3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı)
İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda yoğulaşa bir tahmi edicidir. İyi bir tahmi edici içi gerekli kriterler: 1. Sapmasızlık. Tutarlılık 3. Etkilik miimum varyas Sapmasızlık: Tahmi edici olarak kullaıla istatistiği beklee değeri, tahmi edilecek populasyo parametresie eşit olduğuda, tahmi edici sapmasızdır deir. Tahmi edicii beklee değeri, örek dağılımıı ortalamasıdır. Tahmi edicii örek uzayıda her bir örekte aldığı değerler ortalamasıdır. ˆ tahmi edicisii beklee değeri, parametresie eşit ise; ˆ E ˆ tahmi edicisie sapmasızdır deir. Tahmi edicii beklee değeri ile parametre arasıdaki farka sapma miktarı (b: bias)deir. ˆ b= E Örekleme dağılımı bilimede sapma miktarı elde edilemez. Sapma örekleme dışı hatalarda da oluşabilir. Öreği, yetersiz bir örekleme çerçevesii kullaılması,örek seçim sürecii yalış uygulaması, verileri toplama ve değerledirme işlemi içi hatalı olması v.b edeler sapmalı tahmilere yol açabilir. Tutarlılık: Örek geişliği verile bir sayıda daha büyük alıdığıda tahmi ile parametre arasıdaki farkı düşüülebile e küçük pozitif bir sayıda daha küçük kalma olasılığı 1 ise, o tahmi tutarlıdır deir. ˆ tahmii içi tutarlılık: lim P ˆ e1
Solu populasyo birimi içere populasyoda yapılacak tahmilerde, eğer örek geişliği populasyo geişliğie eşit olduğuda tahmi, parametre değerie eşit olduğuda o tahmi tutarlıdır deir. Bir tahmi tutarlı ise geiş örekler içi, bir beklee değere sahiptir. Tutarlı tahmiler arasıda tüm örekler içi beklee değeri parametreye eşit ola seçilecektir. Etkilik: Sapmasız ve tutarlı tahmi ediciler içide miimum varyasa sahip ola tahmi edici etkidir. Normal dağılıma sahip bir populasyou olduğuu varsayalım ve populasyo ortalamasıı tahmi etmek isteyelim. Buu içi sapmasız ve tutarlı bir tahmi edici ola örek ortalaması veya yie sapmasız ve tutarlı bir tahmi edici ola örek medyaı ~ da kullaılabiliir. Bu iki tahmi edicide hagisii tercih edileceği örek ortalaması ya da örek medyaıda hagisii örekleme dağılımı populasyo parametresi etrafıda daha yakı biçimde yoğulaşıyorsa bua göre karar verilir. Bu her iki tahmi edicii varyasları karşılaştırılarak belirleebilir ve daha küçük varyasa sahip ola tercih edilir. Tutarlı tahmi ediciler içi varyas küçüldükçe örekleme dağılımı populasyo parametresi etrafıda daha fazla yoğulaşır. Büyük hacimli örekler içi ve ~ ı varyasları aşağıdaki şekildedir: V ( ) V ~ Dolayısıyla, belirli bir örek hacmi içi, V ( ) 0.64 ( ~ V ) V () < V ~ olduğuda bir tahmi edici olarak, ~ ya tercih edilir. Belli bir örek hacmi içi, i örekleme dağılımı ~ ı örekleme dağılımıa göre X etrafıda daha yoğu olduğuda, ı ~ da daha etki olduğu söyleebilir. V () = V ~ *%64 dür. Her ikisi de ayı örek hacmie sahipke ı varyası ~ ı varyasıı %64 ü kadardır.
