MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu özel eşitliklere özdeşlikler denir. Htırd tutulmsı gereken özdeşlikler şunlrdır:. ( + b) ( b) b. ÖRNEK SORULAR 3 ise +. ( b) b + b 3. ( + b) + b + b 4. ( + b) 3 3 + 3 b + 3b + b 3 ( ) 3 (her iki ynın kresini llım.) ( ) 3 + 9. ( b) 3 3 3 b + 3b + b 3 + 9 + 6. ( b) ( + b + b ) 3 b 3. + 8 ise in eşiti nedir? 7. ( + b) ( b + b ) 3 b 3 8. ( b) ( n + n b + n 3 b + b n ) n b n 9. n tek olmk üzere, ( + b) ( n n b + n 3 b, + b n ) n + b n 0. ( + b + c) + b + c + b + c + bc Bu özdeşliklerden yrrlnrk siz de bzı özdeşlikler de yzbilirsiniz. ( b) ( + b) 4 b özdeşliğinden yrrlnırız. ( + 8 dir. ) ( ) ( + ) 4.. 8 4 60 ( ) 60 ( b) ( + b) 4b ( + b) ( b) + 4b ( + b) 3 3 + b 3 + 3b ( + b) ( b) 3 3 b 3 3b ( b) özel eşitlikleri gibi. 3. ( ) 3 ise 3 8 3 ün eşiti nedir? ( ) 3 ifdesinin her iki ynın küpünü llım. Ve ( b) 3 3 b 3 3b ( b) özdeşliğini kullnlım. ( ) 3 7 3 8 3 3 ( ) 7 eşitliğinden, 7 3 8 3 6. 3 3 8 3 4
www.mtemtikclub.com 4. ( + y) ve. y 6 ise ( y) ( y) ( + y) 4y 4. 6 Aşğıd özdeşliklerden yrrlnrk bzı işlemler yzılmıştır. Bunlrı inceleyiniz. + 4, + + ifdeleri sl polinomlrdır. ÇARPANLARA AYIRMA YOLLARI :. Ortk Çrpn Prntezine Alm Yolu : Her terimde ortk bir çrpn vrs ifde onun prntezine lınır.. ( ) 4 + 4. ( + 3y) + 6y + y 3. ( 3) ( + 3) 9 4. ( ) ( + ) 3 8. ( + ) ( + ) 3 + 6. ( + y + ) + y + + y + + y 7. ( ) 3 3 3 + 3 8. ( + 3) 3 3 + 9 + 7 + 7 9. ( ) 4 4y + y 0. ( ) 4 4 + 8 ( 8) 9 + 6 3 (3 + ) ( ) + ( ) y ( ) ( + y) ( 3) + 4( 3) ( 3) [( 3) + 4] ( 3) ( + ). Gruplndırm Yolu : Đfdenin her teriminde ortk çrpn yoks, ortk çrpn oln terimleri ikişer y d üçer üçer gruplndırrk önce ortk çrpn prntezine, dh sonr d ortk prntezin prntezine lınrk çrpnlr yırm. + y + z + b + by + bz ifdesini çrpnlrın yırmk için () lrı bir grup, b leri de bir grup olrk llım. + y + z + b + by + bz ( + y + z) + b ( + y + z) ( + y + z) ( + b). (3 ) 9 + + 4 ÖRNEK SORULAR. ( )3 8 3 3 6 ( ) ÇARPANLARA AYIRMA : Bir çok terimli ifdeyi iki vey dh çok ifdenin çrpım şekline getirmeye çrpnlr yırm denir.. b + y + + b y ifdesini çrpnlrın yırırız. b + y + + b y 4 ( ) ( + ) 6 + 9 ( 3) 6 ( 6) ifdeleri çrpnlr yrılmış biçimde yzılmıştır. Bir çok terimli her zmn çrpnlr yrılmz. Böyle ifdelere indirgenemeyen y d sl polinomlr denir. ( + b ) + y ( + b ) ( + b ) ( + y ). 3 + ifdesini çrpnlrın yırınız.
