OLASILIK DAĞILIŞLARI. Ek 1. Moment Türeten Fonksiyon

Transkript

1 6 OLASILIK DAĞILIŞLARI 6.. Kesikli Olasılık Dağılışları 6.. Kesikli Uıform Dağılışı 6... Beroulli Dağılışı Biom Dağılışı Hyer-Geometrik Olasılık Dağılışı ( İadesiz Örekleme ) Geometrik Dağılış Negatif Biom (Pascal) Dağılımı Poısso Dağılımı 6.. Sürekli Olasılık Dağılışları 6... Sürekli Uıform(Tekdüze) Dağılış 6... Üslü( Üstel/Negatif Üstel) Dağılış 6..3.Gamma Dağılışı Normal Dağılış 6..5.Stadart Normal Dağılış Ek. Momet Türete Foksiyo

2 6.. Kesikli Olasılık Dağılışları Bir şas değişkei belli bir taım aralığı içeriside kesikli değerler alıyorsa, kesikli şas değişkei adıı alır. Bir şas değişkei içi değişim aralığı ve hagi oktalarda asıl yoğulaştığı kousu dağılış kavramıı verir, hagi yoğulukla yerleştiği ise olasılık ile ifade edilir. Eğer, dağılışı belirleye olasılık foksiyou, kesikli bir şas değişkei içeriyor ve değişim bua bağlı ise, bu foksiyo kesikli dağılışlar arasıda yer alır. Olasılık foksiyoları geel olarak ile arasıda değerler alır. da küçük ve de büyük değerler içi olasılık foksiyou taımsızdır. ) Kesikli Uiform Dağılışı ) Beroulli Dağılışı 3) Biom Dağılışı 4) Hyer-Geometrik Dağılış 5) Geometrik Dağılış 6) Negatif Biom (Pascal) Dağılışı 7) Poisso Dağılışı 6... Kesikli Uıform Dağılışı şas değişkei,,3..., taım aralığıda kesikli değerlerii her birii sabit olasılıkla alıyorsa ( tüm olasılıkları eşit ise ), bu durumda olasılık yoğuluğu tüm oktalarda ayı olacaktır. Böyle bir şas değişkeii yoğuluk foksiyou f () /,,... dd.. şeklide ifade edilir. Bu foksiyou şekli ye bağımlı olarak aşağıdaki gibidir.

3 3 Bu foksiyo tamsayı değişkeler içi taımlıdır. foksiyoudur. f ( ) olduğu içi f () olasılık yoğuluk Dağılışı beklee değeri, E ( ). ( ) ( + ) + E ( ) i i i i Dağılışı varyası, Var ( ) [ ] E( ) E( ) + ( + )( + ) ( + ) 6 4 ( + )( ) Örek: Herhagi bir zar atılışı.(tüm yüzler eşit olasılıklıdır.) / 6,,...,6 f( ) dh.

4 4...8 F() E f f ( ) ( ) ( ). 6. Beklee değer, E ( ) + 3, 5 Var ( ) ( + )( ) 7.(5) 35.9 Beroulli Ve Biom Dağılışları Geel olarak tae bağımsız deemede, başarı sağlama olayı ile ilgili dağılışlardır. Şas değişkeii bu dağılışa uyum sağlayabilmesi içi aşağıdaki özelliklere sahi olması gerekir. i) Şas değişkei sadece ayrı özelliğe sahitir. ( başarı ve başarısızlık ) ii) Her bir deemede başarı ( yada başarısızlık) olasılıkları daima sabittir. ( : başarı olasılığı, q başarısızlık olasılığı)

5 5 iii) ve q olasılıkları oulasyoa ait özelliklerdir yai arametredir. iv) Her bir deeme diğeride bağımsız gerçekleşir. ( birbirii egellemeye olaylar) +q olması edei ile q- dir Beroulli Dağılışı Deeme sayısı içi özel olarak bu deemelere beroulli deemeleri deilmektedir. Eğer ise Beroulli Dağılışı söz kousudur. başarı sayısıı gösterdiğie göre; P() ve P()q dur. Bu durumda beroulli yoğuluk foksiyou; f (, ) f ( ) q, d. d ( i yoğuluk foksiyou ye bağlı alamıda) Bu foksiyou şekli ye bağımlı olarak aşağıdaki gibidir. f() / ise q * *

