ÖLÜM : OLSLK Giriş: Olasılık kavramına. Fermat ile. ascal ın büyük katkıları olmuştur. ascal hesap makinesini geliştirerek Fermat ile birlikte olasılığın temellerini oluşturmuştur. Daha sonra Rus matematikçi Kolmogorov olasılık aksiyomlarını ile sürmüştür. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. -Deney experiment -Örneklem sonucu sample outcome -Örneklem uzayı sample space -Olay event.. Örneklem Uzayı: Deney, teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen ve olası sonuçların çok iyi tanımlandığı bir süreçten oluşur. ir deneyin potansiyel hesaplamalarından her biri bir örneklem sonucu olarak bilinir ve s i ; i,,,4,. ile gösterilir. ütün örneklem sonuçlarının içinde bulunduğu kümeye örneklem uzayı denir ve S ile gösterilir. Deneyin sonuçlarından her birine veya belli özellikleri sağlayan deney sonuçlar kümesine de olay denir. Örnek : Madeni bir paranın üç kez atıldığını göz önüne alalım. a Örneklem uzayını belirleyiniz. b olayı, yazıların turalardan daha fazla olduğu deneyleri göstersin. olayını tanımlayınız. Cevaplar: a öyle bir deneyde 8 tane farklı sonuç vardır. u sonuçlar örneklem uzayını oluşturur. S{ YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} Örneklem uzayındaki bu 8 örneklem sonucundan başka bir sonuç yoktur. b Örneklem uzayından, yazıların turalardan daha fazla olduğu örneklem sonuçlarının sayısı 4 tür. una göre olayı, YYY, YYT, YTY, TYY olur. Örnek: İki farklı renkteki zarın birlikte veya farklı zamanlarda atıldığı durumu göz önüne alalım. a Örneklem uzayını belirleyiniz. b olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. una göre ve olaylarını belirleyen kümeleri yazınız.
Cevaplar: a İki zarın atılması durumunda örneklem uzayı 6 x 6 lık bir matris olarak gösterilebilir. { x,,,,4,5,6 } S y.urada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.,,,,4,5,6 olayı,,,,4,5,6,,,,4,5,6 S 4, 4, 4, 4,4 4,5 4,6 5, 5, 5, 5,4 5,5 5,6 6, 6, 6, 6,4 6,5 6,6 olayı b olayı zorların üzerindeki sayıların toplamlarının 7 olması olduğuna göre 6,, 5,, 4,,,4,,5,,6 biçimindedir. olayı iki zarın üzerindeki sayıların aynı olması olarak tanımlanırsa,,,,,,, 4,4, 5,5, 6,6 biçimindedir. ir deneyle bağlantılı olarak S örneklem uzayında tanımlanan olaylarla ilgili bir sonuç ile değil, birkaç sonuçla ilgilenilebilir. u durumda Kümeler Cebrinden yararlanılır. Küme, olasılık çalışmalarında olaylarla bağlantılı olarak ortaya çıkan ve matematiksel olarak olayları değerlendiren bir kurallar dizisidir. Kümeler Cebri ise birden fazla olayla ilgilendiğinde kullanım açısından büyük yararlar sağlamaktadır... Kümelerin irleşimi Union ve Kesişimi: ntersection: ve, aynı S örneklem uzayında tanımlanmış iki olay olmak üzere; - ve olaylarının birleşimi U olarak gösterilir. U olayının sonuçları ya ya ya da her ikisinden birinden ortaya çıkar. - ve olaylarının kesişimi olarak gösterilir. olayının sonuçları hem hem de olayından ortaya çıkar. Örnek: ir deste oyun kağıdından tek bir kağıt çekilsin. olayı yedili, olayı da karo çekilme olayını göstersin. ve U yi bulunuz. ve olaylarını tanımlayalım: Sinek 7, Maça 7, Kupa 7, Karo 7 { Karo, Karo,..., Karo 7, Karo Kiz, Karo apaz}
Karo 7 ve, U{Karo, Karo,..., Karo 6, Karo 8,, Karo apaz, Sinek 7, Maça 7, Kupa 7, Karo 7} olur. Örnek: olayı X -8X-9 denklemini sağlayan X lerin; olayı da X + X denklemini sağlayan X lerin kümesi olsunlar. ve U yi belirtiniz. -, 9 x -8x-9 -, x + x x + x-9 x x+ - ve U -,, 9 olur. YRK OLYLR: ynı örneklem uzayında tanımlanmış ve olaylarının hiçbir ortak sonucu yok ise ve olaylarına YRK OLYLR denir. Yani dir. TÜMLEYEN OLY:, bir örneklem uzayında tanımlanmış herhangi bir olay olsun. nın tümleyeni complement, olayında içerilen sonuçlar hariç S örneklem uzayındaki tüm sonuçları içeren bir olaydır. olayının tümleyeni ya da c ile gösterilir. Örnek:, x +y < eşitsizliğini sağlayan x,y lerin bir kümesi olsun. ile bağlantılı olarak xy düzlemindeki bölgeyi çiziniz. nalitik geometriden bilindiği gibi, x +y < eşitsizliği merkezi orijinde yani, da yarıçapı olan bir dairenin içini gösterir. Y x + y X nın tümleyeni, nın dışında kalan bölgedir.
