ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BMER ENSTTÜSÜ DOKTORA TEZ lker Fatih KARA BETONARME YAPIARIN ÇATAMA ETKS GÖZ ÖNÜNE AINARAK NEER OMAYAN ANAZ N"AAT MÜHENDS$ ANABM DAI ADANA, 7

ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BMER ENSTTÜSÜ BETONARME YAPIARIN ÇATAMA ETKS GÖZ ÖNÜNE AINARAK NEER OMAYAN ANAZ KER FATH KARA DOKTORA TEZ NAAT MÜHENDS ANABM DAI Bu tez. /. / 7 Tarihinde A-a./daki Jüri Üyeleri Taraf/ndan Oybirli.i/Oyçoklu.u le Kabul Edilmi-tir. mza: mza: mza:. Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Prof. Dr. A. Kamil TANRIKUU Doç. Dr. smail H. ÇAATAY DANIMAN ÜYE ÜYE mza:.. Yrd. Doç. Dr. M. Hakan SEVERCAN ÜYE mza:. Yrd. Doç. Dr. Seren (AKAVCI) GÜVEN ÜYE Bu tez Enstitümüz n-aat Mühendisli.i Anabilim Dal/nda haz/rlanm/-t/r. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü Bu Çal/-ma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Ara-t/rma Projeleri Birimi Taraf/ndan Desteklenmi-tir. Proje No: MMF 4 D11 Not: Bu tezde kullanlan özgün ve baka kaynaktan yaplan bildirilerin, çizelge, ekil ve fotoraflarn kaynak gösterilmeden kullanm, 5846 sayl Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

ÖZ DOKTORA TEZ BETONARME YAPIARIN ÇATAMA ETKS GÖZ ÖNÜNE AINARAK NEER OMAYAN ANAZ lker Fatih KARA ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BMER ENSTTÜSÜ NAAT MÜHENDS ANABM DAI Danman: Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Yl : 7 Sayfa : 4 Jüri: Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Prof. Dr. A. Kamil TANRIKUU Doç. Dr. smail H. ÇA ATAY Yrd. Doç. Dr. M. Hakan SEVERCAN Yrd. Doç. Dr. Seren (AKAVCI) GÜVEN Bu çal89mada kiri9 ve kolonlarda olu9an çatlamalar göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizi için iteratif yönteme dayal8 bir bilgisayar program8 geli9tirilmi9tir. Betonarme yap8ya etkiyen yatay ve dü9ey yüklerden dolay8 kiri9 ve kolon elemanlar8n8n çatlamas8 halinde etkili atalet momentlerinin hesab8nda ACI, CEB ve olas8l8aa dayal8 etkili rijitlik modelleri kullan8lm89t8r. Analizde kayma deformasyonlar8n8n etkisi de göz önünde bulundurulmu9 olup etkili kayma modüllerinin hesab8nda literatürde mevut olan deai9ik yöntemler kullan8lm89t8r. Çal89mada, deneysel çal89malar8 daha öneden yap8lan, yatay ve dü9ey yükler etkisi alt8ndaki betonarme çerçeve örnekleri geli9tirilen bilgisayar program8 ara8l8a8 ile çözümlenmi9 ve elde edilen sonuçlar8n deneysel sonuçlarla kar98la9t8r8lmas8ndan oldukça uyumlu sonuçlar elde edilmi9tir. Çal89ma kapsam8nda ayr8a kiri9 ve kolon elemanlarda olu9an çatlamalar8n etkisiyle birlikte geometrik nonlineerlik etkiler de göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için bir bilgisayar program8 daha geli9tirilmi9tir. Yatay ve dü9ey yükler etkisi alt8ndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin geli9tirilen bilgisayar program8 ile çözümlenmesinden çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerin yap8 davran898na olan etkisi ayr8nt8l8 bir 9ekilde irdelenmeye çal898lm89t8r. Betonarme yap8ya uygulanan yatay ve dü9ey yüklere baal8 olarak özellikle tasar8mda proje mühendisleri için önemli olabileek, elemanlardaki çatlamalar8n olu9um s8ras8 ve elemanlar8n eailme rijitliainde olu9an deai9imler de bu çal89mada elde edilebilmektedir. Anahtar kelimeler: Üç boyutlu analiz, betonarme çerçeveler, etkili atalet momenti, etkili kayma modülü, yatay deplasmanlar. I

ABSTRACT Ph. D THESIS NONINEAR ANAYSIS OF REINFORCED CONCRETE FRAMES CONSIDERING THE CRACKING EFFECTS lker Fatih KARA DEPARTMENT OF CIVI ENGINEERING INSTITUTE OF NATURA AND APPIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor : Prof.Dr. Cengiz DÜNDAR Year : 7 Page : 4 Jury : Prof.Dr. Cengiz DÜNDAR Prof.Dr. A. Kamil TANRIKUU Doç. Dr. smail H. ÇA ATAY Yrd. Doç. Dr. M. Hakan SEVERCAN Yrd. Doç. Dr. Seren (AKAVCI) GÜVEN In this study, a omputer program based on the iterative proedure has been developed using rigid diaphragm model for the three dimensional analysis of reinfored onrete frames with raked beam and olumn elements. ACI, CEB and probability-based effetive stiffness models are used for the effetive moment of inertia of the raked members. In the analysis, shear deformations whih an be large following rak developments are taken into aount and the variation of the shear rigidity due to raking is onsidered by redued shear stiffness models. The results of the omputer program have been ompared with the experimental data of tests on full-size strutural subassemblages and found to be in good agreement. In the present study, a omputer program has also been developed for the three dimensional analysis of reinfored onrete frames onsidering the geometrial nonlinearity and raking effets in the analysis. The influene of geometrial nonlinearity and raking effet on the behavior of reinfored onrete frames has been investigated. The most signifiant feature of the proposed iterative proedures developed in the present study is that the variations in the flexural stiffness of beams and olumns an be observed expliitly. Keywords: Three dimensional analysis, reinfored onrete frames, effetive moment of inertia, effetive shear modulus, lateral defletions. II

TE,EKKÜR Önelikle, doktora program8na ba9lad8a8m günden itibaren tez konumun belirlenmesinde ve çal89malar8mda beni yönlendiren ve benden yard8mlar8n8 esirgemeyen, dan89man hoam say8n Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR a te9ekkürlerimi sunar8m. Ayr8a, ara9t8rmalar8mda bana yard8m8 olan say8n hoam Prof. Dr. A. Kamil TANRIKUU na te9ekkür ederim. Çal89malar8mda beni her yönden destekleyen Dr. Serkan TOKGÖZ ve Ara9t8rma Görevlisi arkada9lar8m Selahattin KOCAMAN, Ali DO AN, Tar8k BARAN, Hasan GÜZE ve diaer Ara9t8rma Görevlisi arkada9lar8ma te9ekkür ederim. Son olarak, her zaman bana destek olan ve yard8mlar8n8 esirgemeyen aileme özel te9ekkürlerimi sunar8m. III

ÇNDEKER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEEKKÜR... III ÇNDEKER IV ÇZEGEER DZN... VII EKER DZN... VIII SMGEER VE KISATMAAR... XII 1. GR... 1. ÖNCEK ÇAIMAAR... 5 3. MATERYA VE METOD... 17 3.1. Giri... 17 3.. Çekme Rijitle mesi ve Moment E+rilik li kisi... 18 3.3. Formülasyonda Kullanlan Modeller... 3.3.1. Etkili E+ilme Rijitli+i çin Kullanlan Modeller... 3.3.. Etkili Kayma Rijitli+i çin Kullanlan Modeller... 4 3.4. Geli tirilen Analitik Yöntem... 5 3.5. Temel Denklemler Kullanlarak Problemin Formülasyonu... 6 3.5.1. Esneklik Katsaylar ve Yük Vektörlerinin Elde Edilmesi... 7 3.6. Eleman Rijitlik Katsaylarnn Elde Edili i... 37 3.7. Rijit Diyafram Modeli... 38 3.8. Rijit Diyafram Modelinin Uygulanmas çin Elde Edilen Denklemler... 4 3.9. Yöntemin Algoritmas... 43 3.1. Bilgisayar Program... 44 3.1.1. Bilgisayar Programnn Yaps... 45 3.1.. Veri Hazrlama Klavuzu... 46 3.1..1. Genel Bilgiler... 46 3.1... Eleman Özellikleri... 47 3.1..3. Koordinatlar... 48 3.1..4. Mesnet artlar... 48 3.1..5. Yükler... 49 IV

3.11. Türk Deprem Yönetmeli+inde Belirtilen Kontroller... 5 3.11.1. kini Mertebe Etkilerinin Kontrolü.. 51 3.11.. Göreli Kat Ötelemelerinin Snrlandrlmas.. 5 4. GEOMETRK NONNEERK VE ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN BOYUTU ANAZ.. 53 4.1. Giri 53 4.. Do+rusal Olmayan Eleman Rijitlik Matrisi ve Yük Vektörünün Elde Edilmesi... 54 4..1 Rijitlik Katsaylarnn Elde Edilmesi... 55 4..1.1. Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu.. 55 4..1.. Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu.. 66 4.3. Yük Vektörlerinin Elde edilmesi 77 4.3.1 Düzgün Yayl Yük Durumu.. 77 4.3.1.1 Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu 77 4.3.1. Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu 79 4.3. Tekil Yük Durumu.. 8 4.4. Bilgisayar Program... 84 5. ARATIRMA BUGUARI... 89 5.1. Giri. 89 5.. Örnekler.. 9 5..1. Örnek 1. 9 5... Örnek... 97 5..3. Örnek 3... 13 5..4. Örnek 4... 18 5..5. Örnek 5... 111 5..6. Örnek 6... 115 5..7. Örnek 7... 118 6. SONUÇAR VE ÖNERER... 14 KAYNAKAR... 18 ÖZGEÇM... 131 ÜÇ V

EK-Çatlamalarn Etkisi Göz Önünde Bulundurularak Betonarme Çerçevelerin Üç Boyutlu Analizi için Geli tirilen Bilgisayar Program 13 VI

ÇZEGEER DZN SAYFA Çizelge 3.1. Etkili eilme rijitliinde kullanlan modeller için çekme rijitlemesi fonksiyonlar........................... 3 Çizelge 3.. Farkl modeller için etkili kayma rijitlii fonksiyonlar...... 5 Çizelge 5.1. Betonarme çerçeve örnei ile ilgili gerekli bilgiler...... 14 Çizelge 5.. Betonarme çerçeve örneine ait bilgiler.................. 19 Çizelge 5.3. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen göreli kat ötelemeleri.......... 11 Çizelge 5.4. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri... 111 Çizelge 5.5. Betonarme yapya ait gerekli bilgiler............ 113 Çizelge 5.6. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen göreli kat ötelemeleri...... 113 Çizelge 5.7. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri... 114 Çizelge 5.8. Betonarme çerçeve örnei ile ilgili gerekli bilgiler...... 116 VII

EKER DZN SAYFA ekil 3.1. Çatlamann olutuu ve olumad durumlarda betonarme kesitlerin davran.............................. 18 ekil 3.. Betonarme kesitlerde moment erilik ilikisi............ 19 ekil 3.3. Yükler etkisi altndaki basit mesnetli bir kirite eilme momentinden dolay oluan çatlayan ve çatlamayan bölgeler................................. 1 ekil 3.4. Düzgün yayl yük ve ara tekil yüklerden dolay bir elemanda oluabileek uç deplasmanlar ve bunlara karlk gelen kuvvetler.................................... 6 ekil 3.5. Konsol bir kirie uygulanan birim kuvvet yönleri....... 7 ekil 3.6. Konsol bir kirie uygulanan d kuvvetler............... 9 ekil 3.7. Herhangi bir kiri veya kolon elemannda genel olarak eilme momentinden dolay oluabileek çatlayan ve çatlamayan bölgeler......................... 35 ekil 3.8. Rijit diyafaram modeli......................... 39 ekil 3.9. Herhangi bir elemanda global eksen takmnda ilgili yönlerde oluan deplasmanlar............................ 4 ekil 3.1. Bilgisayar program ak diyagaram................... 44 ekil 4.1. Eksenel basnç kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsaylar.................................. 55 ekil 4.. Eksenel basnç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar................................. 57 ekil 4.3. Eksenel basnç kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsaylar.................................. 58 ekil 4.4. Eksenel basnç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar.................................... 59 ekil 4.5. Eksenel basnç kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsaylar 6 ekil 4.6. Eksenel basnç kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsaylar......................... 6 VIII

ekil 4.7. Eksenel basnç kuvveti için d =1 durumunda rijitlik katsaylar............................... 63 ekil 4.8. Eksenel basnç kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsaylar.............................. 64 ekil 4.9. Eksenel çekme kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsaylar.................................. 66 ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar............................. 67 ekil 4.11. Eksenel çekme kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsaylar 68 ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar.............................. 69 ekil 4.13. Eksenel çekme kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsaylar.............................. 71 ekil 4.14. Eksenel çekme kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsaylar................................ 7 ekil 4.15. Eksenel çekme kuvveti için d =1 durumunda rijitlik 73 katsaylar.............................. ekil 4.16. Eksenel çekme kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsaylar.............................. 74 ekil 4.17. Eksenel basna maruz düzgün yayl yük etkisi altndaki bir kiri............................ 77 ekil 4.18. Eksenel çekmeye maruz düzgün yayl yük etkisi altndaki kiri.............................. 79 ekil 4.19. Eksenel basna maruz düzgün tekil yük etkisi altndaki kiri................................ 8 ekil 4.. Bilgisayar program ak diyagaram.................. 85 ekil 4.19. numaral düümdeki düey deplasmanlarn kayma deformasyonlar etkisinin ihmal edilmesi durumunda uygulanan yüke göre deiimi........................ 6 IX

ekil 5.1. Yatay ve düey yükler etkisi altndaki iki katl betonarme çerçeve örnei...................... 9 ekil 5.. Deneysel ve analitik çalma sonuçlarndan elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas............... 91 ekil 5.3. Etkili atalet momenti hesabnda farkl modeller kullanlarak elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas...... 93 ekil 5.4. Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi.......................... 93 ekil 5.5. Yatay deplasmann iterasyon saysna göre deiimi....... 95 ekil 5.6. Etkili atalet momentlerinin iterasyon saysna göre deiimi. 95 ekil 5.7. Kayma deformasyonlar etkisinin yatay deplasmanlar üzerine 96 olan etkisi........................ ekil 5.8. 8ki katl betonarme çerçeve örnei............... 97 ekil 5.9. Deneysel ve analitik çalma sonuçlarndan elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas............... 98 ekil 5.1. Etkili atalet momenti hesabnda farkl modeller kullanlarak elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas....... 99 ekil 5.11. Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi...................... 1 ekil 5.1. Yatay deplasmann iterasyon saysna göre deiimi....... 11 ekil 5.13. Etkili atalet momentlerinin iterasyon saysna göre deiimi. 11 ekil 5.14. Kayma deformasyonlar etkisinin yatay deplasmanlar üzerine 1 olan etkisi........................ ekil 5.15. Dört katl betonarme çerçeve örnei............. 13 ekil 5.16. ineer analiz ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen rölatif yatay ötelemelerin karlatrlmas..... 14 ekil 5.17. ineer analiz ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak 1 numaral düümde elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas..................... 15 X

ekil 5.18. Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi.......................... 16 ekil 5.19. Kayma deformasyonlar etkisinin rölatif yatay ötelemeler üzerine olan etkisi.................. 17 ekil 5.. Yatay deplasmann düzgün yayl yüke göre deiimi..... 17 ekil 5.1. 7 Katl betonarme çerçeve örnei............. 18 ekil 5.. 7. Kat kolon yerleim plan................ 19 ekil 5.3. ( i ) maks. /h i nin yatay yüklere göre deiimi........ 11 ekil 5.4. 6 Katl betonarme çerçeve örnei............. 11 ekil 5.5. 6. Kat kolon yerleim plan(m)................ 11 ekil 5.6. ( i ) maks. /h i nin yatay yüklere göre deiimi........ 114 ekil 5.7. Yatay ve düey yükler etkisi altndaki dört katl betonarme çerçeve örnei...................... 115 ekil 5.8. Maksimum rölatif yatay ötelemenin uygulanan yatay yüke göre deiimi.................... 116 ekil 5.9. Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi...................... 117 ekil 5.3. Eilme momentinin yatay yüke göre deiimi........ 118 ekil 5.31. Yatay ve düey yükler etkisi altndaki iki katl betonarme çerçeve örnei....................... 119 ekil 5.3. Deneysel ve analitik çalma sonuçlarndan elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas.............. 119 ekil 5.33. Geometrik nonlineerlik etkilerinin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi.......................... 1 ekil 5.34. Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi.......................... 11 ekil 5.35. C3 kolonunun eilme momentinin yatay yüke göre deiimi 1 ekil 5.36. C4 kolonunun eilme momentinin yatay yüke göre deiimi 1 XI

SMGEER VE KISATMAAR A : Kesit alan A i : Tekil yükün sol mesnetten olan uzakl E : Elastisite modülü f : Betonun karakteristik basnç dayanm f t : Betonun çekme dayanm f r : Betonun eilmedeki çekme dayanm F ts : Çekme rijitle#mesi fonksiyonu F ss : Kayma rijitlii fonksiyonu G : Elastik kayma modülü G : Etkili kayma modülü G ts : Çekme rijitle#mesi fonksiyonuna bal bir fonksiyon G ss : Kayma rijitlii fonksiyonuna bal bir fonksiyon I eff : Etkili atalet momenti I g : Brüt beton kesit atalet momenti I : Burulma atalet momenti I 1 : Çatlamam# kesitin atalet momenti I : Kesitin tamamen çatlam# haldeki atalet momenti : Elemann boyu r : Çatlam# bölge uzunluu M : Eilme momenti M r : Çatlama annda kesitte olu#an eilme momenti N : Eksenel kuvvet P : Tekil kuvvet q : Yayl yük 1 r eff : Etkili kesit erilii 1 r 1 : Çatlamam# kesit erilii XII

1 r : Tamamen çatlam# haldeki kesit erilii S : 3ekil katsays T s : Çekme donatsndaki kuvvet T sr : Çatlama annda çekme donatsndaki kuvvet V : Kesme kuvveti y t : Kesitin en alt yüzünden arlk merkezine olan uzakl 5 : Çatlayan ve çatlamayan bölgeleri ifade eden boyutsuz büyüklük 6 : Çekme #ekil dei#tirmesi deeri 7 v : Eksenel basnç gerilmesi 6 1, 6 : Yaknsaklk kriterleri A r : Çatlayan bölgelerin alanlar toplam A unr : Çatlamayan bölgelerin alanlar toplam P r : Elemana ait kesitlerin çatlama olasl P unr : Elemana ait kesitlerin çatlamama olasl XIII

1. GR lker Fatih KARA 1. GR Betonarme tay sistemlerin, yatay ve düey yükler etkisi altndaki yapsal analizi, malzeme davrannn do"rusal elastik oldu"u kabulüne dayanan hesap yöntemleri ile yaplmasna karn, kesit hesaplarnda beton ve çeli"in elastik ötesi davranlar göz önüne alnmaktadr. Betonun çekme dayanmnn düük olmas nedeniyle betonarme elemanlarda çatlama kaçnlmaz bir olay olup, sistematik olarak gelimemekte ve açklk boyuna büyük de"iimler gösterebilmektedir. Çatlamalarn etkisi de hesaba katlarak, betonarmenin gerçek özelli"i olan do"rusal olmayan davranlarnn dikkate alnmasyla, yapda oluaak iç kuvvet ve yer de"itirme de"erleri lineer analiz sonuçlarna göre önemli de"iimler gösterebilmektedir. Bu de"iimlere neden olan en büyük etken ise çatlamadan sonra elemanlarn açklklar boyuna büyük de"iiklik gösteren e"ilme ve kayma rijitlikleri de"erleridir. Betonarme yaplarn projelendirilmesindeki temel amaç, yapya etkiyen yükler netiesinde kesitte oluan zorlamalarn güvenli bir ekilde karlanmasyla birlikte, kullanm yükleri altnda elemanlarn fonksiyonlarn yerine getirebilmesi için ekil de"itirme ve dolaysyla yer de"itirmelerin küçük kalmas ve belli de"erleri amamasdr. Bu amaçla düey yükler etkisi altnda bulunan kirilerde oluan çökmelerin gerçe"e daha yakn olarak hesaplanabilmesi için çatlamadan sonra bu elemanlarn e"ilme ve kayma rijitliklerinde oluan de"iimler önemli olmaktadr. Yaplar düey yükler yannda deprem ve rüzgâr etkisi nedeniyle oluan yatay yüklere de maruzdurlar. Bu yüklerden dolay gerek yapda meydana gelen yatay yer de"itirmelerin, gerekse ikini mertebe momentlerinin hesaplanmasnda kolonlarda çatlamadan sonra oluaak etkili e"ilme ve kayma rijitlikleri de önem kazanmaktadr. Yapya uygulanan yatay ve düey yüklerden dolay betonarme elemanlarda oluan çatlamalar, elemanlarn ve yapnn rijitli"inin azalmasna ve buna ba"l olarak deplasmanlarn artmasna neden olmaktadr. Betonarme yapda oluan yatay deplasmanlarla, elemanlarda oluan çökmelerin gerçe"e daha yakn olarak hesaplanabilmesi için yap içerisindeki çatlayan elemanlarn belirlenmesi ve bu elemanlarn etkili e"ilme ve kayma rijitliklerinin elde edilmesi gerekmektedir. Bu 1

1. GR lker Fatih KARA de"erleri uygun yöntemlerle elde ederek gelitirilen analiz yöntemleri çatlamalarn etkisini göz önünde bulundurmadan gelitirilen lineer analiz yöntemlerine göre daha gerçekçi sonuçlar ortaya çkarabilir. Yap sistemleri yapya uygulanan yüklerin çok düük oldu"u düzeylerde lineer olarak davranmalarna karn, yükler ve deformasyonlar yeterine artt"nda e"ilme momentleri ve eksenel kuvvetlerin birbirlerinin rijitliklerini etkilemelerinden ve dü"üm noktalarnn yükleme esasna göre de"imesi nedeniyle oluan ikini mertebe etkilerden dolay lineer olmayan bir davran göstermektedirler. Yaplarn lineer elastik analizinde, yap elemanlarnn rijitlik ve esnekliklerinin sabit oldu"u kabul edilmekte ve yük deplasman ilikisi do"rusal bir davran göstermektedir. Gerçekte, bir yapsal eleman üzerine etkiyen eksenel kuvvet elemann rijitlik matrisini ve dolaysyla esneklik matrisini de"itirmektedir. Bu olay ikini mertebe etkilerinin, yani denge denklemlerinin ekil de"itirmemi sistem üzerinde de"il, ekil de"itirmi sistem üzerinde yazlmas gere"inden ortaya çkmaktadr. Ço"u kez düük yükleme kademelerinde yapsal deplasmanlarn yapnn boyutlarna kyasla çok küçük olmalar nedeniyle, denge denklemlerinin ekil de"itirmemi sistem üzerinde yazlmas, büyük hatalara neden olmamaktadr. Yapya uygulanan yük seviyesi arttkça çatlamalarn etkisiyle de yapda oluan deplasmanlar artmakta ve yapnn yer de"itirmi dü"ümlerine uygulanan yükler de ilave momentler do"masna neden olmaktadr. Oluan bu momentler yapnn çubuk kuvvetlerini ve kritik yükünü etkilemektedir. Bu nedenlerden dolay ikini mertebe etkilerin bir di"er ifadeyle geometrik nonlineerlik etkilerin analizlerde göz önünde bulundurulmas sonuçlarn daha gerçekçi bir ekilde elde edilmesi açsndan oldukça önemli olmaktadr. Sunulan çalmada ilk etapta kiri ve kolon elemanlarda oluan çatlamalar göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizine yönelik analitik bir yöntem gelitirilmi ve bu yönteme dayal olarak bir bilgisayar program oluturulmutur. Yapya etkiyen yatay ve düey yüklerden dolay kiri ve kolon elemanlarnn çatlamas halinde etkili atalet momentlerinin hesabnda ACI, CEB ve olasl"a dayal etkili rijitlik modelleri

1. GR lker Fatih KARA kullanlmtr. Analizde kayma deformasyonlarnn etkisi de göz önünde bulundurulmu olup etkili kayma modüllerinin hesabnda literatürde mevut olan de"iik yöntemler kullanlmtr. Çatlamalardan sonra betonarme elemanlarn e"ilme ve kayma rijitli"indeki de"iimler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için gelitirilen formülasyonlar rijitlik matrisi yöntemine dayandrlarak oluturulmutur. Gelitirilen yöntemde çatlamalarn etkisi sonlu elemanlar metodunda oldu"u gibi elemanlar parçalara ayrp göz önüne alarak çözüme ulamak yerine, tek bir elemanda çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenip rijitlik matrisi yöntemine dayandrlarak gelitirilen formülasyonlar " altnda elemanlarn esneklik katsaylar ve yük vektörleri ile rijitlik matrisi de"erleri elde edilerek, sonlu elemanlar yöntemine göre daha çabuk ve etkili bir ekilde sonua ulalmaktadr. Bu çalmada literatürde mevut olan ve deneysel çalmalar daha öneden yaplan yatay ve düey yükler etkisi altndaki betonarme çerçeve örnekleri gelitirilen bilgisayar program aral" ile çözümlenmi ve elde edilen sonuçlar deneysel sonuçlarla karlatrlarak gelitirilen yöntemin do"rulu"u ve uygulanabilirli"i belirlenmeye çallmtr. Ayra de"iik boyut ve farkl katlara sahip yatay ve düey yükler etkisi altndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örnekleri gelitirilen bilgisayar program aral" ile çözümlenerek, katlarn rölatif yatay ötelemelerinin lineer analize göre nasl bir de"iim gösterdi"i ve TDY de verilen maksimum rölatif yatay öteleme artnn sa"lanp sa"lanmad" kontrol edilmitir. Betonarme yapya uygulanan yatay ve düey yüklere ba"l olarak özellikle tasarmda proje mühendisleri için önemli olabileek, elemanlardaki çatlamalarn oluum sras ve elemanlarn e"ilme rijitli"inde oluan de"iimler de elde edilmitir. Çalma kapsamnda kiri ve kolon elemanlarda oluan çatlamalarn etkisiyle birlikte geometrik nonlineerlik etkiler de göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için bir bilgisayar program daha gelitirilmitir. Analizde, eksenel kuvvet ve e"ilme momentlerinin birbirlerinin rijitliklerini etkilemelerinden dolay ve dü"üm noktalarnn yükleme esasna göre de"imesi nedeniyle oluan ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurulmutur. Çatlamalardan 3

1. GR lker Fatih KARA sonra elemanlarn etkili atalet momentlerinin hesabnda olasl"a dayal etkili rijitlik modeli kullanlm olup, kayma deformasyonlar etkisi analizde göz önünde bulundurulmamtr. Yatay ve düey yükler etkisi altndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin gelitirilen bilgisayar program ile çözümlenmesinden çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerin yap davranna olan etkisi ayrntl bir ekilde irdelenmeye çallmtr. 4

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA. ÖNCEK ÇAIMAAR Betonarme yap!lar!n analizinde çatlamalar!n etkisi ve malzemelerin lineer olmayan davran!'! genellikle literatürde mevut olan de,i'ik çatlama ve malzeme modelleri ile göz önünde bulundurulup, sonlu elemanlar yöntemine dayand!r!larak gerçekle'tirilmektedir. Çatlamalar!n etkisi ayr!a literatürde bulunan de,i'ik etkili rijitlik modelleri ile de göz önünde bulundurulabilmektedir. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerin analizinde, gerek geometrik nonlineerlik etkiler gerekse malzemelerin lineer olmayan davran!'! ile çatlamalar!n etkisi birlikte göz önünde bulundurup sonlu elemanlar metoduna dayand!r!larak geli'tirilen çal!'malar da yap!lm!'t!r. Anak betonarme yap!lar!n analizinde çatlamalar ve/veya geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurulup rijitlik matrisi yöntemine dayand!r!larak geli'tirilen çal!'malar ise literatürde s!n!rl! say!da bulunmaktad!r. Branson (1963), yap!ya uygulanan yüklerden dolay! betonarme elemanlarda olu'an momentin çatlamay! meydana getiren M r momentini a'mas! halinde, atalet momentinin çatlaman!n olu'tu,u bölgelerde nas!l bir de,i'im gösterdi,ini yapt!,! çal!'mada inelemi' ve a'a,!daki e'itli,i ortaya ç!karm!'t!r. p p M r M r I eff = I1+ 1 I M M (.1) Bu denklemdeki, I eff, kesitin etkili atalet momentini, I 1 ve I ise s!ras!yla çatlamam!' haldeki kesit atalet momentini ve tamamen çatlam!' haldeki kesitin atalet momentini ifade etmektedirler. Ayn! denklemde deneysel çal!'ma sonuçlar!yla uyumlu olaak 'eklide p=4 al!nmaktad!r. Sakai ve Kakuta (198), e,ilme ve eksenel yük etkisi alt!ndaki betonarme elemanlarda moment e,rilik ili'kisini elde etmek için Branson (1963) taraf!ndan verilen etkili atalet momenti ifadesini eksenel yük durumunu içereek 'ekilde genelle'tirerek, bu denklemdeki M r /M in yerine çekme donat!s!ndaki kuvvetleri 5

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA içeren T sr /T r oran!n! kullanm!'lard!r. Çal!'malar!nda etkili atalet momentini a'a,!daki denklemdeki gibi ifade etmi'lerdir. p p T sr T sr I eff = I1 1 I T + s T s (.) Bu denklemdeki T sr çatlama an!ndaki, T s ise verilen yük düzeyindeki ilgili kesitteki çekme donat!s!ndaki kuvvetleri göstermektedir. I 1 ve I ise s!ras! ile brüt ve çatlam!' beton kesitin atalet momenti de,erleridir. Sakai ve Kakuta geli'tirdikleri bu modelin do,rulu,unu kan!tlamak için, sadee e,ilme momentine ve e,ilme momenti ile eksenel yüke maruz betonarme elemanlar!n moment e,rilik ili'kisini elde etmek için iki farkl! deneysel çal!'ma yapm!'lard!r. Deney sonuçlar!yla geli'tirdikleri modele ba,l! olarak elde ettikleri sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan uyumlu sonuçlar elde etmi'lerdir. Pulmano ve Young (1986), betonarme kiri'lerle birlikte öngerilmeli kiri'lerde uzun süreli ve k!sa süreli yüklemelerden dolay! olu'an deplasmanlar! hesaplayabilen sonlu elemanlar metoduna dayal! analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Analizde çatlamalardan dolay! olu'an lineer olmayan etkiler ve zamana ba,l! olarak sünme ve büzülmeden dolay! olu'an etkiler göz önünde bulundurulmu'tur. Çatlamalardan sonra elemanlar!n atalet momentlerinin hesab!nda Branson (1963) taraf!ndan önerilen etkili atalet momenti ifadesi kullan!lm!'t!r. Çal!'malar!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'malar! yap!lm!' ani ve uzun süreli yüklemeler alt!ndaki tek aç!kl!kl! ve sürekli kiri' örneklerini çözümleyerek elde ettikleri sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde, statikçe belirsiz kiri' elemanlarda olu'an iç kuvvet da,!l!mlar!n! elde ederek bu de,erlerin deneysel sonuçlarla kar'!la't!r!lmas!ndan oldukça uyumlu sonuçlar elde etmi'lerdir. Çal!'mada geli'tirilen yöntem sadee statikçe belirli ve belirsiz kiri'lerin analizine yönelik bir yöntem olmakla birlikte uygun sonuçlar elde edilebilmesi için kiri'leri çok say!da elemanlara bölmek gerekmekte ve eleman say!s! artt!kça sonuçlara 6

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA ula'abilmek ve bu sonuçlar! de,erlendirmek de zahmetli ve zaman al!! olabilmektedir. El-Metwally ve Chen (1988) çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerde geometrik nonlineerlik ve malzeme nonlineerli,i ile birlikte dü,ümlerin lineer olmayan davran!'lar!n! göz önünde bulunduran analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Analizde betonun lineer olmayan gerilme birim deformasyon ili'kisi için Salmon taraf!ndan önerilen model göz önünde bulundurulmu' olup kayma deformasyonlar! etkisi ihmal edilmi'tir. Malzeme nonlineerli,inin betonarme yap!lar!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip oldu,unu ve yatay yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerde geometrik nonlineerlik etkilerin de çerçevede olu'an deplasmanlar ve çerçevenin davran!'! üzerinde önemli olabilee,ini elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda deneysel çal!'mas! daha öneden yap!lan, yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçeve örne,ini geli'tirdikleri model ile çözümlemi' ve elde ettikleri sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'lard!r. Teorik model sonuçlar! ile deneysel sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan, malzeme nonlineerli,inin gerek betonarme çerçevede olu'an deplasmanlar gerekse çerçevenin ta'!ma güü yükünün ve k!r!lma mekanizmas!n!n gerçe,e daha yak!n ve do,ru olarak elde edilebilmesi aç!s!ndan analizlerde göz önünde bulundurulmas!n!n oldukça önemli oldu,u sonuuna varm!'lard!r. Bununla birlikte betonarme çerçevede yük deformasyon ili'kisinin ve çerçevenin dayan!m de,erinin gerçe,e daha yak!n olarak elde edilebilmesi için geometrik nonlineerlik etkilerin malzeme nonlineerli,i ile birlikte analizde göz önünde bulundurulmas!n!n gerekli oldu,unu deneysel sonuçlarla teorik model sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan elde etmi'lerdir. Geometrik nonlineerli,in özellikle yatay yükler etkisi alt!ndaki çok katl! yap!larda ve narin kolonlar içeren betonarme yap!larda önemli olabilee,ini geli'tirdikleri çal!'ma sonuçlar!ndan elde etmi'lerdir. Cosenza (1989) yapt!,! çal!'mada dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme kiri'leri, çatlamalar!n etkisini göz önünde bulunduraak 'ekilde sonlu elemanlar yöntemiyle analiz etmi'tir. Çal!'mas!nda betonun çekme direninin e,ilme rijitli,ine katk!s!n! ACI, CEB, sabit çekme rijitle'mesi ve lineer çekme rijitle'mesi gibi modellerle göz önünde bulundurmu'tur. Esneklik katsay!lar!n!n elde edilmesinde 7

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA düzgün yay!l! yüklü basit mesnetli bir kiri' kullanm!' ve analizde çatlamalardan sonra betonarme elemanlar!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip olabileek kayma deformasyonlar!n!n etkisini göz önünde bulundurmam!'t!r. Çal!'mas!nda ayr!a, deneysel çal!'mas! Washa ve Flok (1956) taraf!ndan yap!lan, de,i'ik donat! oranlar!na sahip düzgün yay!l! yükler etkisi alt!ndaki iki aç!kl!kl! sürekli bir kiri' örne,ini geli'tirdi,i yöntemle çözümlemi' ve elde etti,i sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'t!r. Sun ve ark. (199), düzlemsel betonarme çerçevelerin analizi için sonlu elemanlar metoduna dayand!r!lan, lineer olamayan bir analiz yöntemi geli'tirmi'ler ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Analizde malzemenin lineer olmayan davran!'! ile geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurulmu' olup, kayma deformasyonlar! etkisi ihmal edilmi'tir. Betonarme çerçeveye yükler ad!m ad!m uygulanm!' ve her yük ad!m!nda iteratif i'lemlere ba'vurulmu'tur. Sonlu elemanlar yönteminde, elemanlara ait kesitin derinli,i boyuna malzeme özelli,indeki de,i'imi modelleyebilmek ama!yla, kiri' ve kolon elemanlar! için tabakal! model seçilmi' ve çözümlemelerde gauss integrasyon yöntemi kullan!lm!'t!r. Çal!'malar!nda ayr!a deneysel çal!'mas! daha öneden yap!lm!' tek katl! ve tek aç!kl!kl! betonarme çerçeve örne,ini geli'tirdikleri bilgisayar program! ara!l!,! ile çözümleyerek elde ettikleri sonuçlarla deneysel sonuçlar! kar'!la't!rm!'lard!r. Betonarme çerçevede kat say!s! ve eleman say!s! artt!kça geli'tirilen yöntemle gerek sonua ula'!lmas! gerekse sonuçlar!n de,erlendirilmesi zahmetli ve zaman al!! olabilmektedir. Vehio ve Emara (199), düzlemsel betonarme çerçevelerin analizinde geometrik nonlineerlik ve malzeme nonlineerli,i ile birlikte kayama deformasyonlar! etkisini de göz önünde bulunduran sonlu elemanlar metoduna dayal! analitik bir yöntem geli'tirmi'ler ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Analizde kayma deformasyonlar! etkisini iki boyutlu gerilme durumunu göz önünde bulunduran tabakal! kesit analizi yöntemi ile ele alm!'lard!r. Kayma deformasyonlar! etkisinin gerek betonarme çerçevede olu'an deplasmanlar! gerekse betonarme çerçevenin yük ta'!ma kapasitesi ve k!r!lma mekanizmas! üzerine olan etkisini ara't!rm!'lard!r. Çal!'malar!nda ayr!a iki katl! tek aç!kl!kl! yatay ve 8

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçeveyi de yüklemeye tabi tutmu'lar ve elde ettikleri sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'lard!r. Deneysel çal!'ma sonuçlar!ndan kiri'lerin k!r!lma mekanizmas!n!n e,ilmeden dolay! olu'mas!na ra,men özellikle yatay yükler etkisi alt!nda büyük kesme 'ekil de,i'tirmelerinin olu'tu,unu gözlemlemi'lerdir. En büyük kesme 'ekil de,i'tirmelerinin kiri' ve kolonlar!n birle'ti,i dü,üm noktalar! ivar!nda olu'tu,unu ve buna ba,l! olarak bu bölgelerde büyük diyagonal çatlaklar gözlemlemi'lerdir. Deneysel çal!'mada elde ettikleri sonuçlarla teorik model sonuçlar!n!n kar'!la't!r!lmas!ndan kesme gerilmelerinin elemanlar!n e,ilme ve kayma rijitli,ini azaltt!,!n! ve buna ba,l! olarak dönme ve eksenel 'ekil de,i'tirmelerle birlikte deplasmanlar! önemli dereede artt!rd!,!n! elde etmi'lerdir. Kayma deformasyonlar! etkisinin çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas!na ba,l! olarak yatay deplasmanlar üzerinde önemli bir etkiye sahip oldu,u ve ta'!ma güü yükü seviyesinde k!r!lman!n e,ilmeden dolay! olsa bile çerçevenin yatay deplasman!n! yakla'!k olarak % artt!rd!,!n! elde etmi'lerdir Al-Shaikh ve Al-Zaid (1993), tekil yük etkisi alt!ndaki basit mesnetli betonarme kiri'lerin etkili atalet momentlerinin hesab!nda donat! oranlar!n!n etkisini inelemi'lerdir. De,i'ik donat! oranlar!na sahip kiri'ler üzerine yapt!klar! deneysel çal!'ma sonuçlar!yla Branson un (1963) yapt!,! çal!'malar netiesinde ortaya ç!kard!,! ve ACI taraf!ndan da benimsenen etkili atalet momenti denklemlerinin ortaya ç!kard!,! sonuçlar! kars!la't!rm!'lar ve önemli farklar oldu,unu gözlemlemi'lerdir. Branson un önerdi,i etkili atalet momenti denklemindeki p katsay!s!n!n yapt!klar! deneysel çal!'ma sonuçlar!n!n de,erlendirmesinden, kesitteki donat! oran!na ba,l! olarak, m=3-.8 K (.3) 'eklinde ifade etmi'lerdir. Bu e'itlikteki K kesitteki donat! oran!n! gösteren de,erdir. Çal!'malar!nda ayr!a tekil yük etkisi alt!ndaki basit mesnetli betonarme kiri'lerin etkili atalet momentlerinin hesab!nda yeni bir model geli'tirmi'lerdir. Bu modelde etkili atalet momentini, 9