6 6 f().6 q.4.6 *.4 * E( ) f ( ) q q + ( ) + olduğu içi f() olasılık yoğuluk foksiyoudur. Beklee Değer E ( ) f ( ) q + Varyas [ E( ] Var( ) E( ) ) ( ) [ ] f q + ( ). q Biom Dağılışı > deeme söz kousu ise yai birde fazla birbiride bağımsız Beroulli deemeleri tolamı biom dağılışı gösterir., başarı sayısı ve başarısızlık sayısıı gösterdiğide egelleye olay vardır. Biom dağılışıı yoğuluk foksiyou, sayısı kadar başarı ve başarısızlık seriside birbirii

7 7 f (),,,..., q d. d Biom dağılışıda ise dağılış simetriktir. E ( ) f ( ) q ( + q) dir. Dağılışı beklee değeri,,, 3..., tae birbiride bağımsız değişke olduğuda, E ) E( ) + E( ) E( ) dir. ( Her biri beroulli beklee değeri olduğu içi, dir. dağılışı varyası Var( ) V( ) + V( ) V( ) q + q q q Biom olasılık dağılışı varsayımları: Biom deemeleri yaılırke, iadeli örekleme sistemie göre deemeler tekrarlaır. Sebebi ise, başarı ya da başarısızlık olasılıkları her deemede sabit kalmak zorudadır. Yai deemeler biribirii egellememelidir. Latice de bi:iki, om:terim kelimeleride gelmesi edei ile iki terimli alamıda kullaılır. Biom deemeleride olayları iki mümkü soucu vardır. Bular; başarı, başarısız, sağlam, bozuk v.b. şeklidedir.

8 8 i) Biom deemeleride başarı olasılığı, başarısızlık olasılığı -q dur ve olaylar iki kategoriye ayrılır. ii) Deemeler birbiride bağımsız meydaa gelir yai, deemeleri souçları birbirleride etkilemez. iii) Deemeler daima iadeli örekleme sistemie uygu şekilde tekrarlaır. Biom olasılığı belirli deeme sayısı içeriside başarı yada başarısızlıkla souçlaa deeme sayıları ile ilgileir. Biom olayıı olasılığı dir ve deeme kez tekrarladığı varsayımı altıda tam kez başarı meydaa gelme olasılığı; ( ) m q..,,,..., + q de dolayı q başarısızlık olasılığıdır. Biom açılımı; ( ) + i i i i q C q.. i,,..., ( ) ( ) ( ) ( ) q q q q o Çok sayıda biom deemeleri yaıldığıda beklee frekaslar, ( ) q N + ile belirleir. N: deeme sayısı : her deemedeki madde sayısı

9 9 Örek: Bir metal ara iki kez atılıyor ve tuğra sayısı başarı olarak varsayılırsa; N ( q + ) N > ( + ) Tuğra sayısı beklee frekas Olasılık,5,5, Beklee frekas olasılık - -,5 ı ı tuğra sayısı Örek: İki metal ara 4 kez atılıyor ve tuğra sayısı başarı olarak varsayılırsa; ( ) ( ) 4. ( + + ) N q Beklee frekas Olasılık Tuğra sayısı,5,5,5 4, beklee frekas olasılık - * -,5 - * * -,5 I I I tuğra sayısı Örek: metal ara 4 kez atılıyor. Her atılıştaki tuğra sayısı başarı varsayılırsa ( deeme sayısı büyütüldü )

10 N q Beklee frekaslar: ( ) ( ) ( ) Beklee teorik frekas ve olasılıkları Beklee frekas Olasılık Tuğra sayısı,, 45,44 3,7 4,5 5 5,46 6,5 7,7 8 45,44 9,, Tolam: 4, beklee frekas olasılık 3,3,, tugra sayısı görüldüğü gibi deeme sayısı arttıkça dağılış ormale yakılaşır.

11 Örek: Bir çift zar 5 kez atılıyor ve tam 3 kez 7 gelme olasılığı edir? ( 7gelmesi) q deeme sayısı 3 başarı sayısı Deemelerde 3 başarıı meydaa geldiği yerler( koumlar ) 5 5! 3 3!.! farklı biçimde olur farklı biçim ( ) ( 3 ) ( ), Örek: Üretimi yaıla bir maddei % u kusurlu olmaktadır. Alıa 5 maddelik bir örekte; (. q.9 5) a. hiç kusurlu olmaması olasılığı () 5 5 ( ). (,).(,9), 5949 b. 5 ii de kusurlu olması olasılığı (5) ( 5). (,).(,9), c. e az 3 üü kusurlu olması olasılığı ( 3) ( 3 ) ( 3) + ( 4) + ( 5) veya - [ ( ) + ( ) + ( ) ]

