CEBRSEL TOPOLOJ II Prof. Dr. smet KARACA Yüksek Lisans Ders Notlar
çindekiler 1 SNGÜLER KOMPLEKS VE HOMOLOJ 2 1.1 Eilenberg-Steenrod Aksiyomlar.............. 9 1.2 Hurewicz Teoremi....................... 18 2 UZUN TAM DZLER 22 2.1 Comp Kategorisi........................ 22 2.2 Tam Homoloji Dizileri.................... 28 2.3 Relatif Homoloji........................ 31 2.4 ndirgenmi³ Homoloji..................... 36 3 EXCISION VE UYGULAMALARI 38 3.1 Excision ve Mayer-Vietoris................. 38 3.2 Kürenin Homolojisi Ve Baz Uygulamalar........ 41 3.3 Euclid Uzayna Uygulamalar................ 42 3.4 Simpleksler Homoloji..................... 48 3.5 Euler Karakteristi i...................... 50 4 TENSÖR ÇARPIMI 52 5 EVRENSEL KATSAYILAR 57 5.1 Eilenberg-Zilber Teoremi ve Künneth Formülü..... 60 6 CW KOMPLEKSLER 62 6.1 Hausdor Bölüm Uzaylar.................... 62 6.2 Ekli Hücreler........................... 64 6.3 Homoloji ve Ekli Hücreler.................... 67 6.4 CW Kompleksler......................... 74 6.5 Cellular(Hücresel) Homoloji................... 91 7 KOHOMOLOJ 106 7.1 Kohomoloji Aksiyomlar................... 111 1
7.2 Kohomoloji çin Evrensel Katsay Teoremi........ 112 8 Kohomolojide Çarpmlar 115 8.1 Cross Çarpm........................... 115 8.1.1 Steenrod Karelerinin n³as, Aksiyomlar ve Özellikleri 124 9 mod 2 STEENROD CEBR ve DUAL 139 9.1 Steenrod Cebiri ve Hopf Cebiri Yaps.............. 139 9.1.1 Steenrod Cebiri...................... 139 9.1.2 Steenrod Cebirinin Kö³egen Dönü³ümü......... 143 9.1.3 Hopf Cebiri Yaps.................... 144 10 Steenrod Cebirinin Duali ve Polinom Cebiri Yaps 146 10.0.4 Steenrod Cebirinin Duali................. 146 10.0.5 Polinom Cebiri Yaps.................. 148 10.0.6 Steenrod Cebirinin Dualinin Kö³egen Dönü³ümü ve Milnor Baz.......................... 148 10.0.7 Steenrod Cebirinin Dualinin Kö³egen Dönü³ümü.... 150 10.0.8 Milnor Baz........................ 153 2
Bölüm 1 SNGÜLER KOMPLEKS VE HOMOLOJ Tanm 1.0.1. n = [e 0, e 1,..., e n ] standart n-simpleks olsun. Bu simpleksin kö³eleri üzerinde lineer (tam) sralama varsa n ye yönlü simpleks denir. Oryantasyon kö³eler üzerindeki turun yönünü verir. Örne in 2 2-simpleksinin e 0 < e 1 < e 2 oryantasyonu saat yönünün tersi yönündedir. Tanm 1.0.2. n standart n-simpleks olsun. e 0, e 1,..., e n noktalar üzerinde olu³turulan permütasyon gruplarnn derecesi ya her ikisi çift ya da her ikisi tek ise n üzerinde olu³turulan iki oryantasyon ayndr denir. Aksi halde iki oryantasyon zttr denir. n in verilen bir oryantasyonu için ( 1) i [e 0, e 1,..., e n ] [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ] olmak üzere i. yüzü oryante ederek tanmlanan yüzlerin bir üretilen oryantasyonu vardr. 3
2 standart 2-simpleksini alalm. 2 nin snr: 2 = [e 0, e 1 ] [e 1, e 2 ] [e 0, e 2 ] = [e 0, e 1, ê 2 ] [ê 0, e 1, e 2 ] [e 0, ê 1, e 2 ] 2 nin oryantl snr: [ê 0, e 1, e 2 ] ( [e 0, ê 1, e 2 ]) [e 0, e 1, ê 2 ] = [e 1, e 2 ] [e 2, e 0 ] [e 0, e 1 ] Standart n-simpleksin snr: n = ([e 0, e 1,..., e n ]) = Standart n-simpleksin oryantl snr: n = n [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ] i=0 n ( 1) i [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ] i=0 Tanm 1.0.3. X bir topolojik uzay ve n standart n-simpleks olmak üzere, σ : n X sürekli dönü³ümüne X üzerinde singüler n-simpleks denir. Singüler 0-simpleks, σ : 0 X; X de bir nokta, singüler 1-simpleks, σ : 1 X; X de bir yoldur. Tanm 1.0.4. X bir topolojik uzay olsun. n 0 için S n (x); bazlar X üzerindeki singüler n-simpleks olan serbest abel gruptur. n < 0 için S n (x) = 0 kabul edilir. S n (x) in elemanlarna X de n-zincir denir. Singüler n-simpleksin oryantl snr: z S n (x) z = c 1 σ 1 +... + c k σ k n ( 1) i (σ [e 0, e 1,..., ê i,..., e n ]) i=0 Tanm 1.0.5. ε i = ε n i : n 1 n (e 0, e 1,..., e n ) ε n i (e 0, e 1,..., e n ) = (e 0, e 1,..., e i 1, 0, e i,..., e n 1 ) dönü³ümüne i. yüz dönü³ümü denir. Örnek 1.0.1. ε 2 i : 1 2 yüz dönü³ümü için ³eklindedir. ε 2 0(e 0, e 1 ) = [e 1, e 2 ] ε 2 1(e 0, e 1 ) = [e 0, e 2 ] ε 2 2(e 0, e 1 ) = [e 0, e 1 ] 4
Tanm 1.0.6. σ : n X bir singüler n-simpleks olsun. n : S n (X) S n 1 (X) σ n (σ) = n ( 1) n σε n i i=0 dönü³ümüne σ singüler n-simpleksinin snr denir. n 1 Not 1.0.1. 1) n = 0 0 (σ) = 0 ε n i n σ X 2) X = n ve δ : n n birim ise n (σ) = n ( 1) i σε n i = i=0 n ( 1) i ε n i i=0 Teorem 1.0.1. n 0 olmak üzere X deki her σ n-simpleksi için bir tek homomorzmi vardr. n : S n (X) S n 1 (X) diferansiyeli denir. n : S n (X) S n 1 (X) n (σ) n (σ) = ( 1) i σ ɛ n i i=0 homomorzmine snr operatörü ya da snr Tanm 1.0.7. {S n (X)} n=0, n : S n (X) S n 1 (X) olmak üzere serbest abel grup ve S n (x) n S n 1 (x) n 1 S 1 (x) 1 S 0 (x) 0 snr homomorzm dizisine X uzaynn singüler zincir kompleksi denir ve (S (X), ) ile gösterilir. 5
Lemma 1.0.1. k < j olmak üzere ɛ n+1 j ɛ n k = ɛn+1 k ɛ n j 1 dir. spat: n 1 ε n k n εn+1 j n+1 [e 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, 0,, e n 1 ] n 1 εn j 1 n εn+1 k n+1 [e 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, e n 1 ] [e 0,, 0,, 0,, e n 1 ] Teorem 1.0.2. n 0 için n n+1 = 0 spat: S n+1 (X) n+1 S n (X) n S n 1 (X) n 1 σ n+1 (σ) n n+1 (σ) n+1 n n+1 (σ) = n ( ( 1) i σ ɛ n+1 = = i=0 j=0 n+1 i=0 i ) n n+1 ( 1) j ( ( 1) i σ ɛ n+1 i n j=0 i=0 ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j ɛ n j = ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j + i j j<i = ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j + i j j<i ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j ɛ n i 1 p = j, q = i 1 dersek = i j ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j + ( 1) p+q+1 σ ɛ n+1 p ɛ n q p q = (1 + ( 1)) i j ( 1) i+j σ ɛ n+1 i ɛ n j = 0 Tanm 1.0.8. 1. X deki n-devirlerin grubu 2. X deki n-snrlarn grubu Z n (X) = Ker n = {σ S n (X) n (σ) = 0} B n (X) = Im n+1 = { n+1 (σ) σ S n+1 (X)} 6
Not 1.0.2. Z n (X) ve B n (X), n 0 için S n (X) in alt gruplardr. Sonuç 1.0.1. Her X uzay ve n 0 için B n (X) Z n (X) S n (X) spat: β B n (X) ise, (B n (X) = Im n+1 ) α S n+1 (X) için n+1 (α) = β dr. n (β) = n ( n+1 (α)) = n n+1 (α) = 0 β Z n (X) dir. Dolaysyla B n (X) Z n (X). Tanm 1.0.9. Bir X topolojik uzaynn n.(singüler) homoloji grubu H n (X) = Z n(x) B n (X) = Ker n Im n+1 Z n + B n (X) yan kümelerine Z n in homoloji snf denir ve 'cls (Z n )' ile gösterilir. f : X Y sürekli fonksiyon olsun. σ : n X, X de bir singüler n-simpleks ise, bu durumda f σ, Y de singüler n-simplekstir. Gerçekten; n σ X f Y f σ Y de singüler n-simplekstir. Lineer geni³leterek bir f # : S n (X) S n (Y ) mσ σ f # ( m σ σ) = m σ (σ σ); m σ Z homomorzmini elde ederiz. Lemma 1.0.2. f : X Y bir sürekli fonksiyon ise, bu takdirde n 0 için f # n = n f # dr. Yani a³a daki diyagram de i³melidir; S n (X) n S n 1 (X) f # S n (Y ) f # n S n 1 (Y ) 7
