Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: Fonksiyonlr Fonksiyonlr Genel Girifl. Tn m. Fonksiyon kvrm n n mtemti in en önemli kvrmlr nn iri olu unu söylemek fonksiyon kvrm n üyük hks zl k olur. Fonksiyon, mtemti in en önemli kvrmlr nn iri e il, mtemti in en önemli kvrm r. Küme kvrm hriç, elki... Bilimin sinin giri i her yere fonksiyon rstln r. Art k ilkokullr ile ö retiliyor fonksiyon. Herhle fl kine enzer flekilleri e itim hyt n z oyun s k s k görmüflsünüzür. fiekil. Bir fonksiyon resmi Üst solki yumurt ir kümeir (fiekil ). S ki omtes e... çineki noktlr kümelerin elemnlr r. Solki yumurtn n her elemn s ki omtesin ir elemn n ir okl gönerilmifltir. Bur kümesinen kümesine gien ir fonksiyon flekleilmifltir. Sol trftki kümesinin ört elemn vr r:,, ve. Aç kç söylenmez m u elemnlr n iririnen e iflik oluklr vrsy l r. S trftki kümeninse efl elemn vr r:,,,,., sol trftki kümenin her elemn n s trftki kümenin ir elemn n göneren ir kurl r. Örne in kümesinin ve elemnlr kurl gere ine nin elemn n gierler. Bu, () = () = olrk gösterilir. Ayn içime, () = () = yz l r. nin ve elemnlr n ten hiçir elemn gitmiyor. Bu hiç sorun eilmez. ten ye gien ir fonksiyon nin her elemn n okunmk zorun e ilir. Bu ilk örnekte e olu u gii, in iki yr elemn ( ve elemnlr ) nin yn elemn n ( elemn n) gieilir. Htt kümesinin ütün elemnlr kümesinin yn elemn n gieilir. Bu tür fonksiyonlr sit fonksiyon enir (fiekil ). fiekil. Sit fonksiyonu kümesinen kümesine gien ir fonksiyon önemli oln, in her elemn n n, tn mlnn kurl gere ine, nin tek ir elemn n gönerilmesiir. fiekil. Bir monksiyon. Örne in fiekil teki kurl ir fonksiyon tn mlmz. Çünkü ur kümesinin elemn kümesinin iki yr elemn n ( e ve e) gönerilmekte. Fonksiyonun tn m unu ysklr. Dileyen, fiekil teki fley e flk ir ulilir, örne in çok e erli fonksiyon y monksiyon gii. Am u fley kesinlikle ir fonksiyon e ilir. fiekil teki fley e ir fonksiyon e ilir. Çünkü u kez kümesinin elemn nin hiçir elemn n gönerilmemifl. Fonksiyonun tn m unu ysklr. ten ye gien ir fonksiyon in her elemn n nin ir (ve ir tek) elemn - n gönermeli.
Mtemtik Dünys, 00 K fl fiekil. Bir flk monksiyon. Fonksiyonun Türkçesi gönerme olilir. Al fl n yn l k çekilmiyor, her zmn olu- u gii... E er, kümesinen kümesine gien ir fonksiyons, unu : olrk ve e er fonksiyonu kümesinin x elemn n kümesinin y elemn n göneriyors unu, (x) = y y : x y olrk yzr z. O zmn y elemn n x in görüntüsü y imgesi enir. kümesine fonksiyonunun klk fl kümesi, kümesine e vr fl kümesi verilir. Sy Kümeleri Do l sy lr kümesi = N = {0,,,,...} Tm sy lr kümesi = Z = {..., -, -, -, 0,,,,...} Kesirli sy lr kümesi = Q = {/ :, Z, 0} Gerçel sy lr kümesi = R = sy o rusu nki tüm sy lr Örne in, (x) = x kurl, tmsy lr kümesi Z en gerçel (reel) sy lr kümesi R ye gien ir fonksiyonur. Elette ( ) = () =. Am yn (x) = x kurl ize Z kümesinen gene Z kümesine gien ir flk fonksiyon verir. Ve htt yn kurl ize Z kümesinen o l sy lr kümesi N ye gien ir flk fonksiyon verir. Ve htt yn kurl ize R kümesinen gene R kümesine gien ir flk fonksiyon verir. Ve htt yn kurl ize R kümesinen negtif olmyn gerçel sy lr kümesi R 0 kümesine gien ir flk fonksiyon verir... Bir flk eyiflle, fonksiyon kvrm n n tn m - n n içine (fonksiyonun kurl nn flk) ir e fonksiyonun klk fl ve vr