OLYLRN GRFİKSEL İFDESİ: İkiden fazla olay arasındaki bağıntıları; sadece birleşim, kesişim ve tümleyeni tanımlamalarını kullanarak anlamak zordur. Karmaşık olayların anlaşılmasında kolaylıklar sağlayan grafiksel gösterime Venn Şeması diyagramı denir. ve nin kesişimi U ve nin birleşimi nın tümleyeni φ Örnek: ynı örneklem uzayında tanımlanmış ve olayları olduğu zaman sıkça bilinmek istenilen iki durum vardır: a Tam olarak ikisinden birinde olma olayı b En fazla ikisinden birinde olma olayıdır. u iki durumu Venn Şeması ile inceleyelim. a E olayı, ya ya da olayınının ikisi birden hariç olma durumunu göstersin. E olayının formüle edersek, E S
b F olayı, iki olayın en fazla ikisinden birinde olma durumudur. F irleşim ve kesişimin toptan tamamlayıcılarının açılımı De Morgan Kanunu olarak bilinir. Örnek: Okul kantininde öğrenci üzerinden bir araştırma yapılmış ve aşağıdaki sonuçlar bulunmuştur. Çocuklardan 74 ü dondurmadan, 5 ü şekerden, 78 i tatlılardan, 57 si hem tatlı hem de dondurmadan hoşlanmaktadır. 46 çocuk tatlı ve şekerden hoşlanırken, sadece i üçünden de hoşlanmaktadır. Hem dondurma hem de şekerlerden hoşlanan kaç çocuk vardır? dondurmadan hoşlanan çocukların kümesi, şekerden hoşlanan çocukların kümesi, C tatlılardan hoşlanan çocukların kümesi, olsun. NS N C 57 N74 N C 46 N5 N C NC78 C N +x? x+y+z+6++5+6 x+y+5774 x+z+465 u denklem sisteminin çözümünden x,y ve z bulunur. x+y+z 7+z z5 x+y7 x+57 x z+y7 y5 bulunur. N x++ öğrenci hem dondurma hem de şekerden hoşlanır.
.. OLSLK TEORİSİ Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı olayı, gerçekleşmesi şansa bağlı olan önceden kesinlikle bilinmeyen olaylardır. Olasılık teorisi, raslantı olayları belli kurallara göre matematiksel yöntemlerle inceleyen bir bilim dalıdır. ir olayın gerçekleşme olasılığına ilişkin farklı tanımlar yapılmıştır: Klasik Olasılık: ir deneyin ya da oyunun n tane olası sonucu olduğu ve bu sonuçların her birinin eşit olasılıklı olarak ortaya çıktığı kabul edilsin. Eğer olarak tanımlanan bir olay, toplam n eşit olasılıklı durumdan m tanesinde gerçekleşiyorsa o zaman olayının olasılığı m/n olarak ifade edilir. Örneğin, iki hilesiz zarın atılması durumunda 6 tane eşit olaslıklı sonuç vardır. olayı, iki zarın üst yüzlerindeki noktaların toplamının 7olduğu biçiminde tanımlanırsa, bunu sağlayan olası 6 sonuç vardır. 6,, 5,, 4,,,4,,5,,6 m 6 olayının gerçekleşme olasılığı olarak bulunur. n 6 6 Örneğin, bir para atma deneyinde, olayı yazı gelmesi biçiminde ise olur. Olasılığın klasik tanımı bazı kısıtlamalara sahiptir. Örneğin sonuçların sayısının belli olmadığı durumda ne olacaktır? u tür sorulara cevap verebilmek için olasılığın daha genel ve deneysel bir tanımına ihtiyaç vardır. Deneysel Olasılık: S bir örneklem uzayı ve bu örneklem uzayında tanımlanmış bir olay olsun. Deney aynı koşullarda n defa tekrar edilecek olsun. Deneyin her tekrarında ya veya gerçekleşmiş olacaktır. Toplam n tekrar içinde nın oluş sayısı m ise ve n sonsuz derecede büyük bir sayı ise, m/n oranının n sonsuza giderken aldığı değere olayının deneysel olasılığı denir. Yani m lim olarak ifade edilir. n n u tanımın da bazı sakıncaları vardır. Örneğin n tane deneyin aynı fiziksel koşullar altında çok büyük sayıda gerçekleştirmek her zaman mümkün değildir. Çağdaş Olasılık: Olasılığın gerek oran gerekse limit olarak tanımlanmasındaki zorlukları gören modern matematikçiler olasılığı bir fonksiyon olarak ifade etmişlerdir. Rus matematikçi Kolmogorov 9 dört aksiyomla belit olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır..ksiyom: S örneklem uzayında tanımlanmış herhangi bir olay olmak üzere bu olayın olasılığı eski değer olmayan reel bir sayıdır. dır..ksiyom: S
.ksiyom: ve, S örneklem uzayı üzerinde tanımlanmış iki ayrık olay mutlually exclusive events olmak üzere, yani Ø olduğunda, + dir. 4.ksiyom:,,... olayları S örneklem uzayında tanımlanmış olsun. Her i j için i j Ø ise iu i i i dir. Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri: Teorem..: - dır. Tanıt: S ks. den ve ayrık olaylar olduğundan, Ø + + - olur. Teorem..: Ø dır. Tanıt: Ø S olduğundan, Ø S -S - olur. Teorem..: Eğer ise dir. Tanıt: olayı, iki ayrık olayın bileşimi olarak yazılabilir. uradan, + olacağından ya da olur. Teorem...4: Herhangi bir olayı için dir. Tanıt: S olduğundan Teorem.. den S olur. Teorem..5: +- dir. Tanıt: ve olaylarını iki ayrık olayın birleşimi olarak yazılabiliriz. + + u iki denklemin olasılıklarının toplamını alırsak, + + + + dir.
