ÖABT İLKÖĞRETİM KPSS 206 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 205 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 29. yıl
Komisyon ÖABT İlöğretim Matemati Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denlemler ISBN 978-605-38-88-0 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Aademi Bu itabın basım, yayın ve satış haları Pegem Aademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan uruluşun izni alınmadan itabın tümü ya da bölümleri, apa tasarımı; meani, eletroni, fotoopi, manyeti, ayıt ya da başa yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu itap T.C. Kültür Baanlığı bandrolü ile satılmatadır. Ouyucularımızın bandrolü olmayan itaplar haında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 2.Bası: 205, Anara Proje-Yayın: Neslihan Gürsoy Türçe Redasiyon: Aylin Doğan Dizgi-Grafi Tasarım: Kezban Öztür Kapa Tasarımı: Gürsel Avcı Bası: Korza Yay. Basım San. Tic. A.Ş. Yenice Mah. No: 3 Esenboğa-Anara 032 342 22 08 Yayıncı Sertifia No: 4749 Matbaa Sertifia No: 30233 İletişim Karanfil 2 Soa No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 032 430 67 50-430 67 5 Yayınevi Belgeç: 032 435 44 60 Dağıtım: 032 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 032 43 37 38 Hazırlı Kursları: 032 49 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ onu anlatımlı setimiz dört itap hâlinde düzenlenmiştir. "İlöğretim Matemati Öğretmenliği. Kitap" adlı yayınımız Analiz-Diferansiyal Denlemler bölümünü apsamatadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlöğretim Matemati Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi apsamındai soruları çözme için gereli bilgi, beceri ve tenileri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza ılavuz olara hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav apsamındai temel alanlarda apsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu itabın gere ÖABT'de gerese gelecetei mesle hayatınızda ihtiyacınızı masimum derecede arşılayaca bir başucu itabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan onu anlatımları, çımış sorular ve detaylı açılamalarıyla destelenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla peiştirilmiştir. Ayrıca onu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tenilerine e olara uyarı utucularıyla da önemli onulara diat çeilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu itapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini ullanara bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köer, Firet Heme, Ayşegül Eroğlu, Dizgicimiz Gülnur Öcalan ve Kezban Öztür'e teşeürü bir borç biliriz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz deerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine atıda bulunabilme ümidiyle... Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmata ve Matemati Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matemati) ile Alan Eğitimi alanlarındai bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemetedir. Öğretmenli Alan Bilgisi Testinde çıan sorular, Matemati Öğretmenli Lisans Programlarında verilen aademi disiplinlere paralel olara hazırlanmatadır. Sınavdai Alan-Soru dağılımı aşağıdai tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yalaşı Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % 80-40 a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matemati % 28 % 8 % 8 % 6 Alan Eğitimi Testi % 20 4-50 Genel Kültür, Genel Yetene ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza e olara gireceğiniz Öğretmenli Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 204-205 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilece olası değişilileri ÖSYM'nin web sitesinden taip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...