0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart hata, populasyonve örnek için aşağıdaki formüllerden hesaplanır. A t a b e y M eslek Y ü k s ek O k u l u İstatistik Sunum 6 Öğr.Gör. Şükrü L/O/G/O KAYA www.sukrukaya.org www.themegallery.com Standart hatanın birimi gözlem değerlerin birimi ile aynıdır. Standart Hata Örnek: {,4,6,5,3} değerlerinin standart hatasını hesaplayınız. Şu ana kadar anlatılan dağılış ölçüleri farklı popülasyonlara ait varyasyonu (farklılığı) karşılaştırmada yetersiz kalmaktadır. Örneğin sığırlarda ve koyunlarda canlı ağırlık bakımından varyasyon karşılaştırılmak istense, ayrıca dağılış ölçüsü olarak da standart sapma kullanılsa, sığırların standart sapması koyunlarınkinden her zaman büyük çıkacaktır. Çünkü sığırlardan elde edilen canlı ağırlık değerleri daima cebirsel olarak koyunlarınkinden büyüktür. Bu yüzden bu durumda varyasyon katsayısı kullanılmalıdır. Varyasyon katsayısı aşağıdaki durumlar için kullanılır. a) Farklı popülasyonlarda aynı özellikler varyasyon bakımından karşılaştırılacağı zaman kullanılır (yukarıda verilen örnekte olduğu gibi ). b) Aynı popülasyonda farklı özellikler varyasyon bakımından karşılaştırılacağı zaman kullanılır. Örneğin, aynı sınıfta istatistik ve kimya notları varyasyon bakımından karşılaştırılmak istendiğinde bu istatistik kullanılır. c) Varyasyon katsayısı, bir araştırmanın güvenilirliğini kontrol etmek istendiğinde kullanılır. Genellikle varyasyon katsayısı %30 un üzerinde olan araştırma neticelerine güvenilmez. 3 4

0.04.03 Varyasyon katsayısı % olarak ifade edilip, aşağıdaki formülden hesaplanır. Örnek: A sınıfından rastgele seçilen 7 öğrencinin matematik notları 3, 7, 9, 5, 5, 8, ve B sınıfından rastgele seçilen 0 öğrencinin matematik notları 9, 7,, 6,, 5, 8, 8, 3, 4, olarak tespit edilmiştir. Buna göre matematik notları bakımından A sınıfındaki varyasyon mu B sınıfındaki varyasyon mu daha fazladır, niçin? 5 B sınıfındaki varyasyon A sınıfına göre daha fazladır. Çünkü bu sınıftaki varyasyon katsayısı diğerinden daha büyüktür. 6 Eğrilik Katsayısı Eğrilik katsayısı normal dağılışın simetriklikölçüsüdür. değeri olarak bilinir. Bu değer aşağıdaki formülden hesaplanır. Eğrilik Katsayısı Xi= {5,, 6, 4, 3, 7, } ise eğrilik katsayısını hesaplayarak yorumlayınız? 7 8

0.04.03 Diklik Katsayısı Normal dağılış eğrisinin sivrilik veya basıklığını belirlemede kullanılan ölçüdür. Diklik katsayısı, olarak bilinmekte olup, aşağıdaki formülden hesaplanır. Diklik Katsayısı Örnek:0 öğrencinin istatistik dersinden almış oldukları notlar 45, 56, 73, 38, 4, 67, 89, 9, 96, 3 olarak tespit edilmiştir. Buna göre diklik katsayısını hesaplayarak yorumlayınız? 9 0 KESİKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Kesikli verilerin göstermiş olduğu dağılışa denir. Başlıca kesikli olasılık dağılışları şunlardır: Bernoullidağılışı, Binom dağılışı, Negatif binomialdağılış, Geometrik dağılış, Hipergeometrik dağılış, Poisson dağılışı. Bu bölümde bu dağılışlardan sadece binom dağılışı ve poissondağılışı anlatılacaktır. Çünkü uygulamada daha ziyade bu dağılışlar kullanılmaktadır. Kesikli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına olasılık fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla ilgili olasılıklar hesaplanırken Σ (sigma) işareti kullanılmaktadır. Kesikli özellik gösteren bir olayın, binom dağılışı gösterebilmesi için şu şartların sağlanmış olması gerekir. ) Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. ) Denemede istenen ve istenmeyen şeklinde iki sonucun olması gerekir. 3) İstenen olayın olması olasılığı p ve istenmeyen olayın olması olasılığı q ise p + q = olmalıdır. 4) Denemeler n sayıda tekrarlanabilir olmalıdır. 3