uradan + olur. Teorem..6:, ve C olayları aynı S örneklem uzayında tanımlanmış üç olay olmak üzere bu üç olayın birleşim; C + +C C- C- + C olarak yazılır. Örnek: ir konfeksiyon firması işçi alımında bir model oluşturmak istiyor. unun için şirket yöneticileri, gelecek beş yıl içinde yeni işçilerin %8 ninin kadın ve % unun da bekar olmasını istiyor. Her yeni beş işçiden birinin de evli erkek olmasını planlıyor. Yöneticilerin bekar bir kadını ise alması olasılığı nedir? urada 4 temel olay vardır: işçinin bekar olması işçinin evli olması C işçinin kadın olması D işçinin erkek olması Üç olasılık soruda verilmiş. C.8 D.,,,7 olur. D 5. x lik bir çapraz tabloda verilenleri özetleyelim. Toplam C.8 D.. Toplam..7. C? CC- C bulunabilir. C + D.7 C +. C.5 C.8.5. u bekar kadın olur. Örnek: ir 5 YKr. ile bir YKr. birlikte atılıyor. Örneklem uzayındaki birinci harf 5 YKr. ile ilgili sonucu, ikinci harf YKr. ile ilgili sonucu göstersin. : En az bir T gelmesi, : İki T gelmesi, C: İki Y gelmesi olarak tanımlanmış olsun. a ve ayrık olaylar mıdır? b ve C ayrık olaylar mıdır? c ya da nin gerçekleşmesi olasılığı nedir? d ya da C nin gerçekleşmesi olasılığı nedir? Önce örneklem uzayını tanımlayalım: S { YT, TY, YY, TT} olasılıklıdır. YT TY YYTT 4 örneklem uzayındaki sonuçlar eşit
YT, TY, TT 4 TT 4 C YY C 4 a Ø ise ve ayrık olaylardır. TT 4 olduğundan ve ayrık olaylar değildir. b C Ø olduğu için ve C ayrık olaylardır. d? Teo...5 +- + bulunur. 4 4 4 4 d C? C + C- C Cφ C + olur. [ C dır.] 4 4 4 Örnek: ve olaylarına ilişkin, 5 ve 4 olmak üzere ve olasılıklarını hesaplayınız. + Teorem.. den - - 5 4 ulunan değerler yerine konursa, + + bulunur. 5 5 4 4 4
Örnek: ir kutuda 85 kırmızı K ve 5 mavi M bilye vardır. u kutudan bir çekilişte 5 bilye rasgele seçiliyor. : 5 bilyenin tümünün mavi : kırmızı ve mavi olayları olsun. ve olasılıklarını bulunuz. Klasik olasılığın tanımına göre herhangi bir olayının ortaya çıkma olasılığı, İ lg ilenilen olayıl oluşluşsay m Deneyin olsı sonuçlarıoın tümü n biçimindedir. una göre 5 85 5 9 5 5 85 9 5 494968 57 494968 bulunur..4. OLSLK FONKSİYONLR Örneklem uzayının yapısına bağlı olarak iki tür olasılık fonksiyonu vardır. Eğer herhangi bir olasılık fonksiyonu sonlu ya da sayılabilir sonsuz sayıda sonuçları içeren örneklem uzayından belirlenmişse buna olasılık fonksiyonu ya da kesikli olasılık fonksiyonu denir. Sonuçların sayılamayacak sonsuz sayıda oluşmasından meydana gelen örneklem uzaylarında tanımlanmış fonksiyonlara da olasılık yoğunluk fonksiyonuna da sürekli olasılık fonksiyonu denir. probability density function Olasılık ve olasılık yoğunluk fonksiyonları, sahip oldukları örneklem uzayındaki farklılıklardan dolayı birbirinden farklı matematiksel sembollerle işlem görürler. Olasılık ve betimleyici değerlerin hesabında, kesikli olasılık fonksiyonlarının kullanılması halinde toplam işareti kullanılırken, olasılık yoğunluk fonksiyonun sürekli kullanılması halinde de integral işareti kullanılır..4.: Kesikli Olasılık Fonksiyonu: ir deneye ilişkin örneklem uzayının sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta olması durumunda nin bir olasılık fonksiyonu olabilmesi için aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir. a s, her s S için s S b s a ve b ye bağlı olarak bir olayı tanımlanmak istenirse herhangi bir olayının olasılığı, olayındaki sonuçlara bağlı olan olasılıkların toplamıdır. Yani, s dir. s