ııı. KISIM. BÖLÜM: ANALİZE GİRİŞ Sayılar...5 Doğal Sayılar...5 Rasyonel Sayılar...5 Tümevarım Yöntemi...5 Lineer (Doğrusal) Nota Kümeleri...6 Mutla Değer...7 Komşulu...7 Yığılma Notası...7 Tam Değer...8 Fonsiyonlar...8 Bazı Özel Fonsiyonlar...9 Fonsiyonun Grafiği...0 Trigonometri...2 Bazı Trigonometri Değerler...2 Bazı Trigonometri Bağıntılar...3 Üstel ve Logaritmi Fonsiyonlar...4 Hiperboli Fonsiyonlar...5 2. BÖLÜM: LİMİT Limit...9 Bir Fonsiyonun Limiti...2 Te Yönlü Limitler...23 Sürelili...24 Bazı Süreli Fonsiyon Örneleri...24 Süresizli Çeşitleri...24 Süreli Fonsiyonların Özellileri...25 Düzgün Sürelili...26 3. BÖLÜM: TÜREV Türev...29 Türev Almada Genel Kurallar...29 Trigonometri Fonsiyonların Türevi...30 Ters Fonsiyonun Türevi...30 Logaritma Fonsiyonunun Türevi...3 Üstel Fonsiyonların Türevi...32 Logaritmi Türev Alma...32 Hiperboli Fonsiyonların Türevi...32
vi Parametri Fonsiyonların Türevi...32 Kapalı Fonsiyonların Türevi...33 Yüse Mertebeden Türevler...33 Türevin Geometri Anlamı...34 Türevle İlgili Teoremler...35 Belirsiz Şeiller...39 Diferansiyeller...40 Eğri Çizimleri...42 Düşey Asimptot...42 Yatay Asimptot...43 Eğri veya Eği Asimptot...43 4. BÖLÜM: İNTEGRAL Belirsiz İntegral...47 Bazı Fonsiyonların İntegralleri...47 İntegral Alma Yöntemleri...47 Değişen Değiştirme...47 Kısmi İntegrasyon Yöntemi...5 İndirgeme Bağıntıları...52 Rasyonel Fonsiyonların İntegrali...56 Trigonometri Fonsiyonların İntegrali...58 Binom İntegralleri...63 Çözümlü Sorular...64 Belirli İntegral...66 İntegralde Alan Hesabı...68 İntegralde Hacim Hesabı...7 Eğri Uzunluğunun Hesabı...73 Dönel Yüzeyin Alanı...74 5. BÖLÜM: GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRALLER Genelleştirilmiş İntegraller...79. Çeşit...79 Kararlaştırma Testi...79 Kararlaştırma Testinin Limit Formu...79 2. Çeşit...80 Kutupsal Koordinatlar...8 Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi...83 Gül Eğrilerinin Çizimi...86 Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı...87 Seriler...87 Geometri Seri...89 Seriler İçin Yaınsalı Testleri...90
vii İntegral Testi...90 Oran Testi...90 Kö Testi...9 Limit Testi...9 Alterne Seriler...92 Kuvvet Serileri...92 Fonsiyonların Seriye Açılması...93 Analiz-Uygulama...94 Fonsiyon Dizi ve Serileri...97 Düzgün Yaınsalı ve İntegral...99 Düzgün Yaınsalı ve Türev...00 Fonsiyon Serilerinin Düzgün Yaınsalığı...00 6. BÖLÜM: n - BOYUTLU UZAY n - Boyutlu Uzay...07 R n 'in Topolojisi...08 Vetör Değerli Fonsiyonlar... Vetör Değerli Fonsiyonların Limit ve Süreliliği... 2 R n 'de Eğriler... 3 Vetör Değerli Fonsiyonların Türev ve İntegrali... 4 Eğri Uzunluğu... 6 Ço Değişenli Fonsiyonlar... 8 Ço Değişenli Fonsiyonlarda Limit...20 Sürelili...22 Kısmi Türevler...23 Yüse Mertebeden Kısmi Türevler...25 Zincir Kuralı...26 Yönlü Türevler...28 Kapalı Fonsiyonların Türevi...29 Normal Doğrusunun Denlemini Bulma...32 Masimum ve Minimum...32 Yan Şartlı Estremumlar...35 Bölge Dönüşümleri...38 Fonsiyonel Bağımlılı...40 Saler ve Vetör Alanları...4 Ço Katlı İntegraller...45 İi Katlı İntegralin Hesabı...47 İntegral İşareti Altında Türev Alma...49 İi Katlı İntegrallerde Değişen Değiştirme...53 İi Katlı İntegrallerin Uygulamaları...56 Çözümlü Test...6 Çözümler...63 Çözümlü Test 2...66 Çözümler...68 Çözümlü Test 3...70
