ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Transkript

1 ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN

2 ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir kaıt sistemi ile çoğaltılamaz, aınlanamaz, depolanamaz. Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu azara aittir. Eser Sahibi Yasin ŞAHİN ISBN: Abil Basımevi Sertifika No: Baskı & Cilt: Abil Dijital Baskı Reklam Mühendislik Turizm Sanai ve Ticaret Limited Şirketi Ferhunie Mh. Sultanşah Cd. No:30/A KONYA Tel: Fa: KONYA KASIM 016

3 İÇİNDEKİLER Polinomlar... 1 Test Çözümler... 6 Test... 8 Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler II. ve III. Dereceden Denklemler Test Çözümler Test Çözümler... Konu Tarama Testi... 4 Çözümler... 5 Parabol... 6 Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler II. Dereceden Eşitsizlikler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Trigonometri... 5 Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Karmaşık Saılar Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler... 86

4 Logaritma Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Toplam ve Çarpım Sembolü Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Diziler Test Çözümler Test Çözümler... 1 Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Özel Tanımlı Fonksionlar Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Limit ve Süreklilik Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Türev Alma Kuralları Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler

5 Türevin Geometrik Yorumu Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler... 1 Test Çözümler... 6 Konu Tarama Testi Çözümler... 3 Belirsiz İntegral Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Belirli İntegral ve Ugulamaları Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Seriler ve Yakınsaklık Testleri Test Çözümler Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Genelleştirilmiş (Has Olmaan) İntegraller Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler... 30

6 Laplace Dönüşümleri Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Çok Değişkenli Fonksionlar Test Çözümler Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Katlı İntegraller Test Çözümler Konu Tarama Testi Çözümler Genel Tarama Sınavı Çözümler

7 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Arkadaşlar, ÖABT soruları akademik konulardan ve okul müfredatındaki temel konulardan oluşmaktadır. Hepimizin amacı bu sınavda başarılı olmak ve istediğimiz bir okula atanmaktır. Yeni sınav sisteminde bu amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerinizi pekiştirmeniz, çıkacak soru tiplerine ugun çok saıda ve sistemli soru çözmeniz arıca sık sık tekrar apmanız gerekmektedir. Analiz Konu Anlatımlı Çözümlü Soru Bankası Kitabı, ukarıdaki belirlemee ugun olarak değişen sınav sistemine göre, sizleri ÖABT sınavına en ii biçimde hazırlamak amacıla düşünülmüştür. Bu kitabın hazırlanmasında çok emek sarf edildiğinden, kitabı kısmen a da tamamen çoğaltanlara hakkımı helâl etmiorum. Fadalanacak tüm öğretmen arkadaşlara başarılar diler, bugünlere gelmemde büük pa sahibi olan sevgili eşime ve dostlarıma şükranlarımı sunarım. Yasin ŞAHİN

8 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Tanım: Tanım kümesi n R kümesinin bir alt kümesi olan fonksionlara çok değişkenli fonksionlar denir. Eğer bu fonksionun değer kümesi de R ise buna n- değişkenli reel değerli fonksion denir. Örnek: f(, ) iki değişkenli fonksion g(,, z) üç değişkenli fonksion f(,) 4 fonksionunun tanım kümesini bulup düzleminde göstere. f(, ) fonksionunun tanımlı olabilmesi için olmalıdır. O halde f fonksionunun tanım kümesi biçimindedir. Tanım: düzleminde z = f(, ) fonksionunun sabit değerler aldığı noktaların oluşturduğu eğrilere sevie eğrileri denir. Örnek: f(, ) = + fonksionunun bazı sevie eğrilerini bularak grafiğini çize. f fonksionu f(, ) = 1 sabit değerini aldığında + = 1 çemberi bir sevie eğrisi, f(, ) = 4 sabit değerini aldığında + = 4 çemberi bir başka sevie eğrisidir. Bazı Eğrilerin Grafikleri 1. Elipsoid:. Paraboloid: 3. Hiperboloid: a) Tek Kanatlı Hiperboloid: z c a b z 1 a b c b) İki Kanatlı Hiperboloid: z 1 c a b 37