spat: S n+1 (X) f # S n+1 (Y ) n+1 S n (X) f # n+1 S n (Y ) n S n 1 (X) f # n S n 1 (Y ) f # n (σ) = f # ( = n. n 1 n ( 1) i σ ɛ n i ) = i=0. n 1 n ( 1) i f # (σ ɛ n i ) i=0 m (σ ɛ n i )j(f # (σ ɛ n i )) ( 1) i i=0 j n = ( 1) i f σ ɛ n i S n 1 (Y ) i=0 n f # (σ) = n ( m σj f τ i ) = j = n f # = f # n elde edilir. n ( 1) i (f σ) ɛ n i S n 1 (Y ) Lemma 1.0.3. f : X Y sürekli bir fonksiyon ise, bu takdirde n 0 için f # (Z n (X)) Z n (Y ) ve f # (B n (X)) B n (Y ). spat: α Z n (X) ise n (α) = 0 i=0 n f # (α) = f # n (α) = f # (0) = 0 f # (α) Ker n = Z n (Y ) f # (Z n (X)) Z n (Y ) β B n (X) ise, γ S n+1 olmak üzere β = n+1 (γ). f # (β) = f # n+1 (γ) = n+1 f # (γ) I m n+1 f # (β) B n (Y ) f # (B n (X)) B n (Y ) 8
Teorem 1.0.3. n 0 için H n : T op Ab bir funktordur. spat: H n : T op Ab x H n (X) = Z n(x) B n (X) f H n (f) : H n (X) H n (Y ) H n (f) : H n (X) H n (Y ) z n + B n (X) H n (f)(z n + B n (X)) = f # (z n ) + B n (Y ) Not 1.0.3. clsz n clsf # (z n ) 1. H n (f)(clsz n +clsz n) = f # (z n +z n)+b n (Y ) = f # (z n )+f # (z n)+b n (Y ) = H n (f)(clsz n ) + H n (f)(clsz n) = H n (f) homomorzmadr. 2. H n (1 X ) = 1 Hn(X) midir? 1 X : X X H n (1 X ) : H n (X) H n (X) z n + B n (X) H n (1 X )(z n + B n (X)) = z n + B n (X) = 1 Hn(X)(z n + B n (Y )) 3. f : X Y ve g : Y Z sürekli dönü³ümler olmak üzere H n (g f) = H n (g) H n (f) midir? X f Y g Z H n (X) Hn(f) H n (Y ) Hn(g) H n (Z) H n (g f)(z n + B n (X)) = (g f) # (z n ) + B n (Z) = (g f) z n + B n (Z) H n (g) H n (f)(z n +B n (X)) = H n (g)(f z n +B n (Y )) = g (f z n )+B n (Z) e³itlikleri elde edilir. Sonuç 1.0.2. X ve Y homeomork ise, bu takdirde n 0 için H n (X) = H n (Y ) 9
spat: X Y gof = 1 x ve fog = 1 y olacak ³ekilde g : Y X sürekli fonksiyonu vardr. f X g Y X H n (X) H n(f) H n (Y ) H n(g) H n (X) 1 Hn(X) = H n (1 X ) = H n (g f) = H n (g) H n (f) H n (f) injektif 1 Hn(Y ) = H n (1 Y ) = H n (f g) = H n (f) H n (g) H n (f) sürjektif O halde, H n (f) izomorzmadr yani H n (X) = H n (Y ) dir. Not 1.0.4. 1. H n (X) homoloji grubu, X topolojik uzaynn bir invaryantdr. 2. n 0 için rankh n (X) de X topolojik uzaynn bir invaryantdr. Tanm 1.0.10. n 0 için rankh n (X) e X topolojik uzaynn n.betti says denir. (Burada rankh n (X), bazlarn eleman saysdr.) 1.1 Eilenberg-Steenrod Aksiyomlar 1. Homotopi Aksiyomu : f ve g homotop ise, H n (f) = H n (g). 2. Boyut Aksiyomu : X tek noktal uzay ise, n > 0 için H n (X) = 0. 3. Uzun Tam Dizi Aksiyomu : ksa tam dizi ise, 0 A f B g C 0 H n (A) Hn(f) H n (B) Hn(g) H n (C) n H n 1 (A) H n 1 (B) uzun tam dizisi vardr. (Burada n, ba lantl snr operatörüdür; n. boyuttan n 1. boyuta ba lant kurar.) 10
4. Excision Aksiyomu : U A olmak üzere U A X iken i : (X U, A U) (X, A) kapsama fonksiyonu i : H n (X U, A U) H n (X, A) izomorzmasn üretir. 5. Topolojik Toplam Aksiyomu : X λ, X in yol ba lantl bile³eni olsun. H n ( H n (X λ ) λ I X λ ) λ Teorem 1.1.1. X tek noktal uzay olmak üzere, n > 0 için H n (X) = 0 spat: n 0 için σ n : n X sürekli fonksiyonu vardr ve bu fonksiyon sabittir. S n (X) = σ n Z n : S n (X) S n 1 (X) σ n n (σ n ) = n n ( 1) i σ n ɛ n i = [ ( 1) n ]σ n 1 i=0 i=0 { 0, n tek ise = σ n 1, n çift ve pozitif S n+1 (X) n+1 S n (X) n S n 1 (X) n 1 S n 2 (X) n 2 S n 3 (X) n tek iken n = 0 n çift ve pozitif iken n izomorzmdir. imdi homoloji gruplarn hesaplayalm: n tek iken; n = 0 = Ker n = S n (X) n + 1 çift oldu undan n+1 izomorzmdir. I m n+1 = S n (X) = H n (X) = Ker n I m n+1 = S n(x) S n (X) = 0 n > 0 çift olsun. Bu durumda n izomorzmdir ve dolaysyla injektiftir. Yani Ker n = 0 dr. = H n (X) = Ker n I m n+1 = 0 I m n+1 = 0 Tanm 1.1.1. n 1 için H n (X) = 0 ise, X topolojik uzayna acyclic denir. Not 1.1.1. Tek noktal uzaylar acyclictir. 11
Teorem 1.1.2. X λ, X topolojik uzaynn yol bile³eni olmak üzere H n (X) = H n ( λ X λ ) H n (X λ ) spat: γ = m i σ i S n (X) olsun. Al³trma 1.24 ten I m σ i, X in bir i I tek yol bile³eni tarafndan içerilir. γ = γ λ, γ λ σ i leri içeren terimlerin λ Λ toplamdr ve burada I m σ i X λ dr. S n (X) S n (X λ ) λ Λ γ (γ λ ) dönü³ümü bir izomorzmdir. Not 1.1.2. γ acyclic γ λ acyclic. n (γ λ ) S n 1 (x λ ) oldu undan 0 = n (γ) = λ n (γ λ ) λ için n (γ λ ) = 0 θ n : H n (X) λ H n (X λ ) clsγ θ n (clsγ) = cls(γ λ ) dönü³ümü iyi tanmldr, üstelik bir izomorzmdir. Çünkü bu dönü³ümün tersi; φ n : λ H n (X λ ) H n (X) cls(γ λ ) cls( X λ ) dir. Not 1.1.3. X yol ba lantl olmasna ra men H n (X) hesaplamas genelde zordur. Teorem 1.1.3. 1. X bo³tan farkl, yol ba lantl uzay ise H 0 (X) Z. Ayrca x 0, x 1 X ise clsx 0 = clsx 1, H 0 (X) in üreteçleridir. 2. X herhangi bir topolojik uzay olmak üzere, {X λ : λ Λ} yol bile³enler ailesi iken H 0 (X), rank = cardλ olan bir serbest abel gruptur. 3. X ve Y yol ba lantl uzaylar ve f : X Y sürekli ise, f : H 0 (X) H 0 (Y ) homomorzmas, H 0 (X) in bir üretecini H 0 (Y ) nin bir üretecine götürür. 12
spat: 1. X bo³tan farkl, yol ba lantl uzay olsun. S 1 (X) 1 S 0 (X) 0 0 singüler kompleksini göz önüne alalm. 0 sfr dönü³ümü oldu undan Z 0 (X) = Ker 0 = S 0 (X) dir. Bu sebeple X teki her 0-zincir, 0- devirdir.(özel olarak x X için clsx H 0 (X)) B 0 (X) = I m 1 = { m x x S 0 (X) m x = 0}; m x Z oldu unu iddia ediyoruz. E er bu e³itlik varsa, θ : Z 0 (X) Z mx x m x ifadesini tanmlarz. Bu homomorzma sürjektiftir ve çekirde i Kerθ = I m 1 dir. I. izomorzm teoreminden γ = H 0 (X) = Z 0(X) Kerθ Z; Kerθ = B 0(X) = I m 1 k m i x i S 0 (X) olsun. m i = 0 oldu unu kabul edelim. Bir i=0 x X (X ) noktas seçelim ve i için X te x ten x i ye bir σ i yolunu seçelim. (X yol ba lantl) Buna göre 1 (σ i ) = σ i (e 1 ) σ i (e 0 ) = x i x (I = [0, 1] i, 1 = [e 0, e 1 ] ile belirlemi³tik). mi σ i S 1 (X) dir ve m i = 0 oldu undan 1 ( m i σ i ) = m i 1 (σ i ) = m i (x i x) = m i x i ( m i )x = γ Bu sebeple γ = m i x i = 1 ( m i σ i ) B 0 (X) dir... (1) Tersine γ B 0 (X) ise ; n j Z ve τ j X de 1-simpleks olmak üzere γ = 1 ( n j τ j ) dir. Böylece γ = n j (τ j (e 1 ) τ j (e 0 )), buradan her bir n j katsays iki defa ve zt i³aretli olarak gelir. O halde katsaylarn toplam sfr olur... (2) 13