viii Çözümler...72 Çözümlü Test 4...75 Çözümler...77 Çözümlü Test 5...79 Çözümler...8 Çözümlü Test 6...83 Çözümler...85 Çözümlü Test 7...88 Çözümler...90 Çözümlü Test 8...92 Çözümler...94 Çözümlü Test 9...97 Çözümler...200 Çözümlü Test 0...203 Çözümler...206 Çözümlü Test...209 Çözümler... 2 Çözümlü Test 2...24 Çözümler...26 Çözümlü Test 3...29 Çözümler...222 Çözümlü Test 4...225 Çözümler...228 Çözümlü Test 5...23 Çözümler...234 Çözümlü Test 6...236 Çözümler...238 Çözümlü Test 7...243 Çözümler...245 Çözümlü Test 8...247 Çözümler...249 Çözümlü Test 9...25 Çözümler...253 Çözümlü Test 20...257 Çözümler...26
ix 2. KISIM. BÖLÜM: DİFERANSİYEL DENKLEMLER Diferansiyel Denlemler...273 Giriş...273 Diferansiyel Denlemlerin Çözümü...274 Genel ve Özel Çözümler...275 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denleminin Oluşturulması...277 2. BÖLÜM: DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER Değişenlerine Ayrılabilir Denlemler...28 Değişenlerine Ayrılabilir Hâle Getirilebilen Denlemler...283 Homojen Diferansiyel Denlemler...284 Homojen Diferansiyel Denlemlerin Çözümü...284 Homojen Hâle Dönüştürülebilir Diferansiyel Denlemler...285 Tam Diferansiyel Denlemler...287 İntegrasyon Çarpanı Yardımı ile Diferansiyel Denlem Çözümü...289 Lineer Denlemler...29 Lineer Diferansiyel Denlemin Çözüm Yöntemi...29 Bernoulli Denlemleri...293 Riccati Denlemi...294 3. BÖLÜM: BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci Mertebeden n. Dereceden Diferansiyel Denlemler...299 Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denlemler...299 Türeve Göre Çözülebilen Denlemler...299 x'e Göre Çözülebilen Denlemler...300 y'ye Göre Çözülebilen Denlemler...300 Clairaut Denlemi...30 Lagrange Denlemi...302 İndirgenebilir İinci Mertebeden Diferansiyel Denlemler...303 4. BÖLÜM: YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Yüse Mertebeden Lineer Diferansiyel Denlemler...307 Mertebe İndirgeme...308 Sabit Katsayılı Denlemler...309 Farlı Reel Köler...309 Katlı Reel Köler...30 Komples Kö...30
x Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denlemler...33 Belirsiz Katsayılar Yöntemi...33 Parametrelerin Değişim Yöntemi...37 Cauchy-Euler Denlemi...39 Çözümlü Test...32 Çözümler...323 Çözümlü Test 2...327 Çözümler...330 Çözümlü Test 3...334 Çözümler...337 Çözümlü Test 4...34 Çözümler...344 Çözümlü Test 5...348 Çözümler...35
. KISIM
ANALİZE GİRİŞ
5 Doğal Sayılar SAYILAR N = {, 2, 3,...} ümesine doğal sayılar ümesi denir. m, n N ien; x + m = n biçimindei denlemlerin çözümlerini bulunduran sayılara tam sayılar ümesi denir. Z = &...,, 02,,,... 44244 3 \ 0 + Z Z = N + = Z, $ 0., Z Rasyonel Sayılar p, q Z ve q 0 olsun. q. x = p biçimindei denlemlerin çözümlerini bulunduran ümeye rasyonel sayılar ümesi denir. Q p = ' : pq, d Zq,! 0 (p ve q aralarında asal) q m Z için m = m Q! olduğundan Z Q olur. H I : irrasyonel sayılar ümesi H I Q = R H Herhangi ii rasyonel, irrasyonel, reel sayı arasında sonsuz çoluta hem rasyonel hem de irrasyonel sayı vardır. Tümevarım Yöntemi Doğal sayılarla ilgili önermelerin ispatında ullanılan bir yöntemdir. Teorem: D N olsun a) D b) D ien + D ise bu tadirde D = N dir. Sonuç: P(n) doğal sayılarla ilgili bir önerme; D de bu önermenin doğrulu değerinin ümesi yani; D = {n N P(n) doğru} olsun. Eğer; a) D (yani önerme n = için doğru) b) D ien (+) D (yani n = ien önerme doğru ien n = + için de önerme doğru ise D = N dir. Yani önerme tüm n N için doğrudur. Bu ispat metoduna tümevarım denir. n N için; 3 2n+2 2 n+ sayısı 7 ile bölünür, gösterelim. a) n = için ifadenin doğruluğunu inceleyelim. 