fl kümeleri vr r. Kurl e iflmese e, klk fl ve vr fl kümeleri e iflti ine fonksiyonun e iflti i kul eilir. ni ir fonksiyon see ir kurl e ilir, fonksiyon tn m n n içine fonksiyonun kurl vr r, m yn zmn klk fl ve vr fl kümeleri e vr r. Bir fonksiyonu, (klk fl kümesi + vr fl kümesi + klk fl kümesinin her elemn için vr fl kümesinin tek ir elemn n veren ir kurl) olrk tn mlyiliriz. Am z l flknl yl ve kolyl k olsun iye, ço u zmn see kurl söylenir. Klk fl ve vr fl kümelerinin ilinikleri vrsy l r. Örnekler. (x) = x kurl, gerçel sy lr kümesi R en gerçel sy lr kümesi R ye gien ir fonksiyon tn mlmz, çünkü negtif gerçel sy - lr n krekökü yoktur (y R e e ilir u krekök.) ten ye gien ir fonksiyon, teki her elemn eki ir elemn gönermeli. Öte ynn, yn kurl, negtif olmyn gerçel sy lr kümesi R 0 en R ye ir fonksiyon tn mlr. Bun enzer ir neenen, (x) = /x kurl, gerçel sy lr kümesi R en gerçel sy lr kümesi R ye gien ir fonksiyon tn mlmz (0 in görüntüsü yok.) Öte ynn (x) = /x kurl, R >0 kümesinen R kümesine (R >0 kümesine e) gien ir fonksiyon tn mlr. Ayn kurl, R \ {0} kümesinen R ye gien ir flk fonksiyon tn mlr. (x) = ± x kurl R en R ye gien ir fonksiyon tn mlmz, çünkü (x) tek ir e er olml. ten ye gien ir fonksiyon, kümesineki her elemn kümesinen tek ir elemn gönermeli. Öte ynn, (x) = {x, x} kurl R kümesinen R nin (en fzl iki elemnl ) ltkümeler kümesine gien ir fonksiyon tn mlr. Kurl Nesi? Bu kurl sözü ü sizi rhts z etmifl olilir. Bu sözükten en e rhts z m. Her fleyen öne kurl n tn m n ypm k. Kurl ne emek! Ayr kurl elli olmyn y kurl ilinip e hesplnmyn fonksiyonlr vr r. Örne in, her o l sy y, fl mki flu nki sç teli sy s rt kini Düny Svfl n ölen Frns z suy sy s n yollyn sit fonksiyonun e eri sn r m ilinmez, m u kurl gene e ir fonksiyon tn mlr. Biz flimilik u tür tuhfl klr görmezen gelelim. Am see flimilik... Seçim Fonksiyonlr yz s n kurl ilinmeyen fonksiyonlr konu eee iz. Sizi h fzl rhts z eeek ir fley h söyleyeyim: Fonksiyonun mtemtiksel tn m yukrki gii e ilir. Mtemtikte her fley ir kümeir, fonksiyon hil olmk üzere... Ve iz yukr fonksiyonu ir küme olrk tn mlm k... Am inn n n fonksiyonun tm mtemtiksel tn m n ilmek pek o kr önemli e ilir. Sonuç olrk, kümesinen kümesine gien ir fonksiyon, kümesinin her elemn n kümesinen tek ir elemn götüren ir kurl r. 6
. Fonksiyonlr n Bileflkesi., kümesinen kümesine, g e kümesinen Z kümesine gien ir fonksiyon olsunlr. Örne in fl ki flekileki gii: Bu iki fonksiyonun ileflkesini l p ten Z ye gien ir fonksiyon ele eeiliriz. fiöyle ypr z: ten herhngi ir elemn ll m, iyelim y l k. Bu elemn yi uyguly p en ir elemn ull m; örne imize () uluruz, yni i. fiimi nin u elemn n g yi uyguly p Z en ir elemn ull m, örne imize g() uluruz, yni r yi. Bu ize yeni ir fonksiyon verir. Bu yeni fonksiyon, in elemn n Z nin r elemn n gönerir (fiekil 6.) ukr ve g fonksiyonlr n kullnrk ele etti imiz fonksiyon ve g nin ileflkesi verilir ve u yeni fonksiyon g olrk yz l r. ukr görü ümüz gii, (g )() = g(()) = g() = r. Bunun gii, (g )() = g(()) = g() = r, (g )() = g(()) = g() = u, (g )() = g(()) = g() = u. g ileflkesinen söz eeilmek için kümesinin vr fl kümesiyle g kümesinin klk fl kümelerinin yn kümeler olms gerekti ine ikktinizi çekerim. Klk fl ve vr fl kümeleri yn oln fonksiyonlr n (yni ir kümesinen