TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde mtemtiğin en temel kvrmlrı incelenecektir. Temel mtemtik bilgilerinin kvrnmsı ilerleyen bölümlerde önemli olcğındn eksiksiz bilinmesi şrttır. Bu konud tm syılrd dört işlem üzerinde durulcktır ve bsmk çözümlemeleri ypılcktır. Doğl syılr (N) TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM Tm syılrd dört işlem ypılırken, işlem önceliklerine dikkt edilmelidir. İşlem önceliği. prntez. kuvvet (üslü syı). çrpm -bölme. toplm çıkrm işleminin sonucu kçtır? Uyrı: İşlem önceliğine uyulmyn durumlrd ki öğrenci htsını görelim. = (HATALI ) ÇÖZÜM: = {0,,,,.} Sym Syılr (N ) = {,,,.} Tmsyılr (Z) = {. -,-,- 0,,,,.} Rsyonel syılr (Q) ={ -,-,0,,.} Reel Syılr ( R) ={-,-,0,,,.} = - İşlemde çrpm, çıkrmdn önceliklidir 0 A = negtif ise negtif, Pozitif ise pozitiftir. A = A A = 6 kçtır? işleminin sonucu 6 + 6 + 6 6 = b 0, bc 0, c 0 olduğun göre, b, c işretleri nedir? ÇÖZÜM: Tbnı ne olurs olsun kuvveti çift oln syılr pozitiftir. b 0 ifdesi negtif. b pozitif olcğındn negtif olmlıdır ki sonuç negtif olsun. Bu nedenle negtif ise negtiftir. c 0 ifdesi pozitiftir. nın negtif olduğunu bulmuştuk, demek ki c de negtif olmlı ki sonuç pozitif olsun. Yni c negtiftir. 7 6 7 9 nedir? işleminin sonucu bc 0 ifdesi pozitiftir. pozitif olcktır. c pozitif olduğu için b ÇÖZÜM: İşlemimiz köşeli büyük prntez tek syı tek işret klıncy dek çözülmelidir, rdındn dış işlemler ypılır. 6 7 9 [-6 : (-)] [ + ] = 6 6 7 7 = - Kuvvet (Üslü Syılr) = = 8 = = 8 = = = = Negtif tbnlı syılrd; kuvvet tek ise sonuç negtif Kuvvet çift ise sonuç pozitif Bsmk Çözümleme =.00+.0++ ABC= A.00+B.0+C. iki bsmklı bir syının rkmlrının yerleri değiştirilirse bu syı küçülüyor. Bu syının rkmlrı rsındki frk nedir? ÇÖZÜM: b b 0 b 0b Syımız b olsun 0 b 0b 9 9b 9( b) b
Üç bsmklı rkmlrı frklı en büyük çift syı ile, iki bsmklı en küçük syının frkı kçtır? ÇÖZÜM: 986 99 08. kçtır? 6 işleminin sonucu Rkmlrı frklı iki bsmklı birbirinden frklı üç pozitif tmsyının toplmı 08 ise bu syılrdn en büyüğü en çok kçtır? 0. işleminin sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Üç syıdn en büyüğünü istediği için diğer iki syının en küçük olmsı lzım, o nedenle rkmlrı frklı iki bsmklı birbirinden frklı pozitif tmsyılrı bullım. 0++X =08 X=86 Not: syısının rkmlrı ynı olduğundn değerlendirmeye lınmmıştır. 6. işleminin sonucu kçtır? 7. 6 işleminin sonucu kçtır?, b N b 6 olduğun göre b toplmının en büyük ve en küçük değeri nedir? b 8. b 0, 0, c0 olduğun göre c, b, c nin sırsıyl işretleri nedir? ÇÖZÜM: b en büyük olmsı için =6 b= değerini verirsek b =7 olur En küçük değer için =6 b=6 değerlerini lbilir. b olur. 9.,b Z b =6 olduğun göre b toplmının en küçük değeri nedir? UYGULUMA SORULARI 0. bb bb b b işleminin sonucu kçtır?. 6. 8 kçtır? işleminin sonucu kçtır? işleminin sonucu. 79 işleminin sonucu kçtır?. Üç bsmklı beş doğl syının her birinin yüzler bsmğı rtırılır, onlr bsmğı 7 zltılır, birler bsmğı rtırılırs toplmlrı nsıl değişir? CEVAPLAR ) ) - ) 0 ) 8 ) 6) - 7) -9 8 ),, 9) -7 0) 0. 70 rtr
RASYONEL SAYILAR TEMEL BİLGİLER? şeklinde gösterilen syı kümesine denir. b Sdeleştirme : syısını sdeleştirebiliriz. Sdeleştirme işlemi ypılırken py ve pyd d ki syıyı ynı nd bölen syı ile bölerek kesri en sde hle getiririz. 8 = ÇÖZÜM: (6) () () +? 6 Genişletme: 8 8 ü genişletelim: Sdeleştirmenin tm dersidir. Uyrı: Py ve Pyd ynı syıyl sdeleştirilir vey genişletilir, yrı syılrl değil.. ÇÖZÜM: Tm syılrın pydlrı dir. () Bileşik kesri tm kesre dönüştürme bileşik kesrini tm syılı bsit kesre dönüştürelim: Toplnır. ÇÖZÜM: + Çrpılır ( pyd) - 8 (tm) ( py) Alıştırm... =..... Alıştırm 7 8 =.. =.. =. Tm kesri Bileşik kesre Dönüştürme = = Çrpm:Çrpm işleminde Pylr kendi rlrınd pydlr kendi rlrınd çrpılır, sdeleştirme ypılır. 9 6 9 6 Alıştırm =.. =.. 6 = Uyrı: Syılrı çrpmdn önce sdeleştirme ypılmsı sonuc dh rht ulşmmızı, büyük syılrl uğrşmmmızı sğlr. Rsyonel Syılrd Dört İşlem Toplm-Çıkrm (HATA) 7 Rsyonel syılrd toplm ve çıkrm ypılırken kesirlerin pydlrı eşitlendikten sonr ork pydd pylr toplnır y d çıkrılır. 8 () () 9 8 9 7 6 İşleminin sonucu kçtır? 7 9 6 = 7 9 9 0 Alıştırm 8 6 8
Bölme:Kesirli syılrd bölme işlemi ypılırken. kesir ynen yzılır, kesir ters çevrilir çrpılır. 6 ve y, 6 6 Alıştırm 8...... 0 ONDALIKLI SAYILAR biçimindeki rsyonel syının pyını pydsın b böldüğümüzde bu syının ondlıklı çılımını bulmuş oluruz. 0,, Bir kesirli syıyı ondlıklı hle getirmek için pydsını 0 nun kuvvetlerine genişleterek de sğlybiliriz. İşleminin sonucu kçtır? 7 0, 0. 7 0 8 000 Uyrı: Burd önemli oln merkez kesir çizgisini bulmktır, ksi tktirde ynlış işlem ypılmış olur. Merkez kesir çizgisi = seviyesindeki çizgilerdir. syısını ondlıklı hle getirelim. 00 ÇÖZÜM: 6 = = 9 6 6 8 6 İşleminin sonucu kçtır? = 7 7 ÇÖZÜM: Syının py kısmını ynen yzıyoruz., Syımızın sğ trfınd snl virgülümüz vrmış gibi düşünelim, işte bu virgül pydmızdki sıfır dedi kdr sol kycktır 00, 0000, 000,0 0,0 Alıştırm =... = =.. 00 00 000 ÇÖZÜM: İşleminin sonucu kçtır? 8 8 = Ondlıklı Syıyı Kesirli Hle Getirme: 0, syısını kesirli syıy dönüştürelim. Kesrimizin py bölümüne virgülü görmeyecek şekilde syı ynen yzılır. Pydsın d virgülün sğınd ki syı dedi kdr sıfır konur ve önüne yzılır. Alıştırm 0,0= 0 00 00 00 00,= 0,0=.. 0.000=