3 2.+2 2 + = 3 4 2 2 = 8 4 = 77 = 7. olup 7 ile bölünür. b) n = değeri için ifadenin doğru olduğunu abul edelim. n = + değeri için de doğru olup olmadığını inceleyelim. n = için; 3 2.+2 2 + = 7.p p Z olsun. n = + için; 3 2(+)+2 2 ++ = 7.p ı olur mu? 3 2+4 2 +2 = 3 2+2. 9 2 +. 2 = 3 2+2. (7 + 2) 2 +. 2 = 7. 3 2+2 + 2. 3 2+2 2. 2 + = 7. 3 2+2 + 2. ( 32 + 2 2+ ) 44 4244 43 7p = 7. 3 2+2 + 2. 7. p ı = 7.( 32 + 2+ 2p) = 7p' sağlanır. 4442444 3 p' d Z n N ve n H 5 olsun. 3 n < n! olduğunu gösteriniz. a) n = 5 için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim. 3 5 < 5! 3 4 < 5! 8 < 20 ifade doğrudur. b) n = değeri için ifadenin doğru olduğunu abul edelim. n = + değeri için doğru olup olmadığını inceleyelim. n = için; 3 <!... (I) n = + için; 3 + < ( + )! 3 < ( + )!... (II) II eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını göstermeliyiz. Önerme n 5 için doğrudur. H N ve p R olma üzere; p pp ( ).( p 2)...( p + ) e o =! sayısına binom atsayısı denir. 3. c 3 - mc - 2 m. c- m. c- 2 2 2 2 2 2 2 m 6 3 f p = = = = = 3! 6 6 6 6 3 2
6 Eğer p = n N ise ombinasyon olur. n n.( n )...( n + ) n! b l = = olur.! ( n )!.! Lineer (Doğrusal) Nota Kümeleri R nin alt ümeleri H H H H n n b l= b l= 0 n n n b l= b l n n n n + b l+ b l= c m > n ien b n l= 0 H a, b R olma üzere; {x R : a < x < b} = (a, b) = ]a, b[ H {x: a G x G b} = [a, b] H {x: x > a} = (a, ) H {x: a < x G b} = (a, b] H {x: < x < } = R a, b R n N a b n n. a n n. a n n n. b.... ab. n ` + j = e o + e o + + e o + e o. 0 n n b n olduğunu gösteriniz. a) n = için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim. a + b = a + b olup doğrudur. b) n = değeri için ifadenin doğru olduğunu abul edelim. n = + değeri için ifadenin doğru olup olmadığına baalım. (m Z ise m + Z ifadesinden yararlanara) Tanım: A bir lineer nota ümesi olsun. Her x A için x H a olaca şeildei a R sayısına A nın bir alt sınırı denir. Eğer x A için x G b olaca şeildei b R sayısına A nın bir üst sınırı denir. Asiyom: Üstten sınırlı bir ümenin üst sınırları arasında bir en üçüğü, alttan sınırlı bir ümenin alt sınırları arasında bir en büyüğü vardır. n = için; (a + b) =. a. a + c m + c m. b +... + c m. ab. + 0 c m.... I b ^ h n = + için; (a + b) + = +. a + c m + + c m. a+. b+... 0 +. ab. + + c m + + c m. b+...( II) + + I ve II denlemlerini eşitleme için I. denlemin her ii tarafını da (a + b) ile çarpalım ve denlemlerin sağ taraflarının eşitliğini ontrol edelim. ^ I h = c m. a. ^ a + b h + c m. a. b. ^ a + b h +... + 0 c m. ab..( a+ b) + c m.. b ^ a + b h = c m. a + + c m a. b + c m. a. b + c m. a. b 2 +... 0 0. a. b. ab.... b a c m 2 + c m + c m + c m b + ifadesini II nolu denleme eşitleyelim. Denlem doğrulandığından n = + içinde doğrudur. A = (0, ] alt ve üst sınırlarının ümesini bulalım. A nın alt sınırlannın ümesi: (, 0] A nın üst sınırlarının ümesi: (, ) Tanım: Hem alttan hem de üstten sınırlı ümelere sınırlı üme denir. A sınırlı bir üme olsun. A nın üst sınırlarının en üçüğüne en üçü üst sınırı veya supremumu denir ve eüsa veya supa ile gösterilir. A nın alt sınırlarının en büyüğüne de en büyü alt sınırı veya infimumu denir ve ebasa veya infa ile gösterilir. A = [0, ) ise supa ve infa diğerlerini bulalım. supa = g A infa = 0 A H sup ve inf değerleri ümeye ait olma zorunda değildir.