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA m m r r I eff = I1+ 1 I (.4) 'eklinde çatlama uzunlu,una ( r ) ve kesitteki donat! oran!na göre de,i'en bir katsay!ya (m') ba,l! olarak ifade etmi'lerdir. Yukar!daki denklemdeki r, M momentinin çatlamay! meydana getiren M r momentini a'mas! halinde çatlam!' bölge uzunlu,unu, eleman!n boyunu, I 1 ve I ise s!ras! ile brüt ve çatlam!' beton kesitin atalet momentini ifade etmektedirler. Bu e'itlikteki m' de,eri ise M m'=.8 M r (.5) olarak belirtilmi' olup, bu e'itlikteki M r ve M çatlama an!ndaki ve verilen yük düzeyindeki ilgili kesitlerdeki e,ilme momenti de,erlerini göstermektedir. Tezan ve ark. (1995), yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme yap!larda olu'an hasarlar!n kontrolünü inelemeye yönelik olarak bir çal!'ma geli'tirmi'lerdir. Çal!'malar!nda betonarme çerçevelerde olu'an kat ötelemelerine ba,l! olarak çe'itli ülkelerin deprem yönetmeliklerindeki göreli kat deplasmanlar!na göre hasar kontrolünü yapm!'lard!r. Kat ötelemelerine getirilen s!n!rland!rman!n ta'!y!! olmayan bina elemanlar!nda olu'abileek hasarlar! önlemeye yönelik oldu,unu ve bu göreli kat deplasmanlar!n!n perde gibi rijit yap! elemanlar! ara!l!,! ile engellenmedi,i zaman ta'!y!! olmayan elemanlarda hasarlar!n olu'abilee,ini çal!'ma sonuçlar!ndan elde etmi'lerdir. Bununla birlikte ta'!y!! olmayan elemanlardaki hasarlar! kontrol etmeye yönelik hasar kontrol endeksi ve deplasman kriteri de,erini elde etmi'lerdir. Polak (1997) çal!'mas!nda betonarme plaklarda olu'an deplasmanlar! elde etmek için sonlu elemanlar metoduna dayal! basit bir yöntem geli'tirmi'tir. Çatlamalardan sonra elemanlar!n etkili atalet momentlerinin hesab!nda Branson (1963) taraf!ndan önerilen denklem kullan!lm!' olup, eleman rijitlik matrisinin elde edilebilmesi için, olu'turulan denklemlerin çözümlenmesinde gauss integrasyon yöntemi kullan!lm!'t!r. Çal!'mas!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'mas! 1

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA yap!lm!' gerek yükleme gerekse s!n!r 'artlar! bak!m!ndan de,i'ik özellikteki plaklar! geli'tirdi,i yöntem ara!l!,! ile çözümlemi' ve elde etti,i sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'t!r. Betonarme plaklar!n analizine yönelik geli'tirilen yöntemin sonlu elemanlar yöntemiyle birle'tirilmesinin oldukça kolay oldu,u görülmü'tür. Shuraim (1997) betonarme çerçevelerin yatay yüklere kar'! davran!'lar!n! belirlemek ve dayan!mlar!n! elde etmek ama!yla sonlu elemanlar yöntemine dayanan lineer olamayan bir analiz yöntemi geli'tirmi' ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'tur. Analizde malzemenin lineer olmayan davran!'! ile birlikte geometrik nonlineerlik etkileri göz önünde bulundurmu'tur. Çal!'mas!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'mas! yap!lm!' betonarme çerçeve örne,ini geli'tirdi,i bilgisayar program! ara!l!,! ile çözümlemi' ve gerek ta'!ma güü de,erlerini gerekse yük deformasyon ili'kisini deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'tir. Geli'tirdi,i yönteme ba,l! olarak yük deformasyon ili'kisini betonarme çerçevenin ta'!ma güü yükünün %8 oldu,u düzeye kadar deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'tir. Ayn! 'ekilde elde etti,i ta'!ma güü yükü de,eri ise deneysel sonuçlardan elde edilen de,erin %9 sine kar'!l!k gelmektedir. Çal!'mas!nda ayr!a de,i'ik yükleme ve donat! düzeylerine göre olu'turulan betonarme çerçevelerde dayan!m, süneklilik, momentlerin yeniden da,!l!m!, eksenel kuvvet ve yatay rijitlilik etkilerini ineleyeek 'ekilde parametrik bir çal!'ma yapm!'lard!r. Elde ettikleri sonuçlara göre tüm çerçevelerde ba'lang!çta tasarlanan ta'!ma güü yükü de,erlerine göre daha fazla ta'!ma güü de,erleri edilmi' ve ve bu durumun kiri'ler tasarlan!rken eksenel kuvvet etkisinin ihmal edilmesinden ve tasar!m a'amas!nda momentlerin yeniden da,!l!m!n!n göz önünde bulundurulmamas!ndan kaynaklanabilee,ini ifade etmi'lerdir. Parametrik çal!'mada ayr!a çerçeveye uygulanan yükün ba'lang!çtan ta'!ma güü yüküne eri'mesine kadar, çatlaklar!n olu'mas!, geli'mesi ve ilerlemesiyle birlikte kiri' elemanlarda olu'an momentlerin da,!l!m! inelenmi'tir. Bununla birlikte eksenel kuvvetin elemanlar!n ve çerçevenin ta'!ma güü yükü de,erleri üzerine olan etkisini de inelemi'ler ve eksenel bas!nç kuvvetinin elemanlar!n e,ilme rijitli,ini azaltt!,!n! elde etmi'lerdir. Kesitte di,er yüklemelerden dolay! çekme 'ekil de,i'tirmesi 11

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA olu'mas! halinde eksenel bas!nç etkisinin bu çekme 'ekil de,i'tirmesinden dolay! çatlak olu'umunu geiktirdi,ini ve eksenel bas!nç kuvvetinin bu etkisinin çerçevenin ta'!ma güü yükünü artt!rd!,!n! elde etmi'lerdir. Ayr!a elemanlar!n e,ilme rijitli,i de,erinin uzunluklar! boyuna büyük de,i'imler gösterdi,ini ve çerçeve ta'!ma güüne eri'ineye kadar elemanlar!n e,ilme rijitli,inde büyük azalamlar olu'tu,unu elde etmi'lerdir. Kesitteki donat! düzeyinin de eleman!n e,ilme rijitli,i de,erini önemli dereede etkiledi,i sonuuna varm!'lard!r. Çal!'mas!nda ayr!a lineer analizden elde etti,i yatay rijitlilikle nonlineer analizden elde edilen yatay rijitlili,i çerçeveye uygulanan yatay yük düzeyinin artmas!na ba,l! olarak kar'!la't!rm!' ve yatay rijitlili,in yükün artmas!na ba,l! olarak azald!,!n!, betonarme çerçeve ta'!ma güüne ula't!,!nda ise minimum de,ere ula't!,!n! elde etmi'tir. Bununla birlikte eksenel yükün yatay rijitlili,e olumlu katk! yapt!,!n! ve eksenel kuvvetin daha yüksek düzeyde bulundu,u çerçevelerde daha büyük yatay rijitlilik de,eri elde etmi'tir. Çal!'malar!nda ayr!a ACI taraf!ndan önerilen e,ilme rijitlikleri temel al!narak yap!lan analizler sonuu elde edilen yatay rijitlilikle nonlineer analiz sonuu elde edilen yatay rijitlilik de,erlerini kar'!la't!rm!'t!r. ACI taraf!ndan önerilen kabullere göre elde edilen de,erler aras!nda büyük farkl!l!klar olu'tu,unu ve yatay rijitlilik de,erlerinin elde edilebilmesi için sadee bir kabulün göz önünde bulundurularak hesaplar!n yap!lmas!n!n do,ru olamayaa,!n! ifade etmi'lerdir. Ning ve ark. (1999) çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme perdelerin davran!'lar!n! belirlemeye yönelik olarak analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Perde elemanlar!n çatlamadan sonraki etkili atalet momentlerini olas!l!,a dayal! etkili rijitlik yöntemiyle elde etmi'lerdir. Çal!'mada geli'tirdikleri analitik yöntem, etkili rijitlik modeli ile sonlu elemanlar yöntemini birle'tiren iteratif bir yönteme dayand!r!lm!'t!r. Çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki gerek içerisinde bulunan donat! düzeyi gerekse uygulanan dü'ey gerilmelerle, yüksekli,inin geni'li,ine olan oran! yönünden farkl!l!klar gösteren perde elemanlar!n! deneysel olarak yüklemeye tabii tutmu'lard!r. Deneysel sonuçlarla geli'tirdikleri yöntemden elde ettikleri sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan perde elemanlara etkiyen yatay yük düzeyinin ta'!ma güü yükünün %5 sinden fazla oldu,u durumlarda gerek e,ilmeden dolay! olu'an deplasmanlar! gerekse e,ilme 1

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA rijitli,indeki azalmalar! deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Kayma deformasyonlar!n!n oldukça önemli düzeyde oldu,u yüksekli,i az olan perdelerde bile deplasmanlar! deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Çal!'ma sonuçlar!ndan ayr!a kesme-e,ilme çatlaklar!n!n perde elemanlar!n!n e,ilme rijitli,ini azaltt!,!n! ve buna ba,l! olarak deplasmanlar!n artt!,!n! gerek geli'tirdikleri yöntem gerekse deneysel sonuçlardan elde etmi'lerdir. Ayr!a donat! düzeyindeki ve dü'ey yük seviyesindeki art!'!n perde dayan!m!n! önemli ölçüde artt!rd!,! sonuuna varm!'lard!r. Chan ve ark. () yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!nda betonarme yap! içerisindeki elemanlarda olu'an çatlamalar!n etkisini göz önünde bulunduran ve genel bir yöntem olan olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modelini geli'tirmi'lerdir. Bu modelde etkili atalet momentlerini, yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme yap!da, elemanlarda olu'an moment diyagram!ndaki çatlayan ve çatlamayan bölge alanlar!na ba,l! olaak 'ekilde elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda ayr!a çok katl! betonarme yap!lar!n analizi için yük art!m metodu ve direkt rijitlik yöntemi olmak üzere iki farkl! analiz algoritmas! geli'tirmi'lerdir. Geli'tirilen analiz yöntemleri olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modeli ile sonlu elemanlar metodunu birle'tiren iteratif yöntemlere dayand!r!lm!'t!r. Analizlerde özellikle çatlamalardan sonra betonarme yap!n!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip olabileek kayma deformasyonlar! etkisi ise göz önünde bulundurulmam!'t!r. Çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki iki katl! tek aç!kl!kl! betonarme bir çerçeveyi de deneysel olarak yüklemeye tabii tutmu'lard!r. Geli'tirdikleri analiz yöntemlerine dayal! olarak elde ettikleri yatay deplasmanlar! kullan!labilirlik yük düzeyinde deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Servis yükleri düzeyinden sonra, betonarme çerçevenin ta'!ma güüne de yakla'!ld!kça, teorik sonuçlarla deneysel sonuçlar aras!nda büyük farkl!l!klar elde etmi'lerdir. Tanr!kulu ve ark. (), kiri'lerdeki çatlamalar! göz önünde bulundurarak betonarme çerçevelerin iki boyutlu analizi için analitik bir yöntem bir yöntem geli'tirmi' ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde formülasyonlar! rijitlik matrisi yöntemine dayand!rarak olu'turmu'lard!r. Analizde kayma deformasyonlar!n!n etkisini de hesaba katarak 13

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA çatlayan elemanlar!n etkili atalet momentlerinin hesab!nda ACI ve CEB modellerini etkili kayma modüllerinin hesab!nda ise literatürde mevut olan de,i'ik yöntemleri kullanm!'lard!r. Çatlaman!n düzgün yay!l! yük ve ara tekil yük etkisi alt!ndaki kiri' elemanlarda olu'tu,unu kolonlarda ise lineer elastik modelin geçerli oldu,unu kabul etmi'lerdir. Oysaki yatay yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerde gerek yatay deplasmanlar!n gerekse ikini mertebe momentlerinin hesab!nda kolonlarda çatlamalardan sonra olu'aak etkili e,ilme ve kayma rijitlikleri büyük bir öneme sahip olmakta ve analizlerde kolonlarda da olu'an çatlamalar!n göz önünde bulundurulmas! sonuçlar!n daha gerçekçi bir 'ekilde elde edilebilmesi aç!s!ndan önemli olmaktad!r. Akso,an O. ve Erdem H. (1) üç boyutlu çerçevelerin analizinde ba,lant!lar!n nonlineer davran!'!n! ve çubuklardaki eksenel kuvvetler ve dü,ümlerin yerde,i'tirmesi (P-O etkisi) nedeniyle olu'an ikini mertebe etkilerini birlikte göz önünde bulundurarak inelemi'lerdir. Çal!'malar!nda, ba,lant!lar!n nonlineer M-P r ba,!nt!s! için Rihard modelini kullanarak malzeme davran!'!n!n lineer elastik oldu,unu kabul etmi'lerdir. kini mertebe analize ait tanjant rijitlik matrisini, çubuk eleman!n moment-e,rilik ili'kisini idare eden lineer difransiyel denklemin eksenel kuvvet ve yar! rijitlik etkileri de göz önünde bulundurarak s!n!r 'artlar! için çözümünden elde etmi'lerdir. Nonlineer denge denklemlerinin çözümünde ad!m ad!m yükleme ile iterasyon yöntemini kullanm!'lard!r. Çal!'ma sonuunda, ba,lant! davran!'!n!n gerçekçi olarak tan!mlanmas!n!n ve eksenel kuvvetlerin e,ilme rijitliklerine ve e,ilme momentlerinin eksenel rijitliklere etkilerinin hesaba kat!lmas!n!n güvenilir sonuçlar!n elde edilmesi için önemli olaa,!n! elde etmi'lerdir. Tikka (5), çal!'mas!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki düzlemsel betonarme çerçevelerde yük deformasyon ili'kisini ve dayan!m! elde etmek ama!yla malzeme nonlineerli,i ve geometrik nonlineerlik etkileri göz önünde bulundurarak lineer olmayan bir analiz yöntemi geli'tirmi' ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'tur. Betonun gerilme birim 'ekil de,i'tirme ili'kisi için Kent ve Park modelini kullanm!' olup kayma deformasyonlar! etkisini analizde göz önünde bulundurmam!'t!r. Çal!'mas!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'malar! yap!lm!', gerek beton dayan!m! gerekse kolonlar!n narinlik oranlar! 14

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA bak!m!ndan farkl!l!klar gösteren betonarme çerçeve örneklerinden elde edilen yük deformasyon ili'kisi ve dayan!m de,erlerini geli'tirdi,i bilgisayar program!ndan elde etti,i sonuçlarla kar'!la't!rm!'t!r. Gerek dayan!m de,erlerini gerekse yük deformasyon e,rilerini belirli bir yakla'!kl!kla deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'tir. Çal!'mas!nda ayr!a kolonlar!n narinlik oran!n!n, betonun dayan!m!n!n, kolonlardaki eksantiritenin ve elemanlardaki donat! düzeylerinin çerçevelerin dayan!m! üzerine olan etkisini ara't!rm!'t!r. Chan ve ark. (5), betonarme çerçevelerin analizinde çatlamalar!n etkisini göz önünde bulunduran analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Çatlamalar!n olu'mas!ndan sonra kiri', kolon ve perde elemanlar!n!n etkili atalet momentlerini olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modeli ile elde etmi'lerdir. Bu modelde etkili atalet momentlerini, yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!nda yap!da betonarme elemanlarda olu'an moment diyagram!ndaki çatlayan ve çatlamayan bölge alanlar!na ba,l! olaak 'ekilde elde etmi'lerdir. Geli'tirilen yöntem sonlu elemanlar metodu ile etkili rijitlik modelini yük art!m metodu ile birle'tiren iteratif bir yönteme dayand!r!lm!'t!r. Çal!'malar!nda ayr!a yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki iki farkl! betonarme çerçeve örne,ini dü'ey yükler sabit kalmak üzere artan yatay yükler etkisi alt!nda deneysel olarak yüklemeye tabii tutmu'lard!r. Geli'tirdikleri yönteme dayal! olarak elde ettikleri sonuçlar ile deneysel sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan, kullan!labilirlik yük düzeyinde çerçevede olu'an yatay deplasmanlarla, elemanlar!n çatlama s!ras!n! ve çatlamay! olu'turan yük de,erini deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Ayr!a deneysel olarak elde edilen yatay deplasmanlar!n lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlara göre oldukça büyük de,i'imler gösterdi,ini gözlemlemi'lerdir. Dündar ve Kara (6) çal!'malar!nda kiri' ve kolonlarda olu'an çatlamalar ve eksenel kuvvetler nedeniyle olu'an ikini mertebe etkileri göz önünde bulundurularak ta'!y!! sistemi çerçevelerden olu'an betonarme yap!lar!n üç boyutlu analizi için bir bilgisayar program! geli'tirilmi'tir. Çal!'malar!nda formülasyonlar! rijitlik matrisi yöntemine dayand!rarak olu'turmu'lard!r. Yap!ya etkiyen yatay ve dü'ey yüklerden dolay! kiri' ve kolon elemanlar!n!n çatlamas! halinde etkili atalet momentlerinin hesab!nda olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modelini kullanm!'lard!r. 15

. ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA Geli'tirdikleri bilgisayar program! ara!l!,! ile gerek iki boyutlu gerekse üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin çözümlenmesinden, çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak elde edilen yatay deplasmanlar!n lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlara göre yatay yük düzeyinin artmas!na ba,l! olarak büyük de,i'imler gösterdi,ini elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda ayr!a betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas!na ba,l! olarak elemanlar!n e,ilme rijitliklerinde çatlamalar!n etkisiyle büyük azalmalar olu'tu,unu elde etmi'lerdir. Dündar ve Kara (7), kiri' ve kolon elemanlardaki çatlamalar! göz önünde bulundurarak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi geli'tirdikleri analitik yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde formülasyonlar! sonua daha çabuk ve kolay ula'!labilmesi için rijitlik matrisi yöntemine dayand!rarak olu'turmu'lard!r. Çal!'malar!nda betonarme yap!ya etkiyen yatay ve dü'ey yüklerden dolay! kiri' ve kolon elemanlar!n!n çatlamas! halinde etkili atalet momentlerinin hesab!nda ACI, CEB ve olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modellerini kullanm!'lard!r. Analizde çatlamalardan sonra betonarme yap!n!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip olabileek kayma deformasyonlar! etkisini de göz önünde bulundurmu' olup etkili kayma modüllerinin hesab!nda ise literatürde mevut olan de,i'ik yöntemleri kullanm!'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde betonarme çerçeveye uygulana yüklere ba,l! olarak elemanlardaki çatlamalar!n olu'um s!ras! ve elemanlar!n e,ilme rijitli,inde olu'an de,i'imleri de elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda ayr!a yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme yap!da kayma deformasyonlar!n!n yatay deplasmanlar üzerine olan etkisini de inelemi'lerdir. 16

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3. MATERYA ve METOD 3.1. Giri Deprem ve rüzgar gibi yatay yüklerle birlikte dü#ey yükler etkisi alt%ndaki betonarme yap%larda, elemanlarda olu#an çatlamalar e+ilme ve kayma rijitliklerinde önemli azalmalar meydana getirmekte ve bu etkiler de deplasmanlar%n artmas%na ve iç kuvvetlerin yeniden da+%l%m%na neden olarak yap%n%n davran%#%n% önemli ölçüde etkileyebilmektedirler. Elemanlardaki eksenel kuvvetler ve e+ilme momentlerinin birbirlerinin rijitliklerini etkilemesi ve dü+ümlerin yükleme esas%na göre yer de+i#tirmesi nedeniyle olu#an geometrik nonlineerlik etkilerin analizlerde göz önünde bulundurulmas% da yap% davran%#%n%n daha gerçekçi bir #ekilde elde edilebilmesi aç%s%ndan önemli olmaktad%r. Bu çal%#mada bu amaçla kiri# ve kolon elemanlarda olu#an çatlamalar ve/veya geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizine yönelik analitik yöntemler geli#tirilmi# ve bu yöntemlere dayal% olarak bilgisayar programlar% olu#turulmu#tur. Bu bölümde ilk etapta çatlamalar%n olu#mas%yla birlikte elemanlar%n e+ilme rijitli+inde olu#an de+i#imler irdeleneek ve çatlamalardan sonra gerek e+ilme gerekse kayma rijitli+i için daha öneden geli#tirilen modellere ba+l% olarak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizi için geli#tirilen analitik yöntemde formülasyonlar%n olu#turulmas%na ayr%nt%l% bir #ekilde yer verileektir. Daha sonra ise rijitlik matrisi yöntemine dayand%r%larak olu#turulan formülasyonlara göre geli#tirilen bilgisayar program%n%n yap%s% ayr%nt%l% bir #ekilde tan%t%laakt%r. Çatlamalar%n etkisiyle birlikte geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak geli#tirilen yöntem ve bu yönteme dayal% olarak olu#turulan bilgisayar program% ise di+er bölümde ayr%nt%l% olarak irdeleneektir. 17

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.. Çekme Rijitlemesi ve Moment Erilik likisi Betonarme ta#%y%% sistemin kendisinden beklenen i#levi yerine getirebilmesi için göçme durumuna kar#% belirli bir güvenli+e sahip olmas%n%n yan%nda, servis yükleri alt%nda büyük yer de+i#tirmeler yapmamas% hatta bu de+erlerin belli s%n%rlar%n alt%nda kalmas% gerekmektedir. Kiri# veya kolonlarda meydana gelen yer de+i#tirmelerin hesab%nda en önemli sorun moment e+rilik ili#kilerinin tan%mlanmas%ndan kaynaklanmaktad%r. Yatay ve dü#ey yükler etkisi alt%nda betonarme yap%da elemanlar%n herhangi bir kesitinde olu#an M momentinin çatlamay% meydana getiren M r momentinden küçük olmas% halinde kesit çatlamam%#t%r ve atalet momenti I 1 ile tan%mlanmaktad%r. Tamamen çatlam%# durumdaki kesit atalet momenti ise I ile tan%mlanmaktad%r. I g ile ifade edilen ve donat%n%n etkisini hesaba katmayan brüt beton kesitin atalet momenti ise I 1 ile tan%mlanan atalet momentinden küçük bir de+er almaktad%r. Yükler etkisi alt%ndaki elemanlar%n herhangi bir kesitinde olu#an M momentinin M r momentinden büyük olmas% halinde, kesitte çatlama meydana gelmi#tir ve bu bölgelerdeki kesitlerde atalet momentleri I 1 ve I s%n%r de+erleri aras%nda olan ve etkili atalet momenti (I eff ) olarak adland%r%lan bir atalet moment ile temsil edilmektedir. I eff e kar#% gelen kar#% gelen 1/r eff e+rili+i, I 1 ve I ye kar#% gelen 1/r 1 ve 1/r e+rilikleri aras%nda kalan bir de+erdir ve e+ilmeden öne düzlem olan kesitler e+ilmeden sonra da düzlem kal%r dü#ünesi göz önünde bulundurulursa 1 M = E Ieff r eff (3.1) e#itli+i sa+lanmaktad%r. :ekil 3.1 deki kesitlerde etkili atalet momenti ve e+rilikle ilgili bilgiler görülmektedir. I < I eff < I 1 1/r 1 < 1/ r eff < 1/r I 1 I g I 1/r 1 ekil 3.1. Çatlaman%n olu#tu+u ve olu#mad%+% durumlarda betonarme kesitlerin davran%#% 18 1/r

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA :ekil 3.1 den görüldü+ü gibi çatlaklar%n olu#mas% ile birlikte, çatlayan bölge çekme etkisinde çatlamam%# beton ile birbirinden ayr%lmakta ve bununla birlikte bu bölgedeki rijitlikte bir miktar art%# gözlenmektedir. Çekme bölgesindeki betondan kaynaklanan bu rijitlik art%#% olay%na çekme rijitle#mesi ad% verilmi# ve bu durumun eleman üzerindeki etkisi :ekil 3. deki I 1, I, I g ve I eff atalet momenti de+erlerine ba+l% olarak moment e+rilik ili#kisi grafi+inden görülmektedir. M 1 g I eff 1 E I 1 1 E I M r 1/r ekil 3.. Betonarme kesitlerde moment e+rilik ili#kisi :ekilden, M momentinin çatlamay% meydana getiren M r momentinden büyük olmas% halinde beton kesitin gerçek yani etkili olarak adland%r%lan davran%#% görülmekte ve bu davran%#% temsil eden e+ri s%n%r de+erler olan 1 ve do+rular% aras%nda olu#maktad%r. :ekildeki 1, ve g do+rular% matematiksel e#itliklerle ifade edilmekte olup, çatlama durumunda olu#an e+ri (I eff ) bu çal%#mada da kullan%lan ve deneysel çal%#ma sonuçlar%ndan elde edilen matematiksel modellerle ifade edilmi#lerdir. 19

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.3. Formülasyonda Kullan(lan Modeller 3.3.1. Etkili Eilme Rijitilii için Kullan(lan Modeller Yatay ve dü#ey yükler etkisi alt%ndaki yap%da kiri# ve kolon elemanlar%n%n çatlamas% halinde etkili atalet momenti de+erleri ACI, CEB ve olas%l%+a dayal% etkili rijitlik modelleri taraf%ndan verilen (1), () ve (3) denklemleri ara%l%+% ile göz önünde bulundurularak analize dahil edilmi#lerdir. ACI Modeli: m m M r M r I eff = I1+ 1 I, M M M M r (3.a) I eff =I 1, M < M r (3.b) CEB Modeli: I eff = @ 1@ M M r 1 I 1 + 1 @ 1 @ M M r 1 I 1, M M r (3.3a) I eff = I 1, M<M r (3.3b) Bu denklemlerdeki I 1 ve I s%ras% ile kesitin çatlamadan öneki ve tamamen çatlam%# haldeki atalet momenti de+erleridir. Yine ayn% denklemlerde geçen 1. yüklemeye ve donat% özelliklerine ba+l% olaak #ekilde de+i#mekte ve yüksek aderansl% donat% çeli+i ve ilk yükleme durumlar%nda bu de+erin ( 1. ).8 olarak al%nmas% CEB taraf%ndan önerilmektedir. Bu e#itliklerde ayr%a deneysel sonuçlarla uyumlu olaak #ekilde m=4 olarak al%nmaktad%r.

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Olas%l%+a Dayal% Etkili Rijitlik Modeli: Yap%ya etkiyen yüklerden dolay% çatlayan kiri# ve kolon elemanlar%n%n etkili atalet momenti de+erleri bu elemanlarda olu#an moment diyagram%ndaki çatlayan ve çatlamayan bölge alanlar%n%n toplam alana oran%na ba+l% olaak #ekilde elde edilerek analize dahil edilmi#lerdir (:ekil 3.3.). iteratürde olas%l%+a dayal% etkili rijitlik #eklinde de belirtilen bu yöntemde etkili atalet momentleri (3.4) denklemlerindeki gibi elde edilmektedir. A A = A1 + A = M(x) < M M(x r unr ) = A3 = M(x) M M(x r r ) A = A r + A unr (3.4a) (3.4b) (3.4) P P A unr < r (3.4d) A [ M(x) M ] unr = [ M(x) M ] r r = I = P I + P eff unr 1 r I A r A (3.4e) (3.4f) A A 1 M r A 3 M maks. M(x) ekil 3.3. Yükler etkisi alt%ndaki basit mesnetli bir kiri#te e+ilme momentinden dolay% olu#an çatlayan ve çatlamayan bölgeler M r (3.4) denklemlerdeki P unr bir kiri# veya kolon eleman%nda olu#an moment da+%l%m%na ba+l% olarak M momentinin M r momentinden küçük olma olas%l%+%n%, P r ise M momentinin M r momentini a#ma olas%l%+%n% yani elemana ait kesitlerin çatlama 1

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA olas%l%+%n% ifade etmektedir. (3.), (3.3) ve (3.4) e#itliklerindeki M, ilgili kesitteki e+ilme momentini M r ise çatlama an%ndaki e+ilme momentini ifade etmekte olup, ( f ) r v M r = + y t I 1 (3.5) #eklinde her iterasyon sonuunda elde edilen eksenel yük düzeyine ba+l% olarak de+i#en formda hesaplanmaktad%r. (3.6) denklemlerindeki f r, betonun e+ilmedeki çekme dayan%m%n%, y t kesitin en alt yüzünden a+%rl%k merkezine olan uzakl%+%n%, F v ise eksenel bas%nç gerilmesini ifade eden de+erlerdir. ACI ve CEB modelleri taraf%ndan verilen denklemler genellikle kiri#lerin etkili atalet momentlerinin elde edilmesinde kullan%lmakta olup, bu çal%#mada çatlama momenti M r nin hesaplanmas%nda eksenel yük de+eri göz önünde bulundurularak kolonlar için de kullan%lm%#t%r. Bununla birlikte kiri#lerdeki eksenel yük düzeyi her ne kadar kolonlara göre çok daha dü#ük düzeyde de olsa kiri#lerin M r momentinin hesaplanmas%nda bu elemanlarda olu#abileek eksenel kuvvet etkisi de göz önünde bulundurulmu#tur. ACI ve CEB modelleri inelendi+inde formülasyonlarda ve kullan%lan katsay%larda farkl%l%klar olmas%na kar#%n baz% de+erlerin ortak oldu+u görülmektedir. Bu de+erler ortak bir e#itli+in de+i#kenleri olarak tan%mlan%p, çatlama olay%n% ifade eden 1 E I eff = 1 E I M I 1 Fts,, M r I1 (3.6) #eklinde bir denklem elde edilmektedir. Bu denklemdeki F ts çekme rijitle#mesi fonksiyonu olarak adland%r%lan ve M/M r, I /I 1 ve modellere ait katsay%lar% ifade eden G de+erlerine ba+l% boyutsuz bir büyüklüktür. G katsay%s% ACI modelinde p, CEB modelinde ise @ 1.@ de+erlerine kar#%l%k gelmektedir. Bu modeller için çekme rijitle#mesi fonksiyonlar% Çizelge 3.1 de görülmektedir.

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Çizelge 3.1. Etkili e+ime rijitli+inde kullan%lan modeller için çekme rijitle#mesi fonksiyonlar% MODE ÇEKME RJTEMES FONKSYONU M r I CEB Modeli F ts = 1 1 M I1 ACI Modeli F ts = M M r M 1+ M r p I1 1 I p I1 1 I Eleman yük vektörü ve rijitlik matrisinin elde edilmesinde kullan%lan formülasyonlar içerisinde, etkili e+ilme rijitli+i hesab%nda ACI ve CEB modellerinin göz önünde bulundurulmas% halinde, normal ve çatlak durumdaki analizlerde meydana gelen farkl%l%k yukar%da sözü edilen modellerin tarifledi+i çekme rijitle#mesi fonksiyonlar%na ba+l%d%r. Geli#tirilen programlarda gerek yaz%l%m kolayl%+% sa+lamak, gerekse i#lem fazlal%+%n% gidermek ama% ile çatlak olu#mayan bölgelerde de normal de+erlendirme sonuçlar%n% vereek bir çekme rijitle#mesi fonksiyonu tan%mlanabilir. Bu #ekilde elemanlarda, çatlayan ve çatlamayan bölgeler tespit edilip, bu bölgelere göre olu#turulaak çekme rijitle#mesi fonksiyonlar% kullan%larak eleman yük vektörleri ve rijitlik matrisleri elde edilebilir. Çekme rijitle#mesi fonksiyonu atalet momenti de+i#imlerini ifade etmekte olup, de+i#ken kesitli kiri#lerin yap%sal analizinde, atalet momentleri çekme rijitle#mesine benzer bir fonksiyon ile ifade edilebilir. Bu #ekilde olu#turulan fonksiyonlarla, kesiti de+i#en elemanlar içeren yap%lar%n analizi için bir yöntem geli#tirilebilir. 3

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.3.. Etkili Kayma Rijitlii için Kullan(lan Modeller Elemanlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak geli#tirilen bu ilk yöntemde, özellikle çatlamalardan sonra yap% davran%#% üzerinde büyük bir öneme sahip olabileek kayma deformasyonlar% etkisi de hesaba kat%lm%#t%r. Elemanlar%n en alt yüzünde olu#an çekme #ekil de+i#tirmesi de+erinin, çatlama an%ndaki çekme #ekil de+i#tirmesi de+erini a#mas% halinde, etkili kayma modülleri literatürde mevut olan ve a#a+%daki denklemlerde görülen çe#itli modeller ara%l%+% ile analize dâhil edilmi#tir. Al Mahaidi Modeli: G =.4G J /J r, r (3.7a) G = G, < r (3.7b) Cedolin ve Dei Poli Modeli: G =.4 G (1-5 1 ), r (3.8) Yüzügüllü ve Snobrih Modeli: G =.5 G, r (3.9) Bu denklemlerdeki G, betonun elastik kayma modülünü, J ilgili kesitteki çekme #ekil de+i#tirmesini, J r ise çatlama an%ndaki çekme #ekil de+i#tirmesini ifade etmektedirler. Geli#tirilen bilgisayar programlar%nda her üç model de göz önünde bulundurulabilmektedir. Bu modeller inelendi+inde, etkili e+ilme rijitli+i hesab% için kullan%lan modellerdeki gibi, formülasyon ve katsay%larda farkl%l%klar olmas%na kar#%n 4

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA baz% de+erlerin ortak oldu+u görülmektedir. Bu de+erler bir öneki bölümde oldu+u gibi ortak bir e#itli+in de+i#kenleri olarak tan%mlan%p, çatlama olay%n% ifade eden ve kayma rijitli+i fonksiyonunu içeren (F ss ) G 1 A = F ss ( J /J ) G A r (3.1) #eklinde bir denklem elde edilmektedir. Farkl% modeller için kayma rijitli+i fonksiyonlar% Çizelge 3. den görülmektedir. Geli#tirilen bilgisayar programlar%nda yaz%l%m kolayl%+%n% sa+lamak ve i#lem fazlal%+%n% gidermek ama% ile çatlak olu#mayan bölgelerde de normal de+erlendirme sonuçlar%n% veren bir fonksiyon (F ss =1) yaz%labilir. Bu #ekilde olu#turulan fonksiyonlar yard%m% ile gerek çatlayan, gerekse çatlamayan bölgelerde kayma deformasyonlar% etkisi göz önünde bulundurularak, rijitlik matrisi ve yük vektörlerine katk%s% sa+lanmaktad%r. Model Al-Mahaidi Çizelge 3.. Farkl% modeller için etkili kayma rijitli+i fonksiyonlar% Cedolin ve Dei Poli Kayma Rijitli+i Fonksiyonlar. F ss = F ss = Yüzügüllü ve Shnobrih F ss = 4 / r.4.4 1 ( 1 5 ) 3.4. Gelitirilen Analitik Yöntem Çatlamalar%n etkisi göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için bu çal%#mada geli#tirilen yöntemde, kiri# ve kolon elemanlarda çatlamalar olu#tuktan sonra meydana geleek uç kuvveti da+%l%m%n%n bilinmemesinden ve elemanlar%n çatlayan bölgelerindeki atalet momenti ve kayma modüllerinin de+i#iminin yap%daki iç kuvvet de+erlerinin yeniden da+%l%m%n% zorunlu k%lmas%ndan dolay% analizde iteratif bir yöntem uygulanarak çözüme gidilmi#tir. 5

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA teratif yöntemin gereklili+inden dolay% yatay ve dü#ey yükler etkisi alt%ndaki betonarme yap% ba#lang%çta lineer elastik model göz önünde bulundurularak çözümlenmektedir. Daha sonra lineer analiz sonuu elde edilen moment de+erlerine ba+l% olarak kiri# ve kolon elemanlarda olu#an çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenmekte ve bu bölgelere ba+l% olarak bu çal%#mada geli#tirilen formülasyonlar %#%+% alt%nda esneklik katsay%lar% ile eleman rijitlik matrisi ve yük vektörü de+erleri elde edilmektedir. Sisteme ait gerekli dönü#üm ve çözümlemeler yap%ld%ktan sonra sistem deplasmanlar% ile her eleman%n uç kuvvetleri ile deplasmanlar% elde edilmektedir. Bu #ekilde birini iterasyon sonuu elde edilen uç kuvvetleri ile lineer analiz sonuu elde edilen uç kuvvetleri aras%nda daha öneden belirlenen yak%nsakl%k kriteri sa+lan%yorsa iterasyonlara son verilir. Aksi takdirde di+er iterasyonlara geçilir ve birbirini izleyen iki iterasyondaki uç kuvvetleri aras%nda yeterli yak%nsakl%k kriteri sa+lan%naya kadar i#lemelere ayn% #ekilde devam edilmektedir. 3.5. Temel Denklemler Kullan(larak Problemin Formülasyonu Betonarme yap%y% olu#turan çerçevelerin çubuk elemanlardan olu#tu+u kabul edilerek çubuklar%n aç%kl%klar% boyuna yerel z ekseni do+rultusundaki düzgün yay%l% yük ve ara tekil yükler etkisi alt%nda olabileekleri göz önünde bulundurulmu#tur (:ekil 3.4.). y z Z Y P P 1, d 1 P 5, d 5 P P 7, d P, d 6, d 6 P 1, d 1 7 P 4, d 4 P P 3, d 8, d 8 3 P 11,d 11 x P 9, d 9 P 1, d 1 a X ekil 3.4. Düzgün yay%l% yük ve ara tekil yüklerden dolay% bir elemanda olu#abileek uç deplasmanlar% ve bunlara kar#%l%k gelen kuvvetler 6

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Bu çal%#mada, üç boyutlu analiz için rijit diyafram modelinin göz önünde bulundurulmas%ndan dolay% kiri# elemanlarda sadee yerel y ekseni do+rultusundaki e+ilme momentlerinden dolay% çatlama olu#maktad%r. Bununla birlikte kolonlarda ise yerel y ve z eksenleri do+rultusundaki e+ilme momentleri nedeniyle çatlama olu#abilee+i göz önünde bulunduruldu+undan, bir öneki bölümde verilen etkili atalet momenti denklemlerinde geçen I eff, M r, M, I 1, I ve etkili kayma modelleri denklemlerinde geçen J ve J r de+erleri, her iki eksene ait e+ilme ve kayma ile ilgili de+erlerdir. Geli#tirilen analitik yöntemde formülasyonlar sonua daha çabuk ve kolay ula#%labilmesi aç%s%ndan rijitlik matris yöntemine dayand%r%larak olu#turulmu#tur. Problemin formülasyonunda ilk etapta birim yüklemeler uygulanarak esneklik katsay%lar% elde edilmi# daha sonra ise uygunluk #artlar% ve denge denklemleri kullan%larak baz% bölgelerinde çatlama olu#abileek kiri# ve kolon elemanlar%n%n rijitlik matrisi ve yük vektörü de+erleri bulunmu#tur. 3.5.1. Esneklik Katsay(lar( ve Yük Vektörlerinin Elde Edilmesi Genel olarak üç boyutlu bir eleman için esneklik katsay%lar% konsol bir kiri# eleman%na ilgili yönlerde birim kuvvetler uygulan%larak elde edilmektedir (:ekil 3.5). 9 3 1 7 8 z y x ekil 3.5. Konsol bir kiri#e uygulanan birim kuvvet yönleri Uygunluk denklemlerinden de faydalan%larak esneklik katsay%lar%n% a#a+%daki e#itlik matris formunda elde edilmektedir. içeren 7