ONDALIKLI SAYILARDA DÖRT İŞLEM Toplm Çıkrm:Toplm ve çıkrm yprken virgülün sğındki bsmk dedi eşit olmlıdır. Eper değilse şu şekilde düzenlenebilir. Kurl: Bildiğiniz gibi tm syılrd syılr d rkmın önüne istediğiniz kdr sıfır eklerseniz bile syının değeri değişmez. 0 0000 Ondlıklı syılrd ise virgüllü syının sğın ynı işlemi ypbiliriz.,,0,0000 + 0,+0,0 işleminin sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Toplm ypbilmemiz için virgülün sğınd ki bsmk syısı eşit olmlıdır. En çok bsmklı syıy göre düzenleme ypılck; (0,) =,00 0,=0,0 + 0,0=0,0, Çrpm-Bölme: Ondlıklı syılrd çrpm bölme ypmk için syıyı kesirli hle getirmek gerekir. 0,0 0,?,7 ÇÖZÜM: Öncelikle py kısmını tek ondlıklı syıy dönüştürelim. 0,0 + 0,= 0,0 + 0,0 = 0, olur. 0,,7 00 7 0 00 0 7 0 0, 0,, 0,00? 0,0 0,6 0,00 ÇÖZÜM: 00 00 0 000 => 6 00 0 000 00 0 0 6 000 000 7 ÇÖZÜM: Eğer py ve pyddki virgül sonrsı rkm miktrı eşitse virgülü yokmuş gibi görebiliriz, böylece kıs yoldn çözüme kvuşuruz. 0, Mesel => syısının py ve pydsındki 0,0 syılrın virgülden sonrki syı dedi eşittir( tne) O hlde virgülü yokmuş gibi görürsek syı 0 olur. 00 Am virgülden sonrki syı dedi eşit değilse denkleştirme ypılır. Mesel, syısının py bölümünde virgülden sonr, rkm yok, pyd bölümünde ise bir rkm vr, o nedenle py bölümündeki syıyı pyd bölümündeki syıy benzeteceğiz.,,0 0 olur., 0,, 0,00? 0,0 0,6 0,00 0 000 7 00 06 000 6 Bu tür sorulrd frklı çözüm tekniğini de kullnbilirsiniz., 0,?,, ÇÖZÜM: 0 00 ÇÖZÜM: 0000 000 0 00 0000 000 0, 0,,0 0, 0 0 0,,,,0 Rsyonel Syılrd Sırlm Birbirinden frklı rsyonel syılrın rsındki sırlmlrd (büyüklük-küçüklük.) py ve pyd bölümlerinde ortk ilişkiler rnıp onun üzerinden krşılştırmlr ypılır, ortklık yoks syılr genişletilip ortklık yrtılbilinir. 0 0 0, 0, 0 0,
) Pydlrı ynı oln syılrdn, pyı büyük oln en büyüktür. UYGULAMA SORULARI 9 8 7 vey 7 8 9 9 ) işleminin sonucu kçtır? 6 9 b) Pylrı ynı oln syılrdn pydsı küçük oln syı en büyüktür. vey 7 8 9 9 8 7 ) 7 işleminin sonucu kçtır? 6 0 =, b=, c= 0 00 000 syılrını büyükten küçüğe doğru sırlyınız? ÇÖZÜM: Birbirinden frklı kesirli syıyı sırlybilmek için üçünde de ortk bir özellik bulunmsı gerekir. Bu ü ç syının ne pylrı ne de pydlrı eşittir. Sırlm için ikisinden birinin eşitlenmesi gerekir. Biz pydlrı eşitleyelim. ) işleminin sonucu kçtır? 0 = b= c= 0 00 000 (00) (0) () 00 = 000 0 b= 000 0 c= 000 Genişletilmiş hlde görülüğü üzere pydlr eşit oln syılrdn pyı en büyük oln b ondn sonr c ve en küçüğü ise kesirli syılrıdır. Bun göre sırlm b>c> şeklinde olcktır. 7 7 cinsinden değeri nedir? ise 9 0 ifdesinin 7 ) ) işleminin sonucu kçtır? işleminin sonucu kçtır? 6 ÇÖZÜM: Skın pydlrı eşitlemeyin içinden çıkılmz büyük syılrl uğrşırız. Bu klıptki sorulrın çözüm mntığı her iki trfı trf trf toplmk y d çıkrmktır. Hngisi, işimize yrrs 6) 6 : işleminin sonucu kçtır? 8. + 7 7 9 0 =y diyelim -=+y 7 6 7 7 =+y (y tek bşın bırkılır) 9 0 -=y (y= ) 7 +y 7) kçtır? : işleminin sonucu 6
8) 6 6 kçtır? işleminin sonucu ) = - 9, b=-, c= syılrı verilmiştir. Bun göre,b,c, rsındki büyüklük sırlmsı nsıldır? 9) : işleminin sonucu kçtır? ) = 8 7 y= 9 8 z= 0 9 syılrı verilmiştir. Bun göre,y,z rsındki büyüklük sırlmsı nsıldır? 0) - kçtır? işleminin sonucu 7 6) ise 9 6 cinsinden değeri nedir? ifdesinin 9 6 ), 0, 0, işleminin sonucu kçtır? 0, 7) y y ise y=? ) kçtır? 0,0 0, 0, 0, 0,0 0,0 0,00 işleminin sonucu CEVAPLAR 9 ) ). 8 ) 6 6) 7 ) ) 9 6 7) 8) 9) 6 7 0) ) 9, ) ) 0 ) >b>c ) c>b> 6) - işleminin sonucu 0,006 ) 0,06 0,66 kçtır? 7) -7 7
DENKLEM ÇÖZME Denklem Kvrmlrı Temel mtemtiğin en önemli bölümü kuşkusuz ki denklemler konusudur. Zten mtemtiğin temel çılımı bilinmeyen fonksiyonlrı belirli kurllr içerisinde düzenleyerek sınıflndırm, burdn hreketle bilinmeyeni bulm disiplinidir. Yni bilinmeyeni denklem hline getirip sonuc ulşmk. Denklem konusu bilinmeden hiç bir mtemtiksel sorunun üstesinden gelemeyiz, o yüzden denklem çözümlemelerinin bilmemek mtemtikte hiçbir şey ypmmk demektir. Mtemtiğin lfbesi denklem çözümlemesidir, bu konu mtemtiğin en önemli lt ypısıdır, bun göre çlışılmlı ve konuy önem verilmelidir. Bilenen ve Bilinmeyen Kvrmlrı En çok krmşnın yşndığı yer bu kvrmlrdır. 6 = -6 krşı trf ters geçer, görüldüğü gibi çıkrm işleminin tersi toplm olcktır. =+6 =8 Şimdi de syısını öbür trf tcğız. ile rsınd hngi işret vrdır? Çrpm işlemi. O zmn çrpı krşıy bölü diye geçecektir. = 8 8 = =6 Yni bilinmeyen syımız 6 olcktır. Bilinen Kvrmlr:, -6,, 00...