C Çaakkale Oek Mar Üvere Mühedlk Mmarlk Faküle JEOFIZIK MÜHENDISLIGI BÖLÜMÜ VERI ISLEM I- DERS NOLARI Yrd. Doç. Dr. olga Bekler Öeml No: Der Nolar am ve çerg le düeleme aamadadr. Sadece ÇOMÜ jeok ögrecler kullama açkr. Kaak göerlmede kullalma aakr. Der olar le lgl orular mulaka olga Bekler e le. Ögrec öcellkle dere alalada orumludur. Içerk. Haa emel Kavramlar ve amlar; Ver, Blg, Sal, Gürülü. Haa Verler Sladrlma Sürekl ve Ark Verler UYGULAMA. Haa Aalog ve Saal Verler UYGULAMA 4. Haa amal ve Ragele Verler UYGULAMA 5. Haa emel Iak; Oralama Deger, Deg, Sadar Sapma, UYGULAMA 6. Haa Ilk Kaa UYGULAMA 7. Haa Hogramlar ve Freka Daglmlar UYGULAMA 8. Haa
Yaklarma Yöemler; E Küçük Kareler, Polom, Üel Fokolar ve Logarmk Yaklarma UYGULAMA 9. Haa Ver Yuvarlama; Kaa Oralama UYGULAMA. Haa Ilk Fokolar; Ilk, Çapra Ilk UYGULAMA. Haa Evrm UYGULAMA. Haa Örekleme Kuram UYGULAMA. Haa Olalk Kuram; Bom ve Normal Daglm UYGULAMA 4. Jeok ugulamalar KAYNAKLAR Neh Cae, Jeoke Ver-Ilem, 984, Iabul ekk Üvere Yalar. Hüe Ödemr, Jeoke Ver Ilem I, IÜ Made Faküle alar N. Cae, U. Yaramac, H. Ödemr, 987, Spekral Aal ve Jeok Ugulamalar, MMOB Jeok Mühedler Oda, Egm Yalar No: Eder A. Robo, arg S. Dura, Lod G Peardo, 985, Geophcal Sgal Proceg, Prece Hall Ieraoal, ISBN: - -5667-4 Samuel D. Sear, Ruh A. Davd, 996, Sgal Proceg Algorhm Malab, Prece Hall PR, ISBN: 4554
VERI ISLEM I- Kaaklar: Ugulamal blmlerde çalmalar k aa aamada ele alr. Gölem ve Yorumlama Gölem: Neeler büüklükler vea öellkler alarla vea elkler le belrlemedr. Örek: Saha jeologu, abakalar egmler ve dogrulular alarla, kaaçlar d görüüü le öellkler de br akm alarla ada mgelerle belrler. Kaaç örekler laborauarda meralojk, perograk, edmeolojk, paleaolojk ve jeokmaal celemelerde elde edle bulgular erüüü jeolojk ap ararlmada kullala gölemlerdr. Örek : Su ve perol kuularda ala örekler üerde apla geçrgelk permabl ve göeekllk poro ölçmeler de erç br ekoomk döüümüü amaçlaa ararmalara baka br örekr. Jeokel gölemler er kaler öü ve vekörel öel br ala aleel rumeal ölçüüdür. Fkel br büüklügü ahada vea laborauarda ama okou olarak ölçülmede elde edle verlere ama daglml verler ada ama erler me ere der. Örek: Maeogramlar, mogramlar, mk ama, krlma, M Maeo-ellürk Br kel büüklügü erüüdek vea erçdek daglm celemek ç oplaa verlere uaklk daglml verler ada uaklk erler paal ere der. Örek: Elekrk, grave ve maek ala ölçümler vea boulu uaklk verlerdr. Örek: Perol ve u kuularda elekrk ölçümler, h ölçümler düe daglml uaklk verlerdr. Gölemel verler br orua problem çöüm aglamak ç oplar ve orumlar. Acak çogu gölemel verler dogruda dogrua orumlaamalar vea orumladgda bae haal bae de duarllk derece düük çöümler verrler. Yorumda öce br akm aal lemler gerekr. Gölemel verler üerde üerde apla bu ür lemlere Ver Ilem daa proceg der. Kaca ver lem, gölemel kaba verler lemem ham ver ra daa- adklar blgler e ükek düede açklga kavuurulma ve daha kola orumlaablme ç ugulaa maemakel öemlerdr. Ölçüm Gölem ----Ver-lem ekkler---- Yeral ap } Ugulamal Jeok Güümüde kullala ver lem ekkler aal aal ve ak öemler dogruda ada uarlaarak çe alm öemlerdr. Öellkle hl ve ükek perormal blgaarlar gelme le ver lem ekklerde de öeml gelmeler olmuur. Karmak problemlere daha aglkl çöümler gerlmr. Yerblmlerde ak ugulmalar aagdak gb öeleeblr.