12 ( 3). (,) 3.(,9) +. (,) 4.(,9) +. (,) 5.(, 9 ),856 şeklide elde edilir. Örek: Metal hilesiz bir ara kez fırlatılıyor a. bir kez yazı gelmesi olasılığı ( q/.5)!.9! ( ). (,5 ).(,5 ) (.5) (.5)!9! 9! 9 b. hiç yazı gelmemesi olasılığı ( ).(,5 ).(,5) (,5) c. e az kez yazı gelmesi olasılığı ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +.,5.,5 +.,5.,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 9.(.5) (.5) (.5) ( + ) (.5) 6..4.Hyer-Geometrik Olasılık Dağılışı( İadesiz Örekleme ) hacimli bir oulasyoda r sayıda özel elema varsa ve oulasyoda rasgele alımış s hacimli örek içide bulua özel elemaları d sayısıa hier geometrik şas değişkei deir ve aşağıdaki olasılık dağılışı ile ifade edilir. ( d ) r r. d s d s d,,...,s f i Aslıda bu taım klasik olasılık taımı ola f i taımıa da uymaktadır.

13 3 d hier geometrik şas değişkeii beklee değeri; ( d ) d ( d ) + d. ( d ) +... d ( ) E.. + i ( ) d. dir. i d i d Her bir çekilişte ayrı ayrı ele alıırsa özel yada özel olmaya elema çıkması( d ) veya dır. Her bir deeme içi durum ayıdır. elema içide her bir bireyi çekilme şası / dir ve hacimli oulasyoda r sayıda özel elema buluduğua göre her çekilişte özel elema çıkma olasılığı; i r ( d ) E( d ) dir. ve s hacimli çekilişte ise; r r r E ( d ) s. dir. Biomu varyası..q idi, burada s. elde edilir. Acak burada deemeler yerie koularak yaıldığı içi hier geometrik şas değişkei s içi düzeltme terimi kullaılarak d değişkeii varyası; s r Var r ( d ). s. elde edilir. Eğer s ise deemei yerie koulu koulmada olması öem taşımaz ve düzeltme terimi e eşit çıkar. Acak s içi düzeltme katsayısı her zama de küçüktür, yeter ki s şartı sağlası. s içi örek oulasyoa eşit olacağıda ( d ) dr dir ve r sabit olduğu içi bir sabiti varyası dir. Hier geometrik dağılışı şas değişkeii varyası; V olur. Nedei

14 4 E ( d ) r r. d s d d s s. r Var E r r. d s d r. [ d. ( d ) ] d. ( d ). ( r ). s. ( s ). ( ) E [ d. ( d ) ] E( d ) E( d ) ( d ) E[ d. ( d ) ] + E( d ) [ E( d )] s de ( ) ( ) s.. s..( s).( ) s elde edilir. Örek: 5 lik bir destede yerie koulmaksızı (iadesiz örekleme) 5 kağıt çekiliyor. Bu 5 kağıt içide e az tae surat olma olasılığı edir? ( 5, r, -r 4, s5, d, d> ) ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) d d d d d d () + ( ) + ( 3) + ( 4) + ( 5) ( ) ( d ) d d > Pd ( ) + Pd ( ) + Pd ( ) Pd ( 5) S ( K ) %47 elde edilir ,5,473

15 5 Geometrik Ve Negatif Biom (Pascal) Dağılışları r tae başarı içi gerekli deeme sayısı ile ilgili dağılışlardır. Yai. ici deemede r ici başarıyı sağlama ile ilgilidir. X şas değişkeii bu dağılışlara uyumuu sağlaabilmesi içi beroulli ve biom dağılış varsayımlarıı aye burada da sağlaması gereklidir Geometrik Dağılış r başarı sayısı içi dağılışı özel hali geometrik dağılıştır. Başarı olasılığı i sabit olduğu bağımsız beroulli deemelerii göz öüe alıdığıda deemeler.başarı elde ediliceye kadar sürdürülecektir. Geometrik dağılışı olasılık yoğuluk foksiyou; y deeme sayısı olmak üzere f (y,r) q y y,,..., dd. Dağılışı Beklee Değeri y E( y) yf ( y) yq yq y y y d y d q ( ) dq y dq q y y 3 q q+ q + q... q( + q+ q +...) E( y) ( q)

