FARK OPERATÖRLERİNİN SPEKTRAL TEORİSİ. Aytekin ERYILMAZ

FARK OPERATÖRLERİİ SPEKTRAL TEORİSİ Aeki ERYILAZ Dokor Tei emik Abilim Dl ISPARTA 6

ii T.C. SÜLEYA DEİREL ÜİVERSİTESİ FE BİLİLERİ ESTİTÜSÜ FARK OPERATÖRLERİİ SPEKTRAL TEORİSİ Aeki ERYILAZ DOKTORA TEZİ ATEATİK AABİLİ DALI ISPARTA 6

iii İÇİDEKİLER İÇİDEKİLER... iii ÖZET... i ABSTRACT... TEŞEKKÜR... i SİGELER DİZİİ... ii.giriş.... TEEL KAVRALAR...3 3. SIIR KOŞULLARIDA SPEKTRAL PARAETRE BULUDURA JAKOBİ ATRİSİ İLE OLUŞTURULA FARK OPERATÖRLERİİ SPEKTRAL AALİZİ... 3.. Simerik Frk Operörüü Öelikleri e Sr Değer Problemi... 3. Verilmiş Sr Değer Problemii ilber Ud Üreiği Lieer Operör...9 3.3 ilber Ud Sr Değer Problemii Üreiği A Operörüü Ödeğerleri e Öekörleri... 3.4. Disipi Drmd A Operörüü Kedie Eş Dilso e Krkerisik Foksio....7 3.5. L Operörüü Olşrdğ Üier Grp...3 3.6 Dilso Sçlm Teorisi e Disipi Operörü Foksioel odeli...3 3.7. Disipi Frk Operörüü Spekrl Alii...4 4. SIIR KOŞULLARIDA SPEKTRAL PARAETRE BULUDURA STUR LİOUVİLLE FARK OPERATÖRÜÜ SPEKTRAL ÖZELLİKLERİ..44 4.. Srm Lioille Frk Operörüü Öelikleri e Sr Değer Problemi...44 4. Verilmiş Sr Değer Problemii ilber Ud Üreiği Lieer Operör...48 4.3. ilber Ud Sr Değer Problemii Üreiği A Operörüü Ödeğerleri e Öekörleri...5 4.4. Disipi Drmd A Operörüü Kedie Eş Dilso e Krkerisik Foksio...5 4.5. L Operörüü Olşrdğ Üier Grp...55 5.KAYAKLAR...6 ÖZGEÇİŞ...64

i ÖZET FARK OPERATÖRLERİİ SPEKTRAL TEORİSİ Aeki ERYILAZ B e dör bölümde olşmkdr. Birici bölümde ko risel elişimi ele lmşr. İkici bölümde ilber Ud lieer operörler eorisi ile ilili emel olşrck b m e eoremler erilmişir. B d dilso m erilerek bir disipi operörü dilso krmk içi erekli m e eoremler erilmişir. Üçücü bölümde sr koşllrd spekrl prmere bldr sos bir Jkobi mrisi ile elde edile kedie eş olm rk operörü icelemişir. D sor sr koşl sip disipi operörü srd disipilik drm ele lmşr. B operörleri kedie eş dilso e bir oksioel modeli krlmş krkerisik oksio esplmşr. Disipi operörü e sr değer problemi öekör e ssose ekörler sisemi içi mlk eoremleri isplmşr. Dördücü bölümde sr koşllrd spekrl prmere bldr e sosd disipi Srm-Lioille rk sr değer problemi ele lmşr. ksiml disipi operör olşrlmş e o kedie eş dilso krlmşr. Lx-Pilips sçlm eorisi klllrk dilso spekrl lii plmşr. Srm-Lioille rk sr değer problemi e disipi operörü öekörler e sose ekörler sisemi içi mlk eoremleri erilmişir. AATAR KELİELER : Kedie eş olm operör simerik operör sr koşllrd spekrl prmere miiml operör mksiml operör dilso oksioel model krkerisik oksio sçlm eorisi.

ABSTRACT SPECTRAL TEORY OF DIFFERECE OPERATORS Aeki ERYILAZ Tis esis cosiss o or cpers. I e irs cper e isoricl proress o e sbjec is cosidered. I e secod cper some deiiios d eorems bsed o lier operors i ilber spce re ie. I ddiio esseil deiiio d eorems o cosrc e dilio o dissipie operor b ii dilio deiiio. I e ird cper oseldjoi dierece operor eered b iiie Jcobi mrix wi specrl prmeer i e bodr codiio is iesied. Te e dissipio ero o dissipie operor i bodr codiio is cosidered. Te seldjoi dilio d ciol model o is operor re cosrced b ki io cosiderio o crcerisic cio. Teorems o compleeess o e ssem o eieecors d ssocied ecors o e dissipie operor d bodr le problem is proed. I e or cper Srm-Lioille dierece bodr le problem dissipie iiie d i specrl prmeer bodr codiios is sdied. oreoer mximl dissipie operor is obied d seldjoi dilios is cosrced dilio specrl lied b si Lx-Pilips sceri eor. Frermore eorem o compleeess o e sem o eieecors d ssocied ecors o e dissipie operor d Srm-Lioille dierece bodr le problem re ie. KEYWORDS: oseldjoi operor smmeric operor specrl prmeer i e bodr codiio miiml operor mximl operor dilios ciol model crcerisic cio sceri eor.

i TEŞEKKÜR B çlşm belirlemesi e ürüülmesi essd ili e deseğii ep ördüğüm değerli dşm ocm Pro.Dr.Bileder PAŞAOĞLU SDÜ FEF emik Bölümü ü değerli oclr eşekkürlerimi srm. Arc b çlşm 693D3 ol proje kpsmd Sülem Demirel Üiersiesi Bilimsel Projeler Arşrm Birimi rd deseklemişir. B desekleride dol ilili krm eşekkür ederi.

ii SİGELER DİZİİ I Z IR C D(A : Doğl slr kümesi : Tm slr kümesi : Reel slr kümesi : Kompleks slr kümesi : ilber U : A m kümesi A* : A eş (djoi operörü l U L L de L A Z B L D - D : Frk idesi : Uier operörler rb : ksiml operör : iiml simerik operör : L operörüü deek ss : ksiml disipi operör : Yr rp : Yr rb üreeci : A operörüü kedie eş dilso : Gire l : Çk l η ( : Kompleks dülemde meromorik oksio S ( T s( B( : Krkerisik oksio : odel disipi operör : Siüler çrp : Blscke çrp

iii W F - F : Sobole U : İomerik döüşümler S ( : Sçlm mrisi

.GİRİŞ Fiiği mekiği e memiksel iiği pek çok problemi operörleri spekrl eorisile kd ilişkilidir. B problemleri çoğ değişkelerie rm (Forier öemi klllrk operörleri spekrl eorisii icelemesie döüşmekedir. Ulmlr çsd rk (dierece operörleri spekrl eorisii icelemek öem şmkdr. B edele iceleecek ko ei çlşmlr olp b ldki boşlğ doldrckr. Sr şrlrd spekrl prmere bldr kedie eş reüler Srm-Lioille problemlerii iiksel lmlr oldkç l sd e çeşililikedir. Örek olrk; s km mekik ireşimler öeekli ormd diüo elekrik dereleri s. erilebilir. B öreklerde blr Wler (973 Flo (977 io (979 Skliko (983 Allerdie (5 6 pmş oldklr çlşmlrd icelemişlerdir. B ür problemleri çeşili llerde ödeğer e öoksiolr blms i çok sd kiplr e mkleler lmşr. Akiso (964 de prmeresii em rlğ ç oklrd erilmesi em de rlğ içideki süreksilik oklrd erilmesi drm icelemişir. Beer drm dokor ei olrk Alşk (998 rd çlşlmşr. Kedie eş ol rk operörlerii spekrl eorisi ile ilili Akieer (965 Akiso (964 Berskij (965 Clrk (996 Si e Ce (999 4 Soe (93 Welsed (98 çlşm pmşlrdr. Kedie eş olm operörleri spekrl liide ilk eel meod reolei çere ierso meoddr. B meod spekrm r çereler üeride reolei esplm ekiğidir e imrk (968 rd eel biçimde icelemişir. 97 llrd Plo eel meod koşllr esek olmdğ belirerek probleme bşk klşmlr erekiğii belirmişir. Bölece kedie eş olm operörleri spekrl lii içi liik meodlr prik olrk Cc ierlie idiremede eersi kldğ örülmüşür. e Foiş (97 ilber d lieer bir büülmei eel modeli ol çok bsi ormdki bir operörü spekrl öelliklerii icelemişir. Operörleri spekrl öellikleri kkd m bilii ş b modelleri prmeresi operörü reolei değil çok d bsi bir krm ol operörü krkerisik oksiodr. e Foiş d bğms

olrk Lx e Pillips (967 öemli bir er so sçlm eorisii elişirmişlerdir. B eori orijil üier rb öellikleride rrllrk sçlm mrisii liik öellikleri kkd bili edimek içi ire e çk llr krmlr dmkdr. Foiş e Lx Pillips i soçlr birleşirilerek krkerisik oksio sçlm mrisi ile ide edilmiş e disipi operörü dilso krlmşr. Öekörler sisemii mlk problemi krkerisik oksio koriso biçimide lmsl çöülmüşür. Bölece disipi operörleri spekrl lii dilso krlms b krşlk ele sçlm eorisi problemii rşrlms e krkerisik oksio sçlm mrisi rdml ide edilmesi ile plmşr. B öemler Plo (975 977 Allerdie e Gseo (99 Allerdie (4 5 Sl ( O (4 rd klllmşr. Kedie eş olm rk operörlerii spekrl eorisi ile ilili Allerdie (4 5 Birmo e Coşk (4 5 Adr e Birmo (3 Birmo Çkr e Krll ( çlşmlr pmşlrdr.