Br büüklügü ama ve uadak daglm celemek Gölemel büüklükler olalk daglmlar celemek Ik vea daha ala degke aradak beerlge bakmak correlao Geçmek olalar celeerek gelecekek olalar öcede kereblmek predco Jeok verler leeblme ç ark dcree olarak göleme vea göledkde ora ark olarak apamak gerekr. Brçok ver lem öem ugulamada ama vea uaklk oramda e aralklarla gölem verlere ugulaacak eklde gelrlmr. Eger gölemler e olmaa aralklarla aplm e gölem aralg çde kala aka gölem aplmam br okadak deger ara deger bulma erpolao le belrler. Ver lem öemler adece verler br düee okmak ve daha ararl br duruma germek ç kullalma. Verler çöümlemek daa aal ve akladklar blgler oraa çkarablmek ç jeokde de öeml er uar. Buu ede jeokde ölçüle alalar eld brde ala kaakda ource eklemedr. Örek : Yerüüüde ölçüle grave alalara erüü le alara dogru homojelge ulala düee kadar çel derlklerde erala arkl oguluklardak cmler. Bua kar degmler aomal vere külelerde adece br er ve boular aramakadr. Verler degerledrmede öce ce aal edp degmler dogura küleler apamakadr. Eger boucu ekeler vara bular ver lem öemler le gderlmeldr.. Jeokel Verler am Ver: Fkel br ola hakkda edgm blgler elde ememe araacak arkl maemakel öem ve aklamlarla leeblecegm gölemler ee ver der Ver her ama her ekl kullalmaablr. Ver k ür elg vardr. - Sal : Ver ee elkdek blg aa km - Gürülü : Ver emee elkdek blg aa km X : Ver Gölem DAA S : SalYeral kaakl ola SIGNAL N : Gürülüemee ola NOISE kel okou olarak göledg bagm degke ver br ada brde ala bouu olablr. Sekl, br mk ama ver reka oram görüüü, ve rekalar aradak olalar ugulamada kullala degmler, daha düük reka lo requecdegmler e emee gürülülerdr.
Gelk Yadak ekl br mogram reka oramdak görüümü olu. Sal blg çere ver kaag ve gürülüü ce ar edleblme ç verde aplacak gürülüler alma lem ç gerekldr. Verle pler - Sürekl verler: Couou orm daa : Zama vea ua okou ola ke olarak gölee verlerdr. Örek: Deprem mogram - Ark Verler Dgal orm daa : E ama ada ua aralklar le gölee verlerdr. Örek: Br jeok ale ama bagl olarak ka alorke e ama aralklar le gölee olalarda örek degerler alma. Z m Yeralda düe mkalam br düe aml a gölemel düe maek ala aralklarla apla gölemlerde elde edle degerler brlerlerek ürekl ver elde edlr. Mar 5. Verler Sladrlma amaldeermc RageleNo-deermc or Radom Perodk Perodcal Perodk Olmaa No-perodcal Süodal Kark Perod Yaklak Perodk Geçc Ver
amal Deermc Verler: Maemakel baglarla belrleeble vea deeel olarak, deeeel eleerek üreleble verlerdr. Örek : Ilca uu caklg arma, br arkac perodu, erbe düe br cm vme. Sapaablr verler, perodk -döemel- ve perodk olmaa olarak ladrlablr. Perodk verler üodal ve kark perodk al lar vardr. Perodk verler : Zamala ve a uaklkla belrl ürelerle elee verlerdr. Bu verler büü degerler ç. bag aglarlar.. bag aglaa e küçük e ver perodu der. Perodk ver ama aralklarda eler.,, ±,±, ±, ±4, ±...,. Eger ver uaklg okou e e dalga bou der Süodal Verler: A? F. bag aglaa verlere üodal verler der. Burada A okou gelg, reka devr/ama, F ama balagca göre a evre - rada olarak amlar. am br devr amamlama ç geçe ama ver perodua er. Bua bagl olarak, brm amadak devr aa ver reka der. Kaca reka perod le er oraldr. Süodal verler ekl.de görüldügü gb, br ek rekaa -moocromac- eerj çerr. Gelk Sekl Süodal ver olda ve reka oram görüümü agda. Süodal ver ama aralklarda elee dalgacklarda oluuguda ama oramda br pero ve br reka / le amlar. Freka oramda br ek rekaa eerj çerr. reka
Kark Perodk Verler: Zamala degp dalga bçm e aralklarda öde olarak elee verlerdr. Bu ür verler br perodu le elerke elee dalga bçm br perodluk üodal dalga bçme göre daha ala degmler göerr. Bu verler geel alamda brde ala üodal ver oplamda oluur. Örek: /.4 le verle br perodk verdr. Br ver perodk olablme ç kouluu aglama gerekr. Bua göre bu koulda ve ukardak örek okoda //.5 aablr. okouu üm m degerler ç?? m? olduguda.6 bagda? m?? /.7.6 elg aglaa e küçük m ve degerler ' e küçük deger, a perodu verecegde,.6 bagda m ve ve? buluur. Sekl. Br kark üodal ver öreg. /. Geellerme aparak, co co perodk e? m? gb k m ve ama buluablr. / m/ bu durumda k üodal ver perodk olma ç / ora br raoel a olma gerekr Kark perodk verler e geel bçm br emel reka le buu am kalarda olua harmokler oplam bçmdedr. Geellkle kark perodk verler Fourer erlere açlablrler.
a a coπ b π d a coπ d,,,... a okou oralama deger b π d,,... b coπ θ a / a b /,,...? a-b /a,,,... Kark üodal okolar br baka öellg de, bularda ararlaarak baka perodk verler aklak amlaablmelerdr. Öreg ekldek dkdörge dalga üodal okolar oplam le göereblr. Br dkdörge dalga daha açk almla 4/?/ / /5 5... erm a arkça daha aklam elde edlr. Kark perodk verler reka oram görüümü. Eerj rekalara daglm adece ark degerlerde belrlemr.