0.04.03 Binom dağılışına ait olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir. R : Kesikli şans değişkeni r : İstenen olayın tekrarlanma sayısı n : Toplam olay sayısı p : İstenen olayın olma olasılığı q : İstenmeyen olayın olma olasılığı Binom dağılışı iki parametreli bir dağılış olup, parametreleri ve dir. Binom dağılışının ortalaması ve varyansı aşağıdaki formülden hesaplanır.... dir. 3 Örnek: 4 Çocuklu bir ailede çocuklardan; a) Hepsinin erkek, b) Hepsinin kız, c) 3 çocuğun erkek, d) En fazla 3 çocuğun erkek e) En az 3 çocuğun erkek olma olasılığını hesaplayınız. f) Dağılışın ortalamasını ve varyansını bulunuz. n=4 P(Erkek) P(Kız) 4 a)hepsinin erkek olma olasılığı; r=4 4 4 4 4! 0!.4! 6 6 0,065 b)hepsinin kız olması hiç erkek olmaması demektir. Dolayısıyla r=0 olur. O halde, 0 4 0 c) 3 çocuğun erkek olma olasılığı 3 4 3 4! 0!.4! 6 6 0,065 4! 3!.! 8 4 6 0,5 5 d) En fazla 3 çocuğun erkek olma olasılığı 3 0 3 4 0,065 0,9375 e) En az 3 çocuğun erkek olma olasılığı 3 3 4 0,50,0650,35 f) Dağılışın ortalamasını ve varyansı.4..4 6 4

0.04.03 Örnek: Bir torbada 8 kırmızı, 4 beyaz top vardır. Rastgele çekilen 3 toptan; a) Hepsinin kırmızı b) sinin kırmızı c) En fazla sinin kırmızı top gelme olasılığını hesaplayınız. n= P(Kırmızı) a) 3 b) P(Beyaz)! 0,300,0000050,0033!.!!!.! 0,44440,000070,0005 c) 0 3 0,00330,9967 7 Poisson Dağılışı Binom dağılışında n değeri oldukça büyük (n sonsuza yaklaşırken), p değeri oldukça küçük (p sıfıra yaklaşırken) olasılık fonksiyonunu kullanarak hesaplama yapmak oldukça zordur. Bu nedenle, bu gibi durumlarda poisson dağılışının olasılık fonksiyonundan yararlanarak olasılık hesaplanır. Poisson dağılışının olasılık fonksiyonu, P. r0,,,! R : Poisson dağılışına ait şans değişkenini, r : İstenen olay sayısını göstermektedir. e : Tabii logaritma tabanı olup, değeri.78 dir. µ : Poisson dağılışının ortalaması olup, µ = n. p değerinden hesaplanır. Poisson dağılışı tek parametreli bir dağılış olup, parametresi µ dür. Ayrıca ortalaması ve varyansı birbirine eşit bir dağılıştır. 8 Poisson Dağılışı Örnek : 0.000 nüfuslu bir kasabada trafik kazası olma olasılığı 0.000 dir. Buna göre bu kasabadan rastgele seçilen sürücülerden; a) Hiçbirinin kaza yapmama olasılığını, b) İkisinin kaza yapma olasılığını, c) En az birinin kaza yapma olasılığını hesaplayınız. d) Dağılışın ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız. n=0.000 p=0,000 µ=n.p=0.000. 0,000 = a) P. P 0. 0,3679!! S u n u m S o n u Teşekkürler b) P.! 0,840 c) P P 0 0,36790,63 d) Poisson dağılışında ortalama ve varyans birbirine eşit olduğu için dağılışın varyansıda olur. Dolayısıyla standart sapması da olur. 9 Öğr.Gör. Şükrü L/O/G/O KAYA www.themegallery.com 0 5