3. TEEL KAVRALAR Tm. : V φ eri bir küme e K eri bir cisim ols. Aşğdki şrlr sğlors V e K üeride lieer deir. A ( V cebirsel ps değişmeli bir rpr. Yi G x V içi x V dir. (Kpllk öelliği içi x ( ( x G x V dir. (Birleşme öelliği G3 x V içi x x x V olck şekilde bir ek V rdr. G4 x V x x x x olck şekilde bir ek x V rdr. içi ( ( G5 x V içi x x dir. (Değişme öelliği B x V e β K olmk üere şğdki şrlr sğlr. L x V dir. L ( x x dir. L3 ( β x x β dir. L4 ( x ( βx β dir. L5 x V içi.v V olck şekilde K rdr. Brd K cismii birim elemdr. K IR olms lide V e reel K C olms lide V e kompleks lieer deir. (imrk968. Tm.: Lieer lrd ml döüşümlere operör deir. Tm.3: X K cismi üeride bir lieer (ekör ols.. : X IR x x (. döüşümü x X e K içi x x (. x x

4 3 x x öelliklerii sğlors b döüşüme X üeride bir orm deir e (. de bir orml lieer (ekör deir. (imrk 968. X ikilisie Tm.4 : X e Y bir K cismi üeride mlmş iki lieer ols. A : X Y operörü (döüşümü i A ( x A( x A( ( x A( x ii A K (.3 koşllr sğlors A lieer operör (döüşüm deir. Lieer döüşüme md omomorim de deir. A : X Y döüşümü (operörü - öre ise lieer iomorim deir. X e A operörüü m kümesi deir e D(A ile öserilir. Y e A operörüü değer kümesi deir e Im(A e R(A ile öserilir. (imrk 968. Tm.5: K IR e K C olmk üere X bir ekör (lieer ols. ( : XxX K.. (.4 döüşümü şğdki öellikleri sğlr ise (.. e X üeride bir iç çrpm ( X (.. ikilisie de iç çrpm (e ö ilber deir. i x X içi ( x x e ( x x x ii iii x X içi ( x ( x x X e K içi ( x ( x i x X içi ( x ( x ( (.5 Tm.6 : ( X (.. bir iç çrpm e x X ols. x ekörüü orm / x ( x x (.6 olrk mlr. B orm öre ( X (.. iç çrpm bir orml ekör olr. (imrk 968.

5 Tm.7 : Bir ( X (.. iç çrpm x ( x x / orm öre m ise i ( X (.. içideki er Cc diisi ksk ise b iç çrpm ilber deir. (imrk 968. Tm.8 : :X K K IR e KC olmk üere X K üeride bir ekör ols operörüe oksioel deir. Eğer lieer ise e lieer oksioel deir. Lieer oksioeller srl ise i ( x c x (.7 olck şekilde c reel ss rs e srl lieer oksioel deir.(imrk 968. Tm.9 : ilber d ml bir lieer A operörü içi er olmk üere x Ax c x (.8 olck şekilde bir c ss rs A srl operör deir. B c slr e küçüğüe A srl operörüü orm deir e A ile öserilir. A Ax sp Ax sp (.9 x x x eşiliği rdm ile orm esplbilir. (imrk 968. Teorem. : Srl er lieer A operörü süreklidir. (imrk968. Tm. : ilber ise e A de bir lieer operör olmk üere A m kümesi D(A kompleks ilber d oğ i D ( A ols. D( A içi ( A ( A * (. eşiliğii sğl sğl * A operörüe A djoi (eş operörü deir. B eşiliği ekörler kümesie * * A m kümesi deir e D( A ile

6 öserilir. üeride döüşüm p bir A operörü içi eğer A * A ise A seldjoi (kedie eş operör deir. (imrk968. Tm. A : olmk üere er x içi ( Ax x ise A poii operör deir. (imrk968. Tm.3 : Tm kümesi D(A ol bir A operörü içi D( A olmk üere (A(A (. eşiliği sğlrs A operörüe ermie operör deir. (imrk968. Tm.4 : A : D( A lieer bir operör e D ( A (i D(A de oğ olmk üere er D( A içi ( A ( A (. ise i A A * ise A simerik operör deir. Adjoi operör kpl oldğd A A * bğs simerik A operörü kpbilir oldğ ide eder. (imrk968. Tm.5 : D(U x D( U içi U : operörüü m kümesi olmk üere er ( Ux U ( x (.3 ise U iomerik operör deir. (imrk968. Tm.6 : Bir U iomerik operörüü m e değer kümesi ilber ise U üier operör deir. üeride U ersi lbilir bir operör olmk üere U * U e UU * U * UI ise U orool e üier operör deir.(imrk 968. Tm.7 : ~ A : lieer operörü içi D(A olmk üere A A D( A ~ D( A ise A ~ operörüe A operörüü eişlemesi deir. A ise A ~ operörüü kslms deir. (imrk 968. e

7 Soç.8 : Bir A operörüü mksiml simerik olms içi erekli e eerli koşl A operörüü diğer simerik eişlemelerii blmmsdr. (imrk968. er seldjoi (kedie eş A operörü mksiml simerik operörüdür. Tersi doğr değildir. Tm.9 : A : bir simerik operör e kei bir kompleks s olmk üere üere R e R srsl ( A I e ( A I operörlerii değer kümesi olmk ΘR e ΘR (.4 lr A operörüü deek lr deir. (imrk 968. Tm. : Im > içi m dim e dim olmk üere (m ikilisie A operörüü idis deeki d erilir. (imrk 968. Soç. : Bir kpl simerik operörüü kedie eş (sel-djoi olms içi erek e eer koşl b operörü idis deekii ( olmsdr. (imrk 968. Tm.3 : A : lieer operörüü D(A m kümesi ilber d oğ olmk üere er D(A içi Im( A (.5 ise A operörüe disipi operör deir. er D(A içi Im( A (.6 ise A operörüe krei operör deir. (Kel996. Tm.4 : Bir disipi operörü diğer disipi eişlemeleri oks mksiml disipi d lr. (Kel996. Teorem.5 : er disipi operör mksiml bir disipi eişlemee sipir. (Gorbck e Gorbck 99. Tm.6 : B ilber d srl bir lieer operör e A K d bir lieer operör ols. P: K

8 bir idüşüm operörü olmk üere er I A PB (.7 K içi ise B e A dilso deir. B ide şğdki idelere eşdeğerdir. dir. i er x K e er I içi ( A x ( B x A I P B I (.8 ii ( ( K dr. (Kel 996. Tm.7 : Terimleri reel e kompleks slr olmk üere < x < (.9 x şeklideki { } e { } diilerii l ile öserilir. Brdki x x... slr ekörüü bileşeleri deir. x3 l dki iç çrpm ( x (. şeklide mlr. (Akieer e Glm963. Tm.8 : Aşğdki öellikleri sğl { U : IR} operörler ilesie üier operörler rb d erilir. i U(I (I birim operör ( U ( : ii er s IR içi U ( s U (. U ( s (. (Weidm98. Teorem.9 : ilber d kedie eş A operörüü spekrl ilesi E ( ols. A operörü içi i IRxIR ( e C olmk üere

9 i IR U ( e de( IR e ia (. şeklide ide edile U ( üier operörler rb olşrlr. (Lx d Pilips967. Teorem.3 : { U ( : IR} ilber d üçlü sürekli üier rp ols. er IR içi U U ia ( e (.3 üier rb ile d kedie eş A operörü birebir olrk belirleir. A operörüe U( rb üreeci d erilir. (Weidm98. Tm.3 : V : üier operör olmk üere operörüe üier eşdeğerdir deir. (Weidm98. ~ VAV * A ise A e A ~ Tm.3 : ilber d A lieer bir operör ols. Eğer A ise A d büe bir operör deir. (imrk 968. Tm.33 : A ilber d bir operör e K l ols. er x K içi Ax K ise K ir l deir. ia U e üier rb rdml Z rrb olşrlbilir. ( e Fois97. Teorem.34 : U rb K ir l üerie kslms ile elde edile Z operörler ilesi { Z I} B lim ( i (.4 disipi üreecie sip üçlü sürekli mme üier olm bir r rpr e içi Z P U (.5 K K şeklide ide edilir. Brd P K K üeride bir dik idüşüm operörüdür. (Plo996.

Tm.35 : Kedie eş olm A : operörü sr olm iç bir l d kedie eş operör üremiors bsi (simple olrk dldrlr. (Kel996. Teorem.36: : Kedie eş e kompk ol A : operörüü öekörleri ilber d oroorml b olşr. (imrk968. Tm.37 : er srl kümei kompk kümee döüşüre operöre kompk operör deir. (imrk 968. Tm.38 : Kompleks dülemde { : < } D çk disk ols. p sp r< π sp ( D π < i ( re p p d < p < p (.6 sol orm ile ide edile D üerideki olomorik oksiolr s P ( < P rd s d erilir. (Lx e Pilips 967. Teorem.39 (Ple-Wieer : bir olomorik oksio e < < sp dx c < (.7 π ( x i ols. B drmd üs r dülemde bir ok olmk üere bir F ( mecr öle ki L ( i F( e d (.8 e F ( d c (.9 dir. (Lx e Pillips 967.

Tm.4 : (b rlğd ml oksio (k- ci merebede ürei mlk sürekli ol e ( k L[ b] Sobole deir e W k ( b koşl sğl oksiolr ile öserilir. Tm.4 : e ilber lr ols. A d e S d iki operör olmk üere A operörü S operörüe üier eşdeğer ise S operörüe A operörüü model operörü deir.