Yaklak Perodk Verler:Bagm perodk verler oplamda olua verler aklak - heme heme- perodk verlerdr. Örek:?? v5? perodk üodlerde olumakadr acak belrl ürelerle eleme. Bu v5 ve v5 bölümler am br gerçek a le göerlememededr. Bu ür verler perodklge ak olalarda bag aglamalar. Örek: Çok moorlu br uçag moorlar uumlu çalmadklar durumda uçag gövde ve kaalardak remler aklak perodkr. Yaklak perodk ver, θ π bag le amlar. Burada /m reka oralar am br gerçek a raoel verme. Yaklakperodk verler reka oram görüümü. Eerj çere rekalar brbr am kalar degldr. Perodk olmaa geçc verler : Perodk ve aklak perodk olmaa br okola amlaable perodk olmaa verlerdr. Daha açk br amla, perodk olmaa verler belrl br amada balap belrl br üre devam ede geçc rae verlerdr. Geçc verler jeokde öeml kullam ala er apa uarlmada oraa çka ka ürel dalga dalgack avele- okoudur. Öreg mk aramalarda propeko mk kaak çogulukla geçc br al m dr. Geçc verler e öeml öellg perodk ve aklak perodk verler ake, Fourer pekrumlar ark deg, ürekl oluudur. Freka orama geçe Fourer döüümüde ada egralde ararlalr. A ºC e kadar lldkda ora ogumaa braklm uu caklg amala degm olda ve br mekak düeeg öe dampg almlar amala degm X Ae -a, ç Ae -a cob, ç, < ç, < ç
Dalgacg Öellkler : - Bell br ada balaacak - Bell br ama dlm bouca devam edecek - Eerj gelk degerler kareler oplam olu olacak. Eerj daglmlara göre dalgack ürler : a- E küçük geckmel b- Kark geckmel c- E büük geckmel mumum phae avele med phae avele mamum phae avele X dalgacg kümüla eerj heaplaarak ama okou olarak ade edlr. Örek : { b, b, b, b } 4 elemal br dalgacg kümüla eerj E b E b b E b E b b b E b E b b b b E b E, E, E, E kümüla eerj er Soru : {,, 7}, {,7,} ve {7,,} erler brkm eerjler heaplap dalgack ürler belr, grakler ç. Cevap : 54, E büül geckmel, kark geckmel, e küçük geckmel
RASGELE gelgüel vea SAPANAMAZ VERILER radom, ochac, o-deermc Ke br meemakel bag le verlemee ve deeel olarak oluurulamaa verlerdr. Her gölee deger brçok olalg ola gölemlerde adece brdr. Ugulamal jeokde gölemel verlere kalarak orumlar güçlere boucu ve emee gürülüler br çogu ragele gürülü olarak modeller. Ragele blee ola br ama er Duraga ragele üreçler: Iakel öellkler amala degmee ragele üreclere aoar radom ochac procee der. Bu ür üreçlere geçme eerce ge br aralkda gölem degerler ak öellkler le gelecekde br aralkda göleeblecek degerler ak öellkler dekr. Iakel öellklerde br br ver oralama degerdr. ragele ürec oralama N X lm N le ade edlr. ürec b ama çde oralama X örek okolar amadak degerler oplap örek oko aa bölümedr. Duraga ragele üreçler ç bu oralama deger amala degme. Ergodk ragele üreçler : Eger X X e a örek okolar herhag br ama ç oralama br c örek okou ç heaplaa oralamaa e e bu ür duraga ragele üreçler ergodk ergodc dr der. Öele bu üreçler ama oralamalar le opluluk oralamalar dekr. Duraga olmaa Ragele Surecler: Iakler amala dege üreçlerdr. Ugulamada erce örek oko elde eme olaag olmadgda akel öellkler am olarak bleme. ISAISIKSEL YÖNEMLER 5 Mar 5 a. Armek Oralama b. Geomerk Oralama c. Harmok Oralama d. Karekök Oralama e. Sadar Sapma
Ugulamal blmlerde gölemler br büüklügü gerçek deger bulmak çm aplr. Brçok ekeler kakda, gölemel degerler gerçek degerlede arkldr. Gölem a arkça gerek degere o kadar aklalr. Gölemlerde elde edle verler kullaarak br ararmac kulladg degerler gerçek degerlere e kadar ak olduguu blmek orudadr. Br gölemde apamaa çalla gerçek br büüklük vardr ve gölem oucuda bu büüklüge e ak deger arar. Ugulamal blmlerde gölem olu le elde edle verler geellkle çel edelerle brbrde çok a arkl degerler arlar. Bularda br bölümü kel ve aleel alglarda ler gelr. Gölem degerler bu durumda açlma göereblr. Yerblmlerde ver açlma e öeml eklerde br oram ekdüe homoje ve öbagm orop olmamadr. Nede e olura olu, jeokde gölemel verler amal olmaa verledr. amal olmamalar ede le acak ak öellkler le belrleeblrler. Belrl güvelrlk rlar çde olalk daglmlar celeeblr. Iak öemler adece ver açlmalar karda gerçege ak ouçlar aramak ç kullalma. Iak e çok büüklükler aradak karlkl lkler ürüü, bulara a öemler aramaka kullalr. Öreg ola ama çde celeora ou ama bagl olarak al degg ak olarak celer. Iake k bavurula lemlerde br, belrl br küme popülao reka daglm celemekr. Öreg, br dak ögrecler agrlklar ölçerek br alar küme elde egm düüelm. Belrl br reka aralg öreg 5 kg eçerek agrlklar 5-55, 56-6, 6-67, 68-7 v.b arada ola ögrecler alar belrlep ekldek grak harlaablr. -------------------- Hogram öreg: reka daglm grag Burada amacm üm ak öemler celemek ere, br jeokç olarak apgm gölemlere k k ugulamak oruda kaldgm öemler hakkda blg vermekr. Bu öemler arada e ala bavurulalar oralama deger arhmec mea, arhmec average, deg vara, adar apma adard devao, lk kaa correlao coece olup bulara a ugulama örekler verlecekr. Oralama Deger: Br okou belrl br aralkak degerler degm göerora okou eml edecek oralama blme gerekr. Oralama deger geel amla, gölem degerler gölem aa bölümüdr ve ba armek oralama olarak amlar. Ark verler oralama degerler degk amlar; a- Armek Oralama,,,..., gb ae gölem degerlerm olu. Bu ae gölem armek oralama,..