(reel syılr) : lır? ( + ) = 0 ise hngi değeri y Bilinmeyen Kvrmlr:,y,z,t,.,,-bc, gibi kvrmlrdır. Bilinmeyen syılrın önünde bilinen syının bulunmsı onun bilinmeyenlik özelliğini kybettirmez. Şimdi şğıd bir denklem örneğini ele llım. + = 8 Görüldüğü gibi herhngi bir syısının ile toplmının sonucunun 8 ettiği ifde edilmiş. Kurl : En çok ypıln htlrdn biriyle bşlylım. += = (HATA) kvrmı bilinmeyen, syısı bilinen bir kvrmdır. Denklemlerde bilinenle bilinmeyen sl toplnıp çıkrtılmz. Am çrpm ve bölme işlemi ypılbilinir. Denklem Çözme Denklem çözümlemezinde ki mç bilinmeyeni tek bşın bırkmktır. Bilinmeyenin ynınd, ltınd ve y üstündeki kvrmlr eşitliğinin diğer trfın tılır. Eşitliğin diğer trfın geçen kvrm nitelik değiştirir yni ters gider. 6 = ise hngi değeri lır? ÇÖZÜM: Amcımız bilinmeyeni () tek bşın bırkmktır. ynındki ve 6 syılrını eşitliğin sğ trfın tcğız. Krşı trf geçen nitelik değiştirir, ters gider. Tbii öncelik sırlmsı önemlidir. İlk öncelik toplm ve çıkrm işlemindedir. ÇÖZÜM:: İşleme bşlybilmemiz için prntezi dğıtmk zorundyız. ( + ) = 0 + 8 = 0 = 0 8 = = = y + 9 = y ifdesinde y hngi değeri lır? ÇÖZÜM:: Eşitliğin her iki trfınd d bilinmeyen vr ise temel kurl bilinenler bir trf bilinmeyenler bir trf lınrk işlem ypılcktır. Kolylık sğlmsı çısındn küçük oln bilinmeyen büyük olnın trfın geçmelidir. y + 9 = y + 9 + = y y = y = y -t -( t ) = t ( t + ) Denkleminde t hngi değeri lır? ÇÖZÜM:: Krmşık gibi görünse de bsit bir denklem modeli. Öncelikle engellerden kurtullım. Prntez işlemlerini dğıtlım. -t -( t ) = t ( t + ) t - t + = t - t - 6 Eşitliğin her iki trfınd d ikişer tne bilinmeyen vrs önce kendi rlrınd toplnırlr. -t - t + = t - t -6 -t + = - t 6 8
Şimdi bilinmeyenin küçük olnını büyük olnının ynın bilineninde diğerini ters trf llım. -t + = - t 6 + + 6 = -t + t 8 = t 8 =t 6 = t Rsyonel Syılrd Denklemler c k y... z şeklinde ifde edilen b d l denklemlere rsyonel ( kesirli ) syılı denklem denir. Birçok çözüm tekniği uygulnbilir m en temel ve genel çözümü pydlrı eşitleme yöntemidir. Bütün kesirlerin pydsı eşitlendikten sonr pydlrı rtık görmezden gelebiliriz. ise kçtır? ÇÖZÜM: Bütün syılrı (tmsyılrd dhil) pydlrını eşitleyelim. = () () (6) 6 6 0 6 Pydlr eşit olduğu için rtık onlrı yok edebiliriz. + = 0 = 0 0 = =6 y ( y ) ise y kçtır? ÇÖZÜM: y Pydlrı eşitleyelim. ( y ) 6y 9( y ) 6 6 6 (6) () () Pydlrı yok edebiliriz. 6y - = 9(y-) 6y = 9y - 8 6y - 9 y= -8 + -y = - y = İki Bilinmeyenli Denklemler İçerisinde iki tne frklı tür bilinmeyen bulunmyn denklemlere denir. Bu tür denklemleri çözerken yok etme metodunu kullncğız. + y = + y = Denklemleri verildiğine göre (,y) ikilisinin çözüm kümesi nsıldır? ÇÖZÜM: Yok etme metodund ess mç bilinmeyenlerden birini ( vey y) yok ederek diğerini bulmktır. önemli kurlı vrdır. Yok edilecek bilinmeyenin ( olsun) kt syılrı eşit ve işretleri ters olmlıdır. + y = + y = Her iki denklemde de in ktsyılrı frklı. O yüzden eşitlemek zorundyız, bunun için genişletme işlemini kullncğız. + y = + y = Genişletme işleminde bütün denklem genişler. 6+y= 6+y=0 Ktsyılr eşitlendi. Şimdi de in işretlerini ters hle getirelim. Bunun için denklemi - ile çrpbiliriz. Yeni denklemlerimiz şöyledir. -6-y=- 6+y=0 Denklem istediğimiz hle geldi, in ktsyılrı eşit ve işretleri ters hle geldi. Şimdi işlemi trf trf toplylım. -6-y= - + 6+y= 0 0+y= - y = - Bilinmeyenlerden birini bulduk. y = - Şimdi nsıl bulunur, on geçelim. Yukrıd ki herhngi bir denklemden birini llım. + y = Artık bu denklemde y nin değeri bilindiğine göre sdece i bulbiliriz. + y = + (-) = - = = + = = 7 Bun göre, y ikilisinin oluşturduğu çözüm kümesi Ç.K. = ; y 7; Not: Ayrı yrı iki işlem ypmktns tek işlemde birinci denklemi - ile de çrpbiliriz. 9
+ b + 7 = 0 b - + = 0 Denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? 8 olduğun göre =? ÇÖZÜM: Öncelikle bu krışık denklem sistemini düzenli hle getirelim, birçok mtemtik sorusu için bu teknik önemlidir, sorulrın direkt çözümüne geçmeden önce düzenlemeye gidilirse ybncıymış gibi gelen soru tnıdık hl lır. + b + 7 = 0 + b = -7 b - + = 0 - + b = - Şimdi yok etme metodumuzu kullnbiliriz. Kolylık sğlmsı çısınd ters işretli bilinmeyen yok edilmelidir. Yni. + b = -7 - + b = - + 0b = - + - + b = - b = 66 b = ÇÖZÜM: Bu soru tipleri çözüm yöntemi bilinmediğinde sıkıntı yrtck soru tipleridir. Burd tümdengelim metodunu kullncğız. 8 ile hngi syıyı toplrsk eder. Cevp = 8 ilk denklemde b yerine değerini koyrsk yı buluruz. yi hngi syıy bölersek eder. Cevp = + b = -7 => + ()=7=> +=7=>=7- = - Ç.K.= ; = 8 ile hngi syıyı toplrsk eder. Cevp = Üç Bilinmeyenli Denklemler Üç bilinmeyenli denklemlerde çözüme ulşmk için yrı denkleme ihtiyç duyulur. Genelde bu soru tiplerinde çözüm kümesi istenmez, dh çok yeni bir denklemin sonucu istenir. + b = b + c = 7 + c = 8 8 i hngi syıy bölersek ypr Cevp = 8 ifdeleri verildiğine göre kçtır? +b+c işleminin sonucu ile hngi syıyı toplrsk eder. Cevp = ÇÖZÜM: Tek tek bilinmeyenleri bulbiliriz m bu uzun zmnımızı lır. Zten sınvlrd d öğrencinin zmnını çlmk için soruln soru tipidir. Öncelikle denklemi trf trf toplylım. + b = b + c = 7 + + c = 8 +b + c = 0 8 8 i hngi syıy bölersek eder. Cevp = X = Bizden istenen +b+c işleminin sonucuydu, o zmn her iki trfı d ye bölersek, b c +b+c = 0 0 0
