.0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0 59 67
.0.0 İstatistik Parametreler YER ÖLÇÜLERİ Aritmetik ortalama Medyan Mod Tartılı ortalama Geometrik ortalama Kareli ortalama DAĞILIŞ ÖLÇÜLERİ Değişim genişliği Varyans ve standart sapma Değişim katsayısı Eğrilik (Çarpıklık) katsayısı Diklik (Kurtosis) katsaysısı Yer Ölçüleri Aritmetik ortalama, bir seriyi oluşturan gözlem değerleri toplamının, gözlem sayısına oranı olarak tanımlanır. Seriyi oluşturan gözlem değerleri,,.. n aritmetik ortalamada gösterilirse tanım uyarınca, ile Ortalama: = i i= Serideki aşırı değerlerden doğrudan etkilenir. Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıfırdır.
.0.0 Yer Ölçüleri Tartılı aritmetik ortalama: Eğer bir seriyi oluşturan gözlem değerleri arasında önem derecesine göre farklar varsa ve bu farklar ortalama hesabında göz önüne alınmak isteniyorsa böyle durumlarda tartılı ortalama hesaplanır. Seriyi oluşturan gözlem değerleri,,.. n, t tartı değerini, aritmetik ortalamayı gösterir, t de tartılı Oranların ortalaması, ortalamaların ortalaması ve baz bileşik indeksler, tartılı ortalama kullanılarak hesaplanır. Yer Ölçüleri Geometrik ortalama : Seriyi oluşturan gözlem değerlerinin çarpımının gözlem değeri sayısına eşit mertebeden kökü olarak tanımlanır. Seriyi oluşturan gözlem değerleri,,.. n, G de geometrik ortalamayı gösterirse, Eğer bir seriyi oluşturan gözlem değerleri, bir önceki gözlem değerine bağlı olarak değişiyor ve değişimin hızı belirlenmek isteniyorsa bu durumda geometrik ortalama hesaplanır. Uygulamada milli gelir, nüfus, bileşik faiz ve baz bileşik indekslerin hesaplanmasında geometrik ortalama kullanılır. 3
.0.0 Yer Ölçüleri Kareli ortalama: Seriyi oluşturan gözlem değerlerinin karelerinin toplamının gözlem sayısına oranının kare kökü olarak tanımlanır. Kareli ortalama K ile gösterilir. Görüleceği gibi, kareli ortalama da tüm gözlem değerlerinin büyüklüklerinden etkilenen, duyarlı bir ortalamadır. Yer Ölçüleri Medyan: İstatistik serisinde tam ortaya düşen ve dolayısıyla seriyi iki eşit kısma bölen gözlem değerine denir. Duyarlı olmayan ortalamalar, seriyi oluşturan tüm gözlem değerlerinin büyüklüklerinden etkilenmeyen ortalamalardır Serideki eleman sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması Serideki eleman sayısı tekse tam ortadaki değer 6 0 4 6 0 3 5 7 8 0 (5+7)/= 6 4
.0.0 Medyan grafik yardımıyla da hesaplamak mümkündür. Bunun için -den az ya da den çok eğrilerinden birisinin grafiği çizilir. Sonra dik eksende frekanslar toplamının yarısı belirlenir ve bu noktadan yatay eksene bir paralel çizilir. Bu doğrunun birikimli serinin grafiğini kestiği noktanı apsis değeri medyanı belirler. Yer Ölçüleri Mod: Bir seride en çok tekrarlanan değere mod ad verilir. Tanım uyarınca basit serilerde ve frekans serilerinde mod, en çok tekrarlanan gözlem değerinin belirlenmesi ile kolayca hesaplanır. Bir seride birden fazla Mod bulunabilir 6 0 4 6 0 5