3. SIIR KOŞULLARIDA SPEKTRAL PARAETRE BULUDURA JAKOBİ ATRİSİ İLE OLUŞTURULA FARK OPERATÖRLERİİ SPEKTRAL AALİZİ B bölümde sos Jkobi mrisi ile olşrl e spekrl prmerei rlğ sğ ç oksd erilmesi drmd or kol sr değer problemie olrk ml öel ilber d sr değer problemi ile ödeğerlere sip lieer disipi operör olşrlmşr. D sor ise b operörü spekrl öellikleri icelemişir. Elde edile b disipi operörü kedie eş dilso krlmşr. Kedie eş operörü sçlm eorisi lrk disipi operörü krkerisik oksio blmşr. B oksio öellikleri iceleerek disipi operörü e sr değer problemii mlk eoremleri isplmşr. 3..Simerik Frk Operörüü Öellikleri e Sr Değer Problemi e Im Imb ( I {...} olmk üere sos bir Jkobi mrisi J b... b... b........................... şeklide mlr.... kompleks slrd olş er { } ( I diisi içi bileşeleri (l ol l diisi w > ( I olmk üere w w ( l ( J ( b : o o w w ( l ( J ( b :

3 biçimide mlr. Kei { } { } ( I e diileri içi ile i Wroskieleri _ W ( ( ( I (3.. biçimide mlr. Tm 3..: er I içi j { w j ( j j w j j ( l j } [ ] l (3.. eşiliğie Gree ormülü deir. Jkobi mriside operöre eçmek içi _ ( w iç çrpm sğl { } diileride olş ( I w < olck şekilde büü kompleks değerli l ( w { } w : ilber krlm. l l ( I koşl sğl l ( I dki { } ( I w kümesii D ile öserelim. D üeride operörüü mllm. er w w diilerii L l eşiliğii sğl mksiml L D içi [ ] lim[ ] limiii rlğ e sol oldğ ( 3.. ormülüde elde edilir. Bd dol (.. limi lrs elde eldir. w ( I ( ( L [ ] 3 de içi L (3..3 l d bileşelerii sol sds srd rkl ol ekörleri olşrdğ kslms lieer D o L o ile öserelim. kümesii düşüelim. o D o kümeside L operörüü L operörüü simerik oldğ (..3 3 de

4 örülür. bölesi olp L o operörüü kpş L o ile öserelim. D L o o operörüü m D içi [ ] (3..4 koşl sğl D ekörlerii içerir. L o kpl simerik operör olp o idis deeki ( e ( dir. B dşd * L L o dir. L o e L operörlerie srsl miiml e mksiml operörler deir. ( idis deeki içi Lo operörü kedie eş operördür. Yi (... L * L L dir. o o b w (3..5 deklemii w o bo P o ( P ( Q ( Q ( (3..6 o bşlç koşllr sğl çöümleri ( { P ( } ( { Q ( } ( I ols. Brd ( Q birici ürde bir poliom e ( bir poliom deir. P ( o P... o P e P oksio ci derecede Q oksio d ci derecede ikici ürde ( b b b bo Q... ( ( J w deklemii bir çöümüdür. içi ( JQ w Q dir k ( JQ o boqo oq bo o Qo oldğd dol Q( çöüm değildir. o I içi ( J w deklemi bir sr koşl ld ( 3..5 deklemie eşdeğerdir. ( 3..5 deklemii { } e { } Wroskiei W ( : ( [ ] ( I çöümlerii

5 şeklide mlr. ( 3..5 deklemii çöümlerii Wroskiei e bğl değildir e b deklemi çöümlerii lieer bğms olms içi erek e eer koşl b çöümleri Wroskiei srd rkl olmsdr. ( 3..6 koşld W o P Q w b ( P Q P Q elde edilir e Wroskiei değişmeliğide ( P Q Soç olrk P ( e Q ( çöümleri (..5 sisemii olşrr. W ( I oldğ çkrlr. 3 deklemii bir emel çöüm Kbl edelim ki o L simerik operörüü idis deeki ( ols e l idesi içi de Wel limi çember drm sğls. (Soe 93; Welsed 98; Bereskij 965; Si d Ce 4. L operörüü idis deekii ( o Q ( çöümleri ( I l iir. w olmsd dol er C içi ( P e b (3..7 bşlç koşllr sğl ike (..5 3 deklemii çöümleri } e { } olck şekilde P( e Q( ols. Dolsl l ( I dir. B ek olrk D e dir. ( J ( I ( J ( J (3..8 Lemm 3... Kei } D { e { } D [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( I { } dir. w { ekörleri içi (3..9 İsp: ( 3.. de e [ ] oldğd

6 [ ] [ ] ] [ ] [ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] ] [ { } ( I blr. Teorem 3..3: o L operörüü m bölesi ol o D [ ] [ ] (.. 3 sr koşllr sğl D ekörleride olşmkdr. İsp: (3..4 koşl sğl D ekörlerii kümesi ile o L operörüü m bölesi çkşr. Lemm 3.. de dol (3..4 idesi [ ] [ ] [ ] [ ] (3.. idesie dekir. [ ] e [ ] ( D kei slr olbildiğide dol er D içi (3.. eşiliğii sğlbilmesi içi erek e eer koşl (3.. eşiliklerii sğlbilmesi ile mümküdür. Bölece eorem isplr.

7 w w ( l ( J ( b : o o o o o o l : (3.. w w ( ( J ( b rk idesi içi şğdki sr değer problemii düşüelim. ( l D (3..3 o Im (3..4 > [ ] [ ] ( [ [ ] [ ] (3..5 Brd spekrl prmere IR e : > dir. Aşğdki kblleri plm. [ ] [ ] ( : [ ] [ ] ( : ( : ( : [ ] ( : ( : [ ] ( : ( (. Lemm 3..4: Kei D içi ( ( ( ( ( ( ( ( olmk üere i [ ] [ ( ( ( ( ] (3..6

8 ii [ ] (. ( (. ( (3..7 dir. İsp: i Ykrd pğm kbllerde [ ] ( ( ( ( ( [ [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ] ( [ ] [ ] ( [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ [ ] [ ] [ ] [ ] ( ( [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] oldğ örülür. Lemm 3.. de dol [ ] ( ( ( ( [ ] elde edilir. Beer şekilde ii [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( olrk elde edilir.

9 3. Verilmiş Sr Değer Problemii ilber Ud Üreiği Lieer Operör ( ( I C ( l w olmk üere lieer w ( I C ( l şeklide öserelim. ˆ ( şeklide iki bileşeli elemlr Eğer : olmk üere > kbl edilirse ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( I olmk üere w ( ( ( ( (3.. ormülü lieer d bir iç çrpm mlr. B iç çrpm öre lieer bir ilber olr. Dolsl erilmiş sr değer problemie ilber mlmş olr. Verile sr değer problemie A : operörüü (3.. D A ( ( ( A D ( ( ( ( ^ ( ( ( ( ( : ^ ~ l l ( : ( (3..3 eşilikleri ile mllm.

Lemm 3..: ( C I w l ilber d (3.. e (3..3 eşilikleri ile ml A operörü içi ( ( [ ] ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] A A (3..4 eşiliği sğlr. İsp: (3.. e (3.. de ( ( ( ( ( ( ( ( : ( w b w A ( ( ( ( ( ( b ( ( ( ( ( ( ( ( b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( b b ( ( ( ( ( ( ( ( (... ( b blr. Diğer r ( ( ( ( w b w A ( ( ( ( ( : ( ( ( ( ( ( ( ( ( b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( b

( ( b ( ( ( ( ( ( b ( ( ( ( ( ( ( ( ( (... b ( ( ( ( olr. Brd d A ( ( ( ( ( ( ( ( A ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( ( blr. Brd limie eçilirse içi blr. ^ ^ ( A Teorem 3... : ^ ( A ^ [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( A operörü d disipiir. İsp : ˆ { ˆ } D( A e D A içi (3..4 eşiliğide ( ( A ˆ ˆ ( ˆ A ˆ [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( blr. (3..6 d dol

( A ˆ ( ˆ A ˆ olr. (3..7 de de ( ( ˆ [ ] ( A ˆ ( ˆ A ˆ ( ( ˆ ( ( ( ( ( ( ( ( elde edilir e ( ise ( ( olcğd ( ( ( ( ( A ˆ ˆ ( ˆ A ˆ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( i Im ( blr. Brd d Im ( ( ˆ ˆ Im ( A (Im > olr. Yi A operörü de disipiir. 3.3 ilber Ud Sr Değer Problemii Üreiği A Operörüü Ödeğerleri e Öekörleri er C içi (3..3 deklemii ( φ( φ ( (3.3. ( ( φ ( χ( ( χ ( (3.3. koşllr sğl çöümleri φ( e ( Wroskiei ol ( içi χ ols. (3..7 de - oksdki

3 ( : [ χ( φ( ] [ φ( χ( ] ( φ ( ( χ ( ( χ ( ( φ ( ( χ( ( χ( ( χ( dir. (3..6 de sosdki Wroskiei ol ( ( : [ χ( φ( ] [ φ( χ( ] içi [ ( φ( ( χ( ( φ( ( χ( ] olr. Brd d m öre ( ( ( φ( ( φ( ( χ( [ ( ( χ( ] ( ( φ( (( φ( ( χ( ( χ( ( ] [ ( φ( ( φχ ( ( χ( ( φ( ( φ( ( χ( ( φ( ( χ( ( φ( ( χ( ( φ( ( χ( ( φ( ( χ( ( φ( ( χ( ] [( ( ( φ( ( χ( ( φ( ( χ( ] [( ( ( φ( ( ( φ( ( ] ( φ( ( φ( ( φ( ( φ( ( φ( ( φ( ( ( φ( ( φ( ( φ( ( φ( olrk esplr.