(1) ve (2) den istenen e³itlik sa lanm³ olur. x 0, x 1 X olsun. X de x 0 dan x 1 e bir σ yolu vardr ve x 0 x 1 = 1 (σ) B 0 (X) x 1 +B 0 (X) = x 0 +B 0 (X) clsx 0 = clsx 1 dir. Son olarak, clsγ H 0 (X) in bir üreteci ise (burada γ = m i x i dir), bu durumda θ(γ) = m i = ±1. Gerekti inde γ ile γ yer de i³tirerek m i = 1 oldu unu kabul edebiliriz. x 0 X ise, γ x 0 B 0 (X) oldu undan γ = x 0 + (γ x 0 ) dr. (katsaylar toplam sfrdr) ve böylece istenildi i gibi clsγ = clsx 0 elde edilir. 2. Bir önceki teoremden ve 1 ³kkndan elde edilir. 3. 1 ³kkndan hemen ortaya çkar. π 0 ve H 0 funktorlarn kar³la³tralm: π 0 (X), X in yol bile³enlerinin kümesidir. H 0 (X) de ayn yapya sahiptir ve bundan bir serbest abel grup in³a eder. Lemma 1.1.1. A, X in bir alt uzay olmak üzere i : A X kapsama fonksiyonu olsun. Bu durumda n 0 için j : S n (A) S n (X) injektiftir. spat: γ = m i σ i S n (A) olsun. Tüm σ i lerin farkl oldu unu varsayabiliriz. γ Kerj ise, 0 = j (γ) = j ( m i σ i ) = m i j (σ i ) = m i (j σ i ) j σ i, σ i den farkl oldu undan tüm j σ i farkldr. O halde tüm i ler için m i = 0 olur. Buradan γ = m i σ i = 0 elde edilir ki j injektiftir. Tanm 1.1.2. m i 0 ve tüm σ i ler ayrk olmak üzere ζ = m i σ i S n (X) ise, bu durumda ζ nn destekleyicisi supp ζ ile ifade edilen σ i ( n ) dir. supp ζ, X in kompakt alt kümesidir çünkü kompakt alt kümelerin sonlu birle³imine e³ittir. Teorem 1.1.4. (Kompakt Destekler) clsζ H n (X) ise, bu durumda i : A X kapsama fonksiyonu olmak üzere X in clsζ ile birlikte bir kompakt A alt uzay vardr. 14
spat 1.1.1. A = supp ζ olsun. ζ = m i σ i ise i için σ i = j σ i, σ i : n A yazabiliriz. γ = m i σ i S n (A) ³eklinde tanmlansn. j n (γ) = n j (γ) = n (j) = 0 j injektif oldu undan n (γ) γ Z n (A) Dolaysyla clsγ H n (A) ve j (cls(γ)) = clsζ dr. Sonuç 1.1.1. X, her kompakt A alt uzay için n 0 iken H n (A) = 0 olacak ³ekilde bir uzay ise, bu durumda H n (X) = 0 dr. spat: clsξ H n (X) olsun. Bir önceki teoremden X in kompakt alt uzay A nn var oldu unu belirtir ve ayrca clsγ H n (A) [j (clsγ) = clsξ] Buna göre hipotezden H n (A) = 0, dolaysyla clsγ = 0 = clsξ = 0 elde edilir ki böylece H n (X) = 0 dr. Teorem 1.1.5. Tüm p ler için (λ p : X p X ve ϕ p : X p X p+1 ) X p X p+1 olmak üzere X = X p olsun. X in her kompakt A alt uzay p=1 bir X p de içeriliyor ise, bu durumda clsξ H n (X) n sfr olmas için gerek ve yeter ³art λ p clsξ = clsξ ve ϕ p clsξ = 0 olacak ³ekilde p ve clsξ H n (X p ) nn var olmasdr. X p+1 ϕ λ p p+1 X p X λ p 15
Homotopi Aksiyomu Teorem 1.1.6. X, Euclid uzayn snrl konveks alt uzay ise n 1 için H n (X) = {0}. Özel olarak n > 0 ve tüm k lar için H n (D k ) = {0} Hatrlatma : 1. X ise, H 0 (X) = Z 2. Bu teorem, daha sonra Euclid uzayn konveks alt kümesi ile büzülebilir uzay ifadelerinin yer de i³tirmesi ile ileriki bir sonuçta kullanlacaktr. Tanm 1.1.3. c n : S n (X) S n+1 (X) σ c n (σ) = bσ lineer geni³letme olarak da bilinir. c n e koni homomorzmas denir. Sonuç 1.1.2. 1. X konveks ve γ = m i σ i S n (X) olsun. b X ise, (bγ) = { γ b. γ, n > 0 ( m i ) b γ, n = 0 2. γ bir n-devir ve n > 0 ise, bu takdirde spat: (bγ) = (c n γ) = γ 1. n > 0 için homotopi aksiyomunun ispatnda mevcuttur. n = 0 durumunu inceleyelim: σ, 0-simpleks olsun. ile tanmlayalm. bσ : 1 X t bσ(t) = tb + (1 t)x S 1 (X) S 0 (X) bγ 1 (bγ) = 1 ( m i bσ i ) = m i 1 (bσ i ) = m i (b x i ) = ( m i )b m i x i = ( m i )b γ 16
2. γ, n-devir ise (γ) = 0 olur. O halde 1 de n > 0 için olan durumdan (bγ) = 0 elde edilir. Lemma 1.1.2. f, g : X Y sürekli fonksiyonlar olsun. f g = n+1p n + p n 1 n olacak ³ekilde p n : S n (X) S n+1 (Y ) homomorzmas var olsun. O zaman n 0 için H n (f) = H n (g) dir. spat:.. f # S n+1 (X) g # S n+1 (Y ) p n n+1 n+1 f # S n (X) g # S n (Y ) p n 1 n n f # S n 1 (X) S n 1 (Y ). n 0 için H n (f) : H n (X) H n (Y ) z + B n (X) H n (f)(z + B n (X)) = f (z) + B n (Y ) n z = 0. (z Ker n oldu undan) (f g )(z) = ( n+1 p n + p n 1 n )(z) = n+1p n (z) + p n 1 n (z) = n+1p n (z) B n (Y ) Böylece f (z) + B n (Y ) = g (z) + B n (Y ) H n (f) = H n (g). g # Hatrlatma : fadedeki denklem n = 0 için geçerlidir, S 1 (X) için sfr olarak tanmlanr. Böylece p 1 : S 1 (X) S 0 (Y ) sfr dönü³ümü olmaldr.. Lemma 1.1.3. X bir topolojik uzay ve i = 0, 1 için λ x i : X X I ³eklinde tanmlansn. x (x, i) 17
H n (λ x 0) = H n (λ x 1) : H n (X) H n (X I) ise, f, g : X Y homotopik iken H n (f) = H n (g) dir. spat: F : X I Y, f g olacak sekilde bir homotopi olsun. Bu durumda f = F λ x 0 ve g = F λ x 1 Bu sebeple, H n (f) = H n (F λ x 0) = H n (F )H n (λ x 0) = H n (F )H n (λ x 1) = H n (F λ x 1) = H n (g) Teorem 1.1.7. (Homotopi Aksiyomu) f, g : X Y olmak üzere f g ise, H n (f) = H n (g). Sonuç 1.1.3. 1. X ve Y ayn homotopi tipine sahip ise, H n (X) = H n (Y ) 2. X büzülebilir ise n 1 için H n (X) = 0 spat: 1. X ve Y ayn homotopi tipine sahip olsun; yani g f 1 x ve f g 1 y olacak ³ekilde g : Y X vardir. Bu durumda teoremden H n (g f) = H n (1 x ) H n (g) H n (f) = H n (1 x ) = 1 Hn(X) H n (f) injektif H n (f g) = H n (1 y ) H n (f) H n (g) = H n (1 y ) = 1 Hn(Y ) H n (f) sürjektif = H n (f) izomorzmdir. = H n (X) = H n (Y ) 2. X büzülebilir oldu undan 1 x c x0 1 x c x0 H n (1 x ) = H n (c x0 ) H n (c x0 ) = 1 Hn(X) : H n (X) H n (X) X büzülebilir ise X ve {x 0 } tek noktal uzay ayn homotopi tipine sahiptir. O halde (1) den H n (X) = H n ({x 0 }) = 0; n 1. 18
1.2 Hurewicz Teoremi Lemma 1.2.1. ζ : 1 I (1 t)e 0 + te 1 t homeomorzm olsun. Bu takdirde iyi tanml bir ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) [f] clsf ζ fonksiyonu vardr. Burada f : I X, x 0 da bir looptur. spat: f ζ, X de bir 1-simplekstir. Dolaysyla f ζ S 1 (X). 1 (f ζ ) = f ζ (e 1 ) f ζ (e 2 ) = f(1) f(0) = 0 Dolaysyla f ζ Ker 1 = Z 1 (X). Ayn zamanda clsf ζ H 1 (X) u : I S 1 t u(t) = e 2πti ise, u ζ S 1 de 1-devirdir. u I S 1 f f x f u = f olacak ³ekilde bir f : S 1 X vardr. Böylece f, homomorzmini üretir. Buradan f = H n (f ) : H 1 (S 1 ) H 1 (X) cls( m i σ i ) cls( m i (f σ i )) cls(f ζ ) = cls(f u ζ ) = H 1 (f )cls(u ζ ) H 1 (X). [f] = [g] = f g (Ayrca f g ) cls(f ζ ) = H 1 (f )(cls(u ζ )) = H 1 (g )(cls(u ζ )) = cls(g ζ ) ϕ iyi tanmldr. Tanm 1.2.1. ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) [f] cls(f ζ ) 19
