ÖNEKLEME VE NİCEMLEME Eliizde ürekli bir işaret yada onun graiği olduğunu, bu işareti teleonla arkadaşııza tari edip onun da aynı işareti üreteini/çizeini ağlaak itediğiizi varayalı. Örneğin böyle bir işaret Şekil 'deki gibi olun. İşareti arkadaşııza naıl tari ederdik? yt () t Şekil. Uzak noktada tari ile üretileini itediğiiz işaret örneği. Bir yaklaşı graiğin iniu ve akiu noktalarını arkadaşııza öyleek ve bunların aralarını uygun bir şekilde birleştireini iteek olabilir (Şekil 2). Bu duruda teleonla bildirilecek değerler ( y, t ), ( y2, t 2), ( y3, t 3)... şeklinde olacaktır. yt () ( y3, t3) ( y, t) ( y4, t4) t ( y2, t2) Şekil 2. Graiğiizin teleonla bildirilecek iniu ve akiu noktaları. Arkadaşıızın bu noktaların naıl birleştireceği konuunda Şekil 3'te göterilen birkaç ikri olabilir. Doğrual aradeğerleenin gerçek işaretten ne kadar uzak bir onuç üretebileceğini görebiliriz. Yükek dereceli aradeğerleeler de gerçeğine çok benzeediği durularda bile öneli bir heap yükü gerektirektedir. Ayrıca optiu noktaları arkadaşınıza öyleeden önce kendinizin de bir şekilde heaplaanız/bulanız gerekektedir. Eğer graiğiiz ınırlı büyüklükte olaydı belki buna katlanabilirdik, aa ürekli değişen bir elektrik işareti olunca işler biraz daha zorlaşır.
Şekil 3. Miniu/akiu noktaları birleştire örnekleri. a) Doğrual aradeğerlee b) Yükek dereceli polino ile aradeğerlee. Bir diğer yaklaşı da düzenli aralıklarla graiğin değerini bildirek ve arkadaşııza bunların aralarını uygun şekilde dolduraını iteek olabilir. Daha çok örnek noktaı belirlenei karşılığında yatay eken (zaan) değerlerini ileteyeceğiizden ve onkiyon değerinde yapılan bir hata diğer ölçüleri etkileeyeceğinden bu yaklaşı daha antıklı olabilir. Şekil 4. Düzenli aralıklarla yapılan ölçülerin iletilei yaklaşıı üzerine iki örnek. Şekil 4 bu yaklaşıla ilgili 2 örnek göterekte ve bir oru doğuraktadır; Ölçü noktalarıız ne kadar aralıklı olabilir? Aralık ne kadar büyük ie bilgiyi o kadar az veri ile ileteceğiz deektir. Ne kadar yakınlara da anki graik arkadaşıız taraından daha doğru çizilebilecek gibi hiediyoruz. Hatta yeterince ık ölçü yapılıra doğrual aradeğerlee bile oldukça doğru onuç verecek gibi. Düzenli ölçüleriizin ne kadar aralıkta olaı gerektiğine Nyquit bir cevap veriş; "Bandgenişliği olan bir işaret 2 'den daha yükek bir örneklee hızı ile düzenli örneklenire, işaret yeniden ta olarak üretilebilir. Eğer örneklee aralıkları yada daha büyük ie işaret ta teil 2 edileez ve yeniden ta olarak oluşturulaaz" deiş. Yani örneklee aralığı T olak 2 zorunda. Yeniden oluştura orülü olarak da n x( t) x( nt )inc(2 ( t nt )) () n
veriliyor. Denkle ()'in anlaı şudur; Herbir örnek noktaına bir inc onkiyonu oturtalı, inc'in büyüklüğü örnek değeri kadar olun, ıır geçişleri de diğer örnek noktalarından geçin. Bunların hepini topladığıızda xt () elde edilir. Ancak, inc onkiyonu onuza kadar uzanaktadır, yani onuz ayıda örneğiiz vara onuz topla yapak gerekir. Bu duru Şekil 5'te özetleniyor. x i Şekil 5. Düzenli örneklerden yeniden oluşturanın inc onkiyonu ile yapılışı. Örneğin, şekilde göterilen bir x i noktaında onkiyonun