16 6 Dağılışı Varyası Var( y) q q + + q + q + ( + q ) q + q q q q Örek : Bir futbolcuu attığı ealtıyı gole çevirme olasılığı,8 ise çalışma sırasıda ilk golü atıcaya kadar ealtı atışlarıa devam edilecek (.8 q.) a)y3 y P(3. atış gol) q.8(.) b)ilk golü.atışta sora gelme olasılığı (.)(.8) + (.) (.8) +... Örek : Bir işacıı her atışta hedefi vurma olasılığı sabit ve /3 olduğu biliiyor. Arka arkaya yaıla atışlar soucuda hedefi ilk kez vurması içi gereke atış sayısı y olduğua göre a) y i olasılık foksiyouu yazıız. Py ( ) 3 3 y, y,, b) ilk kez ikici atışta vurma olasılığıı buluuz. PY ( ) P() c) ilk kez e çok beşici atışta vurma olasılığıı hesalayıız. PY ( 5) P() + P() P(5)

17 7 d) İlk vuruşu elde ediceye kadar ortalama kaç atış gerektiğii ve varyasıı hesalayıız. E( y).5 /3 q /3 V( y).75 4/ Negatif Biom (Pascal) Dağılımı r başarı söz kousu ise egatif biom (ascal) dağılışı söz kousudur. Birbiride bağımsız Beroulli deemeleri tolamıda r başarı elde ediliceye kadar y deemelere devam edilmesi halide bu dağılış söz kousudur. r, başarı sayısı ve y-r başarısızlık sayısıı gösterirse, bu seride y r y:deeme sayısı r:başarı sayısı y:şas değişkei Bu dağılışı olasılık yoğuluk foksiyou; kadar birbirii egelleye olay vardır. Burada y r... q r y r biom y. r. q f ( y) r y r r,,3,... yr,r+,r+,... (y>r) y r y r E( y ) y. f ( y)... q r y ( ). r. y r y q. r deemede y- başarı (biom)

18 8 Dağılışı Beklee Değeri y, y,..., y birbiride bağımsız başarıyı gösterdiğie göre, egatif biomdaki başarı sayısı r y y dir. i O halde E ( y) E( y ) + E( y ) + + E( y ) i... r r re. ( yi ) r. bu değer, başarı olasılığı ola bir deemede r ici başarı elde ediliceye kadar gerekli deeme sayısıı (y) beklee değerii gösterir Dağılışı Varyası Var y r ( ) Var( y ) i Cov y, y dır. bağımsızlıkta dolayı ( i j). Var ( y) r. q rq dir. i Bu dağılış deem sayısıı başta belirlemediği durumlarda uygulaır. Ters örekleme: (iverse samlig) Örek : Doğa bir çocuğu kız ve erkek olmaları olasılıkları eşit varsayılarak a. Bir ailei 5. çocuğuu ilk erkek olması b. Bir ailei 6. çocuğuu. kız olması c. Bir ailei 5. çocuğuu 3. veya 4. erkek olması olasılıkları edir?

19 9.5 q 5 a) y 5 r P( r ) (.5) (.5) 6 6 by ) 6 r Pr ( ) (.5) (.5) 5 5 cy ) 5 r 3,4 Pr ( 3) + Pr ( 4) (.5) (.5) + (.5) (.5) (.5) + (.5) (.5) Poısso Dağılımı Poisso dağılışı hem sürekli hem de kesikli dağılışlarla ilgilidir. Bir bakıma biom limitidir, diğer bir bakımda üslü( eoetial ) dağılışa temel oluşturur. Bu dağılışta sürekli ve kesikli değerler alabilir. Biom limiti olarak yaklaşım yaılacak olursa biomda; ve ise ve b(, ) ise aşağıdaki geçişi yamak uygudur. f ( ).. q!.! ( ).!. q..( ).( )...( + )( )!..!.( )! q λ. taımı yaılırsa λ ve λ q olur.

20 .( ).( )...( + ) λ. λ.! λ.( ).( )...( + ) λ λ...! ike ike λ e λ λ λ λ. e yada! ( ). ( ) e! : Olasılık hesalaması istee birim zama sayısı : Birim zamada ortalama meydaa gele oisso olay sayısı : olay sayısı f ( ) λ. e! λ,,,... d. d çok küçük olduğuda oisso dağılımı, bioma yakı souçlar verir. Bu dağılışı şekli λ ya bağlıdır. f() f() λ.5 λ Bu dağılımda λ büyüdükçe, dağılım mod a sahitir ve aralıklar geişler, simetrik hale döüşür. Dağılışı beklee değeri E () λ ve varyası Var() λ dır. Poisso dağılımıa uyum göstere olaylara örek olarak aşağıdakiler verilebilir: ) Belli bir süre içide ölümle souçlaa kaza sayısı ) Bir telefo satralie belli bir zama aralığıda gele telefo sayısı 3) Bir madde tarafıda birim zamada yayıla radyoaktif arçaları sayısı