ile tanmlanan fonksiyona Hurewicz fonksiyonu denir. Teorem 1.2.1. ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) Hurewicz fonksiyonu bir homomorzmdir. spat: f ve g, x 0 da iki loop olsun. ϕ([f] [g]) = ϕ([f]) + ϕ([g])? σ : 2 X sürekli fonksiyonunu ³ekildeki gibi tanmlayalm: 2 üzerinde σ y ³u ³ekilde tanmlayalm: σ(1 t, t, 0) = f(t); σ(0, 1 t, t) = g(t); σ(1 t, 0, t) = f g(t) 2 nin tamam üzerinde σ y, uç noktalar a = a(t) = (1 t, t, 0) ve b = b(t) = ( 2 t, 0, t ) olan 2 2 do ru boyunca sabit uç noktalar c = c(t) = (0, 1 t, t) ve d = d(t) = ( 1 t 1+t, 0, ) olan 2 2 do ru boyunca tanmlayalm. σ : 2 X süreklidir, yani σ S 2 (X). Üstelik σ = σɛ 0 σɛ 1 + σɛ 2. Fakat σɛ 0 (t) = σ(0, 1 t, t) = g(t), σɛ 1 = f g ve σɛ 2 = f böylece σ = g f g + f dir. Bu sebeple ϕ([f] [g]) = ϕ([f g]) = cls(f g) ζ = cls(f+g) ζ = clsf ζ +clsg ζ = ϕ([f])+ϕ([g]) Lemma 1.2.2. (Substitution Prensibi) F, baz B olan bir serbest abel grup ve B nin elemanlar x 0, x 1,, x k olsun. m 0 x 0 = k m i x i, i=1 20 m i Z
oldu unu kabul edelim. G herhangi bir abel grup ve x i = x j iken y i = y j olacak ³ekilde y 0, y 1,, y k G ise, m 0 y 0 = k m i y i G i=1 spat: f : B G fonksiyonunu { f(xi ) = y f = i, i = 0, 1,, k ise f(x) = 0, di er durumlarda ile tanmlayalm. (f iyi tanmldr) Teorem 4.1 den f nin geni³lemesi olan bir f : F G homomorzmas vardr. Fakat 0 = f(m 0 x 0 m i x i ) = m 0 y 0 m i y i. Teorem 1.2.2. (Hurewicz) X yol ba lantl olsun. Bu durumda çekirde i π 1 (X, x 0 ) olmak üzere ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) sürjektif homomorzmi vardr. Ayrca H 1 (X) = π 1(X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) (Burada π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 ) n komütatör alt grubudur) komütatör alt grup Not 1.2.1. [x, y] : {xyx 1 y 1 x, y G} nin üretti i alt gruba, komütatör alt grup denir. Sonuç 1.2.1. 1. H 1 (S 1 ) = Z 2. X basit ba lantl ise, H 1 (X) = 0 spat: 1. ϕ : π 1 (S 1, x 0 ) H 1 (S 1 ) S 1 yol ba lantl oldu undan π 1 (S 1, x 0 ) Kerϕ = H 1 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) = π 1 (S 1, x 0 ) = Z 21
2. ϕ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X) X basit ba lantl oldu undan π 1 (X, x 0 ) = 0 dr. Dolaysyla H 1 (X) = π 1(X, x 0 ) Kerf = 0 Kerf = 0 = H 1 (X) = 0 dr. Tanm 1.2.2. Bir X uzayndaki bir çokgen (polygon), tüm i ler için σ i (e 1 ) = σ i+1 (e 0 ) olmak üzere π = k i=0 σ i 1-zinciridir. 22
Bölüm 2 UZUN TAM DZLER 2.1 Comp Kategorisi Tanm 2.1.1. Bir zincir kompleks, {S n } abel gruplar ve n n+1 = 0 özellikli n : S n S n 1 homomorzmler dizisidir. n+1 S n+1 n Sn Sn 1 ; n Z Zincir kompleksi (S, ) ile gösterilir. n homomorzmi; derecesi n olan diferansiyel, S n ; derecesi n olan terim olarak adlandrlr. n n+1 = 0 Im n+1 Ker n. Tanm 2.1.2. 1. A f B g C Kerg = Imf ise, bu homomorzm dizisi B de tamdr denir. iki homomorzm dizisi olsun. E er 2. Abel gruplarn ve homomorzmlerin zincir kompleks dizisi n+1 S n+1 n Sn Sn 1 olmak üzere bu homomorzm dizisi her S n abel grubunda tam ise, bu homomorzm dizisine tamdr denir. Yani n Z için Im n+1 = Ker n dir. Tanm 2.1.3. (S, ) bir zincir kompleks olsun. Z n (S, ) = Ker n n- devirliler grubu, B n (S, ) = Im n+1 n-snrllar grubu olmak üzere H n (S, ) = Z n(s, ) B n (S, ) (S, ) zincir kompleksinin n.boyuttaki homoloji grubu denir. 23
Not 2.1.1. z n Z n ise, z n + B n H n, z n nin homoloji snfdr ve clsz n ile ifade edilir. Teorem 2.1.1. (S, ) zincir kompleksin tam olmas için gerek ve yeter ³art n için H n (S, ) = 0 olmasdr. spat: (Z n = B n Ker n = Im n+1 ) ( ) (S, ) zincir kompleksi tam ise Ker n = Im n+1 dir. Bu durumda H n (S, ) = Z n(s, ) B n (S, ) = Ker n Im n+1 = 0 ( ) H n (S, ) = 0 Z n (S, ) = B n (S, ) Ker n = Im n+1 (S, ) zincir kompleksi tamdr. Not 2.1.2. Böylelikle homoloji gruplar, bir kompleksin bir tam dizisi olmaktan sapmasn ölçer. Bu teoreme göre, bir tam dizi ayrca bir acyclic kompleks olarak adlandrlr. Tanm 2.1.4. (S, ) ve (S, ) iki zincir kompleks ise, a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde homomorzmlerin bir {f n : S n S n } dizisine (S, ) ve (S, ) zincir kompleksleri arasndaki zincir dönü³ümü denir:... S n+1 n+1 S n n S n 1... f n+1 f n f n 1... S n+1 n+1 S n n S n 1... n Z için n f n = f n 1 n f : X Y sürekli ise, f bir f : S (X) S (Y ) zincir dönü³ümünü üretir. Tanm 2.1.5. Tüm kompleksler ve zincir dönü³ümleri 'Comp' ile gösterilen bir kategori olu³turur. Comp:Zincir kompleks kategorisi Objeleri : Zincir kompleksler Morzmleri : Zincir dönü³ümleri ³lem : Zincir dönü³ümlerin bile³kesi ({g n } {f n } = {g n f n }) Comp kategorisi ³u özelli e sahiptir: 24
Komplekslerin her S ve S ikilisi için Hom(S, S ) bir abel gruptur. f = {f n } ve g = {g n } Hom(S, S ) ise, bu takdirde f + g, n.dereceden terimi f n + g n olan bir zincir dönü³ümdür. S funktorunu inceleyelim: S : T op Comp x (S (X), ) f f Ayrca n Z için bir H n funktoru vardr: H n : Comp Ab S H n (S ) = Zn(S ) B n(s ) f H n (f) : clsz n clsf n (z n ) H n iyi tanml bir funktordur. H n (f) yerine f da yazlabilir. Her bir H n : T op Ab (n 0) homoloji funktoru, yukardaki iki funktorun T op Comp Ab bile³kesidir. Teorem 2.1.2. n Z için H n : Comp Ab toplamsal bir funktordur; yani f, g Hom(S, S ) ise, H n (f + g) = H n (f) + H n (g) Tanm 2.1.6. 0, ya tüm S n terimleri sfr oldu unda sfr kompleksi ya da tüm f n terimleri sfr oldu unda sfr zincir dönü³ümünü ifade eder. Buradan H n (0) = 0 oldu u görülür. Comp kategorisi Ab kategorisine çok benzer. Comp da alt grup, bölüm grubu, 1.izomorzm teoremi ve bunun gibi kavramlara çok benzer kavramlar vardr. Dolaysyla bir kompleksi bir abel grup gibi dü³ünebiliriz. Tanm 2.1.7. n için S n, S n nin bir alt grubu ve n = n S n ise, (S, ) zincir kompleksine (S, ) nin alt zincir kompleksi denir. Bu tanmn di er iki ifadesi de a³a daki gibidir: 1. i n : S n S n kapsama dönü³ümü olmak üzere n için a³a daki diyagram de i³melidir: S n n S n 1 i n i n 1 S n n S n 1 25
2. i = {i n } ise, i : S S bir zincir dönü³ümüdür. Tanm 2.1.8. (S, ), (S, ) nn bir alt zincir kompleksi olsun. J n : S n /S n S n 1 /S n 1 olmak üzere S n /S n s n + S n n (s n ) + S n 1 ifadesine bölüm zincir kompleksi denir. n Sn 1 /S n 1 ( n (S n) S n 1 oldu undan iyi tanmldr.) Tanm 2.1.9. f : (S, ) (S, ) bir zincir kompleksi olsun. Kerf, n = n /Kerf n olmak üzere S n alt kompleksidir. Imf, = /Imf n olmak üzere S Tanm 2.1.10. A q+1 n Kerf n Kerf n 1 nün alt kompleksidir. Imf n n Imf n 1 f q+1 A q f q A q 1 komplekslerin ve zincir dönü³ümlerin bir dizisi olsun. Imf q+1 = Kerf q ( q için) ise, bu zincir kompleksine tamdr denir. 0, sfr kompleksi ifade etmek üzere 0 S i p S S 0 26
