BELÝRLÝ (SINIRLI) ÝNTEGRAL

Blirli Ýntgrl BELÝRLÝ (SINIRLI) ÝNTEGRAL f, fonksiyonu [, ] rlðnd intgrllniln ir fonksiyon, (, ) olsun, ifdsin f() fonksiyonun (, ) rlðndki lirli intgrli vy = v = doðrulr il snrl f() ðrisi il o ksni rsndki kpl ölgnin ln dnir. [, ] rlðndki ln o ksninin üst ksmnd is pozitif, lt ksmnd is ngtiftir. f() d intgrli urdki pozitif v ngtif lnlrn cirsl toplmdr. Bu intgrld y lt snr y üst snr, d intgrl dðiþkni dnir. TEOREM : f : [, ] R v f sürkli fonksiyon olsun, [, ] için F () = f() olmk üzr, F() F() R sys, f fonksiyonunun [, ] rlðndki lirli intgrldir. Burd F() in c sitini klmk grkmz. Çünkü c dim sdlþir. Örnk d = = = f() d = F() c is f()d f()d = F() = F() F() f() Örnk Örnk Örnk Örnk Örnk 6 Örnk 7 Örnk 8 ( ) d = ln ln ln d = = = = = = d ln ln ln =.. = ( ) ( ) ( ) ( ) d = = 8 ( ) 9 = = = sin d = cos [cos cos ] d = rc tn = rc tn rc tn = = l = d =? = 6 = = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = 8

Blirli Ýntgrl = sint is d=cost dt dönüþümün gör intgrlin snrlrn d dðiþtirmmiz grkir. = is = sint t = = is = sint t = / olur. Örnk 9 = d = sin t. cost. dt = cos t dt = ( cos t) dt = (t sint) I= sin.cos d =? u = sin is du = cos d dir. = is u = sin = = / is u = sin / = dir. u BELÝRLÝ ÝNTEGRALÝN ÖZELLÝKLERÝ f v g [, ] rlðnd intgrllniln iki fonksiyon olsun,. f() d = Bun gör int grlin snrlr = sin(. ) ( ) =. = ulunur. l = sin. cos d = u du = = = dür.. f()d = f() d lirli intgrld intgrl snrlrnn yrlri dðiþtirildiðind intgrlin iþrti dðiþir. Örnk Örnk. d = = = < < c olmk üzr c c. f v g [,] rlðnd intgrllnilirs f g d yn rlkt intgrllnilir. [f()g()] d = f() d g() d. f fonksiyonu [,] rlðnd intgrllniliyors f d yn rlkt intgrllnilir. 6. f fonksiyonu [,] rlðnd intgrllniliyors c.f d yn rlkt intgrllnilir. ( )d = vy; f() d = f() d f() d f() d c f() d = c = ( ) = ( )d = ( )d ºklind yzldðn görün. f() d f() d 9

Blirli Ýntgrl 7. f v g fonksiyonu [,] rlðnd intgrllniliyors v [, ] için; Örnk Ýntgrlini hsplylm. Üçüncü özllik grðinc Örnk Ýntgrlini hsplylm. Dördüncü özllik grðinc Örnk Ι= d d Ι= (cos sin ) d = = sin = sin. sin = ( ) = ulunur. d f() is f()d dr. Ι= d d = d cos d sin d = = = 9 Ýntgrlinin dðrini hsplylm. f() g() is f()d g()d cos d Üçüncü özllik v mutlk dðrin tnmndn, d = ( )d ( )d Uyr : f() fonksiyonu sürkli v çift fonksiyon is; Uyr : f() fonksiyonu sürkli v tk fonksiyon is; Örnk 6 d = f()d = dr. intgrlini hsplylm. ( ) d = = = 9 9 = 8 ulunur. d = d = =.. = 8 ulunur. f()d = f() d dir =.... = ( ) = = ulunur. O hld y = çift fonksiyon olduðundn, yndki þkildnd görüldüðü gii trl iki