4 Lemm 3.3.: (3..3 (3..5 sr değer problemii ödeğerleri ck e ck ( sr erleride ibreir. ( ( ( ( İsp: ( dr. bir sr oldğ kbl edelim. Ölese ( φ ( χ ( φ ( χ ( (3.3.3 içi ( φ( e ( (3.3.3 ereği φ( e ( φ ( kχ( olck şekilde χ ekörlerii Wroskiei oldğd χ çöümleri lieer bğml olr. Yi (3.3.4 k sbi ss blr. (3.3. ereği φ ( (3..3 (3..5 sr değer problemii içi bir çöümü olr. Yi bir ödeğerdir. Şimdi b ersii de doğr oldğ öserelim. Yi ödeğer ise ( e ( oldğ öserelim. ödeğer içi ( e ( oldğ kbl edelim. ( e ( ise ( φ e χ ( ekörleri lieer bğms olr. B öre (3..3 deklemii eel çöümüü ( φ ( c χ ( ( c şeklide biliri. (3..4 sr koşl ereği eşiliği sğlr. Brd (3..4 koşl dikke lrs ( φ ( φ ( c ( χ ( χ ( c o eşiliği elde edilir. B eşilike φ ( çöüm ekörüü (3..4 sr koşl sğldğ ö öüe lrs c ( χ ( χ ( c (

5 blr. Kblümü ereği ( e c olmsd oldğd c olr. (3..4 koşld {[ φ( ] ( [ φ( ] ( } c c ( dr. Kbl ereği ( oldğd c olr. c e c oldğd soç olrk ( olr. B ödeğer olms ile çelişir. Bölece isp mmlr. ( e ( oksiolr srlr (... χ ˆ χ ( ( χ( D ( A şeklide öserirsek ekörleri A öekörleridir. ˆ ˆ χ eşiliğii sğlr. Yi χ χˆ ler A operörüü Tm 3.3.: Eğer ödeğerie krşlk ele... ekörler sisemi ( l ( ( ( ( l s s s ( ( ( s s s ( s s... (3.3.5 şrlr sğlors ekörler sisemie (3..3 (3..5 sr değer... problemii ö e birleşirilmiş (sose ekörler iciri deir.

6 Lemm 3.3.3: (3..3 (3..5 sr problemii ödeğerleri e operörüü ödeğerleri çkşr. A disipi B dşd (3..3 (3..5 sr değer problemii ödeğerie krşlk ele er bir öekörler e birleşirilmiş ekörler iciri A... disipi operörüü ödeğerie krşlk ele e birleşirilmiş ekörler icirie krşlk elir. B drmd ˆ ˆ ˆ... ˆ öekörler k ˆk ( k. (3.3.6 k ormülü eçerlidir. İsp: Eğer ˆ D( A e A ˆ ˆ ise l ( ( ( ( eşilikleri sğlr. Yi (3..3 (3..5 sr değer problemii öekörü sğlrs brd ˆ D( A ( dr. Tersie olrk eğer (3.3.5. şrlr e A ˆ ˆ dir. Yi ˆ operörüü öekörüdür. Arc eğer A operörüü ödeğerie krşlk ele ˆ ˆ ˆ... ˆ öekörler e birleşirilmiş ekörler iciri ise brd ˆ D( A ( k... e ˆ A ˆ ˆ s k A ˆ ˆ s s s şrlr ile birlike (3.3.5 eşiliklerii elde ederi. Brd ˆ ˆ... ˆ ekörlerii birici bileşeleridir. Tersie (3..3 (3..5 k problemie krşlk ele ekörleri içi ˆ k D( A ( k. e A ˆ A ˆ s. elde ederi. ˆ Bölece lemm 3.3.3 isplmş olr. ˆ s s s A ler k

7 3.4. Disipi Drmd A Operörüü Kedie Eş Dilso e Krkerisik Foksio Disipi A operörüü kedie eş dilso krmk içi l w ( I C ire L ( D e çk L ( ( L ( D l lr ekleelim e Η L orool oplm olşrlm. B Ess ilber dilso deir. Η i elemlr w < ϕ ˆ ϕ > Η şeklide lm e W ( ϕ e ϕ ( dr. Η d w D( L βϕ ( βϕ ( W elemlr üeride ( ˆ dir. W ( Sobole ( ( ( (3.4. e β : Im β > sr koşllr sğl dϕ ~ dϕ L ϕ ˆ ( ˆ ϕ i l i (3.4. dε dε dieresiel idesi ile olşrl L operörüü ö öüe llm. Teorem 3.4.: L operörü d kedie eş operördür. İsp: Öce L operörüü simerik oldğ ispllm. D( L içi ϕ ˆ ϕ e ψ ˆ ψ ols. B drmd ( L ( L ( L ϕ ˆ ϕ ψ ˆ ψ ( ϕ ˆ ϕ L ψ ˆ ψ

8 ( ψ ψ ε ϕ ε ϕ ˆ ˆ ~ d d i d d i l ( ε ψ ε ψ ϕ ϕ d d i d d i ˆ ~ ˆ l blr. Brd d bileşelerie eçerek ( ( ˆ ˆ ~ ε ψ ε ϕ ε ψ ε ϕ d d d i d d d i l ( ( ε ε ψ ϕ ε ε ψ ϕ d d d i d d d i ˆ ~ ˆ l ( ( ε ψ ϕ ε ψ ϕ d d i ˆ ˆ ~ l ( ( ε ϕ ψ ε ϕ ψ d i d i ˆ ~ ˆ l elde edilir. (3..4 (3..6 e ksmî iersod ( ( ( ( [ ] ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( _ L L ( ( ( ( ψ ϕ ψ ϕ i i ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] i β ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( i β ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( [ ] i β ( ( [ ] ( ( ( [ ] [ ] i β ( ( ] [ - ( ( ] [

9 olr. Yi ( L ( L oldğd L simerik bir operördür. L operörüü kedie eş oldğ ösermek içi eerlidir. L * * ( L ψ ˆ ψ D( L ϕ ϕ D L oldğ ösermek llm. ϕ ± W ϕm ( içi ( L bilieer orm llm. * dψ * dψ Ksmi ierso ile L i ˆ elde edilir. Brd dε dε ^ ± * ψ L ( R dir. Beer şekilde ˆ D( L ierso ile ( ( ( D ( içi ise ( L de ksmi * * dψ ~ dψ L L ψ ˆ ψ i l( ˆ i (3.4.3 dε dε olr. L operörü içi (3.4. de mldğ şekilde er D( L ( L ( L olr. (3.4.3 de dol ( L dşdki erimlerii oplm sr eşi olmldr. Yi içi bilieer ormdki ierl ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] [ ( ( ( ( ] ( ψ ( iϕ ( ψ ( i ϕ dr. (3..6 eşiliği krd lp düeleirse ( ( [ ] iϕ ( ψ ( iϕ ( ψ ( dr. L i sr şrlrd e çöersek ( ϕ ( ϕ ( iβ ( βϕ ( ( ϕ ( ϕ ( iβ blr e brd d

3 elde edilir. eşiliğide ( ( [ ] iϕ ( ψ ( iϕ ( ψ ( [ ] ( ( ϕ iβ ( ( - ( ( ( ( ϕ βϕ ϕ ϕ - ( ψ ( iϕ ( ( iβ i ϕ ψ (3.4.4 dr. Ykrdki deklemde ( e iβ β β βψ ( ϕ kslr eşilersek ψ ( (3.4.5 elde edilir. Beer şekilde ϕ ( kslr eşilersek βψ ( (3.4.6 * blr. Soç olrk D( L D( L oldğ örülür. Bölece * L L dr. 3.5. L Operörüü Olşrdğ Üier Grp L operörüü A operörüü kedie eş dilso oldğ öserelim. Soe eoremie öre L kedie eş operörü ilber d ( i IR ( U exp L üier rb olşrbilmekedir. P : e P : döüşümlerii P : ϕ ˆ ϕ ˆ P : ˆ biçimide ide edelim. Üier rp rdml e

3 { Z } Z : PU P içi operörler ilesi d mme üier olm büülmeleri üçlü sürekli bir r rbdr. B r rb B ˆ lim eşiliği ile öserilebilir. ŷ ekörlerii içerir. ( i ( Z ˆ ˆ B ile öserile üreeci B üreecii m bölesi b limii mec oldğ büü B operörü disipiir e dilso deir. (Kel 996; d Foiş 97. L operörüe B kedie eş Teoerm 3.5.: L operörü A operörüü kedie eş dilsodr. İsp: B A oldğ öserirsek L operörüü dilso oldğ ösermiş olr. B pmk içi ilk olrk ( I P ( A I A operörüü kedie eş P L P ˆ ˆ Im < (3.5. ˆ eşiliğii doğrllm (Kel 996 d Foiş 97. B içi ( L I P ˆ ψ ˆ ψ idesii ö öüe llm. Brd e ( L I P ˆ ( L I ψ ˆ ψ ( ˆ dψ ~ l dε dψ dε ( ˆ i ψ ˆ ψ ˆ i olr. B eşiliği bileşeler şeklide rsk dψ dε ψ ψ ε ψ e i ( ( ε dψ ψ dε ψ ε ψ e i ( ( ε

3 elde edilir. D( L oldğd ψ L ( e ( ˆ sr koşl sğlr. Bölece ˆ D( olr. ~ l Lˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ A ψ dr. Soç olrk deklemi içi ise Im < içi oks disipi operörüü bir ödeğeri blr. Bölece ˆ e olm. βψ ( ( ormülüde ψ ( Im < içi ( I ˆ ˆ ˆ ( A I A bir çöümdür e brd b w deklemii (3.4. sr koşllr sğl bir çöümüdür. Ack Im < oldğd disipi A operörüü bir öekörüdür. B ise mümkü değildir. Çükü disipi operörleri ödeğerleri üs r dülemdedir. Dols ile blr. Brd ( A I ˆ ˆ dir. P döüşümüü lmsl (3.5. idesi elde edilir. Yi i ( A I P( L I P ip U e dp i Z e i d ( B I Im < blr. Bölece B A oldğ örülür e eorem isplr. 3.6 Dilso Sçlm Teorisi e Disipi Operörü Foksioel odeli { } üier rb e öemli öelliği Lx Pilips sçlm eorisii lms imk ermesidir. Yi b rp şğdki öellikleri sğl ire L D ( e çk D L ( l lr sipir.

