Deey 4: ayısal üzgeçler Amaç Bu deeyi amacı solu dürtü yaıtlı (FIR) ve sosuz dürtü yaıtlı (IIR) sayısal süzgeçleri taıtılması ve frekas yaıtlarıı icelemesidir. Giriş iyal işlemede süzgeçleme bir siyali rasgele gürültü gibi isteilmeye bileşelerii atılması veya sadece isteile kısmıı çıkışta elde edilmesidir. Aşağıda süzgeçleme işlemi blok diyagramı görülmektedir. Giriş siyali üzgeç Çıkış siyali Şekil 4. üzgeçlemedeki temel fikir üzgeçler, fiziksel yapıları ve çalışma presipleri birbirleride oldukça farklı ola aalog ve sayısal süzgeçler olmak üzere ikiye ayrılabilir. Aalog bir süzgeçte direç, kapasite ve işlemsel kuvvetledirici gibi elemalarda oluşa aalog elektroik devre elemaları kullaılır; aalog süzgeç devreleri gürültü süzme ve video siyali iyileştirmesi gibi birçok farklı alada kullaılabilir. Aalog süzgeçlere fiziksel bir sistemde elde edile aalog elektriksel gerilim veya akım işareti uygulaır; sayısal bir süzgece uygulaacak ola siyal ise ayrık olmalıdır. V üzgeçte geçmemiş aalog siyal A/ Döüştrücü sayısal siyal s İşlemci (D) sayısal süzgeçte geçmiş siyal /A Döüştrücü süzgeçte geçmiş aalog siyal t Şekil 4. Aalog siyali sayısal süzgeçte geçmesi ayısal işlemci ile hesaplama yapılabilmesi içi öreklemiş ayrık aalog işaret değerleri kullaılmalıdır. Yukarıda blok diyagramı görüle sistemde elde edile sayısal siyal bitleri hesaplamalarda kullaılmak üzere işlemciye göderilir. İşlemci girişe gele bitleri bir sabit ile çarpma ve bazı değerleri toplama gibi işlemler yaptıkta sora süzgeçte geçe işarete ait değerleri çıkışa verir. İşlemci çıkışıdaki işaret, gerekirse bir ayısal - Aalog Döüştürücü (AD) yardımıyla aalog bir siyale döüştürülür.
ayısal üzgeç Kullamaı Avatajları. üzgeçleme foksiyoları sayısal süzgeçteki işlemcii belleğideki bir program kullaılarak değiştirilebilir. Aalog bir süzgeci değiştirebilmek içi ise, devrei yeide tasarlaması ve doaımı değiştirilmesi gerekir.. ayısal süzgeçler sırada bir bilgisayar veya iş istasyouda kolaylıkla gerçekleip test edilebilir. 3. Özellikle aktif bileşe içere aalog süzgeç devrelerii karakteristikleri zamada ve sıcaklık değişimleride etkileirke, sayısal süzgeçler bu tip sorularda etkilemede kararlı bir şekilde çalışabilirler. 4. ayısal süzgeçler aalog sayıcı kısımları bulumasıa rağme alçak frekaslı siyallerle doğru olarak çalışabilirler. ayısal işaret işleme hızı arttıkça, sayısal süzgeçler RF (radyo frekas) yüksek frekaslı siyallere de uygulaabilirler. 5. iyalleri farklı yötemlerle işlemek içi sayısal süzgeçler aalog süzgeçlere göre çok daha kullaışlıdır. Örek olarak bazı sayısal süzgeç tipleri siyal karakteristiklerie göre süzgeci uyarlayabilirler. ayısal üzgeç İşlemleri ayısal olarak süzgeçleecek siyali, t zama olmak üzere, bir gerilim dalga şekliyle taımladığıı varsayalım. V = x() t Bu siyal h (örekleme) zama aralıklarıda örekleirse, t = ih zamaıda öreklemiş değer x i olur. = xih ( ) xi Buda dolayı, aalog ayısal döüştürücüde işlemciye göderile sayısal değerler, t = aı öreklemei başladığı zama olmak üzere, t =, h, h, 3h, alarıdaki siyal dalga şeklii değerlerie uygu olarak aşağıdaki diziyle gösterilir. x, x, x, x 3,... t = h ( pozitif tamsayı) aıda, işlemci belleğideki değerler şulardır. Öreklemiş x, x + + x, x, x, x3,... x değerlerii mevcut olmadığıa dikkat edilmelidir. İşlemcide sayısal aalog döüştürücüye göderile değerler y, y, y, y3,... y diziside oluşmaktadır. y değeri geellikle x, x, x, x3,... x değerleride hesaplaır. ayısal süzgeci süzgeçleme şeklii y leri x lerde hesaplama yolu belirler. ayısal üzgeç Örekleri () Birim Kazaçlı üzgeç: Her çıkış y değeri giriş x değerii tam olarak ayısıdır. Bu ilişki aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilebilir. Bu süzgeci siyal üzeride bir etkisi yoktur. y = x ( 4. )
() Basit Kazaçlı üzgeç: Bu süzgeç basitçe her giriş değerii K kazaç katsayısı ile çarpar. K bir sabittir; giriş ve çıkış arasıdaki ilişki aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilir. y = K x (4.) K > değeri süzgeci bir kuvvetledirici, < K < değeri süzgeci bir zayıflatıcı ve K < değeri ise süzgeci bir ters alıcı kuvvetledirici yapar. K = durumuda birim kazaçlı süzgeç olur. (3) af Geciktirme üzgeci: t = h aıdaki çıkış değeri t = ( - )h aıdaki giriş değeridir. üzgeç giriş çıkışı ilişkisi aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilir. y = (4.3) x y = x - dir. x - işareti taımlı değildir, bu sebeple taımlı olmaya x - aı alıabilir. Bu duruma oldukça sıkça