Kontrol Sistemleri Tasarımı

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kontrol Sistemleri Tasarımı"

Levent Mumcu
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Kotrol Sistemleri Tasarımı Frekas Yaıtı Prof. Dr. Bület E. Plati 3 Ağustos 0 Eylül 06

2 Taım Kararlı bir sistemi siüs girdisie sürekli rejim yaıtı Bu taımda 3 temel boyut bulumaktadır:. Kararlı bir sistem X(s). Siüs girdisi Girdi 3. Sürekli rejim Sistem Y(s) Çıktı Doğrusal, sabit katsayılı ve kararlı sistemleri siüs girdisie yaıtı sürekli rejimde girdi ile ayı frekaslı acak farklı gelik ve fazlı bir başka siüs olacaktır. x(t) = X siωt y(t) = Y si(ωt + Φ) Burada Y = Y(ω) ve Φ = Φ(ω) olup, trasfer foksiyou G(s) ola bir sistem içi çıktı geliği: Y = G(jω) X faz açısı: Φ(ω) = Arg[G(jω)] girdi frekası ω ı birer foksiyou olarak buluur. gelik oraı: M(ω) = Y/X = G(jω) Buradaki karmaşık frekas yaıtı G(jω) aşağıdaki gibi elde edilir. G(jω) = G(s) s=jω = G(jω) e jφ(ω) 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı /5

3 Taım Kararlı bir sistemi siüs girdisie sürekli rejim yaıtı Bu taımda 3 temel boyut bulumaktadır:. Kararlı bir sistem. Siüs girdisi 3. Sürekli rejim X(s) Girdi Sistem Y(s) Çıktı Doğrusal, sabit katsayılı ve kararlı sistemleri siüs girdisie yaıtı sürekli rejimde girdi ile ayı frekaslı acak farklı gelik ve fazlı bir başka siüs olacaktır. x(t) = X siωt y(t) = Y si(ωt + Φ) Faz Gecikmesi (Φ < 0) Faz İlerlemesi (Φ > 0) 0. 8 girdi 0. 8 girdi çıktı çıktı Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı /5

4 Yei Taım M(ω) ve Φ(ω) ı çeşitli girdi frekası ω içi buluması Trasfer Foksiyouu Pay ve Payda Çokterimlilerii Kullaılması: N(jω) ve D(jω) karmaşık çokterimlileri gerçek ve saal kısımlarıa ayrılmışşekilde yazılırsa N(jω) = N g (jω) + jn s (jω) ve D(jω) = D g (jω) + jd s (jω) Gelik oraı: Faz açısı: N(s) D(s) s=jω ( ) ( jω) ( ) ( jω) ( jω) + Ns ( jω) ( jω) + D ( jω) Φ(jω) = Arg[G(jω)] = Arg[N(jω)/D(jω)] = Arg[N(jω)] Arg[D(jω)] Φ(jω) = Arg[N g (jω)+jn s (jω)] Arg[D g (jω)+jd s (jω)] N ( ) ( jω) N jω G ( jω) = D ( jω) + Ns ( jω) ( jω) + D ( jω) M N jω N jω g Ng ( ω) = G( jω) = = = = D D D D g s g s 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 3/5

5 Burada Kutup-Sıfır Yapısı ve Frekas Yaıtı Trasfer foksiyou G(s) K m k = = i= (s - z Z k ψ k ve P i θ i z k sıfırıda ve p i kutubuda s = jω oktasıa çizile jω z k ve jω p i karmaşık vektörlerii gelik ve açılarıı göstermektedir. Dolayısıyla, herhagi bir ω değeri içi G(jω) ı geliği K kazacı ve bu vektörleri Z k ve P i gelikleri tarafıda, açısı da bu vektörleri ψ k ve θ i açıları tarafıda belirlemektedir. i k (s -p ) ) Karmaşık frekas foksiyou m K Zk m k= G(jω) = ψk θ k= i= Pi i= х s=p i s-düzlemi jω p i θ i jω z k ψk i o s=z k 0 Im s=jω Re 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 4/5

6 İki grafikte oluşmaktadır:. 0log G(jω) vs logω. Arg[G(jω)] vs logω 0log G(jω) ı birimi desibel [db] dir. logω içi 0 u ve /0 u tamsayı katları (oluk, İg. decade) kullaılır. Her iki grafik içi ortak frekas eksei kullaılır. Bode Diyagramı Ekselerde log kullaımıı edei vardır:. Birbirie göre farklı mertebedeki değerler ayı grafikte görülebilir.. Faktörleri geliklerii grafiksel olarak toplamak mümküdür. Her trasfer foksiyou 4 aa faktör türüde yazılabilir: Kazaç, adet - payda. mertebe (çoklu - payda ve/veya paydada) Serbest s, adet - payda/paydada. mertebe (çoklu - payda ve/veya paydada) 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 5/5

