26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu cevaplaynz. 1. Y topolojik uzay, X topolojik uzaynn identikasyon uzay ve Z topolojik uzay Y uzaynn identikasyon uzay olsun. Bu takdirde Z, X in identikasyon uzaydr. Gösteriniz. Cevap : p : X Y, q : Y Z identikasyon dönü³ümü olsun. k : X Z identikasyon dönü³ümdür ( V Z de açk k 1 (V ) X de açktr) önermesini kullanalm. ( :) V, Z de açk olsun. k = q p : X Z dir. k 1 (V ) = (q p) 1 (V ) = p 1 (q 1 (V )) q identikasyon dönü³üm oldu undan q 1 (V ), Y de açktr. p identikasyon dönü³üm oldu undan p 1 (q 1 (V )), X de açktr. O halde k 1 (V ), Xde açktr. ( :) k 1 (V ), Xde açk olsun. k 1 (V ) = p 1 (q 1 (V )) açk olmas için q 1 (V ) nin açk olmas gerekmektedir. q identikasyon dönü³üm oldu undan V Z de açktr. 2. a) X kompakt, Y Hausdor, f : X Y dönü³ümü sürekli ve örtense bu takdirde f dönü³ümü identikasyon dönü³ümüdür. Gösteriniz.
b) S 1 R 2 birim çember olmak üzere g : [0, 2π] S 1, t e it dönü³ümünün identikasyon dönü³üm olup olmad n belirleyiniz. Cevap : a) f dönü³ümünün kapal oldu unu göstermemiz yeterlidir. A X kapal alt küme olsun. X uzay kompakt ve kompakt uzaylarn kapal alt uzaylar da kompakt oldu undan A da kompaktr. Bu durumda kompaktlk sürekli dönü³üm altnda korunaca ndan f(a) Y alt kümesi de kompakt olur. Hausdor uzaylarda kompakt kümeler kapal olaca ndan f(a) da kapal olur. f dönü³ümü sürekli, örten ve kapal oldu undan identikasyon dönü³ümdür. b) [0, 2π] R kapal ve snrl oldu undan Heine Borel Teoremi'nden kompaktr. Ayrca Hausdor uzay olma özelli i kaltsal özellik oldu undan S 1 R 2 çemberi de Hausdor uzaydr. Geriye g dönü³ümünün sürekli ve örten oldu unu göstermek kalyor. g(t) = e it = (cos t, sin t) fonksiyonu trigonometrik fonksiyonlar sürekli oldu undan süreklidir. imdi de g dönü³ümünün örten oldu unu görelim. z S 1 noktasn alalm. Bu durumda z noktas birim çember üzerinde oldu undan θ [0, 2π) için z = (cos θ, sin θ) dr. Ba³ka bir deyi³le g(θ) = z dir. O halde g dönü³ümü örtendir. Bu durumda a) ³kkndan g dönü³ümü identikasyon dönü- ³ümdür. 3. Ekli uzay tanmlaynz ve bir örnek veriniz. Cevap : X ve Y topolojik uzaylar ve A X kapal altuzay ve f : A Y sürekli bir dönü³üm olsun. a A noktalarn f(a) Y noktalaryla özde³ klalm. Yani a f(a), a A olsun. X Y/ a f(a) bölüm uzayna Y nin X uzayna eklenmi³ uzay denir ve X f Y ile gösterilir. Örne in X = [0, 1], Y = { } ve A = {0, 1} X noktalarn alalm. f : A Y, f(x) = sabit fonksiyonu süreklidir. x f(x) yani 0, 1 denk klalm. O halde [0, 1] f { }/ 0,1 dir. Geometrik olarak aral a bir nokta ekleyerek elde edilen ekli uzay çember olur. 4. homotopi ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz.