Elmde gölem degerler olu ve bu degerler bell gölem aralklarda ele ekrarla. Yeleme le göerelm. Bu elemee reka da deblr,,,... eleme alar gölem degerler le çarpp oplamlar elemeler oplama bölerek ouça agrlk oralama elde eder...... Agrlkl oralama; degkelerm alam ve öeme göre belrl br agrlk kaaa le çarplarak heaplaa armek oralama olarak amlar. b- Geomerk Oralama : g.... g Gölemel degerler brbre e olmadg ürece geomerk oralama armek oralamda daha küçükür. c- Harmok Oralama h Harmok oralama, armek ve geomerk oralamda daha küçükür. d- Karekök Oralama Iakde çok k kullala oralamalard br de karekök oralama RMS-roo mea quare dr. RMS
e- Deg vara Gölemel verler a ada çok br açlma göerrler. Verler oralama deger çevrede açlmalar aal olarak göermek ç degde ararlalr. Oralama apma vea açlmalar br ölçüdür. Gölemel verler her br oralama degerde ola arklar kareler armek oralamadr. σ bag le verlr. Oralama deger çevredek açlma aal olarak belrmek ç deg vere adar apma kullalr ve deg karekökü olarak ade edlr. σ Saal heaplamalar kolalarmak ç adar apma heaplamada aagdak bag erch edlr. σ / Ilk Kaa : Gölemel blmlerde çog ama a üreç çde brde ala degke gölem aplr. Öreg brbre ak k deprem aouu orak kadeg br deprem. Bagm degkeler ar ar ak celemeler ada bular karlkl lkler buluup bulumadg, vara bu lk derece ararlr. Bagm degkeler ller celemee lk korelao - correlao - der. Ilk kaa, k degke aradak orak deg, degkeler herbr adar apmalar çarpma oradr. Bu, be orak deg kovara uar. Orak deg; k degke oralamalar çevrede beraberce göerdkler degm br ölçüdür. ve degkeler orak deg C C
Degkeler aradak lk ölçü brmlerde eklemeecek br eklde göerlmek eora lk korelao kaa kullalr. Buu ç k degke kovera o degkeler adar apmalar çarpma oralar. R C σσ - Ilk kaa Ilk kaa ada e aklama degkelerde br ararke dger de arg ada a çok ak degkeler arada br lk ok ada çok a - ada - e aklama degkelerde br ararke dger aaldg Örek: R.9 kuvvel br lk var. Jeokde kaaç ogulugu le mk hlar arada kuvvel br lk vardr. Ugulamalar: - {,, } {5, 9, 67} ukarda k ama ere a gölemler verlmr. Bua göre a- Her er gölema gölem olarak grakle b- Her ere a armek oralama, geomerk oralama harmok oralama ve karekök oralama buluu. c- Her er deg adar apma buluu d- Orak deg ve lk kaa heapla. Soucu degerler. HISOGRAM VE FREKANS DAGILIMLARI Jeoke bae apla gölemler lara vea gruplara armak ve her grupak ver a blmek er. Bu aamada her grupak ver aa reka der. Örek: Br ak ögrecler agrlklar 48-5, 5-5, 54-56 olarak arl. Her grupa 6 ögrec vara bu lar reka 6 dr a da öellerlre 48-5 kg arada ola 6 ögrec vara 48-5 reka 6 dr.bu eklde elde edle daglma reka daglm, graklere de reka daglm çelgeler der. Bu ürlü göerm ba arlar kabere ble
verlerm hakkda geel ve açk br blg verrler. Her ve grubu al ve ü rlar vardr. Al ve ü rlar arada kala ere vea grup aralg der. Örek: Ögrecler agrlklar e küçük deger 48 kg, e büük deger 78 kg e agrlk aralg kg dr. Freka daglmlar grak üerde celemek daha koladr ve bölece degk lara lk rekalar kolaca karlarma olaag elde edlr. Bu ür graklere hogram der. Br baka adele reka daglm grak göerm hogram egrdr. Hogramlarda aa ekede aralklar, düe ekede de rekalar göerlr. Büüklükler aagdak gb verle depremler lara ararak hogram ve reka daglm grag ç. Ver aralg buluu.......7.8.9. 4...8.5.6... 4...8 4. 4... 4.4 Xma4.4 Xm. Ver aralgxma-xm4.4-.. < 7 ade < 6 ade <4 7 ade 4<5 5 ade oplam 76755 ver. reka daglm egr ekrar a S ada grup Hogramlar km ama aagdak ekldek gbpolga bçmde göerleblr. Bulara reka daglm polgou ad verlr. ekrar a S ada grup Sekl Freka daglm polgou dü çgler ve reka daglm egr kek çgler Freka daglm polgolar uvarlalma le ukardak kek çglerle göerldg bçmde reka daglm egr elde edlr.
Freka daglm egrlerde e büük rekala medaa gele olaa reka daglm modu ad verlr. Daglm ekllere göre örekler: reka reka Mode Mode reka reka Mode Mode Çogu ama br a a da br gruba lk gerçek rekalardaglm ere, her a da grubu oplam üde kaç oluurduguu blmek er. Buu emel ede her a lk rekalar ak ç kullala örek aa bagl oluudur. Buda kurulmak ç görecel relave reka daglm kullalr. Görecel rekalar her a lk reka degerler oplam rekaa bölümü le elde edlr. Görecel reka daglm olalk daglm olarak da adladrlr. Örek: Br öcek örege göre; 7/5 6/5 7/5 5/5 belrl aralklarda deprem olalg. Görecel reka daglm rekalar ardk opladka ora görecel brkml reka daglm elde edlr. 7 7/5 6 6/5 7 /5 5 5/5 oplam ver a 5. N5 olu. E ola N ola çde ke ekrarla o ama E ola oluma olalg pobl p N Olmama olalg N q N N p
BINOM DAGILIMI: Br ola ek br döemde oluma olalg p ve baarlk olaag q e. Dger ada, br ola N deemede dea medaa gelme olalg vea X-N baarlk olalg blmek eeblr. Böle br arlk olalk PC N.p.q N- le verlr. N! C N!N! P N!!N p!. q N X,,,... Bu daglm be Bom daglm verr. C N, C N...Bom kaalardr. Br ola N deemede e a dea medaa gelme olalg P N C N p q N Örek:Ya ura ouuda 8 aa am 8 ke a gereblme olalg edr? Cevap: Br aa a a da ura gelme olalg araradr.pq%5 5//. 8 aa N8 ve 5 a gelme edgde 5r. P5C 5 8 / 5 / 8-5 P58!/5!! / 5 /, p7/ %.9 E a 5 a gereblme olalg, P5 C 5 8 / 5 / C 6 8 / 5 / C 7 8 / 5 / C 8 8 / 5 / P5 / 8 C 5 8 C 6 8 C 7 8 C 8 8 9/56%6.