9 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar 4. Silindir iii) f(, ) fonksionunun itinin kartezen koordinatlardaki hesaplanmasında sonuca ulaşılmazsa 5. Koni: a 1 b z c a b Çok Değişkenli Fonksionlarda Limit ve Süreklilik Tanım: A R, A kümesinin bir ığılma noktası (a, b) ve f de A kümesi üzerinde tanımlı reel değerli fonksion olmak üzere, f fonksionunun (a, b) noktasındaki iti f(, ) (,) (a,b) biçiminde gösterilir. Uarı: i) f(, ) fonksionu (a, b) noktasında tanımlı olmadığı halde iti olabilir. ii) f(, ) fonksionunun iti varsa bu it (, ) noktasının (a, b) noktasına aklaşma biçiminden bağımsızdır. Diğer bir ifadele (, ) noktası (a, b) noktasına hangi eğri bounca aklaşırsa aklaşsın it değeri değişmez. Eğer (, ) noktasının (a, b) noktasına aklaşma biçimine göre it değişiorsa f fonksionunun (a, b) noktasında iti oktur. = r cos = r sin kutupsal koordinatlarından ararlanılabilir. Örnek: (,) (0,0) itini hesaplaalım. I. ol: (0, 0) noktasına = m doğrusu bounca aklaşırsak m m (,) (0,0) (,) (0,0) m 1 m olduğundan it oktur. Çünkü m değeri değiştikçe it değişmektedir. II. ol: (,) (0,0) r0 r cos r sin r (cos sin ) cos sin olduğundan it oktur. Çünkü değiştikçe it değişmektedir. Örnek: (,) (0,0) 4 itini hesaplaalım. (0, 0) noktasına = m parabolleri bounca aklaşalım. m m (,) (0,0) 4 (,) (0,0) 4 m 1 m olduğundan it oktur. Çünkü m değiştikçe it değeri değişmektedir. 38

10 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Örnek: (,) (0,0) itini hesaplaalım. r cos r sin r cos r sin (,) (0,0) r0 Tanım: r0 r cos sin 0 A R ve (a, b), A kümesinin bir ığılma noktası olsun. f fonksionunun (a, b) noktasında sürekli olabilmesi için i) f fonksionu (a, b) noktasında tanımlı olmalıdır. ii) f fonksionunun (a, b) noktasında iti olmalıdır. iii) f fonksionunun (a, b) noktasındaki iti görüntüsüne eşit olmalıdır. Örnek:, (,) (0,0) ise f(,) 0, (,) (0,0) ise şeklinde tanımlanan fonksionun olup olmadığına bakalım. r (cos sin ) r (cos sin ) (,) (0,0) r0 cos R de sürekli olduğundan it oktur. Çünkü değiştikçe it değişmektedir. O halde it olmadığından fonksion R de sürekli değildir. Kısmi Türevler Tanım: A R, f : A R, f(, ) bir fonksion ve (a, b) A olsun. f(ah, b) f(a, b) itine (varsa) f fonksio- h0 h nunun değişkenine göre (a, b) noktasındaki kısmi türevi denir ve f f (a,b), (a,b),f (a,b) sembollerinden birile gösterilir. f(a, bk) f(a, b) itine (varsa) f fonksionunun değişkenine göre (a, b) noktasındaki kısmi k0 k türevi denir ve f f (a,b), (a,b),f (a,b) sembollerinden birile gösterilir. Örnek: f(, ) = + - fonksionu için f (,3) ve f (,3) kısmi türevlerini hesaplaalım. sabit tutulur ve değişkenine göre türev alınırsa f(,) f(,3) 7 sabit tutulur ve değişkenine göre türev alınırsa f(,) f(,3) 4 bulunur. Örnek:, (,) (0,0) ise f(,) 0, (,) (0,0) ise fonksionunun varsa f(0,0)vef(0,0) kısmi türevlerini bulalım. f (0,0) 0 0 h0 h 0 h0 f (0,0) 0 0 k0 k k0 f(h,0) f(0,0) h f(0,k) f(0,0) k 0 39

