Yüklemler Mantığında Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) Daha önce kanıtlamaların geçerliliği üzerine söylenenlerden hatırlanacağı gibi, bir kanıtlamanın geçerli olabilmesi için o kanıtlamadaki öncüller doğru iken sonucun yanlış olduğunu düşünmenin mümkün olamaması gerekir, yani böyle bir ihtimalin mantıksal olarak imkansız olması gerekir. Geçerli bir kanıtlamada öncüller doğru iken sonucun yanlış olduğu hiçbir olası durum gösterilemez. İşte, yüklemler mantığındaki modelleri, bir mantıksal biçimin semantiğinin yorumlandığı olası durumlar gibi düşünmek gerekir. O halde, yüklemler mantığında bir kanıtlamanın geçerli olması demek, öncüllerin doğru sonucun yanlış olduğu bir modelin bulunmaması demektir. Örneğin, örnek 6.21 ve 6.22 de y x Bxy nin doğru ve x y Bxy nin yanlış olduğu bir model kullanılmıştır. Bu, şu biçime y x Bxy x y Bxy sahip her kanıtlamanın geçersiz olduğu anlamına gelir. Buna karşılık, bu kanıtlama biçimi ters yönde ele alındığında geçerlidir. 6.23 Aşağıdaki kanıtlamanın geçerli olduğunu gösteriniz. x y Bxy y x Bxy Eğer M, içinde öncülün doğru olduğu bir model ise, bu durumda M nin ait olduğu evren öyle bir eleman içermektedir ki (bu elemana Seçilmiş diyelim), evrendeki diğer tüm elemanlarla B ile gösterilen bir ilişki içindedir. Oysa eğer bu söylenen doğru ise, evrendeki her elemanın aynı ilişki içinde olduğu en az bir eleman (yani Seçilmiş) var demektir ki, bu da kanıtlamanın sonucunun bu modelde doğru olduğu anlamına gelir. Geçerli kanıtlamaların böyle bir yöntemle denetlenmesini genelleştirmek ve bu yöntemi yüklemler mantığının dilinde ifade edilmiş her kanıtlamaya uygulamak mümkündür. Ancak bu yöntemle denetleme yapmak çoğu kez çok meşakkatli olabilir ve çok fazla zeka/öngörü gerektirebilir. Daha önce önermeler mantığında gördüğümüz gibi, doğruluk değeri atamak suretiyle geçerliğin denetlenmesi kuramsal düzeyde etkili bir yöntem olsa da uygulamada yetersiz kalmaktadır. Bu açıdan, yüklemler mantığındaki durum ise, önermeler mantığından daha da kötüdür. Önermeler mantığında doğruluk tablosu yöntemi, cümle harflerinin sayısı arttıkça yetersiz kalmaktadır. Buna rağmen doğruluk tablosu yöntemi, gerçekleştirilebilir bir algoritma sunar: önermeler mantığına ait herhangi bir biçim, daima sonlu sayıda satırdan oluşmuş bir doğruluk tablosuna sahip olacaktır, dolayısıyla tüm kanıtlama biçimleri sonlu zaman süresi içinde denetlenebilecektir. (En azından, bunu bizim için yapacak bir bilgisayar programı tasarlamak mümkündür.) Buna karşılık, yüklemler mantığında bir kanıtlamanın geçerliliğini içinde denetlememiz