gene yn kümesine gien fonksiyonlr n) hiç üflünmeen istei imiz gii ileflkelerini liliriz. Fonksiyonlr n ileflkesi önemli ir kvrm r. Birkç örnek h verelim. Örnek. : R R 0 fonksiyonu (x) = x kurl yl, g : R 0 R fonksiyonu g(x) = x fiekil. ve g fonksiyonlr g fiekil 6. g fonksiyonu g Z r t u Z s r t u s 7 Mtemtik Dünys, 00 K fl kurl yl tn mlns n. O zmn, her x R için, (g )(x) = g((x)) = g(x ) = x. Bu örnekte g ve nin e ileflkelerini l p g fonksiyonunn söz eeiliriz: Her x R için, ( g)(x) = (g(x)) = (x ) = (x ). Görülü ü gii g g. Örnek. : R 0 R 0 fonksiyonu (x) = x olrk tn mlns n. g : R 0 R fonksiyonu g(x) = x olrk tn mlns n. O zmn, her x R 0 için, (g )(x) = g((x)) = g( x) = x. Bu örnekte g iye ir fonksiyonn sözeemeyiz, çünkü g nin vr fl kümesi negtif sy lr içeriyor m negtif sy lr tn mlnm yor. Bileflkenin Birleflme Özelli i. Afl ki gii üç fonksiyonumuz olsun: :, g : Z, h : Z T. Bu üç fonksiyonl ilk k flt e iflik gii görünen iki ifllem ypiliriz: ) g : Z ve h : Z T fonksiyonlr - n n ileflkesini l p h (g ) : T fonksiyonun kiliriz. ) : ve h g : T fonksiyonlr - n n ileflkesini l p (h g) : T fonksiyonun kiliriz. Bu iki fonksiyon iririne eflittir. Bunu kn tlyl m. Am öne iki fonksiyonun ne zmn iririne eflit olu unu ilmeliyiz: E er yn klk fl ve vr fl kümeleri oln iki fonksiyon, klk fl kümesineki her elemn, hep, vr fl kümesinin yn elemn n göneriyorlrs, o zmn o iki fonksiyon eflittirler. Örne in, R en R ye gien (x) = x fonksiyonuyl (x) = x fonksiyonu iririne eflittirler. en T ye gien h (g ) ve (h g) fonksiyonlr n n l klr e erleri hesplyl m, kl m eflitler mi? x olsun. Bileflkenin tn m n ikifler kez uygulyrk hesplyl m: (h (g ))(x) = h((g )(x)) = h(g((x)) ((h g) )(x) = (h g)((x)) = h(g((x)). Demek ki, her x için, (h (g ))(x) = ((h g) )(x). Doly s yl h (g ) = (h g). Bun fonksiyonlr n irleflme özelli i enir. Bu emektir ki ikien fzl fonksiyonun ileflkesini l rken prntez kullnmk gereksizir; s - r gözettikten sonr, ileflkelerini lmk için fonksiyonlr ilei imiz gii grupln riliriz. Bu neenle h (g ) y (h g) yzmk yerine, prntezleri t p h g yzr z.
Mtemtik Dünys, 00 K fl Bileflkenin Etkisiz Elemn. herhngi ir küme olsun. ten e gien çok özel ir fonksiyon tn mly z flimi, özefllik fonksiyonunu. Özefllik fonksiyonu, in her elemn n gene kenisine gönerir, yni sl n hiçir fley ypmz! ten e gien u fonksiyon I olrk gösterilir. I, özefllik nlm n gelen ngilize ientity nin y Frns z ientité nin I iir. Demek ki, her x için, I (x) = x. Özefllik fonksiyonlr n n flu özelli i vr r: E er : ir fonksiyons, o zmn, I = ve I =. Bu yüzen özefllik fonksiyonun, fonksiyonlr n etkisiz elemn iyeiliriz.. FONKS ON ÇEfi TLER : Bireir, Örten, Eflleme, Eflleflme. Bu ölüme fonksiyonlr n z önemli özelliklerini tn mly z. Örten Fonksiyonlr. fiekil eki örne e ir kez h kl m. O örnekte ten hiçir elemn nin ve elemn n gitmemifl. fiimi ve elemnlr n en t p yeni ir g fonksiyonu tn mlyl m (fiekil 8. Vr fl kümesi e iflti inen, vr fl kümesi rt k e il, vr fl kümesine Z iyelim.) Bu sefer, vr fl kümesi Z nin her elemn n ten ir elemn ulfl yor. Bu özelli i oln ir fonksiyon örten fonksiyon enir. fiekil 7. Özefllik fonksiyonu g fiekil 8. Örten ir fonksiyon resmi. Z Dh formel ir içime ife eeek olursk, ir g : Z fonksiyonu, e er her z Z için, g(x) = z eflitli