Örnek: İki hilesiz dengelizarın birlikte atıldığı deneyi göz önüne alalım. a Zarların yüzeyindeki en büyük sayının 5 olması olsun. nın olasılığını bulunuz. b Zarların yüzeyindeki sayıların toplamının olması olsun. nin olasılığını bulunuz. Çözüm: Örneklem uzayının eleman sayısı 6 dır. a Örneklem uzayındaki olayının sağlandığı sonuçlar {,5,,5,5,4,5,5,55,4,5,,5,,5, } kümesi ile verilebilir. 9 s +... +, s 6 6 6 4 b Örneklem uzayındaki olayının sağlandığı sonuçlar 4,6,6,45,5 kümesindeki elemanlarla verilir. { } s s 6 + + bulunur. 6 6 6 Soru:.4. s λ s ; s,,,4,...; ve λ> olarak verilen bu s nin bir + λ + λ kesikli olasılık fonksiyonu olduğunu gösteriniz. u fonksiyonun, kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için s, her sε Siçin ve s koşullarının sağlanması gerekir. ses - Tüm s ler için s dır. λ λ s s + λ + λ + λ s + λ bir geometrik serinin toplamı için k x ; < x < yazılabilir. x - s k s + λ. bulunur. Yani, s kesikli olasılık fonksiyon olur. + λ λ + λ + λ Soru:.4.6: S örneklem uzayının sonuçları, s S{ s : s,,4... } olmak üzere sk nin olasılık fonksiyonu olması için k ne olmalıdır? s olma koşulundan yararlandım: ses s s k k s s s
s k yazılabilir. s k k 4 k k bulunur. 4.5. Sürekli Olasılık Fonksiyonu: ir deneyle bağlantılı olarak S örneklem uzayının sonsuz sayıda sonuç içerdiği yani gerçek sayılar ekseninde bir aralığa düşen gerçekreel değerlerin tümünü aldığını varsayalım. f* da, S üzerinde tanımlanmış gerçek değer fonksiyonu olsun. f in olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için a fy ; her y S için b f y dy S koşullarının sağlanması gerekir. Olasılık fonksiyonu için s gösterimi kullanılırken, sürekli fonksiyonların olasılık yoğunluk fonksiyonu için fy gösterimi kullanılmıştır. ir olasılık ile olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki farkın daha iyi anlaşılabilmesi için S örneklem uzayı üzerinde tanımlanmış bir olayını göz önüne alalım. u şekil üzerinde f, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ise; y deneyin sonuçları olduğundan fy bir olasılık değildir. ncak olayının olasılığı,, şartını sağlayan interval üzerinde f fonksiyonunun integralidir. Kesikli olasılık fonksiyonu olasılık fonksiyonu ile sürekli olasılık fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki temel farklılık şöyle açıklanabilir. Kesikli örneklem uzayı noktalarla ilgili olasılıklarla ilgilenirken, sürekli örneklem uzayı aralıklarla ilgili olasılıklarla ilgilenir ve bu aralıkların olasılıkları fy fonksiyonu altında kalan alandır. Örnek: aşkent Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesindeki bir öğrencinin ikinci sınıftan üçüncü sınıfa geçme süresi y ile ilgili olasılık yoğunluk fonksiyonu fy y ; <y için 9 ; diğer durumlarda biçiminde verilmiş olsun. a fy nin bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu gösteriniz. b ir öğrencinin ikinci sınıftan üçüncü sınıfa geçme süresinin, iki ile üç yıl arasında bir süre olması olasılığını, yani <Y< olasılığını, hesaplayınız.
Cevaplar: a fy nin olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için fy ; <y ve f y. dy y 9 dy 9 y olması gerekir. Dolayısıyla fy olasılık yoğunluk fonksiyonudur. b olayı, bir öğrencinin iki ile üç yıl arasında üçüncü sınıfa geçme olayı olsun. y y 7 8 9 f y dy dy bulunur. 9 7 7 7 7 olasılığını şekil ile gösterelim. fy y Örnek: X e ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu kx ; x < için k ; x < için fx -kx+k ; x < için ; d.d. olmak üzere k değişmezininsabitinin değerini bulunuz. fx bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğuna göre tanımlı olduğu aralıklardaki integral değerleri, toplam olasılık olan e eşit olmalıdır. kxdx + kdx + kx + k dx x x k + kx k + kx 9 4 k + k k + k 5 k + k k + k 4 k k bulunur.