21 4) Gökyüzüde uyduya çara gök cismi sayısı 5) Bir sıvıı birim hacmie düşe orgaizma sayısı 6) Birim arçada hata sayısı 7) Kita sayfasıdaki baskı hata sayısı 8) Bir bölgede birim zamada gerçekleşe derem sayısı 9) Belli bir süre içide( yıl ) düyada çıka har sayısı ) Uzayda belli bir bölgedeki yıldız sayısı gibi saymaya dayalı yerlerde uyguluk gösterir. Bu dağılıştaki meydaa gele olay sayıları veya olaylar bir kuyruğa bezetilebilirse oisso dağılımıa uyar. Bu dağılışı e öemli özellikleride biri ( ) Var( ) Poisso süreci varsayımları: E dir. ı t ı t + Δt ) Δ t gibi çok küçük bir zama( ala,birim ) aralığıda tam bir olay meydaa gelmesi olasılığı ( ). Δt +. ( Δt) ) Δ t aralığıda ya da daha fazla olay olması olasılığı ihmal edilebilir düzeydedir. ( ). ( Δt) 3) Ayrık Δ t bağımsızdır. zama aralıkları olayları gerçekleşmesi açısıda birbiride Örek: Bir telefo satralide saat - arasıda ortalama 3 telefo gelmektedir. a. de soraki 3dk. içide hiç telefo gelmemesi olasılığı edir? b. 3 telefo gelmesi olasılığı edir? 3 a) Δ t dk., 5 3 λ., 5 6 e λ λ ( )!,3,5 ( ) e

22 ,5 6 b) ( ) ( ) 3,3., 5 3 Örek :Bir işletmei bir cis malda belli bir zama aralığıda satış miktarı oisso dağılımı göstermektedir. t zamaı boyuca taleleri e az %95 ii karşılaabilmesi içi kaç birim stok buludurulmalıdır. s: stok miktarı r: birim zamada ortalama satış λ r.t : satış miktarı s, ( ) 95 s r. t e.( r. t) s e..! ( 3 ).( 6)!,95,95 r ise t 3 ise s? tek deeme yaarak ( iterasyo ile ) s 73 buluur. 6..Sürekli Olasılık Dağılışlar Bir şas değişkei belli bir taım aralığıda sürekli değerler alıyorsa, sürekli şas değişkei adıı alır ve böyle bir değişkei içere dağılışa da sürekli dağılış deir.. Sürekli Uiform (Tek Düze) Dağılışı. Üslü (Üstel/ Negatif Üstel) Dağılış 3. Gamma Dağılışı 4. Normal Dağılış 6... Sürekli Uıform(Tekdüze) Dağılış şas değişkei a b taım aralığı içerisideki değerleri tümüü alabiliyor ve yoğuluk foksiyou sabitse, i dağılışı uiformdur.

23 3 Dağılışı yoğuluk foksiyou; f() ı a b f ( ) b a a b d. d Dağılım (kümülatif-yoğuluk) foksiyo ise; F a b a ( ) dir. F( ) f ( ) a a d b a F() ı ı a b b b b b a E ( ). f ( ) d d d b a b a b a a a a a b a (.derecede momet) olasılık foksiyoudur. b E( ). f ( ) d d b a b a b a a a ( )( ) b a b a b+ a a+ b b a b a b b b a E( ). f ( ) d d b a b a 3 a b a ( )(. ). 3 3 b a b + a + ab b + a + ab b a 3 3 b

24 4 3 3 [ b a ( b a)(. a + a. b + b )] Var [ ] ( ) E( ) E( ) b + a. b + a 3 a + b ( b a ) Bu dağılış simülasyouu temelii oluşturur. Noarametrik testlerde H hiotezi geellikle tekdüze dağılımı gösterir. Bayesçi teoride de kullaılmaya başlamıştır. Bu dağılışta taım aralığı içideki her okta eşit olasılığa sahitir. Örek: f ( ) f() b a a b b Pa ( < < b) f( d ) a ½ - ı ı 3/.5 a) ( < < 3/) d 4 3/ b) ( ) ( ) d c) ( ).( ) d d) ( ) d b+ a + e) E( ) ( b a) ( ) f) V( ) /3 Tek düze dağılımda okta olasılığı sıfırdır. Çükü oktaı alaı yoktur ve sürekli dağılımlarda olasılık ala ile gösterilir.