.0.0 Dağılış Ölçüleri Değişim Aralığı: Seriyi oluşturan en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark olarak tanımlanır. Değişim aralığı kısaca D.A. ile gösterilir. Standart sapma: bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının kareli ortalaması olarak tanımlanır ve σ (sigma) ile gösterilir. Standart sapma, uygulamada matematiksel işlemlere elverişli olması nedeniyle en çok kullanılan değişkenlik ölçüsüdür. Bazen σ yerine değişkenlik ölçüsü olarak σ kullanılır. σ ye varyans adı verilir. (Standart sapma, varyansın pozitif kare köküdür.) 6
.0.0 Dağılış Ölçüleri Kareli ortalamanın karesiyle aritmetik ortalamanın karesi arasındaki fark, varyansa eşittir. Başka bir ifadeyle, dir. Bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin her birine sabit bir sayı eklenir ya da çıkartılırsa, serinin standart sapması değişmez. Bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin tümü c gibi bir sayıyla çarpılırsa elde edilen serinin standart sapması, ilk serinin standart sapmasının c katı olur. Dağılış Ölçüleri Varyans: s ² > s ² s = Var(X) = ( ) i= i 7
.0.0 Dağılış Ölçüleri Değişim Katsayısı: Buraya kadar ele alınan değişkenlik ölçüleri, mutlak değişkenlik ölçüleridir. Bu nedenle farklı ölçü birimlerine göre oluşturulan serilerin değişkenlikleri, bu ölçülerle karşılaştırılamaz. Ayrıca mutlak değişkenlik ölçüleri, seriyi oluşturan gözlem değerlerinin büyüklüklerinin de etkisi altındadır. y. Eğer, sadece standart sapmalarla bu iki seri karşılaştırılırsa, y serisindeki değişkenliğin serisine göre daha büyük olduğu ifade edilecektir. Dağılış Ölçüleri Eğer karşılaştırılan serilerin standart sapmaları ilişkin oldukları serilerin ortalama değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilirse, karşılaştırmalarda ölçü birimlerindeki farklılıklar ve gözlem değerlerinin büyüklüğünden oluşan sakıncalar, giderilebilir. Bu yaklaşımla hesaplanan değişkenlik ölçüsüne, değişim katsayısı adı verilir ve kısaca D.K. ile gösterilir.. 7386 D.K.( ) = 00 = %. 066 3. 9373 D.K.( y ) = 00 = % 0. 946 57 Görüleceği gibi, gerçekte X serisindeki değişkenlik, Y serisine göre daha fazladır. 8
.0.0 Dağılış Ölçüleri Değişim (Varyasyon) katsayısı aşağıdaki durumlar için kullanılır. Farklı popülasyonlarda aynı özellikler varyasyon bakımından karşılaştırılacağı zaman kullanılır. Aynı popülasyonda farklı özellikler varyasyon bakımından karşılaştırılacağı zaman kullanılır. Örneğin, aynı sınıfta istatistik ve kimya notları varyasyon bakımından karşılaştırılmak istendiğinde. Varyasyon katsayısı, bir araştırmanın güvenilirliğini kontrol etmek istendiğinde kullanılır. Genellikle varyasyon katsayısı %30 un üzerinde olan araştırma neticelerine güvenilmez. Dağılış Ölçüleri Çarpıklık Katsayısı: ormal dağılışın simetriklik ölçüsüdür. C sx = i= ( s ( X i ) ) 3 3 Cs = 0 ise Simetrik Cs > 0 ise Sağa çarpık Cs < 0 ise Sola çarpık Cs = 0 Cs > 0 Cs < 0 9