Örnek: rak-kuveyt Savaşı sırasında, Kerkük-Yumurtalık petrol borusu hattı D uçakları tarafından vurulabilirdi. Eğer atılan bomba boru hattının m. Yakınına düşerse petrol boru hattı çok büyük zarar görecektir. Y atılan bombanın petrol düştüğü noktanın boru hattına olan uzaklığı olsun. Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verildiği gibi olsun.. 6 + y ; -6 <x < için 6 fy 6 y 6 ; y <6 için ; d.d. etrol boru hattının büyük zarar görme olasılığı nedir? olayı, petrol boru hattının zarar görmesini göstersin. olayının olasılığını şekil üzerinde gösterelim. fy /6 p -6-6 f y. dy Şekilden de görüleceği gibi nın olasılığı -, aralığında kalan alandır. { y : y } olarak tanımlana interval olduğu için 6 + y 6 y f y. dy dy + 6 6 dy 6 y 6 y + + y y 6 6 6 7 7 + 6 6 6 7 7 5 9 etrol boru hattının zarar görme olasılığı 9 5, yani yaklaşık olarak,.56 dır. Soru.5.: ir Y ölçümüne ilişkin sürekli olasılık fonksiyonunun şekli aşağıda verilmiştir. fy c 6 y Y nin 4 ten büyük olması olasılığı nedir? Yani, Y>4? Önce bu şekli ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. unun için c nin değeri bulunmalıdır. Sürekli olasılık fonksiyonu grafiğinin altındaki alan Üçgenin alan formülünü
c6 hatırlayınız biçiminde hesaplanabilir. unun e eşit olması için 6c c olur. una göre yukarıda grafiği verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu fy y, <y<6 olacaktır. 8 6 6 f y. dy 8 mi? y dy 6 y 8 y 6 6 6 4 Y>4-Y 4-8 y dy - 4 4 y y 8 4 6 4 8 - bulunur. 8 8 8 9 Soru.5.: Sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonunu fy ye -y ; y> olarak verilmiş olsun. Y>.5 olasılığını hesaplayalım. y Y>.5 -Y,5- y. e dy uy dudy dve -y dy v-e -y,5 burada kismi integrasyon kullanırsak: uv.5.5 y + y e vdu y. e dy -.5e -.5 +-e -.5 -.5e -.5 Sonuç olarak: Y>.5 --.5e -.5.5e -.5 bulunur..6 KOŞULLU OLSLK Conditional robability Koşullu olasılık biçiminde gösterilir. nın anlamı, gibi bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde olayının olasılığı olarak ifade edilir. ve, aynı örneklem uzayında tanımlanmış iki olay ve > olmak üzere olayının gerçekleştiği varsayımı altında olayının koşullu olasılığı içiminde tanımlanır. u tanımdan yararlanılarak ve olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığını koşullu olasılık yardımı ile. biçiminde bulabiliriz.
Örneğin; S, n tane eşit olasılıklı sonuca sahip bir örneklem uzayı olsun. u örneklem uzayı üzerindeki ve olayları sırası ile a ve b tane sonuca sahip iki olayı göstersin. ve olaylarının ara kesitlerindeki eleman sayısı da c olsun. olayının gerçekleştiği bilindiğinde nın koşullu olasılığı olarak bulunur. c n b n c b Örnek: 5 lik bir oyun kağıdı destesinden bir kart çekiliyor. Kartın vale olduğu bilindiğine göre çekilen kartın kupa olma olasılığı nedir? ve olaylarını tanımlarsak, : Çekilen kartın kupa olması. : Çekilen kartın vale olması. u durumda olayının 4 elemanı kupa, karo, sinek ve maça valeleri vardır. 4 ve olur. 5 5 ranan koşullu olasılık dır. / 5 4 / 5 4 Örnek: Okulumuz öğrencilerinden %45 i istatistik, %5 i bilgisayar derslerinden ve %5 i hem istatistik hem de bilgisayar derslerinden başarısızdır. Rasgele seçilen bir öğrencinin, a ilgisayardan başarısız ise, istatistikten de başarısız olma olasılığını, b İstatistikten başarısız ise, bilgisayardan da başarısız olma olasılığını, c u iki dersten en az birinden başarısız olma olasılığını bulunuz. İ, istatistik dersinden başarısız öğrencileri; ve, bilgisayar dersinden başarısız öğrencileri göstersin. İ.45,.5 ve İ.5 a p İ.5 5 İ.5 7 b İ.5 5 İ İ.45 9 c İ İ + İ.45 +.5.5. 55 ulunur.
Tam ağımsızlık İkiden Çok olayların ağımsızlığı, ve C gibi üç olayın tam bağımsız olması için aşağıdaki eşitliklerin sağlanması gerekir. * Ρ Ρ. Ρ * Ρ C Ρ. Ρ C * Ρ C Ρ. Ρ C * Ρ C Ρ. Ρ. Ρ C n tane olayın bağımsız olabilmesi için Ρ... k Ρ. Ρ... Ρ k, k,,4,..., n eşitliğinin sağlanması gerekir. Örnek: ir zar atılıyor. olayı zarın ya da gelmesi, olayı zarın çift gelmesi olmak üzere ve olayları bağımsız mıdır? {, } {,4, 6} Ρ, Ρ, 6 6 6 Ρ 6. Ρ. Ρ olduğundan ve olayları bağımsızdır. Örnek: iki dengeli zar birlikte atılıyor. :. zarın bir ya da iki gelmesi, : İkinci zarın,4 ya da 5 gelmesi, C: Zarlardaki sayıların toplamının 4, ve olmak üzere bu üç olayın tam bağısız olup olmadıklarını araştınız. C S,,,,,, 4,, 5,, 6,,,,,,, 4,,5,,6,,,,,4,,5,,6,,,,, 4,,5,,6 4,, 4,, 4,4, 4,5, 4,6 5,, 5,, 5, 4, 5,5, 5,6 6,, 6,, 6,4, 6,5, 6,6 C Ρ 6 6, 8 6 6
6 C 6 6 6, C 6 6 6 8 C olarak bulunur.üç olaya ilişkin tam bağımsızlık koşullarının sağlanıp 6 sağlanmadığı incelenir. C.. C.. 6 6 sağlanır. 6.. sağlanır. 8 C. 6. C sağlanır. 8 C. 6 C 8. sağlanmaz. ile, ile C, olayları bağımsız olmasına rağmen ile C olayları bağımsız olmadığından, bu üç olayın tam bağımsız olduğu söylenemez. Örnek: ir deterjan firması alışveriş gelen 6 kişiye kendi ürünlerinden alıp almadıklarını ve TV ye verdikleri son reklamı hatırlayıp, hatırlamadıklarını soruyor. Elde edilen sonuçlar ile aşağıdaki çizelge oluşturuluyor. Reklam Hatırlayan Hatırlamayan Toplam Satın lan 6 8 Satın lmayan 8 4 4 Toplam 4 6 H:{TV reklamını hatırlayan} H : {TV reklamını hatırlamayan} S: {Satın alan} S : {Satın almayan şağıdaki olasılıkları bulunuz.