Blirli Ýntgrl ln iririn þittir. Uyr d vriln formül doðrudur. y= d = t.t.dt t = drsk t.dt = d t = t.dt =. Örnk 7 sin d intgrlini hsplylm. ( ) = 8 = [ ] = f() = sin fonksiyonu tk fonksiyonludur. sin d = cos = [cos cos( )] = [cos cos ] = dr. Örnk. d intgrlini hsplylm. y = sin fonksiyonu tk fonksiyon olduðundn þkild görüln pozitif v ngtif lnlr iririn þittir v toplmlrd sfrdr. Örnk 8 ( )d = y =. () = = I =. d =. d u = drsk du = d u du Dðiþkn dðiþtirildiktn sonr intgrlin snrlrn d dðiþtirlim. lt snr = is u = dr. üst snr = is u =. = u u I= du = = = ( ) dr. Örnk 9 d intgrlinin sonucu kçt r? Not : Blirli intgrld dðiþkn dðiþtirdiðimizd y intgrlin snrlrnd dðiþtircðiz y d intgrli snrsz olrk lp n sonund ilk dðiþkni cinsindn yzp snrlr yrin koycðz.

Blirli Ýntgrl Örnk Örnk tn d intgrlinin sonucu kçt r? cos 6 d I = d = d Örnk f() fonksiyonu = noktsnd o ksnin tðt v = noktsndki tðtinin ðimi is, tn u I= d = u du = cos 6 I = intgrlinin sonucu kçt r? f().f ()d u = tn = = = 6 d du = cos = is u = tn = 6 6 = is u = tn = = ln = ( ln ln) = = ulunur. intgrlinin dðri kçtr? f() fonksiyonu o ksnin tðt olduðu noktd ðimi sfrdr. f () = yrc = psisli noktdki tðtinin ðimi olduðundn f ()= dir. Bun gör; Örnk Yndki þkild f() fonksiyonunun [,] rlðndki grfiði vrilmiþtir. Bun gör; u I = f ( ).f ( ) d = u.du = f()d Sorudki intgrl [, ] rlðnd ðri ltndki ln vrdiðindn v yrc = d fonksiyon sürksiz olduðundn intgrlin snrlr dðiþtirilir. Bun gör; f()d = f()d f()d = (Ymuðun ln) (dikdörtgnin ln) =.. = = r ulunur. Örnk [f = ()] intgrlinin sonucu kçt r? d F() = dt is [F()] =? d = [f ()] [f ()] y =.. = dir.

Blirli Ýntgrl Ýntgrl t dðiþknin gör türv is dðiþknin gör lncðndn, F() = dt =.t = = d [F()] F = () = 6 ulunur. d ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLARIN ÝNTEGRALÝ d = ( )d ( )d = I-) Mutlk dðr fonksiyonunun intgrli f(), f() is f() = f(), f() < is Mutlkdðr fonksiyonunun iþrt dðiþtirdiði yrd intgrlin snrlr dðiþtirilir. 8 = 8 = = Örnk Örnk d intgrlinin sonucu kçt r? I = cos d intgrlinin sonucu kçt r? Örnk d = ( )d ( )d = = = = d intgrlinin sonucu kçt r? I= cos d = cos d / / I = cos d cos d / = sin sin = sin sin sin sin = ( ) ( ) = = y