NORMAL DAGILIMGau Daglm Sürekl olalk daglm olup ake oldukça ala kullalr. Smerk ça egr bçmdedr. σ e σ π Sadar apma: Oralama deger: Gau daglm egr alda kala ala e er. a b X degke a ve b degerler arada olma olalg b ALAN: a σ σ π e d Z- / b π a e d Y π e Örek: Br bölgede apla elekrk ödreç ölçümlerde br kama ödrec oralama deger ohm. Sadar apma da olarak bulumu olu. Bu bölgede ö kouu kama ödrec oralama deger çevrede ormal daglm göerdg varaarak arade bu kamaa lk ödrec 8 le ohm arada ölçülme olalg heapla. Z8-/-.5 Z-/66 %95.
Poo daglm kerl vea ark br olalk daglmdr. P? e -? /! ;,,...? ab a? v? PN,C N p q N- UYGULAMA: bölgede elde edle deprem büüklükler le lgl verler A ve B ablolarda verlmr. Bu bölgeler deprem olu alar gö öüe alarak bölgeler brbrlere göre öellkler belrlemek amacla -Freka daglmlar; -Hogramlar; ablo A. 4. 4..4 4.. 5.6 5. 4.8. 6.6 5.5.7 4.6.8.. 6.5 4. 5. 4..4 4.6..6. 4. 4.5.4 5..8 5.6.7 4. 4.4.6 4.4.4.5 5.4 ablo B. 4.6 4.5 4.4.8 5.4 5.5.8.4.8 5. 5. 4.6 6.4 4.7.9 6.6 5..5 4.5 6.9.. 5.7.6 4..5 6.5.5 4.4 6.8.6 5. 6..7.4 5. 4.5 4.8.7 A bölge ç magüd aralg;.m<4 9 9/4 4.M<5 /4 5.M<6 6 6/4 6.M<7 /4 oplam:964
YAKLASIRMA YÖNEMLERI E küçük kareler meodu le model paramereler ahm edlme, verler e eklde celeerek e ugu model elde edlme ele alacakr.e Küçük Kareler Yöem, ba dogrual, çoklu regreo modeller çöümlemede kullaldg gb, çok dekleml ekoomerk modeller çöümüde de kullala ekkler emeldr. Kurula regreo modellerde gölemler, aaküle gölem degerlerde herhag eklde alm gölemler olduguu düüürek, aldgm gölem degerlerde baka a ada ola aka arkl olalklarla çok daha ala gölem alablmekedr. Kurula regreo model lglele problemle lgl örek olarak alm gölem degerler kullalarak heaplamaa çallr. Bu edele kurdugumu modeldek degerler ahm degerler olacakr. ahm edlmee çalla ouç degke Y ve ebep degke kaalar a ve b v. apka olarak göererek, ahm regreo deklem almakadr. Sapka olarak göerle ve ahm olarak adladrla kaalar gerçek kaalara e ak eklde heaplama ç çel öemler gelrlmr. Bularda e "E Küçük Kareler Yöem" olarak mledrle öemdr. Kurula regreo model, Y a bx e, Regreo ahm model, olarak göerlmekedr. ahm modeldek kaalar heaplama ve kaalar problem küle aaküle aor mu, a güvellg ama lemler rala gerçeklerlecekr. Regreo aal ugulamalarda, kurula maemekel modeldek bagm degke vea degkeler bagml degke e orada ekledge kaalar dahlde baklr. Regreo aal ç kurula modelde, bagml ve bagm degke ara haa erm olarak mledrle degke er almakadr. Haa erm modele alma edelerde bahederek; Modele ala Y ve X degkeler apla ararmalarda al ölçülmü olablr, Seçle degkeler Y ve X'ler haal ada alm örekler olablr, Ier ba regreo, er çoklu regreo modele baklor olu, kurulacak modelde bagml degkee ouç degke, ek ede model dda da bagm degkeler ebep degkeler olablr. He eed a bagml, a oralar bagm degke olarak alr, ba dogrual regreo model kurarak, he eed a eklee ermae arrmlar ve emeü ödemeler, ekoom le lgl haberler v. baka uurlar da vardr. Bu uurlar geel olarak e haa erm olarak alr, mmum olma bekler. Haa erm mmum apa öem e küçük kareler öem olup, bu öem kaa degerler heaplamada kullalmakadr. Ba Dogrual Regreo Aal ab de ade edle dogrual lk deklemde bulua a ve b kaalar regreo kaalar olarak mledrlr. Jeok de bu ba deklemler kullaldg pek çok ala buluur. Öreg krlma dalgalar aalde kc abakada gele krlma dalgalar alca ka aou var amalar bu dekleme göre apla regreo aal le keme ama ve abaka h apama mümküdür. Regreo aalde a ve b kaalar X ve Y ver çler kullalarak buluur. Bu aede a dee ekrar eme oucu X ve Y arada e ür br lk olableceg a ve b kaalar cde ade edlr. Arca verler ümüü aklama ere blg adece bu k kaaa drmeme aglar. Varaalm k elmde N ade X, Y ver ç olu. Her br X ç Y gölemm olu. Arca bular daglm dagrama bakgmda geel lk eglm br dogru bouca olduguu gölemleelm. Burada akp edle ol gölemel verler le ab lk ar eg model verler aradak ark br ölçümü ve bu ölçümü kullaarak a ve b kaalara ulamakr.