UYGULAMA SORULARI k. 6 ise k syısı kçtır? 9. k - p = p -m = 0 m + n = 8 ise k-p+m+n ifdesinin değeri kçtır?. (m+) = m + (m-) işleminde m hngi syıdır? 0 0. 8 0 ise kçtır?. denklemindeki 6 syısının değeri kçtır. b b. ise b kçtır? y. lır? işleminde y hngi değeri. z z z z z=? ) y 8 y z. z Olduğun göre kçtır? ( y) z işleminin sonucu 6 lır? işleminde hngi değeri 7. k + m = k m = Denklemi verildiğine göre k m değeri kçtır?. b b 6 Verildiğine göre ornı kçtır? b 8. 6 b b Denklem sisteminde (, b) ikilisinin çözüm kümesi nedir? CEVAPLAR ) 6 ) ) ) 6 ) 6) 8 7) 8) ; 9) 0 0) ) 0 ) 8 )
BÖLME, BÖLÜNEBİLME ve OBEB-OKEK BÖLME A, B, C, K birer doğl syı ve B 0 olmk üzere, n 8 => 8 den küçük oln en büyük tm kre syı 6 dır. n 6 ise n = olur. A 8 n n => A = 8 = 7+6=88 bölme işleminde, A y bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K y kln denir. A = B. C + K dır. Kln, bölenden küçüktür. (K < B) Kln, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumd K ile A değişmez. K = 0 ise, A syısı B ile tm bölünebiliyor denir. syısı syısın bölündüğünde sonuç kç olur? ÇÖZÜM:. - 0 0 0 0. -. 0.. -. 0 A 8 - n n Yukrıdki bölme işlemine göre A syısının lbileceği en büyük değer kçtır? ÇÖZÜM: A 8 n n A syısının en büyük değeri lbilmesi için syısın en büyük değeri vermeliyiz. Anck unutulmmsı gereken özellik, klnın bölenden küçük olm koşuludur. n Bölünebilme Kurllrı İle Bölünebilme Birler bsmğındki rkmı çift oln syılr ile tm bölünür. Tek syılrın ile bölümünden kln dir. İle Bölünebilme Rkmlrının syısl değerleri toplmı ün ktı oln syılr ile tm bölünür. Bir syının ile bölümünden kln, rkmlrının toplmının ile bölümünden kln eşittir. A üç bsmklı syısı e tm bölünebildiğine göre A syısı hngi değerleri lır? ÇÖZÜM: + + A => + A +A=6 vey +A=9 vey +A= olmlıdır. A= A= A=7 Rkmlrı birbirinden ve sıfırdn frklı, üç bsmklı ve üçe bölümünden kln oln en küçük doğl syı kçtır? ÇÖZÜM: Bu tür sorulrd kln yokmuş gibi işlem düzenlenir, rdındn kln eklenir. Önce yukrıdki koşullr uygun e tm bölünebilen syıyı bullım. Rkmlrı birbirinden ve sıfırdn frklı, üç bsmklı en küçük doğl syı tür. Bu syı yrıc e tm bölünebilmektedir. Klnın olmsı için syıy eklersek sonuc ulşbiliriz. + = bulunur.
İle Bölünebilme Bir syının onlr bsmğındki rkm ile birler bsmğındki rkmın (son iki bsmk) belirttiği syı, ün ktı oln syılr ile tm bölünür.... bc syısının ile bölümünden kln bc nin (son iki bsmk) ile bölümünden kln eşittir. İle Bölünebilme Birler bsmğındki rkm 0 vey oln syılr ile tm bölünür. Bir syının ile bölümünden kln, o syının birler bsmğındki rkmın ile bölümünden kln eşittir. X üç bsmklı syısının ile bölümünden kln ise X hngi değerleri lır? ÇÖZÜM: Bir syının ile bölümünden kln, o syının birler bsmğındki rkmın ile bölümünden kln eşittir. X syısının birler bsmğındki syının ile bölümünden kln ise X syısı lcğı değerler, ve 8 olcktır. 8 İle Bölünebilme Yüzler bsmğındki, onlr bsmğındki ve birler bsmğındki rkmlrın (son üç rkmın) belirttiği syı 8 in ktı oln syılr 8 ile tm bölünür. 000,, 60 syılrı 8 ile tm bölünür. 9 İle Bölünebilme Rkmlrının toplmı 9 un ktı oln syılr 9 ile tm bölünür. Bir syının 9 ile bölümünden kln, o syının rkmlrının toplmının 9 ile bölümünden kln eşittir. 6 syısının 9 ile bölümünden kln kçtır? ÇÖZÜM: + + + + + 6 0 İle Bölünebilme + bulunur. Birler bsmğındki rkmı 0 (sıfır) oln syılr 0 ile tm bölünebilir. Bir syının birler bsmğındki rkm o syının 0 ile bölümünden klndır. 90 yedi bsmklı syısının; ) ile bölümünden kln kçtır? b) ile bölümünden kln kçtır? c) ile bölümünden kln kçtır? d) 8 ile bölümünden kln kçtır? e) 9 ile bölümünden kln kçtır? f) 0 ile bölümünden kln kçtır? ÇÖZÜM: ) 9 + + + 0 + + + = 6. 6/ kln olur. b) / kln olur. c) Birler bsmğındki syı olduğu için kln dir. d) /8 işleminde kln 6 olur. e) 9 + + + 0 + + + = 6 + 6 = 8 bulunur. f) Birler bsmğındki syı olduğu için kln dir. Büyük Syılrd Bölünebilme Her syının tek tek bölünebilme kurllrını bilemeyiz, bu sorunu çözebilmek dın şöyle bir formülizsyon bulunmuştur. Kurl: İstenilen syının rlrınd sl çrpnlrını bulrk çözüm sğlnır. Arlrınd Asl Syılr Normlde sl olmyıp, kendi rlrınd ortk böleni olmyn syılr denir. 8 ile sl olmyn iki syıdır m bu syılr rlrınd sl syılrdır çünkü ikisinin de den bşk ortk böleni yoktur.
