YERE JEOİD YÜZEYİNİN BEİRENESİNDE KUANIAN ENERPOASYON YÖNEERİ Kml EKE, ull YAÇINKAYA Krdez ekk Üverstes, Jeodez ve Fotogrmetr üh. Bölümü, 68, rbzo ÖZE Yersel Koum Belrleme Sstem (GPS) le eodezk kotrol oktlrı t elpsod ükseklkler üksek durlıkt belrleeblmektedr. Prtk eodezde kullıl ükseklkler se eod üzede bşlıp kotrol oktsı kdr çekül eğrs bouc ol ortometrk ükseklkler olrk tımlır. Jeod ltk üze erel çlışm llrıd kc ve üçücü derece üze foksolrı le eterl durlıkt temsl edleblmektedr. Bu çlışmd, ortogol ve ortogol olm polomlrl, e ugu erel eod belrlemes mçlmıştır. Yerel eod üze, kudrtk, kübk, b-kudrtk, b-kübk üze polomlrı ve multqudrtk eterpolso ötem le belrlemştr. Jeod odülsolrıı, GPS le belrlee değerlerde spmlrı rdeleerek ötemler durlıklrı rştırılmıştır. Ahtr Kelmeler: Jeod odülsou, kudrtk polom, kübk polom, mult-kudrtk eterpolso ötem. ABSRAC Ellpsodl heghts of geodetc cotrol pots c be obted ccurtel b Globl Postog Sstem (GPS). Whether, the heghts, whch re used prctcl geodes, re the orthometrc heghts defed s the dstces log plumb les betwee the geod surfce d the cotrol pots. For locl stud res geod s ltcl surfce c be represeted ccurtel b secod or thrd degree surfce polomls I ths stud, t ws med to obt the most comptble locl geod b usg orthogol d o-orthogol polomls. ocl geod surfce ws obted b qudrtc, cubc, bqudrtc, b-cubc surfce polomls d mult-qudrtc terpolto method. B vestgtg the geod udulto devtos from the vlues obted b GPS, the ccurces of the methods re serched. Kewords: Geod udulto, qudrtc poloml, cubc poloml, mult-qudrtc terpolto method. GİRİŞ Yer grvte lı çersde, çekm potsel ve merkezkç potsel skler toplmı ol gerçek grvte potsel eşt oktlrı brleşmesle eş potsell üzeler elde edlr. Fzksel erüzüde her oktd br eş potsell üze geçer. Bu üzeler er dışıd ltk ve kplı üzelerdr. Eş potsell üzelerde ortlm okus üze le çkışı Jeod dı verlr. Jeodez blm dlıd er gerçek şekl ol eod üze globl ve erel lmd belrlemes büük öem tşır (Heske ve ortz, 984).
Elpsod üzede elpsod orml bouc ölçü oktsı ol ükseklklere elpsod ükseklkler (h) dı verlr. Elpsod ükseklkler GPS le üksek doğrulukt ve düşük mlet le prtk olrk belrleeblmektedr. Fkt prtk eodezde kullıl eod üzede tbre çekül eğrs bouc ol ükseklkler (ortometrk ükseklkler (H)) mlet üksek ve zhmetl ölçümlerle belrlemektedr (İl, 996; İl, ). Bölgesel hrtcılık çlışmlrıı çoğu ç, erel eod üze rdımı le ölçüle elpsod ükseklklerde ortometrk ükseklkler eterl durlıklrd elde mümküdür. Jeod ve elpsod üzeler rsıdk elpsod orml bouc ol uzklığ eod odülsou der. Yerel eod üze deklem belrlemesde eodezk dk oktlrı t eod odülsolrı kullılır. Yüze deklem oluşturulmsıd kullıl eterpolso ötemler k ükseklk sstem rsıdk döüşümü durlığıı etkler. Bu çlışmd ı dk oktlrı ç frklı eterpolso ötemler kullılrk elde edle üze deklemler ölçüle ortometrk ükseklklere e derece klşbldğ rdelemştr. YERE JEOİD YÜZEYİNİN BEİRENESİNDE KUANIAN ENERPOASYON YÖNEERİ Kullılck üze geellkle k değşkel üksek derece polomlrl tımlır. Ortogol polom geel fdes, N (X, Y ) k k k () eştlğ le gösterlr. Burd, ; polomu ktsılrı, ; polomu dereces,,; oktlrı düzlem koordtlrıdır. Eştlkte lıdığıd üze leer, lıdığıd üze qudrtk, lıdığıd üze kübk olur. Qudrtk üze, N (, ) () 4 5 eştlğ le 6 blmeel br poloml fde edlr. Kübk üze, N (,) 4 5 6 7 8 9 () eştlğ le blmeel br poloml fde edlr. Ortgol olm polom geel fdes N (X, Y) (4)