gereken modellerin sayısı sınırsızdır ve olası modellerin sayısını sınırlamanın hiçbir mümkün yolu da gözükmemektedir. Bilhassa, bir evrenin büyüklüğüne sınır getirmek imkansızdır, dolayısıyla nicelenmiş bir ikb nin değerlendirilmesi için göz önüne alınması gereken çeşitlemelerin sayısı da sınırsızdır. Ve ayrıca, her nesneler sınıfına ilişkin olarak, bir yüklemin yorumlanma tarzlarının da bir sınırı yoktur: evrendeki elemanların herhangi bir altkümesi, karşılık gelen farklı bir modelin bulunduğu farklı bir yorum olarak görülebilir. Özetle, yüklemler mantığında, önermeler mantığından veya kategorik yargılar mantığından farklı olarak, kanıtlamaların geçerliliğini her bir durumda denetleyebilecek algoritmik bir işlem/prosedürün bulunması ilke olarak mümkün değildir. Yüklemler mantığı, bu anlamda, karar verilemez (undecidable) bir doğadadır, karar verilemez bir mantıktır. (Yüklemler mantığının karar verilemez yapıda olduğu Church varsayımına bağlı olarak kanıtlanabilmektedir.) Yine de, yüklemler mantığındaki tüm kanıtlama biçimlerinin değilse de pek çoğunun, sonlu sayıda adımdan sonra geçerli olup olmadıklarına karar vereceğimiz kurallı işlemler/prosedürler bulunmaktadır. Böyle prosedürlerden bir tanesi, önermeler mantığında kullanılan çözümleyici çizelge tekniğinin bir genelleştirilmesidir. Bu yöntem, daha önce olduğu gibi burada da, geçerli bir kanıtlamanın geçerliliğini sonlu adımda saptamamıza imkan vermektedir (her ne kadar bazen bu adımların sayısı çok fazla olabilirse ve yine, bazen geçerlik konusunda bir karara varmak mümkün olmayabilirse de). Fakat bu yöntem, önermeler mantığındaki teknikten farklı olarak, kimi zaman yanlış sonuç vermektedir. Genelleştirilmiş çözümleyici çizelge yöntemi, önermeler mantığından bildiğimiz aynı ağaç kurallarına sahiptir, ama niceleyici içeren cümlelerde kullanmak üzere ilave dört yeni kural daha vardır. Yüklemler mantığındaki bazı ağaçlar için sadece önermeler mantığının kuralları kafi gelebilmektedir. 6.24 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerli olduğunu önermeler mantığındaki çözümleyici çizelge kuralları ile gösteriniz. x Fx x Gx, x Gx x Fx 1 x Fx x Gx 2 x Gx 3 x Fx 4 x Fx 1 x Gx 1 5 X 3, 4 X 2, 4 Tüm yollar kapalı, dolayısıyla bu biçim geçerlidir. Yalnızca önermeler mantığının çizelge kuralları yeterli gelmiştir, çünkü bu biçim aslında, önermeler mantığında geçerli olan modus tollens in yüklemler mantığına bir uyarlamasından ibarettir.
Yüklemler mantığında, önermeler mantığında bulunmayan iki yeni sembol (yani ve ) olduğuna göre, her biri için (değillenmiş ve değilenmemiş yargılar için ayrı ayrı olmak üzere) iki ilave (yani toplam dört) kurala ihtiyaç vardır. Birincisi evrensel niceleme kuralıdır. 11. Evrensel Niceleme kuralı ( ): (evrensel niceleyici için özelleme kuralı) Eğer bir açık yol, βφ biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa ve eğer α bu yol üzerindeki herhangi bir ikb de içerilen bir ad harfi ise, yolun altına Φ α/β yı (Φ de β nın geçtiği her yere α nın yazılması ile elde edilmiş biçim) yazın. Eğer yol boyunca bir ad harfi içeren hiçbir ikb bulunmuyorsa, herhangi bir α ad harfi seçin ve yolun altına Φ α/β yı yazın. Her iki halde de βφ yi işaretlemeyin. Bu kuralın açıklaması şöyle yapılabilir. Bir çözümleyici çizelgede her adım bir ikb nin daha basit ikb lere bölünmesi/parçalanmasından oluşur ve bütünün doğru olması için bu basit parçaların da doğru olmaları