Cevap : ba nts yansmaldr: f : X Y sürekli dönü³üm olsun. O zaman H : X I Y, (x, t) H(x, t) = f(x) dönü³ümü de süreklidir. Ayrca H(x, 0) = f(x) ve H(x, 1) = f(x) ko³ullar sa lanr. Buradan f f dir. ba nts simetriktir: f g olsun. O zaman H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde H : X I Y sürekli dönü³ümü vardr. F : X I Y, F (x, t) = H(x, 1 t) sürekli dönü³ümünü tanmlayalm. F (x, 0) = H(x, 1) = g(x) ve F (x, 1) = H(x, 0) = f(x) sa land için ve H sürekli oldu undan F de süreklidir ve g f dir. ba nts geçi³melidir: h, g, f : X Y sürekli dönü³ümler olsun. f g ve g h olsun. O zaman H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde H : X I Y sürekli dönü³ümü ve G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x) olacak ³ekilde G : X I Y sürekli dönü³ümü vardr. H(x, 2t), 0 t 1/2 K : X I Y, K(x, t) = G(x, 2t 1), 1/2 t 1 sürekli dönü³ümünü tanmlayalm. K(x, 0) = H(x, 0) = f(x) ve K(x, 1) = G(x, 1) = h(x) ³artlar sa lanr. Ayrca H ve G sürekli oldu u için Pasting Lemma dan K dönü³ümü de süreklidir. Böylece f h dir. 5. X bir topolojik uzay, D 2 R 2 birim disk olmak üzere [X, D 2 ], X den D 2 ye giden sürekli dönü³ümlerin homotopi ba nts altndaki denklik snarnn kümesi olsun. Bu takdirde [X, D 2 ]
kümesinin kardinalitesinin 1 oldu unu gösteriniz. Cevap: D 2 diski büzülebilir oldu undan 1 D 2 : D 2 D 2 birim dönü³ümü c : D 2 D 2, c(x) = x 0 x D 2 sabit dönü³üme homotoptur. f : X D 2 herhangi bir sürekli dönü³üm olsun. 1 D 2 c oldu undan 1 D 2 f c f homotopi ba nts bile³ke altnda korunacaktr. Buradan 1 D 2 f = f ve c f dönü³ümü sabit oldu undan f dönü³ümü nullhomotoptur. f dönü³ümünün seçimi key oldu undan X uzayndan D 2 diskine giden sürekli tüm dönü³ümler nullhomotop olacaktr. O halde X den D 2 ye giden sürekli dönü³ümlerin homotopi snarnn kümesi tek elemanldr. 6. a) Yol ba lantl bir X topolojik uzaynn temel grubunun Π 1 (X) = Z 2 oldu u biliniyor. Y bir topolojik uzay ve y 1, y 2 Y olsun. E er Y ile X homeomorf uzaylar ise bu takdirde Π 1 (Y, y 1 ) ile Π 1 (Y, y 2 ) temel gruplar arasndaki ili³ki nedir? Açklaynz. b) Temel gruplar izomorf olup birbirine homeomorf olmayan iki uzay örne i veriniz. Cevap : a) Y uzay yol ba lantl X uzayna homeomorf oldu undan Y de yol ba lantldr. Bu durumda Π 1 (Y, y 1 ) ile Π 1 (Y, y 2 ) temel gruplar baz noktasndan ba mszdr. Üstelik Y ile X uzay hoemomorf oldu undan temel gruplar izomorftur. O halde Π 1 (Y, y 1 ) = Π 1 (X) = Π 1 (Y, y 2 ) = Z 2. b) D 2 R 2 diski ile R yi ele alalm. Bu iki uzay da konveks oldu undan temel gruplar izomorf olacaktr. Ancak D 2 diski kompakt olmasna ra men R uzay kompakt de ildir. 7. S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = 1} R 3 birim küresinden E = {(x, y, z) S 2 : z = 0} ekvatoral çemberinin çkarlmasyla elde edilen yeni uzay X olsun. Bu durumda Π 1 (X, (0, 0, 1)) temel grubunu hesaplaynz.
