FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ

FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ

2 Daha önce alıncı bölümde ek değişken durumunda fark denklemlerini ele almışık. Burada değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu fark denklemlerinden oluşan bir sisemin çözümü üzerinde duracağız. Bazı örnekleri aşağıda görebiliriz. () x = ax + by y = cx + dy (3) x = 2x + y + 3z y =.8x (2) x = 4x + 2 y = 3x 2y + 3 z =.4x 2 y

Yukarıda yer alan üç fark denklemi sisemi de birinci sıradandır. Yani 3 her bir sisem, değişkenlerin en yüksek birinci farkına göre yazılmışır. Burada oonom (yani değişkeninden bağımsız) fark denklemleri üzerinde yoğunlaşmakayız. Eğer sisemdeki üm denklemler doğrusal ve homojense, bu siseme birinci dereceden (doğrusal) homojen sisem diyoruz. Sisemdeki denklemlerden en az birisi doğrusal değilse ya da homojen değilse, sisem doğrusal ve homojen olmakan çıkar. Örneğin ve 3 numaralı sisemler doğrusal homojen, 2 numaralı sisem homojen olmayan doğrusaldır.

Şimdi iki değişkenden oluşan bir doğrusal homojen fark denklemi sisemini anımlayıp, bunu maris biçimde yazalım. 4 ya da x ax by x a b x = + = y cx dy y c d y = + u =Au - Sisem homojen değilse, u =Au +s - u A u -

Bu genel yazıma göre, 2 ve 3 numaralı denklem sisemlerini de maris 5 biçimde göserelim. x = 4x + 2 x 4 x 2 y 3x 2y 3 y = + 3 2 y 3 = + x = 2x + y + 3z x 2 3 x y =.8x y =.8 y z.4 2.4 2 z z x y =

Sisem dengedeyken, üm değerlerinde x =x =x * ve y =y =y * olacağından, şunu yazabiliriz: 6 * * x a b x = y * c d y * ya da * * u =Au Buna göre, denge çözümünü de şöyle elde edebiliriz: * * * * u =Au u -Au = ( ) * * ( ) I-A u = u = I-A = -

Sisem homojen değilse, denge çözümü şöyle sağlanacakır: 7 * * x a b x s = + y * c d y * s2 ya da * * u =Au +s Buna göre, denge çözümünü de şöyle elde edebiliriz: * * * * u =Au +s u -Au =s ( ) * * ( ) I-A u =s u = I-A s - (I A) var olduğu sürece, anımlı denge değerleri elde edilir.

Örnek : 8 x = 2x + 3y x 2 3 x = y x y y 2 y = 2 + I-A 3 = 2 ( ) I-A u * = = = = * * 3 x x * * 2 y y

Örnek 2: 9 x = 4x + 2 x 4 x 2 = y 2x 2y 3 y + 3 2 y = + 3 * - - 3 ( ) ( ) u = I-A s, I-A = u * * * x 2 3 x = = * = y 3 * y = 53 23

Yukarıda bir fark denklemi siseminin denge nokalarının nasıl belirlenebileceğini gördük. Bundan sonraki aşamada, sisemin, denge değerlerinden uzaklaşığında, yeniden kararlı biçimde dengeye yakınsayıp yakınsamayacağına bakacağız. Sürecin kararlılığını belirlemek, sisemin çözülmesiyle görülebilir. Örneğin birinci sıradan doğrusal homojen bir sisemi dikkae alalım. u =Au - ( ) =A Au =Au 2-2 -2 ( ) =A Au =Au 2 3-3 -3

Bunun çözümü: u =A u Birinci sıradan homojen olmayan doğrusal fark denklemini de yukarıdaki gibi çözebiliriz. u =Au +s - ( ) =A Au +s +s=a u +As+s 2-2 -2 ( ) =A Au +s +As+s=A u +A s+as+s 2 3 2-3 -3 ( ) u =Au + I+A+A +...+A 2 - s

Birinci sıradan homojen olmayan doğrusal fark denklemini farklı bir biçimde de çözebiliriz. Homojen olmayan bu sisemi, dengeden sapmaları dikkae alarak homojene dönüşürürüz: 2 u =Au +s - * * u =Au +s ( *) ( *) u -u =A u -u z =Az - - z z-

Şimdi yeniden birinci sıradan homojen doğrusal fark denklemini çözümüne bakalım. Bunun için karakerisik köklerden yararlanacağız. Fark denklemleri sisemini maris biçimde yeniden anımlayalım. 3 x a b x = y c d y A ya da u =Au - Bunun çözümünü de şöyle belirlemişik: u =A u

A marisinin karakerisik kökleri ve vekörlerini kullanarak, fark denklem siseminin çözümüne ulaşmak için, ilk olarak köşegenleşirme yapalım. 4 b b 2 - - D= =V AV V DV=A ( )( ) A = V DV 2 - - - 2 ( )( ) A = V D V 2-2 - - 3 - A =V D V V DV =V D V V DV =V D V

5 - A =V D V u =A u =V D Vu - b - b b u =V Vu, V = v v b2 2 Buna göre (belirli olmayan) genel çözüm: u = Abv + Abv b 2 2 b 2

Genel çözümdeki A ve A 2 erimleri belirli olmadığından, bu çözüme 6 belirsiz genel çözüm de diyebiliriz. = alarak, bu erimleri belirleyebiliriz. u = Abv + Ab v, = u = Av + Av b b b b 2 2 2 2 2 b b2 b b2 u = A v A v v v V 2 A = A2 V u - A A + = = A2 A2