syısının bölünebilme kurlını bullım. syısının rlrınd sl çrpnlrı => ve tir. Yni bir syının e bölünebilmesi için hem e hem de e tm olrk bölünmesi gerekmektedir. Üç bsmklı AB syısı e tm bölünebildiğine göre A hngi değerleri lır? ÇÖZÜM: AB syısı hem hem de e tm bölünmelidir. Bu tür durumlrd öncelik birler bsmğın ilgilendiren kurlddır. O nedenle ilk ile y d ile bölünebilme kurllrını sormmız gerekmektedir. A + A + 0 = 9 A =, (rkm değil) A + A + 0 = 8 A = 9 A + A + 0 = 7 A=, (rkm değil) A + A + = 9 A= A + A + = 8 A=, (rkm değil) A + A + = 7 A= (rkm değil) O hlde syımızın lbileceği değerler 990 ve dir. Bu syıy eklediğimizde istediğimiz syılr ulşmış oluruz. 99 ve 7 Bun göre A nın lbileceği en büyük değer 9 olcktır. Syının ile tm bölünebilmesi için birler bsmğı 0 y d olmlıdır. A0 vey A Şimdi de ile bölünebilme kurlını bullım. Syılrın rkmlrının değerinin toplmı vey ün ktı olmlıdır. + A = 6 A= A0 + A = 9 A= + A = A= 8 + A + = 9 A=0 + + A = A= A + + A = A=6 + + A = 8 A=9 A syısı yukrıd ki değerleri lır. 0 ile 60 rsınd 0 ile bölünebilen kç tm syı vrdır? ÇÖZÜM: 0 ile 60 rsındki syılr sorulduğu için 0 ve 60 dhil değildir. 0 ile 60 rsınd olup d 0 bölünebilen syılrı rhtç bulbiliriz. Bunlr 0, 0, 0 ve 0 dir. Yni cevp tne syıdır. Bu kdr bsit rlıklr sorulmycğı için bu klıplrın bsit bir formülü vrdır. 0, 0,.0, 0, 60 İlk uçtki ilk ktsyı (0) ile, son uçtki son ktsyının(0) frkının lıp, istenilen syıy eklediğimizde sonuc ulşılır. 0, 0,.0, 0, 60 Son. Ktsyı İlk. Ktsyı Formül: Bölen AAB üç bsmklı syısının ile bölümünden kln ise A nın lbileceği en büyük değer kçtır? ÇÖZÜM: syısının rlrınd sl çrpnlrı 9 ve dir. Yni AAB syısı hem e hem de 9 tm bölünmelidir rdındn kln eklenecektir. Önce AAB syısı e tm bölünebilmesi için B nin lcğı değerler, 0 ve dir. Yni syılrımız AA0 ve AA dir. Şimdi de bu syılrın 9 tm bölünmesinin koşullrını rylım. 0 0 X = 0 ile 86 rsınd e bölünebilen kç tne tmsyı vrdır? ÇÖZÜM: den sonr gelen in ktıyl, 86 dn önce gelen in ktını bullım., 0,..80, 8, 86 8 0 X=
Asl Bölenler Bir syının birden çok böleni vrdır. Bu bölenlerin içerisinde sl olnlr ve sl olmyn tm bölenler bulunur. Asl bölenler,,,7 gibi syılrdır. Şimdi bir syıyı sl bölenlerine yırmyı bulcğız. 7 syısını sl bölenlerine yırlım. 7 6 8 7 = 9 syısının kç tne pozitif böleni vrdır? Bu syıyı bölen tm syılr,,,, 6, dir. Yni 6 tne pozitif (doğl syı) böleni vrdır. Bir o kdrd negtif syı böleni vrdır. İçlerinde ve sl bölenleridir. Tbii her syının pozitif bölenlerinin syısını bu kdr rht bulmyız, işimiz büyük syılrd zorlşır. Bunun için bsit bir formül bulunmktdır. Formül:A syısının pozitif bölenlerinin syısı (PBS); y z A= b c... PBS = (+).(y+).(z+). şeklinde bulunur. = => PBS = (+).(+)=.=6 bulunur. 7 syısının; ) Kç tne pozitif tm syı böleni vrdır? b) Kç tne tm syı böleni vrdır? c) Kç tne sl olmyn tmsyı böleni vrdır? ÇÖZÜM: 7 syısının sl çrpnlrın yrılmış hlini yukrıd bulmuştuk. 7 = ) PBS= (+)(+)=.= tne pozitif böleni vrdır. b) tne pozitif böleni vrs tne de negtif böleni vrdır. Toplmd tne tm syı böleni vrdır. c) Asl oln bölenleri ve tür. Bu nedenle sl olmyn bölenlerin syısı; = tnedir,y N kç tne değer lır? 80 olduğun göre y y ÇÖZÜM: ve y doğl syıymış yni pozitif syılrmış. Soru bizden 80 ni kç tne tm syı ile bölersek sonuç tmsyı olur demektedir. Yni 80 nin kç tne pozitif böleni vrdır? 80= PBS= (+)(+)(+)= 8 y doğl syısı 8 tne doğl syı değeri lır. 90 y ifdesi verilmiştir. Bun göre y toplmının lbileceği en z değer kçtır? ÇÖZÜM: Bu klıp sorulrın sözel ifdesi 90 syısını en z hngi syıyl çrprsk bir syının küpüne ulşırız. Bunun için 90 syısını sl çrpnlrın yırıp eksik kln ynını tmmlycğız. 90 y y => syısını bulmk için bütün syılrı üçüncü kuvvetlerine tmmlmlıyız. y (kuvvetlerin toplmı olck) =00 syısının lbileceği en küçük değer 00 dür. Şimdi y syısını bullım. Syımızın tmmlnmış hli; y 0 y Bun göre; + y = 00 + 0 = 0 y 0 OBEB-OKEK Birden fzl syının ortk bölenleri ve ktsyılrı rsınd ki ilişkiyi irdeleyeceğiz. ve 6 syısının yrı yrı ktlrını ve de bölenlerini bullım. 96 8 8 7 96 60 80 8 6 6 8, 6 6 8 OBEB: Açımlı her iki syınınd Ortk Bölenlerin En Büyüğüdür. Her iki syınınd ortk bölenleri gösterildiği gibi,, dir. En büyüğü tür. Bun göre; OBEB(, 6) = OKEK: Her iki syının Ortk Ktlrının En Küçüğünü ifde eder. Her iki syınınd ortk ktlrı 8, 96, sonsuz kdr devm eder. Ortk Ktlrının En Küçüğü ise 8 dir. Bun göre; OKEK(, 6 ) = 8 Tbi ki her syının OBEB ve OKEK ini bu uzun yoll bulmyız, dh prtik bir yöntem şğıdki gibidir.