33 U D D e U D D I I U D U D { } 3 UU D U U D 4 D D B öellikler isplbilir. 4 öelliğii doğrlğ çkr. öelliğii isplmk içi D l içi ( L I idesii olşrlm. Im < R olmk üere r dülemdeki er e ϕ (s D içi R iε iε ie e ϕ ds ( s olr. Brd R D oldğ örülür. B drmd D içi Im < olmk üere L ( I L i( I ( R i e d i i i i e e d L i e blr. Brd d er ( U d içi ( U oldğ örülür. Bölece U D dir. Yi içi U D dir. (D - l içi de isplr beer şekilde plr Bölece öelliğii isplmş old. öelliğii isplmk içi p : L ( e p : L ( D döüşümlerii p ψ ˆ ψ ϕ P : ϕ ϕ olrk mllm. : ( U : p U P iomeriler r rb L ( d ek rl bir öeleme oldğ dikke llm. kike ( ε ϕ( ε ε e ϕ( ε ε V ϕ > V

34 şeklide ide edile ( üreecii ( L üerideki V ek rl öeleme r rb d ϕ sr koşl sip i diersiel operörü oldğ dε bilior. Diğer r olmk üere ol S operörü U iomeriler rrb üreeci Sϕ p L p ϕ p < ϕ p dϕ i dε L dϕ i dε şeklide ide edilir. Brd ϕ ( e ( W ϕ dr. Fk bir rrb üreeci ek ürlü belirleebileceğide dol I U D I V L ( { } U V olmldr e bölece blr e öelliği isplmş olr. Lx Pilips sçlm eorisii lbilmesi içi spekrl öserim rdml sçlm mrisi mllm. B oll D e D l lr içi 3 öelliğii ispllm. 3 öelliğii isplmk içi öce şğdki lemm isplm. Lemm 3.6.: A operörü mme kedie eş olmdr (bsiir. İsp: Tersii kbl edelim i A operörü bsi olms. O lde ir l rdr e b l üeride A operörüü kslms ol * * A operörü kedie eşir. ( l V exp( ia V exp( ia > V * V iomerilerii r rb öre irr. l {} oldğ öserirsek isp mmlr. B içi ˆ I D( A D( A ise ˆ * A D( e d ia d ia ia e ˆ ( e ˆ e ˆ d d i A e ˆ e ˆ i e ˆ A e ia ia ia ia ( ( ˆ

35 dir. (3..4 öelliğii kllrk e ˆ e ia ˆ lrk ( A ˆ ˆ ( ˆ A ˆ i [ ( ] ( ( ( Im ˆ e ia β ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ( ( ( ( ] olr. ˆ D( oldğd A A operörü krdki koşl sğlr. Arc b koşl A operörüü öekörleride sğlmldr. Bölece operörüü öekörleri ol de er l A A operörüü ˆ( öekörleri içi dr. (3..4 koşld e ˆ ( dr. Bölece A kedie eş operörüü öekörlerii çlm eoremide { } bölece lemm isplmş olr. dr. Yi A operörü bsiir e Aşğdki şekilde ol U U D e U lr olşrlm. U D Lemm 3.6. eşiliği sğlr. İsp : D ± l öelliğii düşüelim. üere Θ( l { } i bir l olmk U üier rb öre irr e biçimide ide edilir. Bölece eğer l ( e srd rkl olsd b l kslmş { } prçs olck e bd dol A operörüü U üier rb { } U rb üier A kslms de kedie eş

36 bir operör olck. Ack A operörüü bsiliğide dol (Lemm 3.6. { } dr. Yi { } dir. Bölece Lemm isplr. Lx Pilips sçlm eoriside sçlm mrisi (oksio spekrl öserim eorisi oll mlmşr. Bi b p olşrmkl birlike D e D l lr içi 3 öelliğii de isplcğ. (l ( I deklemii ( ( ( χ ( χ sğl çöümleri ( e χ( η S ( ( ( ( ols. koşllr χ : (3.6. χ ( ( ( ( η η : (3.6. η η kbllerii plm. (3.6. deki η ( oksio reel ekse üerideki kplr slbilir sd ol C kompleks dülemide meromorik bir oksiodr. η ( oksio şğdki öellikleri sğldğ ösermek mümküdür. e ( ( Im Imη < Im η reel eksedeki kplr riç er C içi ( η( iε iς ( ε ς e β{ ( η( χ ( } ˆ χ( S ( e U llm. Brd ς ( ε ( ˆ χ( ( ε ς η dir. (3.6.3 ( χ dr. reel değerleri içi U ekörleri i değildir. Lemm 3.6.3: ( ε ς U ekörleri L U U deklemii e L operörü içi erile (3.4. sr koşllr sğlr.

37 U ekörüü L U U deklemii sğldğ örülebilir. Şimdi de İsp: ( ε ς (3.4. sr koşllr sğldğ örelim. ( [ χ( ] [ χ( ] ( χ ( ( ( ( ( olr. Beer şekilde blr. Brd ( χ β ( η χ β η βs ( ( η( β ( ( χ χ ( ( U ler L operörüü sürekli spekrm öoksiolrdr. U ( ε ς ekörleri rdml ϕ ˆ ϕ döüşümüü ~ ( F ( : ( : ( U π şeklide mllm. Brd ϕ ( ε ϕ ( ς { } ( I ~ elemlr üeride F : ( kompk dkl oksiolrdr e diisi sol sd erimleri srd rkl ol bir diidir. Lemm 3.6.4: döüşürür. er eçerlidir. Yi F döüşümü iomerik olrk L ( IR elemlr içi Prsel eşiliği e ers döüşüm ormülleri ( ~ ~ ~ ~ L ( ( ( d e

38 ~ π ( U d eşilikleri sğlr. Brd ( ( F ( ~ ~ dr. e ( ( F ( İsp: D içi ϕ ψ olmk üere Ple- Wieer eoremi ile ~ ( ( U ϕ( ε π π e iε dε dir. Forier ierlleri içi Prsel eşiliği klllrk ~ ~ L ( ( ϕ ( ε ψ ( ε dε ( ( d ( F F blr. Brd üs e l r dülemlere eişleebile ekör değerli liik oksiolr içere L ( IR Şimdi Prserl eşiliğii üm ± dki rd slr ösermekedir. eişleelim. B içi düü e kompk dğ sip oksiolrd elde edile ekörler kümesii ile öserelim. B ekörler içi : U < ϕ C ( D e i ol de oğ ol olr. Brd T T e bğl olm ei bir sdr. B drmd eğer ise T > T e T > T içi U T U T D dir e b ekörleri birici bileşeleri C ( ddr. Bölece ( IR oldğd F U i i ( U U e ( U e F dir e b eşilik rdml ( ( U U ( F U F U T T T L U operörleri üier i i ( e F e F ( F F L L (3.6.4

39 elde edilir. de oğ oldğd (3.6.4 deki idei kpş lrk d Prsel eşiliği elde edilmiş olr. Prsel eşiliğideki üm ierlleri sol rlklr üeride limileri lrk ers döüşüm ormülü elde edilir. Soç olrk F U F U U i D e L ( IR olr. Yi F döüşümü L ( IR döüşürür e lemm isplr. Şimdi de ε ^ U iε i ( ε ς < S ( e β ( η( χ ( χ( e > ekörler kümesii olşrlm. Brd reel değeri içi ( ε ς U ekörleri i değildir. Fk U ( ε ς ekörleri U U ( IR e L operörü içi erile sr koşllr sğlr. ( ε ς L deklemii U ekörleri rdml ~ F : ( döüşümüü ϕ ˆ ϕ ekörleri üeride ~ ( F ( : ( : ( U π şeklide mllm. Brd ε ϕ ( ς oksiolrdr e { } ( I diidir. ( oksiolr kompk dkl ϕ diisi sol sd erimleri sr olm bir Lemm 3.6.5: F döüşümü iomerik olrk L ( IR döüşürür e er elemlr içi Prsel eşiliği e ers döüşüm ormülleri eçerlidir. Yi ~ ~ L ( ( ~ ( ~ ( d

4 ~ π ( U d ~ ~ dr. dr. Brd ( ( F ( e ( ( F ( B lemm lemm 3.6.4 e beer şekilde isplr. (3.6. eşiliğie öre ( S oksio IR içi S ( oldğd. U e U ekörleri klllrk ( U ( IR U S (3.6.5 eşiliği lbilir. Lemm 3.6.4 e 3.6.5 de dol oldğ örülür. Lemm 3.6. de dol elde edilir. Dolsl ire e çk l lr içi 3 öelliği isplmş old. B drmd F döüşümü iomerik olrk L ( IR döüşürür. U operörüü Diğer bir değişle şekilde ideside bir i e çrpm operörüe e F döüşümü { } F döüşümü { } D l döüşürür. U rb ire spekrl öserimidir. Beer U rb çk spekrl öserimidir. (3.6.5 elem F öserimide oksio ile çrpm olrk öserilir i ~ ~ ( S ( ( soc elde edilir. Lx e Pilipsi sçlm eorisie öre öre { } F öserimie eçişi S ( D e D l lr U rb sçlm mrisi (oksio ekörüü F öserimie krşlk ele F öserimii elde emek içi çrplms ereke kslrdr. Bölece S ( oksio { } Ykrd pl işlemler şğdki eoremi ispdr. U rb sçlm mrisidir.