ini s lyn ir x vr r özelli ini s l yors, o zmn g fonksiyonun örten enir. Örne in R en R ye gien (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon örten e ilir, çünkü kresi oln ir gerçel sy yoktur. Am R en R 0 kümesine gien ve gene (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon örtenir. n elemnl ir kümeen kümesine gien örten ir fonksiyon olms için, nin en fzl n elemn olml r elet. Bireir Fonksiyonlr. Gene fiekil eki örne- e kl m. O örnekte in ve elemnlr nin yn elemn n ( e) giiyorlr. kümesinen y en irini trsk öyle ir sorun l krfl lflmy z. Diyelim yi tt k. Ele etti imiz fonksiyon h iyelim. (fiekil 9. kümesi e iflti inen, klk fl kümesi rt k e il. Klk fl kümesine T iyelim.) fiimi rt k h fonksiyonun klk fl kümesi T nin her elemn vr fl kümesi nin ir flk elemn n gier. ni h : T T h fiekil 9. Bireir fonksiyon resmi. fonksiyonu, her t, t T için, e er h(t ) = h(t ) eflitli i o ruys, o zmn t = t eflitli i o ruur özelli ini s lr. Bu özelli i s lyn fonksiyonlr ireir fonksiyonlr enir. Örne in R en R ye gien (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon ireir e ilir. Çünkü örne in ve yn elemn (9 ) gierler. Öte ynn R 0 kümesinen R ye gien ve gene (x) = x kurl yl tn mlnm fl fonksiyon ireirir. Bir kümesinen n elemnl ir kümeye gien ireir ir fonksiyon olms için, in en fzl n elemn olilir elet. Efllemeler. ukr veri imiz örnekleren örünü özet olrk yzl m: ) : R R, (x) = x fonksiyonu ne örtenir ne e ireir. ) g : R R 0, g(x) = x fonksiyonu örtenir m ireir e ilir. ) h : R 0 R, h(x) = x fonksiyonu ireirir m örten e ilir. ) k : R 0 R 0, k(x) = x fonksiyonu hem ireirir hem e örten. 8
Mtemtik Dünys, 00 K fl Hem örten hem e ireir oln ir fonksiyon eflleme enir. Demek ki örünü örnek ir eflleme, i er üçü e il. I her zmn ir efllemeir elet. Arlr n eflleme oln iki sonlu kümenin elemn sy s eflit olmk zorun r. Bir kümeen gene kenisine gien efllemelere eflleflme iyeiliriz. Al flt rmlr. Afl ki l flt rmlr iki fonksiyonun ileflkesinen söz eili ine, u fonksiyonlr n ileflkesinin l nilee i, yni irinin vr fl kümesinin i erinin klk fl kümesinin içine olu u vrsy lmkt r. i. ki örten fonksiyonun ileflkesinin örten olu unu kn tly n. ii. ki ireir fonksiyonun ileflkesinin ireir olu unu kn tly n. iii. ki efllemenin ileflkesinin eflleme olu unu kn tly n. iv. g örtense nin e örten olu unu kn tly n. g e örten olmk zorun m? v. g ireirse g nin e ireir olu unu kn tly n. e ireir olmk zorun m? Efllemelerin Tersi. : ir fonksiyon olsun., in elemnlr n nin elemnlr n götürüyor. fiimi, unun tm tersini ypmk istiyoruz, nin ir elemn n e, ynen geli i yere geri gönermek istiyoruz. Örne in () = ise, yi y geri gönermek istiyoruz ve unu ir fonksiyonl ypmk istiyoruz. ki sorun ç kilir: ) eki ir elemn okunmyilir. O zmn okunulmyn u elemn geri gönereek yer yoktur. Am e er örtense o zmn u sorun ortn klkr. ) eki yn elemn ten iren çok elemn okunilir. O zmn nin u elemn n kenisine okunn elemnlrn hngi irine geri göneree iz? Arlr nn seçim ypmk gerekeilir. Zor ifl! Am e er ireirse öyle ir sorunl krfl lflmy z. E er hem ireir hem e örtense (yni efllemeyse), nin her elemn n in ir ve ir tek elemn okunur. O zmn fonksiyonunun tersini tn mlyiliriz: Tn m: : ir eflleme olsun. : fonksiyonunu flöyle tn mlyl m: (y) = x (x) = y. fonksiyonu ir