rastlaır. (4) İki Terim Farkı üzgeci: t = aıdaki çıkış değeri, x girişi ve bir öceki x - girişi arasıdaki farka eşittir. üzgeç giriş çıkışı ilişkisi aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilir. y = x x (4.4) Bu süzgeci aalog türev alıcı devresie bezer etkiye sahiptir. (5) İki Terim Ortalama üzgeci: Çıkış o aki ve bir öceki girişi aritmetik ortalamasıdır. üzgeç giriş çıkışı arasıdaki ilişki aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilir. x + x y = (4.5) Yukarıdaki eşitli ile ifade edile sistem siyali yüksek frekaslı değişimlerii yumuşatarak basit bir alçak geçire süzgeç işlevi görmektedir. (6) Üç Terimi Ortalaması üzgeç: Bir öceki öreğe bezemektedir, çıkış değerii bulmak içi süzgeç o aki ve öceki iki girişi ortalamasıı alır. üzgeç giriş çıkışı arasıdaki ilişki aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilir. x + x + x = (4.6) 3 y y çıkış değerii bulmak içi gerekli ola, acak taımlı olmaya x - ve x - giriş değerleri sıfır alıır. (7) Merkezi Fark üzgeci: Bu süzgeç İki Terim Farkı üzgecie bezemektedir. Çıkış o aki giriş değeri ve iki örekleme aı öcesideki giriş değerii farkıı yarısıa eşittir. üzgeç giriş çıkışı ilişkisi aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilir. Bir ayısal üzgeci Derecesi y x x = (4.7) Bir sayısal süzgeci derecesi, çıkışı hesaplamak içi kullaıla öceki girişleri veya eğer kullaılıyorsa (işlemci hafızasıda saklaa) öceki çıkış değerlerii sayısıdır. - y, sadece x giriş değerie bağlı olduğuda örek () ve () sıfırıcı derecelidir. - y çıkışı içi x - girişi gerekli olduğuda örek (3), (4) ve (5) birici-derecelidir. - y çıkışı içi x - ve x - girişi gerekli olduğuda örek (6) ve (7) ikici-derecelidir. 3
ayısal üzgeç Katsayıları Yukarıda verile sayısal süzgeç öreklerii tamamı aşağıdaki gibi ifade edilebilir: ıfırıcı Derece y = b x Birici Derece y = b x + b x İkici Derece y = b x + b x + b x Derecesi belli olmaya süzgeçler de bezer şekilde ifade edilebilir. Yukarıdaki ifadelerdeki b, b, b, sabitleri süzgeç karakteristiğii belirler ve süzgeç katsayıları olarak adladırılırlar. Tablo öreklerdeki süzgeçleri katsayılarıı göstermektedir. Tablo 4. Basit sayısal süzgeç örekleri süzgeç katsayıları Örek Derece b b b - K - 3 4-5 / / 6 / 3 / 3 / 3 7 / - / Özyieli ve Özyiesiz üzgeçler Çıkış y değeri, girişi o aki x ve öceki değerleride edilebile bir süzgece özyiesiz sayısal süzgeç deir. x, x, x,... Özyieli süzgeç ise, giriş değerlerie ek olarak öceki çıkış değerlerii de kullaa bir süzgeçtir. Çıkışı geçmişteki değerleri girişi geçmişteki değerleri gibi işlemci belleğide saklaır. Özyieli kelimesi y çıkış değeri buluurke geçmişte hesaplamış çıkış değerlerii kullaıldığıı ifade eder. Özyieli süzgeç gösterilimi, sadece x, x, x,... giriş terimlerii değil, acak y, y,... çıkış terimlerii de içerir. Bir süzgeç frekas yaıtı karakteristiği özyieli süzgeç kullaılarak eşdeğer bir özyiesiz süzgeçte daha düşük derece ile gerçekleyebilir. Özyiesiz süzgeçler FIR, özyieli süzgeçler ise IIR süzgeçler olarak biliirler. FIR ve IIR terimleri süzgeçleri farklı dürtü yaıtları olduğuu gösterir. FIR süzgeç solu dürtü yaıtıa sahipke, IIR süzgeci dürtü yaıtı teorik olarak sosuza kadar devam eder; çükü özyieli terimler (çıkışı öceki değerleri) süzgeç girişideki değerlerde elde edilir ve süreç ayı şekilde devam eder. IIR terimi pratikte doğru değildir, çükü IIR süzgeçleri heme heme tümüü dürtü yaıtları solu sürede sıfır olur. Özyieli üzgeç Öreği: Aşağıdaki eşitlik özyieli süzgece bir örektir. elde y = x + y (4.8) y çıkış değeri, x giriş değeri ve y çıkışı geçmiştek değerii toplamasıyla elde edilir. y ( x e bezer şekilde) taımsızdır ve geellikle sıfır alıır. 4
(4.8) eşitliğideki y i bir öceki değeri ile yer değiştirirsek aşağıdaki eşitlikler elde edilir. y = x + y = x Burada y = x + y = x + x y = x + y = x + x + x y3 = x3+ y = x3+ x + x+ x y, t = h aıdaki çıkış değerii, (4.9) x girişi ve öceki bütü girişleri toplamıa eşit olduğu görülmektedir. Bu örekteki sayısal süzgeç giriş değerlerii topladığı içi aalog itegral devresie bezer bir işleve sahip olur. Bu örekte görüldüğü gibi, özyieli süzgeç eşdeğer özyiesiz süzgece göre çıkış değerlerii ekoomik olarak hesaplaır. Örekteki her çıkış iki değeri toplamasıyla kolayca elde edilir. Öreği t = h aıdaki çıkışı hesaplamak içi aşağıdaki eşitlik kullaılır. y = x + y9 (4.) Ayı etkiyi özyiesiz süzgeç ile yapmak içi ise aşağıdaki eşitliği kullamak gerekir. y = x + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3+ x + x+ x (4.) Bu işlem daha fazla bellek kulladığıda daha çok toplama işlemi gerekli olur. Özyieli (IIR) ayısal üzgeci Derecesi Bir sayısal süzgeci derecesi, bir çıkış değerii üretmek içi kullaılması gerekli ola geçmişteki giriş ve çıkış değerlerii sayısı olarak taımlamıştı. Bu taım o aki çıkış değerii hesaplamak içi sadece o aki ve öceki girişleri kullaa özyiesiz (FIR) süzgeçler içi uygudur. Özyieli süzgeci derecesi ise, farklı olarak, o aki çıkışı hesaplamak içi gerekli ola öceki girişleri ya da çıkış değerlerii e büyük sayısıdır. Bu taım hem FIR hem de IIR süzgeçler içi geçerli olabilir. Öreği (4.8) eşitliğide verile özyieli süzgeç birici derece bir süzgeç olarak sııfladırılır, çükü öceki giriş değerlerie ihtiyaç duyulmamasıa rağme bir öceki çıkış değerii i kullaır. y Uygulamada, özyieli süzgeçler geellikle eşit sayıda öceki giriş ve çıkış değerlerie ihtiyaç duyarlar. Böylece, ikici derecede özyieli süzgeç öceki iki girişi ( x ve x ) ve öceki iki çıkışı ( y ve y ) içerirke, birici derecede özyieli süzgeçler de öceki giriş x ile çıkış y değerlerii kullaırlar. Özyieli (IIR) bir süzgeci e az birici derecede olması gerektiği görülür, sıfırıcı derecede özyieli bir süzgeç tasarımı ise olaaksızdır. Özyieli (IIR) ayısal üzgeç Katsayıları Birici derecede özyieli bir süzgeç aşağıdaki eşitlikte gösterilebilir. y bx + bx ay = (4.) a (4.) eşitliği simetrik formda yazılırsa aşağıdaki hale gelir. ay ay bx bx + = + (4.3) 5
İkici derecede bir süzgeç ise aşağıdaki eşitlikte gösterilmiştir. ayısal üzgeç Aktarım İşlevi ayısal bir süzgeci doğruda y bx + bx + bx ay ay = (4.4) a y çıkışıı vere ve tüm giriş ile çıkış terimlerii eşitliği farklı tarafıda göstere simetrik durum olmak üzere iki farklı şekilde taımladık. Aktarım işlevi süzgeç simetrik gösterilimide elde edilir. Frekas yaıtıı belirlemesi içi süzgeci aktarım işlevi taımlaır. z sembolü gecikme operatörüü gösterir ve bir örekleme aralığı gecikmeyi taımlar. z operatörü bir ( x ) giriş değerie uyguladığıda öceki giriş ( x ) elde edilir. z x = x (4.5) z x ile elde edile x bilimeyedir ve geellikle sıfır alıır. çıkışa uygulamak öceki çıkışı verir. z y y z operatörüü bir = (4.6) z gecikme operatörüü iki kez kullamak iki örekleme aralığı gecikmeye sebep olur. z ( z x ) = z x = x (4.7) Bu gösterim şeklii özyieli bir sayısal süzgeç taımlama içi kullaalım. ay + ay + ay = bx + bx + bx x z x x z x (4.8) Öreği (4.8) eşitliğide verile geel bir simetrik ikici derecede süzgeci iceleyelim. y = z y, y = z y (4.9) =, = üzgeç giriş ve çıkış ifadeleri arasıdaki ilişkiyi göstere (4.9) eşitliğideki ifadeleri (4.8) eşitliğide yerie koyarak tekrar düzelersek aşağıdaki eşitlik elde edilir. yz ( ) b + bz + b z = x( z) a a z a z + + (4.) Bu eşitlik ikici derecede özyieli (IIR) bir süzgeç aktarım işlevii geel ifadesidir. Birici derecede bir süzgeç elde etmek içi z terimleri yok edilir. Derecesi de yüksek süzgeç elde etme içi, z i yüksek katlarıı içere terimler aktarım işlevii hem payıa hem de paydasıa ekleir. Özyiesiz FIR süzgeç hiçbir payda terimi içermeye aşağıdaki basit aktarım işlevie sahiptir. katsayısı geellikle e eşit alıır ve bütü diğer a katsayıları sıfırdır. a yz ( ) = b + bz + bz (4.) xz ( ) 6
olu Dürtü Yaıtlı üzgeçler (FIR) olu dürtü yaıtlı süzgeçler (Fiite Impulse Respose) sıırlı uzulukluğu ola dürtü yaıtlarıa sahiptir. FIR süzgeç girişi ve çıkışı arasıda ilişki aşağıdaki eşitlik ile gösterilebilir. y() = b x() + b x(-) + b x(-) + + b M- x(-m+) = b x( k) (4.) Burada b, b,, b M- süzgeç katsayıları olup, süzgeç aktarım işlevi aşağıdaki gibidir. M = M k = H(z) = b + b z - + +b M- z -M = b z (4.3) olu dürtü yaıtlı süzgeç tasarımı içi Fourier erisi, Frekas Örekleme ve ecere Foksiyou Kullaımı gibi birçok yötem kullaılabilir. ecere Foksiyou Kullaımı Yötemi Bu yötemde ilk olarak edesel olmaya sosuz dürtü yaıtlı uygu bir ideal frekas seçici süzgeç belirleir, daha sora doğrusal fazlı ve edesel solu dürtü yaıtlı bir süzgeç buluabilmesi içi başlagıçta seçile süzgeci birim dürtü yaıtı pecereleir. Dolayısıyla, bu yötemde uygu bir pecereleme işlevi ve ideal bir süzgeç seçilmesi öemlidir. İdeal süzgeç, geçirme badıda birim gelik kazacı ve doğrusal faz karakteristiği, södürme badıda ise sıfır gelik kazacı (4.4) ola bir süzgeçtir. Aktarım işlevi H d (e jω ) ( ω c < π bad geişliğide) ω c kesim frekası ve α gecikme olmak üzere şu şekildedir. H d jαω. e, ω ω jω ( e ) = (4.4), ω < ω π H ( j d e ω ) ı ters Fourier döüşümüü alıırsa süzgeci dürtü yaıtı buluur. hd c jω jω jω jαω j hd( ) = F Hd( e ) = Hd( e ) e dω =. e e ω dω π π [ ω α ] si c ( ) = π( α) π π ω ω c k (4.5) ( ) α ile simetriktir, bu sebeple ideal süzgeci pecerelemesiyle elde edilecek solu dürtü yaıtlı süzgeç doğrusal fazlı olacaktır. M uzuluklu edesel ve doğrusal fazlı solu dürtü yaıtlı h ( ) süzgecii bulabilmek içi aşağıdaki eşitliği kullaımı gereklidir. hd ( ), M M h ( ) = ve α = (4.6), diğer 7