formundaki bir tam diziye komplekslerin bir ksa tam dizisi denir.... 0 S n+1 S n+1 S n+1 0 0 S n S n S n 0 0 S n 1 S n 1 S n 1 0... Satrlarda tam dizidir. Sütunlarda ise komplekslerdir. Tanm 2.1.11. S ve S, S n alt zincir kompleksi olsun. S S, n.terimi S S olan S n alt kompleksidir; S + S, n.terimi S + S olan S n alt kompleksidir. Tanm 2.1.12. {(S λ, λ ) λ Λ} zincir komplekslerin bir ailesi olsun. s λ n Sn λ için n = n λ : s λ n n(s λ λ n) λ λ λ olmak üzere onlarn direkt toplam Sn+1 λ Sn λ Sn 1 λ λ λ λ kompleksidir. Alt kompleksler için oldukça kullan³l olan bir örnek verelim: A X ve i : A X kapsama dönü³ümü ise, n için j : S n (A) S n (X) injektiftir. Buna göre, komplekslerin 0 S (A) S (X) S (X)/S (A) 0 ksa tam dizisi vardr. 27
A 1 ve A 2, X in alt uzaylar olmak üzere S (A 1 ) ve S (A 2 ), S (X) in iki alt kompleksi olsun. Bu durumda, S (A 1 ) S (A 2 ) = S (A 1 A 2 ) X uzay, yol bile³enlerinin ayrk birle³imine e³it olsun, yani X = X λ. Buna göre S (X λ ), S (X) in bir alt kompleksidir ve S (X) = λ S (X λ ) Tanm 2.1.13. f, g : (S, ) (S, ) iki zincir dönü³ümü olsun. n Z için n+1 p n + p n 1 n = f n g n olacak ³ekilde homomorzmlerin bir {p n : S n S n+1 } dizisi varsa f, g ye zincir homotoptur denir. p = {p n } e zincir homotopi denir... S f n+1 n+1 g n+1 S n+1 p n n+1 n+1 S fn n g n S n p n 1 n n S fn 1 n 1 g n 1 S n 1.. Tanm 2.1.14. f : (S, ) (S, ) zincir dönü³üm olsun. g f 1 S f g 1 S zincir denktir denir. ve olacak ³ekilde g : (S, ) (S, ) zincir dönü³ümü varsa f ye Homotopi ba nts, tüm S S zincir dönü³ümlerinin kümesi üzerinde bir denklik ba ntsdr. 1. f g olacak ³ekilde f, g : S S zincir dönü³üm- Teorem 2.1.3. leri ise n Z için H n (f) = H n (g) : H n (S ) H n (S ) 28
2. f : S S zincir denk ise, n Z için H n (f) : H n (S ) H n (S ) bir izomorzmdir. Tanm 2.1.15. (S, ) bir zincir kompleks olsun n için n+1 c n + c n 1 n = 1 Sn olacak ³ekilde c = {c n : S n S n+1 } homomorzm dizisine (S, ) zincir kompleksin büzülme homotopisi denir. Yani büzülme homotopisi, S n birim dönü³ümü ile S üzerindeki sfr dönü³ümü arasndaki bir zincir homotopidir. Sonuç 2.1.1. Bir S kompleksinin büzülme homotopisi var olsun. O zaman S acyclic'tir; yani n için H n (S ) = 0; yani S bir tam dizidir. 2.2 Tam Homoloji Dizileri Lemma 2.2.1. Komplekslerin bir ksa tam dizisi ise, o zaman n için 0 (S, ) i p (S, ) (S, ) 0 n : H n (S ) H n 1 (S ) clsz n clsi 1 n 1 n p 1 n z n ³eklinde tanml bir homomorzm vardr. (Buna ba layc homomorzma denir.) spat: i ve p zincir dönü³ümleri ise, satrlar tam olan a³a daki diyagram de i³melidir: 0 S n S n p n S n 0 n 0 S n 1 0 S n 2 n 1 i n 1 n S n p n 1 n 1 S n n n 1 S n 2 p n S n 2 0 0 29
z Z n oldu unu kabul edelim, bu durumda (z ) = 0 Dizi tam oldu undan p sürjektiftir, p sürjektif oldu undan z n s n S n vardr. n (s n ) S n 1 için Diyagramn komütatii inden p n 1 n (s n ) Ker(S n 1 S n 1) = Im(i n 1 ) i n 1 (S n 1) n (s n ) anlam vardr. i ler injektif oldu undan i n 1 (s n 1) = (s n ) olacak ³ekilde s n 1 S n 1 vardr ve tektir. p sürjektif oldu undan z n için σ n S n vardr. σ n 1 S n 1 var öyle ki i n 1 (σ n 1) = n (σ n ) s n σ n Kerp n = Imi n s n 1 σ n 1 = nx n B n 1 olacak ³ekilde x n S n vardr. Z n S n 1/B n 1 iyi tanml homomorzmas vardr. Bu dönü³üm B n i 0'a götürmektedir. S n 1 = i 1 n p 1 z devirdir. Bu formül dönü³ümünü verir. H n (S ) H n 1 (S ) z n + B n z n 1 + B n Teorem 2.2.1. (Tam Üçgen) Komplekslerin bir ksa tam dizisi olsun. O zaman H n (S, ) uzun tam dizisi vardr. 0 (S, ) i p (S, ) (S, ) 0 i Hn (S, ) p H n (S, d ) H n 1 (S, ) H n 1 (S, ) spat: 1. kerp imi 30
2. imi kerp 3. imp kerd 4. kerd imp 5. imd keri 6. keri imd oldu unu göstererek ispat tamamlanr. 1. imi kerp p i = (pi) = 0 = 0 dan elde edilir. 2. kerp imi p (z + B) = pz + B = B ise, pz = s. p sürjektif oldu undan s = p(s) = p(z) = (p(s)) = p (s) = p(z s) = 0. Dizinin tam olmasndan i(s ) = z s olacak ³ekilde s vardr. s Z = i s = is = z s = 0 (z bir devir) oldu una dikkat edelim. i injektif oldu undan s = 0. Buradan i (s + B ) = is + B = z s + B = z + B 3. imp kerd dp (z + B) = d(pz + B ) = i 1 p 1 (pz) + B d, liftingin seçminden ba msz oldu undan z = p 1 (pz) seçebiliriz, böylece i 1 p 1 (pz) = i 1 z = 0 dr. 4. kerd imp d(z + B ) = B = x = i 1 p 1 z B ve x = s ix = i s = is = p 1 z = (p 1 z is ) = 0 ve p 1 z is Z. Bu sebeple p (p 1 z is + B) = pp 1 z pis + B = z + B 5. imd keri i d(z + B ) = i (i 1 p 1 z + B ) = p 1 z + B = B 31
6. keri imd i (z + B ) = B = iz = s ve ps = p s = piz = 0 ve ps Z Fakat d(ps + B ) = i 1 p 1 ps + B = i 1 s + B = i 1 iz + B = z + B 2.3 Relatif Homoloji A, X in alt uzay olsun. ksa tam dizisi vardr. 0 S (A) i p S (X) S (X) S (A) 0 Tanm 2.3.1. H n (X, A) = H n ( S (X) ) n.relatif homoloji grubudur. S (A) Teorem 2.3.1. 1. A, X in bir alt uzay olsun. O zaman a³a daki uzun tam dizi vardr: H n (A) i Hn (X) p d H n (X, A) H n 1 (A) H n 1 (X) 2. f : (X, A) (Y, B) (yani f(a) B olacak ³ekilde f : X Y sürekli) olsun. A³a daki komütatif diyagram vardr.... H n (A) i H n (X) p H n (X, A) d H n 1 (A)... f n... H n (B) i f n H n (Y ) p f n H n (Y, B) f n d H n 1 (B)... Teorem 2.3.2. (Five Lemma) Satrlar tam olan a³a daki komütatif diyagram göz önüne alalm: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 f 1 f 2 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 f 3 f 4 f 5 32
1. f 5 injektif, f 2 ve f 4 sürjektif = f 3 sürjektif 2. f 1 sürjektif, f 2 ve f 4 injektif = f 3 injektif 3. f 1, f 2, f 4, f 5 izomorzm = f 3 izomorzmdir. Bölüm kompleksi S n(x) S n (A) γ S n (X) olsun. n S n 1 (X) S n 1 (A) n 1 S n 2 (X) S n 2 (A) (γ + S n (A)) = n (γ) + S n 1 (A) Ker n = {γ + S n (A) n (γ) S n 1 (A)} Im n+1 = {γ + S n (A) γ Im n+1 = B n (X)} Tanm 2.3.2. ModA ya göre relatif n-devir Z n (X, A) = {γ S n (X) n γ S n 1 (A)} = Ker n ModA ya göre relatif n-snr Im n+1 = B n (X, A) = {γ S n (X) γ γ B n (X); bir γ S n (A)} = B n (X) + S n (A) S n (A) B n (X, A) Z n (X, A) S n (X) Teorem 2.3.3. n 0 için H n (X, A) = Z n(x, A) B n (X, A) spat: Tanmdan H n (X, A) = ker n im n+1 33