Kullala ark, ölçgm öemler aradak arklar mulak degerler oplam, arklar kareler oplam, arklar daha ükek derecede güçler oplam gb öemler arada arklar kareler oplam maemakel kolalg edele erch edlr. e gölemel ver b a e Amac e küçük e deger verecek a ve b kaalar bulmak. b a a e b a b e b a b a b a b a b.a. b a b a -------K--------- --c-- ----M---- CK - M, C, a ve b kaalar çere çöüm vekörü mar K kaalar mar
YAKLASIRMA YÖNEMLERI Çok degkel regreo aal Verler ak aalde regreo aal ermalojde dogrual ve dogrual olmaa kavramlar dogruda dogrua regreo kaalar le lk olarak ar edlr. Örek olarak ab dogrual br modeldr. Burada dogruallk a ve b kaalar al br eklde modelde buluma edeledr. Beer olarak abc d ve ab c d regreo modeller de a,b,c ve d kaalar modelde al olarak buluma edele dogrual regreo modeller amlar. Öe ada ab Ilk dogrual olmaa br regreo aal model ar eder. Burada b kaa c kuvve le modelde eralmakadr. d c b a d e d c b a c e d c b a b e d c b a a e d c b a e e,, d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a *.
YUVARLAMA ISLEMLERI VE SÜZGEÇLEMEYE GIRIS Verler: alee emee Düel gürülüler Ölçügümü verlere ragele olarak kala gürülüler *Bu gürülüler verlerde kaldrlma leme ügeç âda uvarlama lem der. Buu ada; grave maek öemlerde; Der ada g belrler çalma hedee göre brbrde armak ç uvarlama ve ügeçleme lemler aplr. Buu ada k eklleraal dügülerme lemlerde kullalr. Sügeçler Flreler Alçak geçl ügeçlerlo-pa Yükek geçl ügeçler Hgh-pa Bad geçl ügeçler Bad-pa 4Bad durdura ügeçlerbad rejeco 5Sadece ek br reka durdura ügeçler Noch amlar Sügeç: Verlermdek emee gürülüler barmak, al olarak eledgm ee km e oraa çkara maemakel operaörlere ügeç der. Yukardak verle ügeç amlar, ügeçler reka oramda amlama aglaa gelk pekrumua göre aplr. Büü bu amlaa ügeçler verlerdek ele reka badda er ala üodal bleeler ügeçe geçme, emee reka badda er ala üodal bleeler ügeç arada durdurulma eaa daar.
ILISKI CORRELAION FONKSIYONLARI ve gb k ama okou ardak lk k ürec bagm degkeler aradak lk olarak ele alr. {,,,...} {,,...} Gb k üreç olu k aradak lk. d olarak verlr. Jeoke lk çok çel amaçlarda kullalmakadr. Öreg ama erlerdek döemellkler celeme güç pekrumu heaplama, çapra güç pekrumu, mk allerdek gürülüü barlma, al kma, bçm, geck ve ö kerme er evrmler uum ügeçler gb. Perodk verlerde lk Perolar, emel rekalar brbre e ve ola ve okou lk C / / d br okou dgere göre kama mkar belrlee degke Fokou e göre kama mkardr ve ama okou degldr. Öce okou kadar kadrlmaka le çarplmaka, ümleme le perodu bouca oralama almaka, her kama ç lem elemekedr. Yukarda verle bag le verle leme alda le aradak çapracro lk correlao ad verlr. Çapra lk ö ar e öde olma durumuda e lk ö lkauocorrelao ad alr. Perodk br oko ç ö lk C / /. d Perodklk kuralda X
ILISKI CORRELAION FONKSIYONLARI ve gb k ama okou ardak lk k ürec bagm degkeler aradak lk olarak ele alr. {,,,...} {,,...} Gb k üreç olu k aradak lk. d olarak verlr. Jeoke lk çok çel amaçlarda kullalmakadr. Öreg ama erlerdek döemellkler celeme güç pekrumu heaplama, çapra güç pekrumu, mk allerdek gürülüü barlma, al kma, bçm, geck ve ö kerme er evrmler uum ügeçler gb. Perodk verlerde lk Perolar, emel rekalar brbre e ve ola ve okou lk C / / d br okou dgere göre kama mkar belrlee degke Fokou e göre kama mkardr ve ama okou degldr. Öce okou kadar kadrlmaka le çarplmaka, ümleme le perodu bouca oralama almaka, her kama ç lem elemekedr. Yukarda verle bag le verle leme alda le aradak çapracro lk correlao ad verlr. Çapra lk ö ar e öde olma durumuda e lk ö lkauocorrelao ad alr. Perodk br oko ç ö lk C / /. d Perodklk kuralda X
/ /. d C Yalablr. / /. d C C C *Foko perodk e ö lk de perodkr. ILISKININ ÇALISMA SEKLI 4 elemal k oko olu { },,, { },,, ab olarak erde olu le çekelm C C C C