4 Teorem 3.6.6: S ( oksio { } sçlm mrisidir. U rb (kedie eş L operörü içi Tm 3.6.7: ( içi ( C S oksio C üs r dülemde liik ols. Eğer S e eme eme er IR oksio C üs dülemde iç oksiodr deir. ( içi S ( ise S ( S oksio üs dülemdeki kei sbi olm iç oksio ols. K mllm. { } S Θ ( K i ϕ ϕ içi ϕ P[ e ϕ] rrb llm. Brd K bir l dr. Z ormülüe öre K dki ( rb üreecii Tϕ ( i ( Z ϕ ϕ Z operörlerii P d K ml idüşüm operörüdür. { } Z r lim ile öserelim brd T üm ϕ K oksiolr içere m bölesi D ( T ol disipi operördür. T e model disipi operör deir. (B m Lx e Pilipsi mdr. B model operör e Foiş rd olşrl model disipi operörüü öel bir drmdr. Temel kble öre S ( T operörüü krkerisik oksiodr. D K D olmk üere K ols. F döüşümü ld F üier döüşümüü öelliğide şğdkiler eçerlidir. ~ L ( IR (3.6.6 ( ( F ( D D S K B ormüller ~ i ( F U F ( e ˆ ( ΘS V A operörüü krkerisik oksio ( S ol disipi model operöre üier eşdeğer oldğ öserir. Üier eşdeğer disipi operörleri krkerisik oksiolr oldğd (S- e Foiş şğdki eorem isplmş olr.

4 Teorem 3.6.8: ml ( A disipi operörüü krkerisik oksio (3.6. ormülüde S oksiodr. 3.7. Disipi Frk Operörüü Spekrl Alii A disipi operörüü krkerisik oksio bii b operörüü spekrl öellikleri kkd mlk bilisie öürür. Öreği S ( s( B( çrpmdki s ( siüler çrp oklğ ( I l w d A operörüü ö ekörler e sose ekörler sisemii mlğ ri eder. Brd B ( Blscke çrpdr. Teorem 3.7.: Im > olmk üere üm değerleri içi ( değeri riç A disipi operörüü krkerisik oksio ol S ( Blscke çrpdr e A operörüü spekrm prel (sr rkr e çk üs r düleme iir. içi operörü sol kllğ sip e sosd limi oks ol A slbilir sd iole edilmiş ödeğerlerde olşmşr. içi A operörüü ö ekörler e sose ekörler sisemi d mdr. İsp: (3.6. eşiliğide çkr ki ( Arc üm kompleks dülemi içi ( S üs r dülemede bir iç oksiodr. S meroormikir. Bölece S ic ( e B( c c( > (3.7. biçimide lbilir. Brd ( ic c( ( e B ( e B Blscke çrpdr. (3.7. eşiliğide Im S Im (3.7. elde edilir. Üselik ( S e öre η ( ide edilerek (3.6. eşiliğide η ( S S ( ( (3.7.3

43 lbilir. Eğer ( Im > değeri içi c( > ise lim ( i lim η ( i oldğ (3.7.3 de örülür. ( ( S oldğ (3.7. de e η değeri de bğms oldğd c ek oks riç olmk üere srd rkldr. (e rc ( i lim η dir. Bölece eorem isplr. Lemm 3.6. e öre (3..3-(3..5 sr değer problemii ödeğerleri ile operörüü ödeğerleri çkşr. (3..3-(3..5 sr değer problemii öekörleri e sose ekörleri içi (3.3.6 ormülü rdr. B drm şğd erile eorem ile de ormlbilir. A Teorem 3.7.: (3..3-(3..5 sr değer problemii spekrm sr rkr e çk üs r düleme iir. Im > olmk üere değeri riç üm değerleri içi (3..3-(3..5 sr değer problemi ( sol kllğ sip sosd limii ol slbilir sd iole edilmiş ödeğerleri rdr. B problemi ( içi ö ekörler e sose ekörler sisemi ( I l d mdr. w

44 4. SIIR KOŞULLARIDA SPEKTRAL PARAETRE BULUDURA STUR LİOUVİLLE FARK OPERATÖRÜÜ SPEKTRAL ÖZELLİKLERİ B bölümde spekrl prmerei rlğ sol ç oksd erilmesi drmd or kol Srm Lioille rk sr değer problemie olrk ml öel ilber d sr değer problemi ile ödeğerlere sip lieer disipi operör olşrlmşr. D sor b dsipi operörü spekrl öellikleri icelemişir. Elde edile b disipi lieer operörü kedie eş dilso krlmşr. Sçlm eorisi lrk disipi operörü krkerisik oksio blmşr. B oksio öellikleri iceleerek disipi operörü e Srm Lioille rk operörüü mlk eoremleri isplmşr. 4.. Srm Lioille Frk Operörüü Öellikleri e Sr Değer Problemi { ±... } Z : ± olmk üere Bileşeleri ( l ol l diisi içi ( : b w kompleks slr diisi { } ols. l (4.. ikici merebede rk deklemii (Srm Lioille rk deklemii ele llm. Brd bir spekrl prmere > ols. w e b IR : ( Z Eğer p q b e x x x ideleri (4.. deklemide lrs Srm Lioille biçimide ( p q w ( Z (4.. rk deklemi elde edilir. { } e { } diileri içi [ ] : ( (4..3 biçimide ml bileşeleri [ ] ol dii [ ] ols.

45 Tm 4.. : er m Z e < m içi m j { w j ( j j w j j ( l j } [ ] m [ ] l (4..4 eşiliğie Gree ormülü d erilir. Kei { } diisi içi ( ol diii l ile öserelim. l w ( l biçimide ml bileşeleri ( l ( w iç çrpm olşrp w diilerii olşrdğ ( Z w < l ( w : { w } Z koşl sğl büü kompleks değerli ilber krlm. l l ( Z olck şekilde l ( Z ekörlerii kümesii D ile w w öserelim. L l kolrk D de bir L mksiml operörü mllm. D ekörleri içi [ ] lim[ ] e [ ] lim [ ] limilerii rlğ e sol oldğ (4..4 ormülüde elde edilir. Bd dol e içi (4..4 ormülüde limie eçilirse D içi elde edilir. ( L ( L [ ] [ ] (4..5 Sol sdki erimi srd rkl ol { } diilerii kümesi üeride L L ile ml L simerik operörüü kpş L ile öserelim. L opreörü simerikir e * L L dir. (Bereskij 965. L idis deekii esplms r doğr üerideki idis deekleri esplms idireebilir. Asld l w( Z w( I l ( { 3... } w ( I l ( { 3... } I e I lr orool oplmdr. l w( I e l w( I

46 lrd l ile üreile miiml (mksiml operörler L ( L e L ( L ols e D m ( D L m ( L operörlerii m kümesi ols. Im içi L deek m m ss : {( L I D( L } de L dim içi del del del eşiliği sğlr. B ise k olmk üere L idis deekii (kk biçimide oldğ erekirir. * ( idis deeki içi L operörü kedie eşir. Yi L L L dir. Kbül edelim ki simerik L operörüü idis deeki ( ols. ± d Wel limi çember drmlr ri ede eerli koşllr rdr. (Akiso 964; Bereskij 965; Clrk 996; Welsed98. L m kümesi [ ] [ ] koşl sğl ( D (4..6 D ekörlerii içerir. ( ( ( ( P ( P ( P ( P ( (4..7 ( ( koşllr sğl (4.. deklemii çöümlerii P ( ( { P ( } ( P ( Z ( ( { } P e ile öserelim. (4.. deklemii { } e { } çöümlerii Wroskiei ( [ ] W ( ( W olck şekilde biçimide mlr. B çöümler e bğl değildir e b iki çöümü lieer bğms olms içi erek e eer koşl Wroskieii ( ( srd rkl olmsdr. (4..7 koşld W ( P P ( Z oldğ elde ( ( edilir. P ( e P ( (4.. deklemii çöümlerii emel sisemii olşrr ( ( e er C içi P ( P ( l ( Z dr. w ( ( P ( e P ( ols. { } e { } reel slr diisi e [ ] ( Z oldğd (4..3 deklemii b oldğ örülür. Lemm 4...: Kei { } e { } D ekörleri içi

47 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( Z { } (4..8 eşiliği sğlr. İsp : Lemm 3.. i isp beer şekilde plr. Teorem 4..3 : L operörüü m bölesi D [ ] [ ] [ ] [ ] sr koşllr sğl (4..9 D ekörlerii içerir. İsp : Lemm 4.. de (4..6 deklemi [ ] [ ] [ ] [ ] - [ ] [ ] [ ] [ ] (4.. deklemie dekir. Üselik [ ] [ ] [ ] e [ ] dol er kei olbilir. Bd D içi (4.. deklemii mümkü olms içi erek e eer koşl (4..9 koşllr sğlmsdr. Bölece eorem isplr. l ( rk idesi içi şğdki sr değer problemii düşüelim. l ( D ( Z (4.. ( [ ] [ ] [ ] [ ] (4.. [ ] [ ] Im >. (4..3 Brd kompleks spekrl prmere IR e dir. > Aşğdki kblleri plm. [ ] [ ] ( :

48 [ ] [ ] ( : [ ] ( [ ] ( : [ ] ( : ( : [ ] ( ( (. Lemm 4..4: Kei D içi ( ( ( ( ( ( ( ( olmk üere i [ ] [ ( ( ( ( ] ii [ ] (4..4 (. ( (. ( (4..5 eşilikleri sğlr. İsp lemm 3..4 deki ip beer şekilde plr. 4. Verilmiş Sr Değer Problemii ilber Ud Üreiği Lieer Operör: ( ( Z C ( l w olmk üere ˆ ( ( şeklide iki bileşeli elemlr lieer w ( Z C Eğer olmk üere > kbl edilirse l şeklide öserelim. ( ( ( (

49 olmk üere w ( ( ( ( (4.. ormülü lieer d bir iç çrpm mlr. B iç çrpm öre lieer bir ilber olr. Dolsl erilmiş sr değer problemie ilber mlmş old. Verile sr değer problemie A : operörüü D A ( ( ( A : D ( ( ( ( ( 4.. ^ ( ( ( ( ( ^ ~ l l ( : ( (4..3 eşilikleri ile mllm. Lemm 4..: w ( I C ml A operörü içi l ilber d (4.. e (4..3 eşilikleri ile A A ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( [ ( ( ( ( ] (4..4 eşiliği sğlr. İsp lemm 3.. deki isp beer şekilde plr. Teorem 4.. : A operörü d disipiir.