Blirli Ýntgrl Örnk I = sin.cos d intgrlinin sonucu kçt r? Örnk 6 Sgn( )d intgrlinin sonucu kçt r? < < / irinci ölgd sinüs v cosinüs fonksiyonlr pozitiftir. / < < ikinci ölgd is kosinüs fonksiyonu ngtiftir. Ýkinci ölgd u iki fonksiyonun çrpm d ngtiftir. Bun gör mutlk dðrin tnmndn, II) / I = sin.cos d sin.cos d / (u = sin drsk du = cos d olur.) / u u I= udu udu = / / sin sin = Ýþrt (Sgn) fonksiyonunun intgrli, g() > is f() = Sgng() =, g() = is, g() < is / = r ulunur. = = vriln rlkt önc fonksiyon tnmlnr, f() = için fonksiyon sürksiz olduðundn intgrl prçlnr. Örnk 7 Sgn( )d = d d y = ( ) = [ ( )] [ ( )] = = f() f() fonksiyonunun grfiði yukrd vrildiðin gör; Sgnf()d intgrlinin sonucu kçt r? Örnk Sgn d intgrlinin sonucu kçt r? Sgn d = d d = () = [ ( )] ( ) = Grfiktn f() in iþrti llidir. Bun gör; Sgnf()d = d d d = = [ ( )] [ ] [ ] = =

Blirli Ýntgrl Not : f() fonksiyonu (, ) rlðnd pozitif (, ) rlðnd is ngtiftir. Ýntgrlin snrlr un gör dðiþtirilmiþtir. Örnk 9 I = d intgrlinin sonucu kçt r? III. Tm dðr fonksiyonun intgrli f() f() dn küçük oln n üyük tmsyy tmdðr dnir. y Yukrd vriln f() fonksiyonunun grfiðindn d görüldüðü gii f() z için fonksiyon sürksizdir. Fonksiyonun sürksiz olduðu yrd intgrllnmdiði için intgrlin snrlr dðiþtirilir. Dðiþn snrlr rsnd, yni fonksiyonun dðiþim rlðnd tmdðrin tnm yplr v sonr intgrl lnr. 'in dðiþim rlð d = = dir. < < is = < is = < is = I =.d.d.d = () Örnk 8 d intgrlinin sonucu kçt r? Fonksiyonunun dðiþim rlð d = dir. Bun gör fonksiyonun tnm, < is = < is = = d d d = Örnk I = sgn( ) d intgrlinin sonucu kçt r? Önc fonksiyonlrn iþrtlrini inclyip dðiþn iþrtlr gör fonksiyonu tnmlylm. = [ ( )] ( ) = = ulunur. = ( ). =

Blirli Ýntgrl I = [( ) ] d [ ( ) ]d = ( )d ( )d = 8 = 6 8 = = iþrtlr gör intgrlin snrlrn dðiþtirlim. Bun gör; I=.( )d.d = 8 8 = = Örnk ( ) I= sgn( ) d Örnk 6 = = ulunur. Önc mutlk dðr v iþrt fonksiyonlrnn iþrtlrini inclylim. I = ( )d ( )d Örnk intgrlinin sonucu kçt r? = 9 = ( ) 9 = = = I=.sgn( )d intgrlinin sonucu kçt r? Ýþrt fonksiyonunun iþrtini inclyip, u = I.d intgrlinin sonucu kçt r? Tmdðr fonksiyonun tnmndn t Z olmk üzr, t t t < t is < Fonksiyonun dðiþim rlð dir. t = için < < = 7 t = için < < = 7 t = için < < = 7/ = I = d d d d 7/ 7/ = 7/ 7 = 8 7 7 = = ulunur. 6

Blirli Ýntgrl Torm : f :[, ] R, f(t) sürkli ir fonksiyon v F, [, ] rlðnd, F() = f( t ) dt il tn ml ir fonksiyon is, d F () = f( t) dt = f() dir. d Sonuç: F() = β() α() f(t)dt is ( ) F () = f β(). β () f( α()). α () Örnk F () = f(sin).(sin) = t F() dt is F () in dðri kçtr? Torm grði, = (sin sin ).cos dir. F () = f( ).( ) f().() =.. Örnk g() = (t t)dt is g()i ulunuz. F () =... = ulunur. Ýntgrl iþlminin tml torimin gör β() =, α() = v f(t) = t t olduðundn Örnk Örnk g () = f( β(). β () f( α(). α () g() = g() = F() = sin t dt is F =? 6 F () = f( β()). β () f( α()). α () F () = sin.( ) = sin. F = sin. =. = 6 6 6 6 6 sin f(t) = t t v F() = f( t ) dt is F () in dðrini ulunuz. Örnk = t F() ( t. )dt is f() fonksiyonunun = psisli noktsndki tðtinin dnklmini ulunuz. = psisli noktnn ordint, F() = (t. ) = is A(,) dr. ( ) F() =.. (. ) is tðtin ðimi m = F () = (.). (.) = = Bir nokts v ðimi ilinn doðru dnklmi, A(, ), m = t y = ( ) y = ulunur. 7