Örek: {,,} ö lk okouu çkar. * * * C 4 9 4 C 5 6 ç a lemler apalm C 4 - C 5-6 C { 4,5,6} C { 4,5,6} *****ö lk okou merkr. C C ablo le prak heaplama 6 5 4 5 6
Ik okou oplamlar ö lk ve gb k ama okouu oplamlarda olua okouu C ö lk / / d C [ ][ ]d C. / / [ ] / / d / / / / / / / / d d d d C C C C C C C C C Perodk verlerde oldugu gb perodk olmaa verlerde ö lk okolar amlaablr. Öellkle ragele üreçler ö lk okolar u geel öellg göerr. Olduguda mükemmel br ragelelk vara ö lk okou rda arkl, u rda akl degerler ç e ö lk okou rdr. **Perodk olmaa verler r kamadak ö lk degerler oplam eerjlere er. / / d C / / d C Geçc verler Çapra lk
C / / d C le C brbrde arkldr. Örek: {,,}, {,4,6} e C?, C? C { 6,6,9,8,9} { 9,8,9,6,6} C C C Ugulama: a b {,,,,5,4,,,,} {,,,,,,4,, } Cab - - 5 4 - - - -5-4 - - -4 6 8 4-4 -4-8 6 8-4 - 4-6 - -8-4 - - -5-4 - - - 5 4 - - -4 6 8 4 - Cab,,-,-,-,4,5,9,,-9,-,-,,,5,-,-,, Cba - - 4 -
- 4 5 - - Cba,,-,-,5,,,-,-,-9,,9,5,4,-,-,-,, Cab Cba Caa - - 5 4 - - 4 5 - - Caa,,,-,-,-8,-,4,45,6,45,4,-,-8,-,-,,, ÖDEV: Yukardak a,b dalgacklar Caa, Cbb, Cab, Cba okolar ç. ab e C Caa Cbb Cab Cba olduguu göer. {,,,,,4,6,,, } C - 4 6 - - - - 6 4 - C76-9-9 C-5 ç -7--5 7 7-7-7 EvrmCovoluo kovolüo-
Evrm amala degmee üm dogrual dgeler ç geçerl br lemdr. Br dgede gr al le çk al arda dogrual br lk vara bu dgee dogrual dge der. Çogu jeok ugulamada er küre ked de br dogrual dge gb davrar; kaaka oluurula br uar ale bell br epk göerecek ou baka br ale döüürür. Kaaka bell br bçme ahp ola uar dalgacg er ç arada bçm degklge ugralarak alglama okada baka br dalgack olarak göler. Yer ç döüüm okou kamal apa ve bu ap çdek kel öellklere bagl olarak degr. Bu edele er belrl br uara kar döüüm okouu bulmakla er ç apal degm modellemek e alamldr. Bu edele de evrm kavram jeoke öeml br araçr. Maemakel olarak ve gb k ürdek okou evrm d le amlar. Evrm covoled e br ama okoudur. Evrm * le göerlr. * Eger amada öce amlamam e caual d Bu problem dogrual dge grd ve çk olarak alrak *h çkgrd*dogrual dge mpul epk h d h d h d Evrm er degrme öellg Kovolüou emel öellkler Dogruallk e *h*h*h Kümülalk Sra degrme Smer öellg 4 Impul le evre oko ked verr. Dogrual em öellkler
a em b ba* c em d dc* ac em bd a b A.a A.b Sem acak br gr olduguda, br çk verrpa em 4A.aB.c em A.bB.d 5 Sem amala degmee br cevap verme öellge ahpr. a b a m P b m P Kovolüo geel olarak 4 aa lemde olumakadr. Fokolarda br düe eke erada kalamaoldg Kadrma lemkalama okou dger okoa göre kadrlma Çarpma lem Karlkl dura okolar örüe kmlar çarplma 4oplama lem ürele okou egral alma kaalar oplama Bu üm baamaklar eçle br ada çk almak çdr. Souç olarak, ve kullalarak üçücü br oko elde edlr. ** Korelâo le kovolüo ardak ark korelâoda kalamadg halde, kovolüoda kalama vardr. Evrm lem öemler Ik okou açk olarak alp kadrlma {,, } 4 elemal, {, } elemal,
5 4 Çk 6 elemal km-4-6 Mar elemalar elde edlme............ Polom çarpm olarak { },,, { },,. derecede bagm degke br polomu. derece bagm degke br polomu. Polom kaalar ark okolar degerlere er. 5 4 4. 5 4 4Baka br oramda reka oram çarpma lem olarak evrm eorem kovolüo eorem c c c b a c a b c a b log log log log log log. log. Zama oram ama okolar evrm lem Freka oram ama okolar çarpma lem Zama oramda evrm reka oramda çarpma leme karlk gelr.
Zama oramda reka orama geç, oramda orama geç Fourer raormu m verle br egral döüüm deklemle aglar. d e F. F. çekrdek okou gerçelreal br oko aal blee ok a karmak- komple degl F karamk oko *... F F F çk d e d d e d p p dp d dp e d p p. p e.. e.. dp e p d e p...... F. F...,
Ugulama {,7,,4,} m5 h{,4,} a bou k5-7 * h 4 6 7 7 8 4 8 4 4 4 6 8 4 {,9,6,6,,,} II.ol 4 7 4 4 4 4 4 4 4,7,68,484,46,84, {,9,6,6,,,} **No: Evrmde okolar ae abloda alrke lk de e br ae er çevrlr. R{,,,.5,,,,,-.,} W,,-, *R buluu.