5 İsp : ˆ { ˆ } D( A e D A içi (4..4 eşiliğide ( ( A ˆ ( A ˆ ˆ ˆ [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( blr. (4..4 de dol ( A ˆ ˆ ( ˆ A ˆ [ ( ( ] ( olr. ( koşl sğlcğd ( ( ( ( blr e brd d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A ˆ ˆ ( ˆ A ˆ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( i Im ( olr. Brd d ( Im ( ( ˆ ˆ Im ( A (Im > dr. Yi A operörü de disipiir. 4.3. ilber Ud Sr Değer Problemii Üreiği A Operörüü Ödeğerleri e Öekörleri er C içi (4.. deklemii ( ( [ χ( ] χ ( ( [ χ( ] χ

5 ( φ( ( φ( (4.3. koşllr sğl çöümleri ( ol ( φ e χ( ( ( ( χ( ( χ( dir. (4..5 de dki Wroskiei ol ( ( : ( φ( ( olrk esplr. ols. (4..4 de dki Wroskiei Lemm 4.3.: (4.. (4..3 Sr değer problemii ödeğerleri ck e ck ( sr erleride ibreir. ( ( ( ( İsp: Lemm 3.3. deki isp beer şekilde plr. ( e ( oksiolr srlr (... ˆ φ( φ ( φ( D ( A şeklide öserirsek ekörleri A ˆ φ ˆ φ eşiliğii sğlr. Yi φˆ ler A operörüü öekörleridir. Tm 4.3.: Eğer ödeğerie krşlk ele... sisemi ( l ( ( (

5 ( l s s s ( ( ( s s s ( s s.... (4.3. şrlr sğlors... ekörler sisemie (4.. (4..3 sr değer problemii ö e birleşirilmiş (sose ekörler iciri deir. Lemm 4.3.3: (4.. (4..3 sr problemii ödeğerleri e A disipi operörüü ödeğerleri çkşr. Yi (4.. (4..3 sr değer problemii ödeğerie krşlk ele er bir öekörler e birleşirilmiş ekörler iciri disipi operörüü ödeğerie krşlk ele e birleşirilmiş ekörler icirie krşlk elir. B drmd A ˆ ˆ ˆ... ˆ öekörler k ˆk ( k. (4.3.3 k eşiliği sğlr. İsp lemm 3.3.3 dekie beer şekilde plr. 4.4. Disipi Drmd A Operörüü Kedie Eş Dilso e Krkerisik Foksio: A operörüü kedie eş dilso krmk içi w ( Z C ire L ( D e çk L ( ( L ( l D l lr ekleelim e Η L orool oplm olşrlm. B Ess ilber dilso deir. Η i elemlr w < ϕ ˆ ϕ > Η şeklide lm e W ( ϕ e ϕ ( olmk üere W

53 ( ( ( ( ˆ D ( ( ols. Brd d w D( L elemlr üeride W Sobole dr. Η [ ] [ ] γϕ ( (4.4. [ ] [ ] γϕ ( ( ( ( ( γ : Im γ > sr koşllr sğl e dϕ ~ dϕ L ϕ ˆ ϕ i l( ˆ i (4.4. dε dε idesi ile olşrl L operörüü düşüelim. Teorem 4.4.: L operörü d kedie eş operördür. İsp: Öce L operörüü simerik oldğ öserelim. D( L içi. ϕ ˆ ϕ e ψ ψ ols. (4..4 (4..4 e ksmî iersod ( ( ( ( ( L ( L [ ] [ ] ( ( ( ( [ ( ( ( ( ] ( ψ ( iϕ ( ( i ϕ ψ blr. Brd d (4..4 koşllr e (4..4 eşiliği ö öüe lrs ( ( L L ( ( i ( ( [ ] [ ] [ ] ( ( ( ([ ] [ ] γ

54 i γ ( ( ( ( ([ ] [ ] [ ( ] [ ] ( ( i ( ( ( ( [ ] {[ ] [ ] [ ] [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] [ ] [ ] } i { γ γ ( ( ( ( [ ] [ ] [ ] [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] [ ] [ ] } ( ( i ( ( ( ( [ ] { ( - [ ] [ ] ( [ ] [ ] } γ ( ( i ( ( ( ( [ ] ( - {[ ] [ ] [ ] [ ] } γ ( ( i ( ( [ ] i Im [ ] Im olr. Yi ( L ( L oldğd L simerik bir operördür. L operörüü kedie eş oldğ ösermek içi * eerlidir. ϕ D( L ϕ ˆ ϕ D( L L * L oldğ ösermek ϕ llm. ϕ W ϕ ( ± m * dψ * dψ içi ( L bilieer orm llm. Ksmi ierso ile L i ˆ dε dε elde edilir. Brd ( L ψ L (R ± ± de ksmi ierso ile * dir. Beer şekilde ˆ D( L ( ( ( D ( olmk üere ise * * dψ ~ dψ L L ψ ˆ ψ i l( ˆ i (4.4.3 dε dε dir. (4.4.3 de mldğ şekilde er D( L içi ( L ( L (4.4.3 de dol ( oplm sr eşi olmldr. Yi L olr. bilieer ormdki ierl dşdki erimlerii

55 ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] [ ( ( ( ( ] ϕ γ ( ψ ( iϕ ( ψ ( i olr. (4..4 eşiliği krd lp düeleirse ( ψ ( ϕ ( ψ ( ( ( [ ] iϕ i (4.4.4 ( blr. L i sr şrlrd [ ( [ ] ϕ ( ϕ ( iγ ( ( [ ] γϕ ( ϕ ( ϕ ( iγ ] e ( elde edilir. (4..4 e (4.4.4 eşilikleride γϕ iγ _ ( iγ ( [ ] i çöersek ( ( ϕ ( ϕ ( ] ( ϕ ( ϕ ( ( ( [ ] i ϕ ( ψ ( iϕ ( ( ( 4.4.5 ψ olr. Ykrdki deklemde ( e iγ γ _ ( i ( ( [ ] [ ] γψ ( ϕ kslr eşilersek ( [ ] ψ ( (4.4.6 olr. Beer şekilde ψ ( kslr eşilersek ( ( [ ] [ ] γψ ( (4.4.7 * elde edilir. Soç olrk D( L D( L dir. Bölece * L L dir. 4.5. L Operörüü Olşrdğ Üier Grp:

56 L operörüü B içi Soe eoremie öre ( i IR ( A operörüü kedie eş dilso oldğ öserelim. L kedie eş operörüü ilber d U exp L üier rb olşrlm. P : e P : döüşümlerii P : ϕ ˆ ϕ ˆ e P : ˆ biçimide ide edelim. U üier rb rdml Z { Z } : PU P olmk üere operörler ilesi de mme üier olm büülmeleri üçlü sürekli bir r rbdr. B r rb üreeci ol operör içi olr. içerir. B ˆ lim ( i ( Z ˆ ˆ B üreecii m bölesi b limii mec oldğ büü ŷ ekörlerii B operörü disipiir e L operörüe B B kedie eş dilsodr. Teoerm 4.5.: L operörü A operörüü kedie eş dilsodr. İsp: İsp Teorem 3.5. i isp beer şekilde plr. { U } üier rb e öemli öelliği Lx Pilips sçlm eorisii lbilir olmsd dol sçlm mrisi spekrl öserim eorisi oll mlmşr. Bi blr olşrlm. (l ( Z deklemii [ θ ( ] θ ( [ ] [ φ( ] [ φ( ] koşllr sğl çöümleri ( e φ( ols e şğdki kbllerii plm.