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA f 11 f f 3 f f 3 33 f f 77 87 f f 78 88 P P P P P f99 P 1 3 7 8 9 d d d = d d d 1 3 7 8 9 (3.11) (3.11) ifadesindeki f ij, j do+rultusunda bir birimlik kuvvet uygulanmas% sonuu i do+rultusunda olu#an deplasman olup, a#a+%daki denklemden görüldü+ü gibi virtürel i# prensibinden yararlan%larak elde edilmektedir. f ij M = E zi I M zj M + E yi I M yj Vyi V + G A yj V s + G V A M s + G effz effy o zi zj bi M I bj Ni N j + dx (3.1) E A Bu e#itlikteki M zi, M zj, M yi, M yj, M bi, M bj, V zi, V zj, V yi, V yj, N i ve N j de+erleri, i ve j do+rultusunda bir birimlik kuvvet uygulanmas% sonuu olu#an e+ilme momenti, burulma momenti, kesme kuvveti ve normal kuvvet de+erleridir. Yine ayn% denklemdeki A, E, s, G I ve G ise, kesit alan%, elastisite modülü, #ekil katsay%s%, etkili kayma modülü, burulma atalet momenti ve elastik kayma modülü de+erleridir Yap%y% olu#turan elemanlar üzerine etkiyen düzgün yay%l% yük ve ara tekil yüklerden dolay% olu#an uç kuvvetleri uygunluk #artlar% ve denge denklemleri kullan%larak a#a+%daki e#itliklerdeki gibi bulunmaktad%rlar. P 7 = -(f 88 f 7 - f 78 f 8 ) / (f 77 f 88 f 78 f 87 ) P 8 = -(f 77 f 8 - f 78 f 7 ) / (f 77 f 88 f 78 f 87 ) P 1 = - (q +P+ P 7 ) P 1 = - (q / + P (-a) + P 7 + P 8 ) P 1 = P = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = P 9 = P 11 =. (3.13a) (3.13b) (3.13) (3.13d) (3.13e) Bu denklemlerdeki f i de+erleri d%# yüklerden dolay% i do+rultusunda olu#an deplasmanlar olup (3.14) ifadesindeki gibi virtürel i# prensibinden yararlan%larak hesaplanmaktad%r. 8

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA M f i = E yi I M effy Vzi V + s dx G A (3.14) Bu e#itlikteki M ve V de+erleri eleman%n yerel z ekseni do+rultusundaki d%# kuvvetlerden dolay% olu#an e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleridir. Esneklik katsay%s% terimleri içerisinde bulunan e+ilme momenti, kesme kuvveti ve burulma momenti de+erleri ilgili yönlerde birim kuvvetler uygulanmas% sonuu a#a+%daki e#itliklerdeki gibi elde edilmektedir. M (x)=x ; V (x)=1 (3.15a) M 3 (x)=-1 ; V 3 (x)= (3.15b) M 7 (x)=-x ; V 7 (x)=1 (3.15) M 8 (x)=-1 ; V 8 (x)= (3.15d) M 9 (x)=-1 ; V 9 (x)= (3.15e) (3.14) denklemindeki e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleri ise konsol bir kiri# eleman%na yerel z ekseni do+rultusundaki d%# kuvvetlerin uygulanmas% sonuu (3.16) ifadelerindeki gibi elde edilmektedir. q P z a y x ekil 3.6. Konsol bir kiri#e uygulanan d%# kuvvetler! q x " x " a M (x) = q x P (x a), a < x "! qx, " x " a V (x) = qx + P, a < x " (3.16a) (3.16b) 9

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Analizde etkili e+ilme rijitli+i için ACI ve CEB modellerinin göz önünde bulundurulmas% halinde esneklik katsay%lar% f = 1 E f 3 = E f 33 = E f 77 = E f 78 = f 88 = E f 7 = 1 1 x s 1 dx + dx I A (3.17a) G effz ( x) dx I effz 1 I effz x I dx 1 effy 1 E x I effy 1 q E 1 I effy 3 s 1 dx + A G dx dx a dx (3.17b) (3.17) (3.17d) (3.17e) (3.17f) x qs x P x (x a) s P dx + dx dx dx I A + G E + I A (3.17g) G effy a effy a f 8 = q E x I effy dx + P E (x a) dx I a effy (3.17h) formunda elde edilmektedir. Etkili e+ilme rijitli+i hesab%nda olas%l%+a dayal% etkili rijitlik modelinin kullan%lmas% halinde ise esneklik katsay%lar% 3 f = 3E I effz f 3 = E I f 33 = E I effz s 1 + dx (3.18a) A G effz (3.18b) (3.18) 3

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA f 77 = 3E I 3 f 78 = E I f 88 = E I effy q f 7 = 8E I 4 effy effy effy s 1 + dx (3.18d) A G a (3.18e) (3.18f) q s x P 3 3 s P + dx ( a / 3a /) dx A + + + G 3E I A (3.18g) G effy q P f 8 = + ( / + a / a) (3.18h) 6E I E I 3 effy effy a #eklinde elde edilmektedirler. ACI ve CEB modelleri göz önünde bulundurularak elde edilen denklemlerde, çatlaman%n olu#tu+u bölgeleri ve bu bölgelerdeki esneklik katsay%lar%n%n daha kolay hesap edilebilmesi için eleman%n sol mesnedinden uzakl%+%n%n eleman boyuna olan oran% # gibi boyutsuz büyüklükle ifade edilirse, (3.15) ve (3.16) ifadelerindeki e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleri a#a+%daki e#itliklerdeki gibi elde edilmektedir. M 7 (#)=-# ; V 7 (#)=1 (3.19a) M 8 (#)=-1 ; V 8 (#)= (3.19b)! q M (V) = q ( V ) ( V ) P! q V, " V " a/ V (V) = q V + P, a/ < V " 1 " V " a/ ( V a), a/ < V " 1 (3.19) (3.19d) Bu denklemlerdeki e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleri ile etkili e+ilme rijitli+i ve etkili kayma rijitli+ininin (3.6) ve (3.1) ifadelerindeki de+erleri, (3.17) e#itliklerinde yerlerine konulursa esneklik katsay%lar%, 31

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 1z f = V ( 1 F ) dv + V dv E 3 1 I s 1 ts I1z Iz G A 1 I1z f 3 = ()( V 1 Fts )dv E I I E I 1z z I I 1z f 33 = ( V )( 1 F )dv 1z z 1 I I f 77 = V ( 1 F ) dv + V dv E 3 s 1 1y ts I1y y G A 1 I1y f 78 = ()( V 1 Fts )dv E I I E I 1y y I I 1y f 88 = ( V )( 1 F )dv 1y y ts ts (3.a) (3.b) (3.) (3.d) (3.e) (3.f) f 7 P + E I q = E I 3 1 4 1y a/ I I 1y y 1 I I 1y 1y y V 3 ( 1 F ) ts q s 1 dv + V F G A P s 1 ( V ( a/) V)( 1 F ) dv + V F dv (3.g) ts G ss A dv a/ ss 3 q 1 I P 1 1y I1 f 8 = ( V )( 1 F ) dv + ( V ( a/) V )( 1 F )dv E I I 1y y ts E I I 1 a/ ts (3.h) #eklinde elde edilmektedirler. Esneklik katsay%lar%n% elde etmek için kullan%lan yukar%daki denklemlerdeki # say%lar%n% ayr% ayr% integraller olarak dü#ünüp a#a+%daki gibi genel olarak sade bir formda ifade edebilir. 1 I I 1 # n 1 n + 1 ( 1 Fts ) d# = + Jn (3.1) 3

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Bu e#itlikteki ilk terim 1/(n+1), çatlamam%# haldeki eleman%, ikini terim J n ise çatlak ile birlikte deformasyon kabiliyetindeki art%#% göstermektedir. ntegraller # lere göre parçalan%p üs de+erlerine n katsay%s% verilerek genelle#tirilmi#tir. J n olarak adland%r%lan ve çatlaktan kaynaklanan etkileri yani deformasyon kabiliyetindeki art%#lar% ifade eden denklem a#a+%daki formda yaz%labilir. J n = 1 V n I I 1 1 dv 1 V n I I 1 F ts dv (3.) Bu ifadedeki ilk terim, eleman%n tamamen çatlam%# olarak dü#ünüldü+ünde meydana gelen deformasyon kabiliyetindeki art%#%, ikini terim ise deformasyon kabiliyetinin çekme rijitle#mesine ba+l% azalmas%n% ifade etmektedir. Ayn% #ekilde, esneklik katsay%lar%n% elde etmek için kullan%lan (3.) denklemlerindeki kesme kuvvetinden kaynaklanan integral de+erleri de 1 n V Fss dv = R n (3.3) #eklinde ifade edilmektedir. Bu e#itlikteki R n, özellikle çatlayan bölgelerdeki kayma deformasyondan kaynaklanan art%#lar% göstermektedir. Kiri# ve kolon elemanlar%n%n çatlayan ve çatlamayan bölgelerindeki esneklik katsay%lar%n%n elde edilmesinde kullan%lan integral de+erleri her bölge için ayr% ayr% hesaplanmaktad%r. Çatlaman%n olu#tu+u bölgelerdeki etkili atalet mometleri ve etkili kayma modülü de+erleri e+ilme momentine ba+l% olarak de+i#ti+inden bu bölgelerdeki integral çözümleri nümerik integrasyondan faydalan%larak yap%lmaktad%r. Çatlak olu#mayan bölgelerde ise nümerik integrasyona gerek kalmamaktad%r. Bu #ekilde bütün bölgelerin esneklik katsay%lar%na etki ve katk%lar% sa+lanm%# olmaktad%r. Bilgisayar program% olu#turulurken yaz%l%m kolayl%+% aç%s%ndan esneklik katsay%lar%n% içeren ifadeler analizde etkili atalet momentlerinin hesab%nda ACI ve CEB modellerinin göz önünde bulundurulmas% halinde J n ve R n insiden 33

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3 s f = ++ ( 1 3J ) ( ) z R 3E I1z G A f = + ( 1 ) 3 J1z E I1z f += ( 1 ) 33 z E I J 1z s ( 1 3J ) ( ) 3 77 = y R 3E I1y G A f ++ (3.4a) (3.4b) (3.4) (3.4d) ( 1 ) 78 = J1y E I1y f + ( 1 ) f += f 88 y E I J 1y 7 q = 8E I q s + G A f 4 3 P ( 1+ 4J ) + ( a/) P s G A 6E I (3.4e) (3.4f) 3 [( + 6J ) a/( 3 3( a/) + 6J )] ( R ) + ( R ) (3.4g) 1 1y 3y 1y P 1 ( 1+ 3J ) + 1 ( a/) y ( + J ) a/( 1 a/) + 3 q 8 = y 1y Jy 6E I1y E I1 1y (3.5h) denklemlerindeki gibi elde edilmektedir. Etkili e+ilme rijitli+i hesab%nda olas%l%+a dayal% etkili rijitlik modelinin göz önünde bulundurulmas% halinde ise esneklik katsay%lar% R n insinden 3 s R 3 E I effz G A ( ) f += f f 3 33 = E I = E I effz effz (3.5a) (3.5b) (3.5) 34

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3 s f += f ( ) 77 R 3E Ieffy G A 78 = E I effy (3.5d) (3.5e) f 88 = E I effy (3.5f) f 7 q = 8E I q s + G A 4 effy + q s A a x G P s G A P dx + 3E I ( + a / 3a /) ( R ) + ( R ) (3.5g) 1 effy 3 3 q P f 8 = + ( / + a / a) (3.6h) 6E I E I 3 effy effy formunda elde edilmektedirler. Genel olarak bir kiri# veya kolon eleman%nda olu#abileek çatlayan ve çatlamayan bölgeler eleman%n mesnetlenme #ekline ve yük durumuna ba+l% olarak de+i#mektedir. Bir elemanda genel olarak olu#abileek bu bölgeler :ekil 3.7 de gösterilmi#tir. P q i a j M i M j M r M r M r M r 1 3 4 5 1, 3, 5 çatlayan bölgeler, 4 çatlamayan bölgeler ekil 3.7. Herhangi bir kiri# veya kolon eleman%nda genel olarak e+ilme momentinden dolay% olu#abileek çatlayan ve çatlamayan bölgeler 35

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA :ekilden görüldü+ü gibi 1, 3 ve 5 çatlayan, ve 4 çatlamayan bölgeleri ifade etmektedir. Bu bölgelerin s%n%rlar% boyutsuz bir büyüklük olan # i (i=1,6) ile belirtilmekte olup, bu de+erlerden # 1 =, # 6 =1 olmaktad%r. Bu bölgeler ayr% ayr% göz önünde bulundurularak, genel olarak ifade edilen J n ve R n de+erleri de integral formdan toplam forma getirilerek, a#a+%daki ifadeler elde edilmektedir. 5 n+ 1 n+ 1 I 5 1 # i+ 1 # i I1 n = 1 $ ts,n i+ 1 i= 1 I n + 1 i= 1 I [ G (# ) G ( )] J $ ts,n # i (3.6) 5 [ G (# ) G ( )] R = $ # (3.7) n i= 1 ss,n i+ 1 ss,n i (3.6) ifadesindeki G ts,n çekme rijitle#mesi fonksiyonuna ba+l% bir fonksiyon olup, aç%l%m% a#a+%daki denklemden görülmektedir. G ts, n = V n F ts dv (3.8) (3.7) denklemindeki G ss,n ise G ss, n = V n F ss dv (3.9) #eklinde kayma rijitli+i fonksiyonuna ba+l% bir fonksiyondur. Çatlaman%n olu#mad%+% bölgelerde bu fonksiyonlar%n kullan%lmas%na gerek yoktur. Fakat bilgisayar program%n%n olu#turulmas%nda gerek yaz%l%m kolayl%+%n% sa+lamak, gerekse i#lemlerin belirli bir düzende ilerlemesi için F ts =1-I /I 1 ve F ss =1 #eklinde uygun fonksiyonlar yaz%l%p normal analizle ayn% de+erler elde edilmektedir. Çatlayan bölgelerde ise Çizelge 3.1 ve Çizelge 3. de verilen fonksiyonlar kullan%lmaktad%r. 36

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.6. Eleman Rijitlik Katsay(lar(n(n Elde Edilii Üç boyutlu bir eleman için (1x1) boyutundaki eleman rijitlik matrisi ise, (3.11) denklemindeki esneklik katsay%lar%n% içeren matrisin tersi al%narak ve denge denklemleri kullan%larak a#a+%daki denklemlerdeki gibi elde edilmektedir. k 11 = E A / k 44 = k 11 k 41 = -k 11 k = f 33 / (f f 33 f 3 f 3 ) k 3 = k 3 = - f 3 / (f f 33 f 3 f 3 ) k 33 = f / (f f 33 f 3 f 3 ) k 77 = f 88 / (f 77 f 88 f 87 f 78 ) k 78 = k 87 = - f 78 / (f 77 f 88 f 87 f 78 ) k 88 = f 77 / (f 77 f 88 f 87 f 78 ) k 99 = G I / k 5 = -k 55 = -k k 6 = -k 56 = -k 3 - k 5 k 53 = -k 3 k 63 = -k 33 - k 53 k 65 = -k 35 - k 55 k 66 = -k 36 k 56 k 17 = -k 11 = -k 77 k 17 = -k 11 = k 17 - k 87 k 18 = -k 78 k 18 = k 18 - k 88 k 11 = k 11 - k 81 k 1111 = k 99 k 119 = -k 99 k 1 = k 13 = k 17 = k 18 = k 19 =k 7 =k 8 = k 9 = k 37 = k 38 = k 39 = k 79 = k 89 = (3.3a) (3.3b) (3.3) (3.3d) (3.3e) (3.3f) (3.3g) (3.3h) (3.3i) (3.3j) (3.3k) (3.3l) (3.3m) (3.3n) (3.3o) (3.3p) (3.3q) (3.3r) (3.3s) (3.3t) (3.3u) (3.3v) (3.3y) (3.3z) 37

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Sonuç olarak, k d + P = P (3.31) formunda elde edilmektedir. Bu e#itlikteki k (1x1), d (1x1), P (1x1) ve P (1x1) de+erleri eleman rijitlik matrisi, deplasman vektörü, d%# kuvvetlerden dolay% olu#an uç kuvvet vektörü ve sonuç uç kuvvet vektörü de+erleridir. Bu de+erler eleman eksen tak%m%nda (x,y,z) olup, transformasyon matrisi ara%l%+% ile global eksen tak%m%na (X,Y,Z) çevrilmektedirler. 3.7. Rijit Diyafram Modeli Yap%lar%n üç boyutlu analizi için geli#tirilen rijit diyafaram modelinde dö#emelerin düzlemi içerisinde sonsuz rijit oldu+u yani #ekil de+i#tirmedi+i kabul edilmektedir. Böylee dö#eme üzerinde seçilen bir Master Noktas% n%n birbirine dik iki yatay öteleme ve dö#eme düzlemine dik eksen etraf%nda dönme deplasmanlar%n%n bilinmesi durumunda, dö#eme üzerindeki di+er dü+ümlerin deplasmanlar%, master noktas% deplamanlar%na ba+l% olarak hesaplanabilmektedir (:ekil 3.8). Kolon, kiri# ve rijit diyafaram dö#emelerinden olu#an yap%larda her katta; 3*(Dü+üm Say%s%)+3 adet bilinmeyen deplasman bulunmaktad%r. Dolay%s% ile N katl% bir yap%da, Bilinmeyen say%s%=n*(3*j+3) (3.3) j: Kattaki dü+üm say%s% olaakt%r. :ekil 3.8 in inelenmesinden görülee+i gibi dö#emeye ait j noktas%ndaki deplasmanlar, master noktas% deplasmanlar% insinden d 3 = d 3 m (3.33a) 38

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA d 1 = d m 1 - d m 3 (y j - y m ) d = d m + d m 3 (x j - x m ) (3.33b) (3.33) ba+%nt%lar% ile hesaplanabilir. Dü+üm noktalar%na ait di+er deplasmanlar ise (3*j) dü+ümlerin iki yatay eksen etraf%ndaki dönme ve dü#ey eksen (z) do+rultusundaki öteleme deplasmanlar% olup, bu deplasmanlar master noktas% deplasmanlar%ndan ba+%ms%zd%r. Ayr%a, bu modelde kiri#ler rijit diyafram içinde kald%+%ndan bu elemanlarda eksenel deformasyon meydana gelmemektedir. Rijit diyafram modelinde yap%lan kabullerin sa+lad%+% en önemli avantaj, bilinmeyen say%s%nda büyük azalman%n sa+lanmas% ve çözümün kolayla#mas%d%r. d d 3 d 1 d 1 d d m j d 3 m d 1 m d 3 m m x m y j x m xj ekil 3.8. Rijit diyafaram modeli 39

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.8. Rijit Diyafaram Modelinin Uygulanmas çin Elde Edilen Denklemler Elemanlarn kendi eksenlerine göre elde edilmi" olan rijitlik denklemi transformasyon matrisi aral( ile global koordinat sistemine çevrildikten sonra a"a(daki formda olu"maktadr. P' P' A B k' = k' AA BA k' k' AB BB d' d' A B (3.34) Bu denklemdeki k' AA (6x6), k' AB (6x6), k' BA (6x6), k' BB (6x6) ve d' A (6x1) ve d' B (6x1) de(erleri 5ekil 3.9 da gösterilen ilgili yönlerdeki global koordinat sisteminde elemanda olu"an rijitlik matrisi ve deplasman de(erleridir. 9 3 1 7 (i) 8 6 1 5 1 11 4 X ekil 3.9. Herhangi bir elemanda global eksen takmnda ilgili yönlerde olu"an deplasmanlar (j) A=1-6 B=7-1 Z Y d' 1, d', d' 3, d' 4, d' 5 ve d' 6 deplasmanlarn içeren d' A vektörü global koordinat sisteminde olup, analizde kullanlan rijit diyafram modeli "( altnda i uu m i master noktas ve j uu m j master noktas deplasmanlarna (3.35) denklemlerindeki gibi ba(ldr. d' 1 = d' mi mi 1 (y i - y mi ) d' 3 d' = d' mi mi + (x i - x mi ) d' 3 mi d' 3 = d' 3 d' 4 = d' mj mj 1 (y j - y mj ) d' 3 (3.35a) (3.35b) (3.35) (3.35d) 4

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA d' 5 = d' mi + (x j - x mj ) d' 3 mj d' 6 = d' 3 mi (3.35e) (3.35f) Bu denklemlerdeki x i, y i ve x j, y j de(erleri elemann i ve j uunun x ve y mi koordinatlarn, d' (j) k elemann i (j) uunun ba(l oldu(u master noktasnn k nolu deplasmann (k=1,, 3) belirtmektedir. Bu ifadeler, matris formunda yazlrsa a"a(daki gibi bir e"itlik elde edilmi" olur. d' d' d' d' d' d' 1 3 4 5 6 1 = 1 y x mi i y x 1 mi 1 1 y x mj j y x 1 j mj d' d' d' d' d' d' mi 1 mi mi 3 mj 1 mj mj 3 (3.36) Bu ifade kompakt formda ise, d' A = B d' m (3.37) "eklinde elde edilmektedir. Bu denklemdeki B i* i (i = 1,6), ilgili yönlerdeki deplasmanlar master noktas deplasmanlar insinden elde etmeye yarayan dönü"üm matrisini, d' m ise master noktas deplasmanlarn içeren vektörü ifade etmektedir. (3.34) e"itli(indeki d' B, 5ekil 3.9 dan görüldü(ü gibi global koordinat sisteminde, elemann d' 7, d' 8, d' 9, d' 1, d' 11 ve d' 1 deplasmanlarn içeren vektörüdür. Ayn e"itlikteki P' A ve P' B de(erleri, ilgili yönlerdeki global koordinat sistemindeki elemann uç kuvvet vektörleri olup, P' A = k' AA d' A + P' B = k' BA d' A + k' k' AB BB d' d' B B (3.38a) (3.38b) 41

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA denklemlerindeki gibi ifade edilmektedir. Bu e"itliklerdeki d' A yerine ilgili yöndeki deplasmanlar master noktas deplasmanlar insinden ifade eden (3.37) denklemindeki ( B d' m ) yazlr ve (3.38a) ifadesi dönü"üm matrisinin transpozu ( B T ) ile çarplrsa a"a(daki e"itlikler elde edilir. B T P' A T T = B k' B d' + B k' d' (3.39a) AA m AB B P' B = k' BA B d' m + k' BB d' B (3.39b) Bu denklemdeki P' m B T P' ile belirtilirse (3.39a) ifadesi A ifadesi kuvvetlerin master noktasndaki e"de(eri olup, P' = B k' B d' T m AA m + B T k' AB d' B (3.4) "eklinde olu"maktadr. Bu denklemler matris formunda yazlrsa a"a(daki e"itlik elde edilmektedir. P' P' m B T B k' AA B k' BA B B T k' k' AB BB B d' d' m B (3.41) Bu denklem kompakt fomda ise, P' mb = k' mb d' mb (3.4) "eklinde belirtilmektedir. Yapy olu"turan bütün elemanlarda bu i"lemler adm adm uygulanmakta ve her elemandan gelen katklar göz önünde bulundurularak, sistem boyutundaki rijitlik matrisi ve yük vektörleri elde edilmektedir. Bu de(erlerden de sistem boyutundaki deplasmanlarla her elemann uç kuvvetleri ve deplasmanlar elde edilmektedir. 4

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.9. Yöntemin Algoritmas Bu çal"mada çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizi için geli"tirilen bilgisayar programnda analiz admlar ksaa maddeler halinde a"a(daki gibi özetlenmi"tir. 1. Analizlerde iteratif yöntem uygulanmasndan dolay betonarme yap ilk etapta, kiri" ve kolon elemanlarda çatlak olu"mad( kabul edilerek lineer analizle çözümlenmektedir.. Elemanlarda olu"an moment da(lmlarna ba(l olarak E i koordinatlar da göz önünde bulundurularak çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenmektedir. 3 J, J 1, J, J 3 ve R ve R 1 katsaylar, E i boyusuz büyüklükleri integral snrlar olmak üzere daha öneki bölümde verilen toplam formülleriyle elde edilmektedir. 4. Analizde etkili atalet momentlerinin hesabnda ACI veya CEB modelinin göz önünde bulundurulmas halinde f ii, f ij, f ji, f jj, f io, f jo esneklik katsaylar J n ve R n katsaylar kullanlarak elde edilmektedir. Etkili atalet momentlerinin hesabnda olasl(a dayal etkili rijitlik modelinin göz önünde bulundurulmas halinde ise f ii, f ij, f ji, f jj, f io, f jo esneklik katsaylar R n de(erleri ile birlikte (3.3) denklemleri aral( ile elde edilmektedir. 5. Esneklik katsaylar kullanlarak eleman rijitlik matrisi ve yük vektörleri elde edilmekte ve daha sonra bu de(erler transformasyon matrisleri aral( ile global koodinat sistemine çevrilmektedirler. 6. Her elemandan gelen etki ve katklar göz önünde bulundurularak sistem rijitlik matrisi ve sistem yük vektörü de(erleri elde edilmektedir. Daha sonra sistem denklemi çözülerek, sistem deplasmanlar ile her elemann uç kuvvetleri ve uç deplasmanlar elde edilmektedir. 7. Her iterasyonda. admdan ba"lamak üzere bu i"lemler adm adm uygulanmakta ve birbirini izleyen iki iterasyondaki uç kuvvetleri arasnda yeterli yaknsaklk sa(lanna i"lemlere son verilmektedir. Bilgisayar program ak" diyagram ve programn yaps bir sonraki bölümde ayrntl "ekilde irdelenmi"tir. 43

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.1. Bilgisayar Program Kiri" ve kolonlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için iteratif yönteme dayal olarak geli"tirilen bilgisayar program Fortran 77 dilinde yazlm" olup, çözüm algoritmasnn ak" diyagram 5ekil 3.1 da gösterilmi"tir. Yap ve eleman özelliklerinin girilmesi D yüklerin girilmesi Yapnn lineer analizle çözümlenmesi Kolonlarda eksenel yük düzeylerine ba)l olarak çatlama momenti M r nin hesaplanmas Eleman uç kuvvetlerinin kullanlarak kiri ve kolon elemanlarda çatlayan ve çatlamayan bölgelerin belirlenmesi Etkili atalet momenti ve etkili kayma modülü de)erleri kullanlarak eleman rijitlik matrisi, eleman yük vektörü ve sistem rijitik matrisinin elde edilmesi Deplasmanlarn ve eleman uç kuvvetlerinin hesaplanmas Bir öneki iterasyonlardan yararlanlarak uç kuvvetlerinin hesab Hayr P n i P P i n n1 i Evet Sonuçlarn çkt dosyasna yazlmas I 1 ekil 3.1. Bilgisayar program ak" diyagaram 44

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Analizde her iterasyonda bir öneki iterasyondaki eleman uç kuvveti de(erleri kullanlarak çözümlemelerin yaplmasyla uç kuvvetleri arasnda belirlenen yaknsakl(a ula"lmas zaman al olabilmektedir. Herhangi bir iterasyonda baz elemanlarn rijitli(indeki büyük azalmalar, bu elemanlara daha az iç kuvvet transferine ve buna ba(l olarak di(er iterasyonda rijitliklerinin a"r ölçüde artmasna neden olabilmektedir. Rijitlikteki bu art" bu elemanlara daha fazla iç kuvvet aktarmna ve buna ba(l olarak tekrar rijitli(inde ani azalmalara neden olabilmektedir. Rijitlikteki bu dalgalanmalar artan iterasyonlarla önlenmedi(i takdirde sonua ula"mak zaman al olabilmektedir. Bu nedenden dolay geli"tirilen yöntemde her iterasyonda o iterasyondan öneki uç kuvveti de(erlerinin ortalamas kullanlarak kiri" ve kolon elemanlarnn çatlayan ve çatlamayan bölgeleri belirlenmekte ve bu bölgeler göz önünde bulundurulup elemanlarn esneklik katsaylar ile rijitlik matrisi ve yük vektörleri elde edilerek çözümlemeler yaplmaktadr. Geli"tirilen programlarda, P n i P n1 Pi n i I 1 (3.43) "eklinde bir yaknsaklk kriteri kullanlm"tr. Bu denklemdeki I 1 yaksaklk kriterini, n iterasyon numarasn, P n i ve P n-1 i n. ve (n-1). iterasyonlarda elemanda olu"an uç kuvveti de(erleridir. 3.1.1. Bilgisayar Programnn Yaps Yatay ve dü"ey yükler etkisi altndaki betonarme yapda kiri" ve kolonlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak geli"tirilen bilgisayar program 11 bölümden olu"maktadr. Bu bölümler 1. Ana program. Input Data dosyasnn okunmas 3. Tx Her eleman için transformasyon matrisinin hesab. 4. Kontrol1 Yapy olu"turan kiri" elmanlarnda olu"abileek çatlayan ve 45

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA çatlamayan bölgelerin belirlenmesi 5. Beamoll Elemanlara ait rijitlik matrisinin elde edilmesi 6. Sistem Sistem rijitlik matrisi ve sistem yük vektörünün olu"turulmas 7. Bansol Yapya ait sistem denkleminin çözülerek sistem deplasmanlarnn elde edilmesi 8. Bfore Elemanlara ait uç kuvveti de(erlerinin elde edilmesi 9. Kontrol Birbirini izleyen iki iterasyondaki eleman uç kuvvetleri arasndaki yaknsakl(n elde edilmesi 1. Hava Eleman uç kuvvetlerinin çkt dosyasna yazlmas 11. Ndisp Her elemana ait elde edilen deplasmanlarn çkt dosyasna yazlmas "eklinde olup, gerekti(inde ana program tarafndan ça(rlarak i"lemelere devam edilmektedir. 3.1.. Veri Hazrlama Klavuzu Bilgisayar programlarna veri giri"i herhangi bir editör yazlm ile hazrlanabilen ve data bloklarndan olu"an data dosyas ile yaplmaktadr. Data dosyas genel bilgiler, eleman özellikleri, koordinatlar, mesnet 3artlar ve yükler olmak üzere be" bölümden olu"maktadr. 3.1..1. Genel Bilgiler Genel bilgiler data blo(unun birini satrnda, Np, Nm, Ik, Ikk, Est "eklinde, Np:Yapdaki toplam dü(üm says Nm: Yapdaki toplam eleman says Ik: Çatlamay kontrol eden parametre Ikk: Kayma deformasyonlarn kontrol eden parametre Est: Çeli(in elastisite modülü 46

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA de(erleri girilmektedir. Çatlamay ve kayma deformasyonlarn kontrol eden parametreler 1 olarak girilmi"se, analizde çatlama ve kayma deformasyonlar etkisi göz önünde bulundurulaaktr. Bu de(erler sfr olarak girildi(inde ise çatlama ve/veya kayma deformasyonlar etkisi analizde göz önünde bulundurulmayaaktr. Bu data blo(unun ikini satrnda, etkili atalet momenti hesabnda kullanlaak model ve parametreler, üçünü satrda ise etkili kayma modülü hesabnda kullanlaak model girilmektedir. 3.1... Eleman Özellikleri Data blo(unun bu ksmnda a"a(daki de(erler sras ile girilmektedir. K Id Jd Mi Mj Bw H PP Em Ftk As Asp Nb N Asgv Buradaki, K: Eleman numaras Id: Elemann i uunun dü(üm numaras Jd: Elemann j uunun dü(üm numaras mi: elemann ba(l bulundu(u i uunun master noktas dü(üm numaras mj: elemann ba(l bulundu(u j uunun master noktas dü(üm numaras bw: Kesit geni"li(i H: Kesit yüksekli(i pp: Paspay E m : Betonun elastisite modülü Ftk: Betonun karakteristik çekme dayanm As: Kesitteki çekme donats alan Asp: Kesitteki basnç donats alan Nb: Basnç donats says N: Çekme donats says Asgv: Kesitteki gövde donats alan 47

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA de(erleridir. E(er çekme donats alann belirten de(erler sfr olarak girilmi"se çatlama o eleman için göz önünde bulundurulmayp, lineer elastik model kullanlaaktr. 3.1..3. Koordinatlar Koordinatlar data blo(unda bilgi giri"i iki "ekilde olmaktadr. E(er dü(üm noktalarnn koordinatlarn herhangi bir "ekilde türetme imkan yoksa, K1 Pkoor1 Pkoor Pkoor3 "eklinde, elemann dü(üm numaras ve o dü(ümün x, y ve z koordinatlar girilmektedir. Koordinatlar türetme imkân varsa, K1 K R X Y Z U "eklinde, K1: Türetmesi yaplaak ilk dü(ümün numaras K: Türetmesi yaplaak son dü(ümün numaras R: Türetme miktar X: Türetmesi yaplaak dü(ümün x koordinat Y: Türetmesi yaplaak dü(ümün y koordinat Z: Türetmesi yaplaak dü(ümün z koordinat U: Türetmesi yaplaak dü(üm noktalar aras uzaklk de(erleri girilmektedir. Burada do(rusal bir türetme yaplabilmekte ve türetmesi yaplaak dü(üm noktalarnn bir do(ru üzerinde bulunmas ve ara mesafelerinin e"it olmas gerekmektedir. 3.1..4. Mesnet artlar Gerek kiri"lerde, gerekse kolonlarda olu"abileek çatlamalar göz önünde bulundurularak çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli"tirilen bilgisayar programnda data blo(unun bu bölümünde, dü(üm numaras ve o dü(ümün mesnet "artlarn ifade eden de(erler girilmektedir. Bilgi giri"i dü(ümlerin mesnet "artlarnda 48

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA türetme olup olmamasna ba(l olarak iki "ekilde yaplmaktadr. E(er türetme söz konusu de(ilse dü(üm numaras ve o dü(ümün mesnet "artlarn belirten de(erler girilmektedir. Dü(ümlerin mesnet "artlarn türetme imkan varsa, R1 R Rm Rx Ry Rz Rxx Ryy Rzz "eklinde, R1: Türetmesi yaplaak ilk dü(ümün numaras R: Türetmesi yaplaak son dü(ümün numaras Rm: Türetme miktar Rx: Türetmesi yaplaak dü(ümün x yönündeki deplasmann ifade eden mesnet "art Ry: Türetmesi yaplaak dü(ümün y yönündeki deplasmann ifade eden mesnet "art Rz: Türetmesi yaplaak dü(ümün z yönündeki deplasmann ifade eden mesnet "art Rxx: Türetmesi yaplaak dü(ümün x ekseni etrafndaki dönmesini ifade eden mesnet "art Ryy: Türetmesi yaplaak dü(ümün y ekseni etrafndaki dönmesini ifade eden mesnet "art Rzz: Türetmesi yaplaak dü(ümün z ekseni etrafndaki dönmesini ifade eden mesnet "art de(erleri girilmektedir. 3.1..5. Yükler Yükler data blo(unda bilgi giri"i, yayl yükler ve dü(üm yükleri olmak üzere iki ksmdan olu"maktadr. Elemanlar üzerine gelen yayl yükler biribirinine e"it olduklar zaman bir öneki data bloklarnda oldu(u gibi bu de(erler türetme yaplarak a"a(daki gibi girilebilir. Kb Ks Ft Yyuk Tek Ai Buradaki, Kb: Türetmesi yaplaak ilk elemann numaras 49

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Ks: Türetmesi yaplaak son elemann numaras Kt: Türetme miktar Yyuk: Eleman üzerindeki yayl yük Tek: Elemana etkiyen tekil yük Ai: Tekil yükün sol mesnetten olan uzakl( de(erleridir. E(er türetme sözkonusu de(ilse K1 Uyuk Tek Ai formunda, de(erleri girilmektedir. Yükler data blo(unun dü(üm yükleri bölümünde ise Ky Y1 Y Y3 Y4 Y5 Y6 "eklinde, Ky: Dü(üm Numaras Y1: Dü(üme x yönünde etkiyen kuvvet Y: Dü(üme y yönünde etkiyen kuvvet Y3: Dü(üme z yönünde etkiyen kuvvet Y4: Dü(üme etkiyen burulma momenti Y5: Dü(üme etkiyen y ekseni etrafndaki e(ilme momenti Y6: Dü(üme etkiyen z ekseni etrafndaki e(ilme momenti de(erleri sras ile girilmektedir. 3.11. Türk Deprem Yönetmeli8inde Belirtilen Kontroller Bu bölümde bu çal"ma kapsam içerisinde kullanlaak olan ve Türk Deprem Yönetmeli(inde (TDY) belirtilen göreli kat ötelemesi ve ikini mertebe etkileri kontrollerine de(inileektir. 5

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.11.1. kini Mertebe Etkilerinin Kontrolü Ta"y sistem elemanlarnn do(rusal elastik olmayan davran"n esas alan daha kesin bir hesap yaplmadkça, ikini mertebe etkileri a"a(da belirtilen "artlara göre göz önüne alnabilir. Y i (X = i ) i N ort j= 1 V h W i j (3.44a) i.1 (3.44b) Burada (X i ) ort, i ini kattaki kolon ve perdelerde hesaplanan göreli kat ötelemelerinin kat içindeki ortalama de(erini ifade etmekte olup (3.45) denklemi yardmyla (X i ) ort = ((X i ) max + (X i ) min ) / (3.45) "eklinde elde edilmektedir. (3.44) ve (3.45) denklemlerindeki (X i ) max : Binann i ini katndaki maksimum göreli kat ötelemesi, (X i ) min : Binann i ini katndaki minimum göreli kat ötelemesi. V i h i N j= 1 j : i ini kattaki kesme kuvveti, : i ini kattaki kat yüksekli(i, W : i ini katn üstündeki kat a(rlklar toplamn göstermektedir. Göz önüne alnan deprem do(rultusunda her bir katta, ikini mertebe gösterge de(eri, Y i nin (3.44) denklemi ile verilen ko"ulu sa(lamas durumunda, ikini mertebe etkileri, yürürlükteki betonarme ve çelik yap yönetmeliklerine göre de(erlendirileektir. 51

3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA kini mertebe de(eri, Y i de(erinin herhangi bir katta.1 den büyük olmas durumunda ta"y sistem rijitli(i yeterli ölçüde arttrlarak sistemin deprem hesab tekrarlanmaldr. 3.7.. Göreli Kat Ötelemelerinin Snrlandrlmas Herhangi bir kolon veya perde için, ard"k iki kat arasndaki yer de(i"tirme farkn ifade eden göreli kat ötelemesi X i, (3.46) denklemindeki gibi elde edilmektedir. X i = d i -d i-1 (3.46) Bu denklemde d i ve d i-1, binann i ini ve (i-1) ini katlarnda herhangi bir kolon veya perdenin uçlarnda hesapla elde edilen rölatif yatay yer de(i"tirmelerini göstermektedir. Her bir deprem do(rultusu için, binann herhangi bir i ini katndaki kolon veya perdede, (3.46) denklemi ile hesaplanan göreli kat ötelemelerinin kat içindeki en büyük de(eri (X i ) max, (3.47) denklemlerinde verilen ko"ulu sa(lamaldr. ( i ) h. / R / max i (3.47) (3.47) verilen ko"ulun binann herhangi bir katnda sa(lanamamas durumunda, ta"y sistemin rijitli(i arttrlarak deprem hesab tekrarlanaaktr. Anak verilen ko"ul sa(lansa bile, yapsal olmayan gevrek elemanlarn (ephe elemanlar vb.) elde edilen göreli kat ötelemeleri altnda kullanlabilirli(i hesapla do(rulanmaldr. 5

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERNN ÜÇ BOYUTU ANAZ 4.1. Giri Betonarme yap+lar+n projelendirilmesinde kesit hesaplar+nda beton ve çeli1in elastik ötesi davran+3lar+n+n göz önüne al+nmas+na kar3+n, yap+sal analizde lineer elastik hesap yöntemleri kullan+lmaktad+r. Anak betonarme elemanlar+n do1rusal olmayan davran+3lar+n+n, özellikle çatlamadan sonra e1ilme rijitliklerinde olu3aak azalmalar+n göz önüne al+nmas+, hem yap+da olu3aak iç kuvvetlerin da1+l+m+n+ hem de yer de1i3tirme de1erlerini önemli ölçüde etkileyebilmektedir. Rijitlikteki azalmalar+n yüklerin artmas+yla birlikte çatlamalar+n ilerlemesine ba1l+ olarak artt+1+ da dü3ünülürse, betonarme bir elemanda çatlamadan sonraki e1ilme rijitlikleri büyük bir öneme sahip olmakta ve e1ilme rijitli1indeki azalmalar yap+da olu3an deplasmanlar+n önemli dereede artmas+na neden olabilmektedir. Yap+ sistemleri yüklerin dü3ük oldu1u düzeylerde lineer bir davran+3 göstermelerine kar3+n, yüklerin artmas+yla kiri3 ve kolon elemanlarda çatlamalar+n olu3mas+ ve buna ba1l+ olarak deplasmanlar+n artmas+yla birlikte, dü1üm noktalar+n+n yer de1i3tirmesi ve e1ilme momentleri ve eksenel kuvvetlerin birbirlerinin rijitliklerini etkilemesi nedeniyle olu3an geometrik nonlineerlik etkiler yap+ davran+3+ üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilmektedir. Bu bölümde gerek çatlamalar+n etkisi gerekse geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli3tirilen di1er analitik yöntem ayr+nt+l+ bir 3ekilde ele al+naakt+r. Geli3tirilen yöntemde formülasyonlar rijitlik matrisi yöntemine dayand+r+larak olu3turulmu3tur. Çatlamalardan sonra elemanlar+n etkili atalet momentlerinin hesab+nda olas+l+1a dayal+ etkili rijitlik modeli kullan+lm+3 olup, analizde kayma deformasyonlar+ etkisi göz önünde bulundurulmam+3t+r. 53

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 4.. Do"rusal Olmayan Eleman Rijitlik Matrisi ve Yük Vektörünün Elde Edilmesi Geometrik nonlineerlik içeren yap+ analizleri genelde ikini mertebe analiz olarak adland+r+lmaktad+r. Geometrik nonlineerlikler yükleme s+ras+nda dü1ümlerin yer de1i3tirmesi ve eksenel kuvvet ve momentlerin birbirlerinin rijitliklerini etkilemesi nedeniyle meydana gelmektedir. Bu durumda lineer olmayan analiz için rijitlik matrisi eksenel kuvvet etkisi alt+ndaki çubuk eleman+n davran+3+n+ idare eden denklemin s+n+r 3arlar+ alt+nda çözümünden elde edilmekte ve eksenel kuvvetin bas+nç, çekme ve s+f+r olmas+ durumlar+ için farkl+ 3ekilde bulunmaktad+rlar. Daha öneki bölümde ifade edildi1i gibi üç boyutlu halde çubuk elemanlar+n her bir uunda asal eksenler do1rultusunda üç deplasman ve bu eksenler etraf+nda üç dönme olu3maktad+r. Ayr+a bu deplasmanlar ve dönmeler yönünde kuvvetler ve momentler etkimektedir. Üç boyutlu durumda kuvvetler ve deplasmanlar aras+ndaki temel ili3kiyi belirten eleman rijitlik denklemi a3a1+daki denklemdeki gibi ifade edilmektedir. k d + P = P (4.1) Bu e3itlikteki k (1x1), d (1x1), P (1x1) ve P (1x1) de1erleri eleman rijitlik matrisi, deplasman vektörü, d+3 kuvvetlerden dolay+ olu3an uç kuvvet vektörü ve toplam uç kuvvet vektörü de1erleridir. Bu de1erler eleman eksen tak+m+nda (x,y,z) olup, transformasyon matrisi ara+l+1+ ile global eksen tak+m+na (X,Y,Z) çevrilmektedirler. (4.1) denklemindeki k ve P de1erleri gerek çatlamalar+n gerekse e1ilme momentleri ve eksenel kuvvetlerin etkile3imi nedeniyle olu3an etkiler göz önünde bulundurularak elde edilmi3lerdir. Çatlamalardan sonra kiri3 ve kolon elemanlar+n e1ilme rijitli1inde olu3an de1i3imler olas+l+1a dayal+ etkili rijitlik modeli ile göz önünde bulundurulmu3 olup, etkili atalet momentlerinin elde edilebilmesi için bir öneki bölümde bu modele ba1l+ olarak verilen formülasyonlar kullan+lm+3t+r. Rijitlik etki katsay+lar+ eksenel kuvvet etkisi alt+ndaki konsol bir kiri3 eleman+na ilgili yönlerde birim deplasmanlar verilerek o eleman+n davran+3+n+ idare eden denklemin 54

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA s+n+r 3art+ alt+ndan çözümünden elde edilmekte ve eksenel kuvvetin bas+nç, çekme ve s+f+r olmas+ durumlar+ için farkl+ 3ekilde bulunmaktad+rlar. 4..1. Rijitlik Katsaylarnn Elde Edilmesi 4..1.1. Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu(N>) Eksenel kuvvetin bas+nç olmas+ halinde rijitlik etki katsay+lar+ bu eksenel kuvvet etkisi alt+ndaki konsol bir kiri3 eleman+na ilgili yönlerde birim deplasmanlar verilerek eleman+n davran+3+n+ idare eden denklemin s+n+r 3artlar+ alt+nda çözümünden elde edilmi3lerdir. d 8 =1 durumu: z N k 88 d 8 =1 -z k 18 N x z y x k 78 k 18 x 9ekil 4.1. Eksenel bas+nç kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ Eleman+n davran+3+n+ idare eden difransiyel denklem k = N EI effy (4.) olmak üzere E I z'' = N z k x ++ k (4.3a) effy k 78 78 88 z' ' + k z += EI effy x k EI effy 88 (4.3b) 55

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 3eklinde elde edilmektedir. Bu diferansiyel denklemin genel çözümü z = A sinkx + Boskx + Cx + D (4.4) 3eklinde olmakta ve a3a1+daki denklemlerde verilen s+n+r 3artlar+ uygulanarak x= z= z'=1 (4.5a) x= z= z'= (4.5b) A, B, C ve D katsay+lar+ u=k, =osk, s=sink, H=us+- (4.6) de1erleri olmak üzere us + 1 A = kh s - u B = D = kh 1- C = (4.7) H 3eklinde elde edilmektedirler. Bu katsay+lar da kullan+larak diferansiyel denklemin çözümü z = - (us + 1) sinkx (u s)oskx ( 1) kx u + s kh (4.8) formunda elde edilmekte olup, x= ve x= de M=EIz"(x=, x=) de1erleri ve denge denklemleri ara+l+1+ ile rijitlik katsay+lar+n+n ilgili terimleri u (u s) EIeffy k 88 = H u (s u) EIeffy k18 = H k 88 + k18 k 78 = k18 = = u (1- ) EI H effy (4.9a) (4.9b) (4.9) 56

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 3eklinde elde edilmektedirler. Bu a3amadan sonra eleman rijitlik katsay+lar+n+n di1er terimleri konsol bir kiri3e di1er yönlerde birim deplasmanlar verilmesiyle ayn+ i3lem ad+mlar+ ayn+ s+ra ve düzende uygulanarak elde edilmektedirler. d 1 =1 durumu: z N k 81 z d 1 =1 N x z y x k 11 k 71 k 11 x -x 9ekil 4.. Eksenel bas+nç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem ( k = ): EI effy z' ' + k z = k ( x) k EI EI 11 effy 11 effy (4.1) S+n+r Partlar+: x= z= z'= (4.11a) x= z= z'=1 (4.11b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü : (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) 1 A = kh B = D = u - s kh 1- C = H (4.1a) 57

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA z = ( 1) sinkx + (u s) oskx ( 1) kx u + s kh (4.1b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 11 81 u (u s) EI = H u (s u) EI = H effy effy + k 11 81 k 71 = k11 = = k u (1- ) EI H effy (4.13a) (4.13a) (4.13) d 7 =1 durumu z k 87 N k 17 z y d 7 =1 z N x x k 77 x k 17 9ekil 4.3. Eksenel bas+nç kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n+ davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy k EI 77 87 z' ' + k z = x ++ effy k EI effy N EI effy (4.14) 58

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Partlar+: x= z=1 z'= (4.15a) x= z= z'= (4.15b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = z = s H s H 1, B =, H ks C =, H us + 1 D = H 1 ks us + 1 sinkx + oskx x + H H H (4.16a) (4.16b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 87 = k17 = H 3 u s EI k 17 = k 77 = 3 H effy EI effy (4.17a) (4.17b) d 1 =1 durumu: k 11 k 81 N z y N z d 1 =1 x x k 71 k 11 x -x 9ekil 4.4. Eksenel bas+nç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 59

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n+ davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy k11 ( x) k11 z' ' + k z = + EI EI effy effy N EI effy (4.18) S+n+r Partlar+: x= z= z'= (4.19a) x= z=1 z'= (4.19b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = z = s H s H 1-, B =, H ks C =, H 1 D = H 1 ks 1 sinkx oskx + x + H H H (4.a) (4.b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 81 11 = k 11 = k 71 u ( 1) EI = H 3 u s EIeffy = 3 H effy (4.1a) (4.1b) d 3 =1 durumu: y N d 3 =1 y k 63 N x k 33 k 3 k 53 x 9ekil 4.5. Eksenel bas+nç kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 6

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Eleman+n+ davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem: E I effz y'' = N y + k x k (4.a) k y' ' + k y = EI N k = EI effz 3 effz 3 k x EI 33 effz 33 (4.b) (4.3) Diferansiyel denklemin genel çözümü: y = A sinkx + Boskx + Cx + D (4.4) S+n+r Partlar+: x= y= y'=1 (4.5a) x= y= y'= (4.5b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: A = us + 1 kh B = D = u s kh 1 C = (4.6a) H u=k, =osk, s=sink, H=us+-. (us + 1) sinkx + (u s)oskx + ( 1) kx u + s y = kh (4.6b) (4.6) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 33 63 u (u s) EI = H u (s u) EI = H effz effz (4.7a) (4.7b) 61

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA k 3 = k 53 = k 33 + k 63 = u ( 1) EI H effz (4.7) d 6 =1 durumu: y N k 66 N x k 36 k 6 -y d 6 =1 k 56 x -x 9ekil 4.6. Eksenel bas+nç kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz E I y'' = N y + k ( x) + k (4.8a) effz effz 56 k 56 ( x) k y' ' + k y = + EI EI 66 effz 66 (4.8b) S+n+r Partlar+: x= y= y'= (4.9a) x= y= y'=1 (4.9b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) 1 A = kh B = D = s - u kh 1 C = (4.3a) H 6

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA y = (1- ) sinkx (u s)oskx + ( 1) kx + u - s kh (4.3b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 36 6 u (s u) EI = H = k 56 k = 66 effz + k 36 k 66 u = u (u s) EI effz = (4.31a) H ( 1) EI H effz (4.31b) d =1 durumu: k 3 N k 6 d =1 y N x k x k 5 9ekil 4.7. Eksenel bas+nç kuvveti için d =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz k 3 y' ' + k y = x + EIeffz EIeffz k N EI effz (4.3a) S+n+r Partlar+: x= y=1 y'= (4.33a) x= y= y'= (4.33b) 63

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = y = s H s H 1, B =, H ks C =, H us + 1 D = H 1 ks us + 1 sinkx + oskx x + H H H (4.34a) (4.34b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 3 u ( 1) EI = k 6 = H 3 u s EI effz = k 5 = 3 H effz (4.35a) (4.35b) d 5 =1 durumu: k 65 k 35 N N y d 5 =1 x k 55 k 5 x -x 9ekil 4.8. Eksenel bas+nç kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz k 55( x) k 65 N y' ' + k y = ++ EI EI EI effz effz effz (4.36a) 64

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Partlar+: x= y= y'= (4.37a) x= y=1 y'= (4.37b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = s H, 1 B =, H C = ks, H D = 1 H (4.38a) y = s H 1 ks 1 sinkx oskx + x + H H H (4.38b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 35 = k 65 = H 3 u s EI k 5 = k 55 = 3 H. effz EI effz (4.39a) (4.39b) 65

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 4..1.. Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu(N<) Eksenel kuvvetin çekme olmas+ halinde ise rijitlik katsay+lar+ yine ayn+ /ekilde konsol bir kiri/ eleman+na ilgili yönlerde birim deplasmanlar verilerek eleman+n davran+/+n+ idare eden denklemin s+n+r /artlar+ alt+nda çözümünden ayn+ i/lem ad+mlar+ uygulan+larak elde edilmektedirler. d 8 =1 durumu: z N k 88 d 8 =1 -z k 18 N x z y x k 78 k 18 x Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem:!ekil 4.9. Eksenel çekme kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ E I z'' = N z k x ++ k (4.4a) effy k 78 78 88 z' ' k z x += EI effy k EI effy 88 N k = (4.4b) EI effy Diferansiyel denklemin genel çözümü: z = A'sinhkx + B' oshkx + C' x + D' (4.41) S+n+r Cartlar+: x= z= z'=1 (4.4a) x= z= z'= (4.4b) 66

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: us + 1 u - s -1 A' = B' = D' = C'= kh kh H u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+. - (us + 1) sinhkx + (u s) oshkx + ( 1) kx u + s z = kh (4.43a) (4.43b) (4.43) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u (u s) EIeffy k 88 = H u (s u) EIeffy k18 = H k 88 + k18 k 78 = k18 = = u (1- ) EI H effy (4.44a) (4.44b) (4.44) d 1 =1 durumu: z N k 81 z d 1 =1 N x z y x k 11 k 71 x -x k 11!ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy z' ' k z = k ( x) k EI EI 11 effy 11 effy (4.45) 67

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Cartlar+: x= z= z'= (4.46a) x= z= z'=1 (4.46b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) 1- A'= kh (1 z = s - u -1 C'= H B' = D' = kh ) sinhkx + (s - u)oshkx + ( 1) kx + u s kh (4.47a) (4.47b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u (u s) EIeffy k11 = H u (s u) EI effy k 81 = H k11 + k 81 k 71 = k11 = = u (1- ) EI H effy (4.48a) (4.48b) (4.48) d 7 =1 durumu: z k 87 N k 17 z y d 7 =1 z N x x k 77 x k 17!ekil 4.11. Eksenel çekme kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 68

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy z' ' k z = k EI 77 effy k x + EI 87 effy N EI effy (4.49) S+n+r Cartlar+: x= z=1 z'= (4.5a) x= z= z'= (4.5b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) A' = s, H 1- B' =, H C' = ks, H D' = us + 1 H (4.51a) z = s H 1 ks us + 1 sinhkx oshkx x + H H H (4.51b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 87 17 u ( 1) EI = k17 = H 3 u s EIeffy = k 77 = 3 H effy (4.5a) (4.5b) d 1 =1 durumu: k 81 k 11 N z y N z d 1 =1 x x k 11 k 71 x -x!ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 69

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy z' ' k z = k 11 EI ( x) effy k EI 11 effy N EI effy (4.53) S+n+r Cartlar+: x= z= z'= (4.54a) x= z=1 z'= (4.54b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) s -1 ks 1- A' =, B' =, C', D' == (4.55a) H H H H z = s H 1 ks 1 sinhkx + oshkx + x H H H (4.55b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 81 = k11 = H 3 u s EI k 11 = k 71 = H effy 3 EI effy (4.56a) (4.56b) 7

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA d 3 =1 durumu: y N d 3 =1 y k 63 N x k 33 k 3 k 53 x!ekil 4.13. Eksenel çekme kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem: y' ' k y = k EI 3 effz k x EI 33 effz N EI k = (4.57) effz Diferansiyel denklemin genel çözümü: y = A'sinhkx + B' oshkx + C' x + D' (4.58) S+n+r Cartlar+: x= y= y'=1 (4.59a) x= y= y'= (4.59b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) A' = us + 1 kh B' = D' = s - u kh 1- C'= H (4.6a) 71

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA y = (us + 1) sinhkx + (s - u)oshkx + (1- ) kx + u s kh (4.6b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k k 33 63 3 u (u s) EI effz = H u (s u) EI effz = H k 33 + k = k 53 = 63 = u ( 1) EI H effz (4.61a) (4.61b) (4.61) d 6 =1 durumu: y N k 66 N x k 36 k 6 -y d 6 =1 k 56 x -x!ekil 4.14. Eksenel çekme kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz k 56 ( x) k y' ' k y = + EI EI effz 66 effz (4.6) S+n+r Cartlar+: x= y= y'= (4.63a) 7

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA x= y= y'=1 (4.63b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel denklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) 1 A' = kh B' = D' = u - s kh 1- C'= H ( 1) sinhkx + (u - s) oshkx + (1- ) kx (u s) y = kh (4.64a) (4.64b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 36 6 u (s u) EI effz = H k 66 + k = k 56 = 36 u (u s) EI effz k 66 = H (4.65a) u ( 1) EI effz = H (4.65b) d =1 durumu: k 3 N k 6 d =1 y N x k x k 5!ekil 4.15. Eksenel çekme kuvveti için d =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz y' ' k y = k EI effz x k EI 3 effz N EI effz (4.66) 73

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Cartlar+: x= y=1 y'= (4.67a) x= y= y'= (4.67b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) A' = s, H 1- B' =, H C' = ks, H D' = us + 1 H (4.68a) y = s H 1- sinhkx + H oshkx ks us + 1 x + H H (4.68b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 3 = k 6 = H 3 u s EI k = k 5 = H EI effz 3 effz (4.69a) (4.69b) d 5 =1 durumu: k 35 k 65 N N y d 5 =1 x k 55 k 5 x -x!ekil 4.16. Eksenel çekme kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 74

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz y' ' k y = k 55( x) k + EI EI effz 65 effz N EI effz (4.7a) S+n+r Cartlar+: x= y= y'= (4.71a) x= y=1 y'= (4.71b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) s 1 ks 1- A' =, B' =, C', D' == (4.7a) H H H H y = s sinhkx H 1 ks 1 + oshkx + x H H H (4.7b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k 35 = k 65 u = ( 1) H EI effz (4.73a) k 5 = k 55 3 u s = H EI effz 3 (4.73b) Analizde eksenel kuvvetin burulma rijitlikine olan etkisi göz önünde bulundurulmad+k+ndan rijitlik katsay+lar+n+n diker terimlerinden burulma rijitlik katsay+s+ ile ilgili dekerleri lineer analizden elde edilen dekerlerle ayn+ olmaktad+rlar (Denklem 3.3j). Bununla birlikte betonarme elemanlar+n+n kesit özelliklerinden dolay+ ekilme nedeniyle olu/an eksenel deformasyonlar betonarme yap+larda genellikle çok önemli olmad+k+ndan analizde göz önünde bulundurulmam+/lard+r. Bu 75

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 76 nedenle rijitlik katsay+lar+n+n eksenel rijitlik katsay+s+ ile ilgili dekerleri de lineer analizden elde edilen dekerlerle ayn+ olmaktad+rlar (Denklem 3.3a). Sonuç olarak geometrik nonlineerlik ve çatlamalar+n etkisi göz önünde bulundurularak, üç boyutlu bir eleman için rijitlik matrisi dekerleri S ve t ifadelerine bakl+ olaak /ekilde genel olarak = 1 1 11 k k k k k (4.74a) + + + + + + + + + + + + + + = z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 11 S t S t t S t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S AE AE t t S S t S t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S AE AE k (4.74b) + + + + + + + + + + + + + + = y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y S t S t t S GJ GJ t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S GJ GJ t t S S t S t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S k (4.74) k k 1 1 = = (4.74d) H s)) (u (u EI S m m m effm m = H )) u (s (u EI t m m m effm m = (4.74e)

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA u m N = k m k m = s = sin u = os u H m = u ms + ( ) ( ) m=y,z (4.74f) EI effm formunda elde edilmi/lerdir. Bu denklemlerde, eksenel kuvvetin (N) bas+nç olmas+ halinde =1, çekme olmas+ halinde ise =-1 al+nmaktad+r. Yine ayn+ e/itliklerde eksenel kuvvetin çekme olmas+ durumunda sinu ve osu ifadelerinin yerini sinhu ve oshu ifadeleri almaktad+r. Bununla birlikte ayn+ denklemlerdeki A, E ve J dekerleri ise kesit alan+, elastisite modülü ve burulma atalet momentini ifade etmektedirler. 4.3. Yük Vektörlerinin Elde edilmesi kini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak düzgün yay+l+ yük ve ara tekil yük etkisi alt+ndaki bir elemanda ankastrelik uç kuvvetleri, eksenel kuvvetin etki ettiki eleman+n davran+/+n+ idare eden denklemin s+n+r /artlar+ alt+nda çözümünden elde edilmektedir. Eksenel kuvvetin bas+nç ve çekme olmas+ durumlar+na göre bu uç kuvvetleri ayr+ ayr+ olarak elde edilmi/lerdir. 4.3.1. Düzgün Yayl Yük Durumu 4.3.1.1. Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu(N>) z q P 8 P 1 N z N q P 7 = - q P 1 = - x!ekil 4.17. Eksenel bas+na maruz düzgün yay+l+ yük etkisi alt+ndaki bir kiri/ 77

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Düzgün yay+l+ yüklü eksenel bas+na maruz bir eleman+n davran+/+n+ idare eden difransiyel denklem EI q qx z'' = M = -Nz - x + P8 (4.75) effy + formunda elde edilmekte ve bu denklemin genel çözümü z = A sinkx + Boskx + Cx + Dx + F (4.76) /eklinde olmaktad+r. Genel çözümden elde edilen bu denklem ve z" ifadesi (4.75) e/itlikinde yerine koyulursa C, D ve F katsay+lar+ EI [- Ak Sinkx- Bk Coskx+C ] = -N[ ASinkx+ BCoskx+Cx ] q qx + Dx+ F - x + P8 (4.77a) q qx - x + P8 (4.77b) effy + EI C = -N Cx { + Dx + F} effy + - q D = N C = q N EI F = - N effy q P8 + (4.78) N denklemlerindeki gibi elde edilmektedirler. Bu dekerler de göz önünde bulundurularak genel çözümü ifade eden denklem z = ASinkx + Boskx + q N x q EIq P EI 8 effyq - x - + (4.79) N N N N /eklinde elde edilmektedir. A ve B katsay+lar+ ile P 8 dekeri ise x= z= (4.8a) x= z'= (4.8b) x= z= (4.8) 78

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA denklemlerinde verilen s+n+r /artlar+ göz önünde bulundurularak ve olmak üzere (4.81) ve (4.8) e/itliklerindeki gibi elde edilmektedirler. k = N EI effy P8 B = - N EI + N effy q, A = q kn (4.81) EI q effy us q us P8 = 1+ = 1 + u=k =osk s=sink (4.8) N ( -1) u ( -1) Moment dengesi de göz önünde bulundurularak P 1 dekeri EI q effy us q us P1 = P8 = 1+ = - 1 + N (4.83) ( -1) u ( -1) /eklinde elde edilmektedir. 4.3.1.. Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu(N<) Düzgün yay+l+ yük etkisi alt+ndaki çekme kuvvetine maruz bir elemanda ankastrelik uç kuvvetleri ise bir öneki bölümde olduku gibi ayn+ i/lem ad+mlar+ uygulanarak elde edilmektedirler. Z q P 8 P 1 N z N q P 7 = - q P 1 = - x!ekil 4.18. Eksenel çekmeye maruz düzgün yay+l+ yük etkisi alt+ndaki kiri/ 79

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Düzgün yay+l+ yüklü eksenel çekmeye maruz bir eleman+n davran+/+n+ idare eden difransiyel denklem EI q z' ' = M = Nz - x + P effy 8 + qx (4.84) /eklinde elde edilmekte ve bu denklemin genel çözümü z = A'sinhkx + B'oshkx + C' x + D' x + F' (4.85) olarak bulunmaktad+r. Genel çözümden elde edilen denklem (4.84) e/itlikinde yerine koyulur ve gerekli düzenlemeler yap+l+rsa C', D' ve F' katsay+lar+ C' = - q N D' = q N F' = - EI effy N q P8 (4.86) N /eklinde elde edilmektedirler. Bu dekerler (4.85) e/itlikinde yerine koyulursa genel çözümü ifade eden denklem z = A'sinhkx + B'oshkx - q N x q EIeffyq P8 + x - (4.87) N N N formunda elde edilmektedir. A' ve B' katsay+lar+ ile P 8 dekeri x= z= (4.88a) x= z'= (4.88b) x= z= (4.88) verilen s+n+r /artlar+ da göz önünde bulundurularak u=k =oshk s=sinhk (4.89) 8

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA olmak üzere B = EI effy N q f 8 - q + A = (4.89) N kn q us P8 = -1 (4.9) u ( -1) /eklinde elde edilmektedirler. Moment dengesi de göz önünde bulundurularak P 1 dekeri = q us P1 -P8 = - 1- (4.91) u ( -1) Sonuç olarak düzgün yay+l+ yüklü çekme veya bas+nç kuvvetine maruz bir elemanda çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak ankastrelik uç kuvvetleri a/ak+da verilen denklemdeki gibi elde edilmi/tir. P1 P P3 P4 P 5 P6 P = P 1 = P = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = P 9 = P 11 = (4.9) P7 P8 P 9 P1 P11 P 1 81

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 4.3.. Tekil Yük Durumu z P 8 P P 1 N P 7 x a z 1 z N P 1!ekil 4.19. Eksenel bas+na maruz düzgün tekil yük etkisi alt+ndaki kiri/ Tekil yük etkisi alt+ndaki eksenel bas+na maruz bir eleman+n davran+/+n+ idare eden difransiyel denklemler EI z + (4.93a) 1' ' = -Nz1 + P7 x P8 EI z (4.93b) '' = -Nz + P1 ( - x) P1 /eklinde elde edilmekte ve N EI k = olmak üzere bu diferansiyel denklemlerin effy genel çözümleri a/ak+daki denklemlerdeki gibi elde edilmektedirler. z z 1 = A1sinkx + B1oskx + C1x + D1 = Asinkx + Boskx + Cx + D (4.94a) (4.94b) Genel çözümden elde edilen bu denklemler ve x= z 1 = z 1 ' = (4.95a) x=a z 1 =y z 1 ' = z ' z 1 ''= z '' EI effy z '''=EI effy z '''-P (4.95b) x= z = z ' = (4.95) 8

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA /eklinde verilen s+n+r ko/ular+ göz önünde bulundurularak (A - A1)sinka + (B - B1)oska + (C - C1)a + D - D1 = (4.96a) (A - A1) koska - (B - B1)ksinka + C - C1 = (4.96b) - (A - A1) k sinka - (B - B1) k oska = (4.96) 3 3 P - (A - A1) k oska + (B - B1) k sinka = EI (4.96d) A sink + Bosk + C + = D (4.96e) A kosk - Bksink + = C (4.96f) A k + 1 1 = C (4.96g) B1 + 1 = D. (4.96h) denklemleri elde edilmektedirler. Bu denklemlerin çözümünden edilen katsay+lar (4.94a) e/itlikinde yerine konur ve elde edilen dekerin (4.93a) denkleminde yerine koyularak x= noktas+nda çözümünden P 8 dekeri, ayn+ denklemin türevi al+narak ayn+ noktada (x=) çözümünden de P 7 dekeri elde edilmektedir. u=k, H=us+-, a=d ve b=1-d olmak üzere N P 8 = - (buosu - sinu + sindu + sinbu - u osbu + du) (4.97) uh /eklinde elde edilmektedir. P 1 ve P 1 dekerleri ise denge denklemleri ara+l+k+ ile elde edilmektedirler. Tekil yük etkisi alt+ndaki çekme kuvvetine maruz bir elemanda ankastrelik uç kuvvetleri ise ayn+ i/lem ad+mlar+ uygulanarak ilk etapta u=k, H=us-+, a=d ve b=1-d olmak üzere N P 8 = - (buoshu - sinhu + sinhdu + sinhbu - u oshbu + du) (4.98) uh 83

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA dekeri elde edilmektedir. Yük vektörünün diker terimleri ise eksenel bas+nç durumundaki gibi, benzer i/lem ad+mlar+ uygulanarak ve denge denklemleri ara+l+k+ ile elde edilmektedirler. 4.4. Bilgisayar Program Çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli/tirilen bilgisayar program+ Fortran 77 dilinde yaz+lm+/ olup çözüm algoritmas+n+n ak+/ diyagram+ Cekil 4.19 da gösterilmi/tir. Programda, yükler yap+ya ad+m ad+m uygulan+p her yük ad+m+nda iteratif i/lemlere ba/vurulmaktad+r. lk yük ad+m+n+n ba/lang++nda yap+ lineer elastik analiz göz önünde bulundurularak çözümlenmekte ve bu çözümleme sonuunda kiri/ ve kolon elemanlarda olu/an moment dekerlerine bakl+ olarak çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenip geli/tirilen formülasyonlar +/+K+ alt+nda deplasmanlarla eleman uç kuvvetleri elde edilmektedir. Her iterasyonda sonua daha çabuk ve kolay ula/+labilmesi için bu iterasyondan öneki iterasyonlardaki uç kuvveti dekerlerinin ortalamas+ kullan+larak çözümlemeler yap+lamaktad+r. Her yük ad+m+nda birbirini izleyen iki iterasyondaki eleman uç kuvvetleri aras+ndaki belirlenen yak+nsakl+k+n saklan+na iterasyonlara son verilmekte ve diker yük ad+m+na geçilmektedir. Programda P n i P n1 Pi n i R (4.99) /eklinde yak+nsakl+k kriterleri tan+mlanm+/t+r. Bu denklemdeki R eleman uç kuvvetleri aras+ndaki yak+sakl+k kriterini, n iterasyon numaras+n+, P n i ve P n-1 i yük ad+m+ içerisindeki n. ve (n-1). iterasyonlarda elemanda olu/an uç kuvveti dekerlerini ifade etmektedirler. 84

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Yap" ve eleman özelliklerinin girilmesi D", yüklerin girilmesi Yap"n"n ba,lang"ç yük durumu için lineer analizle çözümlenmesi nad=1 Kolonlarda eksenel yük düzeylerine bal" olarak çatlama momenti M r nin hesaplanmas" Eleman uç kuvvetlerinin kullan"larak kiri, ve kolon elemanlarda çatlayan ve çatlamayan bölgelerin belirlenmesi Etkili atalet momenti ve etkili kayma modülü deerleri kullan"larak eleman rijitlik matrisi, eleman yük vektörü ve sistem rijitik matrisinin elde edilmesi Deplasmanlar"n ve eleman uç kuvvetlerinin hesaplanmas" Bir öneki iterasyondan yararlan"larak uç kuvvetlerinin hesab" Hay"r n P i P i P n i n1 R Bir öneki yük ad"m"ndaki son iterasyondan yararlan"larak uç kuvvetlerinin hesab" Evet nad>n1 Evet Sonuçlar"n ç"kt" dosyas"na yaz"lmas" Hay"r Yükün art"m"n"n yap"lmas" nad=nad+1!ekil 4.. Bilgisayar program+ ak+/ diyagaram+ 85

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli/tirilen program, gerek bilgi giri/i gerekse program+n yap+s+ yönünden bir öneki bölümde de ayr+nt+l+ bir /ekilde aç+klanan, çatlamalar+n etkisi göz önünde bulundurularak geli/tirilen programa benzerlik göstermektedir. Bu programda da veri giri/i herhangi bir editör yaz+l+m+ ile haz+rlanabilen ve data bloklar+ndan olu/an data dosyas+ ile yap+lmaktad+r. Data dosyas+ bir öneki programda olduku gibi genel bilgiler, eleman özellikleri, koordinatlar, mesnet 7artlar ve yükler olmak üzere be/ bölümden olu/makta ve sadee genel bilgiler ve yükler k+sm+nda bilgi giri/i yönünden diker programa göre baz+ farkl+l+klar içermektedir. Çatlamalarla birlikte ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak geli/tirilen yöntemde diker yöntemden farkl+ olarak elemanlar+n etkili atalet momentlerinin hesab+nda sadee olas+l+ka dayal+ etkili rijitlik modelinin kullan+lmas+ ve analizde kayma deformasyonlar+ etkisinin göz önünde bulundurulmamas+ nedeniyle genel bilgiler data blokunda bilgi giri/i diker programa göre farkl+l+k göstermektedir. Bu data blokuna Np Nm Ik Ikk Est Gn /eklinde, Np:Yap+daki toplam düküm say+s+ Nm: Yap+daki toplam eleman say+s+ Ik: Çatlamay+ kontrol eden parametre Est: ÇeliKin elastisite modülü Gn: Geometrik nonlineerlik etkisini kontrol eden parametre dekerleri girilmektedir. Çatlamay+ ve geometrik nonlineerliki kontrol eden parametreler 1 olarak girilmi/se, analizde çatlama ve geometrik nonlineerlik etkisi göz önünde bulundurulaakt+r. Bu dekerler s+f+r olarak girildikinde ise çatlama ve/veya geometrik nonlineerlik etkisi analizde göz önünde bulundurulmayaakt+r. Data dosyas+n+n eleman özellikleri, koordinatlar, mesnet /artlar+ data bloklar+na bilgi giri/i ise öneki bölümde ayr+nt+l+ /ekilde aç+klanan programla ayn+ 86

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA /ekilde yap+lmaktad+r. Yükler data blokunda ise baz+ farkl+l+klar olu/maktad+r. Bu data blokunda bilgi giri/i, yay+l+ yükler ve düküm yükleri olmak üzere iki k+s+mdan olu/maktad+r. Elemanlar üzerine gelen yay+l+ yükler birbirine e/it olduklar+ zaman bu dekerler türetme yap+larak a/ak+daki gibi girilebilir. Buradaki, Kb Ks Kt Yyukb Tekb Ai Yyart Tekart N1 Kb: Türetmesi yap+laak ilk eleman+n numaras+ Ks: Türetmesi yap+laak son eleman+n numaras+ Kt: Türetme miktar+ Yyukb: Eleman üzerindeki yay+l+ yükün ba/lang+ç dekeri Tekb: Elemana etkiyen tekil yükün ba/lang+ç dekeri Ai: Tekil yükün sol mesnetten olan uzakl+k+ Yyart: Yay+l+ yük art+m dekeri Tekart: Tekil yük art+m dekeri N1: Yük ad+m say+s+ dekerleridir. EKer türetme sözkonusu dekilse K1 Yyukb Tekb Ai Tekart Yyart N1 formunda, dekerleri girilmektedir. Yükler data blokunun düküm yükleri bölümünde ise /eklinde, Ky Y1 Y Y3 Y4 Y5 Y6 Y1art Yart Y3art Y4art Y5art Y6art Ky: DüKüm Numaras+ Y1: DüKüme x yönünde etkiyen kuvvetin ba/lang+ç dekeri Y: DüKüme y yönünde etkiyen kuvvetin ba/lang+ç dekeri Y3: DüKüme z yönünde etkiyen kuvvetin ba/lang+ç dekeri 87

4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Y4: DüKüme etkiyen burulma momentin ba/lang+ç dekeri dekeri dekeri Y5: DüKüme etkiyen y ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin ba/lang+ç Y6: DüKüme etkiyen z ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin ba/lang+ç Y1art: DüKüme x yönünde etkiyen kuvvetin art+m dekeri Yart: DüKüme y yönünde etkiyen kuvvetin art+m dekeri Y3art: DüKüme z yönünde etkiyen kuvvetin art+m dekeri Y4art: DüKüme etkiyen burulma momentin art+m dekeri Y5art: DüKüme etkiyen y ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin art+m dekeri Y6art: DüKüme etkiyen z ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin art+m dekeri s+ras+yla girilmektedirler. 88

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA 5. ARATIRMA BUGUARI 5.1. Giri Bu bölümde ilk etapta, çatlamalardan sonra kiri' ve kolonlar)n e*ilme ve kayma rijitli*inde olu'an de*i'imler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli'tirilen analitik yöntemin do*rulu*unu ve uygulanabilirli*ini belirlemek ama)yla literatürde mevut olan ve deneysel çal)'malar) yap)lm)' yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçeve örnekleri, geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)*) ile çözümlenmi' ve elde edilen sonuçlar deneysel sonuçlarla kar')la't)r)lm)'t)r. Daha sonra ise yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örne*i, kiri' ve kolonlarda olu'an çatlamalar göz önünde bulundurularak analiz edilmi' ve gerek yap)da olu'an rölatif yatay ötelemeler, gerekse yatay deplasmanlar)n uygulanan yüklere ba*l) olarak de*i'imi elde edilerek, bu de*erlerin lineer analiz sonuçlar)na göre nas)l bir de*i'im gösterdi*i görülmeye çal)')lm)'t)r. Ayr)a de*i'ik kat ve farkl) boyutlara sahip üç boyutlu betonarme çerçeve örnekleri de çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak analiz edilmi'tir. Bu örneklerde e'de*er deprem yüküne göre elde edilen ve katlar)n master noktalar)na etkiyen yatay yükler belirli oranlarda artt)r)larak çatlamalar)n göz önünde bulundurulmas) ve bulundurulmamams) durumlar) için yap)da olu'an maksimum rölatif yatay ötelemelerin uygulanan yatay yüklere göre de*i'imi inelenmi' ve TDY de verilen s)n)r de*erlerin a')p a'mad)*) kontrol edilmi'tir. Bu bölümde son olarak yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçeve örnekleri geometrik nonlineerlik ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)*) ile çözümlenmi' ve elde edilen yatay deplasmanlar)n yatay yüklerin artmas)na ba*l) olarak lineer analiz sonuçlar)na göre nas)l biri de*i'im gösterdi*i görülmeye çal)')lm)'t)r. Ayr)a çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerin yap) davran)') üzerine olan etkisi irdelenmeye çal)')lm)'t)r. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki gerek iki boyutlu gerekse üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin bu çal)'mada geli'tirilen 89

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA bilgisayar program) ara)l)*) ile çözümlenmesinden, özellikle proje mühendisleri için önemli olabileek elemanlardaki çatlamalar)n olu'um s)ras) ve uygulanan yüklere ba*l) olarak elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler de elde edilmi'tir. 5.. Örnekler 5..1. Örnek 1 Chan ve ark.() taraf)ndan gerek deneysel çal)'mas) yap)lm)' gerekse geli'tirdikleri modeller ara)l)*) ile çözülen bu örnek yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki iki katl) betonarme çerçeveden olu'maktad)r. Betonarme yap) alt) elemandan olu'aak 'ekilde modellenmi' olup gerek betonarme yap)ya gerekse elemanlara ait özellikler ekil 5.1 de gösterilmi'tir. kn kn 3 3 5 B B B 6 Q 4 4 5 C3 C4 375 117 A 3 A C1 B1 B B A A 4 C A-A kesiti 3 5 35 A A A 1 3 A 3 5 B-B kesiti 5 ekil 5.1. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki iki katl) betonarme çerçeve örne*i (mm) Örnekte yap)ya etkiyen eksenel yükler sabit kalmak üzere yatay yükler (Q) betonarme çerçeve ta')ma güüne eri'ineye kadar artt)r)larak, 6 numaral) dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar elde edilmi'tir. Analizde etkili atalet momentlerinin 9