Bu işleme pecereleme deir ve şu şekilde gösterilir. h ( ) = h( W ) ( ) (4.7) Burada W() pecere işlevi olup aşağıdaki gibi ifade edilir. d α ' ya göre simetrik foksiyo M W( ) = (4.8), diğer Farklı özelliklere sahip ola bir süzgeç tasarlamak içi değişik W() pecereleme işlevleri kullaılmalıdır. Aşağıda dikdörtge pecere pecere işlevie örek görülmektedir., M W( ) = = RM ( ) (4.9), diğer H(e jω ) edesel solu dürtü yaıtlı süzgeç yaıtı, H d (e jω ) ve W(e jω ) pecere yaıtıı frekas domeide dairesel evrişimi soucu elde edilir. Bu işlem Şekil 4.3 te gösterilmektedir. Hd ( e jω ) π jω jω jω jλ j( ω λ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) π π He = H e Θ We = We He dλ (4.3) -π -ω c ω c π ω Dalgalamalar j He ( ω ) Geçiş bad geişliği j We ( ω ) Maksimum ya lob yüksekliği ω Dairesel evrişim -π -ω c ω c π öüdürme badı miimum zayıflması Aa lob geişliği Şekil 4.3 Frekas domeide pecereleme () W() pecere işlevi sıırlı M uzuluğua sahip olduğuda, frekas domei ifadesi tepe yapa aa loba ve daha küçük yükseklikli ya loblara sahip olur. () Aa lob, H(e jω ) daki geçirme bad geişliğii ortaya çıkmasıı sağlar. Aa lobu büyük olması ile geçirme bad geişliği de büyük olur. (3) Ya loblar geçirme ve södürme badıda birbirie bezer biçimleri ola dalgalamalar (ripples) ortaya çıkmasıa sebep olur. 8
ecereleme yötemide farklı özellikleri ola çeşitli pecereler kullaılabilir: Dikdörtge pecere, Bartlett (üçge) peceresi, Haig peceresi, Hammig peceresi, Blackma peceresi ve Kaiser peceresi gibi. Aşağıdaki tabloda bazı pecere işlevlerii özellikleri verilmektedir. Tablo 4. Bazı pecere işlevlevlerii karakteristiklerii özeti ecere adı W Geçiş geişliği Miimum södürme Yaklaşık değerler Tam değerler badı zayıflatması Dikdörtge 4π / M.8π / M db Bartlett 8π / M 6.π / M 5 db Haig 8π / M 6.π / M 44 db Hammig 8π / M 6.6π / M 53 db Blackma π / M π / M 74 db Bu pecere işlevlerii MATLAB yardımıyla oluşturmak içi gerekli kodlar: M oktalı dikdörtge pecere işlevi üretmek içi; boxcar(m), diğer pecereleme foksiyoları kullaımı: Bartlett triag(m), Haig haig(m), Hammig hammig(m), Blackma blackma(m) ve beta değerli M oktalı dikdörtge kaiser(m, beta) MATLAB pecereleme işlevleri kullaılarak pecereleme yötemi ile solu uzuluklu dürtü yaıtı ola süzgeçler tasarlaabilir. olu uzuluklu dürtü yaıtlı süzgeç tasarlaırke ideal alçak geçire birim dürtü yaıtlı h ( ) kullaılacağı içi hd ( ) ifadesii de elde edilmesi gerekir. Aşağıdaki kod ile hd d ( ) elde edilebilir. fuctio hd = ideal_lp(wc, M); % Ideal alçak geçire süzgeç hesaplaması %------------------------------------------------ % [hd] = ideal_lp(wc, M) % hd = ile M- arasıdaki ideal birim dürtü yaıtı % wc = radya ciside kesim frekası % M = ideal süzgeci uzuluğu alpha = (M-) / ; = [ : : (M-)]; m = - alpha + eps; % sıfıra bölme hatasıı ölemek içi e küçük sayıyı ekler hd = si(wc*m)./ (pi*m); MATLAB te pecere işlevi ile solu dürtü yaıtlı süzgeç tasarlaya fir adlı komut vardır. Ayrıca, sayısal süzgeçleri frekas bölgesideki gelik ve faz yaıtlarıı göstere freqz komutu da vardır. Aşağıda freqz komutu kullaılarak freqz_m adlı foksiyo elde edilmektedir. Bu foksiyo (bağıl db ölçeği ile) mutlak ölçekte gelik yaıtıı hesaplar. 9
fuctio [db, mag, w] = freqz_m(b, a); % freqz komutuu değiştirilmiş hali ---------- % [db, mag, w] = freqz_m(b, a); % db = pi radya arasıda hesaplamış db ciside bağıl gelik % mag = pi radya arasıda hesaplamış mutlak gelik % w = pi radya arasıda 5 frekas öreği % b = H(z) i pay poliomu (FIR ici b = h) % a = H(z) i payda poliomu (FIR ici a = []) % [H,W] = FREQZ(B,A,N,'whole') %Matlab help: uses N poits aroud the whole uit circle.