Ker n = Z n(x, A) S n (A) Im n+1 = B n(x, A) S n (A) oldu undan 3. izomorzma teoremine göre (Z n (X, A) / / S n (A)) (B n (X, A) / S n (A)) = Z n (X, A) / B n (X, A) elde edilir. Teorem 2.3.4. X yol ba lantl ve A, X in bo³tan farkl bir alt kümesi ise, H 0 (X, A) = 0 dr. spat: x 0 A noktasn seçelim ve γ = m x x Z 0 (X, A) = S 0 (X) olsun. X yol ba lantl oldu undan x X için σ x (e 0 ) = x 0 ve σ x (e 1 ) = x ile tanml bir σ x : X yolu vardr. O zaman m x σ x S 1 (X) ve 1 ( m x σ x ) = m x 1 (σ x ) = m x (x x 0 ) = m x x ( m x )x 0 = γ ( m x )x 0 ( m x )x 0 = γ dersek, γ S 0 (X) dir; böylece γ γ = ( m x σ x ) B 0 (X) = γ B 0 (X, A) Buradan Z 0 (X, A) B 0 (X, A) olur. B 0 (X, A) Z 0 (X, A) her zaman sa - land ndan B 0 (X, A) = Z 0 (X, A). Teorem 2.3.5. {X λ : λ Λ} n 0 için H n (X, A) = λ H 0 (X, A) = Z 0(X, A) B 0 (X, A) = 0 X in yol ba lantl bile³enlerinin ailesi ise, H n (X λ, A X λ ) Sonuç 2.3.1. H 0 (X, A) serbest abel grup olsun. rank(h 0 (X, A)) = card{λ Λ : A X A = } Burada X λ, X in yol bile³enidir. 34
spat: Teorem 5.13 ten H 0 (X, A) = λ H 0 (X λ, A X λ ) E er A X λ = ise, H 0 (X λ, A X λ ) = H 0 (X λ, ) = H 0 (X λ ) = Z Di er taraftan A X λ olsun. Bu durumda H 0 (X λ, A X λ ) = 0 olur. (Teorem 5.12) Sonuç 2.3.2. Baz noktas x 0 olan bir uzay X ise, X r + 1 tane yol bile³ene sahip olmak üzere H 0 (X, x 0 ) rank r olan (muhtemelen sonlu) bir serbest abel gruptur. spat: Yol bile³enler iki³erli ayrk oldu undan x 0 içeren X λ0 yol bile³eni tektir ve böylece tüm λ λ 0 için {x 0 } X λ = olur. O halde H 0 (X λ0, x 0 ) = 0 iken tüm λ λ 0 için; H 0 (X λ, {x 0 } X λ ) = Z Teorem 2.3.6. X, x 0 baz noktal bir uzay olsun. n 1 için spat: Teorem 5.8 den H n (X, x 0 ) = H n (X) H n ({x 0 }) H n (X) H n (X, x 0 ) H n 1 ({x 0 }) dizisinin tam oldu unu biliyoruz. n 2 ise, n 1 > 1 dir. Boyut Aksiyomundan Dolaysyla H n (X) = H n (X, x 0 ) dr. n = 1 olsun. Bunun için H n ({x 0 }) = H n 1 ({x 0 }) = 0 H 1 ({x 0 }) H 1 (X) g H 1 (X, x 0 ) H 0 ({x 0 } h H 0 (X) k H 0 (X, x 0 ) 0 tam dizisini göz önünene alalm. H 1 ({x 0 }) = 0 oldu unu biliyoruz. Buradan g injektiftir. 35
Not 2.3.1. A f B g C h D tam dizi olsun. f sürjektif h injektif. Not'a göre g sürjektif h injektiftir. O halde h n injektif oldu unu gösterelim. H 0 ({x 0 }) = Z oldu unu biliyoruz. h 0 ise, h injektiftir. Di er taraftan Imh = Kerk oldu unu biliyoruz. Kerk 0 ise Imh 0. E er Kerh 0 olsayd Imh H 0 (X) = Z / Kerh Kerk 0 = Imh 0? H 0 (X) = Z 0(X) B 0 (X) Z 0(X) B 0 (X) + S 0({x 0 }) γ + B 0 (X) γ + B 0 (X) + S 0 ({x 0 }) Kerk = B 0(X) + S 0 ({x 0 }) B 0 (X) B 0 (X) i üreten elemanlar m x x dir ve m x = 0 özelli ine sahiptir. Dolaysyla Kerk 0 dr. Not 2.3.2. {x 0 } i X kapsama fonksiyonu gibi dü³ünülürse, bu durumda H 0 ({x 0 }) H 0 (X) dönü³ümü h 0 iken injektif olur. 36
2.4 ndirgenmi³ Homoloji Tanm 2.4.1. (S (X), ), X in singüler zincir kompleksi olsun. S 1 (X) = üreteci [, ] olan sonsuz devirli grup 0 : S 0 (X) S 1 (X) mx x 0 ( m x x) = ( m x )[, ] ile tanmlarsak, zincir kompleks S (X) : S n 1 (X) n 1 S n 2 (X) S 1 (X) 1 S 0 (X) 0 S 2 (X) 0 olup, 0 1 = 0 dr. S (X) zincir kompleksine augmented singüler kompleks denir. S 1 (X) = Z Tanm 2.4.2. H n (X) = H n ( S (X), ); n 0 homoloji grubuna, indirgenmi³ homoloji grubu denir. Teorem 2.4.1. n 0 için H n (X) = H n (X, x 0 ) spat: n 1 olsun. n = 0 olsun H n (X) = Ker n Im n+1 = Hn (X) = H n (X, x 0 ) 0 Ker 0 S 0 (X) 0 S0 1 (X) 0 α 0 (α) = 1 Bu durumda S 0 (X) = Ker 0 α yazabiliriz. 0 1 = 0 oldu undan B 0 (X) = Im 1 Ker 0. S 0 (X) = Z 0 (X) oldu undan H 0 (X) = Z 0(X) B 0 (X) = Ker 0 α B 0 (X) = Ker 0 B 0 (X) + Z = H 0 (X) + Z Sonuç 5.15 den H 0 (X) serbest abel gruptur ve H 0 (X) = H 0 (X, x 0 ) dr. 37
Sonuç 2.4.1. {X λ : λ Λ} X in yol bile³enlerinin ailesi olsun. x λ X λ seçelim. x 0 X, X λ0 yol bile³eni içinde ise H 0 (X), bazlar {cls(x λ x 0 ) λ λ 0 } olan serbest abel gruptur. Bu durumda S 0 (X) = Ker 0 α yazabiliriz. 0 1 B 0 (X) = Im 1 Ker 0. S 0 (X) = Z 0 (X) oldu undan = 0 oldu undan, H 0 (X) = Z 0(X) B 0 (X) = Ker 0 α B 0 (X) Sonuçtan (rankl ifade) H 0 (X) = H 0 (X, x 0 ) dir. = Ker n B 0 (X) + Z = H 0 (X) Z 38
Bölüm 3 EXCISION VE UYGULAMALARI 3.1 Excision ve Mayer-Vietoris Teorem 3.1.1. (Excision I) U A olmak üzere U A X olsun. kapsama fonksiyonu, n için izomorzmasn üretir. i : (X U, A U) (X, A) i : H n (X U, A U) H n (X, A) Teorem 3.1.2. (Excision II) X = X 1 X 2 olmak üzere X 1 ve X 2, X in alt kümeleri olsun. kapsama fonksiyonu, n için izomorzmasn üretir. j : (X 1, X 1 X 2 ) (X 1 X 2, X 2 ) = (X, X 2 ) j : H n (X 1, X 1 X 2 ) H n (X 1, X 2 ) Teorem 3.1.3. Excision I ve Excision II denktir. 39
Lemma 3.1.1. Satrlar tam ve her h n 3.dü³ey dönü³ümü bir izomorzm olan a³a daki komütatif diyagram göz önüne alalm.... i n p A n n B n d n C n f n g n h n A n 1... A n j n B n q n C n n A n 1 f n 1...... Bu durumda tam dizisi vardr. (i n,f n) A n B n A g n j n n B n nh 1 n q n An 1 spat: A n B n A n g n j n B n a n (i n (a n ), f n (a n )) g n (i n (a n )) j n (f n (a n )) Ker(g n j n ) = Im((i n, f n )) Teorem 3.1.4. (Mayer-Vietoris) X = X 1 X 2 olmak üzere X 1 ve X 2, X in alt uzaylar olsun. Bu takdirde H n (X 1 X 2 ) (i 1,i 2 ) H n (X 1 ) H n (X 2 ) g j D H n (X) H n 1 (X 1 X 2 ) tam dizisi vardr. Burada i 1, i 2, g, f kapsama dönü³ümleridir ve D = dh 1 g ; h ve g kapsama fonksiyonu ve d (X 1, X 1 X 2 ) ikilisinin ba layc homomor- zmasdr. spat: Bütün dönü³ümler kapsama iken uzaylarn ikililerinin a³a daki diyagram de i³melidir: (X 1 X 2, ) i 1 (X 1, ) p (X 1, X 1 X 2 ) i 2 (X 2, ) j (X, ) q h (X, X 2 ) Teorem 5.9 dan a³a daki komütatif ve satrlar tam olan dizi vardr.... H n (X 1 X 2 ) i H n (X 1 ) p H n (X 1, X 1 X 2 ) d H n 1 (X 1 X 2 )... i 2... H n (X 2 ) g h j H n (X) q n H n (X, X 2 ) i 2 H n 1 (X 2 )... 40
Excision II'den h bir izomorzmadr. Bir önceki lemmadan istedi imiz sonuca ula³rz. Örnek 3.1.1. X, R 2 de y-ekseni ve x = π 2 do rusu arasnda kalan dü³ey kapal bölge olsun. Homoloji grubunu hesaplayalm. X 1 = {(0, y) : 1 y} {(x, y) : 0 < x π 2 ve sin( 1 x ) y} X 2 = {(0, y) : y 1} {(x, y) : 0 < x π 2 ve sin( 1 x ) y} X = X 1 X 2 X 1 X 2 = {(0, y) 1 y 1} {(x, y) 0 < x π 2, y = sin 1 x } = {(x, y) y = sin 1, 1 y 1} x Mayer - Vietoris teoremi geçerli olsayd H n (X 1 X 2 ) H n (X 1 ) H n (X 2 ) H n (X) H n 1 (X 1 X 2 ) H 1 (X 1 X 2 ) H 1 (X 1 ) H 1 (X 2 ) H 1 (X) H 0 (X 1 X 2 ) H 0 (X 1 ) H 0 (X 2 ) H 0 (X) 0 0 H 0 (X 1 X 2 ) Z Z Z 0 0 Z Z Z Z Z 0 tam dizisini elde ederdik. Fakat Al³trma 5.5 e göre böyle bir tam dizi yoktur. O halde burada Mayer-Vietoris uygulanamaz. Biz burada X 1 ve X 2 nin içini 41