25 5 Üslü (Eoetıal) Ve Gamma Dağılışları r tae olayı gerçekleşmesie kadar geçe zamaı olasılığı ile ilgili dağılışlardır. Dağılışı değişkei zamadır yai sürekli bir değişkedir, olaylar arasıda geçe zamaı dağılışı icelemektedir. Uygulama alaları; edüstride bozuk üretimle karşılaşma ve stok sürecide bekleme zamaı, v.s.dir Üslü( Üstel/Negatif Üstel) Dağılış Bu dağılışları özel bir hali ola( r ) bir(ilk) olayı meydaa gelmesie kadar geçe zamaı olasılığı ile ilgili dağılış üslü dağılıştır. Bu dağılışa temel teşkil ede oisso olasılık foksiyoudur. Eğer olaylar oisso olasılık dağılımıa uygu bir şekilde meydaa geliyorsa ve oisso varsayımlarıı sağlıyorsa ilk olayı(oisso olayıı) gerçekleşmesie kadar geçe süre (zama) ise, (burada arametresiα ola oisso süreci ele alııyor) ı ı sıfır olay (herhagi bir olay yok) Hiç olay meydaa gelmemesi olasılığı(kolay sayısı); ( k ) ( α. ) α. k e. k! e α. olur. (k). yerie λ α. alımaktadır. İlk olayı() belli bir süreside sora(büyük) meydaa gelme olasılığı;. ( ) X < e α olarak elde edilir. X: ilk olayı göstersi O halde, ilk olayı gerçekleşmesii (zama) da küçük ve eşit olma olasılığı ise PX ( > ) e α Burada elde edile foksiyo egatif üstel dağılışı kümülatif yoğuluk foksiyoudur, yai, dağılım foksiyoudur.

26 6 ( ) F α. e d. d Burada dağılışı olasılık yoğuluk foksiyoua geçmek içi; ( ) df f ( ) taımıda yararlaılarak d Birici olayı gerçekleşmesie kadar geçe sürei dağılışı elde edilir. f ( ) df d ( ) α. e α. d. d α : arametre α. λ oissodaki f() α 3 4 F() 3 4 α arametresi büyüdükçe ilk olay daha çabuk gerçekleşecektir ve beklee değer de küçülecektir.

27 7 Dağılışı beklee değeri α α E( ) f( ) d αe d α e d α Dağılışı varyası ( ) ( ) α α α Var ( ) α α α E f d e d e d Örek: Bir fabrikada belli bir edele meydaa gele arızaları sayısı(saatte) α arıza meydaa gele oisso dağılışı göstermektedir. Bua göre sabah 8. de itibare ilk arızaya kadar geçecek zamaı dağılışı bulumak isteirse;. α f ( ) α. e. e dir ve beklee değeri ise E ( ) dir.(. arızaya kadar geçe zamaı beklee değeri) α / Saatte / arıza olursa, hata iki saatte bir olur. a) E az saat arızasız çalışması olasılığı; f() α/ e d ( )

28 8 u e. e d du. /. e e / u edu e u u / du d du d / ( ) e + e + e e / + e e,6 dır.,5 veya daha kısa bir şekilde hesalamak isteirse; α.. t ( ) f ( ) e de (çükü itegral işlemi soucuda f ( ) α. e α α Saatte α. t e α. t α. e olmaktadır. α olay (birim zamadaki olay sayısı) NOT: Bu foksiyoda α ve ayı birim ile taımlı olmaktadır.( saat α / bir saatteki olay sayısı) () ( ) f ( ) e, 6 a a f ( d ) P ( > a) e α NOT : bu foksiyoda α ve ayı birim ile taımlı olmalıdır. ( saat, α / saatteki olay sayısı b) E fazla 4 saat arızasız çalışması olasılığı ise(yai ilk arızayı 4 saatte öce yama olasılığı);

29 9 f() α/ f e d ( ) ( 4) 4. e. 4 e + e e e e e Veya b e,35,865 4 αb αb P( < b) f( ) d e e e e 6..3.Gamma Dağılışı ( r ) Bu olasılık dağılımıı temel süreci oisso dağılımıdır. ( r ) tae olayı meydaa gelmesie kadar geçe zamaı olasılığı, eğer olaylar oisso olayları ise, gamma dağılışıa uyar. Meteorolojik verilerde yağış miktarıı dağılışı gibi koularda gamma dağılışı kullaılır. Dağılışı olasılık yoğuluk foksiyou; f ( ) α. Γ( r) ( α. ). e r α. d. d. Burada Γ (r) taımı şöyle açıklamaktadır;