7 G(jω) = K Sabit Kazaç K K 0log G(jω) = 0log K & Arg[G(jω)] = 0º ya da ±80º K > K < K > 0 K < 0 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 6/5

8 Eğer G(jω) = /jω = j(/ω) 0logM(ω) = 0logω Φ(ω) = 90 s 0logM(ω) = 0logω Φ(ω) = 90 İtegral Faktör s eğim = 0 db/oluk 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 7/5

9 Türevsel Faktör s G(jω) = jω 0logM(ω) = +0logω Φ(ω) = +90 eğim=+0 db/oluk Eğer s 0logM(ω) = +0logω Φ(ω) = +90 Grafikler, itegral faktör grafiklerii 0 db ve 0º ye göre simetriğidir. 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 8/5

10 ( ) G jω = + jω T. Mertebe Payda Faktörü Ts + Eğer ( ω) = 0log ω T 0logM + Φ(ω) = ta (Ts + ) ( ωt) ( ω) = 0log ω T 0logM + Φ(ω) = ta ( ωt) 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 9/5

11 . Mertebe Payda Faktörü Kırık çizgi yaklaşımı: Alçak frekaslarda (ω << /T) 0logM(ω) 0 db Φ(ω) 0º Yüksek frekaslarda (ω >> /T) 0logM(ω) 0log(ωT) 0(logω + logt) Φ(ω) 90º Köşe frekasıda (ω c = /T) 5.7º 0logM(ω) = 3.0 db maks hata Φ(ω) = 45º Maks açı hatası 5.7º (ω = /0T ve 0/T de) Ts + eğim = 0 db/oluk 3 db maks eğim = 66 º/oluk eğim = 45 º/oluk 5.9º 5.9º 5.7º 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 0/5

12 . Mertebe Pay Faktörü ( jω) = jω T G + Ts + Eğer ( ω) = + 0log ω T 0logM + Φ(ω) = + ta (Ts + ) ( ωt) ( ω) = + 0log ω T 0logM + Φ(ω) = + ta ( ωt) Grafikler, itegral faktör grafiklerii 0 db ve göre 0º ye göre simetriğidir. Payda faktörüe bezer kırık çizgi yaklaşımı kullaılır. 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı /5

13 ( jω) G = Burada = Ω ω/ω = ωt ( Ω ) + j( ζω) frekas oraı dır. ( ) 0logMΩ 0log = ( Ω ). Mertebe Payda Faktörü ω = s + ζω s + ω T s + (ζω) Faz Phase [derece] (deg) Magitude Gelik [db] (db) Bode Bode Diyagramı Diagram ζts + ζ data 0.0 data 0.05 data3 0. data4 0. data5 0.5 data6 0.7 data7.0 Φ(Ω) = Arg[( Ω )+jζω] 3 Ağustos 0 Eylül Frequecy Frekas Ratio Oraı, (rad/sec) Ω Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı /5

14 3 Ağustos 0 Eylül 06. Mertebe Payda Faktörü ω = Kırık çizgi yaklaşımı: s + ζω s + ω T s Alçak frekaslarda (Ω << ) 0logM(Ω) 0 db Φ(Ω) 0º Yüksek frekaslarda (Ω >> ) 0logM(Ω) 0log(Ω ) 40logΩ Φ(Ω) 80º Köşe frekasıda (Ω = ) M(Ω) = /ζ maks hata Φ(Ω) = 90º Maks açı hatası.4º (Ω = 0 ζ ve 0 +ζ da) Faz [derece] Gelik [db] 0log(/ζ) + ζts + eğim = 40 db/oluk.4º maks eğim = 3/ζ º/oluk 0 ζ 0 ζ Frekas Oraı, Ω eğim = 90/ζ º/oluk Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 3/5

15 Rezoas:. Mertebe Payda Faktörü Geliği tepe değerie ulaştığı yer olarak taımlaır. Bu kouma karşı gele rezoas frekasıω r, dm/dω = 0 koşulu kullaılarak Ω r = ζ rezoas içi ζ < bu frekastaki geliği tepe değeri de Mr = ζ ζ olarak buluur. ω = s + ζω s + ω T s küçük ζ içi M r /ζ 5.03 M r + ζts + ζ = 0. ζ 0 Yukarıdaki ifadeler yardımıyla M r ile Ω r arasıda aşağıdaki bağıtı buluabilir. M = 4 r Ω r Rezoas oktalarıı M r -Ω r düzlemide ζ ile değişimi yadaki şekilde gösterilmiştir ζ = 0. ζ = ζ = Ω r 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 4/5

16 Sorularıız 3 Ağustos 0 Eylül 06 Prof. Dr. Bület E. Plati Kotrol Sistemleri Tasarımı 5/5

Benzer belgeler

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s