İçindekiler. 2. Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi Fonksiyonlarda Dört İşlem Permütasyon Fonksiyon...

Transkript

1 İçinekiler. Fonksion Olm Şrtlrı Tnım, Değer ve Görüntü Kümesi Fonksion Sısı Düşe Doğru Testi Fonksion Mkineleri Fonksion İşlemleri Fonksion Grikleri Fonksion Türleri ileşke Fonksion Ters Fonksion Fonksionlr Dört İşlem Permütson Fonksion Fonksion Grikleri ()

2 FONKSİYONLR Fonksion ve oş olmn iki küme olsun krtezen çrpımının lt kümelerine ğıntı enir. u ğıntılrn şğıki şrtlrı sğlnlr kümesinen, kümesine tnımlnmış onksionu enir ve : Æ içimine gösterilir. Fonksion olm şrtlrı; kümesinin her elemnı kümesineki ir elemn eşlenmeli, kümesine eşlenmemiş oşt elemn klmmlıır. kümesineki her ir elemn kümesine lnız ir elemn eşlenmeliir. elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) Yukrıki şem verilen ğıntısının onksion olup olmığını rştırınız. elemnı kümesine hiç ir elemn ile eşlenmeiğinen ğıntısı onksion eğilir. Cevp: onksion eğil Yukrıki şem verilen ğıntısının onksion olup olmığını rştırınız. elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı hem ile hem e ile eşleniğinen ğıntısı onksion eğilir. kümesineki her elemn e lnız ir elemn ile eşlenmeliir. Cevp: onksion eğil e e elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) Yukrıki şem verilen ğıntısının onksion olup olmığını rştırınız. kümesineki her elemnın e krşılığı oluğu için onksionur. "" ve "" elemnlrının nı elemn eşlenmesi onksion olmsın engel eğilir. kümesine oşt elemn klmsı onksion olm engel eğilir. 6 Cevp: onksion

3 Fonksionlr 7KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI E C D 6 D soru şğı verilen ğıntılrn hngisi onksionur? E) ) ) C) D) soru z I) z II) z III) z IV) Yukrı verilen ğıntılrn hngileri n e ir onksionur? ) I ve II ) II ve III C) III ve IV D) II, III ve IV E) I, III ve IV soru şğı verilen ğıntılrn hngisi onksionur? e g E) e g ) e g ) e g C) e g D) soru I) II) III) IV) Yukrı verilen ğıntılrn hngileri n e ir onksionur? ) Ylnız I ) Ylnız II C) I ve III D) I, III ve IV E) I, II ve IV soru şğı verilen ğıntılrn hngisi onksionur? E) ) ) C) D) soru 6 Yukrı en e ğıntısının şemsı verilmiştir. un göre, şğıki eşlemeleren hngisi çıkrtılırs ğıntısı ir onksion olur? ) (, ) ) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, )

4 Fonksionlr elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, ) elemnı ile eşlenmiş (, = {(, ), (, ), (, ), (, )} Yukrıki şem verilen onksionunu liste içimine zınız. Cevp: = {(, ), (, ), (, ), (, )} = {,, } ve = {,, 6, 7} olmk üzere, n e tnımlnmış = {(, ), (, )} ğıntısının onksion olup olmığını rştırınız. = {(, ), (, )} ğıntısını şem ile gösterelim. 6 7 kümesineki "" elemnı eki hiç ir elemnl eşlenmeiğinen onksion eğilir. Cevp: onksion eğil = {,,, } ve = {,,, } olmk üzere, n e tnımlnmış = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} ğıntısının onksion olup olmığını rştırınız. = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} ğıntısını şem ile gösterelim. kümesineki "" elemnı eki "" ve "" elemnlrı ile eşleniğinen onksion eğilir. Cevp: onksion eğil = {,,, } ve = {,,, 7, 9} olmk üzere, n e tnımlnmış = {(, ), (, ), (, ), (, 7)} ğıntısının onksion olup olmığını rştırınız. = {(, ), (, ), (, ), (, 7)} ğıntısını şem ile gösterelim. 7 9 onksionur. 8 Cevp: onksion

5 Fonksionlr soru soru n e tnımlı onksionu şğıkileren hngisiir? z t ) ={(,), (,), (,z), (,t)} ) ={(,), (,), (,t)} C) ={(,), (,), (,t), (,z)} D) ={(,), (,), (z,), (t,)} E) ={(,), (,), (z,), (t,)} = {,, } ve = {,,, } olmk üzere, şğı verilen n e tnımlnmış ğıntılrınn hngisi onksionur? ) = {(,), (,), (,)} ) = {(,), (,), (,)} C) = {(,), (,)} D) = {(,), (,), (,), (,)} E) = {(,), (,)} soru soru = {,,, 7} ve = {,,, 6} olmk üzere, şğı verilen n e tnımlnmış ğıntılrınn hngisi onksionur? n e tnımlı onksionu şğıkileren hngisiir? ) = {(,), (,} ) = {(,), (,), (,)} C) = {(,), (,), (,)} D) = {(,), (,)} soru E) = {(,), (,), (,)} = {(, ), (, ), (, ), (, )} şekline tnımlnn onksionu şğıkileren hngisiir? ) ) C) D) E) 9KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ) = {(, ), (, ), (, ), (7, 6)} ) = {(, ), (, ), (, ), (7, 6)} C) = {(, ), (, ), (, ), (, 6)} D) = {(, ), (, ), (, ), (6, 7)} E) = {(, ), (, ), (, ), (7, 6)} soru 6 = {,, z} ve = {,,, } olmk üzere, şğı verilen n e tnımlnmış ğıntılrınn hngisi onksion eğilir? ) = {(, ), (, ), (z, )} ) = {(, ), (, ), (, ), (z, )} C) = {(, ), (, ), (z, )} D) = {(, ), (, ), (z, )} soru 7 E) = {(, ), (, ), (z, )} = {,, } ve = {6, 7, } olmk üzere şğı verilen n e tnımlnmış ğıntılrınn hngisi onksion eğilir? ) = {(, 7), (, 6), (, )} ) = {(, 6), (, ), (, )} C) = {(, ), (, 6), (, 7)} D) = {(, 7 ), (, 7), (, 7)} E) = {(, 6), (, 7), (, 8)} C D E 6 7 E

6 Fonksionlr Tnım, Değer ve Görüntü Kümesi kümesinen kümesine tnımlı onksionun: tnım kümesi, eğer kümesi ve kümesi içine eşleşen elemnlrın oluşturuğu kümee görüntü kümesi enir. Görüntü kümesi () ile gösterilir. 6, n e tnımlı oluğu için, Tnım Kümesi : = {,,, } Değer Kümesi : = {,,,,, 6} e eşleşen elemnlr, ve 6 oluğu için Görüntü Kümesi: () = {,, 6} olur. n e tnımlı onksionun tnım, eğer ve görüntü kümelerini ulunuz. konu kvrm çlışmsı I) II) e e Tnım Kümesi: = {,,, } Değer Kümesi: = {,,,, e} Görüntü Kümesi: () = {,, } Tnım Kümesi: = {,,, } Değer Kümesi: = {,,,, e} Görüntü Kümesi: () = {,, e} III) e IV) e Tnım Kümesi: = {,,, } Değer Kümesi: = {,,,, e} Görüntü Kümesi: () = {,,, e} Tnım Kümesi: = {,,, } Değer Kümesi: = {,,,, e} Görüntü Kümesi: () = {} kümesine eşleşen elemnlr,, ve oluğun göre, () = {,,, } olur = Cevp: n e tnımlı onksionun görüntü kümesineki elemnlrının toplmı kçtır, ulunuz.