şekldedr. (4) eştlğde lıdığıd üze b-leer, lıdığıd üze bqudrtk, lıdığıd üze b-kübk olrk smledrlr. B-qudrtk üze, 8 7 6 5 4 ) (, N (5) eştlğ le 9 blmeel br poloml fde edlr. B-kübk üze, 5 4 9 8 7 6 5 4 ) N(, (6) eştlğ le 6 blmeel br poloml fde edlr. Yukrıd verle foksolrı ktsılrıı belrlemesde ugulck e küçük kreler çözümüde her br ölçü ç rı br leer deklem zılrk ktsılr mtrs (A) oluşturulur. Kübk üze ç ktsılr mtrs, A (7) şeklde oluşturulur. Ölçüler vektörü (l), [ ] N N N l (8) eştlğ le fde edlr. Ölçüler ğırlık mtrs (P), N N N P P P P O (9) eştlğ le fde edlr. Polom ktsılrıd oluş blmeeler vektörü (X), [ ] 9 8 7 6 5 4 X () eştlğ le fde edlr. E küçük kreler çözümü soucu, Pl A PA) (A X () mtrs eştlğ le foksolrı ktsılrı hesplır (Öztürk ve Şerbetç, 99; Yğt, ).
odel hpotez test Degeleme hesbıı mtemtk model ölçülerle blmeeler rsıdk geometrk ve fzksel lşklere ugu olup olmdığı, ölçüler durlıklrıı ve rlrıdk korelsolrı eterce sıtıp sıtmdığı model hpotez test olul deetler (Öztürk ve Şerbetç, 99). Aı koşullrd pıl bezer türde ölçüler değerledrlmes soucud, degelemede öce elde edle ve gözlemler ğırlıklrıı belrlemesde rrlıl brm ölçüü ortlm htsıı öcül ( pror) değer (s ) le degeleme hesbı soucud bulu socul ( posteror) değer (m ) kullılrk model hpotez test ç sıfır hpotez, { m } E { s } H : E () bçmde kurulur. Seçeek hpotezler, tek ölü testlerde { m } E { s } { m } E { s } HS : E H : E S () olrk, çft ölü testlerde se H S { m } E { s } E (4) olrk kurulur. Brm ölçüü öcül ve socul değerler rdımıl hespl test büüklüğü, m > (5) s ; m s F-dğılım tblolrıd ılm olsılığı (α ), pı serbestlk dereces (f ) ve pdı serbestlk derecese ( f ) göre lı q F d q f,f, α F α f,f, (6) değerler le krşılştırılır. est büüklüğü, seçeek hpotez H S se q le seçeek hpotez H S se q le krşılştırılır. Eğer test büüklüğü tblo değerde küçük se ( < q ), degeleme model geçerldr. Eğer test büüklüğü tblo değerde büük se ( > q ), degeleme model geçerszdr. Sıfır hpotez reddedlmes durumud uuşumsuz ölçüler test le uuşumsuz ölçü olupr olmdığı bkılmlıdır (Koch, 98; Öztürk ve Şerbetç, 99; Kok, 994). Uuşumsuz ölçüler test Ölçüler brde d brkçıd bulu ve rsgele ölçü htlrı çok kı büüklükte ol kb htlr kollıkl frk edlemezler ve degeleme hesbı soucud bulu büüklükler olumsuz öde etklerler. Bulr ck uuşumsuz ölçüler test le
belrleeblrler. Uuşumsuz ölçüler degeleme mtemtk model geçerszlğe ede olblr (Öztürk ve Şerbetç, 99; A, 99). Δ, umrlı ölçüdek kb ht olmk üzere t-test ç foksoel model her br ölçüsüe krşılık, l v [ A e ] (7) Δ şeklde rı rı geşletlerek oluşturulur. Burd l, ölçü; v, düzeltme;, blmeeler ve e,. değer ol sıfır vektörüü; A, ktsılr mtrs göstermektedr. Bu modelde. ölçüdek kb htı büüklüğü ve ters ğırlığı Δ e Pv ; e PQ Pe vv q ΔΔ (8) e PQ vv Pe bçmde hesplır. Burd P, ölçüler ğırlığıı ve Q vv, düzeltmeler ters ğırlık mtrs göstermektedr. Geşletlmş modelde brm ölçüü ortlm htsıı socul değer S ve f, serbestlk dereces olmk üzere s Δ ± (f m ) (9) f q eştlğde hesplır. Kb htı lmlı olup olmdığıı rdeleeblmek ç sıfır ve seçeek hpotezler ΔΔ H : E( Δ ) H s : E( Δ ) () bçmde kurulur. est büüklüğü e P v () s e P Q P e VV şeklde hesplır. est büüklüğü, α test ve α/ α/ de t-dğılımıı ılm olsılığı olmk üzere S-α sttstk güvele t-dğılımı cetvelde lı sıır değer le krşılştırılır. > t () f, α / se rdelee ölçüde sısl değer Δ kdr ol lmlı br kb ht vrdır. Bu ölçülerde lızc e büüğüü uuşumsuz olduğu krr verlr. İlgl ölçü, ölçü kümesde çıkrılır d ede ölçülür. Uuşumsuz ölçü klmıc kdr ı şlemlere devm edlr. Kb htlı ölçüler her tersod ölçü kümesde ıklmsı ve br sork
terso dımıd d şleme ktılmmsı ğı şekl belrlemee etecek eterl sıd ölçüü klmdığı durumlrd br şekl bozukluğu (şekl defekt) oluşumu ol çr. Böle durumlrd ğı pısıı boz ölçüler elemeldr (Koch, 98; Akso, 984; Öztürk ve Şerbetç, 99). Prmetreler ç lmlılık test Kestrle br prmetre ve stdrt spmsı m olmk üzere prmetre ümt değer sıfır kbul edlp edlmeeceğe krr vermek ç sıfır ve seçeek hpotezler, H H : E( ) S : E( ) () şeklde oluşturulur. est büüklüğü, (4) m eştlğ le hesplır. f, serbestlk dereces ve α, ılm olsılığı olmk üzere, test büüklüğü t sıır değer le krşılştırılır. < t se sıfır hpotez kbul edlr ve lgl α f, prmetre polomd çıkrılır. Seçeek hpotez geçerl olmsı durumud se kestrm değer lmlı olduğu krr verlr (Wolf ve Ghl, 997). ultqudrtk eterpolso ötem ultqudrtk eterpolso ötem ugulmsıd öce çlışm bölgese ugu dğılımd seçle dk oktlrıı N değerlere bğlı olrk. derecede br polomu blmee ktsılrı e küçük krelere göre çözümledkte sor dk oktlrıdk Δ N rtık odülso değerler α f, Δ N N(, ) N N ;,,..., (5) N fok. hesplır. (, ) eterpolso oktsıdk Δ N rtık odülso değer se, ΔN N N(, ) N N fok. (6) eştlğde hesplır. Fkt bu eştlkte blmee hem Δ N hem de N değerlerdr ultqudrtk ötem e geel eştlğ, Cθ(, ;, ) ΔN (7)
şekldedr. Burd N dk oktlrıı eod odülso değerler, N ; eterpolso oktsıı eod odülso değerler, N(, ) ; foksod elde edle herhg br oktsı t odülso değer, ; dk okt sısı, C; dk oktlrıı ble Δ N değerlerde hesp edlecek ol blmee ktsılrıdır. C ktsılrı kc derecede termler şret ve eğm belrler. θ (, ;, ) ; Kerel foksoudur. Bu fokso dresel dk koler toplmlrı şeklde fde edlrse, [( ) ( ] / θ ( (8), ;, ) ) eştlğ elde edlr. C, ktsılrıı hesplmk ç dk oktlrı bğlı olrk, C C C C C C... C... C... C ΔN ΔN ΔN (9) şeklde te leer deklem oluşturulur. deklem sstemdek ktsılrı dk oktlrıı koordtlrıd rrlrk eştlğde hesplır. deklem sstemde A; boutlu ktsılr mtrs, A O () C, elemlı blmeeler vektörüü, C [ C C C ] () Ve Δ N, dk oktlrıdk rtık odülso değerler çere elemlı vektörü, göstermek üzere, olur. (, ) [ ΔN ΔN ΔN ] ΔN () C A ΔN () koordtlrı le ble herhg br eterpolso oktsıı r N odülso değer, / N(,) C [( ) ( ) ] N (4)
eştlğ le hesplır (Hrd, 97; İl, 996; İl, ; Yğt, ). SAYISA UYGUAA Ugulmd, Kocel lde ERİS (rmr Erthquke Rego d Iformto Sstem) proes kpsmıd pıl çlışmlrd oluşturul eodezk kotrol oktlrıı IRF96 dtumu.48 ölçü epoğudk koordtlrı kullılmıştır. DU proekso koordtlrı ve elpsod odülsolrı bell ol bu oktlr toplm 74 det olup klşık 8 km 8 km br l dğılmıştır (Şekl ). Şekl. Dk ve test oktlrıı ugulm bölges eod üzee dğılımı Ugulmd bulrd 9 ded dk, 65 ded se test oktsı olrk lımıştır. Dk oktlrıı ugu dğılımd seçm üze model doğruluğuu rttırcktır. Bu edele oktlrı seçmde, ve ekse ölerdek okt dğılımlrı bkılmıştır (Şekl ).