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA hesab)nda ACI ve olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli, etkili kayma modüllünün hesab)nda ise Al-Mahaidinin önermi' oldu*u yöntem kullan)lm)'t)r. Betonun elastisite modülü ve e*ilmedeki çekme dayan)mlar)n)n elde edilebilmesi için ACI taraf)ndan a'a*)da verilen denklemler kullan)lm)'t)r. f tf =.6 E =473 f (N/mm ) (5.1) f (N/mm ) (5.) Bu denklemlerdeki f ve f tf de*erleri betonun karakteristik bas)nç dayan)m) ve e*ilmedeki çekme dayan)m) de*erleridir. Bu çal)'mada çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen analitik yönteme ba*l) olarak çerçevenin 6 numaral) dü*ümünde elde edilen yatay deplasmanlar)n gerek lineer elastik analiz, gerekse di*er analitik model ve deneysel çal)'ma sonuçlar)yla kar')la't)r)lmas) ekil 5. de gösterilmi'tir. Yatay yük(kn) 15 1 5 1 3 4 5 6 7 Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar ineer analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) Chan ve ark.() ekil 5.. Deneysel ve analitik çal)'ma sonuçlar)ndan elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) ekilden görüldü*ü gibi lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasman de*eri ile gerek deneysel gerekse bu çal)'mada elde edilen de*erler aras)nda, çerçeveye 91

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak büyük farkl)l)klar olu'tu*u görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %7 ine ula't)*) anda lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlar deneysel olarak elde edilen de*erin %41 ine e'it olmaktad)r. Ayn) yatay yük düzeyinde bu çal)'mada elde edilen deplasman de*eri ise deneysel olarak elde edilen de*erin %9 sine kar')l)k gelmektedir. Yatay yükün betonarme çerçevenin ta')ma güü yükünün %5 sine e'it oldu*u düzeyde ise lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlar deneysel olarak elde edilen de*erin %51 ine kar')l)k gelirken bu çal)'mada elde edilen deplasman de*eri ile deneysel olarak elde edilen de*er yakla')k olarak birbirine e'it olmaktad)r. Elde edilen bu sonuçlara ba*l) olarak kullan)labilirlik yük düzeyinde bile betonarme elemanlar)n çok dü'ük yük düzeyinde çatlamas)ndan dolay) e*ilme ve kayma rijitliklerinde olu'an azalmalar nedeniyle lineer elastik modelin ne kadar yanl)' sonuçlar verdi*i aç)kça görülmektedir. Bununla birlikte bu çal)'mada geli'tirilen analitik yöntem deplasman de*erlerini çerçevenin ta')ma güü yükünün %78 ine kadar deneysel sonuçlarla büyük bir yak)nl)k içerisinde elde etmektedir. Bu yük düzeyinden sonra bu çal)'mada elde edilen sonuçlarla deneysel sonuçlar ars)nda büyük bir farkl)l)k olu'tu*u görülmü'tür. Bu farkl)l)*)n olu'mas)n)n en büyük nedenleri ise kullan)labilirlik yük düzeyinden sonra özellikle ta')ma güüne de yakla')ld)kça beton ve çelik malzemelerin lineer olmayan davran)'lar)n)n daha etkin hale gelmesi ve kiri' ve kolon uçar)nda plastik mafsallar)n olu'mas)yla birlikte dü*üm noktalar) ivar)nda büyük deplasmanlar)n meydana gelmesi 'eklinde ifade edilebilir. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçeve örne*i ayr)a çatlamalardan sonra kiri' ve kolon elemanlar)n)n etkili atalet momentlerinin hesab)nda de*i'ik modeller kullan)larak analiz edilmi' ve elde edilen yatay deplasman de*erlerine ba*l) olarak bu modellerin kar')la't)r)lmas) ekil 5.3 de gösterilmi'tir. Etkili atalet momentlerinin hesab)nda farkl) modeller kullan)lmas)na kar')n elde edilen deplasman de*erlerinin birbirine oldukça yak)n oldu*u görülmektedir 9

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yatay yük(kn) 15 1 5 1 3 4 5 6 7 Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) Çatlama göz önünde bulunduruluyor(olas/l/a dayal/ etkili rjitlik modeli) ekil 5.3. Etkili atalet momenti hesab)nda farkl) modeller kullan)larak elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) 1.8 I eff /I 1.6.4.. 5 1 15 Yatay yük(kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri3i B kiri3i ekil 5.4. Kiri' ve kolonlar)n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre de*i'imi 93

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak elemanlardaki çatlamalar)n olu'um s)ras) ve elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler analizde etkili atalet momentlerinin hesab)nda olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli göz önünde bulundurularak elde edilmi' ve ekil 5.4 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi ilk olarak betonarme çerçevenin birini ve ikini kat)ndaki kiri'lerde yatay yükün ve 3 kn oldu*u düzeylerde çatlama olu'makta ve yatay yükün bu de*erinden sonra kiri'lerin e*ilme rijitliklerinde oldukça h)zl) bir 'ekilde azalma meydana gelmektedir. Yatay yükün 45 kn ve 48 kn oldu*u seviyelerde ise, kolonlardan ilk olarak yatay yükün uyguland)*) taraftaki C4 ve C kolonlar) s)ras) ile çatlamakta olup, yükün bu düzeyinde birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti de*erleri çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %5 ve %61 ine e'it olmaktad)r. Kiri'lerin çatlamas)yla birlikte yüklerin büyük bir k)sm) C ve C4 kolonlar)na aktar)lm)' ve sonuç olarak bu kolonlarda çatlama olu'mu'tur. Yatay yükün uyguland)*) noktan)n kar') taraf)ndaki kolonlar ise bu yük düzeyinden farkl) olarak s)ras) ile 55 kn ve 6 kn luk yatay yük düzeylerinde çatlam)'t)r. Bu kolonlar)n di*er kolonlara göre daha büyük bir yatay yük düzeyinde çatlamas)n)n nedeni ise bu kolonlarda olu'an eksenel kuvvetin di*er kolonlara göre daha büyük olmas)ndan kaynaklanmakta olup en büyük eksenel kuvvet en son çatlayan C1 kolonunda olu'maktad)r. Ayr)a ekil 5.4 den görüldü*ü gibi betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %5 sine ula't)*) anda birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %46 ve %51 ine e'it olurken, ikini kattaki C3 ve C4 kolonlar)n)n atalet momentleri çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %71 ve %67 sine e'it olmaktad)r. Ayn) 'ekilde birini kattaki C1 ve C kolonlar)n)n atalet momenti de*erleri ise çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin %7 ve %61 ine kar')l)k gelmektedir. Bununla birlikte yatay yük çerçevenin ta')ma güü yükünün %78 ine ula't)*) anda C1, C, C3 ve C4 kolonlar)n)n atalet momenti de*erleri çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %6, %53, %6 ve %55 ine e'it olurken, birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti de*erleri çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin %45 ve %46 s)na kar')l)k gelmektedir. Elde edilen bu sonuçlara göre betonarme çerçevelerde çatlamalar)n etkisinin analizlerde, 94

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA kiri'lerin atalet momentinin çatlamam)' kesit atalet momentinin %5 si, kolonlar)n atalet momentlerinin çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %8 i al)narak yatay deplasmanlar)n elde edilmesi (Stafford ve Coull, 1991) her zaman emniyetli yönde kalan bir yöntem olmad)*) görülmektedir. Yatay deplasman(mm) 35 3 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 terasyon says ekil 5.5. Yatay deplasman)n iterasyon say)s)na göre de*i'imi 1.9 I eff /I 1 I eff /I 1 Ieff/I1.8.7.6.5.4 4 6 8 1 1 14 16 18 Iterasyon says C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri3i B kiri3i ekil 5.6 Etkili atalet momentlerinin iterasyon say)s)na göre de*i'imi ekil 5.6. Etkili atalet momentlerinin iterasyon say)s)na göre de*i'imi ekil 5.5 ve ekil 5.6 de betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün 155 kn oldu*u düzeyde artan iterasyonlara ba*l) olarak yatay deplasman ve etkili atalet momentinde olu'an de*i'imler görülmektedir. ekilden gerek deplasmanlar)n gerekse etkili atalet momenti de*erlerinin 5 iterasyondan sonra sonua ula't)*) 95

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA görülmektedir. Rijitlik matrisi yöntemine dayand)r)larak geli'tirilen yöntem gerek deplasmanlar) gerekse etkili atalet momenti de*erlerini oldukça h)zl) bir 'ekilde elde edebilmektedir. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçevede kayma deformasyonlar) etkisinin çerçevenin 6 numaral) dü*ümünde olu'an yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi ekil 5.7 de gösterilmi'tir. ekilden çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %78 oldu*u düzeyde kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasman)n toplam yatay deplasman)n yakla')k olarak %14 nü olu'turdu*u ve yatay yükün bu düzeyinden sonra ta')ma güüne yakla')lmas)yla birlikte bu yüzdenin daha da artt)*) görülmektedir. Ayr)a çatlamalardan sonra elemanlar)n e*ilme ve etkili kayma rijitli*indeki de*i'imler göz önünde bulundurularak bu çal)'mada geli'tirilen yöntemle elde edilen sonuçlar)n, Chan ve ark. () taraf)ndan çatlamalardan sonra kayma rijitli*inde olu'an de*i'imler göz önünde bulundurmadan geli'tirdikleri yöntemlerden elde ettikleri sonuçlara göre daha iyi oldu*u görülmektedir (ekil 5.). Yatay yük (kn) 15 1 5 1 3 4 Yatay deplasman(mm) Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulunduruluyor Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulundurulmuyor ekil 5.7. Kayma deformasyonlar) etkisinin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi 96

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA 5... Örnek Bu örnek deneysel çal)'mas) Vehio ve Emara (199) taraf)ndan yap)lm)' yatay ve eksenel yükler etkisi alt)ndaki iki katl) betonarme çerçeveden olu'maktad)r. Betonarme yap) 6 elemandan olu'aak 'ekilde modellenmi' olup, yap) ve elemanlara ait özellikler ekil 5.8 den görülmektedir. Örnekte betonarme çerçeveye uygulanan dü'ey yükler sabit kalmak üzere yatay yükler (Q) yap) ta')ma güüne eri'ineye kadar artt)r)larak çerçevenin ikini kat)ndaki 5 numaral) dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar elde edilmi'tir. Analizde etkili atalet momentlerinin hesab)nda ACI ve olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli, etkili kayma modüllerinin hesab)nda ise Al-Mahaidi nin önermi' oldu*u yöntem kullan)lm)'t)r. Q A 3 A 7 kn 7 kn B 5 B B 6 C3 C4 A A A A B1 B 4 B A A C1 C 4 4 4 4 4 A-A Kesiti 3 4 5 3 4 1 4 35 B-B Kesiti ekil 5.8. ki katl) betonarme çerçeve örne*i 5 97

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak bu çal)'mada geli'tirilen analitik yönteme ba*l) olarak betonarme çerçevenin 5 numaral) dü*ümünde elde edilen yatay deplasmanlar)n gerek lineer analiz, gerekse di*er analitik model sonuçlar) ve deneysel çal)'ma sonuçlar) ile kar')la't)r)lmas) ekil 5.9 da gösterilmi'tir. ekilden çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak lineer analiz ile elde edilen deplasman de*erleri ile gerek deneysel gerekse bu çal)'mada elde edilen sonuçlar aras)nda büyük farkl)l)klar olu'tu*u görülmektedir. Yatay yük(kn) 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) ineer analiz Vehio ve Emara(199) Yatay yük(kn) 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) Chan ve ark.() ekil 5.9. Deneysel ve analitik çal)'ma sonuçlar)ndan elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) 98

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün 7 kn oldu*u düzeye kadar bu çal)'mada elde edilen sonuçlarla deneysel sonuçlar)n oldukça uyum içerisinde oldu*u görülmektedir. Bununla birlikte yatay yükün 7 kn oldu*u düzeyden sonra Vehio ve Emara n)n (199) geli'tirdikleri yönteme ba*l) olarak elde ettikleri sonuçlarla deneysel sonuçlar)n büyük bir yak)nl)k içerisinde oldu*u görülmektedir. Fakat bu çal)'mada, yatay yükün 7 kn oldu*u düzeye kadar Vehio ve Emara taraf)ndan elde edilen sonuçlara göre daha iyi sonuçlar elde edilmi'tir. Yatay yükün bu de*erinden sonra özellikle çerçevenin ta')ma güü yüküne yakla')ld)kça deneysel sonuçlarla bu çal)'mada elde edilen sonuçlar aras)nda büyük farkl)l)*)n olu'tu*u görülmektedir. Bu farkl)l)*)n en önemli nedenleri ise çerçeveye uygulanan yükün kullan)labilirlik yük düzeyini a'mas) ve ta')ma güü yüküne yakla')lmas)yla birlikte malzeme nonlineerli*inin yap) davran)') üzerinde daha önemli bir etkiye sahip olmas) ve kiri' ve kolon uçlar)ndaki plastik mafsal olu'umlar)n)n etkisi 'eklinde aç)klanabilir. Yatay yük(kn) 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önüde bulunduruluyor (ACI modeli) Çatlama göz önünde bulunduruluyor (Olas/l/a dayal/ etkili rijitlik modeli) ekil 5.1. Etkili atalet momenti hesab)nda farkl) modeller kullan)larak elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) Betonarme çerçeve örne*i ayr)a kiri' ve kolon elemanlar)n)n etkili atalet momentlerinin hesab)nda farkl) modeller kullan)larak da analiz edilmi' ve elde edilen 99

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA yatay deplasmanlara ba*l) olarak bu modellerin kar')la't)r)lmas) ekil 5.1 da gösterilmi'tir. Çatlamalardan sonra elemanlar)n etkili atalet momentlerinin hesab)nda farkl) modeller kullan)lmas)na kar')n elde edilen sonuçlar)n birbirine oldukça yak)n oldu*u görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yüke ba*l) olarak elemanlardaki çatlamalar)n olu'um s)ras) ve elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler analizde etkili atalet momentlerinin hesab)nda olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modelinin göz önünde bulundurulmas) halinde elde edilmi' ve ekil 5.11 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi ilk olarak çerçevenin birini ve ikini kat)ndaki kiri'ler yatay yükün s)ras) ile 4 kn ve 65 kn oldu*u düzeylerde çatlamaktad)rlar. Daha sonra çerçevenin birini kat)ndaki C1 ve C kolonlar)nda yatay yükün 85 kn ve 95 kn oldu*u düzeylerde çatlama olu'maktad)r. En son olarak ikini kattaki C3 ve C4 kolonlar) yatay yükün 15 kn ve 135 kn oldu*u düzeylerde çatlamaktad)rlar. 1.8 I eff /I 1.6.4. 5 1 15 5 3 35 Yatay yük(kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri3i B kiri3i ekil 5.11. Kiri' ve kolonlar)n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre de*i'imi ekil 5.11 den ayr)a görüldü*ü gibi betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %8 ine ula't)*) anda birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %45 1

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ve %47 sine e'it olurken, birini kattaki C1 ve C kolonlar)n)n atalet momenti de*erleri ise çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin %55 ve %58 sine kar')l)k gelmektedir. Ayn) yük düzeyinde ikini kattaki C3 ve C4 kolonlar)n)n atalet momentleri ise çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %6 ve %65 ine e'it olmaktad)r. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün 7 kn oldu*u düzeyde artan iterasyonlara ba*l) olarak yatay deplasmanda ve etkili atalet momentinde olu'an de*i'imler ekil 5.1 ve ekil 5.13 de görülmektedir. ekillerden gerek deplasmanlar)n gerekse etkili atalet momenti de*erlerinin 4 iterasyondan sonra çok çabuk bir 'ekilde sonua ula't)*) görülmektedir. Yatay deplasman (mm) 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 terasyon says ekil 5.1. Yatay deplasman)n iterasyon say)s)na göre de*i'imi 1.9 I eff /I 1 Ieff/I1.8.7.6.5.4 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 terasyon says C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri'i B kiri'i ekil 5.13. Etkili atalet momentlerinin iterasyon say)s)na göre de*i'imi 11

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçevede kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasman)n toplam yatay deplasmana olan katk)s) ekil 5.14 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi, çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasmanlar)n toplam deplasmana olan katk)s)n)n artt)*) ve çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %8 oldu*u düzeyde kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasman)n toplam deplasman)n %1 unu olu'turdu*u görülmü'tür. Bununla birlikte çerçevenin ta')ma güü yüküne eri'ilmesiyle birlikte kayma deformasyonlar)n) etkisinin toplam deplasmana yakla')k olarak %1 katk) yapt)*) elde edilmi'tir. Yatay yük(kn) 35 3 5 15 1 5 5 1 15 5 3 35 Yatay deplasman(mm) Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulunduruluyor Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulundurulmuyor ekil 5.14. Kayma deformasyonlar) etkisinin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi 1

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA 5..3. Örnek 3 Bu örnekte yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki dört katl) betonarme çerçeve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)*) ile analiz edilmi'tir (ekil 5.15). Üç boyutlu betonarme yap)ya her katta kiri'ler üzerinde bulunan dü'ey yükler ve master noktalar)na da yatay yükler etkimektedirler. Betonarme çerçevenin elemanlar)na ait özellikler ve yüklemeye ait bilgiler Çizelge 5.1 de verilmi'tir. Analizde etkili atalet momenlerinin hesab)nda ACI ve olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli, etkili kayma modüllerinin hesab)nda ise Al-Mahaidinin önermi' oldu*u yöntem kullan)lm)'t)r. 1 3. 3. 3. Z 3. 5 5 C3 B3 B4 5 C1 Y B1 X B C 5 5 4 5 ekil 5.15 Dört katl) betonarme çerçeve örne*i (m) 13

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Çizelge 5.1 Betonarme çerçeve örne*i ile ilgili gerekli bilgiler 1. Kat. Kat 3. Kat 4. Kat Kiri3 boyutlar/ 3*5 mm 3*5 mm 3*5 mm 3*5 mm Kolon boyutlar/ 5*5 mm 5*5 mm 5*5 mm 5*5 mm Düzgün yay/l/ yük (kn/m) q q q.8*q Master noktalar/na etkiyen yatay yükler P P 3P.5*P Betonarme çerçeve ilk etapta her katta kiri'ler üzerinde bulunan (q=3 kn/m) dü'ey yükler sabit kal)rken master noktalar)na etkiyen ve P ye ba*l) olarak ifade edilen yatay yükler ba'lang)çtan kn a kadar artt)r)larak çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)l)*) ile çözümlenmi'tir. Çatlamalar)n etkisinin analizde göz önünde bulundurulmas) ve bulundurulmamas) durumlar)nda betonarme yap)n)n ikini kat)nda olu'an maksimum rölatif yatay ötelemelerinin yatay yüke göre de*i'imi ekil 5.16 da gösterilmi'tir. Yatay yük(p,kn) 15 1 5 4 6 8 1 1 Rölatif yatay öteleme(mm) Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) ineer Analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor (Olas/l/a dayal/ etkili rijitlik modeli) ekil 5.16. ineer analiz ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen rölatif yatay ötelemelerin kar')la't)r)lmas) 14

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ekilden betonarme yap)ya uygulanan yükün artmas)na ba*l) olarak çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen de*erlerle lineer analiz sonuu elde edilen de*erler aras)ndaki fark)n artt)*) görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün P= kn oldu*u düzeyde bu fark)n %7 e ula't)*) görülmü'tür. Yatay yük(kn) 16 1 8 4 8 16 4 3 Yatay deplasman(mm) ineer analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) ekil 5.17. ineer analiz ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak 1 numaral) dü*ümde elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) ekil 5.17 de ise betonarme çerçeveye uygulanan yatay yüke ba*l) olarak 1 numaral) dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar)n de*i'imi verilmi'tir. Bu dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar)n, rölatif yatay ötelemelerin de*i'imine benzer bir de*i'im gösterdi*i görülmektedir. 15

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA 1. 1.8 I effy /I 1.6.4. 5 1 15 Yatay yük(p,kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu' B1 kiri3i B kiri3i B3 kiri3i B4 kiri3i ekil 5.18. Kiri' ve kolonlar)n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre de*i'imi Betonarme yap)ya uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak de*i'ik elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler ekil 5.18 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi kiri'lerinin atalet momentlerinin çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %5 sine e'it oldu*u anda birini kattaki C1 ve C kolonlar)n)n atalet momentleri çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %57-61 ine e'it olmaktad)r. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme yap)da kayma deformasyonlar) etkisinin yap)da olu'an maksimum rölatif yatay ötelemeler üzerine olan etkisi 'ekil 5.19 da gösterilmi'tir. ekilden de görüldü*ü gibi kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasmanlar)n yatay deplasmanlara yakla')k olarak %1 luk bir katk) yapt)*) elde edilmi'tir. 16

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yatay yük(p,kn) 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 Rölatif yatay öteleme(mm) Bu örnekte ayr)a betonarme çerçevenin her kat)ndaki master noktalar)na etkiyen yatay yükler sabit kal)rken kiri'ler üzerinde bulunan dü'ey yükler q=1 kn/m den 45 kn/m ye kadar artt)r)larak analiz edilmi'tir. ineer elastik model ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak betonarme yap)n)n 1 numaral) dü*ümünde olu'an yatay deplasmanlar)n uygulanan dü'ey yüklere göre de*i'imi ekil 5. de gösterilmi'tir. ekilden yatay yüklerin sabit tutulmas)na ra*men ve sadee dü'ey yüklerin artmas)na ba*l) olarak yatay deplasmanlar)n artt)*) görülmektedir. Dü'ey yüklerin artmas)yla birlikte kiri'lerde olu'an çatlamalar yap)n)n toplam yatay rijitlili*inin azalmas)na ve bu da yatay deplasmanlar)n artmas)na neden olmaktad)r. 14 Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulunduruluyor Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulundurulmuyor ekil 5.19. Kayma deformasyonlar) etkisinin rölatif yatay ötelemeler üzerine olan etkisi Yatay deplasman(mm) 13 1 11 1 9 1 15 5 3 35 4 45 Düzgün yayl yük(q,kn/m) ineer analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) ekil 5.. Yatay deplasman)n düzgün yay)l) yüke göre de*i'imi 17

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA 5..4. Örnek 4 Bu örnekte, ekil 5.1 de gösterilen ve simetrik olmayan 7 katl* betonarme çerçeve modeli, yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*nda gerek lineer analizle, gerekse kiri. ve kolonlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak çözülmü.tür. Betonarme yap*ya ait kiri. ve kolon elemanlar*n*n boyutlar*, kat yükseklikleri ve her katta master noktalar*na etkiyen yatay yükler Çizelge 5. de verilmi.tir. ekil 5.1. 7 Katl* betonarme çerçeve örnei 18

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Y 4.5 4.5 5 5 5 X Çizelge 5.. Betonarme çerçeve örneine ait bilgiler Kolon boyutlar (mm*mm) 5 5 4 4 ekil 5.. 7. Kat kolon yerle.im plan* (m) Kiri boyutlar (mm*mm) Kat Yükseklikleri (mm) Master Noktasna X ekseni dorultusunda etkiyen yatay yükler (kn) 1. Kat 55*6 35*6 31 1. Kat 55*6 35*6 31 4 3. Kat 55*6 35*6 31 36 4. Kat 55*6 35*6 31 475 5. Kat 55*6 35*6 31 59 6. Kat 55*6 35*6 31 71 7. Kat 55*6 35*6 31 56 R=8 (Süneklilik düzeyi yüksek betonarme çerçeve sistemi) 19

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yap* sistemi, kiri. elemanlar üzerindeki dü.ey yükler sabit kal*rken her kattaki master noktalar*na etki eden yatay yükler s*ras*yla %1, %, %3 ve %4 oran*nda artt*r*larak analiz edilmi. ve her bir yük ad*m* için elde edilen deplasman deerlerine bal* olarak TDY de belirtilen ilgili kontroller yap*lm*.t*r. Bu örnekte, etkili atalet momentlerinin hesab*nda ACI ve olas*l*a dayal* etkili rijitlik modeli, etkili kayma modüllerinin hesab*nda ise Al-Mahaidi nin önermi. olduu yöntem kullan*larak çözümlemeler yap*lm*. ve elde edilen deplasman deerlerine bal* olarak ( i ) max /h i ve i nin farkl* modellere göre kar.*la.t*rmalar* Çizelge 5.3 ve Çizelge 5.4 de verilmi.tir. Ayr*a ( i ) max /h i nin master noktalar*na uygulanan yatay yüklere göre dei.imi ise ekil 5.3 de gösterilmi.tir. Çizelge 5.3. ineer elastik model ve çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen göreli kat ötelemeleri Yük Katsaylar ineer Analiz ineer Olmayan Analiz ( i ) maks. /h i ( i ) maks. /h i (ACI Modeli) ( i ) maks. /h i (Olas. Day. Etk. Rij. Mod.) 1.155.58.57 1.1.17.9.9 1..187.36.34 1.3..361.359 1.4.16.394.39 ( i ) maks. /h i TDY ye göre ( i ) maks. /h i =./R.4.35.3.5..15 1 1F 1.1 1.1F 1. 1.F 1.3 1.3F 1.4 1.4F Arttrlm yatay yükler F: Master noktalarna etkiyen yatay Yükler ineer analiz Çatlamalar göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) Çatlamalar göz önünde bulunduruluyor(olasa dayal etkili rijitlik modeli) ekil 5.3. ( i ) maks. /h i nin yatay yüklere göre dei.imi 11

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ekil 5.3 den görüldüü gibi X ekseni dorultusundaki yatay yüklerden dolay* lineer analiz sonuu elde edilen göreli kat ötelemeleri tüm yatay yük katsay*lar* (master noktalar*na etkiyen 1.F, 1.1F, 1.F, 1.3F, 1.4F yatay yükleri) için TDY de belirtilen.art* salamas*na ramen, çatlamalar göz önünde bulundurularak elde edilen maksimum rölatif yatay ötelemeler bu.art* salamamaktad*r. Yap*ya uygulanan yatay ve dü.ey yüklerden dolay* gerek lineer analiz, gerekse çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak yap*lan analiz sonuu elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri, TDY nin belirttii.art*, tüm yatay yük katsay*lar* (master noktalar*na etkiyen 1.F, 1.1F, 1.F, 1.3F, 1.4F yatay yükleri) için Çizelge 5.4 den de görüldüü gibi salamaktad*r. Çizelge 5.4. ineer elastik model ve çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri Yük ineer Analiz ineer Olmayan Analiz Katsaylar i i (ACI modeli) i (Olas. Day. Etk. Rij. Mod.) 1.11.189.19 1.1.19.14.16 1..141.4.4 1.3.15.68.69 1.4.163.93.93 5..5. Örnek 5 Bu örnekte ise 6 katl* betonarme çerçeve, yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*nda gerek lineer elastik model ile gerekse kiri. ve kolonlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak analiz edilmi.tir. (ekil 5.4 ve ekil 5.5). Betonarme çerçevenin elemanlar*na ait özellikler ve yüklemeye ait bilgiler Çizelge 5.5 de verilmi.tir. 111

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ekil 5.4. 6 Katl* betonarme çerçeve örnei Y 5 4.5 4.5 5 X 4 5 4 ekil 5.5. 6. Kat kolon yerle.im plan*(m) 11

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Çizelge 5.5. Betonarme yap*ya ait gerekli bilgiler Kolon boyutlar (mm*mm) Kiri boyutlar (mm*mm) Kat yükseklikleri (mm) Master noktasna X ekseni dorultusunda etkiyen yatay Yükler (kn) 1. Kat 5*5 3*5 3 7. Kat 5*5 3*5 3 14 3. Kat 5*5 3*5 3 1 4. Kat 5*5 3*5 3 8 5. Kat 5*5 3*5 3 35 6. Kat 5*5 3*5 3 8 R=8 (Süneklilik düzeyi yüksek betonarme çerçeve sistemi) Betonarme çerçeve sistemi, kiri.ler üzerindeki dü.ey yükler sabit kal*rken master noktalar*na etki eden yatay yükler, belirli oranda artt*r*larak analiz edilmi.tir. Analizde etkili atalet momenlerinin hesab*nda ACI ve olas*l*a dayal* etkili rijitlik modeli etkili kayma modüllerinin hesab*nda ise Al-Mahaidinin önermi. olduu yöntem kullan*larak çözümlemeler yap*lm*. ve elde edilen deplasman deerlerine ( i max bal* olarak ( ) ve i nin farkl* modellere göre kar.*la.t*rmalar* Çizelge 5.6. h ) i ve Çizelge 5.7 de yap*lm*.t*r. Ayr*a ( i ) max /h i nin master noktalar*na uygulanan yatay yüklere göre dei.imi ekil 5.6 da gösterilmi.tir. Çizelge 5.6. ineer elastik model ve çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen göreli kat ötelemeleri Yük Katsaylar ineer Analiz ineer Olmayan Analiz ( i ) maks. /h i ( i ) maks. /h i (ACI Modeli) ( i ) maks. /h i (Olas. Day. Etk. Rij. Mod.) 1.151.61.59 1.1.167.94.9 1..18.33.37 1.3.197.365.36 1.4.1.4.397 113

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA.4 TDY ye göre ( i ) maks. /h i =./R ( i ) maks. /h i.35.3.5..15.1 1F 1.1F 1 1.F 1.3F 3 4 Arttrlm yatay yükler F: Master Noktalarna Etkiyen Yatay Yükler Çatlamalar göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) ineer analiz Çatlamalar göz önünde bulunduruluyor (Olasla dayal etkili rijitlik modeli) ekil 5.6. ( i ) maks. /h i nin yatay yüklere göre dei.imi ekil 5.6 dan yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*ndaki betonarme çerçevede çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen maksimum göreli kat ötelemelerinin yatay yük seviyesinin artmas*na bal* olarak lineer analize göre büyük dei.imler gösterdii ve tüm yatay yük katsay*lar* için TDY de belirtilen s*n*r deerleri a.t** görülmektedir. Çizelge 5.7. ineer elastik model ve çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri Yük ineer Analiz ineer Olmayan Analiz Katsaylar i i (ACI Modeli) i (Olas. Day. Etk. Rij. Mod.) 1.17.176.177 1.1.117.. 1..18.4.5 1.3.139.49.5 1.4.149.75.75 114

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Çizelge 5.7 den görüldüü gibi yap*ya etkiyen yatay ve dü.ey yüklerden dolay* gerek çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak yap*lan analiz, gerekse lineer analiz sonuu elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri, TDY nin belirttii.art*, tüm yatay yük katsay*lar* için bir öneki örnekte de olduu gibi salamaktad*r. 5..6. Örnek 6 Bu örnekte yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*ndaki dört katl* betonarme çerçeve örnei geometrik nonlineerlik ve çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak geli.tirilen bilgisayar program* ara*l** ile analiz edilmi.tir (ekil 5.7). Betonarme çerçevenin elemanlar*na ait özellikler ve yüklemeye ait bilgiler Çizelge 5.8 de verilmi.tir..8p.8p 3.3 m.8p 3.3 m 3.3 m.8p.8p 3P Z (j) C4 (i) 5 m 3.3 m 5.5 m P P C1 B3 B1 Y X C3 C B4 B 5 m 5.5 m 5.5 m 5.5 m ekil 5.7. Yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*ndaki dört katl* betonarme çerçeve örnei 115

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Çizelge 5.8. Betonarme çerçeve örnei ile ilgili gerekli bilgiler 1. Kat.Kat 3.Kat 4. Kat Kolon Boyutlar 5*5 5*5 5*5 4*4 (mm*mm) Kiri Boyutlar 3*5 3*5 3*5 3*5 (mm*mm) Düey Yükler (kn/m) 3 3 3 4 Yap*ya her katta, kiri.ler üzerinde dü.ey yükler ve kat seviyelerinde ilgili düümlere P ye bal* olarak ifade edilen yatay yükler etkimektedir. Betonarme çerçeve, kiri.ler üzerinde bulunan dü.ey yükler sabit kal*rken yatay yük P ba.lang*çtan 4 kn a kadar artt*r*larak çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak analiz edilmi.tir. ineer elastik model ve çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak, yap*da olu.an maksimum rölatif yatay ötelemenin uygulanan yatay yüke göre dei.imi ekil 5.8 de gösterilmi.tir. Yatay yük(p, kn) 4 35 3 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 Rölatif yatay öteleme (mm) ineer analiz Çatlama Çatlama + Geometrik nonlineerlik ekil 5.8. Maksimum rölatif yatay ötelemenin uygulanan yatay yüke göre dei.imi ekilden lineer analiz sonuu elde edilen deerlerle nonlineer analiz sonuu elde edilen deerler aras*nda çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak büyük farkl*l*klar olu.tuu görülmektedir. Yükün 4 kn olduu düzeyde bu fark % 95 olarak elde edilmi.tir. 116

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ekil 5.8 de ayr*a ikini mertebe etkilerin yap*da olu.an maksimum rölatif yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi gösterilmi.tir. ekilden sadee çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen deplasmanlarla, çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak elde edilen deplasmanlar aras*ndaki fark*n yatay yükün artmas*na bal* olarak daha da artt** ve yatay yük deerinin P=4 kn olduu düzeyde ise bu fark*n yakla.*k olarak % ye ula.t** görülmektedir. Elde edilen bu sonua göre betonarme yap*ya uygulanan yatay yüklerin artmas*yla birlikte P-H etkisine de bal* olarak analizlerde daha gerçekçi sonuçlar elde edilebilmesi aç*s*ndan geometrik nonlineerlik etkilerin çatlamalar*n etkisiyle birlikte göz önünde bulundurulmas*n*n önemli olabileei ifade edilebilir. Betonarme yap*ya uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak dei.ik elemanlar*n etkili atalet momentindeki dei.imler ekil 5.9 da gösterilmi.tir. I effy /I 1 1.9.8.7.6.5.4.3..1 3 6 9 1 15 18 1 4 7 3 33 36 39 Yatay yük(p,kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu B1 kirii B kirii B3 kirii B4 kirii ekil 5.9. Kiri. ve kolonlar*n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre dei.imi ekilden görüldüü gibi B1 ve B kiri. elemanlar*n*n atalet momentlerinin çatlamam*. kesit atalet momentlerinin yakla.*k olarak %5 sine e.it olduu anda C1 ve C kolonlar*n*n atalet momenti s*ras*yla çatlamam*. kesit atalet momentlerinin %57 ve %64 üne e.it olmaktad*rlar. 117

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Betonarme yap*ya uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak C4 kolonunun j uunda gerek lineer analiz, gerekse çatlamalar ve geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak yap*lan analiz sonuu elde edilen eilme momenti (M y ) deerinin yatay yüke göre dei.imi ekil 5.3 da gösterilmi.tir. Yatay yük(p,kn) 4 35 3 5 15 1 5 4 6 8 1 1 Moment (My,kNm) ineer analiz Çatlama + Geometrik nonlineer analiz ekil 5.3. Eilme momentinin yatay yüke göre dei.imi ekilden görüldüü gibi betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak nonlineer analiz sonuu elde edilen eilme momenti deerleri özellikle geometrik nonlineerlik etkileri nedeniyle lineer analiz sonuu elde edilen deerlere göre art*. göstermektedir. 5..7. Örnek 7 Bu örnekte, çatlamalardan sonra kiri. ve kolonlar*n eilme ve kayma rijitliinde olu.an dei.imler göz önünde bulundurularak. örnekte analiz edilen betonarme yap*, bu defa çatlamalar ve geometrik nonlineer etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin analizi için geli.tirilen bilgisayar program* ara*l** ile analiz edilmi.tir. Betonarme çerçeve ekil 5.31 den görüldüü üzere 6 elemandan olu.aak.ekilde modellenmi.tir. Örnekte betonarme yap*ya uygulanan dü.ey yükler sabit kalmak üzere, yatay yükler (Q) çerçeve ta.*ma güüne eri.ineye 118

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA kadar artt*r*larak yap*n*n ikini kat*ndaki 5 numaral* düümde olu.an yatay deplasmanlar elde edilmi.tir. 7 kn 7 kn B Q (j) 5 B B 6 (j) A 3 A C3 C4 A A A A B1 B 4 B A A 4E 4E 3 4 4 4 A-A Kesiti 3 4E 5 C1 C 4 1 4E 5 35 B-B Kesiti ekil 5.31. Yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*ndaki iki katl* betonarme çerçeve örnei Çatlamalar ve geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak geli.tirilen analitik yönteme bal* olarak çerçevenin 5 numaral* düümünde elde edilen yatay deplasmanlar*n gerek lineer elastik analiz, gerekse dier analitik model ve deneysel çal*.ma sonuçlar*yla kar.*la.t*r*lmas* ekil 5.3 de gösterilmi.tir. Yatay yük(kn) 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 7 Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama + Geometrik nonlineer analiz ineer analiz Vehio ve Emara(199) ekil 5.3. Deneysel ve analitik çal*.ma sonuçlar*ndan elde edilen yatay deplasmanlar*n kar.*la.t*r*lmas* 119

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ekilden görüldüü gibi lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasman deeri ile gerek deneysel gerekse bu çal*.mada elde edilen deerler aras*nda çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak büyük farkl*l*klar*n olu.tuu görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta.*ma güü yükünün yakla.*k olarak %83 olduu düzeye kadar bu çal*.mada elde edilen sonuçlarla deneysel sonuçlar*n oldukça uyum içerisinde olduu görülmektedir. Ayr*a bu çal*.mada elde edilen sonuçlar*n yatay yükün 75 kn olduu düzeye kadar Vehio ve Emara (199) taraf*ndan elde edilen sonuçlara göre daha iyi olduu da görülmektedir. Bununla birlikte yatay yükün bu deerinden sonra özellikle çerçevenin ta.*ma güü yüküne de yakla.*ld*kça. örnekte elde edilen sonuçlara paralel olarak deneysel sonuçlarla bu çal*.mada elde edilen sonuçlar aras*nda büyük farkl*l**n olu.tuu görülmektedir. Yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*ndaki betonarme çerçevede geometrik nonlineerlik etkilerin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi ekil 5.33 de gösterilmi.tir. Yatay yük(kn) 35 3 5 15 1 5 5 1 15 5 3 35 Yatay deplasman(mm) Çatlama Çatlama + Geometrik nonlineerlik ekil 5.33. Geometrik nonlineerlik etkilerinin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi ekilden sadee çatlamalar*n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen deplasmanlarla, çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak elde edilen deplasmanlar aras*ndaki fark*n yatay yükün artmas*na bal* olarak artt** ve 1

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA yatay yük deerinin 33 kn olduu düzeyde ise bu fark*n %11 e ula.t** görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak elemanlardaki çatlamalar*n olu.um s*ras* ve elemanlar*n eilme rijitliinde olu.an dei.imler elde edilerek ekil 5.34 de gösterilmi.tir. 1.8 I eff /I 1.6.4. 5 1 15 5 3 35 Yatay yük(kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kirii B kirii ekil 5.34. Kiri. ve kolonlar*n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre dei.imi ekilden görüldüü gibi ilk olarak çerçevenin birini ve ikini kat*ndaki kiri.ler daha sonra ise çerçevenin birini kat*ndaki C1 ve C kolonlar* çatlamaktad*rlar. En son olarak da yap*n*n ikini kattaki C3 ve C4 kolonlar*nda çatlama olu.maktad*r. Yatay yük çerçevenin ta.*ma güü yükünün %8 sine ula.t** anda C1, C, C3 ve C4 kolonlar*n*n atalet momenti deerleri çatlamam*. kesit atalet momenti deerlerinin s*ras* ile %54 %56, %59 ve %64 ine e.it olurken, birini ve ikini kattaki kiri.lerin atalet momenti deerleri çatlamam*. kesit atalet momenti deerlerinin %44 ve %46 üne kar.*l*k gelmektedir. Gerek kiri. gerekse kolonlarda çatlaman*n olu.tuu yük düzeyleri ile birlikte kiri. ve kolonlar*n eilme rijitliinde olu.an azalmalar ikini örnekte elde edilen sonuçlarla benzerlik göstermektedir. Çal*.mada ayr*a betonarme yap*ya uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak C3 ve C4 kolonlar*n*n j uunda gerek lineer analiz, gerekse çatlamalar ve geometrik 11