7 Fonksionlr soru soru Yn şem ile gösterilen ğıntısı için şğıkileren hngisi nlıştır? ), n e ir onksionur. ) Tnım Kümesi: = {,,, } C) Değer Kümesi: = {,,, } D) Görüntü Kümesi: () = {,,, } E) Değer kümesi, görüntü kümesinen rklıır. Tnım Kümesi: = {,,, } Görüntü Kümesi: () = {,, } oln onksionu şğıkileren hngisi olilir? ) = {(,), (,), (,), (,)} ) = {(,), (,), (,)} C) = {(,), (,), (,), (,)} D) = {(,), (,), (,)} E) = {(,), (,), (,), (,)} soru Yn şem ile gösterilen ğıntısı için şğıkileren hngisi oğruur? soru Yn şem ile gösterilen onksionunun görüntü kümesineki elemnlrın toplmı kçtır? ) ) 6 C) 7 D) E) ), n e ir onksion eğilir. ) Tnım Kümesi: = {,,, } C) Değer Kümesi: = {,, } D) Görüntü Kümesi: () = {, } E) Değer kümesi, görüntü kümesi ile nıır. KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 6 Yn şem ile gösterilen onksionunun eğer kümesi, görüntü kümesinen kç rklı elemn shiptir? e soru şğı şem ile gösterilen onksionlrn hngisine tnım kümesi ile görüntü kümesi nıır? ) ) C) D) E) ) ) C) D) E) 6 soru 7 Yukrı şem ile gösterilen onksionunun tnım kümesi ile görüntü kümesine kç tne ortk elemnı vrır? ) ) C) D) E) E D C 6 7 D

8 Fonksionlr n e tnımlnmış onksionu, = {(, ), (, 6), (, 9), (, 7)} oluğun göre, onksionunun tnım kümesini ulunuz. = {(, ), (, 6), (, 9), (, 7)} onksionunu şem ile gösterelim. Tnım Kümesi Değer Kümesi Tnım Kümesi: = {,,, } Cevp: {,,, } = {(, ), (, ), (, ), (, )} içimine verilmiş onksionunun tnım kümesini ulunuz. = {(, ), (, ), (, ), (, )} Tnım Kümesi: = {,,, } Cevp: {,,, } = {,,, } ve = {,,,, } olmk üzere, n e tnımlı, = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionunun görüntü kümesini ulunuz. = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionunu şem ile gösterelim. Görüntü Kümesi: () = {,, } Cevp: {,, } = {,,,, } olmk üzere, n tnımlı, = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} onksionun görüntü kümesi kç elemnlıır, ulunuz. = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Görüntü Kümesi: () = {,, } Cevp: elemnlı

9 Fonksionlr soru n e tnımlnmış onksionu, = {(, ), (, ), (, )} oluğun göre, onksionunun tnım kümesi şğıkileren hngisiir? soru = {(, ), (, ), (, 7)} onksionunun görüntü kümesineki en küçük elemn kçtır? ) ) C) D) E) 7 ) = {,, } ) = {,, } C) = {,,, } D) = {,, } E) = {, } soru n e tnımlnmış onksionu, = {(, ), (, ), (, ), (, )} oluğun göre, onksionunun tnım kümesi şğıkileren hngisiir? soru 6 = {(, ), (, ), (, ), (, } onksionunun görüntü kümesineki elemnlr toplmı kçtır? ) ) C) D) 8 E) ) = {,,, } ) = {,,, } C) = {,,, } D) = {,,, } E) = {,,, } soru KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 n e tnımlnmış onksionu, = {(, ), (6, 7), (8, ), (, )} oluğun göre, onksionunun görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionunun tnım kümesi, görüntü kümesi oluğun göre, kümesi şğıkileren hngisiir? ) () = {, 6, 8, } ) () = {,, 6, 8} C) () = { 7,,, } D) () = { 7,,, } E) () = { 7,,, } ) {, } ) {, } C) {, } D) {, } E) {, } soru n e tnımlnmış onksionu, = {(, ), (, ), (, ), (, )} oluğun göre, onksionunun görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? ) () = {} ) () = {, } C) () = {,, } D) () = {,, } E) () = {,,, } soru 8 = {(, ), (, ), (, ), (, 6)} onksionunun tnım kümesi oluğun göre, krtezen çrpım kümesi kç elemnlıır? (s( ) = s() s() ir.) ) ) C) 9 D) 6 E) E C 6 C 7 D 8 D

10 Fonksionlr Fonksion Sısı s() = m ve s() = n olmk üzere, n e tnımlı orksion sısı n m olur. s() = ve s() = oluğun göre, n e onksion sısı = 6 olur. unu çrpm olul sm kvrmı ile ormülsüz e uliliriz. in gieileeği seçenek (,, ve ) nin gieileeği seçenek (,, ve ) n e tnımlı onksion sısını ulunuz. ün gieileeği seçenek (,, ve ) seçenek sılrını çrprsk..= =6 olur. Cevp: 6 s() = ve s() = oluğun göre, ) n e tnımlı onksion sısı kçtır? ) en tnımlı onksion sısı kçtır? ) s() = ve s() = oluğun göre, n e tnımlı onksion sısı s() s() = = ) s() = ve s() = oluğun göre, en tnımlı onksion sısı s() s() = = olur. s() = ve n e tnımlı onksion sısı 7 oluğun göre, s() kçtır, ulunuz. s() = ve s() = olsun. n e tnımlı onksion sısı = 7 oluğun göre, = olur. Cevp: s() = ve s() = oluğun göre, n e tnımlı ) ğıntı sısı kçtır? ) onksion sısı kçtır? ) onksion olmn ğıntı sısı kçtır? ) n e tnımlı ğıntı sısı s().s() =. = 6 ) n e tnımlı onksion sısı s() s() = = 8 ) ğıntı sısınn, onksion sısını çıkrtırsk, 6 8=6 onksion olmn ğıntı sısını uluruz.

11 Fonksionlr soru s() = ve s() = oluğun göre, n e tnımlı onksion sısı kçtır? soru s() = ve s() = oluğun göre, n e tnımlı ğıntı sısı kçtır? ) 6 ) 8 C) 9 D) E) 6 ) ) C) D) E) 6 soru s() = ve s() = oluğun göre, en tnımlı onksion sısı kçtır? soru 6 s() = ve s() = oluğun göre, n e tnımlı onksion olmn ğıntı sısı kçtır? ) ) 7 C) D) E) ) 6 ) C) D) E) soru soru 7 s() = ve n e tnımlı onksion sısı 8 oluğun göre, s() kçtır? ) ) C) D) E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI n e tnımlı onksionun () = oluğu ilinmekteir. un göre, n e kç rklı onksionu tnımlnilir? ) 7 ) 8 C) 9 D) 6 E) soru soru 8 s() = ve en tnımlı onksion sısı 6 oluğun göre, s() kçtır? ) ) C) D) 6 E) 8 n e tnımlı onksionun () = () = oluğu ilinmekteir. un göre, n e kç rklı onksionu tnımlnilir? D C D D 6 E 7 8 ) 6 ) 9 C) 6 D) E)

12 Fonksionlr Düşe Doğru Testi Griği verilen ir ğıntının onksion olup olmığını nlmk için ğıntının tnım kümesineki her elemn için üşe oğrulr çizilir. u oğrulrın her iri ğıntının griğini tek ir nokt kesior ise grik onksion griğiir. Her oğrunun kesmesi tnım kümesine oşt elemn klmığını u oğrulrın tek ir nokt kesmesi ise her elemnın see ir elemnl eşleniğini gösterir. konu kvrm çlışmsı şğı griği verilen ğıntılrın hngilerinin onksion oluğunu ullım. I) II) III) O O O Her üşe oğru griği lnız ir nokt kestiği için grik onksion griğiir. Her üşe oğru griği lnız ir nokt kestiği için grik onksion griğiir. Her üşe oğru griği lnız ir nokt kesmior. u oğrulr griği iren zl nokt kesior. Grik onksion griği eğilir. I) II) I) II) g g O O O O III) h IV) k ğıntısı onksion. Doğrulr griği ir nokt kesior. g ğıntısı onksion eğil. Doğrulr iren zl nokt griği kesior. O O III) IV) k h Griği verilen ğıntılrn hngileri R en R e ir onksion eğilir, ulunuz. O O 6 h ğıntısı onksion. Doğrulr griği ir nokt kesior. k ğıntısı onksion eğil. Doğru sonsuz nokt griği kesior.

13 Fonksionlr soru şğıki griği verilen ğıntılrn hngisi onksionur? ) ) soru şğıki griği verilen ğıntılrn hngisi ve hngileri onksionur? I) II) O O O O C) D) III) IV) O O O O E) O ) I ve II ) I ve III C) II ve III D) I, II ve III E) I, II ve IV soru şğıki griği verilen ğıntılrn hngisi onksion eğilir? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru şğıki griği verilen ğıntılrn hngisi ve hngileri onksionur? ) ) I) II) O O O O C) D) III) IV) O O O O E) O ) I ve II ) I ve IV C) II ve III D) III ve IV E) II, III ve IV D D E 7

14 Fonksionlr Fonksionlrı irer mkinee enzeteiliriz. Tnım kümesineki elemnlr onksion mkinesine tılk hmmeleri, eğer kümesi onksion mkinesinin üreteileeği ürünler, görüntü kümesi ise mkinee tıln tnım kümesineki elemnlrın mkineen çıkmış eğerleriir. Örneğin: = {,, }, = {,,, 6, 7} olmk üzere, : Æ tnımlnmış onksionu () = + olsun. = {,, } tnım kümesi ( mkinesi içine tıln sı eklenmekteir = {,, } tnım kümesi = {,,, 6, 7} eğer kümesi {,, } görüntü kümesi + Mkineen çıkn ürenler (Görüntü kümesi ()) Fonksion mkinesi içerisine tıln elemnı ile çrpıp sonu eklenmekteir. u mkinenin kurlını ulunuz. eğişkenimiz olsun.. + () = + Cevp: () = + Mkinesine tıln Sı Çıkn Sı Yukrıki onksion mkinesinin kurlını ulunuz. Giren sı ile çıkn sılr rsınki rk oluğunn () = + Cevp: + onksionunun kurlı () = + () =. + = Cevp: + Yukrı verilen onksion mkinesine göre, () kçtır, ulunuz. 8