.0.0 Dağılış Ölçüleri Kurtosis Katsayısı: ormal dağılış eğrisinin sivrilik veya basıklığını belirlemede kullanılır. k = i= ( s ( X i ) ) 4 4 3 Formülün son terimi olan eksi 3 çok kere basıklık tanımlama formülüne yapılan bir ayarlama olarak açıklanır. Bu ayarlama sayesinde, normal eğrisinin basıklık ölçüsü değeri sıfır olur. k > 0 k < 0 ise gözlemler sivri bir dağılışa, ise gözlemler basık bir dağılışa sahiptir. İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0 59 67 0
.0.0 İstatistik Parametreler Sınıf frekans % frekans Kümülatif frekans % Kümülatif frekans 0-0 9 9 0-30 8 3 7 30-40 8 5 46 40-50 3 7 8 73 50-60 8 0 9 60-70 9 00 0 9 0 9 Ortalama = 0.5 0 4 8 6 Ortalama = 0.5-0.5 =.5 0 0-0.5 = -0.5 9 9-0.5 = -.5-0.5 = 0.5-0.5 =.5 0 0-0.5 = -0.5-0.5 = 0.5 9 9-0.5 = -.5 Ortalama = 0.5-0.5 = -9.5 0 0-0.5 = 9.5-0.5 = -8.5-0.5 = 0.5 4 4-0.5 = 3.5 8 8-0.5 = -.5 6 6-0.5 = -4.5-0.5 =.5 Ortalama = 0.5
.0.0 0 9 0 9 Ortalama = 0.5 0 4 8 6 Ortalama = 0.5 Ortalama = 0.50-0.5 =.5 0 0-0.5 = -0.5 9 9-0.5 = -.5-0.5 = 0.5-0.5 =.5 0 0-0.5 = -0.5-0.5 = 0.5 9 9-0.5 = -.5 Ortalama = 0.5-0.5 = -9.5 0 0-0.5 = 9.5-0.5 = -8.5-0.5 = 0.5 4 4-0.5 = 3.5 8 8-0.5 = -.5 6 6-0.5 = -4.5-0.5 =.5 Ortalama = 0.5 0.50 0.50 Varyans küçük Varyans büyük
.0.0 3 ( ) ( ) 4 ( ) 84-4389 7078 36-6859 303 3 34-583 04976 4 34 36-6 96 5 37 9-7 8 6 45 5 5 65 7 45 5 5 65 8 48 64 5 4096 9 5 33 464 0 59 36 6859 303 67 79 9683 5344 440 896-8688 65704 Ana Kütle = 0000 Örnek Kütle n = 00 3
.0.0 Ortalama Varyans σ Ana Kütle (Populasyon) µ = i = ( µ ) = Var X) = ( i i= i s Örnek = n = Var( X ) = n i i= i= ( ) i Standart Sapma σ = σ s = s = Var( X ) Soru. İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI Bir iş yerinde çalışanların maaşlarına, kişilerin kıdem derecelerine göre aşağıdaki şekilde zam yapılmıştır.acaba bu işyerinde çalışan şahısların tartılı ortalama zam oranı nedir? Kıdem Derecesi Zam Oranı(%) Kişi Sayısı 35.000 40.000 3 40 3.000 4 30 4.000 5 50 5.000 4
.0.0 Soru. Aşağıdaki frekans tablosundan yararlanarak; a) isbi frekansları oluşturunuz. b) Eklemeli frekansları oluşturunuz. c) Histogram ve frekans poligonunu çiziniz. Sınıflar Frekans isbi Frekans Eklemeli Frekans 4-5 den az 5.. 5-6 dan az 0.. 6-7 den az 6.. 7-8 den az 4.. 8-9 dan az 0.. 9-0 den az 5.. 0- den az.. Soru 3. X i = [5,6,7,8,8,8,7,5,5,8,9,0] a) Aritmetik ortalaması nedir? d) Varyasyon katsayısı nedir? b) Varyansı nedir? e) Modu nedir? c) Standart sapması nedir? f) Medyanı nedir? ot: Σ = 86, Σ = 646, n i = 5
.0.0 Soru 4. Aşağıdaki veri seti için medyan, mod, ortalama, varyans, standart sapma, standart hata ve varyasyon katsayısını hesaplayınız. X i =[80, 70, 80, 78, 8, 75, 77, 74, 77, 68] Σ i = 760 ; Σ i = 57.98 6