Şekl. Dk ve test oktlrıı odülso değerler ve eksee göre dğılımı Dk oktlrıı seçm rdıd,, 5 ve 6 eştlkler le verle kudrtk, kübk, b-kudrtk ve b-kübk üze polomlrıı ktsılrı e küçük kreler kestrm öteme göre 7, 8, 9, ve eştlklerde hesplmıştır. Prmetreler lmlılık test değer 4 eştlğde hesplmış ve test değer sıır değer sğlm ktsılr modele dhl edlmemştr (blo ). blo. Yüze polomlrıı ktsılrı ve ktsılrı lmlılık test souçlrı Ktsılr Ktsı Değer Yüze Cs Ortogol Yüze Polomlrı Ortogol Olm Yüze Polomlrı Qudrtk Kübk B-qudrtk B-kübk est Değer (blo Değ..6598) Souç Ktsı Değer est Değer (blo Değ.,664) Souç Ktsı Değer est Değer (blo Değ.,66) Souç Ktsı Değer est Değer (blo Değ.,666) Souç A.664e- 8.79 Geçerl 8.849e- 4.559 Geçerl.4479e-.7 Geçerl.5897e-6.56 Geçersz A 8.59e-5 7.85 Geçerl.9898e-4.59 Geçerl -.77e-5.4 Geçerl.67e-4.856 Geçersz A 8.5e-5 7.86 Geçerl.748e-4 5.689 Geçerl 5.568e-7.794 Geçerl -.5897e-.4 Geçersz A.9e-.897 Geçerl 7.59e-9 5.48 Geçerl 5.568e-7.6 Geçerl.57e-9,7 Geçerl A 4 -.77e-.76 Geçerl 6.99e-9.75 Geçerl.67e-.646 Geçerl -6.65e-,5 Geçersz A 5 5.75e-.847 Geçerl 6.5e-9.56 Geçerl 5.87e-6.59 Geçerl.456e-7,87 Geçersz A 6 - - - 4.7e-5 5.9 Geçerl.897e-.9 Geçerl -.6596e-8,7 Geçerl A 7 - - - -.6e-4.96 Geçerl 4.97e-6.44 Geçerl.559e-,76 Geçerl A 8 - - -.555e-4.667 Geçerl -.5775e-.665 Geçerl -.4e-9,88 Geçerl A 9 - - - -.848e-5. Geçerl - - -.485e-4 5,759 Geçerl A - - - - - - - - - -8.885e- 5,978 Geçerl A - - - - - - - - -.7996e-5,6 Geçerl A - - - - - - - - - 5.697e-4,754 Geçerl A - - - - - - - - - -.79e-9,785 Geçerl A 4 - - - - - - - - - 5.9677e-5,84 Geçerl A 5 - - - - - - - - - -5.5e-,78 Geçerl
Hespl polom ktsılrı göre oluşturul üze polomlrı çzdrlmş ve şekl de verlmştr. Yüzeler frklılıklrıı dh lşılblmes ç odülso değerler göstere Z ekse ölçeğ ve düzlem koordt değerler gösterldğ ekseler ölçeklerde çok dh büük lımıştır. Kudrtk üze polomu le oluşturul erel eod üze Kübk üze polomu le oluşturul erel eod üze B-kudrtk üze polomu le oluşturul erel eod üze
B-kübk üze polomu le oluşturul ugulm bölgese t erel eod üze Şekl. Frklı üze polomlrı le oluşturul erel eod üzeler Yüze polomlrı le uuşumsuz ol oktlrı belrlemek ç uuşumsuz ölçüler testlerde t-test ve eştlkler le tüm üze polomlrı ç ugulmıştır. Uuşumsuz okt belrlememştr (blo ). blo. Uuşumsuz ölçüler test (t-test) souçlrı Nok. No Kudrtk Kübk B-kudrtk B-kübk est değerler est değerler est değerler Souç blo değ. Souç blo değ. Souç blo değ. (t 98,.987.74) (t 99,.987.75) (t 98,.987.74) est değerler blo değ. (t,.987.74) Souç N,68 Almlı,55 Almlı,49 Almlı,8 Almlı N,58 Almlı,6 Almlı,57 Almlı,69 Almlı N5, Almlı,9 Almlı,69 Almlı,7 Almlı N7,96 Almlı,48 Almlı,7 