15 Fonksionlr soru soru onksion mkinesi, içerisine tıln elemnı ile çrpıp çıkn sonuçtn eksiltmekteir. un göre, onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? Yn verilen onksion mkinesine göre, () kçtır? ) () = ) () = C) () = + D) () =. ( ) E) () =. ( + ) ) ) C) D) E) soru soru 6 onksion mkinesi, içerisine tıln elemn ekleip, çıkn sonuçu ile çrpmktır. un göre, onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? Yn verilen g onksion mkinesine göre, g() kçtır? g ) () = + ) () = + C) () = D) () =. ( + ) E) () =. ( ) +7 ) 7 ) 8 C) 9 D) E) soru soru 7 g g g 6 Yukrı verilen g mkinesinin kurlı şğıkileren hngisiir? ) g() = ) g() = + C) g() = D) g() = E) g() = + KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI Yn onksion mkinesinin kurlı verilmiştir. ={,, } oluğun göre, () görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? + ) {,, } ) {,, 7} C) {, 7, 9} D) {, 8, } E) {9,, } soru soru 8 h h h Yn h onksion mkinesinin kurlı verilmiştir. h = {,, } oluğun göre, () görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? Yukrı verilen h mkinesinin kurlı şğıkileren hngisiir? ) {,, 6} ) {,, } C) {,, } D) {,, 6} E) {, 6, 8} ) h() = + ) h() = C) h() = + D) h() = + E) h() = D D 6 E 7 D 8 9

16 Fonksionlr konu kvrm çlışmsı 6 7 onksionun her sıı sısl eğerinin zlsın tşımış. u neenle, onksionunun genel olrk 'i + e tşıığı söleneilir ve () = + şekline zılilir. Cevp: () = + : Æ e tnımlı onksionun kurlını ulunuz. Urı Fonksionun kurlını ilmek, onksion ile ilgili hesplmlrı pmmız olnk sğlr onksionu her sıı sısl eğerinin ktın tşımış. u neenle, () = ieiliriz. Cevp: () = : Æ e tnımlı onksionun kurlını ulunuz. : R Æ R e, () = + onksionu tnımlnıor. un göre, ) () ) () ) ( ) eğerlerini ulunuz. () = + oluğun göre, () her sıı, zlsın tşıor ieiliriz. ) () = + = ) () = + = ) ( ) = + = olur. : R Æ R e, () = + onksionu verilior. un göre, () + () toplmı kçtır, ulunuz. () = + = için () =. + = = için () =. + = 8 () + () = + 8 = olur. Cevp:

17 Fonksionlr soru soru () = + oluğun göre, ( ) kçtır? ) ) C) D) E) Yukrı şem ile gösterilen : Æ e tnımlı onksionun kurlı şğıkileren hngisi olilir? ) ) C) + D) E) soru () = oluğun göre, ( ) kçtır? ) ) C) D) E) soru şğı şem ile gösterilen onksionlrn hngisinin kurlı ir? ) ) 6 7 C) D) 6 7 E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 6 () = + oluğun göre, () + () toplmı kçtır? ) ) 7 C) D) E) soru 7 () = oluğun göre, (). () kçtır? ) ) C) D) E) soru () = + oluğun göre, () kçtır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) soru 8 () = + + ) ) oluğun göre, () + () toplmı kçtır? C) D) E) C D 6 E 7 8 D

18 Fonksionlr () = + onksionu tnımlnıor. () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. () = +, erine zılırs () = + = = olur. Cevp: () = + onksionu tnımlnıor. () = 7 oluğun göre, () kçtır, ulunuz. () = +, erine zılırs () = + = 7 = urn () = + ve = için () =. + = olur. Cevp: + () = onksionu tnımlnıor. + () = oluğun göre, ( ) kçtır, ulunuz. () = + + () = + +, erine zılırs = ise + =. Þ = ve = urn () = + + = için ( ) =. ( ) + + = + = Cevp: + () = onksionu tnımlnıor. () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. () = + () = +, erine zılırs = Þ + = ve = Cevp:

19 Fonksionlr soru () = + n onksionu tnımlnıor. ( ) = oluğun göre, n kçtır? soru () = m+ onksionu tnımlnıor. ) ) C) 6 D) 7 E) 8 () = oluğun göre, () kçtır? ) ) C) D) E) soru () = + m onksionu tnımlnıor. () = oluğun göre, () kçtır? soru 6 + () = onksionu tnımlnıor. ) ) C) D) E) () = oluğun göre, () kçtır? ) ) C) D) E) soru () = m + onksionu tnımlnıor. () = 8 oluğun göre, () kçtır? ) ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 () = + n + onksionu tnımlnıor. () = oluğun göre, (n) kçtır? ) ) 6 7 C) 8 7 D) 6 7 E) soru soru 8 () = n + n onksionu tnımlnıor. () = oluğun göre, ( ) kçtır? () = + onksionu tnımlnıor. ) ) 8 C) 7 D) E) () = + oluğun göre, () kçtır? ) 8 ) C) D) E)6 C D D 6 E 7 C 8

20 Fonksionlr : Æ, () = + onksionu verilior. = {,, } oluğun göre, () görüntü kümesini ulunuz. Görüntü kümesini ulilmek için tnım kümesineki elemnlrı onksion erine zlım. = için () = + = = için () = + = = için () = + = urn, () = {,, } ulunur. Cevp: {,, } : Æ, () = onksionu verilior. = {,,, 7} oluğun göre, () görüntü kümesini ulunuz. = için ( ) =. ( ) = 6 = için () =. = = için () =. = = 7 için (7) =. 7 = urn, () = { 6,,, } ulunur. Cevp: { 6,,, } : Æ, () = + onksionu verilior. () = {,, } oluğun göre, tnım kümesini ulunuz. Tnım kümesini ulilmek için görüntü kümesineki elemnlrı () = + eşitleerek eğerini ulmlıız. + = ise = + = ise = + = ise = urn, = {,, } olur. Cevp: {,, } : Æ, () = onksionu verilior. () = {,, 9} oluğun göre, tnım kümesini ulunuz. = ise = ve = = ise = ve = = 9 ise = 7 ve = 7 urn = {,, 7} olur. Cevp: {,, 7}

21 Fonksionlr soru soru : Æ, () = + onksionu verilior. = {,,, } oluğun göre, () görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? : Æ, () = onksionu verilior. () = {,,, 6} oluğun göre, kümesi şğıkileren hngisiir? ) {,, 6} ) {,, 6, 7} C) {,,, } D) {, 6, 7} E) {,,, } ) {,,, } ) {,, 6, 8} C) {,, 8, } D) {,,, } E) {,,, 6} soru soru 6 : Æ, () = onksionu verilior. = {,, } oluğun göre, () görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? : Æ, () = + onksionu verilior. () = { 8,,,, } oluğun göre, şğıkileren hngisi kümesinin ir elemnıır? ) {,, } ) {,, } C) {, } D) {,, } E) {} soru KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ) ) C) D) E) soru 7 : Æ, () = + onksionu verilior. = {,,, } oluğun göre, () görüntü kümesineki elemnlrın toplmı kçtır? : Æ, () = onksionu verilior. () = {, 7,, 9} oluğun göre, kümesinin elemnlrı toplmı kçtır? ) ) C) 8 D) E) 8 ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) soru soru 8 : Æ, () = + onksionu verilior. : Æ, () = + onksionu verilior. = {,, 8} oluğun göre, () görüntü kümesineki elemnlrn iri şğıkileren hngisiir? () = {,,, 7, 9} oluğun göre, kümesinin elemnlrı toplmı kçtır? ) ) C) D) E) 6 ) ) C) D) 7 E) 8 D E 6 C 7 E 8

22 Fonksionlr ( + ) = + oluğun göre, () kçtır, ulunuz. ( + ) = + iesine erine zmmızın () ü ulmmızı sğlmığını göreilirsiniz. Onun erine + = eşitliğini sğln = eğerini zmlıız. ( + ) = () ise + = oluğun ikkt einiz. ( + ) = + ise () = + = Cevp: ( ) = + oluğun göre, () + () toplmı kçtır, ulunuz. ( ) = () için = ise = erine zılırs, ( ) = + ise () =. + = 9 ( ) = () için = ise = erine zılırs, ( ) = + ise () =. + = 7 () + () = = 6 Cevp: 6 () = + oluğun göre, (8) kçtır, ulunuz. () = (8) için = 8 ise = erine zılırs, () = + ve (8) =.+ = 7 Cevp: 7 ( + ) = oluğun göre, (6) kçtır, ulunuz. ( + ) = (6) için + = 6 ise =, erine zılırs, ( + ) = 6 ( + ) =.( ) (6) = Cevp:

23 Fonksionlr soru ( + ) = + oluğun göre, () kçtır? soru ( + ) = oluğun göre, (7) kçtır? ) 7 ) 8 C) 9 D) E) ) ) C) D) E) 6 soru () = + oluğun göre, () kçtır? soru 6 ( ) = + oluğun göre, () kçtır? ) ) 9 C) D) E) ) ) 6 C) D) 6 E) soru KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 ( ) = oluğun göre, () kçtır? ) ) 6 C) 7 D)8 E) 9 ( ) = 8+ oluğun göre, ( ) kçtır? ) 9 ) C) D) E) 9 soru soru 8 ( + ) = + oluğun göre, () + (7) toplmı kçtır? ) ) 8 C) 7 D) E) ) = + oluğun göre, () + () toplmı kç- ( tır? ) ) 6 C) 9 D) E) E E 6 D 7 D 8 C 7

24 Fonksionlr Fonksion Grikleri Fonksionun özel tip ir ğıntı oluğunu öğrenik. O hle griklerini, ğıntı grikleri gii çizeiliriz. Örneğin: = {,,, }, = {,,,, } ve, n e tnımlı = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionunun griğini çizelim. = {,,, }, = {,, } : Æ, = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionun griğini çiziniz. Noktlrın koorintlrını zrk, (, ), (, ), (, ), (, ), (,) Tnım kümesi = {,,,, } olur. Griği verilen onksionunun tnım kümesini ulunuz. = {,,, }, = {,,,,,, 6} : Æ, () = onksionun griğini çiziniz.. Tnım kümesineki eğerleri onksion zrk noktlrımızı ullım. () =. =, (, ) 6 () =. =, (, ) () =. =, (, ) () =. = 6, (, 6) 8

25 Fonksionlr soru soru = {,, }, = {,,, } : Æ e tnımlı = {(, ), (, ), (, )} onksionunun griği şğıkileren hngisiir? ) ) C) soru E) D) = {,,, }, = {,,,, } : Æ e tnımlı = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionunun griği şğıkileren hngisiir? ) ) C) D) E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI = {,,, }, = {,,,, }, : Æ, () = + onksionunun griği şğıkileren hngisiir? ) ) C) D) E) soru = {,, }, = {,,,,,, 6}, : Æ, () = onksionunun griği şğıkileren hngisiir? ) ) 6 6 C) 6 E) D) 6 C D 9

26 Fonksionlr Grik Okum u ölüme grik üzerine verilen noktlrı kullnmı öğreneeğiz. = () Grik üzerineki noktlrı okurk, (, ) noktsınn ( ) = (, ) noktsınn ( ) = (, ) noktsınn () = (, ) noktsınn () = ilgilerine ulşiliriz. Grik üzerineki noktlrı okurk, onksionl ilgili ilgilere ulşınız. (, ) noktsınn ( ) = (, ) noktsınn () = ir. ( ) + () = + ( ) = Cevp: = () Yukrı griği verilen = () onksionu için, ( ) + () toplmı kçtır, ulunuz. (, ) noktsınn ( ) = = () (, ) noktsınn ( ) = (, ) noktsınn () = (, ) noktsınn () = ir. ( ) + ( ) () + () = + + = Yukrı griği verilen = () onksionu için, ( ) + ( ) iesinin sonuu kçtır, ulunuz. () + () Cevp:

27 Fonksionlr soru Yukrı griği verilen = () onksionu için, ( ) + () toplmı kçtır? = () ) ) C) D) E) soru = () Yukrı griği verilen = () onksionu için, şğıkileren hngisi oğruur? ) ( ) = ) ( ) = C) () = D)() = E) () = soru soru = () Yukrı griği verilen = () onksionu için, = () ()+( ) kçtır? () ) ) soru C) D) E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI Yukrı griği verilen = () onksionu için, ( ) + () = m + () oluğun göre, m kçtır? ) 6 ) C) D) E) soru 6 şğıki grikleren hngisi, ( ) =, () = ve () = koşullrını sğlr? ) ) şğıki grikleren hngisi ve hngileri ( ) = v e ( ) = koşullrını sğlr? I) II) C) D) III) IV) E) ) I ve II ) I ve III C) II ve IV D) I ve IV E) I, II ve IV E E C 6

28 Fonksionlr Grik Okum u ölüme grikleri verilen onksionlrın tnım ve görüntü kümelerini ulmı öğreneeğiz. Griği verilen onksionunun tnım kümesini ullım. Grikte işretlenen ere ikkt eilirse, tnım kümesinin [, ] rlığı oluğu görüleilir. Cevp: [, ] Griği verilen onksionunun görüntü kümesini ulunuz. Grikte işretlenen ere ikkt eilirse, görüntü kümesinin [, ] rlığı oluğu görüleilir. Cevp: [, ] Griği verilen onksionunun tnım ve görüntü kümesini ulunuz. Grikte (, ) noktsı hil eilmeiği için onksionun tnım kümesi (, ] görüntü kümesi [, ) olur.

29 Fonksionlr soru soru 6 =() Yukrı griği verilen = () onksionunun tnım kümesi şğıkileren hngisiir? = () Yukrı griği verilen = () onksionunun tnım kümesi şğıkileren hngisiir? ) [, 6] ) [, 6) C) (, 6) D) (, ) E) [, ] ) (, ) ) (, ] C) [, ] D) [, ) E) [, ] soru soru =() 6 =() Yukrı griği verilen = () onksionunun görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI Yukrı griği verilen = () onksionunun görüntü kümesi şğıkileren hngisiir? ) [, 6] ) [, 6) C) (, ) D) [, ] E) (, ] ) (, ) ) (, ] C) (, ] D) (, ) E) [, ] soru =() soru Yukrı = () onksionunun griği verilmiştir. un göre, şğıkileren hngisi nlıştır? ) Tnım kümesi = [, 6] ) (6) = C) Görüntü kümesi = [, ] D) ( ) = E) () = Yukrı = () onksionunun griği verilmiştir. un göre, şğıkileren hngisi nlıştır? ) Tnım kümesi = (, 8) ) ( ) = C) Görüntü kümesi = ( 6, ) D) () = E) (8) = D E D 6 E

30 Fonksionlr Fonksion Türleri ireir onksion: ir onksionun tnım kümesineki her elemnın görüntüsü rklı ise onksion ireir ( ) onksion enir. I) II) e e Tnım kümesineki her elemnın görüntüsü rklı oluğu için ireir onksionur. Tnım kümesineki her elemnın görüntüsü rklı oluğu için ireir onksionur. III) IV) e e Tnım kümesineki ve elemnlrı ile eşlenmiş, u neenle ireir onksion eğilir. Tnım kümesineki ve elemnlrı e ile eşlenmiş, u neenle ireir onksion eğilir. = {,,, }, = {,,,, e} ve : Æ olmk üzere şğı liste öntemi ile verilen onksionlrın ireir olup olmığını ineleiniz. I) = {(, ), (, ), (, ), (, e)} II) = {(, ), (, ), (, ), (, e)} III) = {(, ), (, ), (, ), (, )} IV) = {(, ), (, ), (, ), (, )} I) Tnım kümesineki her elemnın görüntüsü rklı. u neenle ireir onksionur. II) Tnım kümesineki her elemnın görüntüsü rklı. u neenle ireir onksionur. III) Tnım kümesineki ve elemnlrı ile eşlenmiş, u neenle ireir onksion eğilir. IV) Tnım kümesineki tüm elemnlr ile eşlenmiş, u neenle ireir onksion eğilir. = {,,, } ve = {,,, } kümeleri verilior. : Æ e tnımlı = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionun ne olurs onksion ireir olur, ulunuz. Eğer, ile eşleşirse her elemnın görüntüsü rklı olur ve ireir onksion olur. Cevp:

31 Fonksionlr soru = {,,, }, = {,,,, e} n e tnımlı onksionlrn hngisi ireir onksionur? ) ) e C) D) E) e e e e soru = {,, }, = {,, 6, 8} n e tnımlı onksionlrn hngisi ireir onksion eğilir? ) {(, ), (, 6), (, 8)} ) {(, ), (, 6), (, )} C) {(, ), (, 8), (, )} D) {(, 8), (, 6), (, )} E) {(, ), (, 6), (, )} soru soru = {,,, }, = {,,,, 6} şğıki n e tnımlı onksionlrn hngileri ireir onksionur? I) II) 6 6 III) IV) 6 6 KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI = {,, }, = {,,, } n e tnımlı ğıntısı = {(, ), (,)} şekline tnımlnıor. şğıkileren hngisi ğıntı hil eilirse ireir onksion olur? ) (, ) ) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) ) I ve II ) I ve III C) I ve IV D) II ve III E) I, III ve IV soru = {,, }, = {,, } şğıki n e tnımlı onksionlrn hngisi ireir onksionur? soru 6 = {,, }, = {,, 6, 8, } n e tnımlı ğıntısı = {(, ), (, ), (, 8)} şekline tnımlnıor. un göre, şğıkileren hngisi nlıştır? ) {(, ), (, ), (, )} ) {(, ), (, ), (, )} C) {(, ), (, ), (, )} D) {(, ), (, ), (, )} E) {(, ), (, ), (, )} ) Tnım Kümesi: {,, } ) Değer Kümesi: {,, 6, 8,} C) Görüntü Kümesi: {,, 8} D) ireir onksionur. E) () = D C E D 6 E