11 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Tanım: f fonksionunun f ve f kısmi türevlerinin ve değişkenlerine göre türevlerine (varsa) f nin ikinci mertebeden kısmi türevleri denir. f f f (f ) f f f (f ) f f f (f ) f f f (f ) Örnek: f(, ) = e / fonksionu için f ve f kısmi türevlerini bulalım. 1 / f(,) e e 1 f (,) e / f (,) e / / Teorem: z = f(, ), = g(u, v) ve = h(u, v) olsun. z = f(g(u, v)), h(u, v)) f f f u u f f f v v v Örnek: z = + fonksionu için = u - v, = u + z z v olduğuna göre, ve türevlerini hesaplaa- u v lım. z z z u u u = = + = 4u z z z v v v =. (-1) +. 1 = - = 4v Tam Diferansiel dz z d z d ifadesine z = f(, ) fonksionunun tam diferansieli denir. Örnek: z = e fonksionu için dz tam diferansielini hesaplaalım. z z e e olduğundan bulunur. dz z d z d e d e d Kapalı Fonksionların Kısmi Türevi F(,, z) = 0 denklemi ile verilmiş olan z = f(, ) fonksionu için z F Fz z F Fz Örnek: z - + z - 1 = 0 denklemi ile verilen z = f(, ) fonksionunun z ve z kısmi türevlerini bulalım. z z z z z z z z Herhangi Bir Yönde Türev Alma f f f f i j k z ifadesine f(,, z) fonksionunun gradienti denir. f fonksionunun P noktasındaki gradienti ( f) ile gösterilir. u birim vektör olmak üzere, ( f) u p ifadesine f(,, z) fonksionunun u önündeki türevinin P noktasındaki değeri denir. p 330

12 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Örnek: f(,, z) = - z fonksionunun u i j k önündeki türevinin P(, 3, 1) noktasındaki değerini bulalım. f f f, z, z olduğundan f fonksionunun P(, 3, 1) noktasındaki gradienti ( f) 1 i3 j3 k p olur. Buradan ( f) p u bulunur. Çok Değişkenli Fonksionlarda Maksimum ve Minimum z = f(, ) fonksionu (a, b) noktasında sürekli ve ikinci mertebeden kısmi türeve sahip olsun. i) f(a,b) f(a,b) 0 olmak üzere, f (a,b) f (a,b) f (a,b) 0 ise (a, b) fonksionun eer noktasıdır. ii) f (a,b) f (a,b) f (a,b) 0 ve f (a,b) 0 ise (a, b) fonksionun bir erel minimum noktasıdır. iii) f (a,b) f (a,b) f (a,b) 0ve f (a,b) 0 ise (a, b) fonksionun bir erel maksimum noktasıdır. Örnek: f(, ) = fonksionunun erel ekstremum noktalarını bulalım f(,) 13 0 f(,) = 64 = 0, = 4 = 0, = 4 olacağından kritik noktalar A(0, 0) ve B(4, 4) tür. f (,) 6 f (,) 6 f (,) 1 A(0, 0) noktası için f f f olduğundan A eer noktasıdır. ve f 0 olduğundan B erel maksimum noktasıdır. B(4, 4) noktası için f f f ( 4).( 4)

13 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Test f() ln(4 ) fonksionunun tanım kümesinin kartezen koordinatlardaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?. Aşağıdakilerden hangisi 3. f(, ) = + fonksionunun sevie eğrilerinden biri olamaz? A) 0 B) 1 C) D) 4 E) 9 f(,) n0 eğrisinin A(, 3) noktasından geçen sevie eğrisinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = 3 B) 4 = 9 C) 3 = n D) = E) = 4. cos (,) (0,0) 1 itinin değeri kaçtır? A) -1 B) 0 C) 1 5. (,) (0,0) 6. itinin eşiti nedir? 1 arctan A) - B) C) 0 D) 3 9 (,) (0,0) D) 1 E)Yoktur itinin değeri kaçtır? E) A) -6 B) -3 C) 0 D) 3 E) 6 33

14 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Test (,) (1,) (,) (0,0) 4 ( ) itinin değeri kaçtır? itinin eşiti nedir? A) 0 B) 1 (,) (3, 1) itinin değeri kaçtır? C) 1 D) E) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 (,) (0,0) A) 0 B) 1 C) D) 4 E) Yoktur itinin eşiti nedir? A) 0 B) 1 C) 1 D) E) 3 A) 0 B) 1 C) D) 4 E)Yoktur (,) (0,0) itinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Yoktur sin( ), (,) (0,0) ise f(,) m, (,) (0,0) ise fonksionu R de sürekli olduğuna göre, m kaçtır? 333