www.mtemtikclub.com 3 + ( ) + ( ) ( ) ( + ) 3. ( y) + y (y ) y + ifdesini çrpnlrın yırınız. y ( y) olduğu için, ( y) + y (y ) y + ( y) y ( y) + ( y) ( y) ( y + ) ÖRNEKLER :. y 8 + 6 ifdesini çrpnlrın yırınız. y 8 + 6 ifdesini önce 8 + 6 + y biçiminde gruplndırlım. ( 4) y ( 4 y) ( 4 + y). 4y + 4y (4y 4y + ) (y ) ( y + ) ( + y ) 4. 3 y 6 y + 6 ifdesini çrpnlrın yırınız. 3 y 6 y + 6 3 ( ) ( 3 y + 6) y ( ) + 6 ( ) 4. + b + c şeklindeki ikinci dereceden üç terimlerin çrpnlrın yırm : + b + c b + b 4c formülü kullnılır. Anck bu prtik değildir. b b 4c 3. Çrpnlr Ayırmd Özdeşliklerden Yrrlnm Yolu : Verilen ifde bildiğimiz özdeşliklere benzetilir. Bun göre çrpnlrın yrılır. PRATĐK YOL : ) ise + b + c ( + p) ( + q) ise c p. q, b p + q olur. Yni ( + p) ( + q) çrpnlrın yrılmsı için çrpımlrı c, toplmlrı b oln syılr p ve q dur. Aşğıdki örnekleri inceleyiniz.. 4y (3 y) (3 + y) (Đki kre frkı). 3 40 ( 3 8) ( ) ( + + 4) 3. 8 3 + y 3 ( + y) (4 y + y ) (Đki küp toplmı) 3 + ifdesini çrpnlrın yırmk için, çrpnlrı, toplmlrı 3 oln iki syı Bunlr, olduğu için, 3 + ( ) ( ) 4. 8y + 6 ( 4) (tm kre). 3 7y 3 ( 3y) ( 3y + y ) (Đki küp frkı) ÖRNEK : ifdesini çrpnlrın yırınız.
www.mtemtikclub.com Çrpnlrı, toplmlrı oln iki syı, 4, +3 tür. O hlde ( 4) ( + 3) b) ise, + b + c ifdesini çrpnlrın yırmk için, ( + b + c) (m + p) (n + q) eşitliğinden m. n, b mq + np ve c p. q olur. ÖRNEK : 6 7 + ifdesini çrpnlrın yırlım. 6, b 7, c dir.. 3 vey. 6 dır. c c. vey c ( ). ( ) dir. qm + pn b 7 den. 3. 7 den p q, q dir. O hlde, 6 7 + ( ) (3 ) Bu işlem, ve c nin çrpnlrının çprz çrpımlrı toplm b yi verecek şekilde ypılrk c 3 3. 4 c. den 3 4 3 + 8 + (3 + ) (4 ) RASYONEL ĐFADELER : P() Q() biçiminde oln ifdelere rsyonel ifdeler denir. Rsyonel ifdelerle ypıln işlemler rsyonel syılrl ypıln işlemler gibidir. Sdeleştirme : Py ve pyd çrpnlrın yrılır. Gerekli sdeleştirme ypılır. Tnımlı olduğu değerler için ifdesini sdeleştirelim. 3 + Py ve pyd çrpnlrın yrılrk : 3 + ( ) ( ) ( + ) ( ) + 3 4 7 ( ) (3 ) ÖRNEK SORULAR ÖRNEKLER :. 3 + 4 + ifdesini çrpnlrın yırınız. 3 c olduğu için çprz kurlı : 3 3 + 4 3 + 4 + (3 + ) ( + ). 3 + 3 + 3 + 3 + ifdesini sdeleştiriniz. ( ) ( ) ( ) ( ). + ifdesini çrpnlrın yırınız.. m 7 + 0 ifdesi sdeleştiğine göre, m nin lcğı değerler toplmı kçtır?
www.mtemtikclub.com m 7 + 0 m ( ) ( ) Sdeleşebilmesi için m ( ) ( + ) y d m ( ) ( + ) olmlıdır. O hlde m 4 y d m dir. Bunlrın toplmı 4 + 9 tır. y + y y + y : y + y y + ifdesinde birinci kesir olduğu gibi lınır. Đkinci ters çevrilerek çrpılır. ( y) ( y) (y + ) ( y) + ( y). (y + ). (y + ) 3. + 6 m ifdesi sdeleştiğine göre, m için bulunck değerler toplmı kçtır? + 6 m ( ) ( 3) m ifdesinin sdeleşmesi için, m ( ) ( + ) y d m ( 3) ( + 3) olmlıdır. O hlde m 4, m 9 olmlıdır. Toplmlrı 4 + 9 3 3. ( y) ( ) ( + ) ( y) ( + ) + y. y + y 3 :. (y + ) (y + ) ( ) y + + + ifdesinin tnımlı olduğu değerler için eşiti nedir?. ( ) + y. (y ) ( ) ( + + ) ( ) + y. ( y + ) ( + y ) ( ) ( + + ). + + ( y + ). + + y + RASYONEL ĐFADE ĐŞLEMLERĐ : 4. + + ifdesi. 3 + + 4. ÖRNEK SORULAR çrpımını ypınız. 6 + 8 4 + 4 ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + + + ( ) ( ) ( + ) ( ) Her iki ifdede py ve pyd çrpnlrın yrılır, gerekli sdeleştirme ypılır. Py pyl, pyd pyd ile çrpılır. 3 + + 4. ( ) ( ) ( ) ( 4). 6 + 8 4 + 4 ( ) ( 4) ( ). + y y + y y y y + y y. y + y y + y : y + y y + ifdesi