32 Fonksionlr Grik üzerineki noktlrı liste içimine zrsk, (, ) ise ( ) = (, ) ise ( ) = (, ) ise () = (, ) ise () = ) () = oğru ) () = > ( ) = oğru Yukrı griği verilen = () onksionu için şğıkileren hngisi nlıştır, ulunuz. ) () = ) () > ( ) C) ireirir. C) Her sının görüntüsü rklı oluğu için ireirir. D) Tnım kümesi ni eğerleri {,,, } oğru E) Görüntü kümesi ni eğerleri {,,, } nlış Cevp: E D) Tnım Kümesi: {,,, } E) Görüntü Kümesi: {,,,, } Urı ir onksionun griğine çizilen t oğrulr griği lnız ir nokt kesior ise onksion ireir olur. konu kvrm çlışmsı şğı griği verilen onksionlrın ireirlik urumun ineleiniz. I) II) O O ireir onksionur. ireir onksion eğilir. III) IV) O O ireir onksion eğilir. ireir onksion eğilir. 6

33 Fonksionlr soru şğı griği verilen onksionlrn hngisi ireir onksionur? ) ) C) D) soru şğı griği verilen onksionlrn hngisi ireirir? ) ) C) D) E) E) soru soru I) II) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI 6 Yukrı griği verilen = () onksionu için şğıkileren hngisi nlıştır? ) Tnım Kümesi: [, 6] ) Görüntü Kümesi: [, ] C) ireir onksionur. D) ( ) = E) () < (6) III) IV) soru Yukrı griği verilen onksionlrn hngileri ireir onksionur? Yukrı griği verilen = () onksionu için şğıkileren hngisi nlıştır? ) I ve II ) I ve III C) II ve III D) III ve IV E) II ve IV ) Tnım Kümesi: [, ] ) Görüntü Kümesi: [, ] C) ( ) = D) () = E) ireir onksionur. D C E E D 7

34 Fonksionlr ) Örten ve içine onksion: ir onksionun eğer kümesine eşlenmemiş (oşt) elemn klmzs ni eğer kümesi ile görüntü kümesi nı olurs, u onksion örten onksion enir. ir onksionun eğer kümesine eşlenmemiş (oşt) elemn ulunurs ni örten olmzs u onksion içine onksion enir. konu kvrm çlışmsı şğı şem ile gösterilen onksionlrı ineleiniz. I) II) Değer kümesineki elemnı eşlenmemiş, onksion örten eğil ni içine. Değer kümesine eşlenmemiş elemn klmmış, onksion örtenir. = {,,, } ve = {,, } olmk üzere şğı verilen onksionlrn hngileri örtenir, ulunuz. I) = {(, ), (, ), (, ), (, )} II) = {(, ), (, ), (, ), (, )} III) = {(, ), (, ), (, ), (, )} III e eğer kümesineki elemnı oşt klığı için onksion örten eğil ni içineir. I ve II e eğer kümesine oşt elemn klmığı için onksionlr örtenir. Cevp: I ve II = {,,, } ve = {,,, } olmk üzere, 'n e tnımlı = {(, ), (, ), (, ), (, )} onksionu verilior. un göre, şğıkileren hngisi nlıştır, ulunuz. ) ireirir. ) örtenir. C) () = D) () > () E) () + () = 6 ) Tnım kümesineki her elemnın görüntüsü rklı oluğu için onksionu ireirir. ) Değer kümesine oşt elemn klmığı için örtenir. C) (, ) ise () = D) (, ) ise () = (, ) ise () = () > () olur. E) (, ) ise () = (, ) ise () = () + () = 7 oluğunn () + () = 6 iesi nlıştır. Cevp: E 8

35 Fonksionlr soru soru I) II) III) IV) Yukrı şem ile gösterilen onksionlrn hngileri örtenir? ) I ve II ) II ve III C) II ve IV D) III ve IV E) II, III ve IV şğı şem ile gösterilen onksionlrn hngisi ireir ve içineir? ) ) C) D) soru E) soru şğı şem ile gösterilen onksionlrn hngisi içineir? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI = {,, }, = {,, } olmk üzere şğı verilen onksionlrn hngileri örtenir? I) = {(, ), (, ), (, )} II) = {(, ), (, ), (, )} III) = {(, ), (, ), (, )} IV) = {(, ), (, ), (, )} ) I ve II ) II ve III C) III ve IV D) I ve III E) II ve IV ) ) C) D) soru = {,,, }, = {,, 6, 8} olmk üzere, n e tnımlı = {(, 8), (, 6), (, 6), (, )} onksionu verilior. un göre, şğıkileren hngisi nlıştır? ) ireir eğilir. E) ) örten eğilir. C) içineir. D) () > () E) () + () = 6 C D E E 9

36 Fonksionlr Grik üzerineki noktlrı liste içimine zrsk, (, ) ise ( ) = (, ) ise ( ) = (, ) ise () = (, ) ise () = ) Her sının görüntüsü rklı oluğu için ireirir. ) Değer kümesine oşt elemn klmığı için örtenir. = {,,, }, = {,,, } olmk üzere, n e tnımlı onksionunun griği verilmiştir. un göre, şğıkileren hngisi nlıştır, ulunuz. ) onksionu ireirir. C) ( ) = D) () = oluğunn, () = eşitliği nlıştır. E) () = ve () = () > () ) onksionu örtenir. C) ( ) = Cevp: D D) () = E) () > () Urı ir onksionun griğine çizilen t oğrulr griği en z ir nokt kesior ise onksion örtenir. konu kvrm çlışmsı I) II) O O ireir ve örten onksionur. ireir eğil kt örten onksion. III) IV) O O ireir ve örten eğil, içine onksion ireir ve örten eğil içine onksion.

37 Fonksionlr soru = {,,, }, = {,, } n e tnımlı onksionun örten oluğu iliniğine göre, şğıkileren hngisi onksionun griği olilir? soru şğı griği verilen onksionlrn hngisi ireir ve örten ir onksionur? ) ) ) ) C) D) C) D) E) E) soru soru I) II) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI Yukrı griği verilen = () onksionu için şğıkileren hngisi nlıştır? ) Tnım kümesi: [, ] ) Görüntü kümesi: [, ] C) () = D) içine onksionur. E) ireirir. soru III) IV) 6 Yukrı griği verilen onksionlrn hngileri örtenir? ) I ve II ) I ve III C) I ve IV D) I, II ve III E) I, III ve IV Yukrı griği verilen = () onksionu için şğıkileren hngisi nlıştır? ) Tnım kümesi: [, 6] ) () = C) Görüntü kümesi: [, ] D) ( ) = E) ireirir. C D E D E

38 Fonksionlr irim onksion : Æ, () = kurlı ile verilen onksion irim onksion enir. O hle, irim onksion her elemnı kenisi ile eşleen onksion olrk üşünüleilir. irim onksion içine tıln eğişkene hiç ir işlem ugulmn nen ışrı çıkrn ir onksion mkinesi olrk üşünüleilir. : R Æ R, () = onksionunun griğini çizelim. = Þ () = = Þ () = = Þ ( ) = Grikten e göreileeğimiz gii irim onksionlr ve örtenir. irim onksion oluğun göre, (), ( ), (), (e ) eğerlerini ulunuz. irim onksion oluğunn () = ir. () =, (/) = /, () = ve (e ) = e tür. irim onksion olmk üzere, () + () = k + koşulunu sğln k eğeri kçtır, ulunuz. irim onksion oluğun göre, () = ve () = ieiliriz. () + () = k + +. = k + ise k = 9 Cevp: 9 : Z Æ Z, () = ( ) + onksionu irim onksion oluğun göre, + kçtır, ulunuz. () irim onksion oluğun göre, () = olmlıır. u neenle, =, = olmlıır. urn = ve = + = +. = Cevp: : R Æ R, () = ( ) + ( ) + onksionu irim onksion oluğun göre, + + kçtır, ulunuz. () irim onksion oluğun göre, () = olmlıır. u neenle, =, = ve = urn =, = ve =, + + = + + = 7 Cevp: 7