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yatay yük(kn) nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak yap*lan analiz sonuu elde edilen eilme momenti deerlerinin yatay yüke göre dei.imleri ekil 5.35 ve 5.36 da gösterilmi.tir. 35 3 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 Moment (knm) ineer analiz Çatlama + Geometrik nonlineer analiz ekil 5.35. C3 kolonunun eilme momentinin yatay yüke göre dei.imi 35 3 Yatay yük (kn) 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 Moment(kNm) ineer analiz Çatlama +Geometrik nonlineer analiz ekil 5.36. C4 kolonunun eilme momentinin yatay yüke göre dei.imi 1

5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ekillerden çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas*na bal* olarak özellikle geometrik nonlineerlik etkiler nedeniyle nonlineer analiz sonuu elde edilen eilme momenti deerlerinin lineer analiz sonuçlar*na göre art*. gösterdii görülmektedir. 13

6. SONUÇAR ve ÖNERER lker Fatih KARA 6. SONUÇAR ve ÖNERER Yatay ve dü!ey yükler etkisi alt#ndaki betonarme yap#larda kiri! ve kolon elemanlarda olu!an çatlamalar, bu elemanlar#n e,ilme ve kayma rijitliklerinde önemli azalmalar meydana getirmekte ve dolay#s#yla yap# davran#!#n# önemli ölçüde etkileyebilmektedirler. Sunulan bu çal#!mada ilk etapta kiri! ve kolon elemanlarda olu!an çatlamalar göz önünde bulundurularak çok katl# betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizine yönelik analitik bir yöntem geli!tirilmi! ve bu yönteme dayal# bir bilgisayar program# olu!turulmu!tur. Yap#ya etkiyen yatay ve dü!ey yüklerden dolay# kiri! ve kolon elemanlar#n#n çatlamas# halinde etkili atalet momentlerinin hesab#nda ACI, CEB ve olas#l#,a dayal# etkili rijitlik modelleri kullan#lm#!t#r. Analizde özellikle çatlamalardan sonra betonarme yap#lar#n tasar#m#nda ve davran#!lar#nda önemli bir etkiye sahip olabileek kayma deformasyonlar# etkisi de göz önünde bulundurulmu! olup, etkili kayma modüllerinin hesab#nda literatürde mevut olan de,i!ik yöntemler kullan#lm#!t#r. Geli!tirilen yöntemin do,rulu,unu ve uygulanabilirli,ini belirlemek ama#yla literatürde mevut olan ve deneysel çal#!malar# yap#lm#! yatay ve dü!ey yükler etkisi alt#ndaki betonarme çerçeve örnekleri geli!tirilen bilgisayar program# ara#l#,#yla çözümlenmi! ve elde edilen sonuçlar deneysel sonuçlarla kar!#la!t#r#lm#!t#r. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçeve ta!#ma güü yükünün yakla!#k olarak %78 oldu,u düzeye kadar bu çal#!mada elde edilen sonuçlar#n deneysel sonuçlarla büyük bir yak#nl#k içerisinde oldu,u görülmü!tür. Bu çal#!mada geli!tirilen analitik yöntem betonarme çerçevede olu!an deplasman de,erlerini çerçevenin ta!#ma güü yükünün yakla!#k olarak %78 ine kadar deneysel sonuçlarla büyük bir yak#nl#k içerisinde elde etmektedir. Ayn#!ekilde geli!tirilen yöntem çerçevenin davran#!#n# ta!#ma güü yükünün yakla!#k olarak %85 ine kadar büyük bir do,rulukla elde edebilmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yükün bu düzeylerinden sonra özellikle ta!#ma güü yüküne yakla!#ld#kça, bu çal#!mada elde edilen sonuçlarla deneysel sonuçlar aras#nda büyük farkl#l#klar#n olu!tu,u görülmü!tür. Bu farkl#l#,#n olu!mas#n#n en büyük nedenleri ise, kullan#labilirlik yük düzeyinden sonra ta!#ma güü yüküne de yakla!#ld#kça beton ve çelik malzemelerin 14

6. SONUÇAR ve ÖNERER lker Fatih KARA lineer olmayan davran#!lar#n#n daha etkin hale gelmesi ve kiri! ve kolon uçar#nda plastik mafsallar#n olu!mas#yla birlikte dü,üm noktalar# ivar#nda büyük deplasmanlar#n meydana gelmesi!eklinde ifade edilebilir. Bu çal#!mada geli!tirilen yöntemin en önemli avantaj# betonarme yap# içerisindeki kiri! ve kolon elemanlar#n#n e,ilme rijitli,indeki de,i!imleri yap#ya uygulanan yüke ba,l# olarak elde edebilmesidir. Çal#!mada çerçeveye uygulanan yüklerin artmas#na ba,l# olarak elemanlar#n e,ilme rjitli,inde olu!an de,i!imler etkili atalet momentlerinin hesab#nda olas#l#,a dayal# etkili rijitlik modeli göz önünde bulundurularak elde edilmi!lerdir. Geli!tirilen yöntemin bu özelli,i ile, yap#ya uygulanan yüklere ba,l# olarak elemanlardaki çatlamalar#n olu!um s#ras# ve çatlamalardan sonra elemanlar#n e,ilme rijitli,inde olu!an de,i!imlerle ilgili belirsizlikleri minimum düzeye indirgenmekte ve proje mühendislerine önemli bilgiler vermektedir. Çal#!ma kapsam# içerisinde ayr#a yatay ve dü!ey yükler etkisi alt#ndaki betonarme çerçeve örnekleri çatlayan elemanlar#n etkili atalet momentleri hesab#nda de,i!ik modeller kullan#larak analiz edilmi! ve farkl# modeller kullan#lmas#na kar!#n elde edilen deplasman de,erlerinin birbirine oldukça yak#n oldu,u görülmü!tür. Bu çal#!mada elde edilen sonuçlara göre çok katl# betonarme çerçevelerin tasar#m#nda, çatlamalar#n etkisini göz önünde bulundurmak için kiri!lerin atalet momentini çatlamam#! kesit atalet momentinin %5 si, kolonlar#n atalet momentini de çatlamam#! kesit atalet momentlerinin %8 i al#narak yatay deplasmanlar#n elde edilmesi her zaman emniyetli yönde kalan bir analiz yöntemi olmamaktad#r. Betonarme çerçevelerin çatlamalar#n etkisi göz önünde bulundurularak geli!tirilen bilgisayar program# ara#l#,# ile analiz edilmesi sonuu elde edilen sonuçlara ba,l# olarak, servis yükleri düzeyinde elemanlar#n e,ilme rijitli,indeki azalmalar#n betonarme yap#n#n lineer olmayan davran#!#n#n en önemli nedenleri aras#nda oldu,u görülmü!tür. Bununla birlikte bu yük düzeyi a!#ld#,# anda gerek beton gerekse çelik malzemelerin lineer olmayan davran#!lar# betonarme yap#n#n davran#!lar# üzerinde önemli bir etkiye sahip olmaktad#r. Ayr#a gerek deneysel çal#!ma sonuçlar#ndan gerekse bu çal#!mada elde edilen sonuçlardan, yüklerin çok 15

6. SONUÇAR ve ÖNERER lker Fatih KARA dü!ük oldu,u düzeylerde betonarme yap#n#n yatay rijitli,indeki azalmalar#n temel nedeninin kiri!lerde olu!an çatlamalardan kaynakland#,# belirlenmi!tir. Bu çal#!mada çatlamalar#n etkisi göz önünde bulundurularak geli!tirilen analitik yöntemde formülasyonlar rijitlik matrisi yöntemine dayand#r#larak olu!turulmu!tur. Geli!tirilen yöntemde çatlamalar#n etkisi sonlu elemanlar metodunda oldu,u gibi elemanlar# parçalara ay#r#p göz önüne alarak çözüme ula!mak yerine, tek bir elemanda çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenip geli!tirilen formülasyonlar #!#,# alt#nda elemanlar#n esneklik katsay#lar# ve yük vektörü ile rijitlik matrisi de,erleri elde edilerek, sonlu elemanlar yöntemine göre daha çabuk ve etkili bir!ekilde sonua ula!#lmaktad#r. Yatay ve dü!ey yükler etkisi alt#ndaki betonarme çerçeve örneklerinin çözümlenmesinden, kayma deformasyonlar# etkisinden kaynaklanan deplasmanlar#n servis yükleri düzeyinde toplam deplasmanlar#n yakla!#k olarak %1 sini olu!turdu,unu, uygulanan yüklerin servis yüklerini a!mas# ve ta!#ma güüne de yakla!#lmas#yla birlikte kayma deformasyonlar# etkisinden kaynaklanan deplasmanlar#n toplam deplasmanlara katk#s#n#n daha da artt#,# görülmü!tür. Bu çal#!mada ayr#a de,i!ik katlarla farkl# boyutlara sahip üç boyutlu betonarme çerçeve örnekleri çatlamalar#n etkisi göz önünde bulundurularak analiz edilmi!tir. Bu örneklerde e!de,er deprem yüküne göre elde edilen ve katlar#n master noktalar#na etkiyen yatay yükler belirli oranlarda artt#r#larak, çatlamalar#n göz önünde bulundurulmas# ve bulundurulmamas# durumlar# için yap#da olu!an maksimum rölatif yatay ötelemelerin uygulanan yatay yüklere göre de,i!imi inelenmi! ve TDY de verilen s#n#r de,erlerin a!#p a!mad#,# kontrol edilmi!tir. Yatay ve dü!ey yükler etkisi alt#ndaki betonarme çerçevelerde çatlamalar#n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen maksimum göreli kat ötelemelerinin yatay yük seviyesinin artmas#na ba,l# olarak lineer analize göre büyük de,i!imler gösterdi,i ve TDY de verilen s#n#r de,erleri a!t#,# görülmü!tür. Ayn# yük seviyesinde lineer analiz sonuu elde edilen maksimum rölatif yatay ötelemeler TDY de verilen s#n#r de,eri a!mazken, çatlamalar#n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen maksimum göreli kat ötelemerinin bu de,erleri a!t#,# görülmü!tür. 16

6. SONUÇAR ve ÖNERER lker Fatih KARA Çal#!ma kapsam#nda ayr#a kiri! ve kolon elemanlarda olu!an çatlamalar#n etkisiyle birlikte geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizine yönelik analitik bir yöntem ve bu yönteme dayal# olarak bir bilgisayar program# daha geli!tirilmi!tir. Geli!tirilen yöntemde formülasyonlar yine sonua daha çabuk ve etkili bir!ekilde ula!#labilmesine olanak sa,layan rijitlik matrisi yöntemine dayand#r#lm#!t#r. Üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin geli!tirilen bilgisayar program# ar#l#,# ile çözümlenmesinden, çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerin özellikle çok katl# yatay yükler etkisi alt#ndaki yap#lar#n davran#!lar# üzerinde önemli etkiye sahip olabilee,i görülmü!tür. Ayr#a çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerinin analizlerde göz önünde bulundurulmas#n#n elde edilen deplasman ve uç kuvveti de,erlerine ba,l# olarak yap# davran#!#n#n daha gerçekçi bir!ekilde elde edilebilmesi aç#s#ndan önemli olabilee,i dü!ünülmektedir. 17

KAYNAKAR AKSO AN O., ve ERDEM H., 1. Yar Rijit Bal Üç Boyutlu Çerçevelerin Nonlineer Analizi. 'MO Teknik Dergi, 355-377. A-MAHAIDI, R. S. H., 1978. Nonlinear Finite Element Analysis of Reinfored Conrete Deep Members, Department of Strutural Engineering, Cornell Universty, Report No: 79-1, 357. A-SHAIKH, A. H. ve A-ZAID, R. Z., 1993. Effet of Reinfored Ratio on the Effetive Moment of Inertia of Reinfored Conrete Beams. ACI Strutural J., 9, 144-149. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, 1966. Defletion of Reinfored Conrete Flexural Members. ACI J., 63, 637-674. BRANSON, D.E., 1967. Instantaneous and Time-Dependent Defletions of Simple and Continuous Reinfored Conrete Beams. HPR Report, Alabama Highway Department/US, Report No.7, Part 1, 78. CHANNAKESHAVA, C., ve SUNDARA RAJA IYENGAR KT., 1988. Elasto-Plasti Craking Analysis of Reinfored Conrete. J. Strut. Engrg. ASCE, 114: 41-438. CHUN-MAN, C., NEI, C. M., ve FENG, N.,. Analysis of Craking Effets on Tall Reinfored Conrete Buildings. Journal of Strutural Engineering, 16(9), 995-13. CHUN-MAN, C., NEI, C. M., ve FENG, N., 5. ateral Stiffness Charateristis of Tall Reinfored Conrete Buildings Under Servie oads. Strut. Design Tall Build., 9, 365-383. CEEP, Z., ve KUMBASAR, N., 1998. Betonarme Yaplar. Sema Matbaalk, 'stanbul, 888s. CEDOIN,., ve DEI, P.,1977. Finite Element Studies of Shear Critial Reinfored Conrete Beams. J. Engineering Meh. Div., ASCE, EM3. COMITE EURO-INTERNATIONA, 1985. Manual on Craking and Deformation, Bulletin d Information, 158-E. 18

COSENZA, E., 199. Finite Element Analysis of Reinfored Conrete Elements in a Craked State. Computers& Strutures,36(1), 71-79. DÜNDAR, C., ve KARA, '. F., 7. Three Dimensional Analysis of Reinfored Conrete Frames with Craked Beam and Column Elements (Basmda). DÜNDAR, C., KARA, '. F., ve TANRIKUU, A. K., 1. Kirilerdeki Çatlama Göz Önüne Alnarak Çerçevelerin Üç Boyutlu Analizi. Türkiye 'naat Mühendislii Teknik Kongre ve Sergisi, Böl. 8, Ankara. DÜNDAR, C., KARA, '. F., ve TANRIKUU, A. K., 6. Geometrik Nonlineerlik ve Çatlamalarn Etkisi Göz Önüne Alnarak Yaplarn Üç Boyutlu Analizi. 7 th International Congress on Advanes in Civil Engineering (ACE), 4. E-METWAY S.E., ve CHEN W.F., 1989. Nonlinear Behaviour of R/C Frames. Computers and Strutures, 3(6): 13-19. GHAI, A., ve FAVRE R., 1986. Conrete Strutures: Stresses and Deformations. Chapman and Hall, N.Y. MASSICOTTE, B., EWI, A.E., ve MACGREGOR, J.G., 199. Tension-Stiffening Model for Planar Reinfored Conrete Members. J. Strut. Eng. ASCE, 116(11), 339-358. MICKEBOROUGH, N.C., NING, F., ve CHAN, C.M., 1999. Predition of the Stiffness of Reinfored Conrete Shear Walls under Servie oads. ACI Strut. J., 96(6), 118-16. MASSICOTTE, B., EWI, A.E., ve MACGREGOR, J.G., 199. Tension-Stiffening Model for Planar Reinfored Conrete Members. J. Strut. Eng. ASCE, 116(11), 339-358. NGO, D., ve SCORDEIS A.C., 1967. Finite Element Analysis of Reinfored Conrete Beams. ACI J., 64(3), 15-163. POAK, M.A., VECCHIO, F.J., 1993. Nonlinear Analysis of Reinfored Conrete Shells. J. Strut. Engrg. ASCE, 119(1), 3439-346. POAK, M.A, 1996. Effetive Stiffness Model For Reinfored Conrete Slabs. Journal of Strutural Engineering, 1(9), 15-13. 19

PUMANO, A.V., ve SHIN, Y.S., 1988. Simplified Finite-Element Analysis of Defletions of Reinfored Conrete Beams. ACI Strutural Journal, July- August, 34-348. SAKAI, K., ve KAKUTA, Y., 198. Moment- Curvature Relationship of Reinfored Conrete Members Subjeted to Combined Bending and Axial Fore. ACI J., 77,189-194 SHURAIM A.B., 1997. ateral Stiffness of Plane Reinfored Conrete Frames, Computers and Strutures, 64(1), 771-78. STAFFORD SMITH, B., ve COU, A.,1991. Tall Building Strutures: Analysis and Design, Wiley, New York. SUN, C.H., BRADFORD, M.A., ve GIBERT, R.I., 199. Nonlinear Analysis for Conrete Frame Strutures Using the Finite Element Method. Computers & Strutures, 48(1), 73-79. TIKKA, T.K, 5. Nonlinear Analysis of Reinfored Conrete Sway Frames. 33 rd Annual General Conferene of the Canadian Soiety for Civil Engineering, GC-131, Toronto Canada. TANRIKUU, A. K., DÜNDAR, C., ve ÇA ATAY, '. H.,. A Computer Program for the Analysis of Reinfored Conrete Frames with Craked Beam Elements, Strutural Engineering and Mehanis,1(5), 463-478. TÜRK STANDARTARI, Türk Standatlar Enstitüsü,. Betonarme Yaplarn Hesap ve Yapm Kurallar, 67s. VECCHIO, C. F., ve EMARA, M. B., 199. Shear deformations in Reinfored Conrete Frames. ACI Strutural Journal, 89(1), 46-56. WASHA, G. W. ve FUCK, P. H.,1956. Plasti Flow (Creep) of Reinfored Conrete Continuous Beams. ACI J., 7, 549-561. YÜZÜGÜÜ, O. ve SCHNOBRICH, W. C. 1973. A Numerial Proedure for the Determination of the Behavior of a Shear Wall Frame System. ACI J., 7(7), 474-479. 13

ÖZGEÇM 1976 ylnda Adana da dodum. lk, orta ve lise örenimimi Mersin de tamamladktan sonra 1994 ylnda stanbul Üniversitesi Mühendislik Fakültesi n%aat Mühendislii bölümünde lisans eitimime ba%ladm. 1998 ylnda stanbul Üniversitesi Mühendislik Fakültesi n%aat Mühendislii bölümünden mezun olduktan sonra ayn yl Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü n%aat Mühendislii Anabilim Dalnda yüksek lisans eitimime ba%ladm. 1999 ylnda da Çukurova Üniversitesi n%aat Mühendislii Bölümünde ara%trma görevlisi olarak göreve ba%ladm. Yüksek lisans eitimimi ylnda tamamladktan hemen sonra Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü n%aat Mühendislii Anabilim Dalnda doktora eitimime ba%ladm. 131

EK Çatlamalarin Etkisi Göz Önünde Bulundurularak Betonarme Çerçevelerin Üç Boyutlu Analizi için Gelitirilen Bilgisayar Program" program main impliit real*8 (a-h,o-z) parameter(nel=1,nd=1) dimension x(nd,3),ielt(nel,11),knum(nel,1),nkod(nd,6), * dyuk(nd,6),mskod(nd),yuk(nd),yyuk(nel),erm(1,1), * em(nel),ftk(nel),at1(nel),at(nel),alan(nel),xl(nel), * sf(nel),xmr(nel),tek(nel),tt1(1,1),tt(1,1),tt4(1,1), * ai(nel),gm(nel),xh(nel),bw(nel),h(nel),pp(nel),as(nel), * asp(nel),epsto(nel),aty(nel),bj(nel),kod(nel), * srm(nd,nd),elyv(1),el1(nel,1),tmom(nel,1),el(nel,1), * kodb(nel,5),xksi(nel,6),kj(nd,3),kod3(ne),aty(ne), * YMCR(NE),YKSI(NE,6),KODBY(NE,5),YH(NE),TR(NE), * NBS(NE),NCS(NE),ASGV(NE),atmy(nel) harater*1 model,model harater*8 padi harater*8 dinput harater* fn(4) all lear_sreen@ write(*,*) 'input file name (extension not allowed):' read(*,'(1a8)') dinput open (5,file=dinput,form='formatted') all lear_sreen@ ******* generate file names and open required files************* all dturet(dinput,fn) ******** read data from input file****************************** all input(iel,n,ielt,x,knum,yuk,dyuk,nel,nd,ind,yyuk,nkod, * mskod,ik,ikk,model,model,1,,em,ftk,at1,at,alan,xmr, * ibnd,tek,ai,sf,xh,epsto,bw,h,pp,as,asp,xnu,aty,bj,kj,aty, * YMCR,YH,TR,NBS,NCS,ASGV) ****************************************************************** all sfirm8(srm,nd,nd,n,ibnd) all sfirv8(yuk,nd,n) 13

****************************************************************** all sfirv8(atmy,nel,nm) ****************************************************************** do 11 i=1,iel gm(i)=em(i)/(.*(1.+xnu)) kod(i)= KOD3(I)= all tx(nel,ielt,x,i,xl,nd,tt1,tt,tt4) all beamoll(ielt,i,x,nd,nel,yyuk(i),xmr(i),el1, * xl(i),at1(i),at(i),alan(i),em(i),gm(i),erm, * sf(i),kod(i),tek(i),ai(i),ikk,xh(i),bj(i), * aty(i),elyv,knum,tt4,model, * 1,,xksi,kodb,model,epsto(i),YMCR(I),KODBY, * ATY(I),YH(I),YKSI,KOD3(I),ER,ik,atmy(i)) all yaz(erm,elyv) all sistem(nel,nd,i,n,ibnd,knum,erm,srm,yuk,elyv,yyuk, * tek) 11 ontinue itr= all hava(itr,padi,em,bw,h,pp,as,asp,xmr,epsto, * knum,x,iel,ind,at1,at,nel,ielt,aty,bj,nd,ymcr,aty,atmy) all bansol(srm,yuk,n,ibnd,nd) all ndisp(nd,ind,yuk,nkod,mskod,x,model,model,1,,nel, * n,itr) rewind(7) do 116 i=1,iel all tx(nel,ielt,x,i,xl,nd,tt1,tt,tt4) all bfore(iel,ielt,x,knum,nd,nel,yuk,yyuk,el1,i,tt4) do 117 j=1,1 tmom(i,j)=el1(i,j) 117 ontinue 116 ontinue goto 83 itr= do 17 i=1,iel all ukuv(nel,i,el1,kod(i),9,itr,ielt,kod3(i)) 133

17 ontinue if(ik.eq.) goto 9 itr=1 1 all sfirm8(srm,nd,nd,n,ibnd) all sfirv8(yuk,nd,n) rewind(7) all set_ursor_pos@(1,1) write(*,*) 'iteration no:', itr all ekle(nkod,nel,nd,ind,dyuk,yuk) do 13 i=1,iel all tx(nel,ielt,x,i,xl,nd,tt1,tt,tt4) if(as(i).eq..) then kod(i)= KOD3(I)= goto 56 ******************************************************************* if(tr(i).eq.1.) then ftf=.*ftk(i) elr=abs(el1(i,1)/alan(i)) xmr(i)=(at1(i)*(ftf+elr))/xh(i) ymr(i)=(aty(i)*(ftf+elr))/yh(i) epsto(i)=(ftf+elr)/em(i) else elr=. ******************************************************************* all kontrol1(nel,i,xmr,el1,yyuk,xksi,kodb,kod(i), * xl,tek,ai) all KONTRO3(NE,i,ymr,el1,yksi,kodby,kod3(i),X) 56 all beamoll(ielt,i,x,nd,nel,yyuk(i),xmr(i),el1, * xl(i),at1(i),at(i),alan(i),em(i),gm(i), 134

* erm,sf(i),kod(i),tek(i),ai(i),ikk,xh(i), * bj(i),aty(i),elyv,knum,tt4, * model,1,,xksi,kodb,model,epsto(i),ymcr(i), * KODBY,ATY(I),YH(I),YKSI,KOD3(I),ER,ik,atmy(i)) all yaz(erm,elyv) all sistem(nel,nd,i,n,ibnd,knum,erm,srm,yuk,elyv,yyuk,tek) 13 ontinue all bansol(srm,yuk,n,ibnd,nd) rewind(7) do 14 i= 1,iel all tx(nel,ielt,x,i,xl,nd,tt1,tt,tt4) all bfore(iel,ielt,x,knum,nd,nel,yuk,yyuk,el,i,tt4) 14 ontinue kod= do 15 i=1,iel all kontrol(nel,i,el1,el,kod1) tmom(i,8)=tmom(i,8)+el(i,8) tmom(i,1)=tmom(i,1)+el(i,1) el1(i,8)=tmom(i,8)/(itr+1) el1(i,1)=tmom(i,1)/(itr+1) tmom(i,7)=tmom(i,7)+el(i,7) tmom(i,1)=tmom(i,1)+el(i,1) el1(i,7)=tmom(i,7)/(itr+1) el1(i,1)=tmom(i,1)/(itr+1) tmom(i,1)=tmom(i,1)+el(i,1) tmom(i,4)=tmom(i,4)+el(i,4) el1(i,1)=tmom(i,1)/(itr+1) el1(i,4)=tmom(i,4)/(itr+1) tmom(i,)=tmom(i,)+el(i,) tmom(i,5)=tmom(i,5)+el(i,5) el1(i,)=tmom(i,)/(itr+1) el1(i,5)=tmom(i,5)/(itr+1) tmom(i,9)=tmom(i,9)+el(i,9) tmom(i,11)=tmom(i,11)+el(i,11) el1(i,9)=tmom(i,9)/(itr+1) el1(i,11)=tmom(i,11)/(itr+1) tmom(i,3)=tmom(i,3)+el(i,3) tmom(i,6)=tmom(i,6)+el(i,6) 135

el1(i,3)=tmom(i,3)/(itr+1) el1(i,6)=tmom(i,6)/(itr+1) if(kod1.eq.1) kod=1 15 ontinue if(kod.eq.1) then itr=itr+1 goto 1 else goto 36 36 all hava(itr,padi,em,bw,h,pp,as,asp,xmr,epsto, * knum,x,iel,ind,at1,at,nel,ielt,aty,bj,nd,ymcr,aty,atmy) all ndisp(nd,ind,yuk,nkod,mskod,x,model,model,1,,nel, * n,itr) do 17 i=1,iel all ukuv(nel,i,el,kod(i),8,itr,ielt,kod3(i)) 17 ontinue write(*,*) ' OUTPUT FIES CREATED BY PROGRAM' write(*,*) ' RESUT OF THE INEAR ANAYSIS...', * FN(3) write(*,*)'resut OF THE ANAYSIS WHEN CRACKING CONSIDERED.', * FN(1) stop end ******************************************************************** ******************************************************************** Alt Programlar subroutine dturet(dinput,fn) harater*8 dinput harater* fn(4) harater*4 b(4) data b/'.1','.g1','.l1','.dat'/ open(1,file='dosya',form='formatted') do 1 k=1,4 write(1,*) '''',dinput,b(k),'''' 1 ontinue rewind 1 read(1,*) fn lose (1,status='delete') 136

open(7,file=fn(),form='formatted') open(8,file=fn(1),form='formatted') open(9,file=fn(3),form='formatted') open(1,file=fn(4),form='formatted') return end ******************************************************************* subroutine input(iel,n,ielt,x,knum,yuk,dyuk,nel,nd,ind,yyuk, * nkod,mskod,ik,ikk,model,model,1,,em,ftk,at1,at,alan, * xmr,ibnd,tek,ai,sf,xh,epsto,bw,h,pp,as,asp,xnu,aty,bj,kj, * ATY,YMCR,YH,TR,NBS,NCS,ASGV) impliit real*8 (a-h,o-z) harater*1 model,model harater*8 padi,bilgi dimension x(nd,3),ielt(nel,11),knum(nel,1),yyuk(nel), * dyuk(nd,6),mskod(nd),nkod(nd,6),ngkod(6),yuk(nd),em(nel), * ftk(nel),at1(nel),at(nel),alan(nel),xmr(nel),bw(nel), * h(nel),tek(nel),ai(nel),sf(nel),xh(nel),pp(nel),as(nel), * asp(nel),epsto(nel),aty(nel),bj(nel),kj(nd,3),aty(ne), * YMCR(NE),YH(NE),TR(NE),NBS(NE),NCS(NE),ASGV(NE) read(5,1) padi 1 format(1a8) read(5,1) bilgi read(5,*) ind,iel,ik,ikk,est if(ik.eq.1) then read(5,*) model,1, if(ikk.eq.1) then read(5,*) model read(5,1) bilgi xnu=. do k=1,iel read(5,*) io,(ielt(io,ko),ko=1,7),em(io), * (ielt(io,ko),ko=9,11),ftk(io),nbs(io),ncs(io),asgv(io) bw(io)=ielt(io,5) h(io)=ielt(io,6) pp(io)=ielt(io,7) 137

em(io)=ielt(io,8) ftk(io)=ielt(io,9) TR(Io)=IET(Io,9) as(io)=ielt(io,1) asp(io)=ielt(io,11) at1(io)=bw(io)*h(io)**3/1. alan(io)=bw(io)*h(io) aty(io)=h(io)*bw(io)**3/1. oran=bw(io)/h(io) if(oran.lt..6) then bj(io)=(h(io)*bw(io)**3)*(1-(.63*bw(io)/h(io)) * +(.5*(bw(io)/h(io))**5))/3 else bj(io)=(bw(io)*h(io))**3/(3.58*(bw(io)**+h(io)**)) if(as(io).eq..) then at(io)=. ATY(Io)=. xmr(io)=. YMCR(Io)=. epsto(io)=. sf(io)=1. goto C KOONARIN VERREN DONATI DÜZENRNE GÖRE ATAET MOMENTR HESABI if(nbs(io).eq..and.ns(io).eq.) then if(asgv(io).eq..) then xn=est/em(io) xb=bw(io)/xn/as(io) r=(xn-1.)*asp(io)/xn/as(io) xkd=((.*h(io)*xb*(1.+r*pp(io)/(h(io)-pp(io))) * +(1.+r)**)**.5-(1.+r))/xb at(io)=bw(io)*xkd**3/3.+xn*as(io)*(h(io)-pp(io)-xkd)** * +(xn-1.)*asp(io)*(xkd-pp(io))** xh(io)=h(io)/. sf(io)=1. ftf=.*ftk(io) xmr(io)=ftf*at1(io)/xh(io) epsto(io)=ftf/em(io) 138

xb1=h(io)/xn/((as(io)+asp(io))/) r1=(xn-1.)*((as(io)+asp(io))/)/xn/((as(io)+asp(io))/) xkd1=((.*(bw(io)-pp(io))*xb1*(1.+r1*pp(io)/(bw(io)-pp(io))) * +(1.+r1)**)**.5-(1.+r1))/xb1 aty(io)=h(io)*xkd1**3/3.+xn*((as(io)+asp(io))/) * *(bw(io)-pp(io)-xkd1)**+(xn-1)*((as(io)+asp(io))/) * *(xkd1-pp(io))** yh(io)=bw(io)/ ymr(io)=ftf*aty(io)/yh(io) ESE C******* NBS= NCS= asgv olmas" hali********************************* xn=est/em(io) ar=bw(io)/. br=xn*asp(io)-asp(io)+xn*asgv(io)+xn*as(io) r=-xn*asp(io)*pp(io)+asp(io)*pp(io) * -xn*asgv(io)*(h(io)/.)-xn*as(io)*(h(io)-pp(io)) dlts=br**-4.*ar*r xk1d=(-br-sqrt(dlts))/(.*ar) xkd=(-br+sqrt(dlts))/(.*ar) if(xk1d.lt.h(io).and.xk1d.gt..) then xkd=xk1d if(xkd.lt.h(io).and.xkd.gt..) then xkd=xkd at(io)=bw(io)*xkd**3/3.+xn*as(io)*(h(io)-pp(io)-xkd)** * +(xn-1.)*asp(io)*(xkd-pp(io))** * +xn*asgv(io)*(((h(io)/.)-xkd)**) xh(io)=h(io)/. sf(io)=1. ftf=.*ftk(io) xmr(io)=ftf*at1(io)/xh(io) epsto(io)=ftf/em(io) as1=(as(io)+asp(io)+asgv(io))/. asp1=as1 xb1=h(io)/xn/as1 r1=(xn-1)*asp1/xn/as1 xkd1=((.*(bw(io)-pp(io))*xb1*(1.+r1*pp(io)/(bw(io)-pp(io))) * +(1.+r1)**)**.5-(1.+r1))/xb1 aty(io)=h(io)*xkd1**3/3.+xn*as1 * *(bw(io)-pp(io)-xkd1)**+(xn-1)*asp1 * *(xkd1-pp(io))** yh(io)=bw(io)/ ymr(io)=ftf*aty(io)/yh(io) 139

********asgv nin i************************** elseif(nbs(io).eq.3.and.ns(io).eq.3) then if(asgv(io).eq..) then xn=est/em(io) xb=bw(io)/xn/as(io) r=(xn-1.)*asp(io)/xn/as(io) xkd=((.*h(io)*xb*(1.+r*pp(io)/(h(io)-pp(io))) * +(1.+r)**)**.5-(1.+r))/xb at(io)=bw(io)*xkd**3/3.+xn*as(io)*(h(io)-pp(io)-xkd)** * +(xn-1.)*asp(io)*(xkd-pp(io))** xh(io)=h(io)/. sf(io)=1. ftf=.*ftk(io) xmr(io)=ftf*at1(io)/xh(io) epsto(io)=ftf/em(io) asp1=(as(io)+asp(io))/3. as1=asp1 asgv1=as1 d1=bw(io)-pp(io) ar=h(io)/. br=xn*asp1-asp1+xn*asgv1+xn*as1 r=-xn*asp1*pp(io)+asp1*pp(io)-xn*asgv1*(bw(io)/.) * -xn*as1*d1 dlts=br**-4.*ar*r xk1d=(-br-sqrt(dlts))/(.*ar) xkd=(-br+sqrt(dlts))/(.*ar) if(xk1d.lt.bw(io).and.xk1d.gt..) then xkd1=xk1d if(xkd.lt.bw(io).and.xkd.gt..) then xkd1=xkd aty(io)=h(io)*xkd1**3/3.+xn*as1 * *(bw(io)-pp(io)-xkd1)**+(xn-1)*asp1 * *(xkd1-pp(io))**+xn*asgv1*((bw(io)/.)-xkd1)** yh(io)=bw(io)/ ymr(io)=ftf*aty(io)/yh(io) ESE C********** NBS=3 NCS=3 asgv olmas" hali****************** xn=est/em(io) ar=bw(io)/. br=xn*asp(io)-asp(io)+xn*asgv(io)+xn*as(io) r=-xn*asp(io)*pp(io)+asp(io)*pp(io) * -xn*asgv(io)*(h(io)/.)-xn*as(io)*(h(io)-pp(io)) 14

dlts=br**-4.*ar*r xk1d=(-br-sqrt(dlts))/(.*ar) xkd=(-br+sqrt(dlts))/(.*ar) if(xk1d.lt.h(io).and.xk1d.gt..) then xkd=xk1d if(xkd.lt.h(io).and.xkd.gt..) then xkd=xkd at(io)=bw(io)*xkd**3/3.+xn*as(io)*(h(io)-pp(io)-xkd)** * +(xn-1.)*asp(io)*(xkd-pp(io))** * +xn*asgv(io)*(((h(io)/.)-xkd)**) xh(io)=h(io)/. sf(io)=1. ftf=.*ftk(io) xmr(io)=ftf*at1(io)/xh(io) epsto(io)=ftf/em(io) asp1=((as(io)+asp(io))/3.)+(asgv(io)/.) as1=asp1 asgv1=((as(io)+asp(io))/3.) d1=bw(io)-pp(io) ar1=h(io)/. br1=xn*asp1-asp1+xn*asgv1+xn*as1 r1=-xn*asp1*pp(io)+asp1*pp(io)-xn*asgv1*(bw(io)/.) * -xn*as1*d1 dlts1=br1**-4.*ar1*r1 xk11d=(-br1-sqrt(dlts1))/(.*ar1) xk1d=(-br1+sqrt(dlts1))/(.*ar1) if(xk11d.lt.bw(io).and.xk11d.gt..) then xkd1=xk11d if(xk1d.lt.bw(io).and.xk1d.gt..) then xkd1=xk1d aty(io)=h(io)*xkd1**3/3.+xn*as1 * *(bw(io)-pp(io)-xkd1)**+(xn-1)*asp1 * *(xkd1-pp(io))**+xn*asgv1*((bw(io)/.)-xkd1)** yh(io)=bw(io)/ ymr(io)=ftf*aty(io)/yh(io) ENDIF ESE C*********** NBS=4 NCS=4 ASGV=. hali************************ if(asgv(io).eq..) then xn=est/em(io) xb=bw(io)/xn/as(io) r=(xn-1.)*asp(io)/xn/as(io) 141

xkd=((.*h(io)*xb*(1.+r*pp(io)/(h(io)-pp(io))) * +(1.+r)**)**.5-(1.+r))/xb at(io)=bw(io)*xkd**3/3.+xn*as(io)*(h(io)-pp(io)-xkd)** * +(xn-1.)*asp(io)*(xkd-pp(io))** xh(io)=h(io)/. sf(io)=1. ftf=.*ftk(io) xmr(io)=ftf*at1(io)/xh(io) epsto(io)=ftf/em(io) asp1=(as(io)+asp(io))/4. as1=(as(io)+asp(io))/4. asgv1=(as(io)+asp(io))/4. asgv=asgv1 rx=(bw(io)-*(pp(io)))/3. rx1=rx+pp(io) rx=.*rx+pp(io) d1=bw(io)-pp(io) ar=h(io)/. br=xn*asp1-asp1+*xn*asgv1-asgv1+xn*as1 r=-xn*asp1*pp(io)+asp1*pp(io)-xn*asgv1*rx1+asgv1*rx1 * -xn*asgv1*rx-xn*as1*d1 dlts=br**-4.*ar*r xk1d=(-br-sqrt(dlts))/(.*ar) xkd=(-br+sqrt(dlts))/(.*ar) if(xk1d.lt.bw(io).and.xk1d.gt..) then xkd1=xk1d if(xkd.lt.bw(io).and.xkd.gt..) then xkd1=xkd aty(io)=h(io)*xkd1**3/3.+xn*as1 * *(bw(io)-pp(io)-xkd1)**+(xn-1)*asp1*(xkd1-pp(io))** * +(xn-1)*asgv1*(xkd1-rx1)**+xn*asgv1*(rx-xkd1)** yh(io)=bw(io)/. ymr(io)=ftf*aty(io)/yh(io) ESE C***********NBS=4 NCS=4 ASGV BER************************** xn=est/em(io) ar=bw(io)/. br=xn*asp(io)-asp(io)+xn*asgv(io)+xn*as(io) r=-xn*asp(io)*pp(io)+asp(io)*pp(io) * -xn*asgv(io)*(h(io)/.)-xn*as(io)*(h(io)-pp(io)) dlts=br**-4.*ar*r xk1d=(-br-sqrt(dlts))/(.*ar) xkd=(-br+sqrt(dlts))/(.*ar) 14

if(xk1d.lt.h(io).and.xk1d.gt..) then xkd=xk1d if(xkd.lt.h(io).and.xkd.gt..) then xkd=xkd at(io)=bw(io)*xkd**3/3.+xn*as(io)*(h(io)-pp(io)-xkd)** * +(xn-1.)*asp(io)*(xkd-pp(io))** * +xn*asgv(io)*(((h(io)/.)-xkd)**) xh(io)=h(io)/. sf(io)=1. ftf=.*ftk(io) xmr(io)=ftf*at1(io)/xh(io) epsto(io)=ftf/em(io) *************nbs=4 ns=4 asgv belli aty hesab"***************** as1=(as(io)+asp(io))/4.+(asgv(io)/.) asp1=as1 asgv1=(as(io)+asp(io))/4. asgv=asgv1 rx=(bw(io)-*(pp(io)))/3. rx1=rx+pp(io) rx=.*rx+pp(io) d1=bw(io)-pp(io) ar1=h(io)/. br1=xn*asp1-asp1+*xn*asgv1-asgv1+xn*as1 r1=-xn*asp1*pp(io)+asp1*pp(io)-xn*asgv1*rx1+asgv1*rx1 * -xn*asgv1*rx-xn*as1*d1 dlts1=br1**-4.*ar1*r1 xk11d=(-br1-sqrt(dlts1))/(.*ar1) xk1d=(-br1+sqrt(dlts1))/(.*ar1) if(xk11d.lt.bw(io).and.xk11d.gt..) then xkd1=xk11d if(xk1d.lt.bw(io).and.xk1d.gt..) then xkd1=xk1d aty(io)=h(io)*xkd1**3/3.+xn*as1 * *(bw(io)-pp(io)-xkd1)**+(xn-1)*asp1*(xkd1-pp(io))** * +(xn-1)*asgv1*(xkd1-rx1)**+xn*asgv1*(rx-xkd1)** yh(io)=bw(io)/. ymr(io)=ftf*aty(io)/yh(io) C******** DONATI DÜZENRNE GÖRE ATAET MOMENTR HESABI ontinue 143