www.mtemtikclub.com KONU TESTĐ. 7 p ise p nin eşiti kçtır? 0 B) 49 C) 0 4 + 40 39 + 38 8. 0 3 33 3 + hngisidir? 3 ( ) C) ( 3) ( 3) + ifdesinin en sde şekli B) ( 3) ( ) 3 ( + ). 3 ise ( + ) nin eşiti kçtır? 3 B) C) 7 9 3. b + + b + ifdesinin en sde şekli hngisidir? + b + B) + b C) b + + b + + b 9. 3 3 ifdesinin en sde şekli hngisidir? B) + C) 3 ( ) ( ) 4. ( ) + ( ) + ifdesinin eşiti hngisidir? B) + + C). + 7 + 6 ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? ( + ) B) ( + 3) C) ( + 6) + ( 3) 0. + ifdesinin en sde şekli hngisidir? B) + C) 6. + ifdesinin tnımlı olduğu değerler için en sde şekli hngisidir? + B) C) +. 3 3 + + ifdesinin en sde şekli hngisidir? + B) C) + + 7. ( + y) (y + ) ifdesinin en sde şekli hngisidir? + y y C) + y + y y B) y + y + y + y +. 3 + 3 ifdesi ( ) B) ( ) C) ( + )
www.mtemtikclub.com 3. iken 3 + 3 ise nın eşiti nedir? B) C) 3 3 +4 9. + 3 işleminin sonucu nedir? + : + + + B) + C) + + 4. + y y. y : + y y y y y + y + y B) + y y y + y C) + y + y. + y + 6y + 0 0 ise, y R için (,y) ikilisi hngisidir? (,3) B) (,3) C) (, 3) ( 3,) (3,) 0. y 6 + 9 + y 3 C) y 3 + y + 3 + y 3 y in en sde şekli nedir? B) + y 3 y + 3 6. + b b + b. 6 + m 9 eşiti ne olmlıdır? ifdesi sdeleştiğine göre, m nin 3 B) 6 C) 9 0 7.. b B) b C) b b b 3 ifdesinin en sde şekli hngisidir?. b b 6 6 3 3 : b + b + b B) b C) + b + b b + b + 3 + 3 B) 3 3 + 3 C) ( 3) 3. +3 y + y 3 9 +3y + 3 36 ise y B) C) 3 4 8. + y 0. y ise y 3 B) 4 C) 4 0 4. y 9 + y + y 4 ise in eşiti kçtır? 9 B) C) 6 8 7
www.mtemtikclub.com. b. KONU TESTĐ b. b b ifdesinin sdeleşmiş şekli şğıdkilerden hngisidir? B) C) b 0 b 6. 6 syısı şğıdkilerden hngisine tm olrk bölünemez? B) 9 C) 6 4 7. y. ( + ) ( + y ) ifdesinin çrpnlr yrılmış şekli şğıdkilerden hngisidir? ( y) (y ) B) (y ) ( + y) C) y ( y) (y ) (y ) ( + ) ( + y). Tnımlı olduğu değerler için ( 3).( 3) + hngisidir? 3 4 + 3 4 6 ifdesinin sdeleşmiş şekli B) 3 + 4 + 4 C) 4 + 4 8. b + + b + ifdesinin tnımlı olduğu değerler için sdeleşmiş şekli nedir? b + B) + b b C) + b + 3. + y ve y ise kçtır? B) C) 3 9. + y 6 ve 4 + y 7 ise. y nin değeri nedir? 6 B) 9 C) 6 9 4. 0, b 0,47 dir. 4b + ( b) b ifdesinin değeri nedir? 0,0 B) 0 C) 0, 0. 3 ifdesi çıldığınd sbit terim şğıdkilerden hngisi olur? 40 B) 0 C) 40 0 0. 3 + + + 3 + ifdesinin en sde şekli nedir? + B) + C) +. b b b cinsinden eşiti nedir? B) C) 3 3 eşitliğini doğrulyn b nin 3. b c bc ve + b c 9 ise + b + c toplmının değeri kçtır? 69 B) 9 C) 70 60 99
www.mtemtikclub.com 3. + b b : + b b + b b ifdesinin sdeleşmiş şekli şğıdkilerden hngisidir? b ( + ) ( + ) B) + C) b ( + ) b 9. ( ) 8. ( ) + veriliyor. Aşğıdkilerden hngisi bu ifdenin bir çrpnı değildir? ( ) B) C) + + 3 4. 4 ise 3 3 ifdesinin değeri kçtır? B) 64 C) 76 0 4 0. ( y) 7 + (y ) 7 + y ( + y) ( y) ifdesinin en sde şekli şğıdkilerden hngisidir? B) y 4 y + y C) 4., b pozitif tmsyılr ve b 7 olduğun göre,. b çrpımı kçtır? 7 B) 64 C) 8 6 63 6. 6 + 7 ( + 3) 9 ifdesinin sdeleşmiş şekli şğıdkilerden hngisidir? + 3 B) C) 4 3 + 9 + 3 7. 8 + ikinci derece üç terimlisi bir tm kre olduğun göre, şğıdkilerden hngisidir? 8 B) 7 C) 8 9 3 0 8. k bir doğl syıdır. k ifdesi sdeleşebildiğine göre, k nın lbileceği değerler toplmı kçtır? 9 B) 6 C) 36 4