15 Analiz Çözümler Test şeklinde olmalıdır. a a 9 A 3, için a Cevap C Cevap D cos 1 1 n 1 arctan n 1 arctan arctan 0 3 9,0, ,0, ,0,0 6 Cevap D Cevap D Cevap A Cevap B 334

16 Analiz Çözümler Test ,1, 4,1, 1 1 1,1, 4 3 3,1, 3,1, ,1,,0,0 Cevap B Cevap D rcos azılırsa rsin rcosrsin,0,0 r cos r sin r cos.sin,0,0 r r cos.sin 0,0,0 II. ol m olsun.m,0,0 m m m 0,0,0, 0,0 1m 1m Cevap A 10. m olsun. 4 4 m,0,0 4 4 m m,0,0 1 m it oktur. m değeri değiştikçe it değeri değişeceğinden it oktur. 11. m olsun. 1. 1,0,0m,0,0m Cevap E m değeri değiştikçe it değeri değişeceğinden it oktur. sin 1,0,0 m 1 için süreklidir. Cevap E Cevap C 335

17 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Konu Tarama Testi f(,) 4. sin( ) (,) (0,0). 3. fonksionunun tanım kümesinin kartezen koordinatlardaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir? f(,) 9 Fonksionunun A( 3, 3) noktasından geçen sevie eğrisi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9 itinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 4 E)Yoktur e sin itinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? (,) (0,0) A) 0 B) 1 C) 1 D) E)Yoktur itinin değeri kaçtır? A) - B) -1 C) 0 D) 1 E) (,) (0,0) 3 itinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 (,) (0,0) C) 1 D) E)Yoktur

18 Analiz Çok Değişkenli Fonksionlar Konu Tarama Testi z, (,) (0,0) ise f(,) eğrisinin P(1, 1, 1) noktasındaki gradient a, (,) (0,0) ise vektörü aşağıdakilerden hangisidir? fonksionu R de sürekli olduğuna göre, a A) 3i j k B) 3i j k kaçtır? A) 0 B) 1 C) i jk D) i 3j k C) 1 D) E) 4 E) i j k z fonksionu için I. z z z II. zdz = d + d III. z z argılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III f(,) () n0 1 fonksionu için f, 3 kaçtır? A) 4 9 n 11. A(-1, 1, ) ve B(1,, 0) noktaları için f(,, z) = + z + z fonksionunun AB önündeki türevinin A noktasındaki değeri kaçtır? 8 A) B) -1 C) 1 D) E) f(, ) = fonksionunun erel maksimum noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) (0, 0) B) (1, 0) C) (0,) B) 1 C) D) 1 E) 3 D) (, ) E) (1, ) 3 341

19 Analiz Çözümler Konu Tarama Testi 19 f, eşitsizliğini A seçeneği sağlar.. f 3, f, sin 0 e e.1 1,0,0 Cevap A Cevap D Cevap D 0.1 0, 0,0 sin, 0,0 ain Cevap A 5. m olsun. 6. m,0,0 m 1 m,0,0 1 m 0,0,0 m Cevap A 1,0,0 4 4, 0,0 4 m m 1 m değeri değiştikçe it değeri de değişir. Dolaısıla it oktur. 7. rcos rsin rcosr sin,0,0 r r cos.sin 0,0,0 a 0 için R de süreklidir. Cevap E Cevap A 34

20 Analiz Çözümler Konu Tarama Testi I) Z z z.z.z II) d d d z.dz.d d. III) z..z z. z z f, f, 1 f, f, f 3 i 3 j k f 3ij 1k p Cevap E Cevap E Cevap B 11. f z 1. f z fz AB,1, birim vektör değil 1 u,, f zi A zjk f 3i j A 1 f u A f 63 0 f , 0, Cevap E A 0,0 noktası için f 0 f 0 f 6 0 f 6 f 6 0 f.f f A 0,0 eğer noktasıdır. B, noktasıiçin f 1 f 1 f.f f B, fonksionunu erel minimum noktasıdır. Cevap D 343