değerini bulak için o noktadaki tü inc'leri toplaak gerekli. Uygulaanın ihtiyacına göre yaklaşık bir değer yeterli ie koşulukta bulunan ınırlı ayıda inc toplanabilir (bir hata karşılığında). Sinc onkiyonuna aradeğerlee çekirdeği (kernel) denir. Çok daha bait iki aradeğerlee çekirdeği örneği Şekil 6'da veriliştir. xn ( ) 0 () 0.5 0.5 y () t 0 t n () y () t t Şekil 6. Keikli örneklerden aradeğerlee yapan 0'ıncı (hold) ve 'inci (doğrual) derece aradeğerleyiciler ve çıktıları. Uygulaada, xn ( ) örnek treninden yada y ()? t aradeğerleelerinden yt () ürekli onkiyonunu üretek için inc işlevini yaklaşık olarak yerine getiren bir alçak geçiren üzgecin kullanılaı oldukça yaygındır. Maalee burada verdiğiiz örnekler, anlaşıla kolaylığı açıından, tabanband (baeband) işaretler üzerine idi. Yani işaretiizin en düşük rekanı ıır civarında idi ve en yükek rekanı da bandgenişliğine eşit idi. Tay ve rekan anlayışıız biraz daha ilerleyince rekan kaydıra,
yukarıkaydıra (upconverion) ve aşağıkaydıra (downconverion) konularında benzeri örnekleri yeniden ele alacağız. Şidi örnekleniş işaretin rekan tayına bakalı. Düzenli aralıklarla örneklee yaptığıızda işaretiizi bir biri darbe treni ile çarpıyoruş gibi düşünebiliriz (Şekil 7). xt () t xn ( ) n biri darbe treni Şekil 7. Biri darbe treni ile örneklee odeli. Zaan alanındaki çarpa işleinin rekan alanındaki karşılığı, ikilik ve konvolüyon kurallarına göre, konvolüyondur. Örnek bir tabanband işaret ve biri darbe treninin tayları Şekil 8'de göteriliştir. Olaı konvolüyon onuçları da aynı şekilde belirtiliştir. Biri darbe treninin Fourier dönüşüü rekan alanında poziyonları n olan darbe trenidir. X( ) 2 convolution 2 S( ) 2 Şekil 8. Bir tabanband işaret ve biri darbe treni rekan taylarının konvolüyonu ve olaı üç duru. Bir onkiyonun biri darbe onkiyonu ile konvolüyonu işaretin biri darbe onkiyonunun poziyonuna kaydırılaı onucunu üretir. Fourier dönüşüü doğrual olduğundan biri darbe treni ile konvolüyon da, doğal olarak, herbir darbenin olduğu poziyonda onkiyonun bir kopyaının üretilei deektir. Bu kopyalar birbiriyle çakışabilir. Çakışaaı için 2 şartının ağlanaı gerekir. Örneklee rekanı 'in 2 'e eşit olduğu noktaya Nyquit rekanı denektedir. 2 duruunda ie bu kopyalar birbiriyle örtüşür (aliaing) ve toplada birbirlerini bozarlar. Bu duruda tabanband işareti bir alçak geçiren üzgeç yardııyla geri elde edileye çalışılıra bu işaretin örtüşen rekanlara karşı gelen bileşenleri, yani topla işaret,
bozuluş olacaktır. Şekil 9 örnekleniş işaretten (Şekil 7, ağdaki işaret) yeniden ürekli işareti üretebilek için gerekli olan ideal ve ideal olayan üzgeçlerin çıktılarını olaı göterekte. xn ( ) X ( ) H() H() iltering X( ) iltering X( ) ideal üzgeç çıkışı ideal olayan üzgeç çıkışı Şekil 9. İdeal ve ideal olayan yeniden oluştura üzgeçlerinin çıkışları. Şekil 9'daki ideal olayan üzgeç çıkışı yükek rekantaki kopyadan da bazı bileşenleri içerekte. Bu bozula örnekleniş işaretin rekan alanındaki kopyalarının araını daha da açakla giderilebilir. Bunun için de daha yükek rekanta örneklee yapılaı gerekir. Gerçek uygulaalarda çoğu zaan Nyquit