Cevap : X = S 2 E = {(x, y, z) S 2 : z 1} uzay kürenin üst ve alt yar kürelerinden olu³ur. Bu iki yar küre ayrk oldu undan X uzay ba lantszdr. Ba³ka bir deyi³le E + ve E, X uzaynn srasyla üst ve alt yar küresi olsun. Bu durumda X = E + E olur ve Π 1 (X, (1, 0, 0)) = Π 1 (E +, (1, 0, 0)). E + = {(x, y, z) S 2 : z > 0} üst yar küresi diskin içine homeomorf oldu undan temel guruplar izomorftur. Diskin içi konveks oldu undan temel grubu a³ikardr. Bu durumda Π 1 (X, (1, 0, 0)) = Π 1 (E +, (1, 0, 0)) = {0} elde edilir. 8. X bir yol ba lantl topolojik uzay, A X yol ba lantl alt kümesi olsun. i : A X, a i(a) = a, a A kapsama dönü³ümü için r i = 1 A olacak ³ekilde bir r : X A sürekli dönü³ümünün var oldu unu kabul edelim. E er Π 1 (X) = (Z, +) ise bu durumda Π 1 (A) temel grubunun olas tüm grup yaplarn belirleyiniz. Cevap : r i = 1 A oldu undan indirgenmi³ homomorzmas da (r i) = (1 A ) r i = 1 Π1 (A) ³eklindedir. Bu durum r : Π 1 (X) Π 1 (A) homomorzmasnn surjektif ve i : Π 1 (A) Π 1 (X) homomorzmasnn ise injektif oldu unu gerektirir. i injektif oldu undan ve [f] Π 1 (A) için i [f] = [i f] = [f] oldu undan birinci izomorzma teoreminden A nn temel grubu X in temel grubunun alt gurubudur. Π 1 (X) = Z ve Z nin tüm alt guruplar n N olmak üzere nz formunda oldu undan Π 1 (A) = nz olacaktr. 9. a) Büzülebilir olup kompakt olmayan bir uzay örne i veriniz. b) Kompakt olup büzülebilir olmayan bir uzay örne i veriniz.
Cevap : a) R uzay snrl olmad ndan kompakt de ildir. Ancak konveks oldu undan R üzerinde herhangi iki sürekli dönü³üm homotop olaca ndan birim ve sabit dönü³üm de homotoptur, yani R büzülebilirdir. b) X = [0, 1] {2} R uzayn ele alalm. Heine Borel Teoremi'nden [0, 1] ve {2} kompaktr. Kompakt uzaylarn birle³imleri de kompakt oldu undan X de kompaktr. Bu uzayn büzülebilir olmad n açklayalm. X uzay büzülebilir olsayd yol ba lantl dolaysyla da ba lantl uzay olurdu. Ancak X uzaynda [0, 1] ve {2} açk alt kümeler oldu undan X ayrk açklarn birle³imi ³eklindedir. Yani ba lantldr. O halde X uzay büzülebilir de ildir. 10. Her homeomorzma örtü dönü³ümüdür gösteriniz. Tersinin do ru olmad na bir örnek veriniz. Cevap : X ve Y topolojik uzaylar ve f : X Y homeomorzma olsun. f homeomorzma oldu undan sürekli ve örtendir. Süreklilikten dolay U Y açk için f 1 (U) = V X açktr. f homeomorzm oldu undan f V homeomorzmadr. Bu durumda f homeomorzmas örtü dönü³ümü özelliklerini sa lar. p : R S 1, t p(t) = e 2πit = (cos2πt, sin2πt) ³eklinde tanml p dönü³ümü örtü dönü³ümü idi. Ancak R kompakt de ilken S 1 çemberi kompakt oldu undan bu iki uzay birbirine homeomorf olamaz. O halde p dönü³ümü homeomorzma de ildir. Ba³arlar Dilerim. Prof. Dr. smet KARACA