----- [H,w] = freqz(b, a,, 'whole'); H = (H(::5))'; w = (w(::5))'; mag = abs(h); db = *log((mag+eps)/max(mag)); Örek 4.: Aşağıdaki özellikleri sağlaya uygu bir pecere işlevi seçerek alçak geçire bir süzgeç tasarlayıız. Bu süzgeci zama domeideki birim dürtü yaıtıı ve frekas yaıtıı (gelik ve faz yaıtı olmak üzere) çizdiriiz. ω p =. π, R p =.5 db ω s =.3 π, A s = 5 db Çözüm Hammig ve Blackma pecereleri södürme badıda 5 db de daha fazla zayıflatma sağlar. Daha küçük geçiş badı ve dolayısıyla daha küçük dereceye sahip ola hammig peceresii seçebiliriz. R p =.5 db geçirme badı dalgalama değerii kullamamamıza rağme tasarladığımız süzgeci aa dalgalama değeri kotrol edilmelidir. Böylece isteile tolerası da sağladığı doğrulaır. Tasarım adımları aşağıdaki MATLAB koduda görülebilir. wp =.*pi; ws =.3*pi;tr_width = ws - wp; M = ceil(6.6*pi / tr_width) + %tabloyu kullaarak olması gereke süzgeç derecesi buluur. = [ : : M-];wc = ( ws+wp ) / % ideal alçak gecire süzgeç kesim frekası hd = ideal_lp(wc, M); % ideal alçak geçire süzgeç w_ham = (hammig(m))'; %hammig peceresi h = hd.* w_ham;[db,mag,w] = freqz_m(h,[]); %FIR süzgeç tasarladığımız içi [] katsayısıı %kullaırız delta_w = * pi / ;Rp = -(mi(db(::wp/delta_w+))) % aa iletim badı dalgalaması Rp = (max(db(::wp/delta_w+))) As = -roud(max(db(ws/delta_w+::5))) % mi durdurma badı zayıflatması subplot(3,,); stem(,hd); title('ideal birim dürtü yaıtı') axis([ M- -..3]); xlabel('');ylabel('hd()') subplot(3,,);stem(,w_ham); title('hammig peceresi') axis([ M-.]); xlabel(''); ylabel('w()') subplot(3,,3); stem(,h); title('tasarlaa süzgeci birim dürtü yaıtı') axis([ M- -..3]); xlabel(''); ylabel('h()') figure, freqz(h,[]) title('tasarlaa alçak geçire süzgeci gelik ve faz yaıtı')
üzgeç tasarımıda M = 67 değeri kullaılır, dolayısıyla süzgeci derecesi 67 dir. ağlaa södürme badı zayıflatması 5 db, geçirme badı dalgalaması ise.394 db dir. Aşağıdaki şekilde zama ve frekas bölgesideki süzgeç karakteristikleri verilmektedir. hd() w() h() İdeal birim dürtü yaıtı.. -. 3 4 5 6 hammig peceresi.5 3 4 5 6 Tasarlaa süzgeci birim dürtü yaıtı.. -. 3 4 5 6 Şekil 4.3 Örek 4. ideal süzgeç souçları 5 Tasarlaa alçak geçire süzgeci gelik ve faz yaıtı Magitude (db) -5 - -5...3.4.5.6.7.8.9 Normalized Frequecy ( π rad/sample) hase (degrees) -5 - -5 -...3.4.5.6.7.8.9 Normalized Frequecy ( π rad/sample) Şekil 4.4 Örek 4. gelik ve faz yaıtı fir MATLAB komutu ile sayısal süzgeç tasarlaması fir MATLAB komutu, pecere işlevi kullaım yötemi ile doğrusal fazlı sayısal süzgeç tasarımıı sağlar. Bu komut ile alçak geçire, yüksek geçire, bad geçire ve bad södüre süzgeç tasarlaabilir. E basit halide süzgeci geçirme badıı merkez frekasıdaki gelik yaıtı db dir.
Komutu kullaım örekleri: b = fir(, ω ); -ici derecede alçak geçire solu dürtü yaıtlı süzgeci + adet katsayısıı dödürür. fir komutu bu örekte Hammig peceresi kullaır ve π arasıda değerler ala ω kesim frekasıa sahiptir. b = fir(, ω ); komutudaki ω iki elemalı bir vektör ise, fir komutu ω < ω < ω arası geçirme badı ola bad geçire süzgeç katsayılarıı dödürür. b = fir(, ω, ftype ); komutu süzgeç tipii taımlar: - high ; kesim frekası ω ola yüksek geçire süzgeç içi - stop ; bad södüre süzgeç içi (ω = [ω, ω ] ise bad södürme frekas aralığıdır). b = fir(, ω, widow); komutu istee pecere foksiyouu kullaarak alçak geçire süzgeç katsayılarıı dödürür. b = fir(, ω, ftype, widow); komutu istee pecere foksiyouu ve süzgeç türüü kabul eder. Örek 4. 48. derece solu dürtü yaıtlı.35 < ω <.65 frekasları arasıda geçirme badıa sahip ola bir süzgeç tasarlayıız. Çözüm b = fir(48,[.35.65]); freqz(b,,5) 5 Magitude (db) -5 -...3.4.5.6.7.8.9 Normalized Frequecy ( π rad/sample) 5 hase (degrees) -5 - -5 -...3.4.5.6.7.8.9 Normalized Frequecy ( π rad/sample) Şekil 4.5 Örek 4. gelik ve faz yaıtı
osuz Dürtü Yaıtlı üzgeçler (IIR) Dürtü yaıtı sosuz uzuluklu olarak taımlaa sayısal süzgeçlere IIR (Ifiite Impulse Respose) süzgeçler deir. Bir IIR süzgeç { h( ) } = dürtü yaıtı, fark deklemi veya aktarım işlevi ile taımlaır. IIR süzgeç aktarım işlevi aşağıdaki şekilde yazılır. a + a z + a z +... + a z H( z) = M M N + bz + bz +... + bn z (4.3) Burada M N olup b i, i =,,... N katsayıları sıfırda farklıdır. Tasarımı amacı a i ve b i katsayılarıı buluması ve H(z) i isteile özellikleri sağlamasıdır. osuz dürtü yaıtlı sayısal süzgeç tasarımı içi iki geel yaklaşım mevcuttur. E çok kullaıla yötemde, başlagıçta aalog bir örek IIR süzgeç tasarlaır, daha sora eşdeğer bir sayısal süzgeç aalog süzgeçte elde edilir. Bu yötem IIR süzgeç tasarımı yapmak içi basit bir yaklaşımdır. İkici yötemde ise, doğrusal veya doğrusal olmaya bir deklem takımıı çözümü içi bilgisayar kullaımı gerektire algoritmik tasarım süreci ile süzgeç tasarlaır. İkici yötem hiçbir aalog süzgeç öreğii mevcut olmadığı durumda keyfi bir frekas yaıtı karakteristiği ola sayısal