( CONTINUE DEN ÖNCE ATY NIN HESABI I IN EK YAZIACAK.) do 6 l=1,nd 6 mskod(l)= do 79 ims=1,iel if(ielt(ims,3).ne.) then mskod(ielt(ims,3))=ielt(ims,3) mskod(ielt(ims,4))=ielt(ims,4) 79 ontinue all sfirm4(nkod,nd,6,ind,6) read(5,1) bilgi all xkor(x,nd,ind) 71 all ng(ngroup,nsw) if(nsw.eq.1) goto 7 if(ngroup.eq.4) then do 76 i=1,ind read(5,*) io,(x(io,k),k=1,3) 76 ontinue if(ngroup.eq.1) then read(5,*) j,kk,ll,(x(j,jm),jm=1,3),(kj(j,jm),jm=1,3),t4 do 77 io=j+ll,kk,ll t4=t4+1 do 79 jl=1,3 79 x(io,jl)=x(j,jl)+t4*kj(j,jl) 77 ontinue goto 71 7 read(5,1) bilgi all xtut(nkod,nd) 34 all ng(ngroup,nsw) if(nsw.eq.1) goto 344 if(ngroup.eq.7) then read(5,*) j,(nkod(j,jl),jl=1,6) if(ngroup.eq.9) then read(5,*) j,kk,ll,(nkod(j,jl),jl=1,6) do 347 io=j+ll,kk,ll do 349 jl=1,6 349 nkod(io,jl)=nkod(j,jl) 347 ontinue 144

goto 34 86 do 86 i=1,ind read(5,*) k,(nkod(k,l),l=1,6) ontinue 344 all sfirv8(yyuk,nel,iel) all sfirv8(tek,nel,iel) read(5,1) bilgi read(5,*) iyes if(iyes.eq.) goto 35 do 96 j=1,iyes 517 all ng(ngroup,nsw) if(nsw.eq.1) goto 35 if(ngroup.eq.4) then read(5,*) k,yyuk(k),tek(k),ai(k) if(ngroup.eq.6) then read(5,*) j,kk,ll,yyuk(j),tek(j),ai(j) do 519 io=j+ll,kk,ll yyuk(io)=yyuk(j) tek(io)=tek(j) ai(io)=ai(j) 519 ontinue goto 517 96 ontinue 35 ison= do 48 i=1,ind do 38 j=1,6 38 ngkod(j)=nkod(i,j) do 36 j=1,6 if(ngkod(j).eq.) then ison=ison+1 nkod(i,j)=ison else nkod(i,j)= 36 ontinue 48 ontinue n=ison 145

do 58 i=1,iel ij1=ielt(i,1) ij=ielt(i,) ij3=ielt(i,3) ij4=ielt(i,4) if(ij3.ne.) then knum(i,1)=nkod(ij3,1) knum(i,)=nkod(ij3,) knum(i,3)=nkod(ij3,6) else knum(i,1)=nkod(ij1,1) knum(i,)=nkod(ij1,) knum(i,3)=nkod(ij1,6) if(ij4.ne.) then knum(i,4)=nkod(ij4,1) knum(i,5)=nkod(ij4,) knum(i,6)=nkod(ij4,6) else knum(i,4)=nkod(ij,1) knum(i,5)=nkod(ij,) knum(i,6)=nkod(ij,6) knum(i,7)=nkod(ij1,3) knum(i,8)=nkod(ij1,5) knum(i,9)=nkod(ij1,4) knum(i,1)=nkod(ij,3) knum(i,11)=nkod(ij,4) knum(i,1)=nkod(ij,5) 58 ontinue all sfirv8(yuk,nd,n) do 998 i=1,nd do 998 j=1,6 998 dyuk(i,j)= read(5,1)bilgi all xdgm(dyuk,nd) read(5,*) iyds if(iyds.eq.) goto 91 do 41 i=1,iyds read(5,*) k,(dyuk(k,m),m=1,6) 41 ontinue 146

91 do 6 i=1,ind do 6 j=1,6 if(dyuk(i,j).ne..) then yuk(nkod(i,j))=dyuk(i,j) 6 ontinue all banduzun(iel,ibnd,knum,nel,1) return end ******************************************************************** subroutine banduzun(nelp,ibndx,knumx,nelx,ixx) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension kodp(48),knumx(nelx,ixx) ibndp= do 74 i=1,nelp do 14 j=1,ixx 14 kodp(j)=knumx(i,j) do 73 j=1,ixx-1 jj=j+1 do 73 k=jj,ixx if(kodp(j).eq..or.kodp(k).eq.) go to 73 m=iabs(kodp(j)-kodp(k)) if(m.gt.ibndp) ibndp=m 73 ontinue 74 ontinue ibndp=ibndp+1 ibndx=ibndp return end ******************************************************************* subroutine sfirv8(a,nel,n) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension a(nel) do 1 i=1,n 1 a(i)=. return end ******************************************************************* subroutine sfirm8(a,nel,nd,n3,m) 147

impliit real*8 (a-h,o-z) dimension a(nel,nd) do 1 i=1,n3 do 1 j=1,m 1 a(i,j)=. return end ******************************************************************* subroutine sfirm4(ka,nd,n,n,m) dimension ka(nd,n) do 1 i=1,n do 1 j=1,m 1 ka(i,j)= return end ******************************************************************* subroutine beamoll(ielt,i,x,nd,nel,yyuk,xmr,el1, * xl,at1,at,alan,em,gm,erm,sf,kod,tek,ai,ikk, * xh,bj,aty,elyv,knum,tt4,model,1,,xksi, * kodb,model,epsto,ymcr,kodby,aty,yh,yksi,kod3, * ER,ik,atmy) impliit real*8 (a-h,o-z) harater*1 model,model dimension el1(nel,1),erm(1,1),ielt(nel,11),x(nd,3), * elyv(1),y(1),knum(nel,1),xksi(nel,6),kodb(nel,5),atk(), * atk1(),at(4),ati1(4),ati(4),y1(1),tt4(1,1),atiy(3), * YKSI(NE,6),KODBY(NE,5) pi=4.*datan(1.d) isw= ii=ielt(i,1) jj=ielt(i,) iii=ielt(i,3) jjj=ielt(i,4) xi=x(ii,1) xj=x(jj,1) yi=x(ii,) yj=x(jj,) if(iii.ne.) then isw=1 xmi=x(iii,1) xmj=x(jjj,1) ymi=x(iii,) ymj=x(jjj,) 148

xl=(x(jj,1)-x(ii,1))**+(x(jj,)-x(ii,))** * +(x(jj,3)-x(ii,3))** xl=dsqrt(xl) ykont=(x(jj,)-x(ii,)) xkont=(x(jj,1)-x(ii,1)) zkont=(x(jj,3)-x(ii,3)) tet(i)=pi/. tet3(i)=. ibl= if(zkont.eq..) then if(xkont.eq..) then if(ykont.gt..) then tet1(i)=pi/. else tet1(i)=-pi/. else if(ykont.ne..) then if(xkont.gt...and.ykont.gt..)then ibl=1 if(xkont.lt...and.ykont.gt..) then ibl= if(xkont.lt...and.ykont.lt..) then ibl=3 if(xkont.gt...and.ykont.lt..) then ibl=4 else if(xkont.gt..) then tet1(i)=. else tet1(i)=pi if(ibl.ne.) then tet1(i)=datan(ykont/xkont) if(ibl.eq..or.ibl.eq.3) then tet1(i)=tet1(i)+pi 149

if(ibl.eq.4) then tet1(i)=*pi+tet1(i) all sfirm8(erm,1,1,1,1) if(zkont.ne..) then if(zkont.lt..) then tet(i)=-pi/. if(kod.eq..and.kod3.eq.) then if(ikk.eq.1) then alfa1=1.*em*at1*sf/(xl***gm*alan) alfa=1.*em*aty*sf/(xl***gm*alan) alfa1=. alfa=. else alfa1=. alfa=. erm(1,1)=alan*em/xl erm(1,4)=-erm(1,1) erm(,)=1.*em*aty/((1.+alfa)*xl**3) erm(,3)=6.*em*aty/((1.+alfa)*xl**) erm(3,)=erm(,3) erm(3,3)=(4.+alfa)*em*aty/(xl*(1.+alfa)) erm(5,)=-erm(,) erm(,5)=erm(5,) erm(6,)=-erm(3,)-erm(5,)*xl erm(,6)=erm(6,) erm(6,3)=(.-alfa)*em*aty/((1.+alfa)*xl) erm(3,6)=erm(6,3) erm(5,5)=-erm(,5) erm(5,3)=-erm(,3) erm(3,5)=erm(5,3) erm(6,5)=-erm(3,5)-erm(5,5)*xl erm(5,6)=erm(6,5) erm(6,6)=-erm(3,6)-erm(5,6)*xl erm(4,1)=erm(1,4) erm(4,4)=erm(1,1) erm(7,7)=1.*em*at1/((1.+alfa1)*xl**3) erm(7,8)=-6.*em*at1/((1.+alfa1)*xl**) erm(8,7)=erm(7,8) erm(8,8)=(4.+alfa1)*em*at1/(xl*(1.+alfa1)) 15

erm(1,7)=-erm(7,7) erm(7,1)=erm(1,7) erm(1,7)=-erm(8,7)+erm(1,7)*xl erm(7,1)=erm(1,7) erm(1,8)=-erm(7,8) erm(8,1)=erm(1,8) erm(1,8)=(.-alfa1)*em*at1/((1.+alfa1)*xl) erm(8,1)=erm(1,8) erm(1,1)=-erm(7,1) erm(1,1)=-erm(8,1)+erm(1,1)*xl erm(1,1)=erm(1,1) erm(1,1)=-erm(8,1)+erm(1,1)*xl erm(9,9)=gm*bj/xl erm(9,11)=-erm(9,9) erm(11,9)=erm(9,11) erm(11,11)=erm(9,9) goto 3 kodun i IF(ICK.EQ.1) THEN do 3 j=1,4 at(j)=. ati1(j)=. 3 ontinue do 4 j=1, atk(j)=. atk1(j)=. 4 ontinue do 1 j=1,5 a=xksi(i,j) b=xksi(i,j+1) if(a.eq...and.b.eq..) goto 1 if(kodb(i,j).eq.) then fssi=1. ftsi=1.-at/at1 tt11=at1/at-1. at(1)=at(1)+tt11*(b-a)-(at1/at)*ftsi*(b-a) at()=at()+tt11*(b**-a**)/.-(at1/at)*ftsi * *(b**-a**)/. at(3)=at(3)+tt11*(b**3-a**3)/3.-(at1/at)*ftsi 151

* *(b**3-a**3)/3. at(4)=at(4)+tt11*(b**4-a**4)/4.-(at1/at)*ftsi * *(b**4-a**4)/4. if(ikk.eq.1) then atk(1)=atk(1)+(b-a)*fssi atk()=atk()+(b**-a**)/.*fssi if(tek.ne..) then if(a.gt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then ati1(1)=ati1(1)+tt11*(b-a)-(at1/at)*ftsi*(b-a) ati1()=ati1()+tt11*(b**-a**)/.-(at1/at)*ftsi * *(b**-a**)/. ati1(3)=ati1(3)+tt11*(b**3-a**3)/3.-(at1/at)*ftsi * *(b**3-a**3)/3. if(ikk.eq.1) then atk1(1)=atk1(1)+(b-a)*fssi elseif(a.lt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then =ai/xl ati1(1)=ati1(1)+tt11*(b-)-(at1/at)*ftsi*(b-) ati1()=ati1()+tt11*(b**-**)/.-(at1/at)*ftsi * *(b**-**)/. ati1(3)=ati1(3)+tt11*(b**3-**3)/3.-(at1/at)*ftsi * *(b**3-**3)/3. if(ikk.eq.1) then atk1(1)=atk1(1)+(b-)*fssi else tt11=at1/at-1. tt1=1.-at/at1 xmom1=dabs(el1(i,8)+yyuk*(a*xl)**/.+el1(i,7)*a*xl) xmom=dabs(el1(i,8)+yyuk*(a*xl)**/. * +(el1(i,7)+tek)*a*xl-tek*ai) xmom3=dabs(el1(i,8)+yyuk*(b*xl)**/.+el1(i,7)*b*xl) xmom4=dabs(el1(i,8)+yyuk*(b*xl)**/. * +(el1(i,7)+tek)*b*xl-tek*ai) eps11=(((xmom1*xh)/at1)-er)/em eps1=(((xmom*xh)/at1)-er)/em eps13=(((xmom3*xh)/at1)-er)/em eps14=(((xmom4*xh)/at1)-er)/em 15

if(a.lt.ai/xl) then tt=xmr/xmom1 if(ikk.eq.1) then tk=eps11/epsto eps1=eps11 else tt=xmr/xmom if(ikk.eq.1) then tk=eps1/epsto eps1=eps1 if(b.lt.ai/xl) then tt3=xmr/xmom3 if(ikk.eq.1) then tk3=eps13/epsto eps=eps13 else tt3=xmr/xmom4 if(ikk.eq.1) then tk3=eps14/epsto eps=eps14 if(model.eq.'aci') then ftsi=tt**1*tt11/(1.+tt**1*tt11) ftsj=tt3**1*tt11/(1.+tt3**1*tt11) elseif(model.eq.'ceb') then ftsi=1**tt***tt1 ftsj=1**tt3***tt1 if(ikk.eq.1) then if(model.eq.'am') then fssi=tk/.4 fssj=tk3/.4 elseif(model.eq.'cdp') then fssi=1./(.4*(1.-5.*eps1)) fssj=1./(.4*(1.-5.*eps)) elseif(model.eq.'ys') then fssi=4. fssj=4. else 153

fssi=. fssj=. do jj=1,4 all integ(i,jj,a,b,ftsi,ftsj,ai,xl,nel,xmr,el1,yyuk, * tek,model,1,,tt11,tt1,s) at(jj)=at(jj)+tt11*(b**jj-a**jj)/jj-(at1/at)*s if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1.or.jj.eq.) then all integk(i,jj,a,b,fssi,fssj,ai,xl,nel,epsto,el1, * model,yyuk,tek,xh,at1,em,sk,er) atk(jj)=atk(jj)+sk else sk=. if(tek.ne..) then if(a.gt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then ati1(jj)=ati1(jj)+tt11*(b**j-a**j)/jj-(at1/at)*s if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1) atk1(jj)=atk1(jj)+sk elseif(a.lt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then =ai/xl xmom=dabs(el1(i,8)+yyuk*(*xl)**/.+el1(i,7)**xl) tt3=xmr/xmom if(ikk.eq.1) then eps1=(((xmom*xh)/at1)-er)/em tk3=eps1/epsto if(model.eq.'aci') then ftsi1=tt3**1*tt11/(1+tt3**1*tt11) elseif(model.eq.'ceb') then ftsi1=1**tt3***tt1 if(ikk.eq.1) then if(model.eq.'am') then fssi1=tk3/.4 elseif(model.eq.'cdp') then fssi1=1./(.4*(1.-5.*eps1)) 154

elseif(model.eq.'ys') then fssi1=4. all integ(i,jj,,b,ftsi1,ftsj,ai,xl,nel,xmr, * el1,yyuk,tek,model,1,,tt11,tt1,s) ati1(jj)=ati1(jj)+tt11*(b**jj-**jj)/jj-(at1/at)*s if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1) then all integk(i,jj,,b,fssi1,fssj,ai,xl,nel,epsto,el1, * model,yyuk,tek,xh,at1,em,sk,er) atk1(jj)=atk1(jj)+sk ontinue 1 ontinue Di er y ndeki e ilmeden dolay ç atlayan ve atlamayan b lgeler i in esneklik katsay"lar"n"n hesab" ******************************************************************* do 33 j=1,3 atiy(j)=. 33 ontinue atky=. do 31 j=1,5 a1=yksi(i,j) b1=yksi(i,j+1) if(a1.eq...and.b1.eq..) goto 31 C if(kodby(i,j).eq.) then fssiy=1. ftsiy=1.-aty/aty tt11y=aty/aty-1. atiy(1)=atiy(1)+tt11y*(b1-a1)-(aty/aty)*ftsiy*(b1-a1) atiy()=atiy()+tt11y*(b1**-a1**)/.-(aty/aty)*ftsiy * *(b1**-a1**)/. atiy(3)=atiy(3)+tt11y*(b1**3-a1**3)/3.-(aty/aty)*ftsiy * *(b1**3-a1**3)/3. C if(ikk.eq.1) then atky=atky+(b1-a1)*fssiy 155

C C C else tt11y=aty/aty-1. tt1y=1.-aty/aty ymom1=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*a1*xl) ymom=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*b1*xl) eps11y=(((ymom1*yh)/aty)-elr)/em eps1y=(((ymom*yh)/aty)-elr)/em tty=ymr/ymom1 tky=eps11y/epsto eps1y=eps11y tt3y=ymr/ymom tk3y=eps1y/epsto epsy=eps1y if(model.eq.'aci')then ftsiy=tty**1*tt11y/(1.+tty**1*tt11y) ftsjy=tt3y**1*tt11y/(1.+tt3y**1*tt11y) elseif(model.eq.'ceb') then ftsiy=1**tty***tt1y ftsjy=1**tt3y***tt1y if(ikk.eq.1) then if(model.eq.'am') then fssiy=tky/.4 fssjy=tk3y/.4 elseif(model.eq.'cdp') then fssiy=1./(.4*(1.-5.*eps1y)) fssjy=1./(.4*(1.-5.*epsy)) elseif(model.eq.'ys') then fssiy=4. fssjy=4. else fssiy=. fssjy=. do 3 jj=1,3 all integy(i,jj,a1,b1,ftsiy,ftsjy,x,ne,ymr,el1,model, * 1,,tt11y,tt1y,sy) atiy(jj)=atiy(jj)+tt11y*(b1**jj-a1**jj)/jj-(aty/aty)*sy if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1) then all intgky(i,jj,a1,b1,fssiy,fssjy,x,ne,epsto,el1, * model,yh,aty,em,sky,er) 156

atky=atky+sky else sky=. 3 ontinue 31 ontinue C C C C C C ***************COMPUTE FEXIBIITY INFUENCE COEFFICIENT* f77=xl**3/(3.*em*at1)*(1.+3.*at(3)) * +sf*xl/gm/alan*atk(1) f78=xl**/(.*em*at1)*(1.+.*at()) f88=xl/(em*at1)*(1.+at(1)) f87=f78 abl=ai/xl f7=yyuk*xl**4/(8.*em*at1)*(1.+4.*at(4)) * +tek*xl**3/(6.*em*at1)*((.-.*abl**3 * +6.*ati1(3))-abl*(3.-3.*abl**+6.*ati1())) * +yyuk*xl***sf/gm/alan*atk() * +tek*xl*sf/gm/alan*atk1(1) f8=yyuk*xl**3/(6.*em*at1)*(1.+3*at(3)) * +tek*xl**/(em*at1)*(abl*(-1.+abl-ati1(1)) * +.5*(1.-abl**+.*ati1())) f=xl**3/(3.*em*aty)*(1.+3.*atiy(3)) * +sf*xl/gm/alan*atky f3=-xl**/(.*em*aty)*(1.+.*atiy()) f33=xl/(em*aty)*(1.+atiy(1)) f3=f3 F VE F33 ER DE ATAMI BÖGEERDEN HESAPANIYOR. erm(1,1)=alan*em/xl erm(1,4)=-erm(1,1) erm(4,4)=erm(1,1) 157

erm(4,1)=erm(1,4) erm(7,7)=f88/(f77*f88-f78*f87) erm(8,8)=f77/(f77*f88-f78*f87) erm(7,8)=-f78/(f77*f88-f78*f87) erm(8,7)=erm(7,8) erm(1,7)=-erm(7,7) erm(7,1)=erm(1,7) erm(1,7)=-erm(8,7)+erm(1,7)*xl erm(7,1)=erm(1,7) erm(1,8)=-erm(7,8) erm(8,1)=erm(1,8) erm(1,8)=-erm(8,8)+erm(1,8)*xl erm(8,1)=erm(1,8) erm(1,1)=-erm(7,1) erm(1,1)=-erm(8,1)+erm(1,1)*xl erm(1,1)=erm(1,1) erm(1,1)=-erm(8,1)+erm(1,1)*xl alfa=1.*em*aty*sf/(xl***gm*alan) (DI ER EKSEN ETRAFINDAKI D NMEDEN DOAYI OU\AN ÇATAMA DA GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUUYOR.) erm(,)=f33/(f*f33-f3*f3) erm(,3)=-f3/(f*f33-f3*f3) erm(3,3)=f/(f*f33-f3*f3) erm(3,)=erm(,3) erm(5,)=-erm(,) erm(,5)=erm(5,) erm(6,)=-erm(3,)-erm(5,)*xl erm(,6)=erm(6,) erm(6,3)=(.-alfa)*em*aty/((1.+alfa)*xl) erm(5,3)=-erm(,3) erm(3,5)=erm(5,3) erm(6,3)=-erm(3,3)-erm(5,3)*xl erm(3,6)=erm(6,3) erm(5,5)=-erm(,5) C erm(5,3)=-erm(,3) erm(3,5)=erm(5,3) erm(6,5)=-erm(3,5)-erm(5,5)*xl erm(5,6)=erm(6,5) erm(6,6)=-erm(3,6)-erm(5,6)*xl erm(9,9)=gm*bj/xl erm(9,11)=-erm(9,9) erm(11,9)=erm(9,11) erm(11,11)=erm(9,9) ENDIF 158

C IF(ICK.EQ.) THEN sunry=. sry=. sunrz=. srz=. atk(1)=. atk()=. atk1(1)=. atky=. do 11 j=1,5 a=xksi(i,j) b=xksi(i,j+1) if(a.eq...and.b.eq..) GOTO 11 if(kodb(i,j).eq.) then fssi=1. ftsi=1.-at/at1 tt11=at1/at-1. at(1)=at(1)+tt11*(b-a)-(at1/at)*ftsi*(b-a) at()=at()+tt11*(b**-a**)/.-(at1/at)*ftsi * *(b**-a**)/. at(3)=at(3)+tt11*(b**3-a**3)/3.-(at1/at)*ftsi * *(b**3-a**3)/3. at(4)=at(4)+tt11*(b**4-a**4)/4.-(at1/at)*ftsi * *(b**4-a**4)/4. if(ikk.eq.1) then atk(1)=atk(1)+(b-a)*fssi atk()=atk()+(b**-a**)/.*fssi if(tek.ne..) then if(a.gt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then ati1(1)=ati1(1)+tt11*(b-a)-(at1/at)*ftsi*(b-a) ati1()=ati1()+tt11*(b**-a**)/.-(at1/at)*ftsi * *(b**-a**)/. ati1(3)=ati1(3)+tt11*(b**3-a**3)/3.-(at1/at)*ftsi * *(b**3-a**3)/3. if(ikk.eq.1) then atk1(1)=atk1(1)+(b-a)*fssi 159

elseif(a.lt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then =ai/xl ati1(1)=ati1(1)+tt11*(b-)-(at1/at)*ftsi*(b-) ati1()=ati1()+tt11*(b**-**)/.-(at1/at)*ftsi * *(b**-**)/. ati1(3)=ati1(3)+tt11*(b**3-**3)/3.-(at1/at)*ftsi * *(b**3-**3)/3. if(ikk.eq.1) then atk1(1)=atk1(1)+(b-)*fssi else tt11=at1/at-1. tt1=1.-at/at1 xmom1=dabs(el1(i,8)+yyuk*(a*xl)**/.+el1(i,7)*a*xl) xmom=dabs(el1(i,8)+yyuk*(a*xl)**/. * +(el1(i,7)+tek)*a*xl-tek*ai) xmom3=dabs(el1(i,8)+yyuk*(b*xl)**/.+el1(i,7)*b*xl) xmom4=dabs(el1(i,8)+yyuk*(b*xl)**/. * +(el1(i,7)+tek)*b*xl-tek*ai) eps11=(((xmom1*xh)/at1)-er)/em eps1=(((xmom*xh)/at1)-er)/em eps13=(((xmom3*xh)/at1)-er)/em eps14=(((xmom4*xh)/at1)-er)/em if(a.lt.ai/xl) then tt=xmr/xmom1 if(ikk.eq.1) then tk=eps11/epsto eps1=eps11 else tt=xmr/xmom if(ikk.eq.1) then tk=eps1/epsto eps1=eps1 if(b.lt.ai/xl) then tt3=xmr/xmom3 if(ikk.eq.1) then tk3=eps13/epsto eps=eps13 else 16

tt3=xmr/xmom4 if(ikk.eq.1) then tk3=eps14/epsto eps=eps14 if(ikk.eq.1) then if(model.eq.'am') then fssi=tk/.4 fssj=tk3/.4 elseif(model.eq.'cdp') then fssi=1./(.4*(1.-5.*eps1)) fssj=1./(.4*(1.-5.*eps)) elseif(model.eq.'ys') then fssi=4. fssj=4. else fssi=. fssj=. do jj=1,4 all integ(i,jj,a,b,ftsi,ftsj,ai,xl,nel,xmr,el1,yyuk, * tek,model,1,,tt11,tt1,s) at(jj)=at(jj)+tt11*(b**jj-a**jj)/jj-(at1/at)*s if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1.or.jj.eq.) then all integk(i,jj,a,b,fssi,fssj,ai,xl,nel,epsto,el1, * model,yyuk,tek,xh,at1,em,sk,er) atk(jj)=atk(jj)+sk else sk=. if(tek.ne..) then if(a.gt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then ati1(jj)=ati1(jj)+tt11*(b**j-a**j)/jj-(at1/at)*s if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1) atk1(jj)=atk1(jj)+sk elseif(a.lt.ai/xl.and.b.gt.ai/xl) then =ai/xl 161

xmom=dabs(el1(i,8)+yyuk*(*xl)**/.+el1(i,7)**xl) tt3=xmr/xmom if(ikk.eq.1) then eps1=(((xmom*xh)/at1)-er)/em tk3=eps1/epsto if(ikk.eq.1) then if(model.eq.'am') then fssi1=tk3/.4 elseif(model.eq.'cdp') then fssi1=1./(.4*(1.-5.*eps1)) elseif(model.eq.'ys') then fssi1=4. all integ(i,jj,,b,ftsi1,ftsj,ai,xl,nel,xmr, * el1,yyuk,tek,model,1,,tt11,tt1,s) ati1(jj)=ati1(jj)+tt11*(b**jj-**jj)/jj-(at1/at)*s if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1) then all integk(i,jj,,b,fssi1,fssj,ai,xl,nel,epsto,el1, * model,yyuk,tek,xh,at1,em,sk,er) atk1(jj)=atk1(jj)+sk ontinue xm1y=dabs(el1(i,8)+yyuk*(a*xl)**/.+el1(i,7)*a*xl) xmy=dabs(el1(i,8)+yyuk*(a*xl)**/. *+(el1(i,7)+tek)*a*xl-tek*ai) xm3y=dabs(el1(i,8)+yyuk*(b*xl)**/.+el1(i,7)*b*xl) xm4y=dabs(el1(i,8)+yyuk*(b*xl)**/. *+(el1(i,7)+tek)*b*xl-tek*ai) if(a.lt.ai/xl) then xmy1=xm1y else xmy1=xmy 16

if(b.lt.ai/xl) then xmy=xm3y else xmy=xm4y if(kodb(i,j).eq.) then all intuny(i,a,b,ai,xl,nel,el1,yyuk,tek,suny,xmy1,xmy) sunry=sunry+suny else ****kodb'nin elsesi***** all intry(i,a,b,ai,xl,nel,el1,yyuk,tek,sy,xmy1,xmy) C sry=sry+sy 11 ontinue if(kod.eq.)then effay=at1 atmy=effay goto 531 stpay=sry+sunry effay=(at1*(sunry/stpay))+(at*(sry/stpay)) atmy=effay 531 do 1 j=1,5 a1=yksi(i,j) b1=yksi(i,j+1) if(a1.eq...and.b1.eq..) GOTO 1 if(kodby(i,j).eq.) then fssiy=1. ftsiy=1.-aty/aty tt11y=aty/aty-1. atiy(1)=atiy(1)+tt11y*(b1-a1)-(aty/aty)*ftsiy*(b1-a1) atiy()=atiy()+tt11y*(b1**-a1**)/.-(aty/aty)*ftsiy 163

C * *(b1**-a1**)/. atiy(3)=atiy(3)+tt11y*(b1**3-a1**3)/3.-(aty/aty)*ftsiy * *(b1**3-a1**3)/3. if(ikk.eq.1) then atky=atky+(b1-a1)*fssiy else tt11y=aty/aty-1. tt1y=1.-aty/aty ymom1=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*a1*xl) ymom=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*b1*xl) eps11y=(((ymom1*yh)/aty)-elr)/em eps1y=(((ymom*yh)/aty)-elr)/em tty=ymr/ymom1 tky=eps11y/epsto eps1y=eps11y tt3y=ymr/ymom tk3y=eps1y/epsto epsy=eps1y if(ikk.eq.1) then if(model.eq.'am') then fssiy=tky/.4 fssjy=tk3y/.4 elseif(model.eq.'cdp') then fssiy=1./(.4*(1.-5.*eps1y)) fssjy=1./(.4*(1.-5.*epsy)) elseif(model.eq.'ys') then fssiy=4. fssjy=4. else fssiy=. fssjy=. C do 3 jj=1,3 all integy(i,jj,a1,b1,ftsiy,ftsjy,x,ne,ymr,el1,model, * 1,,tt11y,tt1y,sy) atiy(jj)=atiy(jj)+tt11y*(b1**jj-a1**jj)/jj-(aty/aty)*sy C if(ikk.eq.1) then if(jj.eq.1) then all intgky(i,jj,a1,b1,fssiy,fssjy,x,ne,epsto,el1, * model,yh,aty,em,sky,er) atky=atky+sky 164

else sky=. 3 ontinue xmz1=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*a1*xl) xmz=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*b1*xl) if(kodby(i,j).eq.) then all intunz(i,a1,b1,xl,nel,el1,sunz,xmz1,xmz) sunrz=sunrz+sunz else ****kodb'nin elsesi***** all intrz(i,a1,b1,xl,nel,el1,sz,xmz1,xmz) C srz=srz+sz 1 ontinue if(kod3.eq.)then effaz=aty goto 53 stpaz=srz+sunrz effaz=(aty*(sunrz/stpaz))+(aty*(srz/stpaz)) 53 f77p=xl**3/(3.*em*effay) * +sf*xl/gm/alan*atk(1) f78p=xl**/(.*em*effay) f88p=xl/(em*effay) f87p=f78p abl=ai/xl f7p=yyuk*xl**4/(8.*em*effay) * +tek/(3.*em*effay)*(xl**3-ai**3) 165

* -tek*ai/(.*em*effay)*(xl**-ai**) * +yyuk*xl***sf/gm/alan*atk() * +tek*xl*sf/gm/alan*atk1(1) f8p=yyuk*xl**3/(6.*em*effay)+tek/(.*em*effay)*(xl**-ai**) * -tek*ai/(em*effay)*(xl-ai) fp=xl**3/(3.*em*effaz) * +sf*xl/gm/alan*atky f3p=-xl**/(.*em*effaz) f33p=xl/(em*effaz) f3p=f3p erm(1,1)=alan*em/xl erm(1,4)=-erm(1,1) erm(4,4)=erm(1,1) erm(4,1)=erm(1,4) erm(7,7)=f88p/(f77p*f88p-f78p*f87p) erm(8,8)=f77p/(f77p*f88p-f78p*f87p) erm(7,8)=-f78p/(f77p*f88p-f78p*f87p) erm(8,7)=erm(7,8) erm(1,7)=-erm(7,7) erm(7,1)=erm(1,7) erm(1,7)=-erm(8,7)+erm(1,7)*xl erm(7,1)=erm(1,7) erm(1,8)=-erm(7,8) erm(8,1)=erm(1,8) erm(1,8)=-erm(8,8)+erm(1,8)*xl erm(8,1)=erm(1,8) erm(1,1)=-erm(7,1) erm(1,1)=-erm(8,1)+erm(1,1)*xl erm(1,1)=erm(1,1) erm(1,1)=-erm(8,1)+erm(1,1)*xl erm(,)=f33p/(fp*f33p-f3p*f3p) erm(,3)=-f3p/(fp*f33p-f3p*f3p) erm(3,3)=fp/(fp*f33p-f3p*f3p) erm(3,)=erm(,3) erm(5,)=-erm(,) erm(,5)=erm(5,) erm(6,)=-erm(3,)-erm(5,)*xl erm(,6)=erm(6,) erm(6,3)=(.-alfa)*em*aty/((1.+alfa)*xl) erm(5,3)=-erm(,3) erm(3,5)=erm(5,3) 166

erm(6,3)=-erm(3,3)-erm(5,3)*xl erm(3,6)=erm(6,3) erm(5,5)=-erm(,5) erm(5,3)=-erm(,3) erm(3,5)=erm(5,3) erm(6,5)=-erm(3,5)-erm(5,5)*xl erm(5,6)=erm(6,5) erm(6,6)=-erm(3,6)-erm(5,6)*xl erm(9,9)=gm*bj/xl erm(9,11)=-erm(9,9) erm(11,9)=erm(9,11) erm(11,11)=erm(9,9) ENDIF C ************** ICK= NRN ENDRFR**************** C 3 if(kod.eq.) then do 19 j7=1,1 elyv(j7)= 19 y(j7)=. if(yyuk.eq..) goto 5 a88=xl/em/at1 a77=xl**3/(3.*em*at1)+sf*xl/(gm*alan) a78=xl**/(.*em*at1) a87=a78 a7=yyuk*xl**4/(8.*em*at1)+yyuk*xl***sf/(.*gm*alan) * +tek/(3.*em*at1)*(xl**3-ai**3) * -tek*ai/(.*em*at1)*(xl**-ai**)+tek*sf/(gm*alan)*(xl-ai) a8=yyuk*xl**3/(6.*em*at1)+tek/(.*em*at1)*(xl**-ai**) * -tek*ai/(em*at1)*(xl-ai) y(7)=-(a88*a7-a78*a8)/(a77*a88-a78*a87) y(8)=-(a77*a8-a78*a7)/(a77*a88-a78*a87) y(1)=-(yyuk*xl+tek+y(7)) y(1)=-y(8)-tek*xl+tek*ai-yyuk*xl**/.-y(7)*xl y(7)=-y(7) y(8)=-y(8) y(1)=-y(1) y(1)=-y(1) 167

kodun i C IF(ICK.EQ.1) THEN C do 64 l8=1,1 64 y(l8)=. y(7)=-(f88*f7-f78*f8)/(f77*f88-f78*f87) y(8)=-(f77*f8-f78*f7)/(f77*f88-f78*f87) y(1)=-(yyuk*xl+tek+y(7)) y(1)=-y(8)-tek*xl+tek*ai-yyuk*xl**/.-y(7)*xl y(7)=-y(7) y(8)=-y(8) y(1)=-y(1) y(1)=-y(1) ENDIF IF(ICK.EQ.) THEN C do 65 l9=1,1 65 y(l9)=. y(7)=-(f88p*f7p-f78p*f8p)/(f77p*f88p-f78p*f87p) y(8)=-(f77p*f8p-f78p*f7p)/(f77p*f88p-f78p*f87p) y(1)=-(yyuk*xl+tek+y(7)) y(1)=-y(8)-tek*xl+tek*ai-yyuk*xl**/.-y(7)*xl y(7)=-y(7) y(8)=-y(8) y(1)=-y(1) y(1)=-y(1) ********moment alana ba]l" olarak yük vektörlerinin hesab" tamamlanm"t"r C 5 do 667 m1=1,1 667 y1(m1)=. do 881 j4=1,1 sum=. do 88 k4=1,1 88 sum=sum+tt4(k4,j4)*y(k4) 881 y1(j4)=y1(j4)+sum do 3455 k=1,1 elyv(k)=y1(k) 3455 ontinue all ekm3(erm,tet,tet3,xi,yi,xmi,ymi,xj,yj,xmj,ymj,isw) all ekm1(erm,tt4,xi,yi,xmi,ymi,xj,yj,xmj,ymj,isw) 168

zkontun i return end ******************************************************************* ******** subroutine integ(i,jj,a,b,ftsi,ftsj,ai,xl,nel,xmr,el1,yyuk, * tek,model,1,,tt11,tt1,s) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension el1(nel,1) harater*1 model if(a.eq..) a=.1 j1=jj-1 h=b-a kk=1 t=(a**j1*ftsi+b**j1*ftsj)*(b-a) xm=. 5 t=(t+xm)/. xm=. =a-h/. do k=1,kk =+h if(.lt.ai/xl) then tt=xmr/dabs(el1(i,8)+yyuk*(*xl)**/. * +el1(i,7)**xl) else tt=xmr/dabs(el1(i,8)+yyuk*(*xl)**/. * +(el1(i,7)+tek)**xl-tek*ai) if(model.eq.'aci') then fts=tt**1*tt11/(1+tt**1*tt11) elseif(model.eq.'ceb') then fts=1**tt***tt1 xm=xm+**j1*fts*h ontinue s=(t+.*xm)/3. h=h/. kk=kk* if(dabs(t-xm)/dabs(s).gt..1) goto 5 return end 169

