Dayama süresi X rasgele değişkei, olasılık * yoğuluk oksiyou ( x; ), birimlik örek içi belli bir aıa kadar bozula parça sayısı K (bir rasgele değişke) ve bozulma zamaları X (), X (2),..., X ( K ) olmak üzere olabilirlik oksiyou,! * k * ( x, x,..., x ; ) = ( x ; ) ( x ; )... ( x ; )[ F( )], 0 x... x. () (2) ( k ) () (2) ( k ) () ( k ) ( k)! Đkici ip durdurulmuş gözlem: Dayama süresi X rasgele değişkei, olasılık yoğuluk oksiyou ( x; ), birimlik örek içi ilk r ( r, r sabi ) aesii bozulma zamaları X (), X (2),..., X ( r ) olmak üzere olabilirlik oksiyou,! ( x, x,..., x ; ) = ( x ; ) ( x ; )... ( x ; )[ F( x )], 0 x... x ( r)! r () (2) ( r ) () (2) ( r ) ( r ) () ( r ). Öreği dayama süresi paramereli üsel dağılıma sahip olduğuda olabilirlik oksiyou ile paramerei e çok olabilirlik ahmi edicisi, am gözlem içi, xi ( x, x2,..., x; ) = ( ) e Θ ˆ = X i birici ip durdurulmuş gözlem içi,
! k ( x, x,..., x ; ) = ( ) e () (2) ( k ) ( k)! Θ ɶ = K X + ( K) ( i) K * k * x( i ) + ( k ) ikici ip durdurulmuş gözlem içi,! r ( x, x,..., x ; ) = ( ) e () (2) ( r ) ( r)! r x( i ) + ( r ) x( r ) dır. Θ = r X + ( r) x ( i) ( r ) r