rekanından çok daha yükek bir örneklee rekanı kullanılır. Buna da aşırı örneklee (overapling) denir. Aşırı örneklee daha yükek rekanların kullanılaını gerektire de çok daha bait ve ucuz üzgeçlerin kullanılabileine olanak ağlar. Şekil 9'daki X( ) rekan tayına tekrar bakalı. Burada X ( )'i üzgeçten geçirerek ıır rekanının etraındaki kopya olan X( )'i, dolayııyla xt ()'yi yeniden oluşturaya çalıştık. Eğer daha yükek rekanlardaki kopyaları elde eteydik bu işlein adına yukarıkaydıra (upconverion) diyecektik. Benzer şekilde, X( ) tabanband işareti olayıp kapladığı rekan bandı yükek rekanlarda olaydı ve biz ıır rekanı etraındaki kopyayı elde eteye çalışaydık bu işlee de aşağıkaydıra (downconverion) diyecektik. Tabi ki X( )'in bandı yükek rekanlarda olup arklı bir yükek rekantaki kopyayı elde etek iteyebiliriz. Buna da rekan kaydıra (req. conv.) denir. Frekan kaydıra işleleri burada bahedildiği gibi örneklee ve ayıal işlelerle yapılacak ie kopyaların örtüşeei için heaplaaların oldukça dikkatli yapılaı gerekir. Frekan kaydıra analog devrelerle de yapılabilir, ki o konuya odülayon kıında gireceğiz. Sayıalda yapılan kaydıra işlelerini diğerinden ayırak için çoğu zaan önüne "ayıal" keliei eklenir; Sayıal aşağı kaydıra (digital downconverion) gibi. Şidi Şekil 4 ile anlatılan, düzenli ölçülerin teleonla arkadaşııza bildire ve onun işareti yeniden oluşturaını ağlaa işleine geri döneli. Şekil 0'da yeniden oluşturanın hataız yapılabilei için ölçü noktalarındaki değerlerin onuz ayıda baaak ile bildirilei gerektiği vurgulanıyor.
.4435062647878.475386453543 0.40900446240274.065803944849 Şekil 0. Ölçü noktalarındaki değerler onuz haaiyette. Ölçü değerlerinin {.4435062647878,.475386453543, 0.40900446240274, } şeklinde onuz ayıda baaakla bildirileinin (hatta ölçüleinin) ikanız olduğu açıktır. Tek bir ölçüü bile bildirilei işaretin kendiinin gönderileinden (aralıklı örnekler yerine) çok daha pahalıya çıkacağı ortadadır. Sürekli değerler yerine düzenli aralıklarla yapılan ölçüleri bildirdiğiiz gibi, baaak ayıında da bir ınırlaaya giteiz şarttır. Örneğin {.44,.48, 0.4, } gibi. Tabi ki bu, değerlerde bilerek/razı olarak yaptığıız bir kıaltadır ve yapılan hata geri kurtarılaaz. Bu kıaltaya nicelee (quantization) denir. Milietrik cetvelle ilietreden daha haa ölçüler yapaaak gibi birşeydir. 2.0.5.0 0.5 0.0 0.5.0.5 2.0.75.25 0.75 0.25 0.25 0.75.25.75 7 6 5 4 3 2 0 Şekil. (2,2) aralığının 0.5 aralıklarla nicelenei ve işaretin buna göre örneklenei. Şekil (2.0,2.0) ürekli aralığının 8 eşit altaralığa bölünei ve örnekleenin bu niceleeye göre yapılaını göterektedir. Buna göre, örneğin işaretiizin ölçü anındaki değeri (.5, 2.0) alt aralığında ie bu değeri 7 ile göteriyoruz. Diğer örnek değerlerinin herbiri de 0 ile 7 araındaki 8 adet taayıdan birii ile göteririz. Bu ayıların herbirinin hangi değer aralığına karşı geldiğini bilen alıcı (arkadaşıız) işareti bazı örneklee hataları ile beraber yeniden oluşturabilir. Tabi ki hata değeri karşı taraa bildirilediğinden nicelee hataı kalıcıdır, giderileez. Örneğiizdeki hatalar