******************************************************************* ********* subroutine integk(i,jj,a,b,fssi,fssj,ai,xl,nel,epsto,el1, * model,yyuk,tek,xh,at1,em,s,er) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension el1(nel,1) harater*1 model if(a.eq..) a=.1 j1=jj-1 h=b-a kk=1 t=(a**j1*fssi+b**j1*fssj)*(b-a) xm=. 5 t=(t+xm)/. xm=. =a-h/. do k=1,kk =+h if(.lt.ai/xl) then xmom=dabs(el1(i,8)+yyuk*(*xl)**/.+el1(i,7)**xl) else xmom=dabs(el1(i,8)+yyuk*(*xl)**/. * +(el1(i,7)+tek)**xl-tek*ai) eps1=(((xmom*xh)/at1)-er)/em tk3=eps1/epsto if(model.eq.'am') then fss=tk3/.4 elseif(model.eq.'cdp') then fss=1./(.4*(1.-5.*eps1)) elseif(model.eq.'ys') then fss=4. xm=xm+**j1*fss*h ontinue s=(t+.*xm)/3. h=h/. kk=kk* if(dabs(t-xm)/dabs(s).gt..1) goto 5 return end 17

subroutine ekm1(erm,tt4,xi,yi,xmi,ymi,xj,yj,xmj,ymj,isw) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension erm(1,1),tt4(1,1),ekmy(1,1),ge(1,1), * xbb(6,6) all xt1(tt1,tet1) do 3 it=1,1 do 3 jt=1,1 ekmy(it,jt)=. ge(it,jt)=. 3 ontinue do 95 k=1,1 do 95 l=1,1 sum=. do 9 m=1,1 9 sum=sum+erm(k,m)*tt4(m,l) 95 ge(k,l)=ge(k,l)+sum do 965 k=1,1 do 965 l=1,1 sum=. do 96 m=1,1 96 sum=sum+tt4(m,k)*ge(m,l) 965 ekmy(k,l)=ekmy(k,l)+sum do 975 k=1,1 do 975 l=1,1 975 erm(k,l)=ekmy(k,l) if(isw.eq.) goto 1111 do 131 i1=1,6 do 131 j1=1,6 if(i1.eq.j1) then xbb(i1,j1)=1. else xbb(i1,j1)=. 131 ontinue xbb(1,3)=ymi-yi xbb(,3)=xi-xmi xbb(4,6)=ymj-yj 171

xbb(5,6)=xj-xmj do 14 it=1,1 do 14 jt=1,1 ekmy(it,jt)=. ge(it,jt)=. 14 ontinue do 16 k=1,6 do 16 l=1,6 sum=. do 155 m=1,6 155 sum=sum+erm(k,m)*xbb(m,l) 16 ge(k,l)=ge(k,l)+sum do 17 k=1,6 do 17 l=1,6 sum=. do 165 m=1,6 165 sum=sum+xbb(m,k)*ge(m,l) 17 ekmy(k,l)=ekmy(k,l)+sum do 18 k=1,6 do 18 l=7,1 sum=. do 175 m=1,6 175 sum=sum+xbb(m,k)*erm(m,l) 18 ekmy(k,l)=ekmy(k,l)+sum do 19 k=7,1 do 19 l=1,6 sum=. do 185 m=1,6 185 sum=sum+erm(k,m)*xbb(m,l) 19 ekmy(k,l)=ekmy(k,l)+sum do 14 k=7,1 do 14 l=7,1 14 ekmy(k,l)=erm(k,l) do 141 k=1,1 do 141 l=1,1 141 erm(k,l)=ekmy(k,l) 1111 return end 17

******************************************************************* ********* subroutine xt1(tt1,tet1) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension tt1(1,1) do 3 it=1,1 do 3 jt=1,1 tt1(it,jt)=. 3 ontinue tt1(1,1)=dos(tet1) tt1(1,)=dsin(tet1) tt1(,1)=(-1.)*dsin(tet1) tt1(,)=dos(tet1) tt1(3,3)=1. tt1(4,4)=dos(tet1) tt1(4,5)=dsin(tet1) tt1(5,4)=(-1.)*dsin(tet1) tt1(5,5)=dos(tet1) tt1(6,6)=1. tt1(7,7)=1. tt1(8,8)=dos(tet1) tt1(8,9)=(-1.)*dsin(tet1) tt1(9,8)=dsin(tet1) tt1(9,9)=dos(tet1) tt1(1,1)=1. tt1(11,11)=dos(tet1) tt1(11,1)=dsin(tet1) tt1(1,11)=(-1.)*dsin(tet1) tt1(1,1)=dos(tet1) return end ****************************************************************** ********** subroutine xt(tt,tet) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension tt(1,1) do 3 it=1,1 do 3 jt=1,1 tt(it,jt)=. 3 ontinue tt(1,1)=dos(tet) 173

tt(1,7)=dsin(tet) tt(,)=1. tt(3,3)=dos(tet) tt(3,9)=(-1.)*dsin(tet) tt(4,4)=dos(tet) tt(4,1)=dsin(tet) tt(5,5)=1. tt(6,6)=dos(tet) tt(6,11)=(-1.)*dsin(tet) tt(7,1)=(-1.)*dsin(tet) tt(7,7)=dos(tet) tt(8,8)=1. tt(9,3)=dsin(tet) tt(9,9)=dos(tet) tt(1,4)=(-1.)*dsin(tet) tt(1,1)=dos(tet) tt(11,6)=dsin(tet) tt(11,11)=dos(tet) tt(1,1)=1. return end ******************************************************************* ********** subroutine xt3(tt3,tet3) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension tt3(1,1) do 3 it=1,1 do 3 jt=1,1 tt3(it,jt)=. 3 ontinue tt3(1,1)=1. tt3(,)=dos(tet3) tt3(,7)=dsin(tet3) tt3(3,3)=dos(tet3) tt3(3,8)=(-1.)*dsin(tet3) tt3(4,4)=1. tt3(5,5)=dos(tet3) tt3(5,1)=dsin(tet3) tt3(6,6)=dos(tet3) tt3(6,1)=(-1.)*dsin(tet3) tt3(7,)=(-1.)*dsin(tet3) tt3(7,7)=dos(tet3) tt3(8,3)=dsin(tet3) 174

tt3(8,8)=dos(tet3) tt3(9,9)=1. tt3(1,5)=(-1.)*dsin(tet3) tt3(1,1)=dos(tet3) tt3(11,11)=1. tt3(1,6)=dsin(tet3) tt3(1,1)=dos(tet3) return end ******************************************************************* ****** subroutine yaz(erm,elyv) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension erm(1,1),elyv(1) do 1 i=1,1 do 1 j=1,1 write(7,*) erm(i,j) 1 ontinue do j=1,1 write(7,*) elyv(j) ontinue return end ******************************************************************* ********* subroutine sistem(nel,nd,i,n,ibnd,knum,erm,srm,yuk,elyv, * yyuk,tek) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension srm(nd,nd),knum(nel,1),erm(1,1),elyv(1), * yuk(nd),yyuk(nel),tek(nel) do 15 j=1,1 l=knum(i,j) if(l.eq.) goto 15 do 1 k=1,1 m=knum(i,k) if(m.eq.) goto 1 if(m.lt.l) goto 1 ipos=m-l+1 srm(l,ipos)=srm(l,ipos)+erm(j,k) 1 ontinue 15 ontinue 175

if(yyuk(i).eq..) goto 1 yuk(knum(i,7))=yuk(knum(i,7))+elyv(7) yuk(knum(i,8))=yuk(knum(i,8))+elyv(8) yuk(knum(i,9))=yuk(knum(i,9))+elyv(9) yuk(knum(i,1))=yuk(knum(i,1))+elyv(1) yuk(knum(i,11))=yuk(knum(i,11))+elyv(11) yuk(knum(i,1))=yuk(knum(i,1))+elyv(1) 1 return end ******************************************************************* subroutine ng(ngroup,nsw) harater*1 lr(8) read(5,4) lr 4 format(8a1) bakspae(5) ngroup= nsw= do 15 io=1,8 if(lr(io).eq.':') nsw=1 if(lr(io).eq.' ') goto 15 if(io.eq.1) goto 117 if(lr(io-1).ne.' ') goto 15 117 ngroup=ngroup+1 15 ontinue return end ******************************************************************* subroutine tx(nel,ielt,x,i,xl,nd,tt1,tt,tt4) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension ielt(nel,11),x(nd,3),xl(nel),tt1(1,1),tt(1,1), * tt4(1,1) do 131 i1=1,1 do 1315 k1=1,1 tt1(i1,k1)=. tt(i1,k1)=. tt4(i1,k1)=. 1315 ontinue 131 ontinue 176

pi=4.*datan(1.d) isw= ii=ielt(i,1) jj=ielt(i,) iii=ielt(i,3) jjj=ielt(i,4) xi=x(ii,1) xj=x(jj,1) yi=x(ii,) yj=x(jj,) if(iii.ne.) then isw=1 xmi=x(iii,1) xmj=x(jjj,1) ymi=x(iii,) ymj=x(jjj,) xl(i)=(x(jj,1)-x(ii,1))**+(x(jj,)-x(ii,))** * +(x(jj,3)-x(ii,3))** xl(i)=dsqrt(xl(i)) ykont=(x(jj,)-x(ii,)) xkont=(x(jj,1)-x(ii,1)) zkont=(x(jj,3)-x(ii,3)) tet(i)=pi/. tet3(i)=. ibl= if(zkont(i).eq..) then if(xkont.eq..) then if(ykont.gt..) then tet1(i)=pi/. else tet1(i)=-pi/. else if(ykont.ne..) then if(xkont.gt...and.ykont.gt..) then ibl=1 if(xkont.lt...and.ykont.gt..) then ibl= if(xkont.lt...and.ykont.lt..) then 177

ibl=3 if(xkont.gt...and.ykont.lt..) then ibl=4 else if(xkont.gt..) then tet1(i)=. else tet1(i)=pi if(ibl.ne..) then tet1(i)=datan(ykont/xkont) if(ibl.eq..or.ibl.eq.3) then tet1(i)=pi+tet1(i) if(ibl.eq.4) then tet1(i)=*pi+tet1(i) if(zkont(i).ne..) then if(zkont(i).lt..) then tet(i)=-pi/. if(xkont.eq...and.ykont.eq..) then gama=. stet=1. sntet=. snbet=zkont/xl(i) sbet=gama/xl(i) tt1(1,1)=stet tt1(1,)=sntet tt1(,1)=-sntet tt1(,)=stet 178

tt1(3,3)=1. tt1(4,4)=stet tt1(4,5)=sntet tt1(5,4)=-sntet tt1(5,5)=stet tt1(6,6)=1. tt1(7,7)=1. tt1(8,8)=stet tt1(8,9)=-sntet tt1(9,8)=sntet tt1(9,9)=stet tt1(1,1)=1. tt1(11,11)=stet tt1(11,1)=sntet tt1(1,11)=-sntet tt1(1,1)=stet tt(1,1)=sbet tt(1,7)=snbet tt(,)=1. tt(3,3)=sbet tt(3,9)=-snbet tt(4,4)=sbet tt(4,1)=snbet tt(5,5)=1. tt(6,6)=sbet tt(6,11)=-snbet tt(7,1)=-snbet tt(7,7)=sbet tt(8,8)=1. tt(9,3)=snbet tt(9,9)=sbet tt(1,4)=-snbet tt(1,1)=sbet tt(11,6)=snbet tt(11,11)=sbet tt(1,1)=1. do 951 k=1,1 do 951 l=1,1 sum=. do 91 m=1,1 91 sum=sum+tt(k,m)*tt1(m,l) 951 tt4(k,l)=tt4(k,l)+sum C ESE 179

gama=xkont**+ykont** gama=dsqrt(gama) stet=xkont/gama sntet=ykont/gama snbet=zkont/xl(i) sbet=gama/xl(i) tt1(1,1)=stet tt1(1,)=sntet tt1(,1)=-sntet tt1(,)=stet tt1(3,3)=1. tt1(4,4)=stet tt1(4,5)=sntet tt1(5,4)=-sntet tt1(5,5)=stet tt1(6,6)=1. tt1(7,7)=1. tt1(8,8)=stet tt1(8,9)=-sntet tt1(9,8)=sntet tt1(9,9)=stet tt1(1,1)=1. tt1(11,11)=stet tt1(11,1)=sntet tt1(1,11)=-sntet tt1(1,1)=stet tt(1,1)=sbet tt(1,7)=snbet tt(,)=1. tt(3,3)=sbet tt(3,9)=-snbet tt(4,4)=sbet tt(4,1)=snbet tt(5,5)=1. tt(6,6)=sbet tt(6,11)=-snbet tt(7,1)=-snbet tt(7,7)=sbet tt(8,8)=1. tt(9,3)=snbet tt(9,9)=sbet tt(1,4)=-snbet tt(1,1)=sbet 18

tt(11,6)=snbet tt(11,11)=sbet tt(1,1)=1. do 971 k=1,1 do 971 l=1,1 sum=. do 91 m=1,1 91 sum=sum+tt(k,m)*tt1(m,l) 971 tt4(k,l)=tt4(k,l)+sum ENDIF return end ******************************************************************* ********* subroutine hava(itr,padi,em,bw,h,pp,as,asp,xmr,epsto, * knum,x,iel,ind,at1,at,nel,ielt,aty,bj,nd,ymcr,aty,atmy) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension em(nel),bw(nel),h(nel),pp(nel),as(nel),asp(nel), * xmr(nel),epsto(nel),x(nd,3),at1(nel),at(nel),aty(nel), * bj(nel),ielt(nel,11),knum(nel,1),ymcr(ne),aty(ne), * atmy(nel) harater*8 padi if(itr.eq.) then write(9,1) padi 1 format('resuts OF THE INEAR ANAYSIS FOR',/,a8,/) iii=9 else write(8,) padi format('resuts OF THE ANAYSIS CONSIDERING MEMBERS IN A *CRACKED STATE FOR',/,a8,/) iii=8 write(iii,3) 3 format(//,' JOINT COORDINATES',/, * /,' JOINT X Y Z',/, * 5('-'),/) 181

do 51 i=1,ind write(iii,4) i,x(i,1),x(i,),x(i,3) 4 format(1i5,3f15.3) 51 ontinue write(iii,6) 6 format(//,' MEMBER IDENTIFICATION AND KODE NUMBERS',/, * /,' MEMBER I J ',1x,'CODE NUMBERS ',/, * 85('-'),/) do 71 i=1,iel write(iii,8) i,ielt(i,1),ielt(i,),(knum(i,j),j=1,1) 8 format(1i7,x,i7,x,1i5) 71 ontinue write(iii,9) 9 format(//,'members CROSS SECTIONS ',/, * /,' MEMBER BW H COVER AS' *,' ASP',/,58('-'),/) do 474 i=1,iel write(iii,11) i,bw(i),h(i),pp(i),as(i),asp(i) 11 format(1i5,3x,5f1.3) 474 ontinue write(iii,1) 1 format(///,/, * /,' MEMBER IG ICR MCR' *,' EPSTO EM ATY BJ ',/,91('-'),/) do 13 i=1,iel write(iii,14) i,at1(i),at(i),xmr(i),epsto(i),em(i),aty(i), * ATY(I),YMCR(I),bj(i),atmy(i) 14 format(1i5,x,1e1.3) 13 ontinue return end ******************************************************************* **** subroutine bansol(a,b,neq,nbw,nd) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension a(nd,nd),b(nd) nt=neq+1 n1=neq-1 do k=1,n1 18

nk=min(nbw,nt-k) do 1 i=,nk 1=a(k,i)/a(k,1) i1=k+i-1 do 9 j=i,nk j1=j-i+1 9 a(i1,j1)=a(i1,j1)-1*a(k,j) a(k,i)=1 1 ontinue ontinue do 1 k=1,n1 nk=min(nbw,nt-k) do 5 i=,nk i1=k+i-1 b(i1)=b(i1)-a(k,i)*b(k) 5 ontinue 1 b(k)=b(k)/a(k,1) b(neq)=b(neq)/a(neq,1) do n=n1,1,-1 nk=min(nbw,nt-n) do k=,nk b(n)=b(n)-a(n,k)*b(n+k-1) ontinue return end ******************************************************************* ****** subroutine ndisp(nd,ind,yuk,nkod,mskod,x,model,model, * 1,,nel,n,itr) impliit real*8 (a-h,o-z) harater*1 model,model dimension nkod(nd,6),mskod(nd),x(nd,3),yuk(nd),adisp(6) do 5145 io=1,6 5145 adisp(io)=. if(itr.eq.) then id=9 else id=8 write(id,'(//,''modes '',/)') if(model.eq.'aci') then write(id,1) MODE,C1 1 format('effec. MOM. OF INERTIA :',1a15,' p=',1f1.,/) elseif(model.eq.'ceb') then 183

write(id,11) MODE,C1,C 11 format('effec. OF MOM. INERTIA :',1a15,' BETA1=',1f1., * ' BETA=',1f1.,/) write(id,'(''effective SHEAR MODUUS:'',1a15)') MODE write(id,*) 'AM: A-MAHAIDI' write(id,*) 'CDP:CODEIN AND DEI POI' write(id,*) 'YS : YUZUGUU AND SCHNOBRICH' write(id,3) ITR 3 format(1x,/,'number OF ITERATION :',1x,i4) write(id,'(/)') write(id,'('' JOINT DISPACEMENT'',/)') write(id,*) 'JOINT UX UY UZ * RX RY RZ' write(id,*) '---------------------------------------------------- *-----------------------------' do 516 io=1,ind do 5155 jo=1,6 if(nkod(io,jo).ne.) then adisp(jo)=yuk(nkod(io,jo)) else adisp(jo)=. 5155 ontinue d1mi=. dmi=. d3mi=. do 5165 ims=1,ind if(mskod(ims).ne.) then if(x(io,3).eq.x(mskod(ims),3)) then if(nkod(mskod(ims),1).ne.) then d1mi=yuk(nkod(mskod(ims),1)) if(nkod(mskod(ims),).ne.) then dmi=yuk(nkod(mskod(ims),)) if(nkod(mskod(ims),6).ne.) then d3mi=yuk(nkod(mskod(ims),6)) dxi=x(io,1) dyi=x(io,) dxmi=x(mskod(ims),1) 184

dymi=x(mskod(ims),) adisp(1)=d1mi-(dyi-dymi)*d3mi adisp()=dmi+(dxi-dxmi)*d3mi adisp(6)=d3mi 5165 ontinue write(id,517) io,(real(adisp(jo)),jo=1,6) 517 format(1x,i4,6(1x,e1.5)) 516 ontinue return end ******************************************************************* ******* subroutine bfore(iel,ielt,x,knum,nd,nel,yuk,yyuk,el1,i, * tt4) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension x(nd,3),ielt(nel,11),knum(nel,1),bb(6,6), * erm(1,1),yyuk(nel),bbin(6,6),yuk(nd),eldis(1),elyv(1), * elyuk1(6),elyuk(1),el1(nel,1),tt4(1,1),y4(1) do 19 j=1,1 do 19 k=1,1 19 read(7,*) erm(j,k) do 39 j=1,1 39 read(7,*) elyv(j) do 111 i1=1,6 do 111 j1=1,6 if(i1.eq.j1) then bb(i1,j1)=1. else bb(i1,j1)=. 111 ontinue do 115 k=1,1 elyuk(k)=. 115 eldis(k)=. do 115 j=1,1 l=knum(i,j) if(l.eq.) goto 115 eldis(j)=yuk(l) 185

115 ontinue isw= ii=ielt(i,1) jj=ielt(i,) iii=ielt(i,3) jjj=ielt(i,4) xi=x(ii,1) xj=x(jj,1) yi=x(ii,) yj=x(jj,) if(iii.ne.) then isw=1 xmi=x(iii,1) xmj=x(jjj,1) ymi=x(iii,) ymj=x(jjj,) if(isw.eq.1) then bb(3,1)=ymi-yi bb(3,)=xi-xmi bb(6,4)=ymj-yj bb(6,5)=xj-xmj all inverse(bb,bbin,6) do 1175 k=1,1 sum=. do 116 j=1,1 116 sum=sum+erm(k,j)*eldis(j) 1175 elyuk(k)=sum if(isw.eq.1) then do 1185 k=1,6 sum=. do 118 j=1,6 118 sum=sum+bbin(k,j)*elyuk(j) 1185 elyuk1(k)=sum do 119 k=1,6 119 elyuk(k)=elyuk1(k) 186

if(yyuk(i).ne..) then elyuk(7)=elyuk(7)-elyv(7) elyuk(8)=elyuk(8)-elyv(8) elyuk(9)=elyuk(9)-elyv(9) elyuk(1)=elyuk(1)-elyv(1) elyuk(11)=elyuk(11)-elyv(11) elyuk(1)=elyuk(1)-elyv(1) do 1318 m3=1,1 1318 y4(m3)=. do 813 j5=1,1 sum=. do 818 k5=1,1 818 sum=sum+tt4(j5,k5)*elyuk(k5) 813 y4(j5)=sum+y4(j5) do 1189 k=1,1 el1(i,k)=y4(k) 1189 ontinue return end ******************************************************************* ******* subroutine inverse(aa,y,idim) impliit real*8 (a-h,o-z) using U deomposition dimension aa(idim,idim),y(idim,idim),indx(1) np=idim nl=idim do 1 il=1,nl do 11 j=1,nl y(il,j)=. 11 ontinue y(il,il)=1. 1 ontinue do U deomposition all ludmp(aa,nl,np,indx,dd) determine the inverse matrix do 13 j=1,nl all lubksb(aa,nl,np,indx,y(1,j)) 187

13 ontinue return end ******************************************************************* ******** subroutine ludmp(aa,nl,np,indx,dd) impliit real*8 (a-h,o-z) parameter (nmax=1,tiny=1.e-) dimension aa(np,np),indx(1),vv(nmax) dd=1. do 1 il=1,nl aamax=. do 11 j=1,nl if(abs(aa(il,j)).gt.aamax) aamax=abs(aa(il,j)) 11 ontinue if(aamax.eq..) pause 'singular matrix.' vv(il)=1./aamax 1 ontinue do 19 j=1,nl if(j.gt.1) then do 14 il=1,j-1 sum=aa(il,j) if(il.gt.1) then do 13 k=1,il-1 sum=sum-aa(il,k)*aa(k,j) 13 ontinue aa(il,j)=sum 14 ontinue aamax=. do 16 il=j,nl sum=aa(il,j) if(j.gt.1) then do 15 k=1,j-1 sum=sum-aa(il,k)*aa(k,j) 15 ontinue aa(il,j)=sum dum=vv(il)*abs(sum) if(dum.ge.aamax) then imax=il aamax=dum 16 ontinue if(j.ne.imax) then 188

do 17 k=1,nl dum=aa(imax,k) aa(imax,k)=aa(j,k) aa(j,k)=dum 17 ontinue dd=-dd vv(imax)=vv(j) indx(j)=imax if(j.ne.nl) then if(aa(j,j).eq..) aa(j,j)=tiny dum=1./aa(j,j) do 18 il=j+1,nl aa(il,j)=aa(il,j)*dum 18 ontinue 19 ontinue if(aa(nl,nl).eq.) aa(nl,nl)=tiny return end ******************************************************************* ******* subroutine lubksb(aa,nl,np,indx,b) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension aa(np,np),indx(1),b(nl) ii= do 1 il=1,nl ll=indx(il) sum=b(ll) b(ll)=b(il) if(ii.ne.) then do 11 j=ii,il-1 sum=sum-aa(il,j)*b(j) 11 ontinue elseif(sum.ne..) then ii=il b(il)=sum 1 ontinue do 14 il=nl,1,-1 sum=b(il) if(il.lt.nl) then do 13 j=il+1,nl sum=sum-aa(il,j)*b(j) 13 ontinue 189

b(il)=sum/aa(il,il) 14 ontinue return end ******************************************************************* ******** subroutine ekle(nkod,nel,nd,ind,dyuk,yuk) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension nkod(nd,6),dyuk(nd,6),yuk(nd) do 63 i=1,ind do 63 j=1,6 if(dyuk(i,j).ne..) then yuk(nkod(i,j))=dyuk(i,j) 63 ontinue return end ******************************************************************* ******** subroutine kontrol1(nel,i,xmr,el1,yyuk,xksi,kodb,kod, * xl,tek,ai) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension xmr(nel),el1(nel,1),yyuk(nel),xksi(nel,6), * kodb(nel,5),xl(nel),tek(nel),ai(nel) kod= do 1 j=1,6 1 xksi(i,j)=. do j=1,5 kodb(i,j)= if(yyuk(i).eq..) then if(tek(i).eq...and.el1(i,7).eq..) then if(dabs(el1(i,8)).ge.xmr(i)) then kod=1 xksi(i,6)=1. kodb(i,5)=1 return else kod= return elseif(tek(i).eq...and.el1(i,7).ne..) then 19

x3=(-el1(i,8)-xmr(i))/el1(i,7) x4=(-el1(i,8)+xmr(i))/el1(i,7) if(x3.lt...or.x3.gt.xl(i)) x3=. if(x4.lt...or.x4.gt.xl(i)) x4=. x1=. x=. elseif(tek(i).ne..) then x1=(-el1(i,8)-xmr(i))/el1(i,7) x=(-el1(i,8)+xmr(i))/el1(i,7) if(x1.lt...or.x1.gt.ai(i)) x1=. if(x.lt...or.x.gt.ai(i)) x=. x3=(-el1(i,8)-xmr(i)+tek(i)*ai(i))/(el1(i,7)+tek(i)) x4=(-el1(i,8)+xmr(i)+tek(i)*ai(i))/(el1(i,7)+tek(i)) if(x3.lt.ai(i).or.x3.gt.xl(i)) x3=. if(x4.lt.ai(i).or.x4.gt.xl(i)) x4=. else delta=el1(i,7)**-.*yyuk(i)*(el1(i,8)-xmr(i)) deltat=(el1(i,7)+tek(i))**-.*yyuk(i) * *(el1(i,8)-xmr(i)-tek(i)*ai(i)) if(delta.lt...and.tek(i).eq..) then x1=. x=. elseif(delta.lt...and.tek(i).ne..) then if(deltat.lt..) then x1=. x=. else x1=-((el1(i,7)+tek(i))+dsqrt(deltat))/yyuk(i) x=-((el1(i,7)+tek(i))-dsqrt(deltat))/yyuk(i) if(x1.lt.ai(i)) x1=. if(x.lt.ai(i)) x=. elseif(delta.ge...and.tek(i).eq..) then x1=-(el1(i,7)+dsqrt(delta))/yyuk(i) x=-(el1(i,7)-dsqrt(delta))/yyuk(i) elseif(delta.ge...and.tek(i).ne..) then x1=-(el1(i,7)+dsqrt(delta))/yyuk(i) x=-(el1(i,7)+dsqrt(delta))/yyuk(i) if(x1.gt.ai(i)) then if(deltat.lt..) then x1=. else 191

x1=-((el1(i,7)+tek(i))+dsqrt(deltat))/yyuk(i) if(x1.lt.ai(i)) x1=. if(x.gt.ai(i)) then if(deltat.lt..) then x=. else x=-((el1(i,7)+tek(i))-dsqrt(deltat))/yyuk(i) if(x.lt.ai(i)) x=. if(x1.lt...or.x1.gt.xl(i)) x1=. if(x.lt...or.x.gt.xl(i)) x=. delta=el1(i,7)**-.*yyuk(i)*(el1(i,8)+xmr(i)) deltat=(el1(i,7)+tek(i))**-.*yyuk(i) * *(el1(i,8)+xmr(i)-tek(i)*ai(i)) if(delta.lt...and.tek(i).eq..) then x3=. x4=. elseif(delta.lt...and.tek(i).ne..) then if(deltat.lt..) then x3=. x4=. else x3=-((el1(i,7)+tek(i))+dsqrt(deltat))/yyuk(i) x4=-((el1(i,7)+tek(i))-dsqrt(deltat))/yyuk(i) if(x3.lt.ai(i)) x3=. if(x4.lt.ai(i)) x4=. elseif(delta.ge...and.tek(i).eq..) then x3=-(el1(i,7)+dsqrt(delta))/yyuk(i) x4=-(el1(i,7)-dsqrt(delta))/yyuk(i) elseif(delta.ge...and.tek(i).ne..) then x3=-(el1(i,7)+dsqrt(delta))/yyuk(i) x4=-(el1(i,7)-dsqrt(delta))/yyuk(i) if(x3.gt.ai(i)) then if(deltat.lt..) then x3=. else 19

x3=-((el1(i,7)+tek(i))+dsqrt(deltat))/yyuk(i) if(x3.lt.ai(i)) x3=. if(x4.gt.ai(i)) then if(deltat.lt..) then x4=. else x4=-((el1(i,7)+tek(i))-dsqrt(deltat))/yyuk(i) if(x4.lt.ai(i)) x4=. if(x3.lt...or.x3.gt.xl(i)) x3=. if(x4.lt...or.x4.gt.xl(i)) x4=. xksi(i,1)=. xksi(i,)=x1/xl(i) xksi(i,3)=x/xl(i) xksi(i,4)=x3/xl(i) xksi(i,5)=x4/xl(i) xksi(i,6)=1. ibs=1 do 3 j=1,5 if(xksi(i,j).ne..) ibs=ibs+1 3 ontinue do 4 j=1,5 do 5 k=1,5 if(xksi(i,k).gt.xksi(i,k+1)) then temp=xksi(i,k+1) xksi(i,k+1)=xksi(i,k) xksi(i,k)=temp 5 ontinue 4 ontinue if(ibs.eq.1) then if(dabs(el1(i,8)).gt.xmr(i)) then kod=1 kodb(i,5)=1 193

return else kod= return elseif(ibs.eq.) then kod=1 if(dabs(el1(i,8)).gt.xmr(i)) then kodb(i,4)=1 kodb(i,5)= return else kodb(i,4)= kodb(i,5)=1 return elseif(ibs.eq.3) then kod=1 if(dabs(el1(i,8)).gt.xmr(i)) then kodb(i,3)=1 kodb(i,4)= kodb(i,5)=1 return else kodb(i,3)= kodb(i,4)=1 kodb(i,5)= return elseif(ibs.eq.4) then kod=1 if(dabs(el1(i,8)).gt.xmr(i)) then kodb(i,)=1 kodb(i,3)= kodb(i,4)=1 kodb(i,5)= return else kodb(i,)= kodb(i,3)=1 kodb(i,4)= kodb(i,5)=1 return else kod=1 194

kodb(i,1)=1 kodb(i,)= kodb(i,3)=1 kodb(i,4)= kodb(i,5)=1 return end ******************************************************************* ********** subroutine kontrol3(ne,i,ymr,el1,yksi,kodby,kod3,x) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension ymr(ne),el1(ne,1),yksi(ne,6),kodby(ne,5), * X(NE) C kod3= do 11 j=1,6 11 yksi(i,j)=. do 1 j=1,5 1 kodby(i,j)=. C if(el1(i,).eq..) then if(dabs(el1(i,3)).ge.ymr(i)) then kod3=1 yksi(i,6)=1. kodby(i,5)=1. return else kod3= return else y3=(el1(i,3)-ymr(i))/el1(i,) y4=(el1(i,3)+ymr(i))/el1(i,) if(y3.lt...or.y3.gt.xl(i)) y3=. if(y4.lt...or.y4.gt.xl(i)) y4=. y11=. y=. yksi(i,1)=. yksi(i,)=y11/xl(i) yksi(i,3)=y/xl(i) yksi(i,4)=y3/xl(i) yksi(i,5)=y4/xl(i) yksi(i,6)=1. C 195

ibs1=1 do 13 j=1,5 if(yksi(i,j).ne..) ibs1=ibs1+1 13 ontinue C do 14 j=1,5 do 15 k=1,5 if(yksi(i,k).gt.yksi(i,k+1)) then temp1=yksi(i,k+1) yksi(i,k+1)=yksi(i,k) yksi(i,k)=temp1 15 ontinue 14 ontinue C if(ibs1.eq.1) then if(dabs(el1(i,3)).gt.ymr(i)) then kod3=1 kodby(i,5)=1 return else kod3= return elseif(ibs1.eq.) then kod3=1 if(dabs(el1(i,3)).gt.ymr(i)) then kodby(i,4)=1 kodby(i,5)= return else kodby(i,4)= kodby(i,5)=1 return elseif(ibs1.eq.3) then kod3=1 if(dabs(el1(i,3)).gt.ymr(i)) then kodby(i,3)=1 kodby(i,4)= kodby(i,5)=1 return else kodby(i,3)= kodby(i,4)=1 kodby(i,5)= 196

return elseif(ibs1.eq.4) then kod3=1 if(dabs(el1(i,3)).gt.ymr(i)) then kodby(i,)=1 kodby(i,3)= kodby(i,4)=1 kodby(i,5)= return else kodby(i,)= kodby(i,3)=1 kodby(i,4)= kodby(i,5)=1 return else kod3=1 kodby(i,1)=1 kodby(i,)= kodby(i,3)=1 kodby(i,4)= kodby(i,5)=1 return end C******************************************************************* ********** subroutine kontrol(nel,i,el1,el,kod1) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension el1(nel,1),el(nel,1) kod1= do 1 j=1,1 if(dabs(el1(i,j)).lt..1) then terim=(dabs(el1(i,j))-dabs(el(i,j))) else terim=(dabs(el1(i,j))-dabs(el(i,j)))/dabs(el1(i,j)) if(dabs(terim).gt..5) then kod1=1 goto 1 ontinue return 197

end ******************************************************************* **** subroutine ukuv(nel,i,el,kod,id,itr,ielt,kod3) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension el(nel,1),ielt(nel,11) if(i.eq.1) then write(id,'(/)') write(id,'('' MEMBER FORCES '',/)') if(itr.ne.) then write(id,*) ' (PS: (*) INDICATES CRACKED MEMBERS)' write(id,'(/)') write(id,*) ' MEMBER MI MJ VI * VJ VYI VYJ NI NJ' write(id,*)'----------------------------------------------- *--------------------------------------------------------' if(kod.eq..and.kod3.eq.) then write(id,1) i,el(i,8),el(i,1),el(i,7),el(i,1),el(i,), * el(i,5),el(i,1),el(i,4),e(i,3),e(i,6) 1 format(1i5,3x,1e1.3) else write(id,) i,el(i,8),el(i,1),el(i,7),el(i,1),el(i,), * el(i,5),el(i,1),el(i,4),e(i,3),e(i,6) format(1i5,'(*)',1e1.3) return end ******************************************************************* ******** subroutine tran(y,tt3) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension y(1),tt3(1,1),r1(1) do 887 k=1,1 r1(k)=. 887 ontinue do 881 j=1,1 sum=. do 88 k=1,1 198

88 sum=sum+tt3(k,j)*y(k) 881 r1(j)=r1(j)+sum do 667 l1=1,1 y(l1)=r1(l1) 667 ontinue return end ****************************************************************** ********** subroutine ng(ngroup,nsw) harater*1 lr(8) read(5,4) lr 4 format(8a1) bakspae(5) ngroup= nsw= do 15 io=1,8 if(lr(io).eq.':') nsw=1 if(lr(io).eq.' ') goto 15 if(io.eq.1) goto 117 if(lr(io-1).ne.' ') goto 15 117 ngroup=ngroup+1 15 ontinue return end ******************************************************************* *********** subroutine integy(i,jj,a1,b1,ftsiy,ftsjy,x,ne,ymr,el1, * model,1,,tt11y,tt1y,sy) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension el1(ne,1) harater*1 model if(a1.eq..) a1=.1 j11=jj-1 h1=b1-a1 kk1=1 t1=(a1**j11*ftsiy+b1**j11*ftsjy)*(b1-a1) xm1=. 35 t1=(t1+xm1)/. xm1=. 199

11=a1-h1/. do 8 k1=1,kk1 11=11+h1 tty=ymr/dabs(el1(i,3)-el1(i,)*11*x) if(model.eq.'aci') then ftsy=tty**1*tt11y/(1+tty**1*tt11y) elseif(model.eq.'ceb') then ftsy=1**tty***tt1y xm1=xm1+11**j11*ftsy*h1 8 ontinue sy=(t1+.*xm1)/3. h1=h1/. kk1=kk1* if(dabs(t1-xm1)/dabs(sy).gt..1) goto 35 return end C******************************************************************* *********** subroutine intgky(i,jj,a1,b1,fssiy,fssjy,x,ne,epsto,el1, * model,yh,aty,em,sy,er) impliit real*8 (a-h,o-z) dimension el1(ne,1) harater*1 model if(a1.eq..) a1=.1 j11=jj-1 h1=b1-a1 kk1=1 t1=(a1**j11*fssiy+b1**j11*fssjy)*(b1-a1) xm1=. 35 t1=(t1+xm1)/. xm1=. 11=a1-h1/. do 8 k1=1,kk1 11=11+h1 ymom=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*11*x) eps1y=(((ymom*yh)/aty)-er)/em tk3y=eps1y/epsto if(model.eq.'am') then fssy=tk3y/.4

elseif(model.eq.'cdp') then fssy=1./(.4*(1.-5.*eps1y)) elseif(model.eq.'ys') then fssy=4. xm1=xm1+11**j11*fssy*h1 8 ontinue sy=(t1+.*xm1)/3. h1=h1/. kk1=kk1* if(dabs(t1-xm1)/dabs(sy).gt..1) goto 35 return end C******************************************************************* *********** *********moment alana ba]l" integraller************* subroutine intuny(i,a,b,ai,xl,nel,el1,yyuk,tek,suny,xmy1,xmy) IMPICIT REA*8 (A-H,O-Z) DIMENSION E1(NE,1) a=a*xl b=b*xl IF(A.EQ..) A=.1 H=B-A KK=1 T=(xmy1+xmy)*(B-A) XM=. 5 T=(T+XM)/. XM=. C=A-H/. DO K=1,KK C=C+H IF(C.T.AI) THEN xmyy=dabs(el1(i,8)+yyuk*()**/.+el1(i,7)*) ESE xmyy=dabs(el1(i,8)+yyuk*()**/. *+(el1(i,7)+tek)*-tek*ai) ENDIF XM=XM+xmyy*H CONTINUE Suny=(T+.*XM)/3. H=H/. KK=KK* 1

IF(DABS(T-XM)/DABS(Suny).GT..1) GOTO 5 RETURN END subroutine intry(i,a,b,ai,xl,nel,el1,yyuk,tek,sy,xmy1,xmy) IMPICIT REA*8 (A-H,O-Z) DIMENSION E1(NE,1) a=a*xl b=b*xl IF(A.EQ..) A=.1 H=B-A KK=1 T=(xmy1+xmy)*(B-A) XM=. 5 T=(T+XM)/. XM=. C=A-H/. DO K=1,KK C=C+H IF(C.T.AI) THEN xmyy=dabs(el1(i,8)+yyuk*()**/.+el1(i,7)*) ESE xmyy=dabs(el1(i,8)+yyuk*()**/. *+(el1(i,7)+tek)*-tek*ai) ENDIF XM=XM+xmyy*H CONTINUE Sy=(T+.*XM)/3. H=H/. KK=KK* IF(DABS(T-XM)/DABS(Sy).GT..1) GOTO 5 RETURN END subroutine intunz(i,a1,b1,xl,nel,el1,sunz,xmz1,xmz) IMPICIT REA*8 (A-H,O-Z) DIMENSION E1(NE,1)

a1=a1*xl b1=b1*xl IF(A1.EQ..) A1=.1 H=B1-A1 KK=1 T=(xmz1+xmz)*(B1-A1) XM=. 5 T=(T+XM)/. XM=. C=A1-H/. DO K=1,KK C=C+H xmzz=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*) XM=XM+xmzz*H CONTINUE Sunz=(T+.*XM)/3. H=H/. KK=KK* IF(DABS(T-XM)/DABS(Sunz).GT..1) GOTO 5 RETURN END subroutine intrz(i,a1,b1,xl,nel,el1,sz,xmz1,xmz) IMPICIT REA*8 (A-H,O-Z) DIMENSION E1(NE,1) a1=a1*xl b1=b1*xl IF(A1.EQ..) A1=.1 H=B1-A1 KK=1 T=(xmz1+xmz)*(B1-A1) XM=. 5 T=(T+XM)/. XM=. C=A1-H/. DO K=1,KK C=C+H xmzz=dabs(el1(i,3)-el1(i,)*) XM=XM+xmzz*H 3

CONTINUE Sz=(T+.*XM)/3. H=H/. KK=KK* IF(DABS(T-XM)/DABS(Sz).GT..1) GOTO 5 RETURN END 4