30 3 Γ r ( r). e. d ( r ). ( r )! Γ( r ) Γ Γπ özel bir durumdur. Gamma dağılışı arametreleri r ve dir. r: olay sayıları α : oisso dağılımıdaki birim zama arametresi : zama( değişkedir ) α kere oisso olasılığı olarak da taımlaabilir. Gamma dağılışı, r i ozitif tamsayıları içi geçerlidir. Özel bir durum ola r / ve α / ise χ ki-kare (chi-square) dağılımı söz kousudur olur. Gamma dağılışıı özel bir halidir, bu dağılış karesel ifadelerle ilgilidir. χ, gammaya azara e öemli özelliği ve amacı arametre sayısıı bire idirgemiş olmasıdır ve χ i olasılık yoğuluk foksiyou; f Γ ( ).. e... Γ e şeklidedir. Diğer bir yaklaşımla, beklee değer,. olaya kadar geçe zama e.. ( α ). de sora. olaya kadar geçe zama e ( α )... bağımsız egatif üslü.. r- de sora r. olaya kadar geçe zama e.. ( α ) r

31 3 Buları tolamı ola; r i E( ) r. α i r α elde edilir. Bezer şekilde varyas; r Var α α ( ) r. Örek: Bir mağazada güü belli saatlerie dakikada ortalama 4 müşteri gelmektedir.. müşteri geliceye kadar geçe zamaı dağılışı edir? α 4 f e. 4 Γ() r ( ) ( ) ( ), 5 ( ) ! 9.. e E 4 Örek: Gamma( α 5, r 6) ap ) ( > ) f( d ) (5 ) e d F ( ) Γ(6) 5 i 5 i (5.).5 e e i i! i i! 5 e + e e.67!! 5! 5 i bp ) ( < ) f( d ) F ( ) e i! i Normal Dağılış X şas değişkeii yoğuluk foksiyou, ( ) μ σ f e < < + σ π Dağılışı beklee değeri(ortalaması) ( ) μ Dağılışı varyası ( ) ( ) E < μ < + Var E μ σ σ

32 3 π ve e sabitlerdir. Not: X şas değişkei, μ ortalamalı ve σ varyaslı ormal dağılıma uyum sağlıyorsa ~ N ( μ, σ ) şeklide kısa gösterimi kullaılır. f() μ Normal dağılım olasılık yoğuluk foksiyou f() μ μ f() σ σ Normal dağılımda μ ve σ etkileri. Normal dağılış dağılım foksiyou

33 33 F() f() μ μ F σ π μ σ ( ) e d P( ) F ( ) f ( ) d P ( a < < b) F( b) F( a) f() F(b) F() F(a) a μ b a b Stadart Normal Dağılış (μ,σ ) e π z Z ~ N(,) ( ) ( a < < b) F( b) F( a) P f z < z <

34 34 f() - μ a b -z z z z μ σ P a μ σ μ σ b μ σ ( a < < b) P < < P( μ < < a) P( < z< z ) f() a μ b μ P < z < σ σ b μ a μ F F σ σ F( z ) F( z ) μ a f() z z

35 35 Örek: P ( < z <.5)? f() z Örek: P ( z >.83).5 P( < z <.83) z Örek: P ( z <.64) P( z >.64) P ( < z <.64)

36 z Örek: P (. < z <.) P(. < z < ) + P( < z <.) Örek: ( z < z < z ) z P ise z? ( < z < z ). 45 P z.645 z P(z) ,9 -z z z Örek: X ~ N(μ5,σ 6) ise P ( > 8 )?

37 37 µ z P ( > 8 ).5 P( 5 < < 8) P < z <.5 P z < ( <.75) Örek: X ~ N(3,4) ise P ( 4 < < 6)? z P ( 4 < < 6) P( 3 < < 6) P( 3 < < 4) P < z < P < z <

38 38 ( < z <.5) P( < <.5) P z Örek: Bir işletme ömrü ormal dağılıma uya μ saat ortalamalı, σ 3 stadart samalı amuller üretilmektedir. Üretimde seçile bir amülü ömrüü 9-3 saat arasıda olması olasılığı edir? P ( 9 < < 3)? /3 z 9 P < 3 ( < < ) P z μ < σ ( < z < ) + P( < <.33) P z Örek: Belli bir derste sıava gire öğrecileri ot ortalamaları 6, stadart samaları 5 dir. a) 85 ile 95 arasıda ot ala öğrecileri oraıı buluuz. P 85 6 μ σ 5 P (.67 < z <.33) P < z <.33 P < z < ( 85 < < 95) P < < ( ) ( )