39 Fonksionlr soru soru () irim onksion oluğun göre, () kçtır? ) ) C) D) E) () irim onksion oluğun göre, ( + ) + ( ) = koşulunu sğln kçtır? ) ) C) D) 6 E) 7 soru soru 6 () irim onksion oluğun göre, () + () kçtır? () irim onksion olmk üzere, ( + ) = ve (+) = oluğun göre,. çrpımı kçtır? ) ) C) D) E) ) 6 ) C) D) E) 6 soru () irim onksion oluğun göre, () ( ) = m + koşulunu sğln m kçtır? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 () irim onksion olmk üzere, () = ( ) + ( ) + oluğun göre, ) ) 8 C) 7 D) 6 E) + + toplmı kçtır? ) 7 ) 7 C) D) E) 6 soru soru 8 () irim onksion oluğun göre, () + () () kçtır? ) ) C) D) 6 E) 6 () irim onksion olmk üzere, ( + ) = ( ) + ( ) + oluğun göre, + + toplmı kçtır? ) 6 ) 7 C) 9 D) E) E D C C 6 E 7 C 8 E

40 Fonksionlr Sit Fonksion ve Sıır Fonksionu : Æ, Î R, () = onksionun sit onksion enir. u sit sı ise u onksion sıır onksionu enir. O hle, sit onksion tnım kümesineki tüm elemnlrı nı sı tşın onksionur. Sit onksionu içine tıln eğişkeni ne olurs olsun hep nı sıı üreten ir onksion mkinesi olrk üşünüleilir. Örneğin: () = ise / () = () = (/) = Sıır onksionu enzer içime içine tıln eğişkeni ne olurs olsun hep sısını üreten ir onksion mkinesi olrk üşünüleilir. Örneğin: () = olmk üzere, 7 / () = ( 7) = ( /) = () = 7 olmk üzere () kçtır, ulunuz. () = 7 sit ir onksionur. u üzen () = 7 olur. Cevp: 7 sit onksion olmk üzere, () + () = oluğun göre, () onksionunu ulunuz. sit onksion oluğun göre, () = olur. O hle, () = () = ieiliriz. ()+() = +. = ise = ve = olur. Cevp: : R Æ R, () = ( ) + ( + ) sit onksion oluğun göre, () onksionunu ulunuz. Sit onksion içine ulunmz. u neenle = olmlıır. = zılırs, () = ulunur. O hle () = olur. Cevp: () =

41 Fonksionlr soru soru () sit onksion olmk üzere, () () kçtır? () sit, g() irim onksion olmk üzere, () + g()= 8 oluğun göre, () + g() toplmı kçtır? ) ) C) D) E) ) ) C) D) E) soru soru 6 () sit onksion olmk üzere, () + () = oluğun göre, (6) kçtır? ) ) C) D) 6 E) 7 () ve g() sit onksion olmk üzere, () + g()= () g(6)= oluğun göre, () kçtır? ) ) C) D) E) 6 soru () sit onksion olmk üzere, () = ( 6) + + oluğun göre, kçtır? KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 () sit onksion olmk üzere, () + () () = 6 oluğun göre, ) ) C) D) E) () + () () toplmı kçtır? ) 6 ) 9 C) D) E) 8 soru soru 8 () sıır onksionu olmk üzere, () = ( ) + oluğun göre, + kçtır? oluğun göre, m kç- 6 + () sit onksion ve () = + m tır? ) 7 ) 8 C) 9 D) E) ) ) 6 C) 8 D) E) D E C 6 7 C 8 D

42 Fonksionlr Doğrusl Fonksion, Î R olmk üzere, () = + içimineki onksionlr oğrusl (lineer) onksion enir. u onksionlrın griklerinin oğru içimine olmsı u şekile isimlenirilmesine neen olur. Örneğin: : R Æ R, () = + onksionun griğini çizelim. = ise () =. + = = ise () =. + = = ise ( ) =. + = : R Æ R, () = kçtır, ulunuz. oluğun göre, () + () toplmı () =. () =. = = = = 7 () + () = +. 7 = olur. Cevp: : R Æ R, () = + ve () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. () =. + = oluğun göre,. = = olur. Cevp: : R Æ R, () = + ve () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. () =. + = oluğun göre,. = 8 = olur. Cevp: 6

43 Fonksionlr soru şğıkileren hngisi oğrusl onksion griği eğilir? soru : R Æ R, () = ve () = 7 oluğun göre, kçtır? ) ) ) ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 C) D) soru : R Æ R, () = + ve () + ( + )= oluğun göre, kçtır? E) ) ) C) D) E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru : R Æ R, () = + oluğun göre, () kçtır? soru 6 : R Æ R, () = m + ve () = 7 oluğun göre, m kçtır? ) 9 ) C) D) E) ) ) C) D) 6 E) 7 soru : R Æ R, () = + oluğun göre, () () kçtır? soru 7 : R Æ R, () = n + n + ve ) ) C) D) 6 E) 7 () + () = oluğun göre, n kçtır? ) ) C) D) E) D C E 6 C 7 7

44 Fonksionlr : R Æ R, () = + ve () =, () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. () = + () =. + = + = () =. + = ise = + = Þ + = Þ = olur. Cevp: () oğrusl onksion, () = ve () = 8 oluğun göre, () kçtır, ulunuz. () oğrusl onksion oluğun göre, () = + olur. () =. + = () =. + = 8 olur. urn, + = + = 8 = ve = olur. () = ve () =. = 9 Cevp: 9 Grik üzerineki (, ) noktsı ize onksion erine zrsk sonuun olğını gösterior. () = + = ise = ve = (, ) O hle, () = + ve () = + Yukrı () = + onksionunun griği verilmiştir. (6) =. 6 + = olur. un göre, (6) kçtır, ulunuz. Cevp: 8 () = + Grik üzerineki (, ) ve (, 8) noktlrını kullnlım. (, ) noktsın ( ) = (, 8) noktsın () = 8 ( ) = + = () = + = 8 = 8 ve = Yukrı griği verilen () = + onksionu için, () kçtır, ulunuz. () = + = 8 + = Cevp: 8

45 Fonksionlr soru soru : R Æ R, () = + ve () =, () = 6 oluğun göre, () kçtır? Yn () = + k onksionunun griği () = + k (, 6) ) ) C) D) 6 E) 7 verilmiştir. un göre, k kçtır? ) ) C) D) E) soru soru 6 : R Æ R, () = m + n ve Yn () = m + 6 () =, () = oluğun göre, m kçtır? onksionunun griği ) ) C) D) E) verilmiştir. un göre, () kçtır? () = m + 6 soru () oğrusl onksion, () =, () = oluğun göre, () kçtır? ) ) C) D) E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ) ) C) D) E) soru 7 Yn () = + () = + (, ) onksionunun griği verilmiştir. un göre, kçtır? (, ) ) ) C) D) E) soru soru 8 () oğrusl onksion, Yn () ve g() g() () =, () + () = oluğun göre, () kçtır? oğrusl onksionlrının (, ) ) ) 7 C) 9 D) E) griği verilmiştir. un göre, () + g() kçtır? () ) ) C) D) E) C D E 6 D 7 8 9

46 Fonksionlr ileşke Fonksion Fonksionlrın ileşkesini lm işlemi iki tne onksion mkinesinin irleştirilmesi olrk ie eileilir. ve g ) (og)() ileşke işlemi u sır pılmktır. g + ()= + oluğun göre, ) (og)() ) (go)() ileşke onksionlrını ulunuz. g() = + + (og)() = + ) (go)() ileşke işlemi u sır pılmktır. + g.(+) + (go)() = + Cevp: (og)() = +, (go)() = + (goh)() ileşke işlemi u sır pılmktır. g ve h h + g() = h() = + oluğun göre, (goh)() ileşke onksionunu ulunuz. g +.(+) 6+ (goh)() = 6 + Cevp: (goh)() = 6 +

47 Fonksionlr soru soru Yn (go)() onksion g ve mkinesine göre, g() şğıkileren hngisiir? g Yukrı verilen onksion mkinelerine göre, (og)() şğıkileren hngisiir? + (go)() = + ) ) C) D) + E) ) + ) + C) + D) E) + soru g ve + Yukrı verilen onksion mkinelerine göre, (go)() şğıkileren hngisiir? ) ) C) + D) + E) +8 soru h ve KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 6 g Yn (og)() onksion mkinesine göre, () şğıkileren hngisiir? +7 + (og)() = + ) + ) + C) D) E) soru 7 g h,, + Yukrı verilen onksion mkinelerine göre, (oh)() şğıkileren hngisiir? + Yukrı verilen onksion mkinelerine göre, (hogo)() şğıkileren hngisiir? ) + ) + C) + D) +6 E) +7 soru ) + ) +6 C) 6 D) 6 + E) 6+6 soru 8 ve g g h,, + Yukrı verilen onksion mkinelerine göre, (go)() şğıkileren hngisiir? + Yukrı verilen onksion mkinelerine göre, (ogoh)() şğıkileren hngisiir? ) 6 ) 6 C) 6+ D) 6+ E) 6+ ) ) + C) + D) + E) +6 D C 6 E 7 E 8

48 Fonksionlr ileşke Fonksion,, C oş olmn kümeler olsun, : Æ, () = ve g: Æ C, g() = z olsun. go: Æ C, (go)()= g(()) = z şekline tnımlı onksion ileşke onksion enir. "o" ileşke semolüür. unu venn şemsı ile ie eersek, g C z (go) g go C = {,, }, = {,, }, C = {,,, 6} kümeleri verilior. g: Æ, g = {(, ) (, ), (,)} : Æ C, = {(, ) (, ), (, 6)} onksionlrı tnımlnıor. og onksionunu venn şemsı ve liste öntemile gösterelim. g C 6 og og() = (g()) oluğun göre, og() = (g()) = () = og() = (g()) = () = 6 og() = (g()) = () = og = {(, ), (, 6), (, )} ulunur. g = {(, ) (, ), (, 6)} = {(, ) (, ), (6, )} oluğun göre, og onksionunu ulunuz. g 6 C og og() = (g()) = () =, og() = (g()) = () = og() = (g()) = (6) = og = {(, ), (, ), (, )} ulunur. = {(, ) (, ), (, )} g = {(, ) (, ), (, ), (, )} oluğun göre, go onksionunu ulunuz. go( ) = g(( )) = g() = go() = g(()) = g() = go() = g(()) = g() = go = {(, ), (, ), (, )} ulunur.