Her iki syının ynı nd sl çrpnlrın böleriz. Bu durumlrd istisnlr dışınd ilk ypcğımız işlem OBEB i bulmk olcktır. Ardındn OKEK e devm edilir., 6 Her iki syıd ynı nd bölünene 6, 8 kdr işleme devm edilir. Ortk, bölen klmmışs işlem biter. OBEB (,6)==, 6 OBEB işlemi bittikten sonr rtık 6, 8 syılrı tek tek bölenlerine yırcğız., OKEK(,6)==8 Kurl: İki syının çrpımı, o syılrın OBEB ve OKEK inin çrpımın eşittir. A B = OBEB ( A,B ) OKEK( A, B ) 6 = 8 9 = 9 ve A syısının OBEB i 6, OKEK i 6 ise A syısı kçtır? ÇÖZÜM: A B = OBEB ( A,B ) OKEK( A, B) A = 6 6 A= 6, 9, syılrının OBEB ve OKEK ini bulunuz? ÇÖZÜM: 6, 9, OBEB,,,, OKEK,,,, OBEB( 6, 9, ) = OKEK(6, 9, ) = 9 = 6 Fruk elindeki bilyeleri yrı yrı üçerli, dörderli ve beşerli sydığınd hep iki bilye rtmktdır. Bun göre Fruk un elinde en z kç bilye vrdır? ÇÖZÜM: Devmlı bilye fzl geldiğine göre o bilyeler olmsydı bilyeler hem üçerli, hem dörderli ve hem de beşerli syıldığınd rtık bilye olmycktı. Yni bilyelerin syısı, ve in ortk ktı olcktı. Bu syıyı d,, in OKEK i lınrk bulbiliriz. OKEK(,, ) = 60 bulunur. Her seferinde bilye rttığın göre bu syıy ekleyerek sonuc ulşırız. 60 + = 6 tne bilyesi vrdır. Bu sorunun syısl olrk ifdesi şöyledir. A = + = b + = c + ile bölümünden kln 6, 6 ile bölümünden kln 0 oln en küçük doğl syı kçtır? ÇÖZÜM: A = + 6 = 6b + 0 Yukrıdki sorud olduğu gibi bu sorud d syılr rstgele seçilmemiştir. Her iki durumd d bir ortklık mevzubhistir. Bir önceki sorud her üç durum için fzllık vrdı ortk olrk, bu sorud d dikkt edersek syımız eğer 6 dh fzl olsydı ye de 6 y d tm bölünebilecekti. Yni syımız 6 eksik olmsydı ve 6 nın ortk ktı olcktı. OKEK (, 6) = 8 8 6 = Üç hemşire sırsıyl, 8, 0 günde bir gece nöbetine klmktdır. İlk nöbetlerine birlikte bşlyn üç hemşire tekrr kç gün sonr birlikte nöbet tutrlr? ÇÖZÜM: İlk gün birlikte nöbet tuttuklrın göre yeniden nöbetlerinin çkışmlrı için üçünün de nöbet periyotlrının ortklştığı gün önemlidir. Yni, 8 ve 0 un ortk ktı bulunmlıdır. OKEK (, 8, 0 ) = 0 Yni 0 gün sonr tekrr birlikte nöbet tutcklrdır. Boyutlrı 60 m ve 8 m oln bir konferns slonunun zemini eşit büyüklükte oln kre fynslrl döşenecektir. Bun göre en z kç tne fyns gerekmektedir? ÇÖZÜM: Bu klıptki sorulrd öğrencinin kfsını krıştırn nokt nerde OBEB nerde OKEK lıncğıdır. Çok bsit bir mntıkl çıklrsk, Eğer sorud bütünü prçlm vey küçültme işlemi vrs OBEB, eğer prçyı bütünleştirme vey büyültme işlemi vrs OKEK lınır. Bu örnekte olduğu gibi konferns slonunu küçük fynslrl döşeme işlemi prçlm işlemidir. Yni OBEB lıncktır. 60, 8 OBEB (60, 8)=m 0, Kre fynsın kenr, uzunluğudur., İşlem sonund kln syılrı çrprsk sonuc ulşırız. = 0 en z 0 tne fyns gerekmektedir. 6
Boyutlrı cm, cm ve cm oln kibrit kutulrındn en z kç tne kullnırsk içi dolu bir küp kutu elde ederiz? ÇÖZÜM: Bu örnekle ise küçük kibrit kutulrındn büyük küp kutu elde ediliyor. Yni bütünleme işlemi ypılıyor. O nedenle OBEB lıncktır.,,,,,,,, OKEK (,, ) = = 0 Sonuçt oluşturcğımız küp kutunun bir kenr uzntısı 0 cm olcktır. 0 cm yrıtlr kçr tne kibrit kutusunun yerleşebileceğini bulmk için, küp kutunun yrıtını kibritin yrıtlrın bölmemiz gerekecektir. 0 0 0 0 00 tne kibrit kutusu gerekmektedir. Neden çrpm işlemi ypıldı? Her sorud çrpm işlemi ypılcktır diye bir kurl yoktur. Sorulrın köküne bkıldığınd; İlk sorud uzunluklrı verilen zemininin içi fynslrl doldurulcğı için ln formülü uygulnmıştır. İkinci sorud üç yrıtı verilen kutulrdn kre küp elde edileceği için küpün hcim formülü uygulnmıştır. Kenr uzunluklrı 7 m ve 60 m oln dikdörtgen şeklindeki trlnın çevresine ve köşelerine eşit rlıklrl ğç dikilecektir. Bun göre en z kç ğç gerekir? ÇÖZÜM: Bu sorud prçlm işlemi vrdır. O nedenle OBEB lıncktır. Ayrıc burd bizden trlnın etrfın yni çevresine ğç dikmemiz istendiği için çevre formülü uygulncktır. Eğer trlnın içine dikim işlemi istenseydi ln formülü uygulncktı. 7, 60 6, 0 8, 6, OBEB (7, 60) = Ağçlr rsındki mesfe en çok metre olcktır. İşlem sonund kln syılrdn çevre formülü uygulrsk. Dik.Dört. Çevresi = ( + y ) = ( + 6) = Bu trly en uzk eşit rlıklrl ve köşelerde bulunmk üzere en z tne ğç dikilebilir. UYGULAMA SORULARI. Beş bsmklı ABAB7 syısının iki bsmklı AB syısın bölündüğünde oluşck bölüm ile klnın toplmı kçtır?. y - y - z Yukrıdki bölme işlemine göre in z cinsinden değeri nedir?. Üç bsmklı rkmlrı birbirinden frklı en büyük üçe bölünebilen çift syı kçtır?. 