Blirli Ýntgrl Ýntgrlin Ortlm Dðr Tormi f:[, ] R y sürkli ir fonksiyon olmk üzr, f()d = ( ).f(c) olck içimd n z ir c (, ) vrdr. f(c) dðrin f fonksiyonunun [, ] rlðndki ortlm dðri dnir. yni f(c) = dr. f()d t = sin drsk dt = cos d = is t = sin = 6 6 = is t = sin = dir. Bun gör dönüþtürülmüþ yni intgrl, cos dt d = sin t 6 ld dilmiþ olur. Örnk Örnk KARIÞIK ÖRNEKLER intgrlind u = In dönüþümü yplrs nsl ir intgrl ld dilir. Örnk d sin(in). u = In is d du = = is u = In= = is u = In = ld dilir. Bun gör dönüþtürülmüþ yni intgrl, d sin(in). sinu du olur. = cos d sin 6 intgrlind t = sin dönüþümü yplrs nsl ir intgrl ld dilir. Örnk f() = v f(7) = þklind tnmlnmþ f() fonksiyonu için, f() =. d( ) d f() =. d( ) =. ( ).d d f( ). d f( ) =? f() =, v f(7) = olrk vrilmiº, d I= f( ). f( )d d intgrlinin sonucu kçt r? =.d = 6 d = 6 = =.. = = ulunur. intgrlind u = f( )dönüþümü yplr. 8

Blirli Ýntgrl Bun gör intgrlin snrlrn d dðiþtirlim. = için u = f(. ) = f() = Örnk = için u = f(. ) = f(7) = dir. f() = cos.ln diylim. f( ) = cos( ).ln = cos. ln( ) ln( ) Örnk 6 f, R d tnml tk fonksiyon olup, t R olsun t f().f ()d t u I= u. du = = u = ( ) = = 6 cos. ln d intgrlinin sonucu kçt r? ( ) = cos. ln( ) ln( ) = cos ln = cos.ln = f() olduðundn f() tk fonksiyondur. O hld cos.ln d = dr. intgrlinin sonucu kçt r? Uyr : f() fonksiyonu tk fonksiyons f () çift fonksiyondur. Bun gör, f ( t) = f (t) dir. Örnk 7 u = is du =. d dir. Bun gör intgrlin snrlrn d dðiþtirlim. = is u =. = 9 = is u =. = 7 dir. Örnk 8 t = f (). f ()d f () t 7 9 Bun gör, 7 f()d = is f( )d int grlinin sonucu kçt r? f( )d int grlind du f( )d = f(u). 9 ln = ln I d = 7 =. = ulunur. intgrlinin sonucu kçt r? 9 f(u) du t = f(t) f( t) = f(t) f(t) = t 9

Blirli Ýntgrl Burd ksmi intgrli uygulrsk u= is du=d dv= d is v= dir. Bun gör, Örnk 9 ln ln I= ln. d =. d I = sin cos sin.cos d ln Örnk / = sin d cos d cos d / / = cos sin sin I =. d =. d I= sin d intgrlinin sonucu kçt r? = (sin cos ) d = sin cos d / = (cos cos ) sin sin sin sin = ( ) ( ) ( ) = = ulunur. I= d intgrlinin sonucu kçt r? =. = ( ) ln = (ln ) ( ) =.(ln ) ulunur. ln Bu þkild snrl vrilmiþ intgrllri dönüþümlri kullnmdn ks yoldn ypiliriz. y= ðrisi il y= doðrusu rsnd kln ln istnmktdir. y = is y = mrkzi orjind yrçp irim y oln çmrdn y = doðrusu y= ltnd kln ln çkrtlrk trl ln ulunur. /8 lik dir dilimidir. Bu d intgrlin sonucudur. Örnk. AT = d = = dir. 8 I= 9 ( ) d intgrlinin sonucu kçt r? y = 9 is y = y = Burd (, ) rlðnd çmrin ltndki lndn doðrunun ltndki ln çkrtlmldr. Bu sonuç vriln intgrlin dðridir. Yni dörtt irlik çmrdn dik üçgnin ln çkrtlck AT = 9 ( ) d.. 9 = = 9 = ( ) ulunur. y y=