süzgeçleri tasarımıda kullaılır. Deeyde ilk yaklaşım (aalog prototip süzgeç) ile IIR süzgeç tasarımı yapılacaktır. IIR süzgeç tasarım adımları ) Aalog alçak geçire süzgeç tasarımı ) ayısal alçak geçire süzgeç elde etmek içi s z ile süzgeç döüşümü uygulaması 3) ayısal alçak geçire süzgeçte diğer sayısal süzgeçleri elde edilmesi içi frekas-badı döüşümlerii uygulaması IIR süzgeç tasarımıda FIR süzgeç tasarımıa göre daha düşük dereceli süzgeçler kullaarak frekas yaıtıa yaklaşılır. IIR süzgeç frekas yaıtı geçiş badı daha dardır. IIR süzgeçler FIR süzgeçler gibi doğrusal fazlı tasarlaamazlar. IIR süzgeçleri sıfırı (zero) olduğu kadar kutbu (pole) da mevcuttur. Öcelikle aalog süzgeç ve gelik yaıtı karesi özelliklerii iceleyelim. Aalog süzgeci frekas yaıtıı H j) ile gösterelim. Gelik yaıtıı karesi üzerideki alçak geçire a ( süzgeç özellikleri aşağıdaki eşitlikte görülmektedir. H a( j ), + ε (4.3) Ha( j), s A ε geçirme badı dalgalamasıdır. geçirme badı kesim frekasıdır (rad/s). A södürme badı zayıflaması ve södürme badı kesim frekasıdır (rad/s). Aalog alçak geçire süzgeci gelik yaıtıı karesi şekil 4.6 da gösterilmiştir. 3-dB kesim frekasıı gösterir. Şekil 4.6 sayısal alçak geçire süzgeç uygulaması, ω ) ile yer değiştirir. içi düzeleirse, aalog frekaslar frekaslar ( ω, ω ve ve ω, ω ve ormalize edilmiş sayısal ω birimleri radya olup ile 3
π arasıda değerler alırlar. ayısal alçak geçire süzgeci frekas yaıtıı geliği şekil 4.7 de görülmektedir. δ geçirme badı maksimum dalgalamasıı ve δ ise södürme badı zayıflatmasıı göstermektedir. Şekil 4.6 Aalog süzgeç gelik yaıtıı karesi Şekil 4.7 ayısal süzgeci gelik yaıtı ε ve A parametreleri sırasıyla db ciside ola R (geçirme badı dalgalaması) ve A (södürme badı zayıflatması) parametreleriyle aşağıdaki gibi ilişkilidir. R / R = log ε = + ε (4.33) A / As = log A = A He ( jω ) ı maksimum geçirme badı geliği e ormalize edilirse (4.33) eşitliğideki δ ve δ parametreleri A ve ε ile ilişkiledirebilir. δ δ = ε = + δ + ε δ δ + δ = A= + δ A δ H () a s s domei sistem foksiyou şu şekilde gösterilir. 4
Ha( j ) = Ha( s ) (4.34) s= j Burada elde edilir. H ( s) H ( s) = H ( j ) (4.35) a a a = s / j Gelik yaıtı işlevii karesii sıfır ve kutupları, j ekseie simetrik olacak şekilde yerleşirler. H () s H ( s) i sıfır-kutup diyagramıda aalog süzgeci sistem a a foksiyou H () a s çıkarılır. Ha () s kararlı ve edesel bir süzgeçtir. Böylece H () a s kutupları Ha() s Ha( s) ı bütü sol yarı düzlemdeki kutuplarıda oluşur. H () a s i sıfırları s düzlemide herhagi bir yerde olabilir. Aalog rototip (ilk örek) üzgeç Tasarımı Bu yötem ile IIR sayısal süzgeç tasarlamak içi örek bir aalog süzgeç kullaılacağıda alçak geçire örek aalog süzgeci asıl tasarlaacağıı bilimesi gereklidir. Frekas döüşümleri kullaılarak alçak geçire örek bir aalog süzgeç, yüksek geçire, bad geçire veya bad södüre süzgece döüştürülebilir. MATLAB te 4 adet aalog ilk örek (prototip) süzgeç vardır. Bular Butterworth, heybshev tip, hebyshev tip ve eliptik süzgeçleridir. Butterworth süzgeçler maksimum düz geçirme badı ve södürme badıa sahip olup, hebyshev tip süzgeci geçirme badıda, hebyshev tip süzgeci södürme badıda ve eliptik süzgeçte ise her iki bada da dalgalama vardır. Butterworth Aalog Örek üzgeç Bu süzgeç gelik yaıtıı hem geçirme badı hem de södürme badıda düz olmasıyla iteleir. N. derecede alçak geçire Butterworth süzgeç gelik yaıtıı karesi şu şekildedir. N süzgeci derecesii ve Ha ( j ) = (4.36) N + de rad/s ciside süzgeç kesim frekasıı gösterir. Aalog alçak geçire Butterworth süzgeci gelik yaıtıı karesi aşağıdaki şekilde görülmektedir. N artıyor N artıyor Şekil 4.8 Butterworth süzgeci gelik cevabıı karesi 5
Bu şekilde şu özellikler çıkarılır: = da ( ) Ha j = ve = de Ha( j ) = dir. Ha ( j ) arta ye bağlı H ( ) a j N içi ideal alçak geçire süzgece olarak mooto azala bir işlevdir. yaklaşır. H ( ) a j = da maksimum düzdür. üzgeç derecesi N arttıkça geçiş badı daralır ve geçirme badıda södürme badıa hızlı değişir. H () a s sistem işlevii elde etmek içi (4.36) eşitliği (4.35) eşitliğideki biçime döüştürülür ve H () s H ( s) = a a N s + j (4.37) buluur. Ha() s Ha( s) N tae kutbu yarıçaplı birim daire üzeride eşit uzaklıklarda, π/n radya açısal aralıklarla dizilir. (4.38) eşitliğide H () s H ( s) kutupları görülmektedir. Bütü kutuplar j ekseie göre simetrik yerleştirilmiştir. Kararlı ve edesel süzgeç H () a s, Ha() s Ha( s) i sol yarı düzlemdeki N tae kutbu seçilerek oluşturulur. π ( + + ) j k N N p = e k =,,...,N H () a s süzgeci aşağıdaki eşitlik ile ifade edilir. k a a H () s = a ol kutuplar N ( s p ) k (4.38) Geçirme badı sıırı, södürme badı sıırı, geçirme badı dalgalaması R (db) ve södürme badı zayıflaması (db) verile bir Butterworth süzgeci tasarım adımları. ) üzgeç derecesi N elde edilir. A R / / log [( A ) /( )] N = log ( / ) N değerii tamsayı olması gerektiği içi souç yukarı yuvarlaır. ) 3-dB kesim frekası içi isteile aralıkta bir değer seçilir. = de = N Rp / ( ) ikisi arasıda bir değer almalıdır. = de = N A / ( ) 3) Bulua N ve ile Butterworth süzgeci aktarım işlevi H () s, kullaılarak elde edilir. s düzlemii sol tarafıdaki kutuplarıda edilir. a H ( ) a j H () a s elde 6
[Z,, K]=buttap(N) buttap(n) işlevi N. derecede Butterworth aalog örek süzgeci sıfırlarıı (Z), kutuplarıı () ve K kazaç değerii hesaplar. ouçta elde edile süzgeci birim çemberi sol yarı düzlemide N tae kutbu olup, sıfırı yoktur ve K kazaç değeri de dir. [b,a] = zptf(z,p,k) komutu sıfır-kutup değerlerii aktarım işlevie döüştürür. b ve a pay ve paydadaki aktarım işlevi katsayılardır. Butterworth üzgecide b değeri dir. Örek 4.3 N = 4. derecede Butterworth aalog süzgeci gelik yaıtıı çizdiriiz ( = ). Çözüm Freqs foksiyou s-domeide frekas yaıtıı verir ve otomatik olarak tae ω rad/s frekası seçip, frekas yaıtıı hesaplar. [z,p,k]=buttap(4);%4. derecede Butterworth süzgeci sıfır (Z), kutup () ve kaz (K) [b,a]=zptf(z,p,k);%b, a filtre katsayı dizileri elde edilir [H,w]=freqs(b,a); % s domei trasfer foksiyou, elde edilir. H otomatik w değeri içi hesaplaır. plot(w, abs(h)); ylabel('gelik'); xlabel('frekas (rad/s)'); Gelik.9.8.7.6.5.4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 Frekas (rad/s) Şekil 4.9 Örek 4.3 süzgeç gelik yaıtı [N, W] = buttord(ωp, ωs, Rp, Rs) buttord komutu geçirme badıda Rp db de az ve södürme badıda Rs db de fazla kadar zayıflatma yapa e düşük sayısal butterworth süzgeci derecesii verir. ωp ve ωs değeri ile arasıda ola ormalize edilmiş geçirme ve södürme badlarıı sıır frekas değerleridir. Burada değeri π radia örek soucua karşılık gelmektedir. [N, W] = buttord(ωp, ωs, Rp, Rs, 's') komutu Wp ve Ws [radya/saiye] birimide olmak üzere, aalog bir süzgeç içi hesaplama yapar. [b, a] = butter(n, W,,'s') komutu N. derece alçak geçire W [rad/s] açısal kesim frekaslı bir aalog Butterworth süzgeç tasarlar. W=[ωl ωu] ise butter komutu. derece bad geçire ve geçirme badı ωl ωu sıır frekasları ola süzgeç tasarlar. Bezer şekilde cheby, cheby ve ellip komutları da vardır. [b, a] = butter(, W) butter komutu ile (.<W<.) kesim frekaslı N. derecede N+ uzuluklu sayısal Butterworth süzgeç katsayıları elde edilir. Örek 4.4 Hz kesim frekaslı 3. derecede bir Butterworth aalog süzgeç tasarlayıız. 7
Çözüm.9 [b,a]=butter(3,*pi*,'s'); [H,w]=freqs(b,a); plot(w/(*pi),abs(h)); xlabel('frekas [Hz]'); ylabel('gelik'); Gelik.8.7.6.5.4 Aalog - ayısal üzgeç Döüşümleri.3.. 4 6 8 4 6 Frekas [Hz] Şekil 4. Örek 4.4 süzgeç gelik yaıtı İlk olarak uygu bir örek aalog süzgeç üretilir ve daha sora sayısal döüşüm yapılarak sayısal süzgeç elde edilir. Bu döüşüm geellikle s ve z düzlemidedir. İdeal döüşümü özellikleri: ) Kararlı ve edesel bir aalog süzgeci kararlı ve edesel sayısal bir süzgece döüştürme ) Aalog süzgeci gelik ve faz yaıtı karakteristiklerii koruması. özelliği sağlaması içi sol yarı s düzlemi z düzlemide birim çemberi içie, sağ yarı s düzlemi de z düzlemide birim çember dışıa aktarılmalıdır.. özellik sağlaırke aalog süzgeci frekas yaıtı karakteristiklerii korumak içi j ekseii birebir (oe to oe) birim çembere, z = döüştürmelidir IIR sayısal süzgeçler, aalog süzgeç yaklaşıklarıda aşağıdaki yötemler ile elde edilebilir. ) Değişmez-dürtü yaıtı yötemi ). yötemi değiştirilmiş hali 3) Uygulaştırılmış-z döüşümü 4) Bilieer döüşüm Bilieer döüşüm Değişmez dürtü yaıtı yötemide ortaya çıka frekas yaıtı örtüşmesii ölemek içi s düzlemide z düzlemie birebir bir döüşüme ihtiyaç duyulur. Bu problemi ' çözebilmek içi öce s s birebir döüşümü kullaılır. Daha sora, örtüşme etkisi ' olmada s düzlemide z düzlemie döüşüm gerçekleştirilir. s düzlemide z düzlemie ola bu geçiş şu şekildedir. z + st / z T + z st / s = = (4.39) Bilieer döüşüm yardımıyla aalog süzgeç trasfer foksiyouda H () a s sayısal süzgeci tasarlaabilir. Öce örek bir aalog süzgeç tasarlaır ve bilieer döüşüm z H( z) = Ha T z + uygulaarak sayısal süzgeç elde edilir. 8