8 çrpımının 9 ile bölümünden kln kçtır?. y 0 rkmlrı frklı beş bsmklı y7z syısı 6 syısın tm bölünüyor. Bun göre y syısı hngi değeri lır? 6. 0 n ifdesi verildiğine göre n en z hngi değeri lır? 7. k, m Z olduğun göre, m 8 k m m nin lbileceği kç frklı değer vrdır? 8. ile rsınd hem e hem de 6 y bölünebilen kç tm syı vrdır? 9. A = + = b + = 6c + İfdesi verildiğine göre A syısı en z hngi değeri lır? 0. m, 0 m, m boyutlrındki bir depoy boşluk klmyck şekilde en z kç tne küp şeklinde koli yerleştirilir?. Ayrıtlrının uzunluğu cm, cm ve 9 cm oln tuğllrdn en z kç tne kullnrk küp şeklinde duvr örülür?. Ağırlıklrı 0 kg, kg, 8 kg oln frklı klitedeki üç torb buğdy hiç rtmyck ve birbirine krışmyck şekilde pketlere doldurulcktır. Poşetlere konn ğırlıklr eşit olcğın göre en z kç det poşet kullnılır? Cevplr ) 07 ) = 6z + ) 98 ) ) 9 6)0 7) 6 8)7 9)7 0) 60 ) )8 7
ÇARPANLARA AYIRMA Mtemtiğin olmzs olmz konulrındn biri de Çrpnlr Ayırm konusudur. İleride işleyeceğimiz konulrın çoğunun içinde bu bilgilerden yrrlnılrk çözümlemeler ypılcktır. O önemle üzerinde ısrrl durulmsınd önem vrdır. Zor gibi görünen konuyu dh bsit hle getirmek için bzı gereksiz yrıntılrdn ve klıplrdn uzk tuttuk, tbii ki geniş bir konu fkt en önemli ve ğırlıklı ynlrını öne ldık. Çrpnlr yırm işleminin önemi nedir? İki önemli nedeni vrdır. - Toplm çıkrm işlemindeki denklemleri çrpm hline getirerek sdeleştirme işlemi ypılmsını sğlr. - Denklemlerinin derecelerini küçültme işlemini sğlyrk bsit hle dönüştürmemizi sğlr. Bu konuyu n mdde şeklinde sınıflndırcğız.. Ortk Prntez Birden çoklu denklemlerde, bütün bilinmeyen elemnlr içerisinde ortk elemnlr vr ise bu denklemlere ortk prntez işlemi uygulnır. b 6b ifdesinin çrpnlr yrılmış hlini bulunuz? ÇÖZÜM: İlk etpt ifdenin rht görünümü için, denklemi en küçük çrpnlrın kdr yırlım, tbii bu her sefer bu şekilde ypılırs çok zmn lır, o nedenle ortk elemnlrı doğrudn sptnmsı yrrımız olcktır. b 6b b bb Görüldü gibi her iki bilinmeyende de ortk kvrmlr vrdır. Bu d b dir. İfdeyi b ortk prntezine lıp kln değerleri prntez içerisinde göstereceğiz. b b İfdesine ulşılır. Görüldüğü gibi ifde toplm hlindeyken çrpım hline gelmiş ve derecesi. dereceden. dereceye düşmüştür. y 6y y ifdesinin çrpnlrın yrılmış hli nsıldır? ÇÖZÜM: Bu sefer ifdeyi tek tek çrpnlrın yırmdn hemen bullım. Zmn bizim için önemli. Her üç bilinmeyenin de ortk çrpnı y dir. Ylnız bu ortk çrpn her üçünde bulunmk zorunddır. y y Önemli bir yrıntı, son denklemin bizzt kendisi ortk ifdeyi oluşturduğu için prntez içerisinde ki temsiliyet hkkını syısı sğlr. k kl l kl İfdesinin en sde hli nedir? ÇÖZÜM: Bu tür sorulrdki en büyük ht sdeleştirme işlemi ypmktır. Sdeleştirme işlemini toplm vey çıkrm işlemlerinde ypılmz. Sdeleştirme işlemi sdece çrpım ve bölüm işlemlerinde ypılır. O nedenle işlemi çrpım durumun dönüştürmek için py ve pyd bölümünü ortk prntez yoluyl çrpnlrın yırlım. k k l l l k Prntez içi ynı olduğu için prntez sdeleşir. İşlemin en sde hli, k l. İki Kre Frkı ( ) ( y) şeklindeki ifdelere denir. Çrpnlr yrılmış hli; ) ( ) = y y ( y Şeklinde gösterilir. Yni kresi lınn ifdelerinin toplmı ve frkının birbiriyle çrpımın eşittir. Alıştırm # 8 6 # - = - = # 9 y y y y # 9 9 # 6 y # y # k k # 0 9 8
y z y z y z z İfdesinin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? ÇÖZÜM: Bu soruyu şimdiye kdr gördüğümüz iki kurl üzerinden çözeceğiz. Şimdi py ve pydyı yrı yrı ele llım. y z z y > İki kre frkı gibi görünse de değildir. Çünkü çrpım durumundki ikinci elemnlrın kreleri lınmmıştır. O nedenle ortk prntez vr mıdır? Evet y z z y yz y z olur. y z = y z y z. Yerlerine koylım y z y z z y y = yz( y z) = ( y z)( y z) y yz y z. Prntez ( Tm) Kre şeklindeki ifdelere denir. İki önemli durumu vrdır. Bu ifdelerin bir çılımı bir de çrpnlr yrılmış hli vrdır. İkisini de görelim. Açılımı = y y y Çrpnlr yırımı y ( y)( y) y ( y)( y) Sorulrd hngisini kullncğımızı iyi sptmmız gerekecektir. Alıştırm Aşğıd ki tm krelerin çılımlrını ypınız? ( ) () () ()() 9 b b b b b = k p b b b İfdesinin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? ÇÖZÜM: Py ve pyd kısmı birbirinin ynısıymış gibi görünse de slınd tmmen frklı kvrmlrdır. Py bölümü iki kre frkı, pyd bölümü tm kredir. Ayrıc sdeleştirme işlemlerinde tm krelerin çılımı ypılmycktır. Çrpnlr yrılmış hli buluncktır. b b ( b) b b = ( b)( b) b, b b 6 b 8 b işleminin sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Bize birinci derece denklemler verilerek, ikinci derece denklem sonucu istenmiş. Bu nedenle dereceleri yükselteceğiz. b 6 ifdesinin kresini llım. b) (6 b b b b b 6 (8) 6 6 6 0 ise sonucu kçtır? ÇÖZÜM: Bu klıp sorulr çok rstlrız. Dikkt edin py ve pyd d ki syılr ynı bilinmeyenli syılr olduğu için tm kre lımınd birbirilerini sdeleştireceklerdir. ( ) () 9 - =9 =7. + b + c İfdesinin Çrpnlrı En önemli çrpnlr yırm klıbıdır diyebiliriz çünkü krşımız birçok yerde çıkmktdır, bu nedenle iyi bilinmesi gerekmektedir. 9