39 z P b) Hagi otu üstüdeki öğreciler üst % grubua girer? ( > b)., 6 b.8 z ( 6 < < b). 4 P 6 6 μ b 6 P < <.4 5 σ 5 b 6 P < z <.4 5 b 6.8 b 6.8(5) b79. 5

40 4 Ek. Momet Türete Foksiyo Sürekli veya kesikli bir X tesadüfi değişkeii dağılımıı mometlerii hesalamasıa yaraya bir foksiyodur. Bir X tesadüfi değişkeii orjie ve aritmetik ortalamaya göre momet türete foksiyoları buluabilir. Bir X tesadüfi değişkeii momet çıkara foksiyou M () t ile gösterili şöyle taımlaabilir: Olasılık foksiyou f ( ) ola bir X tesadüfi değişkei içi h ozitif t bir sayı ve h<t<h arasıdaki bir t değeri içi e i beklee değeri mevcut ise bua tesadüfi değişkeii orjie göre momet türete foksiyou adı verilir. sürekli ise () t t M t E e e f( ) d kesikli ise t t M () t E e e f( ) dir. Bir X rasgele değişkei momet türete foksiyou elde edildikte sora, bu foksiyou türevlerii t içi değerleri orji civarıdaki mometleri bulumasıda kullaılmaktadır. 3 ( t) ( t) ( t) t e + t ! 3!! t M() t E e de 3 ( t) ( t) ( t) M() t E + t ! 3!! 3 t t t 3 ( ) ( ) ( ) ( ) M() t + te X + E X + E X + + E X +! 3!! Burada t ye göre türev alıırsa

41 4 t içi M () E( X) m () ( ) 3 ( ) t M () EX ( ) + tex ( ) + + EX ( ) +! t içi M E X m Bezer şekilde devam edilirse M () t E( X ) m elde edilir. Bazı dağılımlara ilişki momet türete foksiyolar aşağıda verilmiştir. Beroulli Dağılışıı Momet Türete Foksiyou t t t M () t E( e ) e f( ) e q e. q+ e. q+ e. + e. t. t. t t Biom Dağılışıı Momet Türete Foksiyou M () t E( e ) e f( ) e q + e ( ) t t t t Biom Dağılışıı Beklee Değeri ve Varyası ( ) E X dm ( t) X t ( ) t q e e t t dt + ( ) () t d M X t t t t ( )( ) ( ) ( ) t t E X q+ e e + q+ e e dt ( ) + ( ) ( ) ( ( )) ( ) + ( ) Var X EX EX ( ) + q

42 4 Geometrik Dizi Geometrik dizi tolamı q q q q Geometrik Dağılışı Momet Ürete Foksiyou E( e t ) M ( t) e t q e t q e t t ( qe ) k k -y M X ( t) t e t qe t e qe t t t qe qe < olmalıdır e t < q t < l l q q Aksi halde M () t taımsızdır Geometrik Dağılışı Beklee Değeri ve Varyası dm ( t) E ) dt t t t e ( qe ) + e ( t ( qet) t ( qe ) q M ( t) E( )

43 43 E d M ( t) e ( qe ) + ( qe t t t ( ) dt t t 4 ( qe ) ) e t ( qe t ) ( q) + q( q) ( q) ( + q) ( q) ( q) 4 4 ( q ) + q q + q + q + q ( q) ( q) ( q) M ( t) M ( t) Var() [ ] X + q + q q Poisso Dağılımıı Momet Türete Foksiyou λ t t t e λ ( λ( e )) Ee ( ) M( t) e e! Üstel Dağılımıı Momet Türete Foksiyou t t α t α Ee ( ) M( t) e ( αe ) α t α olmak üzere θ tx t θ M X () t E( e ) e e d, t < θ θ t θ e d, t θ < θ t θ e ( θt), t < θ t θ t θt θ θ θ

44 44 ( ) E X ( ) E X ( t) dm ( )( θ )( θt) θ dt dm X ( t) 3 t ( ) θ ( θt) ( θ) t θ dt X t t ( ) ( ) ( ( )) Var X EX EX θ θ θ Gamma Dağılışıı Momet türete foksiyou α ( ) ( ) ( ) ( ) r Ee M α α t e α e Γ r t t t r dir. Çükü, gamma değişkei r tae bağımsız üslü dağılış değişkei tolamıa eşittir. r i ( α ) Pa ( < ) f( d ) F( ) e i! i α