7 Komşulu B = { : r Q, r > 0} olma üzere varsa supb ve infb r nedir, bulalım. supb yotur ve infb = 0 H Eğer; supa = a A ise a ya A nın masimum elemanı denir. H Eğer; infa = b A ise b ye A nın minimum elemanı denir. H supa = a olsun. Bu durumda,. x A için x # a 2. ε > 0 için x A verir, öyle i x + ε > a dır. H infa = b olsun. Bu durumda. x A için x $ b 2. ε > 0 için x A var, öyle i x ε < b dir. Mutla Değer Bir a R sayısının orijine uzalığına a sayısının mutla aa ; $ 0 değeri denir ve a = ) biçiminde tanımlanır. aa ; 0 Açıtır i; a $ 0 a = 0 + a = 0 i) a = a ii) a G OaK a G OaK a G b iii) 3 & a a G b G b a R ve f > 0 olma üzere; K = { x d R: x a f} = `a f, a + fj ümesine a nın f omşuluğu denir. a f K 444442444443 a a+f K {a} ümesine a nın delinmiş omşuluğu denir. Yığılma Notası A R, a R olsun. a notasının f, f > 0 omşuluğu, A nın a dan farlı en az bir elemanını bulunduruyorsa a ya A nın bir yığılma notası denir. Buna göre a, A nın yığılma notasıdır. f > 0, A «[(a f, a + f ) {a}] H Doğal sayılar ümesinin yığılma notası yotur. H İrrasyonel sayılar ümesinin yığılma notaları reel sayılar ümesidir. H Rasyonel sayılar ümesinin yığılma notaları reel sayılar ümesidir. Çımış Sorular 3 n n$ x serisinin yaınsa olduğu en geniş aralı n + 2 n= 0 aşağıdailerden hangisidir? A) `, 0j B) `, j C) (0, ) D) ` 2, 2j E) 8 2, 2B iv) ab. = a. b v) a b Teorem: a, b R a =, (b 0) b. OaK G a G OaK 2. OKaK ObKO G Oa + bk G KaK + KbK (üçgen eşitsizliği) OaK G b b G a G b OaK $ b a $ b V a G b Sonuç: a,..., a n R olma üzere; xn+ lim olmalıdır. n " 3 x n n lim + n + n 2 $ x + n n 3 n " 3 + n$ x x$ `n+ j $ `n + 2j lim n " 3 n$ `n+ 3j lim x n " 3 & x olup x dir. Dolayısıyla `, j aralığında seri yaınsatır. Cevap B Oa + a 2 +... + a n O G Oa K + Oa 2 K +... Oa n K dir.
8 A = ' : n n d N ümesinin yığılma notası sıfır (0) dır. O halde A nın yığılma notalarının ümesi {0} dır. Teorem: Bir ümenin supremumu (veya infimumu) ümeye ait değilse o ümenin yığılma notasıdır. Tanım: Bir A ümesinin en sağdai yığılma notasına A nın üst limiti, en soldai yığılma notasına da A nın alt limiti denir. Sırasıyla limsupa veya lim A liminfa veya lim A ile gösterilir.. A = {( ) n : n N} olsun. limsupa = liminfa = 2. B = {sinn: n N} olsun lim B = lim B = Tam Değer Bir a R nin tam değeri diye a dan büyü olmayan en büyü tam sayıya denir ve " a, ile gösterilir. Buna göre, " π, = 4, " e, = 2 dir.. x R için x H " x, 2. x R için x = " x, + t; olaca şeilde t [0, ) vardır. 3. m Z için " m, = m dir. 4. a, b R için $ a+ b. $ $ a. + $ b. dır., FONKSİYONLAR (x, y) = {{x}, {x, y}} ümesine bir x ile y nin sıralı iilisi denir. (x, y) (y, x), (x = y) (x, y) = (u, v) x = u, y = v dir. Örne A B herhangi ii üme olma üzere; AXB = {(a, b) : a A, b B} dir. H AXB BXA (A B) H AX = H AXB nin her bir alt ümesine A dan B ye bir bağıntı denir. H AXA nın her bir alt ümesine A da bir bağıntı denir. Fonsiyon A ve B ii üme f A dan B ye bir bağıntı olsun (f AXB).. x A