ALIÞTIRMALAR Blirli Ýntgrl. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? d 7. (In). d Ýntgrlinin sonucu kçtr? d Cvp : 7 Cvp : 6. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : In 8. Ýntgrlinin sonucu kçtr? d Cvp :. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : In 9. 6 9 d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp :...d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : ( ). sgn( ) d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : 8 ln. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp :. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : cos(in ) 6. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : sin. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp :

ALIÞTIRMALAR. d Ýntgrlinin sonucu kçtr? sgn( ) Cvp : Blirli Ýntgrl 9. d d d intgrlinin sonucu kçtr? Cvp :.. sgn( ) d Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : 7 6. m olmk üzr, m m d = d m m olduðun gör, m kçtr? Cvp :. d( ) Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : 6. d = is, nn dðri kçtr? Cvp : d( ) 6. Ýntgrlinin sonucu kçtr? Cvp : ln /. cos d intgrlinin sonucu kçtr? sin /6 Cvp : 7. d Ýntgrlinin dðri kçtr? Cvp : cos. d intgrlinin sonucu kçtr? Cvp : 8. f() = olduðun gör; d( f ()) intgrlinin dðri kçtr? Cvp : d. intgrlinin sonucu kçtr? Cvp :

TEST Blirli Ýntgrl. d intgrlinin dðri kçtr? 6. cos d 9 A)6 B) 7 C) D) E) intgrlinin dðri kçtr? A) B) C) D) E). d intgrlinin dðri kçtr? A) B) C) D) E)In 7. tn d Ýntgrli þðdkilrdn hngisin þittir? A) B) C) ln D) ln E) ln. 9 d intgrlinin dðri kçtr? 8 A)7 B)9 C) D) E) 8. d Ýntgrli þðdkilrdn hngisin þittir?. ln d A) B) C) D) E) 6 intgrlinin dðri kçtr? A) B) C) D) E) 9. ( ) ( ) d Ýntgrlinin dðri kçtr?. d A) B) C) D) E) intgrlinin dðri kçtr? A) B) C) D) E). d( ) Ýntgrlinin dðri kçtr? A) In9 B) In C) D) E)

TEST Blirli Ýntgrl. d cos d d ifdsinin þiti kçtr? 6., > f() = is f() d 6, Ýntgrlinin dðri kçtr? A) B) C) D) E) A) B) 8 C) 7 D) 6 E). c f() = is d(f ()) = 7. f() d = ln ln is f () d olduðun gör c nin dðri kçtr? Ýntgrlinin þiti kçtr? A) B) C) D) E) A) B) C)ln( ) D)ln() E)ln. d 8. d = d Ýntgrlinin dðri kçtr? olduðun gör nn dðri kçtr? 8 A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). d Ýntgrlinin dðri kçtr? 9. d Ýntgrlinin dðri kçtr? 6 A) 9 B)7 C)6 D) E) A) B) C) D) E) 6. d Ýntgrlinin dðri kçtr? 7 A) B) C) D)8 E)9. = f() (t t ) dt fonksiyonu vriliyor. f() in minimum noktsnn psisi kçtr? A) B) C) D) E) Cvplr: -E -A -D -B -C 6-A 7-C 8-C 9-A -A -C -E -C -E -B 6-A 7-B 8-C 9-A -E