57 η ( [ θ ( ] [ θ ( ] [ θ ( ] [ φ( ] ( φ : w( : ˆ( φ ( ( η S η. (4.5. (4.5. (4.5. deki η ( oksio reel ekse üerideki kplr slbilir sd ol C kompleks dülemide meromorik bir oksiodr. η ( oksio şğdki öellikleri sğldğ ösermek mümküdür. e ( ( Im Imη < Im η reel eksedeki kplr riç er C içi ( η( η dir. iε iς ( ε ς e w( {( η( [ θ ( ] } ˆ φ( S ( e U (4.5.3 e iε ( ε ς S ( e w( ( η( [ θ ( ] { } ˆ i φ( e U ς ekörlerii mllm. Brd ( ε ( U ( ε ς e ( ε ς (4.5.4 ς dir. reel değeri içi U ekörleri i değildir. Brd sürekli spekrm ö oksiolrdr. U e U lr L Lemm 4.5.: ( ε ς U ekörleri L U U deklemii e L operörü erile sr koşllr sğlr. içi İsp: Lemm 3.6.3 ü isp beer şekilde plr. U ( ε ς e U ( ε ς ekörleri rdml ϕ ˆ ϕ elemlr üeride : ˆ ( e G ˆ ( G : döüşümlerii : π ( G ( ˆ ( : ( U ( G ( : ˆ ( : ( U π

58 şeklide mllm. Brd ϕ ( ε ϕ ( ς ( sol sd erimi srd rkl ol bir diidir. G döüşümü kompk dkl oksiolrdr e iomerik olrk L ( IR lemm 3.6.4 e lemm 3.6.5 dekie beer ormülleri eçerlidir. (4.5. eşiliğie öre ( oldğd. U e U ekörleri klllrk ( U ( IR döüşürür. Arc Prsel eşiliği e ers döüşü S oksio IR içi S ( U S (4.5.5 eşiliği lbilir. Lemm 3.6.4 e 3.6.5 de oldğ örülür. B drmd G döüşümü - iomerik olrk ( Z operörüü Diğer bir değişle şekilde ideside bir i e çrpm operörüe e G döüşümü { } G döüşümü { } oksiolr ile çrpm olrk D l L döüşürürke U operörüe döüşürür. U rb ire spekrl öserimidir. Beer U rb çk spekrl öserimidir. (4.5.5 elem G öserimide ( S ( ( ˆ ˆ şeklide erçekleir. Lx e Pilips i sçlm eorisie öre G öserimie eçişi S ( D e D l lr öre { U } rb sçlm mrisi (oksio ekörüü G öserimie krşlk ele G öserimii elde emek içi çrplms ereke kslrdr. Bölece S ( oksio { } B pllr şğdki eorem ile ide edilebilir. U rb sçlm mrisidir. Teorem 4.5.3: S ( oksio { } U rb (kedie eş L operörü içi sçlm mrisidir. K olmk üere D K D şeklide ide edilebilir. eçerlidir. G döüşümü ld G üier döüşümüü öelliğide şğdkiler

59 L ˆ ( ( G ( ( IR D (4.5.6 D S K S U i ( G U G ˆ ( e ˆ ( Θ B ormüller A operörüü krkerisik oksio ( S ol disipi model operöre üier eşdeğer oldğ öserir. Üier eşdeğer disipi operörleri krkerisik oksiolr oldğd şğdki eorem isplmş olr. Teorem 4.5.4: ml ( A disipi operörüü krkerisik oksio (4.5. ormülüde S oksiodr. Teorem 3.7. e Teorem 3.7. e beer şekilde ş eoremler isplbilir. Teorem 4.5.5: Im > olmk üere üm değerleri içi ( değeri riç A disipi operörüü krkerisik oksio ol S ( Blscke çrpdr e A operörüü spekrm prel (sr rk olp çk üs r düleme iir. içi operörü sol kllğ sip e sosd limie sip ol A slbilir sd iole edilmiş ödeğerlerde olşmkdr. içi A operörüü öekörler e sose ekörler sisemi d mdr. Teorem 4.5.6: (4..-(4..3 sr değer problemii spekrm sr rkr e çk üs r düleme iir. Im > olmk üere değeri riç üm değerleri içi (4..-(4..3 sr değer problemi ( sol kllğ sip sosd limii ol slbilir sd iole edilmiş ödeğerleri rdr ( içi (4.. (4..3 problemi öekörler e sose ekörler sisemi ( Z mdr. w l d

6 5.KAYAKLAR Adr. d Birmo E. 3. Dierece eqios o secd order wi specrl silriies J.. Al. Appl. 77 o: 74-7. Akieer.I. 965. Te Clssicl ome Problem d Some Reled Qesios Lodo d ew York. Akieer.I. d Glm I.. 963. Teor o Lier Operors i ilber Spce ew York. Allerdie B.P. 5. A oseldjoi Srm-Lioille Problem wi Specrl Prmeer i e Bodr Codiios. c. 78 o 7-8 743-755. Allerdie B.P. 6 A Disspie silr Srm-Lioille Problem Problem wi Specrl Prmeer i e Bodr Codiios J.. Al. Appl. 75-9 Allerdie B.P. 4. Dissipie Secod-Order Dierece Operors wi Geerl Bodr Codiios Jorl o Dierece Eqios d Applicios Vol. o. -6. Allerdie B.P. 5. Exesios Dilios d Fciol odels o Iiie Jcobi rix Cecoslok. Jorl 55 (3 593-69. Allerdie B.P. d Gseio G S. 99. O e Specrl Teor o Dissipie Dierece Operors o Secod Order. USSR Sborik 66 o: 7 5. Alşk. 998. Sr Şrlrd Ödeğer Prmere Bldr Süreksi Ksl Sr Değer Problemi Dokor Tei Sms. Akiso F.V. 964. Discree d Coios Bodr Problems Acd. Pres Ic. ew York. Birmo E. d Coşk C. 5. Te srcre o e specrm o ssem o dierece eqios Appled emcs Leers 8 (4 387-394. Birmo E. d Coşk C. 4. Jos solios d specrm o e ssem o

6 dierece eqios Apled emcs Leers 7 (9 39-45. Birmo E. Çkr O. d Krll A... o-seldjoi dierece operors d Jcobi rices wi Specrl Siliies emce crce 9 5-4. Bereskij Y.. 965. Expsio i Eiecios o Seldjoi Operors ko Dmk Kie Elis rsl. Amer. Soc. 968. Clrk S.L. 996. A Specrl Alsis or Sel-Adjoi Operors Geered Clss o Secod Order Dierece Eios J.. Al. Appl. 97 67-85. Flo C.T. 977. Two-Poi Bodr Vle Problems wi Eieles prmeer Coied i e Bodr Codiios Proc. Rol Soc. Edibr 77A 93-38. Gorbck.L. d Gorbck V.I. 99. Bodr Vle Problems or Operor Diereil Eqios ko Dmk Kie 984; Elis rsl. KlwerDordrec. io Do B. 979. Expsio Teorem or Eiele Problem wi Eiele Prmeer i e Bodr Codiio Qr. J.. Oxord ( 3 33-4. Kelle W.G. 99. Dierece Eqios Acdemie Pres Boso. Krll A.. Birmo E. d Çkr O.. Specrl Allsis o o- Seldjoi Discree Scrödier Operors wi Specrl Silriies emsce crce 3 89-4. Kel A.V. 996. Crcerisics Fcios d odels o oseldjoi Operors Klwer Acdemic Pbliser Boso Lodo. Lx P.D. d Pilips R.S. 967. Sceri Teor Acdemic Pres ew York. ksdo F.G. Allerdie B.P. d Birmo E.. 99. O e Specrl Teor o oseldjoi Operor Geered b Iiie Jcobi rix Dokl. Akd. k. SSSR 36 o. 9-96.

6 ksdo F.G. Allerdie B.P. d Birmo E.. 993 O e Specrl Teor o oseldjoi Operor Geered b Iiie Jcobi rix wi rix Elemes Doğ-Trkis J. 7o. 79-94. ksdo F.G. d Allerdie B.P. 993. O e Specrl Teor o oseldjoi Secod-Order Dierece Operors wi rix Coeicies Rssi Acd. Sci Dokl.. Vol.47 o. 46-49. ickes R.E. 99. Dierece Eqios: Teor d Applicios V osrd Reiold ew York. B. d Foiş C. 97. Alse ormoie des Operers de L spce de ilber so Pris d Akd. Kido Bdpes: Elis rsl. or- olld Amserdm d Akd. Kido Bdpes. imrk.a. 968. Lier Diereil Operors d ed. k oskow 969 Elis rsl. o s ed. Vols. Ur ew York. O.Y. 4. Sr Koşllrd Spekrl Prmere Bldr İkici erebede Ad Dieresiel Deklemler İçi Sr Değer Problemi Dokor Tei Ispr. Plo B.S. 975. Sel djoi Dilio o Dissipie Scrödier Operor d Eiecio Expsio Fc. Al. Appl.ol. 987-73 Plo B.S.977. Sel Adjoi Dilio o Dissipie Scrödier Operor d is Resolio i Terms o Eiecios. USSR Sborik ol.3 o. 4 457-478. Sl S.. Kedie Eş Olm ris Posiele Sip Scrödier Operörüü Spekrl Alii Dokor Tei Ispr. Skliko A.A. 983. Bodr-Vle Problems For Ordir Diereil Eqios wi Prmeer i e Bodr Codiios Fc. Al. Applic. Vol.6 34-36. Si Y. d Ce I. 999. Specrl Teor o Secod-Order Vecor Dierece Eqios Jorl o. Al. Ad Appl. 39 95-.

63 Si Y. d Ce J. 4. Te Limi Circle d Limi Poi Crieri or Secod- Order Lier Dierece Eqios Compers d wi Appl. 47 967-976. Soe.. 93. Lier Trsormios i ilber Spce d Teir Applicios o Alsis Vol.5. Amer.. Soc. Coll. Pb. Wler J. 973. Relr Eiele Problems wi Eiele Prmeer i e Bodr Codiio. Z. 33 3-3. Weidm J. 98. Specrl Teor o Ordir Diereil Operors Sprier Verl ew York. Welsed S T. 98. Seldjoi Exesios o Jcobi rices o Limi Circle Tpe J.. Al. Appl. 89 35-36. Welsed S T. 98. Bodr Codiios Iii or Dierece Eqios o Limi Circle Tpe J.. Al. Appl. 89 44-46.

64 ÖZGEÇİŞ Ad Sod Doğm Yeri : Aeki ERYILAZ : Eğirdir Doğm Yl : 969 edei li : Eli Eğiim e Akdemik Drm : Lise Liss Yüksek Liss Ybc Dil : 983 986 Göe Öğreme Lisesi : 986 99 ODTÜ Eğiim Fk. emik Bölümü : 993 996 SDÜ Fe Bilimleri Esiüsü : İilice İş Deeimi : 99 993 Biöl Adol Lisesi emik Öğremei 994 998 Ispr İmm-ip Lisesi emik Öğremei 998 Ispr Yşr Ulc İ.Ö.O. emik Öğremei - Ispr S.D. Fe Lisesi emik Öğremei