H, H, S, S, H S, H S, H S, S H? Çözüm: H, 6 4 H, 6 8 4 7 S, S 6 6 6 H S 6, H S 6 5 H S H S S / 5, / S H / S H H / yrık olaylarla, bağımsız olayları birbirine karıştırmamak gerekir. yrık olayların ortak noktası yoktur. φ ' dır. ve ayrık olaydır. Olayların aynı zamanda olma olasılıkları sıfır değilse, ortak noktaları var demektir. Ortak noktalarının olması ayrık olmadıkları anlamına gelir, ancak bağımsız oldukları anlamına da gelmez. ağımsız olaylarda, olayların aynı zamanda olma olasılığı, kesişime dahil olan olayların olasılıkları çarpımına eşittir. Soru.7.: ve olayları ayrık olaylar ve olasılıkları sıfırdan farklı ise ve bağımsız olaylar mıdır? φ ve ayrık olaylar a Eğer ve ve. ve olayları bağımsızdır.. olacağından ve olayları bağımsız değildir. Soru.7.:.,. 6 ve. ise, a ve ayrık olaylar mıdır. b ve bağımsız olaylar mıdır. c? a. > olduğundan ve ayrık olaylar değildir. yrık olaylar olabilmesi için olmalıdır. b.?..6..5.. olduğu için ve bağımsız olaylar değildir. [. ise ve bağımsızdır.] c U olduğunu söylemiştik. una göre U..8 bulunur.
Not: U U ' dir. Soru.7.4: aşarı durumu çok iyi olmayan bir öğrencinin kimya dersinden geçme şansı.5, matematik dersinden geçme şansı.4 ve her ikisinden geçme şansı. dir. Öğrencinin kimya dersinden geçmesi ve matematik dersinden geçmesi olasılıkları bağımsız mıdır? Her iki dersten de başarısız olma olasılığı nedir? K: Kimya dersinden geçme M: Matematik dersinden geçme olayları olsun K M K. M ise K ve M olayları bağısızdır. K.5, M.4, K M. K M K. M..5.4.4 olduğundan K ve M olayları bağımsız değildir. her iki dersten de başarısız- En az birinden başarılı K U M [ K + M K M ] [.5 +.4.].6.7' dir. Soru.7.8:...N bağımsız olaylar ise U U... U N [ ]. olduğunu gösteriniz. [... [ ] N dı geçen olaylar bağımsız olduğuna göre... N.... N... N.... N ' dir. ' dir. U U... U n... n... n... bulunur. Soru C: Homur,, ve C ayrık olmayan olaylar ise [ ][ ] [ ] n [ U C] C + C [ C] olduğunu gösteriniz. [ C] [ C] C U [ C U C ] C
[ C C ] C + C C C C C + C C C [ C] C + C elde edilir. TOLM OLSLK KURL ir olayının olasılığı doğrudan hesaplanamadığı zaman toplam olasılık kuralından yararlanılır. Örneğin bir sigara fabrikasındaki 6 makine tarafından üretilen sigara paketlerinden rasgele bir tanesi alındığında bu paketin bozuk olması olasılığı araştırılsın. urada olayı, çekilen sigara paketinin bozuk olması ise bu paket,,... 6 makinelerin birisinde üretilmiş olabilir. S 4 5 6 olasılığını bulabilmek için topla olasılık formülünden yararlanılır. Teorem: i ; iı...,n φ i j için i j > ; i,..., n i n S U i i biçiminde olmak üzere herhangi bir olayı için n i. i i eşitliğine toplam olasılık kuralı denir. Tanıt: S' dıı U U... U n U U... U n + +... + p n [ ]
. + n i. olur. i i. +... + n. Örnek: ir fabrikada üretilen malları %5 si. makineden, % u. makineden ve % si. makineden üretilmektedir. u makinelerin ürettikleri malların sırasıyla %, %4 ve %5 inin bozuk olduğu gözlenmiştir. Üretilen mallardan rasgele seçilen bir tanesinin bozuk olma olasılığı nedir? i : Seçilen mal i. Makinede üretilmiştir. ı,, : Seçilen mal bozuktur..5,.,,.,.4,.5 Üretilen mallar bu üç makineden çıktığı için, olayı, ve olaylarının birisiyle birlikte ortaya çıkar. u durumda olayı ayrık üç olayın toplamı olarak yazılabilir. + +. +. +....5 +.4.. +.5...5 +. +..7 Rasgele seçilen bir malın bozuk olması olasılığı.7 dır. ir başka deyişle bu fabrikadan tane mal alınırsa, bu seçilen mal içinde bozuk olacaklar sayısının beklenen değeri 7 olacaktır. Örnek: ir çocuğun önünde 4 tane kavanoz bulunmaktadır. Kavanozların ikisinde siyah, 4 beyaz bilye, birinde 9 siyah, 5 beyaz ve bir diğerinde de siyah 6 beyaz bilye bulunmaktadır. Rasgele seçilen herhangi bir kavanozdan bir bilye çekiliyor. Çocuğun çektiği bilyenin siyah olma olasılığı nedir? {Kavanozda siyah, 4 beyaz bilye olması} {Kavanozda 9 siyah, 5 beyaz bilye olması} {Kavanozda siyah, 6 beyaz bilye olması} {Kavanozdan siyah bilye çekilmesi} Olayları olsun. urada, ve ayrık olaylardır. i : Seçilen kavanozun i özelliğinde olma olasılığı i,,; i : Seçilen kavanozun i özelliğinde olduğu biliniyorsa, çekilen bilyenin siyah olması olasılığı olsun. 4 siyah, 4 beyaz olan kavanoz var. Toplam 4 kavanoz var. 4 siyah, 5 beyaz olan kavanoz var. 4 siyah, 6 beyaz olan kavanoz var n