49 Fonksionlr soru soru = {(, ), (, ), (, )} ve g = {(, ), (, ), (, )} onksionlrı verilior. un göre, (go)() onksionun liste içimine zılışı şğıkileren hngisiir? ) {(, ), (, ), (, )} ) {(, ), (, ), (, )} g C 6 8 C) {(, ), (, ), (, )} D) {(, ), (, ), (, )} E) {(, ), (, ), (, )} og soru = {(, ), (, ), (, )} ve g = {(, ), (, ), (, )} onksionlrı verilior. un göre, (og)() onksionun şem gösterimi şğıkileren hngisiir? Yukrı şem ile gösterilen og onksionunun liste içimine zılışı şğıkileren hngisiir? ) {(, ), (, ), (, 6), (, 8)} ) {(, ), (, ), (, 6)} C) {(, ), (, ), (, 6) (, 8)} D) {(, ), (, ), (, 6) (, )} E) {(, ), (, ), (, 8) (, 6)} ) ) g g og KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru = {(, ), (, ), (, 6)} ve g = {(, ), (, ), (6, )} onksionlrı verilior. un göre, (go)() kçtır? ) ) C) D) E) soru = {(, ), (, ), (, )} ve C) g og g = {(, ), (, ), (, )} onksionlrı verilior. un göre, (og)() + (og) () toplmı kçtır? ) 6 ) C) D) E) soru 6 D) g og = {(, ), (, ), (, )} onksionu verilior. un göre, (o)() kçtır? ) ) C) D) E) og soru 7 E) g = {(, ), (, ), (, )} onksionu verilior. un göre, (o) onksionu şğıkileren hngisiir? ) {(, ), (, ), (, )} ) {(, ), (, ), (, )} C) {(, ), (, ), (, )} D) {(, ), (, ), (, )} og E) {(, ), (, ), (, )} C E 6 7 D

50 Fonksionlr u ölüme ileşke işlemini kurlı verilen onksionlr ugulğız. () = + ve g() = oluğun göre, ) (go)() kçtır, ulunuz. ) (og)() kçtır, ulunuz. (go)() = g(()) oluğun göre, ) (go)() = g(()) = g(. + ) = g() =. = 8 ) (og)() = (g()) = (. ) = () =. + = () = + ve g() = oluğun göre, ) (og)() kçtır, ulunuz. ) (o)() kçtır, ulunuz. ) (gog)() kçtır, ulunuz. ) (og)() = (g()) = (. ) = () = + = ) (o)() = (()) = ( + ) = (6) = 6 + = 8 ) (gog)()= g(g()) = g(. ) = g(6) =. 6 = 8 () = + ve g() = oluğun göre, ) (go)() onksionunun kurlını ulunuz. ) (og)() onksionunun kurlını ulunuz. ) (go)() = g(()) = g( + ) =. ( + ) = 6 + ) (og)() = (g()) = () =. () + = 6 + Urı (go)() işleminin g() onksionun erine () zmk oluğunu söleeiliriz. () = ve g() = + oluğun göre, ) (go)() onksionunun kurlını ulunuz. ) (og)() onksionunun kurlını ulunuz. ) (o)() onksionunun kurlını ulunuz. ) (go)() = g(()) = g( ) =. ( ) + = 6 + = 6 ) (og)() = (g()) = ( + ) =. ( + ) = 6 + ) (o)() = (()) = ( ) =. ( ) = Urı (og)() ¹ (go)() ( ¹ g) (ileşke işleminin eğişme özelliği oktur. (o(goh))() = ((og)oh)() (irleşme özelliği vrır. )

51 Fonksionlr soru soru () = ve g() = + oluğun göre, (og)() kçtır? ) ) 6 C) 8 D) E) () = + ve g() = oluğun göre, (go)() onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) ) + C) + D) + E) + soru soru 6 () = + ve g() = oluğun göre, (og)() kçtır? ) ) C) D) 6 E) 7 () = ve g() = + oluğun göre, (og)() onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) ) 6 C) 6+ D) 6+ E) 6+ soru KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 () = oluğun göre, (o)() kçtır? ) 6 ) 8 C) D) E) 7 () = + oluğun göre, (o)() onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) + ) + C) + D) + E) + soru soru 8 () = + ve g() = oluğun göre, (gog)() + (og)() toplmı kçtır? ) 7 ) 8 C) 9 D) E) () = + oluğun göre, (o)() onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) + ) +6 C) 9+ D) 9+ E) 9+6 C D E 6 D 7 C 8 E

52 Fonksionlr ir Fonksionun Tersi: : Æ, () =, ireir ( ) ve örten onksionu için in tersi onksionu : Æ, () = şekline tnımlnır. O hle, onksionu 'i 'e tşıor ise onksionu 'i 'e tşıktır. Şem ile gösterirsek, = {,,, } ve = {6, 7, 8, 9} olmk üzere, : Æ, = {(, 6), (, 7), (, 8), (, 9)} oluğun göre, i ulunuz ise in tnım kümesi in eğer kümesi in eğer kümesi in tnım kümesi = {(6, ), (7, ), (8, ), (9, )} = {,,, } ve = {,,, 7} olmk üzere, : Æ, = {(, ), (, ), (, 7), (, )} oluğun göre, i ulunuz. 7 ise 7 in tnım kümesi in eğer kümesi in eğer kümesi in tnım kümesi = {(, ), (, ), (7, ), (, )} = {,, } ve = {, 7} olmk üzere, : Æ, = {(, ), (, ), (, 7)} oluğun göre, onksionu vr mıır, ulunuz. 7 ise 7 ( () = ve () = oluğunn oktur.) Urı ir onksionun tersinin olilmesi için onksionun ireir ve örten olmsı gerekir. 6

53 Fonksionlr soru soru = {,, } ve = {,, 6} : Æ, = {(, ), (, ), (, 6)} oluğun göre, şğıkileren hngisiir? = {,,, } ve = {6, 8,, } : Æ, oluğun göre, şğıki onksionlrn hngisinin tersi oktur? ) = {(, ), (, ), (, 6)} ) = {(, ), (, 6), (, )} C) = {(, ), (, ), (6, )} D) = {(, ), (, ), (6, )} E) = {(, ), (, ), (6, )} ) = {(, 8), (, 6), (, ), (, )} ) = {(, 6), (, 8), (, ), (, )} C) = {(, ), (, 8), (, 6), (, )} D) = {(, ), (, ), (, 8), (, 6)} E) = {(, 6), (, ), (, 8), (, )} soru soru 6 = {,,, } ve = {,,, } : Æ, = {(, ), (, ), (, ), (, )} oluğun göre, şğıkileren hngisiir? = { 7,,, } ve = {,,, 7} oluğun göre, şğıki onksionlrn hngisinin tersi oktur? ) = {(, ), (, ), (, ), (, )} ) = {(, ), (, ), (, ), (, )} C) = {(, ), (, ), (, ), (, )} D) = {(, ), (, ), (, ), (, )} E) = {(, ), (, ), (, ), (, )} soru = {,,, 7} ve = {,,, 6} : Æ, = {(, 6), (, ), (, ), (7, )} KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI ) = {( 7, 7), (, ), (, ), (, )} ) = {( 7, 7), (, ), (, ), (, )} C) = {( 7, ), (, ), (, ), (, 7)} D) = {( 7, ), (, ), (, 7), (, )} E) = {( 7, ), (, ), (, ), (, 7)} soru 7 () = ve () = oluğun göre, () + () toplmı kçtır? oluğun göre, şğıkileren hngisiir? ) = {(6, ), (, ), (, ), (, 7)} ) = {(6, ), (, ), (, ), (, 7)} C) = {(6, ), (, ), (, ), (7, )} D) = {(6, ), (, ), (, ), (, 7)} E) = {(, 6), (, ), (, ), (, 7)} ) ) C) D) E) 7 soru soru 8 = {,, } ve = {,, } : Æ oluğun göre, şğıki onksionlrn hngisinin tersi oktur? ) = {(, ), (, ), (, )} ) = {(, ), (, ), (, )} C) = {(, ), (, ), (, )} D) = {(, ), (, ), (, )} E) = {(, ), (, ), (, )} () = ve () = 6 oluğun göre, () + (6) toplmı kçtır? ) ) C) 6 D) 7 E) 8 C E 6 D 7 C 8 7