gerekir. Eğer söz konusu olan, βφ şeklinde evrensel nicelenmiş bir biçim ise, β değişkeninin her geçtiği yerde α adıyla yer değiştirmesi sonucu Φ den elde edilecek herhangi bir ikb de doğru olmalıdır: çünkü eğer Φ her şey için doğru ise α ile gösterilen nesne için de, bu nesne ne olursa olsun, doğru olmalıdır. İlke olarak bu şekilde göz önüne alınabilecek adların sayısının bir sınırı yoktur. Bununla birlikte, biz bir çözümleyici çizelgede (yani çürütme ağacında) her yolun nihayetinde kapalı olup olmayacağı ile ilgileniyoruz. Bu yüzden, herhangi bir açık yolda geçen adlara kendimizi odaklayabiliriz, çünkü bu adın içerildiği sadece tek bir ikb bile ağaçtaki bir diğer ikb ile tutarsız olduğunda yol kapanacaktır. Bu husus, kuralın ilk kısmını açıklıyor ve buna evrensel niceleme için özelleme kuralı da denir. Özetle, evrensel niceleme için özelleme yaparken kullandığımız ad harfi eski (kullanılmış, diğer ikb lerde geçen bir ad harfi) olmalıdır ve böyle eski ad harflerinin her biri için ayrı ayrı özelleme yapmalıyız. Kuralın ikinci kısmı ise, hiçbir açık yolda hiçbir adın geçmediği durumlarda uygulanır. Böyle durumlarda işlemi başlatmak için biz herhangi bir ad seçip kullanmak zorundayız, yani herhangi bir α adını (yeni bir ad harfi) seçip Φ α/β yı yazarız (yani özelleme yaparız). Bu kural, her şey için doğru olanın herhangi bir belirli bireysel için de doğru olması gerektiği şeklindeki olgunun biçimsel ifadesidir. Örneğin, şunun gibi kanıtlamaların geçerliliğini göstermekte kullanılır: Tüm kurbağalar yeşildir. Herşey bir kurbağadır. Kurbiş yeşildir. Burada K yı bir kurbağadır, Y yi yeşildir ve a yı Kurbiş için kullanırsak bu kanıtlamayı aşağıdaki gibi biçimselleştirebiliriz: x (Kx Yx), x Kx Ya 6.25 Bu kanıtlama biçiminin geçerli olduğunu gösteriniz.
1 x (Kx Yx) 2 x Kx 3 Ya 4 Ka Ya 1 5 Ka 2 6 Ka 4 Ya 4 5 X 5, 6 X 3, 6 a ad harfi Ya da geçtiği için (satır 3), evrensel niceleme kuralı gereği bu ad harfini kullanarak satır 4 ve 5 i elde ettik. Satır 6 da koşullu kuralını uygulayınca ağaçtaki tüm yollar kapanıyor. Dolayısıyla kanıtlama biçimi geçerlidir. (Kurala göre burada Φ yerine (Kx Yx), ad harfi α yerine a, β değişkeni yerine x ve Φ β/α biçimi yerine de (Ka Ya) geçmiştir. Burada en dış parantezler uzlaşım gereği yazılmamıştır.) Dikkat edilirse kural βφ yi işaretlemeyi gerekli kılmıyor, zira ( ) kuralı ile ondan ne kadar çok ikb elde edersek edelim hiçbir zaman bu ikb nin içerimlerini tüketmiş sayılmayız. Fakat her ne kadar evrensel nicelenmiş ikb ler asla işaretlenmese de, bunlara ait çürütme ağacı kapanabilir (ki bu durumda sınadığımız çıkarımın geçerli olduğunu biliriz) veya ağaç öyle bir noktaya gelebilir ki kapanmaz ama uygulanacak ilave bir kural da kalmaz (ki bu durumda sınadığımız çıkarımın geçerli olmadığını biliriz). 6.25a Sokrates özel adı için s, harfini; insandır ve ölümlüdür tek-değişkenli yüklemleri için İ ve Ö yü kullanarak aşağıdaki kanıtlama biçimini yüklemler mantığında sembolleştiriniz ve geçerli olduğunu gösteriniz. Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. Sokrates ölümlüdür. Sembolleştirme şöyle yapılabilir: Tüm insanlar ölümlüdür : Sokrates bir insandır : Sokrates ölümlüdür : x (İx Öx) İs Ös x (İx Öx), İs Ös