Bilieer Döüşümü Özellikleri ) ağ-yarı s-düzlem bölgesi, z düzlemide z = birim dairesi dışıdaki oktalara karşı düşer. ) s-düzlemide j eksei üzerideki oktalar z-düzlemide z = birim dairesi üzerie karşı düşer. 3) ol-yarı s düzlem bölgesi z düzlemide z = birim dairesi içideki oktalara karşı düşer. Kararlı bir aalog süzgeci edeselliği koruurke kararlı bir sayısal süzgeç aktarım işlevi vereceği görülmektedir. Dürtü yaıtıı koruamaması bilieer döüşümü bir dezavatajıdır. j eksei ile birim çember arasıdaki ilişki doğrusal değildir. Aalog frekas doğrusal olmaya sayısal frekas ω (-π, π ) ekseie sıkıştırılmıştır. ile ω arasıdaki doğrusal olmaya ilişkiyi elde edebiliriz. jω e s = = jta( ω / ) j jω = ifadesi ile T + e T = ta( ω / ) (4.4) T (4.4) eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte düşük frekaslar içi sayısal süzgeci gelik yaıtı yaklaşık olarak aalog süzgeci gelik yaıtıyla ayı olup geçiş yaklaşık doğrusal olur. Yüksek frekaslarda geçiş doğrusal olmayıp sayısal süzgeçte frekasa bağlı bozulma olur. Bu bozulmaya sarma (wrappig) etkisi deir. arma etkisi aalog süzgece ösarma yapılarak giderilir. Öreği geçirme ve södürme bad sıırları ω ve ω ola sayısal süzgeç tasarımı içi bu değerlere aşağıdaki gibi bir ösarma uygulaır. Buradaki amaç elde edilmek istee sayısal frekasları verecek ve aalog kesim frekaslarıı bulmaktır. ω = ta T Tasarım üreci: ayısal süzgeci ω, ω, R ve H(z) trasfer foksiyouu elde etmek istiyoruz. ) T içi bir değer seçilir. ) ω ve ve 3), ω ta = T (4.4) A parametreleri verildiği durumda ω kesim frekasları ösarmalaır, daha sora (4.4) eşitliğii kullaılarak hesaplaır., R ve A özellikleri ola H a (s) aalog örek süzgeç tasarlaır. z 4) H( z) = Ha T z bileeer döüşümü uygulaır ve sayısal süzgeci trasfer + foksiyou H(z) elde edilir. Örek 4.5 Aşağıdaki verile özelliklere göre bir sayısal alçak geçire Butterworth süzgeç tasarlayıp gelik yaıtıı çizdiriiz. ω =.π R = db ω =.3π A = 5 db 9
Çözüm wp=.*pi;ws=.3*pi; Rp=;As=5;T=;Fs=/T; Omega=(/T)*ta(wp/); Omega=(/T)*ta(ws/); [N,W]=buttord(Omega, Omega,, 5, 's'); [z,p,k]=buttap(n); [b,a]=zptf(z,p,k); [bt, at]=biliear(b,a,fs); [H,w]=freqz(bt, at); subplot(); plot(w/pi, abs(h));xlabel('frekas [pi]');ylabel('gelik'); subplot(); plot(w/pi, agle(h));xlabel('frekas [pi]');ylabel('evre');.4 4. 3 Gelik.8.6.4. Evre - - -3.5 Frekas [pi] -4.5 Frekas [pi] Şekil 4. Örek 4.5 süzgeç gelik ve faz yaıtı Örek 4.6 [b,a]=butter(n, w) komutu ile N. derece alçak geçire sayısal butterworth süzgeci tasarlaabilir. w [π] kesim frekası ösarmalama ile elde edilir. wp=.*pi; ws=.3*pi; Rp=; As=5; T=; Fs=/T; Omega=(/T)*ta(wp/); Omega=(/T)*ta(ws/); N=ceil((log((^(Rp/)- )/(^(As/)- )))/(*log(omega/omega))); Omega=Omega/((^(Rp/)- )^(/(*N))); w=*ata((omega*t)/); [b,a]=butter(n,w/pi); [H,W]=freqz(b,a); plot(w/pi, abs(h));.4..8.6.4....3.4.5.6.7.8.9 Şekil 4. Örek 4.6 süzgeç gelik yaıtı
Örek 4.7 Normalize geçirme badı sıırları.45 ve.65, ormalize södürme badı sıırları.3 ve.75, geçirme badı dalgalaması db ve miimum södürme badı zayıflaması 4 db ola IIR butterworth bad geçire süzgeç tasarlayıız. Çözüm Wp=[.45.65];Ws=[.3.75]; Rp=; As=4; [N,W]=buttord(Wp, Ws, Rp, As); [b,a]=butter(n,w);[h,omega]=freqz(b, a, 56); gai=*log(abs(h)); subplot(); plot(omega/pi,gai); xlabel('omega/pi'); ylabel('kazaç'); subplot(); plot(omega/pi,abs(h)); xlabel('omega/pi'); ylabel('gelik'); 5.4 Kazaç -5 - -5 - -5-3 Gelik..8.6.4. -35.5 omega/pi.5 omega/pi Ödev Şekil 4.3 Örek 4.7 süzgeç gelik yaıtı. 4 Hz ile 6 Hz södürme badıda e az 5dB zayıflatma yapa, ω<= ve ω>=9 içi geçirme badı dalgalaması (R p ) e fazla 3dB ola aalog bir bad södüre süzgeç tasarlayıız.. Aşağıda verile özelliklere göre bad geçire sayısal bir süzgeç tasarlayarak birim dürtü yaıtıı ve frekas yaıtıı (gelik ve faz yaıtları olarak) çizdiriiz. Alt södürme köşesi: w s =. π, As = 6 db Alt geçirme köşesi: w p =.35 π, Rp = db Üst geçirme köşesi: w p =.65 π, As = db Üst södürme köşesi: w s =.8 π, Rp = 6 db Not: Bu süzgeci tasarımıda iki geçirme badı vardır, süzgeci derecesii bulmak içi bularda küçük olaı seçilir. Ayrıca, bad geçire süzgeç kesim frekasları iki ayrı alçak geçire süzgeci farkı olarak ifade edilebilir. 3. Geçirme badı kesim frekası. π, södürme badı kesim frekası.3π, geçirme badı dalgalaması R 7dB ve södürme badı zayıflatması As 6dB ola alçak geçire aalog bir butterworth süzgeç tasarlayıp frekas yaıtıı çizdiriiz. 4. Aşağıdaki özelliklere sahip sayısal alçak geçire Butterworth süzgeç tasarlayıp gelik yaıtıı çizdiriiz. ω =.4 π R =.5 db ω =.6 π A = 5 db