9,, 7 4 7 i. i. + +. i 9 5 + + 7 4 4 4 7 4 56 5 Dört kavanozun herhangi birinden çekilen bilyenin siyah olması olasılığı dır. 56 YES TEOREMİ Olasılık kuramının önemli teoremlerinden birisi olan ayes teoremi şöyle ifade edilir. Teorem: n S U, i> ve her i j için φ olsun. S örneklem uzayında tanımlanmış i i i j herhangi bir olayı için > olmak kaydıyla,. j j j n, j n i. Tanıt: Koşullu olasılık tanımından, i i, olur. j j. j j Toplam olasılık koşulundan yararlanılarak, yazılabilir. n. yazılabilir. i i i i uradan, j. j j n elde edilir.. Örnek: ir danışmanlık şirketin üyeleri,. işletmeden %6,. işletmeden % ve. işletmeden % oranında olmak üzere üç işletmeden araba kiralamaktadırlar.. işletmeden gelen araçların %9 u,. işetmeden gelen araçların % si ve. işletmeden gelen araçların %6 sı bakım gerektiriyorsa, a Şirkete kiralanan bir aracın bakım gerektirme olasılığı nedir? b akım gerektiren aracın. işletmeden gelmiş olma olasılığı nedir? : ir arabanın bakım gerektirmesi, i : rabanın, ya da. işletmeden gelme i,, olayları olsun.
,6,.,..9.,. 6 a arabanın bakım gerektirme olasılığı soruluyor. Toplam olasılıktan yararlanılarak bulunur.. +. +..6..9 +... +...6. u şirkette kiralanan araçların % sini bakım gerektirecektir. b Danışmanlık şirketinin kiraladığı araba bakım gerektiriyorsa bu arabanın. işletmeden gelmiş olma olasılığı ayes teoreminden yararlanılarak bulunabilir... i i i.....5 danışmanlık şirketinin kiraladığı arabalardan yalnızca% nun. işletmeden gelmesine karşın, bakım gerektiren arabaların yarısı %5 si. işletmeden gelmektedir. Örnek: C. Homur Üç torbada beyaz ve kırmızı K toplar bulunmaktadır.. Torbada; beyaz, kırmızı top,. Torbada; beyaz, kırmızı,. Torbada; beyaz, kırımızı top vardır. Rasgele seçilen bir torbadan çekilen top beyaz ise bu topun. Torbadan çekilmiş olması olasılığı nedir? K K K... : Çekilen topun beyaz olması i : Seçilen torbanın.,, veya. Torba olması olayları olsun. İ,,,, 4 4 4. 6. 4 i. i. + + 4 4 i 4. Çekilen beyaz topun,. Torbadan gelmesi olasılığı %7 dir. 6
Örnek: M. ytaç S: 4 ir hava üssünde tehlike olduğu zaman alarm sisteminin çalışması olasılığı.99, tehlike olmadığında alarm vermemesi olasılığı.98 ve herhangi bir anda tehlike olması olasılığı da. tür. a Hava üssündeki alarm çalıştığına göre, tehlike nedeniyle çalmış olması olasılığı nedir? b Tehlike olması ve alarm sisteminin çalışmaması olasılığı nedir? : larm sisteminin çalışması, : Tehlike olması olaylarını göstersin..99,.. 997 olur..98. olur. a larm sistemi çalışıyorsa tehlike nedeniyle olması olasılığı? ayes Teoremi :.99.. 97. +..99.. +...997 9 larm sisteminin çalıştığı bilindiğine göre tehlike nedeniyle çalışması olasılığı, yaklaşık olarak, % tür. b Çarım kuralı uygulanırsa.... Çünkü, burada.99. dır. Örnek: İ, istatistik dersinden başarısız öğrencileri ve ; bilgisayar dersinden başarısız öğrencileri göstersin. İ,45,,5 ve İ,5 verilmiş olsun İ,5 5 ai,5 7 ilgisayar Dersinde aşarılı olduğu bilinen öğrencinin İstatistik dersinden geçme olasılığı; İ,5 5 bi İstatistik Dersinde aşarılı olduğu bilinen İ,45 9 öğrencinin ilgisayar dersinden geçme olasılığı; ci İ + İ,45+,5-,5,55 u iki dersten en az birinde başarılı olma olasılığı Örnek: ir fabrikada üretilen malların %4 ı makinesinde, %5 si makinesinde ve % nu C makinesinde üretilmektedir. u makinelerdeki üretimden, makinesindekilerin %4 ü, dekilerin %5 i ve C dekilerin % nün bozuk olduğu bilinmektedir.