1 x (İx Öx) 2 İs 3 Ös 4 İs Ös 1 5 İs 4 Ös 4 6 X 2, 5 X 3, 5 Ağaçtaki tüm yollar kapanıyor. Dolayısıyla kanıtlama biçimi geçerlidir. 6.26 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerliliğini çözümleyici çizelge yöntemi ile denetleyiniz. Fa Gb, x Fx Gb 1 Fa Gb 2 x Fx 3 Gb 4 Gb 3 5 Fa 2 6 Fb 2 7 Fa 1 Gb 1 Alt alta yazma kurallarını önce uygulayarak, satır 3 ü işaretliyoruz ve çift değilleme ile satır 4 te Gb yi elde ediyoruz ve satır 2 den evrensel niceleme için özelleme kuralı ile ayrı ayrı adımlarla satır 5 ve 6 da Fa ve Fb yi türetiyoruz. Bu noktada ( ) kuralı artık daha fazla uygulanamaz, zira bu kuralı yoldaki ikb lerde geçen her iki ad harfi ile de uygulamış olduk. Bu yüzden geriye uygulanabilecek tek şey olarak satır 1 deki koşullunun kuralı kalıyor ve bunu uygulayınca satır 7 yi elde ederiz. Bu, ağaçtaki yolları kapatmaya yetmiyor ve dolayısıyla biçim geçersizdir. Önermeler mantığı için olan çürütme ağaçlarından farklı olarak, yüklemler mantığı için olan çürütme ağaçları geçersiz bir kanıtlamadaki karşı örneklerin tam bir listesini üretmez. Yüklemler mantığı için olan sonlanmış bir ağaçtaki her bir açık yol, sadece adları yolda geçen nesneleri içeren bir model evreni olarak yorumlanabilir. Yolda geçen atomik ikb ler veya atomik ikb lerin değillemeleri bu modelde bu nesneler hakkında neyin doğru olduğunu belirtirler.
Örnek 6.26 da, iki açık yolun (sağa dallanan yol ile sola dallanan yol) her ikisi de a ve b gibi sadece iki nesne içeren bir evreni temsil ederler. Bu model evrende, b nesnesi G özelliğine ve hem a hem de b nesneleri değil-f özelliğine sahiptir. (Yollar a nın G olup olmadığı konusunda bir şey söylemiyor; bu husus durumla ilgisiz olarak beliriyor.) Şimdi, Fa bu modelde yanlıştır; bu yüzden Fa Ga öncülü doğrudur, zira önbileşeni yanlış olan bir maddi koşullu doğrudur. Ayrıca, bu evrendeki yegane nesneler a ve b olduğu için ve bunların ikisi de F-olmadıkları için, x Fx öncülü doğrudur. oysa Gb şeklindeki sonuç yanlıştır. O halde bu model, bu kanıtlama biçimine ilişkin, öncüller doğru iken sonucun yanlış olduğu hiç değilse bir özellemenin bulunduğunu gösteriyor. Yani bu kanıtlama biçiminin geçersiz olduğunu gösteriyor. 6.27 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerliliğini çözümleyici çizelge yöntemi ile denetleyiniz. x (Fx Gx), x Gx Fa 1 x (Fx Gx) 2 x Gx 3 Fa 4 Fa Ga 1 5 Ga 2 6 Fa 4 Ga 4 Kanıtlama biçimi geçersizdir. Evrensel niceleme için özelleme kuralını satır 4 ve 5 te, koşullunun kuralını ise satır 6 da uyguladık ama yollar kapanmadı. Satır 1 ve 2 işaretlenmemiş kaldığı halde, uygulanabilecek geriye başka bir kural kalmıyor, zira ( ) kuralını hem satır 1 hem satır 2 için ayrı ayır uyguladık yolda geçen bir ikb deki her ad harfi için uyguladık (burada a yolda geçen bir ikb deki tek ad harfidir).