Örek hacimleri bakımıda durum ele alıırsa örek hacmi 100 ola öreklerde elde edile medya varyası, örek hacmi 64 ola örek ortalaması varyası ile heme heme ayıdır. Özetle, ˆ 1 ve ˆ gibi iki tahmi edici ˆ V ˆ V 1 ise 1 ˆ 1 ˆ ˆ i ˆ ye orasal etkiliği V E f olarak ifade edilebilir. Daha küçük varyaslı tahmi edicii varyası payda V buluduğuda 0 E 1 olacaktır. f Varyas belli bir alt sıırda küçük olamaz ve varyası bu alt sııra eşit bir tahmi edici buluabilirse bu varyas e küçük varyas olur. Cramer Rao eşitsizliği ile varyas içi böyle bir alt sıır değer elde edilebilir. Cramer Rao eşitsizliği ˆ i varyasıı / de küçük olamayacağıı söyler. V ( ˆ) / dir. ARALIK TAHMİNİ GÜVEN ARALIĞI Nokta tahmii içi, e çok olabilirlik metodu, e küçük kareler metodu ve mometler metodu gibi metodlar bulumaktadır. Aralık tahmii içi ise geellikle güve aralığı kavramıa başvurulur. Örekleme çalışmalarıda kullaıla aa tahmi metodu aralık tahmiidir. X (bilimeye) ortalamalı ve stadart sapmalaı büyük bir populasyoa sahip oluduğu varsayılsı. X tahmi edilmek istemekte ve bu amaç içi hacimli bir tesadüfi örek seçilmektedir. Merkezi limit teoremide X Z= ifadesi asimtotik olarak 0 ortalama ve birim varyasa sahiptir. Normal dağılım tablosuda Z=1.96 %95 lik olasılığa karşılık gelir. Bu durumda, z bir tesadüfi değişke olduğu içi geçerli bir olasılığı göstere X P(-1.96< <1.96==0.95 ifadesi yazılabilir. Bu deklem
P( 1.96 < X 1.96 )=0.95 olarak yeide yazılabilir. Burada 1.96 =a 1.96 =b olarak taımladığıda P(a< X <b)=0.95 dır ve bu şu şekilde yorumlaabiliir: Merkezi limit teoremide, ı asimtotik olarak, X ortalamalı ve / varyaslı ormal dağılıma sahip oluduğu bilimektedir. Bu, diyagram olarak aşağıdaki şekil 3.1 de gösterilmektedir. Tesadüfi değişke değişik değerler almaktadır. ı aldığı değerler,..... olarak taımlası. Öreği 1 şekil 3.1 de verile değeri alsı. Bu durumda aralık, 1 1 1.96 1 1.96 olacaktır. Grafikte da görüldüğü gibi bu aralık X yı içerecektir.
X Bezer şekilde diğer bir değer içi, ayı zamada X yı içere aralık 1.96 1.96 olacaktır. Fakat grafikte gösterildiği gibi 3 3 1.96 3 1.96 aralığıı verir ve bu aralık X yı içermez. Grafiksel olarak görüldüğü gibi 3, koşulu ile ı X 1.96 değerlerii dışıa düşer. X ı, populasyou gerçek parametresi olması X 1.96 aralığıda olma olasılığı 0.95 tir. şekil 3.1 de görüldüğü gibi aralık,
1.96, 1.96 şeklide oluşturulduğuda böyle 100 aralıkta 95 taesii X yı içermesi bekleir. Bu durum, X 1.96 ile X 1.96 arasıda kaldığı sürece geçerlidir. Bu sembolik olarak P( X 1.96 < < X 1.96 )=0.95 Şeklide gösterilebilir. Buula birlikte bu ifade, P( 1.96 X < 1.96 )=0.95 olarak yeide yazılabilir. ye sabit bir değer verilmediği ve bir tesadüfi değişke olarak dikkate alıdığı sürece, söz kousu ifade uygu bir olasılık ifadesidir. ALIŞTIRMA: N=7 hacimli aşağıdaki gibi bir populasyo olduğuu varsayalım. X 1=1, X =, X 3=3,X 4=4, X 5=5 X 6=6, X 7=7 7 Bu populasyoda = hacimli örekler seçelim. Bu durumda =1 tae mümküörek elde edilebilir ve dolayısıyla 1 örek ortalaması vardır. Buları listesi tablo 3.1 de verilmektedir.
Tablo 3.1 Örek 1.64 X 1. 64 1 1. 1.5-0.6< X <3.6 1.5 1.64( 1. 66 ) 1.3.0-0.1< X <4.1.0 1.64( 1. 66 ) 3 1.4.5 0.4< X <4.6.5 1.64(1,9) 4 1.5 3.0-0.1< X <4.1 5 1.6 3.5 1.4< X <5.6 6 1.7 4.0 1.9< X <6.1 7.3.5 0.4< X <4.6 8.4 3.0 0.9< X <5.1 9.5 3.5 1.4< X <5.6 10.6 4.0 1.6< X <6.1 11.7 4.5.4< X <6.6 1 3.4 3.5 1.4< X <5.1 13 3.5 4.0 1.9< X <6.1 14 3.6 4.5.4< X <6.6 15 3.7 5.0.9< X <7.1 16 4.5 4.5.4< X <6.6 17 4.6 5.0.9< X <7.1 18 4.7 5.5 3.4< X <7.6 19 5.6 5.5 3.4< X <7.6 0 5.7 6.0 3.9< X <8.1 1 6.7 6.5 4.4< X <8.6 X, ve hesaplaırsa X 4, 8/7 4, N N 1 4 7 7 1 5 1.666 3 1.666 1.9
z =1.64*1.9=.1 z=1.64 olarak alıdığı içi güve katsayısı %90 dır. Bu, 100 aralıkta 90 taesii gerçek populasyo ortalaması X yı içermeyeceğii beklediğii ifade eder. Burada da ilk ve so sıradaki güve aralıkları populasyo ortalamasıı kapsamaz.