( 0.25, 0.25) aralığında eşit olaılıklı (unior) dağılıştır, yani gerçek değer aralıktaki onuz değerden herhangi birii olabilir. Örneğiizdeki hatalar Şekil 2'de göteriliş olup, değerler ratgele olduğundan nicelee hataına nicelee gürültüü (quantization noie) adı verilir. n Şekil 2. Nicelee gürültüü. Örneklee ve nicelee işlei analog işaretleri ayıal örneklere çevirek ve çoğunlukla işaret üzerinde yapılaı itenen işlelerin (üze, tanıa, odülayon, kodlaa,...) ayıal devrelerle gerçekleek üzere analogayıal çeviriciler (analogdigital converter : ADC) taraından gerçekleştirilir. Daha kapalı entegre devrelerin parçaı da olabilen ADC'ler çoğunlukla adece bu iş için üretilen entegre devrelerdir. Sayıal devre deyince aklııza işaret değerlerinin ikili ayı itei ile iade edildiği antık devreleri aklııza gelir. İkili ayı iteinde bulunan 0 ve rakaları ayıal elektronik devrelerde iki arklı voltaj ile teil edilirler (05V, 03.3V, 55 vb). Tabi ki ayılar, ondalık itede olduğu gibi, bitlerin (bit=binary digit) yanyana konaıyla oluşturulur. Doğal olarak, şekil 'deki bölüt (altaralık) ayıı arttıkça onları teil etek için gereken bit ayıı da artacaktır. 3 Örneğiizde 8 adet bölüt olduğuna göre ayılarıız 3 bitlik olacaktır ( 2 8). Böyle bir ADC kavraal olarak Şekil 3'te veriliştir. V in /2 /2 V re karşılaştırıcılar kodlayıcı devre Gnd b 2 b b 0 Şekil 3. 8 bitlik analogayıal çevirici.
Şekil 3'te verilen paralel ADC'nin çıkışında her an girişteki voltajın hangi aralıkta olduğunu belirten ikili ayıyı göreiz gerekir, en azından teorik olarak. Örneklee anlarındaki çıkış değerini diğer ayıal devrelere aktaraız gerekir. Tabi ki elektronik devrelerin bir hız ınırı vardır, ve giriş işareti ADC'nin ele alabileceğinden daha hızlı değişiyora çeşitli probleler (ve çözüler) oluşur. Bu döküanda, itediğiiz anda çıkış değerinin geçerli/doğru olduğunu varayacağız. Sayıaldan tekrar analoga çevirek için ie ayıalanalog (digitalanalog converter : DAC) kullanılır. Şekil 4 dört bitlik bait bir DAC örneği veriyor. Burada yükek kazançlı bir kuvvetlendirici toplayıcı olarak kullanılakta. Çalışa prenibini Elektronik derlerinde görüş olanız gerekiyor. Şekil 4. Dört bit girişli (6 eviye çıkışlı) bait DAC. ADC ve DAC entegre devreleri eşit aralıklarla yerleştiriliş voltaj eviyelerine ve düzgün girişçıkış onkiyonuna ahiptir (Şekil 5). Ayrıca ikili arayüzleri N b bir taayı olak üzere N b bitlik girişi vardır ve 2 Nb voltaj eviyeini düz ikili (traight binary) kodlar yada analoga çevirir. Bu voltaj eviyelerinin hangi aralıkta olacağı çoğunlukla belli ınırlar dahilinde başka kontrol girişleri ile eçilir. B out... V in... Şekil 5. Standard bir ADC giriş voltajı çıkış değeri graiği. Bazı uygulaalarda ie düzgün yerleştiriliş girişçıkış baaakları tercih edileyebilir. Örneğin inan ei iletişii uygulaalarında e işareti daha çok 0 V yakınlarında olduğundan 0 V etraında daha ık yerleştiriliş voltaj eviyeleri itenebilir. Şekil 6 konuşa işareti genliğinin olaılık yoğunluk onkiyonunu göterektedir. Genlik noralize ediliş olup 0 ile araında değişektedir ve işaretin herhangi bir anda 0'a yakın bölgelerde buluna olaılığının ne kadar yükek olduğu graikte belirgindir.