efllemeir. fonksiyonun nin tersi enir. Afl ki eflitlik s ln r elet: = I ve = I. Ayr, g = I ve g = I eflitliklerini s lyn ir g : fonksiyonu fonksiyonun eflit olmk zorun r. (Neen?) A. Görüntü ve Öngörüntü : ir fonksiyon olsun. E er A, in ir ltkümesiyse, (A) kümesini flöyle tn mlyl m: (A) = {() : A}. (A), kümesinin ir ltkümesiir elette. (A) kümesine A n n ( lt n) görüntüsü verilir. Örne in : R R fonksiyonu (x) = x kurl yl verilmiflse, ({}) = {} ({, }) = {} ({, }) = {9, } ((,)) = [0,) (R) = R 0 ( ) =. fiimi e B verilmifl olsun. in (B) ltkümesini flöyle tn mlyl m: (B) = {x : (x) B}. ni (B), in fonksiyonu lt n B ye gien elemnlr nn oluflur. (B) kümesine B nin öngörüntüsü verilir. ukrki R en R ye gien (x) = x fonksiyonu örne ini lk olursk, (B) fiekil 0. A n n görüntüsü fiekil. B nin öngörüntüsü (A) B 9
Mtemtik Dünys, 00 K fl Altkümeler Kümesi E er ir kümeyse, in ltkümelerinen olufln küme () olrk yz l r. Örne in e er = {,, } ise () = {, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,,}} ir. Demek ki, u örnekte {, } (). Öte ynn (), çünkü, in ir ltkümesi e il, see ir elemn. Bir flk örnek: = {,, {, }} olsun. Bu sefer {, } kümesi hem in hem e () in ir elemn r. Genel olrk, kümesinin n elemn vrs, () kümesinin n elemn vr r. E er tümevr ml kn t n ne emek olu unu iliyorsn z, unu tümevr ml kn t yönetiyle kolyl kl kn tlyilirsiniz. (N), (Z), (Q), (R) kümelerinin elemnlr n teker teker elli ir s ryl yzmk olnks z r. (Denemeyin! Sonsuzu Symk yz s n k n, syf ) m vr r öyle kümeler. Örne in, çift o l sy lr kümesi {0,,, 6, 8, 0,...}, (N), (Z), (Q) ve (R) kümelerinin heririnin elemn r. Asl sy lr kümesi {,,, 7,,,...} e u kümelerin irer elemn r. Örne in, (, ) ç k rl (R) kümesinin ir elemn r. Elette, hngi küme olurs olsun, ve, () in ir elemn r. ({}) = {-, } ({0, }) = {-, 0, } ({}) = {-, } ((,0)) = ([,0]) = {0} ([,]) = [-,] Böylee : fonksiyonu, () ten () ye ve () en () e gien iki fonksiyon tn mlr. Pek o ru e il elki m, u fonksiyonlr genellikle ve olrk yz l r (oys gii hfifçe e iflik ir içime yz lms h o ru oluru.) Al flt rmlr. i. A A ise, (A ) (A ) iliflkisini kn tly n. ii. A ve A kümeleri in ltkümeleriyse, (A A ) = (A ) (A ) eflitli ini kn tly n. iii. A ve A kümeleri in ltkümeleriyse, (A A ) (A ) (A ) iliflkisini kn tly n. Eflitli in her zmn o ru olm n gösterin. E er ireirse eflitli in o ru olu unu gösterin. iv. B B ise, (B ) (B ) iliflkisini kn tly n. v. B ve B kümeleri nin ltkümeleriyse, (B B ) = (B ) (B ) eflitli ini kn tly n. vi. B ve B kümeleri nin ltkümeleriyse, (B B ) = (B ) (B ) iliflkisini kn tly n. Sonlu ir kümeen o kümenin ltkümeler kümesine gien örten ir fonksiyon yoktur çünkü n > n ir (tümevr ml kn tlnilir u eflitsizlik.) Bu olgu çok h genel olrk o ruur: Teorem. Bir kümeen o kümenin ltkümeler kümesine gien örten ir fonksiyon yoktur. Kn t: ir küme oln, kümesinen () kümesine gien örten ir fonksiyon olsun. Bir çeliflki ele eee iz. in flu ltkümesine kl m: = {x : x (x)}., in ir ltkümesi olu unn, () in ir elemn r yn zmn. örten ir fonksiyon olu unn, elli ir x için, (x) = olml. fiimi, x, nin ir elemn m e il mi sorusunu sorl m, n l soru! x x (x) x (Birini efle erlik nin tn m nn, ikinisi = (x) eflitli inen ç k yor.) Bu ir çeliflkiir. Demek ki kümesinen () kümesine gien örten ir fonksiyon yoktur. 0