54 Fonksionlr () = + onksionu verilior. () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. () = ise () = () =. + = = = Cevp: () = + onksionu verilior. () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. () = ise ( ) = ( ) =. ( ) + = = Cevp: () = + + onksionu verilior. () = ise () = () = oluğun göre, kçtır, ulunuz. + () = + = + = Þ + = 8 Þ = Cevp: () oğrusl onksion, () = ve () = oluğun göre, (6) kçtır, ulunuz. () oğrusl onksion oluğun göre, () = + () = ise () = ve + = () = ise () = ve = + = Þ = () = + () =. 6 + = + = Cevp: 8

55 Fonksionlr soru () = ve () = oluğun göre, şğıkileren hngisi kesinlikle oğruur? soru + k () = ve () = + oluğun göre, k kçtır? ) () + () = ) () + () = 6 ) 6 ) 9 C) D) E) 8 C) () + () = D) () + () = E) () + () = 6 soru () = + ve () = oluğun göre, kçtır? soru 6 () = + + ve ( 7 9 ) = n + ) ) C) D) E) KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI oluğun göre, n kçtır? ) ) C) D) E) soru soru 7 () = + 6 ve () = oluğun göre, kçtır? (), oğrusl onksion, () = ve (7) = oluğun göre, () kçtır? ) ) C) D) E) ) ) C) D) E) soru soru 8 () = + n ve (n) = oluğun göre, n kçtır? (), oğrusl onksion, () + () = ve () = oluğun göre, () kçtır? ) ) C) 6 D) 8 E) ) ) C) D) E) D C 6 D 7 E 8 9

56 Fonksionlr ir Fonksionun Tersinin ulunmsı: ir onksionun tersini ulurken pıln işlemi tersine çevirmek kol olmığınn şğıki ımlrı izleeilirsiniz. () = + onksionunun tersini ullım.. ım: () = ierek i lnız ırklım.. ım: ile nin erini eğiştirelim. () = + = ise = ve = =. ım: erine () zlım. () = () = onksionunun tersini ulunuz. Urı. ım: = Þ = + Þ = +. ım: = +. ım: () = + Cevp: + Dim şğıki ımlrı tkip etmei unutmın.. ım: () = ierek i lnız ırkın.. ım: ile nin erini eğiştirin.. ım: erine () zın. () = onksionunun tersini ulunuz.. ım: = +. ım: = +. ım: () = + = Þ = Þ = + Cevp: + Ugun tnım rlığın, () = ó + onksionunun tersini ulunuz.. ım: ó + = Þ ó = Þ = ( ) = + ( ). ım: = + ( ). ım: () = + ( ) Cevp: + ( ) Ugun tnım rlığın, () = onksionunun tersini ulunuz.. ım: = Þ =. ( ) = ve = +. ım: = +. ım: () = + 6 Cevp: +

57 Fonksionlr soru soru () = oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? () = ó oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) ) + C) + D) E) ) ( ) ) ( + ) + C) ( ) + D) ( + ) + E) ( ) + soru soru 6 () = + oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? () = ó+ oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) + ) C) + D) E) ) ( + ) + ) ( + ) C) ( ) + D) ( ) E) ( ) + soru () = 7 KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 () = + oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) 7 + ) 7 C) + 7 D) 7 E) 7 ) ) C) + D) E) soru soru 8 () = + () = oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? oluğun göre, () onksionunun kurlı şğıkileren hngisiir? ) ) C) + D) E) + ) ) C) + D) E) + D E C 6

58 Fonksionlr u ölüme iki özel tip onksionun tersinin kurlını kullnmı öğreneeğiz. ) : R Æ R, () = + ise () = ) : R { } Æ R { () = + + onksionlrın; }, () = + + ise () = + onksionu tnımsız pn (pı sıır pn) eğer, onksionunun tersini tnımsız pn (tersinin psını sıır pn) eğerir. Urı u iki kurl kenimizin ele eeiliği m ilmemize oln kurllrır. kvrm çlışmsı Fonksion () Tersi () Fonksion () Tersi () : R {} Æ R {}, () = onksionunun tersini ulunuz. () = = + () = + = + şekline zılrk kurl ugulnırs olur. Cevp: () = + : R {m} Æ R {n}, ireir ve örten oluğun göre () in tersi lınilir. () = onksionu ireir ve örten oluğun göre, () = ise () = olur. m + n toplmı kçtır, ulunuz. Urı m, onksionun psını sıır pn eğerir. n onksionun tersinin psını sıır pn eğer oluğun ikkt einiz. ur m onksionun psını sıır pn sısın, n tersinin psını sıır pn sısın eşittir. m = ve n = ise m + n = + = 7 Cevp: 7 6

59 Fonksionlr soru soru () = onksionunun tersi şğıkileren hngisiir? : R {} Æ R {}, () = ) ) + C) + D) E) + onksionunun tersi şğıkileren hngisiir? ) + ) C) + D) E) soru soru 6 () () I) + II) + III) IV) + V) + Yukrı verilen eşleştirmeleren hngisi ve hngileri nlıştır? ) I ve II ) II ve IV C) I ve IV D) Ylnız II E) Ylnız IV soru KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI : R {} Æ R {}, () = + onksionunun tersi şğıkileren hngisiir? ) soru 7 D) + ) E) C) : R { 7 } Æ R { }, () = 7 onksionunun tersi şğıkileren hngisiir? ) soru D) 7 ) 7 + E) 7 C) 7 : R {} Æ R {}, () = onksionu ireir ve örten oluğun göre + toplmı kçtır? ) ) C) 6 D) 8 E) soru 8 : R { } Æ R { }, () = + onksionunun tersi şğıkileren hngisiir? ) + + D) ) + E) + C) + : R {} Æ R {}, () = + onksionu ireir ve örten oluğun göre + toplmı kçtır? ) ) C) D) E) 6 E C C 6 C 7 C 8 6

60 Fonksionlr Fonksionlrın Tersi İle İlgili Özellikler: (o )() = ( o)() = = I() ( onksionu ile tersinin ileşkesi irim onksion eşittir.) (og) = g o : Æ C ve g: Æ ise (og): Æ C ve (og) = C Æ olur. g (og) (og) : Æ C ise : C Æ ve g: Æ ise g = Æ ır. g C (og) = g o g o = C Æ kvrm çlışmsı C ileşke onksion. ım Sonuç og = h (og)og = hog = hog og = h I o(og) = oh g = oh og = h I o( og) = oh g = oh I og = h (og )og = hog = hog I () = + ve (go)() = + oluğun göre, g() onksionunu ulunuz. (go)() = h() ielim. (go)o = ho ise g = ho I() () = + ise () = olur. g = ho ise g() = ( + )o( ) g() =. ( ) + = 6 + = Cevp: g() = () = ve (og)() = + oluğun göre, g() onksionunu ulunuz. (og)() = h() ielim. o(og) = oh ise g = oh olur. I() () = ise () = + g = oh ise g() = ( + )o( + ) g() = + + = + 6 Cevp: g() = +

61 Fonksionlr soru soru, g ve h irer onksion olmk üzere, og = h ır. onksionu şğıkileren hngisine eşittir? () = ve (go)() = + oluğun göre, g() şğıkileren hngisiir? ) g oh ) hog C) h og D) goh E) g oh ) + ) + C) + D) + 7 E) + 9 soru soru 6, g ve h irer onksion olmk üzere, og = h ır. g onksionu şğıkileren hngisine eşittir? () = + ve (og)() = + oluğun göre, g() şğıkileren hngisiir? ) h o ) oh C) h o D) oh E) ho ) + ) + C) + D) + E) + soru, g ve h irer onksion olmk üzere, og = h ır. KRTEZYEN EĞİTİM YYINLRI soru 7 g() = + ve (go)() = 7 oluğun göre, g onksionu şğıkileren hngisine eşittir? () şğıkileren hngisiir? ) oh ) oh C) h o D) ho E) oh ) ) 6 C) 8 D) E) soru soru 8, g ve h irer onksion olmk üzere, og = h ır. onksionu şğıkileren hngisine eşittir? g() = + ve (og)() = + oluğun göre, () şğıkileren hngisiir? ) hog ) goh C) g oh D) hog E) h og ) ) + C) + D) + E) + D E D 6 7 E 8 6