6 8 ifdesinin çrpnlrı nedir? ÇÖZÜM: İfdenin birinci ve üçüncü terimin çrpnlrın yrılır. 6 8 Özelikle üçüncü terimin birden çok çrpnı olduğu için sğlm işlemi ypmmız gerekmektedir. Bu nedenle üçüncü terimin işreti (+8) pozitifse her iki çrpnlrının işretleri ynıdır. ( ++ vey --) Eğer üçüncü terimin işreti negtif ise her iki çrpnlrın işretleri ise ters olcktır. ( +- vey -+) 6 8 +. + Sğlm işlemi yprk hngisinin doğru olduğunu bullım. Sğlm işlemi şu şekilde ypılır; birinci ve üçüncü terimler çprzlmsın çrpılır ve sonr toplnır. Ypıln toplm işlemi sonrsınd ikinci terime hngisinde ulşılıyors o seçenek doğrudur. 6 8 -. - İfdesinin çrpnlr yrılmış hlini bulunuz? ÇÖZÜM: İlk bkılck nokt üçüncü terimin işretidir. Tüm soru on göre şekillenecektir. Görüldüğü gibi işret negtif olduğu için çrpnlrın işretleri ters olmk zorunddır. Şimdi deneme ynılm yoluyl çözüme ulşlım. İlk denemelerimiz htlı olsun +6-6 Ortd ki terime ulşmdık. Verilen değerleri değiştirmemiz gerekmektedir. + - Ortd ki terime ulştık fkt işreti ters bulduk. Bunun nlmı çrpnlrımız doğru syı fkt işretleri ters olmlıdır. + Demek ki ifdemizin çrpnlr yrılmış hli; 6 8 +. + + + = +6 DOĞRU İlk ifdenin sğlmsı doğru çıktığı için bu seçeneği lıyoruz. Bu sefer çözüm kümesini oluştururken birinci ve üçüncü kvrmlrı yn yn gelecek şekilde prntez içerisine lrk ifdenin çrpnlr yrılmış hline ulşıyoruz. 6 8 + + 6 8 -. - - - = - 6 YANLIŞ = ( )( ) Not: Kıs yol sğlmsı çısındn, üçüncü terimin büyük çrpnının işreti ortdki terimin işretiyle ynıdır. Alıştırm Aşğıdki ifdelerin çrpnlrın yrılmış hlini bulunuz? # y 6y ( y)( y) # k k # m m # n 7n 8 # 8 ( )( ) # 8y y ( y)(6 y) # 0n n 6 Çözüm Kümesi (Ç.K) 6 8 ( ) ( ) Şimdi bury kdr gördüğümüz bşlıktki çrpnlr yırm kurllrını kullnrk ypbileceğimiz sorulrı çözelim. 0
6 6 9 6 İfdesinin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? ÇÖZÜM: Tek tek bütün ifdeleri çrpnlrın yırıp sonr işlemde yerlerine koylım. => 6 ( ) => ( ) => 6 ( )( ) => 9 ( )( ) => ( )( ) => 6 ( ) Açılımlrı yerlerine koyrsk ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). Derece Formüller.= Çrpnlr yırm konusunun temelini oluşturn bölümlerini gördük. Bunlr bilinmesi öncelikli kurllrdı. Şimdi ise ğırlıklı olms d bzı kynklrd ve sorulrd krşımız çıkn m sınvd sorulm ornı çok düşük oln formülleri vereceğiz. Ezberlemekten ziyde sorulrı çözdükçe formüllere bkrk sorulrı çözün. b b ( b)( ( b)( b b b b b b b b b b b İşleminin sdeleştirilmiş hli nedir? ÇÖZÜM: Sorunun py kısmını ortk prntez lmnın özel bir bölümü oln gruplndırm yöntemiyle bulcğız. b b İfdeyi ortdn ikiye yırlım ve yrı yrı inceleyelim. b ( b) Şimdide ( b) ortk prntezine llım. ( b)( ) çrpnlrı bulunur. Yerine konulduğund; ( b)( ) b ) ) b olmk üzere; b 0 = 0 denkleminin köklerinden biri olduğun göre b kçtır? ÇÖZÜM: İkinci derece denklemlerin tne kökü bulunur. Bu kökler denklemde bilinmeyen () yerine konduğund sonuç sıfır eşit olur. b 0 = 0 b 0 0 +b-0 = 0 b = - İşleminin en sde hli nedir? ÇÖZÜM: Önce pyd bölümlerini düzenleyelim. => Dikkt edin pydlr ynıymış gibi görünse de ters işretlidir. Pydlrı eşitlemek için birin - ile çrprsk diğerine benzer. ( ) Olduğun göre nedir? b b b nin cinsinden değeri ÇÖZÜM: Sorud ın b cinsinden değeri verilmiştir. bizden b nin cinsinden değeri istendiğine göre b yi tek bşın bırkcğız. Önce içler dışlr çrpnı ypcğız ( b ) b b b b b b ( ) b b nin cinsinden ifdesidir.
. UYGULAMA SORULARI ( ) ( ) 7. y y? İfdesinin sdeleştirilmiş hli nedir?. k k p kp 8 y y z olduğun göre z y sonucu kçtır? İfdesinin sdeleştirilmiş hli nedir? 9. 0 9 99 işleminin sonucu kçtır?. 7 ise kçtır? 0. A B 6 0 ise kçtır? Olduğun göre A+B kçtır? 6. 8 İşleminin sdeleştirilmiş hlini bulunuz?. olduğun göre ifdesinin sonucu kçtır? 6 6 9 9 İşleminin sdeleştirilmiş hlini bulunuz? CEVAPLAR k p ) ) k ) 7 ) ) 6) 7 7) 8) 8 9) 0 0) )