almad mz için hata olu³tu. Ancak içlerini ald mzda X = X 1 X 2 e³itli i sa lanmyor. (Rank(Z + Z) = Rank(Z Z) + RankZ, 2 2 + 1) Ödev : Mayer-Vietoris teoremini kullanarak torun homoloji grubunu hesaplayn. Sonuç 3.1.1. (ndirgenmi³ homoloji için Mayer-Vietoris) X = X 1 X 2 ve X 1 X 2 = olmak üzere X 1, X 2 X in alt uzaylar olsun. Bu durumda H n (X 1 X 2 ) H n (X1 ) H n (X2 ) H n (X) H n 1 (X 1 X 2 ) tam dizisi vardr. Bu dizi ³eklinde biter. H 0 (X 1 ) + H 0 (X 2 ) H 0 (X) 0 3.2 Kürenin Homolojisi Ve Baz Uygulamalar Teorem 3.2.1. S n, n-küre olsun. (n 0). Bu tek { Z Z, p = 0 H p (S 0 ) = 0, p > 0 n > 0 ise H p (S n ) = { Z, p = 0 yada p = n 0, di er durumlarda spat: n = 0 için boyut aksiyomundan ispat açktr. n > 0 alalm. a: n-kürenin kuzey kutup noktas b: n-kürenin güney kutup noktas X = S n, X 1 = S n {a}, X 2 = S n {b} = X = X 1 X 2 X 1 X 2 = S n {a, b}, S n 1 ile ayn homotopi tipine sahiptir. H p (X 1 ) H p (X 2 ) H p (S n ) H p 1 (X 1 ) X 2 ) H p 1 (X 1 ) H p 1 (X 2 ) 42
= H p (S n ) = H p 1 (X 1 X 2 ) = H p 1 (S n 1 ); p > 0 Tümevarmla Hp 1 (S n 1 ) = Z (p 1 = n 1) ise Hp (S n ) = Z elde edilir. Buna göre { Z, p = n H p (S n ) = 0, di er hallerde p = 0 durumunda H 0 (S n ) nin yol ba lantl ve bir bile³eni oldu undan homoloji grubu Z e e³ittir. 3.3 Euclid Uzayna Uygulamalar Not 3.3.1. n Z ve bir m Z için (h(1) = m) h : Z Z n h(n) = mn 1 h(1) = m Tanm 3.3.1. n > 0 olmak üzere f : S n S n bir sürekli dönü³üm olsun. f : H n (S n ) H n (S n ) [x] m[x] = f ([x]) ise, m saysna f dönü³ümünün derecesi denir ve d(f) = m ile gösterilir. Teorem 3.3.1. f : S 1 S 1 ise deg(f) = d(f) dir. spat: π 1 (S 1, 1) f π 1 (S 1, f(1)) ϕ H 1 (S 1 ) f H1 (S 1 ) Burada ϕ Hurewicz dönü³ümüdür. π 1 (S 1 ) = Z abel oldu undan ϕ bir izomor- zmadr. (Teo 4.29) ϕ 43
Not 3.3.2. f, S 1 de 1 noktasndaki bir kapal yol ve m Z ise, t f(t) m S 1 de 1 deki bir kapal yoldur ve deg(f m ) = m.deg(f) NOT'tan f : π 1 (S 1, 1) π 1 (S 1, f(1)) [α] f ([α]) = m[α] olup deg(f) = m dr. Buradan deg(f) = d(f) elde edilir. Lemma 3.3.1. f, g : S n S n sürekli dönü³ümler olsun. 1. d(g f) = d(g)d(f) 2. d(1 S n) = 1 3. f sabit ise, d(f) = 0 4. f g ise, d(f) = d(g) 5. f homotopi denk ise, d(f) = ±1 spat: 1. S n f S n g S n ; d(f) = m, d(g) = n olsun. 2. 1 S n : S n S n d(1 S n) = 1 H n (S n ) f H n (S n ) g H n (S n ) x mx n(mx) H n (g f) = H n (g) H n (f) d(g f) = mn = nm = d(g)d(f) H n (1 S n) : H n (S n ) H n (S n ) x x 44
3. S n f S n g h {x} S n f = h g = d(f) = d(h)d(g) yazamayz! Bu durum sadece S n S n durumu için geçerlidir. = d(f) = 0 H n (S n ) H n ({x}) x 0.x = 0 4. f, g : S n S n olmak üzere f g = H n (f) = H n (g) : H n (S n ) H n (S n ) = d(f) = d(g) 5. f : S n S n homotopi denk olsun. Bu durumda g f 1 S n ve f g 1 S n olacak ³ekilde g : S n S n vardr. d(g f) = d(1 S n) = m.n = 1 ve d(f g) = d(1 S n) = n.m = 1 O halde m = 1 = d(f) = 1 olur. Teorem 3.3.2. x = ( 1, 0), y = (1, 0) S 1 ; σ, y den x e S 1 üzerinde bir yol; τ, x den y ye S 1 üzerinde bir yol olsun. σ + τ, S 1 üzerinde bir 1-devirdir ve homoloji snf H 1 (S 1 ) dr. spat: 45
σ + τ 1-devir midir? 1 (σ + τ) = 1 (σ) + 1 (τ) = (x y) + (y x) = 0 oldu undan σ + τ, 1-devirdir. n = (0, 1) ve s = (0, 1) kutup noktalar olsun. X = S 1, X 1 = S 1 {n}, X 2 = S 1 {s} olsun. X = X 1 X 2 (burada her bir X i büzülebilirdir) ve X 1 X 2 = S 1 {n.s}, x L ve y R olmak üzere iki ayrk L ve R açk yaylarndan olu³ur. Mayer-Vietoris teoremini indirgenmi³ homoloji için uygularsak 0 H 1 (X 1 X 2 ) H 1 (X 1 ) H 1 (X 2 ) H 1 (X) H 0 (X 1 X 2 ) H 0 (X 1 ) H 0 (X 2 ) H 0 (X) 0 X 1 X 2 = L R oldu undan, Sonuç 5.18 bize H 0 (X 1 X 2 ) nin üreteci cls(x y) olan sonlu devir oldu unu verir. Fakat Lemma 6.19 dan D(cls(σ+τ)) = cls( 1 (σ)) = cls(x y) cls(σ+τ), H1 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) i üretir. Hatrlatma : Bir (basit) kapal yol, H 1 (S 1 ) i üretir. Tanm 3.3.2. 1. x S 1 olsun. x e x in antipode noktas denir. 2. a : S n S n dönü³ümüne antipode dönü³ümü denir. x (x) = x a 1 : S n S n (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2,, x n+1 ) a 2 (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2, x 3,, x n+1 ). a n (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2,, x n+1 ) spat: a 1 : S n S n (x 1, x 2,, x n+1 ) ( x 1, x 2,, x n+1 ) 46
= d(a 1 ) = 1 d(a n ) = d(a a a) = d(a)d(a)d(a) d(a) = ( 1)( 1)( 1) ( 1) = ( 1) n+1 Teorem 3.3.3. 1. f : S n S n sabit noktas yoksa, f, a = a n antipode dönü³ümüne homotoptur. 2. g : S n S n null homotopik ise, g bir sabit noktaya sahiptir. spat: 1. F : S n I S n (x, t) F (x, t) = homotopi fonksiyonunu tanmlayalm. (1 t)a(x) + tf(x) (1 t)a(x) + tf(x) (1 t)a(x) + tf(x) 0 oldu undan F (x, t) 0 dr. F (x, t) = 0 olsayd, f(x) = (1 t) a(x) olurdu. t f(x) = (1 t) a(x) = 1 1 t t t f(x) = a(x); a(x) = x f(x) = ( x) = x; f nin sabit noktasdr. = 1 t = 1 t t = 1 2 2. g nin sabit noktas olmasn; yani n S n için g(x) x. g a olsun. Bu durumda d(g) = d(a) = 1. g null homotop oldu undan d(g) = 0 olup bir çeli³ki elde ederiz. O halde g nin sabit noktas vardr. Teorem 3.3.4. f : S 2n S 2n bir dönü³üm olsun. f nin ya sabit noktas vardr ya da bir noktas antipode noktadr. spat: f nin sabit noktas olmasn. Bu durumda Teo.6.24'ten f a 2n dir ve Teo.6.23'ten d(f) = ( 1) 2n+1 = 1 dir. 47
f nin antipode noktas olmasn.bu durumda x S 2n için f(x) x. g(x) = f(x) ³eklinde tanmlayalm. O halde g nin sabit noktas yoktur. f = g a 2n = f a 2n = 1 S 2n = d(f) = d( a 2n ) = d(1 S 2n) = 1 Çeli³ki! Teorem 3.3.5. x S 2n için f(x) ve x ortogonal olacak ³ekilde f : S 2n S 2n sürekli dönü³ümü yoktur. spat: x 0 noktas için f(x 0 ) = x 0 olsun. Bu durumda x 0, f(x 0 ) = 1 dr. (Halbuki ortogonallikten x 0, f(x 0 ) = 0 dr ) Böylece f hiçbir noktay antipode noktasna götürmez. Dolaysyla f bir sabit noktaya sahip olmaldr; bu noktaya x 1 diyelim. Bu durumda f(x 1 ) = x 1 dr. x 1, f(x 1 ) = 0 = x 1, x 1 = 0 (Halbuki x 1, x 1 = x 1 = 1 dr) Çeli³ki! Tanm 3.3.3. x S n noktasn S n üzerindeki x noktasna ait te et vektörüne e³leme yapan S n R n+1 sürekli fonksiyona, S n üzerinde vektör alan denir. Sonuç 3.3.1. S 2n üzerinde sfrdan farkl olmayan vektör alan yoktur. spat: f : S 2n R 2n+1 sfrdan farkl vektör alan olsun. g : S 2n S 2n ile tanmlayalm. x, f(x) = 0 x g(x) = f(x) f(x) Bir önceki teoremden böyle bir sürekli fonksiyon yoktur. Çeli³ki! Sonuç 3.3.2. (Borsuk-Ulam) f : S 2 R 2 sürekli fonksiyon olsun. f(x) = f(x) olacak ³ekilde x S 2 vardr. 48