için (x, y) f olaca şeilde y B var ve 2. (x, y) f ve (x, z) f ien y = z ise f ye A dan B ye bir fonsiyon denir. biçiminde gösterilir. f f:a B ve A B Buradan A ya f nin tanım ümesi B ye değer ümesi denir. fa : " B x" y = f`xj Tanımından f nin A dan B ye bir fonsiyon olması için A nın bir elemanı B de birden ço elemanla eşleşmemelidir. Tanım: f, g: A B ii fonsiyon olsun. x A için f(x) = g(x) ise f ve g fonsiyonlarına eşit fonsiyonlar denir ve f = g ile gösterilir. x ' = denlemini çözelim. x x # 2 x i. G & 0 G & x 0 x x ii. 2 & > & x x x Ç.K = (, ) f, g : R R f(x) = x 2 ; g(x) = (x ). (x + ) olma üzere, f = g dır. H f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerine f nin sıfırları (öleri) denir. Tanım: f, g : A B ii fonsiyon olsun. (f " g) (x) = f(x) " g(x) (f. g) (x) = f(x). g(x) (f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) 0 (c. f) (x) = c. f(x), c R şelinde tanımlanır.
9 Tanım: f : X Y bir fonsiyon ve A X, B Y olsun. f(a) = {f(x) x A} ümesine A nın f altındai görüntüsü ve f (B) = {x X : f(x) B} ümesine B nin f altındai ters görüntüsü denir. H Ters fonsiyon olmadan da ters görüntü olabilir. Teorem: f : X Y bir fonsiyon A, B X olsun. Bu durumda, a) A B f(a) f(b) b) f(a B) = f(a) f(b) c) f(a B) f(a) f(b) Teorem: f : X Y bir fonsiyon E, F Y olsun. a) E F f (E) f (F) b) f (E F) = f (E) f (F) c) f (E F) = f (E) f (F) d) f (E =F) = f (E) = f (F) e) f (F t ) = (f (F)) t (F t : F nin tümleyeni) f) f ( ) = Bazı Özel Fonsiyonlar Tanım: f : A R R biçimindei fonsiyona reel değişenli ve reel değerli fonsiyon denir. Eğer; f: A B fonsiyonu, f: R R, f(x) = 2x + örten olduğunu gösteriniz. y y R için; 2x + = y 2x = y x = d R 2 olduğu için f örtendir. Özdeşli (Birim) Fonsiyonu f: A A x A için f(x) = x ise f ye birim fonsiyon denir. I A ile gösterilir. Bileşe Fonsiyon f: A B, g: B C fonsiyonları veriliyor. g fonsiyonu f(a) nın her bir y = f(x) elemanını C nin bir z = g (f(x)) e dönüştürür. Böylece A nın her bir x elemanını C nin bir z = g(f(x)) elemanına dönüştüren yeni bir fonsiyon elde edilmiş olur. Bu fonsiyona f ile g nin bileşesi denir ve gof ile gösterilir. Buna göre (gof) (x) = g (f(x)) olur. g f olma üzere genelde gof fog dir. Tanım: f : A Æ B bir fonsiyon olsun. f bire birdir x, y A x ] y ise fx ()] f()" y f bire birdir x, y A f(x) = f(y) x = y x A için f(x) = c (c: sabit) ise f ye sabit fonsiyon denir. Eğer ; f(a) = B ise f ye örten fonsiyon denir. Buna göre, f örtendir y B için f(x) = y olaca şeilde en az bir x A vardır. Örten olmayan fonsiyona içine fonsiyon denir. Yani f(a) B dir. f: R [0, ), f(x) = x 2 örten olduğunu gösteriniz. y [0, ) için; x 2 = y x = " y R olduğu için f örtendir. f : (, 0] [0, ), f(x) = x 2 fonsiyonunun : ve örten olduğunu gösterelim. li; x, x 2 (,0] olsun f(x ) = f(x 2 ) & x2 = x2 2 & x = x2 & f, : dir. örtenli : f örtendir y [0, ) için f(x) = y olaca şeilde en az bir x (, 0] vardır. f(x) = y x 2 = y x = y (, 0] olup böylece f örtendir.