RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ: ENERJİNİN KORUNUMU Amaçlar: a) Korunumlu kuvvetlerin potansiyel enerjisinin hesabı. b) Enerjinin korunumu prensibinin uygulanması.
ENERJİNİN KORUNUMU Enerjinin korunumu prensibi dinamik problemlerin çözümü için daha kolay bir enerji yöntemidir. Hatırlanırsa, iş ve enerji prensibi de bir enerji yöntemidir. Problem için uygunsa, enerjinin korunumu iş ve enerji prensibinin probleme uygulanmasından daha kolaydır. Bunun nedeni, korunumlu kuvvetlerin yaptığı işin hesabının daha kolay olmasıdır. Fakat, kuvveti korunumlu yapan şey nedir?
KORUNUMLU KUVVETLER F kuvvetinin yaptığı iş gidilen güzergahtan bağımsızsa, F kuvveti korunumlu bir kuvvettir denir. Bu durumda iş cismin başlangıçve son konumuna bağlıdır ve arada alınan yolun hiçbir etkisi yoktur. Dinamikte karşılaşılan tipik korunumlu kuvvetler, yerçekimi kuvvetleri (ağırlık) ve elastik kuvvetlerdir (yay kuvveti). Sürtünme kuvveti korunumlu bir kuvvet DEĞİLDİR!
ENERJİNİN KORUNUMU Bir rijit cisme korunumlu kuvvetler etki etmekteyse, bu kuvvetlerin yaptığı iş korunur. Bu durumda, kinetik enerji ve potansiyel enerjinin toplamı sabit kalır. Bu prensibe enerjinin korunumu denir ve aşağıdaki gibi ifade edilir: T 1 + V 1 = T 2 + V 2 = Sabit Bir başka deyişle, korunumlu kuvvetler etkiyen bir cisim, bir noktadan başka bir noktaya hareket ettiğinde, kinetik enerjisi potansiyel enerjiye veya tersi yönde bir dönüşüm mevcuttur.
YERÇEKİMSEL POTANSİYEL ENERJİ Bir cismin yerçekimsel potansiyel enerjisi, cismin ağırlık merkezinin belli bir referans düzlemine olan yüksekliğinin bir fonksiyonudur. Yerçekimsel potansiyel enerji, aşağıdaki gibi hesaplanır: V g = W y G Yerçekimsel potansiyel enerji y G pozitifse, pozitiftir. Çünkü, referans düzlemine doğru hareket ettiğinde ağırlığın pozitif iş yapma yeteneği vardır.
ELASTİK POTANSİYEL ENERJİ Yay kuvvetleri de korunumlu (konservatif) kuvvetlerdir. Yay kuvveti (F = ks) nin potansiyel enerjisi aşağıdaki gibi bulunur: V e = ½ k s 2 Dikkat edilirse elastik potansiyel enerji her zaman pozitiftir!
ANALİZ YÖNTEMİ Hız, yerdeğiştirme ve korunumlu kuvvet içeren problemlerin çözümünde, enerjinin korunumu prensibi kullanılabilir: Potansiyel Enerji: İki diyagram çizin, birincisi cismin ilk konumunu göstersin, ikincisi ise ikinci konumunu. Her iki pozisyon için potansiyel enerji aşağıdaki ifadeler kullanılarak hesaplanır: V = V g + V e, burada V g = W y G ve V e = 1/2 k s 2. Kinetik Enerji: Her iki konum için cismin kinetik enerjisini hesaplayın. Kinetik enerjinin iki bileşeni olacaktır, ötelenme kinetik enerjisi 1/2m(v G ) 2 ve dönme kinetik enerjisi,1/2 I G ω 2. Daha sonra enerjinin korunumu uygulanır.