Şekil 6. Konuşa işareti olaılık yoğunluk onkiyonu [2]. Öyleye e işaretinin olaılık yoğunluk oniyonuna göre doğrual olayan (nonunior) bir ADC girişçıkış dönüşü graiği elde etek yükek genliklerde hatayı arttıra da topla/ortalaa hatayı düşürür. Böyle bir örnek Şekil 7'de veriliştir. B out... V in... Şekil 7. Doğrual olayan ADC çeviri graiği. Ancak, her arklı çeviri graiği ihtiyacına göre ADC/DAC üretek oldukça problelidir. O nedenle, örneğin teleon itelerinde, orunun ADC/DAC ile çözülei yerine ADC'den önce ve DAC'den onra eklenen doğrual olayan (nonlinear) kazanç devreleriyle çözülei yoluna gidiliştir. xt () B out... V in xt ()... kanal ıkıştıra Düzenli aralıklarla örneklee genişlete Şekil 8. SıkıştıraGenişlete yönteiyle (copreionexpanion) doğrual olayan ADC dönüşüü. Teleon şirketlerinin kullanıı aacıyla eniyileştiriliş ıkıştıragenişlete eğrileri tandartlaştırılıştır (Şekil 9).
Kuzey Aerikada kullanılan ıkıştıra eğrileri (μlaw) ln( ( x / xax )) ax gn( ) y y x ln( ) Avrupada kullanılan ıkıştıra eğrileri (μlaw) y y ax A( x / xax ) x gn( x), 0 ln A x A ax ln( A( x / x )) x gn( ), ax yax x ln A A xax Şekil 9. Bazı tandartlaştırılış ıkıştıragenişlete eğrileri. SoruCevap. S : Örneklee ve dolayııyla ayıala dönüştürenin aacı nedir? C : İşaret işleenin ve iletişiin ayıal devrelerle yapılabilei için (vara) analog işaretlerin ayıala dönüştürülei gerekir. Sayıal devreler oldukça yetenekli ve değiştirilebilirdir (örneğin bilgiayarlar). Sayıala dönüştürülüş işareti/veriyi koruyucu pekçok yönte geliştiriliştir. Bu yönteleri analog devrelerle uygulaak neredeye ikanızdır. S : Her zaan gerekli idir? C : Kullanılak/taşınak itenen veriler birçok duruda analog ordadır (e, görüntü, ıı). Tabi ki bunları ayıal devrelerle işleek için ayıal devreler gereklidir. Ancak bazı durularda veriler zaten ayıaldır (klavyeden girdiğiniz harler). İşleek için ADC gerekez aa iletek için çoğu zaan bir noktada DAC, alıcı taraında da ADC gerekli olur). 2. S : ADC'lerin bir akiu çevire hızı var. Daha yükek rekanlarda işaretler için ne yapılabilir? C : Yükek hızlarda çeviri için ADC'leri paralel (azarklı) şekilde kullanak oldukça yaygındır. Örneğin akiu çevri hızı GHz olan 2 adet ADC 'er örnek atlaalı şekilde çalıştırılıp toplada 2 GHz'lik bir çevire hızı (teorik olarak) elde edilebilir. 3. S : Saple & Hold diye birşey var, nedir? C : Saple bu bölüde gördüğüüz örnekleedir. Hold yada tuta ie işaretin anlık değeri ölçülei (ayıala çevrilei) ta olarak bitinceye kadar girişteki işaretin değişeeini ağlaak için eklenei gereken bir devredir. Çoğunlukla bir kapaitörün işaret ile çok hızlı
doldurulup heen ardından girişle bağlantıının keilei şeklinde odellenir. Yeniden dolduruluncaya kadar ölçü taalanır. [2] D. L. ichard, Statitical propertie o peech ignal, Proc. Int. Elect. Eng., vol., no. 5, pp. 94 949, 964.