spat: x S 2 için f(x) f(x) olsun. g( x) = g antipode dönü³ümdür. Çeli³ki! g : S 2 S 2 x g(x) = f(x) f( x) f(x) f( x) f( x) f(x) f( x) f(x) = g(x) Teorem 3.3.6. n > 1 olsun. g : S n S 1 antipode dönü³ümü yoktur. 3.4 Simpleksler Homoloji Tanm 3.4.1. Bir K yönlü simpleksler kompleksi, bir simpleksler kompleksidir ve V er(k) üzerindeki ksmi sralama ba nts lineerdir. Tanm 3.4.2. K yönlü simpleksler kompleksi ve q 0 olmak üzere C q (K) a³a daki özelliklere sahip bir abel grup olsun; Üreteçleri: {p 0, p 1,, p q } (p i ³ekilde tüm (p 0,, p q ) q + 1 lileri. V er(k)), K daki simpleksleri gerecek Ba ntlar: 1. Bir kö³e tekrar ederse (p 0,, p q ) = 0. 2. π, {0, 1,, q} nun bir permütasyonu olmak üzere (p 0,, p q ) = (sgnπ)(p π0, p π1,, p πq ) C q (K) nn elemanlar p 0,, p q ile ifade edilir. sgnπ = ±1 Lemma 3.4.1. K m-boyutlu bir yönlü simpleksler kompleksi olsun. 1. C q (K), bazlar p 0,, p q olan bir serbest abel gruptur. Burada {p 0,, p q } K daki q-simpleksleri gerer ve p 0 < p 1 < < p q sralamas vardr. Üstelik p π0,, p πq = (sgnπ) p 0,, p q dr. 49
2. q < m için C q (K) = 0. Tanm 3.4.3. q : C q (K) C q 1 (K) p 0,, p q q ( p 0,, p q ) = q ( 1) i p 0,, p i,, p q i=0 snr operatörüdür. Teorem 3.4.1. K m-boyutlu bir yönlü simpleksler kompleksi ise C (K) = 0 C m (K) m C m 1 (K) m 1 C m 2 (K) C 1 (K) 1 C 0 (K) 2 0 zincir komplekstir; yani n n+1 = 0 dr. Tanm 3.4.4. K bir yönlü simpleksler kompleksi ise, Simpleksler q-devir Z q (K) = Ker q Simpleksler q-snr B q (K) = Im q+1 q. Simpleksler homoloji grubu H q (K) = Z q(k) B q (K) (B q (K) Z q (K) C q (K)) Tanm 3.4.5. K ve L yönlü simpleksler kompleksi olsun. ϕ : K L simpleksler dönü³üm ise, ϕ : C q (K) C q (L) p 0,, p q ϕ ( p 0,, p q ) = ϕ(p 0 ),, ϕ(p q ) ³eklinde tanmlanr. Lemma 3.4.2. ϕ : K L bir simpleksler dönü³üm ise, bu takdirde ϕ : C (K) C (L) bir zincir dönü³ümüdür; ϕ = ϕ. 50
Teorem 3.4.2. q 0 için H q : K Ab bir funktordur. spat: H q : K Ab K H q (K) ϕ H q (ϕ) = ϕ : H q (K) H q (L) z + B q (K) ϕ (z) + B q (L) Teorem 3.4.3. K, m-boyutlu bir (sonlu) yönlü simpleksler kompleksi olsun. 1. q 0 için, H q (K) sonlu üretilmi³ gruptur. 2. q > m için H q (K) = 0 3. H m (K) serbest abeldir ve muhtemelen sfrdr. Tanm 3.4.6. L, K yönlü simpleksler kompleksinin bir alt kompleksi ise, q. relatif simpleksler homoloji grubu H q (K, L) = H q ( C (K) C (L) ) 3.5 Euler Karakteristi i Tanm 3.5.1. K, m-boyutlu simpleksler kompleksi ve q 0 için α q K daki q-simplekslerin says olsun. K nn Euler karakteristi i χ(k) = m ( 1) q α q q=0 ³eklinde tanmlanr. Teorem 3.5.1. K, m-boyutlu bir yönlü simpleksler kompleksi ise, bu takdirde χ(k) = m ( 1) q rankh q (K) q=0 spat: C (K) : 0 C m (K) m C m 1 (K) C 1 (K) 1 C 0 (K) 0 0 51
zincir kompleksini göz önüne alalm. Her bir C q (K), rank α q olan bir (serbest abel) gruptur. H q (K) = Z q(k) B q (K) oldu undan, Al³trma 5.5 ten rankh q (K) = rankz q (K) rankb q (K) oldu unu elde ederiz. B m (K) = 0 oldu undan rankb m (K) = 0. Her bir q 0 için Al³trma 5.5'i tam dizisine uygularsak Böylece α(k) = = 0 Z q (K) C q (K) B q 1 (K) 0 α q = rankc q (K) = rankz q (K) + rankb q 1 (K) m ( 1) q α q = q=0 m ( 1) q (rankz q (K) + rankb q 1 (K)) q=0 m ( 1) q rankz q (K) + q=0 m ( 1) q rankb q 1 (K) q=0 B 1 (K) = 0 = rankb m (K) oldu undan; X(K) = = m ( 1) q rankz q (K) + q=0 m ( 1) q+1 rankb q (K) q=0 m ( 1) q (rankz q (K) rankb q (K)) = q=0 m ( 1) q rankh q (K) Not 3.5.1. Her bir C i, rank α i olan sonlu üretilmi³ bir serbest abel grup iken C = 0 C n bir zincir kompleks ise bu takdirde q=0 n 0 C1 C0 0 n ( 1) i α i = i=0 n ( 1) i rankh i (C ) i=0 52
Bölüm 4 TENSÖR ÇARPIMI Tanm 4.0.2. A ve B abel gruplar olsun. A B tensör çarpm a³a daki özelliklere sahip olan abel gruptur: 1. Üreteçler : A B 2. Ba ntlar : a, a A, b, b B için (a + a, b) = (a, b) + (a, b) (a, b + b ) = (a, b) + (a, b ) E er F, baz A B olan bir serbest abel grup ve N, yukardaki ba ntlar tarafndan üretilen F nin alt grubu ise F/N bölüm grubu A ve B abel gruplarnn tensör çarpmdr. (F/N = A B) Özellikler 1. a A, b B için a 0 = 0 = 0 b 2. m Z için m(a b) = (ma) b = a (mb). 3. A burulmal ise, A Q = 0. (a A m > 0 için ma = 0; q Q a q = a m( q m ) = ma q m = 0) 4. A ve B mertebeleri asal olan sonlu abel gruplar ise A B = 0. Örnek 4.0.1. (p, q) = 1 olmak üzere Z p Z q = 0. Tanm 4.0.3. A, B ve G birer abel grup olsun. A³a daki özellikleri sa layan ϕ : A B G fonksiyonuna bilineer fonksiyon denir: 53
1. a, a A ; b B için ϕ(a + a, b) = ϕ(a, b) + ϕ(a, b) 2. a A ; b, b B için ϕ(a, b+, b ) = ϕ(a, b) + ϕ(a, b ) η : A B A B (a, b) a b do al dönü³ümü bilineerdir. A³a daki teorem A B grubunun bilineer fonksiyonlar (lineer) homomorzmlere dönü³türdü ünü gösterir: Teorem 4.0.2. 1. G herhangi bir abel grup ve ϕ : A B G herhangi bir lineer dönü³üm ise, a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : A B G homomorzmi vardr: A B ϕ η G!f A B 2. T bir abel grup ve η : A B T bilineer dönü³ümdür öyle ki ϕ = f η olacak ³ekilde bir tek f : T G var ise, T = A B. spat: A B ϕ η G (A B, bu özelli i sa layan tek gruptur) 1. F, A B bazl serbest abel grup olmak üzere A B = F/N oldu unu hatrlatalm. A B η F F/N = A B ϕ ϕ f G ϕ : F G, ϕ nin geni³leme fonksiyonu olarak tanmlansn. N ba ntlar için N Ker ϕ dr ve böylece ϕ bir f : F/N G (a, b) + N ϕ(a, b) = ϕ(a, b) ile tanml bir homomorzm üretir. Bu homomorzm A B yi üreten tüm a b lerin kümesi için tektir. 54 f T
2. A B η v g f T A B diyagramn göz önüne alalm. Hipotezden fv = η ve gη = v olacak ³ekilde f : A B T ve g : T A B homomorzmleri vardr. imdi v A B A B v A B diyagramn göz önüne alalm. Hem gf hem de f g birim diyagram tamamlad ndan gf = 1 A B dir; çünkü bu dönü³üm tektir. Benzer bir diyagram fg = 1 T oldu unu verir. Böylece f = g dr. Teorem 4.0.3. f : A A ve g : B B homomorzmler olsun. 1. f g : A B A B ³eklinde tanml bir tek homomorzm vardr. a b f g(a b) = f(a) g(b) 2. f : A A ve g : B B homomorzmler ise, spat: (f g ) (f g) = (f f) (g g) 1. ϕ : A B A B (a, b) ϕ(a, b) = fa gb ile tanml fonksiyon bilineerdir. Teorem 9.25 (1) den bir tek homomorzmi vardr. A B A B a b ϕ(a, b) = fa gb 2. ϕ(a, b) = f (f(a)) g (g(b)) olmak üzere A B A B diyagram de i³melidir. ϕ A B 55
Sonuç 4.0.1. A bir sabit abel grup olsun. bir funktordur. T = T A : Ab Ab B T A (B) = A B f T A (f) = 1 A f spat: Teorem 9.26 (2) den T bile³keyi korur; (1 A f ) (1 A f) = 1 A f f Teorem 9.25 (1) den 1 A 1 B = 1 A B Teorem 4.0.4. η : A B j (A B j ) a (b j ) (a b j ) izomorzmi vardr. spat: η : A B j (A B j ) (a, (b j )) (a b j ) dönü³ümü bilineerdir. Bu durumda ϕ bilineer olmak üzere A B j ϕ η G (A Bj ) diyagramn göz önüne alalm. j için b j B j j. koordinat b j ve di erleri sfr olmak üzere ϕ j : A B j G tanmlayalm. ϕ j bilineerdir, böylece bir (a, b j ) ϕ(a, b j ) 56