ÖRNEK 1 Verilen:AB çubuğunun 10 kg lık kütlesi vardır. B pistonu rijitliğik = 800 N/molan bir yaya bağlıdır. θ= 0 durumunda, yay uzamamış durumdadır. A ve B cisimlerinin kütleleri ihmal edilmiştir. Aranan:θ= 30 den durağan haldeyken serbest bırakılan çubuğun, θ= 0 anındaki açısal hızını bulunuz. Plan: Tüm kuvvetler korunumlu olduğuna göre, enerjinin korunumundan yararlanılabilir. Yer değiştirme θ nın bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Çubuğun 1 ve 2 durumları için potansiyel ve kinetik enerjileri hesaplanmalıdır.
Çözüm: ÖRNEK 1 (devam) Başlangıç Durum Son Durum Potansiyel Enerji: Referans düzlemi θ = 0 konumuna yerleştirilmiştir. Bu durumda yerçekimsel ve elastik potansiyel enerji 2. durumda V 2 = 0olacaktır. 1. durumdaki yerçekimsel potansiyel enerji: -(10)( 9.81)[ ½ (0.4 sin 30 )] 1. durumdaki elastik pot. enerji: ½ (800) (0.4 sin 30 ) 2 Bu durumda, V 1 = -9.81 + 16.0 = 6.19 N m
ÖRNEK 1 (devam) Başlangıç Durumu Son Durum Kinetik Enerji: 1. durumda, çubuk durağan halde: Böylece, T 1 = 0. 2. durumda, açısal hız ω 2 ve ağırlık merkezinin hızı v G2 dir. Böylece, T 2 = ½ (10)(v G2 ) 2 + ½ (1/12)(10)(0.4 2 )(ω 2 ) 2 Dikkat edilirse hem ötelenme hem de dönme kinetik enerjisi var!
ÖRNEK 1 (devam) İkinci durumda, A noktası anlık dönme merkezidir. Yani, v G2 = r G/IC ω= 0.2 ω 2. Then, T 2 = 0.2 ω 22 + 0.067 ω 2 2 = 0.267 ω 2 2 Şimdi enerjinin korunumu uygulanabilir ve bilinmeyenω 2 hesaplanabilir: T 1 + V 1 = T 2 +V 2 0 + 6.19 = 0.267ω 22 + 0 ω 2 = 4.82 rad/s
ÖRNEK 2 Verilen:30 kg kütleye sahip sarkacın kütle merkezi G dir ve kütle atalet yarıçapı k G = 0.3 m dir. θ= 0 de durağan haldeyken serbest bırakılmaktadır. θ = 0 iken yay uzamamış haldedir. Aranan: Sarkacın θ = 90 anındaki açısal hızını bulunuz. Yöntem: Enerjinin korunumu kullanılacaktır. Önce, ilk konum ve ikinci konumdaki potansiyel ve kinetik enerjiler hesaplanacak, sonra enerjinin korunumu uygulanacak.
Çözüm: ÖRNEK 2 (devam) Potansiyel Enerji: θ= 0 durumunu referans düzlemi olarak alalım. Burada yerçekimsel ve elastik potansiyel enerji sıfırdır! Bu durumda, V g1 = V e1 = 0 Dikkat edilirse, yayın uzamamış boyu 0.15 m dir. θ= 90 de yerçekimselpotansiyel enerji: V g2 = -30 (9.81) (0.35) = -103.0 N m θ = 90 de elastik potansiyel enerji ise: V e2 = ½ 300 ( 0.6 2 + 0.45 2 0.15) 2 =54.0 N m
ÖRNEK 2 (devam) Kinetik Enerji: θ= 0 de, sarkaç durağan durumda olduğundan T 1 = 0. θ= 90 de, sarkaç O noktası etrafında dönme hareketi yapmaktadır: T 2 = ½ I O (ω 2 ) 2 burada I O = I G + m (d OG ) 2 = (30) 0.3 2 + 30 (0.35) 2 = 6.375 kg m 2 T 2 = ½ 6.375 (ω 2 ) 2 olarak bulunur.
ÖRNEK 2 (devam) Enerjinin korunumundan: T 1 + V 1 = T 2 +V 2 0 + 0 = = ½ 6.375 (ω 2 ) 2 + (-103 + 54.0) ω için bu denklem çözülürse: ω= 3.92 rad/solarak bulunur.