Almlı,5 Almlı N8,8 Almlı,456 Almlı,77 Almlı,8 Almlı N9,745 Almlı,467 Almlı,98 Almlı,56 Almlı N,9 Almlı,786 Almlı,784 Almlı,6 Almlı N, Almlı, Almlı,8 Almlı,446 Almlı N,54 Almlı,8 Almlı,57 Almlı,46 Almlı N4,8 Almlı,697 Almlı, Almlı,589 Almlı N5,4 Almlı,7 Almlı,6 Almlı,87 Almlı N6,648 Almlı,65 Almlı,4 Almlı,79 Almlı N7, Almlı,7 Almlı,86 Almlı,98 Almlı N8,4 Almlı,9 Almlı,654 Almlı,56 Almlı N9,8 Almlı,968 Almlı,65 Almlı,97 Almlı N,7 Almlı,545 Almlı,56 Almlı,47 Almlı N,64 Almlı, Almlı,84 Almlı,87 Almlı N,54 Almlı,4 Almlı,86 Almlı,5 Almlı N7,8 Almlı,84 Almlı,69 Almlı,9 Almlı ult-kudrtk eterpolso ötemde tred üze olrk kudrtk üze seçlmştr. ultkudrtk eterpolso ötem le 5, 6, 7, 8,,,, ve 4 eştlkler
kullılrk ugulm bölgesdek test oktlrıı odülso değerler hesplmıştır. Yötemler ve modeller durlıklrı blo de verlmştr. blo. Eterpolso ötemlere lşk sttstksel durlık değerler Yötem Prmetreler m (cm) ε m (cm) Ortgol Kudrtk 7, 4, Polom ol Kübk,8 4,9 üzeler Ortgol B-kudrtk 8,5 4, olm B-kübk, 5,8 ultkudrtk 8,7 8,9 SONUÇAR ve ÖNERİER red üze olrk kudrtk üze seçlerek gerçekleştrle mult-kudrtk eterpolso ötem blo de de görüleceğ gb e durlı soucu vermştr. Kübk ve b-kübk üze polomlrıd elde edle odülso değerler durlıklrıı d eodezk çlışmlrı çoğu ç eterl olcğı söleeblr. Dk oktlrıı ugulm bölgese homoe dğılım gösterecek ve eterl sıklıkt olck şeklde seçlmes, mult-kudrtk eterpolso ötem le oktlrı odülso değerler ve ortometrk ükseklkler hesplmsı, mult-kudrtk eterpolso ötemde tred üze olrk kudrtk üze polomuu seçlmes öerlr. KAYNAKAR Akso, A., Uuşumsuz Ölçüler est, Hrt Dergs, 9, 5-4, 984. A,., Uuşumsuz Ölçüler est, Hrt ve Kdstro ühedslğ Dergs, 7, 8-46, 99. Hrd, R.., ultqudrtc Equto Of opogrph Ad Other Irregulr Surfce, Jourl of Geophscl Reserch, 76, 8, 97. Heske, W. ve ortz, H., ürkçe çevr: Our Gürk, Fzksel Jeodez, Krdez ekk Üverstes, rbzo, 984. İl, C., Yerel Jeot Geçrlerek GPS Souçlrıd Yükseklk Belrlemes, Selçuk Üverstes ühedslk-mrlık Fkültes Dergs,,, 996. İl, C., urgut, B., Yğt, C., okl Allrd Jeot Odülsolrıı Belrlemesde Kullıl Eterpolso Yötemler Krşılştırılmsı, Selçuk Üverstes Jeodez ve Fotogrmetr ühedslğ Öğretmde. Yıl Sempozumu, Ko, 6-8 Ekm. Koch, K. R., Prmeterschtzug ud Hpothesetests lere odelle, Bo, 98. Kok, H., Yüze Ağlrıı Optmzsou, Doktor ez, K..Ü., Fe Blmler Esttüsü, rbzo, 994.
Öztürk, E. ve Şerbetç,., Degeleme Hesbı, Clt III, K..Ü. Bsımev, rbzo, 99. Wolf, H. ve Ghl, C. D., Adustmet Computto: Sttstcs d est Squres Surveg d GIS, Joh Wle d Sos Ic., New York, 997. Yğt, C., Elpsodl Yükseklkler Ortometrk Yükseklğe Döüşümüde Kullıl Eterpolso Yötemler Krşılştırılmsı, Yüksek ss ez, S. Ü. Fe Blmler Esttüsü, Ko,.