a Üretilen mallardan rasgele alınan bir tanesinin bozuk olma olasılığını, b Rasgele alınan malın bozuk olduğu bilindiğinde, bu malın makinesinde üretilmiş olması olasılığını bulunuz. Cevaplar: a ir malın,, ve C makinelerinde üretilme olasılıklar, sırasıyla:.4.5 ve C. olarak verilmiştir. E : Rasgele alınan bir malın bozuk olması olayı olsun E.4, E.5 ve EC. olur. Üretilen mallardan rasgele alınan bir tanesinin bozuk olması olasılığı E olacaktır. E ye ilişkin toplam olasılık, E E + E + E C Koşullu olasılık tanımından, E E. + E.. + p E C. C yazılabilir. una göre, E.4..4 +.5..5 +...44 bulunur. b E? E E..4.,4 E E E.44 6 44 bulunur. Soru.6.4: y herhangi bir kişinin ölüm yaşını göstermek üzere, yaşam süresini tanımlayan olasılık yoğunluk fonksiyonu f y. 9. y y ; y olarak verilmiş olsun. ir kişi en azından 7 yaşında ise bu kişinin 8 ile 85 yaşları arasında ölmesi olasılığı nedir? 8 Y 85 Y 7? 8 Y 85 Y 7 8 Y 85 Y 7 85 8 7.. 9 9 y y dy y y dy..6 6 bulunur. ay ve paydadaki integralleri ayrı ayrı hesaplarsak:
. 7 85 9. 8 9 85 4 9 y y y y + y dy. 8 4 4 5 9 y y y y y dy. + 7 4 7 5 85 + 8.6 7 y 5 5 85. 8 Soru.6.6: Eğer <ise < olduğunu gösteriniz. < < <. olur.. < < olur. İkiden Çok Olay Olması Durumunda Kesişimler İçin Koşullu Olasılığın Kullanılması. Koşullu olasılıklar, kesişim olaylarının olasılıklarının bulunmasında da kullanılmaktadır. ve gibi iki olay olması durumunda,.. eşitlikleri kullanılmaktadır. Eğer ikiden çok olay söz konusu ise bir genelleme yapılır.,..., n n tane olay olmak üzere... n n... n n... n..... eşitliğinden bulunur. Örneğin;, ve C gibi üç olayımız olsun ve D olarak adlandırılsın. C D C C D. D C. C. C.. olarak yazılabilir. Örnek: 5 lik bir oyun kağıdı destesinden art arda üç kağıt seçiliyor. u üç kağıdın üçünün de s olma olasılığını bulunuz. birinci kağıdın, ikinci kağıdın ve C üçüncü kağıdın s olmasını göstersin. u durumda aranan olasılık C' dir. 4s s s s s s 48 diğer 48 diğer 48 diğer C C.
C..,, C 5 5 5 C C 4.. olarak hesaplanır. 5 5 5 555 Örnek: ir torbada 6 beyaz, 8 siyah S ve 4 kırmızı K top bulunmaktadır. Dört top yerine koymadan iadesiz çekiliyor., K,, S serisinin elde edilme olasılığı nedir? : İlk seçimde çekilen topun beyaz olması, : İkinci seçimde çekilen topun kırmızı olması; C: Üçüncü seçimde çekilen topun beyaz olması, D: Dördüncü seçimde çekilen topun siyah olması olayları olsun C D? Genel olarak... n n... n n... n..... yazabiliriz. 6 5 5 4 8S 8S K 8S 8S S 4K 4K K K 6, 8 4, 7 5 C, 6 D C 8 5 8 5 4 6 C D... olur. 5 6 7 8 5 Koşullu Olasılığın Özelliklerine İlişkin Teoremler: Teorem: S dır S Tanıt: S olur. S
Teorem: O ise S dir Tanıt: S S olur. Teorem:, ve φ ve ayrık olaylar ise ve dır. Tanıt: ve olur Teorem: ve ise. ' dir Tanıt: olur. olur. Teorem: ve dir ise ' Tanıt: olur. olur. Teorem: φ ve ayrık olaylar, ya da ise [ ] + U Tanıt: [ ] [ ] U U U [ ] U U + + + + + φ bulunur.
Teorem: ve ayrık olaylar ise [ ]. ' dıı + U Tanıt. [ ] [ ] U U [ ] + + + U Teorem: dir. Tanıt: S.7. ĞMSZLK ndependence ve gibi iki olaydan birinin gerçekleşmesi ötekinin gerçekleşme olasılığını etkilemiyorsa ve olayları bağımsızdır. Yani bir olayın gerçekleşme olasılığı önceki olayın gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlı değilse bu olaylara bağımsız olaylar denir. Simgelerle gösterirsek, ve/veya ve/veya. ise ve olayları bağımsızdır. ve olaylarının bağımsız olduğu biliniyorsa, ve. eşitlikleri sağlanır. Teorem: ve olayları bağımsız ise. olur Tanıt: U + ve U yazılabilir. elde edilir elde edilir.
Her iki eşitlikten - + + ve bağımsız olduğu için. dir.. [ ][ ].. ] [ ] [. + elde edilir.