r vδ v δ vδ v δ.5 -. -.4.5 -. - -.5. S,,,,.5,-.5,,,-.4,-.,.,, YUVARLAMA ISLEMLERI VE SÜZGEÇLEMEYE GIRIS Verler: alee emee Düel gürülüler Ölçügümü verlere ragele olarak kala gürülüler *Bu gürülüler verlerde kaldrlma leme ügeç âda uvarlama lem der. Buu ada; grave maek öemlerde;
Der ada g belrler çalma hedee göre brbrde armak ç uvarlama ve ügeçleme lemler aplr. Buu ada k eklleraal dügülerme lemlerde kullalr. Sügeçler Flreler Alçak geçl ügeçlerlo-pa Yükek geçl ügeçler Hgh-pa Bad geçl ügeçler Bad-pa 4Bad durdura ügeçlerbad rejeco 5Sadece ek br reka durdura ügeçler Noch amlar Sügeç: Verlermdek emee gürülüler barmak, al olarak eledgm ee km e oraa çkara maemakel operaörlere ügeç der. Yukardak verle ügeç amlar, ügeçler reka oramda amlama aglaa gelk pekrumua göre aplr. Büü bu amlaa ügeçler verlerdek ele reka badda er ala üodal bleeler ügeçe geçme, emee reka badda er ala üodal bleeler ügeç arada durdurulma eaa daar. Alçak geçl ügeçlo-pa ler;iele br keme rekada daha küçük rekal üodal bleeler geçre, bu keme rekada daha büük rekal üodal bleeler durdura ügeç pdr. ügeç Fourerraormu F erfourerrarmu F Zama oramda reka orama geç Zama oramme doma reka oramrequec doma
GelkSpekrumu F FaSpekrumu co comple aal e d e F d d F d F co ] [co Gerçel km Saal km kompleoko F F R F ] Im[ ] [ - Iare çere verld. - Gelk Spekrumu: ] Im[ ] [ F R F - Fa pekrumu: ] [ ] Im[ a F R F φ { } mu Fapekru φ F A F > Gelk pekrumu
Yükek geçl ügeçhgh-pa ler; ele br keme rekada daha büük br rekal üodal bleeler geçre, daha küçük rekal üodal bleeler durdura ügeç pdr. **Alçak geçl ügeçler: Der aplar ekler oraa çkarrke **ükek geçl ügeçler: Sg aplar ekler oraa çkarr. F F A < Bad geçl Sügeç Bad pa ler; Iele k keme reka arada er ala üodal bleeler çere, bu keme rekalar dda kala bölgelerde üodal bleeler geçrmee ügeç pdr. Öellkle mk kalar gürülü aalde ek kullalr.
ve F A F > < 4 Bad durdura SügeçBad Rejeco Fler; Ik keme reka arada bulua rekalardak üodal bleeler geçre, bu keme rekalarda daha küçük vea daha büük rekal üodal bleeler geçre ügeç pdr., F A F < < 5 Iele Br Frekaa geçrm Sügeç Noch Fler; Seçle keme rekada o rekaa bulua üodal blee geçrmee, dger büü rekal üodal bleeler geçre ügeç pdr. Böle br ügeç geelde 5 H. lk ehr cerea ölçümler üerdek ek kaldrmak ç kullalr.
F A F Sügeçler hepde a pekrumu φ Yuvarlama leçleroperaörler Daha öcede degldg gb uvarlama operaörler alçak geçl ügeçlerde karlk gelr. Yükek rekal degmler verlerde ar eder. Örek olarak lk 5 deger armek oralama alrak; 5 4 5 4 5 5 5 5 5 5 5, 5, 5, 5, 5 Hep oplam Uguladgm operaörü kaalar oplam e oralama gelk a korumu olur. Operaör bou e kadar uu olura uvarlamaumuamalem o kadar ala olur. **Yuvarlama operaörü ek a olmaldr.,5,7,9,,,,,,,,,,,.. Buu ede ek a olura a kama egellem olur. Eger l4 olura 4, 4, 4, 4 4 4 4 4 4 Ora oka buluama. Fa amaa ebep olur. ****Ora oka aga ada ola kadrlma gerekr. ****Kaalar oplam olmaldr. Bu eklde ver oralama gelk degerde br degm olma. Yuvarlama le lgl blme gerekeler
F e d ama,f reka oram okolar ama degke açal reka π pero *Br uvarlama lec Fourer raormuu alrak, bu lec reka oramda döüüm okouu buluru. ****Zama oramda kovoluo reka oramda çarpmaa er.kovoluo eorem Yer al dogrual em olarak düüürek G Grd Yer Çk Sal Yer al epk Ölçüm Zama oram * G reka oram. G Kovolüo are Kaa oralama lem br alçak geçl ügece karlk gelr. Gr ve çk verler arada a kamaa meda vermemek ç, leç ek elemal ve bakmlmer olmaldr 4Ileç kaalar oplam e e olmaldr. Bu eklde gr ver gelk degerde br degm aplmam olmaldr. 5 Ik ar leç ardk olarak brbr arda ugulaablr. Ileç ugulama br kovolüo leme karlk geldgde ardk ugulamal leçler ver üerdek oplam ek, bu leçler reka oramda çarpmlarla elde edle leç döüüm okouu gr ver Fourer raormuu üerdek eke karlk gelr. emel olarak bakldgda kaa oralama; Bag le göerlr
L leç bou Br kaa oralama lec âda br ügec degk rekalardak davra göere graklere o lec âda ügec Freka karakerg ad verlr. Bular gerçeke leç âda ügec kaalar ark okouulec mpul epk Fourer pekrumuda barer. Ba br kaa oralama lem ede k R j c k j j, k, m, m, m... Bag le göerelm. Burada c j,j,,, lec kaalar k-j gölemel degerler k e uvarlalm degerler göermekedr. Ba oralama durumuda c c c... cr R k k j olur. Bu ür leme evrmkovoluoder. Ya ardk oplamdr. R R j Ba kaa oralama leçler kaalar okou olarak ab olup bular reka karakerg R j H e Ile heaplar. R j π R H e R R Bu bag br öcek k ade F. olup buu gerçel km gelk pekrumudur. Saal km e a pekrumudur. Gelk reka karakerg H Örek: Cevap: R R 6 okal br lec kaalarda br ke bölüp k uca vererek 7 oka lec düelep bu lec kaalar a. Bu lec k ba lec oplam olarak göer, döüüm okou heapla.
6 6 6 6 6 6 6 okal leç 6 6 6 6 6 7 okal leç Ik oplam B 7 B H H H H R 5 R N 7 H H 7 7.π π H H 5 5.π π
5 N 5 7 5 7 H π π π π π π π β α β α β α co 8 6 6 5 7 π π π π π π π 6π co H π π π π π co 6 6 co 6