Örnek 3: 7 x = 8 x + y + y = 4.3x +.9y x + = 2, y = 8 Bu, birinci sıradan homojen olmayan bir fark denklemi sisemidir. Bunu homojen hale dönüşürmek için, dengeden farkını alalım. x = x = x, y = y = y * * + +

x = 8 x + y + 8 x = 8 x + y * * * ( ) ( ) x x = x x + y y * * * + y = 4.3x +.9y + y = 4.3x +.9y * * * ( ) ( ) y y =.3 x x +.9 y y * * * +

Bu durumda her iki fark denklemi de homojen hale dönüşmüşür. İkinci aşamada bu sisemi maris biçimiyle yazalım ve karakerisik kökleri ve vekörleri araşıralım. 9 ( ) ( ) x x = x x + y y * * * + ( ) ( ) y y =.3 x x +.9 y y * * * + x x * x x * + = y y *.3.9 y y * + A

Karakerisik kökler: 2 A =.3.9 A-bI b =.3.9 b b = = b + b =.3.9 b 2 A-bI..6 b =.7262, b =.8262 2

Karakerisik vekörler: 2 b =.7262 ( ) b b ( ) = = b A I v A.7262I v b.7262 v b =.3.738 v 2 e normalleşirme b b.7262v v + = 2 b b.3v.738v + 2 = v = v =.5793 b b 2

22 b 2 =.8262 ( ) b b ( ) = + = 2 b2 A I v A.8262I v 2 b2.738 v b = 2.3.7262 v 2 b2 b2.738v v + = 2 b2 b2.3v.7262v + 2 = v = v = 5.7537 b b 2 2 2

23 V v v b b2 = = u b V V u - = b2 -.5793 5.7537 ( ).7262 u = V V u (.8262) x 4.4 = 2, y = 8 u = 2.8

24 * ( ) x.7262-4.4 + x u = V V * = ( ) y 2.8 + y.8262.5793 5.7537.93. V =, V =.93. * ( ) ( ) x 7.75.7262 3.35.8262 + x + * = y + y 3.38.7262 + 5.83.8262 ( ) ( )

x y + + * x = + ( ) ( ) 7.75.7262 3.35.8262 * y = + ( ) ( ) 3.38.7262 5.83.8262 25 Denge değerlerini de (x *, y * ) belirleyerek, sisemin grafiğini çizebiliriz. x = 8 x + y + y = 4.3x +.9y + x = x = x, y = y = y * * + + * * * x = 8 x + y * * * y = 4.3x +.9y x = 6.4, y = 2.8 * *

26 x y + + ( ) ( ) = 7.75.7262 + 3.35.8262 + 6.4 ( ) ( ) = 3.38.7262 + 5.83.8262 + 2.8 Yukarıdaki sonuç, sisemin belirli genel çözümüdür. Bu siseme ilişkin aşağıdaki 7.a ve 7.b grafiklerinden de yakınsama sürecinin gerçekleşmesini görebilmekeyiz.

Şekil 7.a. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciS 27 25 2 ( ) ( ) y + = 3.38.7262 + 5.83.8262 + 2.8 5 5 x() y() ( ) ( ) x + = 7.75.7262 + 3.35.8262 + 6.4-5 9 28

Şekil 7.b. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciS 28 25. 2. y() 2.8 5.. 5. x = 8 x + y + y = 4.3x +.9y x + = 2, y = 8 x (). 6.4-4 -2 2 4 6 8

Sisemdeki değişken sayısı üçe çıkığında. 29 - A =V D V u =Au =V DVu - b - u =V Vu b2, b V = v b v b v b 3 2 3 Ab + Ab + Ab b b2 u = v v v 2 2 2 2 b 3

Örnek 4: 3 x = x + 2 y + z y = x + y z = 3x 6y z x = 3, y = 4, z = 3 Bu, birinci sıradan homojen doğrusal bir fark denklemi sisemidir. Bunu ilk olarak maris biçimde anımlayalım. Sonraki aşamalarda, karakerisik kökler ve vekörleri belirleyerek çözüme ulaşalım.

x 2 x y = y z 3 6 z 3 b 2 A-bI= b 3 6 b ( 2 b ) A-bI = b b 2 = b =, b =, b = 2, 2 3

b = 32 ( ) b b ( ) = = b A I v A ( )I v b 2 2 v b 2 v = 2 b 3 6 v 3 + 2 + 3 = } v 2v2 v v2, v3 3 2 2 = b b b 2v 2v v b b b b b + = = = = b b 3v 6v e normalleşirme

b 2 = 33 ( ) b b ( ) = = 2 b2 A I v A ()I v 2 b2 2 v b 2 v = 2 b 2 3 6 v 3 e normalleşirme b2 b2 b2 v + 2v2 + v3 = b } 2 b 2 b2 b2 b2 v + v2 = v = v2 =, v3 = 3 b2 b2 b2 3v 6v2 v2 =

b 3 = 2 34 ( ) b b ( ) 3 b3 A I v A (2)I v = = 3 b3 2 v b 3 v = 2 b3 3 6 3 v 3 e normalleşirme b3 b3 b3 v + 2v2 + v3 = b } 3 b 3 b3 b3 b3 v v2 = v = v2 =, v3 = 3 b3 b3 b3 3v 6v2 3v2 =

= = = 3 3 3 b b2 b3 v.5, v, v 35 2.67 3 = = = 3 3 3.5.67 3 V.5, V.5 2.5, u 4 ( ) x u = V Vu ( 2) z - ( ) y =

36 x y z ( ) ( ) = 6 + 2 2 ( ) ( ) = 3 2 2 ( ) ( ) = 8 + 6 2

Şekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SüreciS 37 25 2 5 5-5 - 5 5 x() y() Z()

Şu ana kadar fark denklemleri sisemini çözerken, A marisinin doğrusal bağımsız öz-vekörlerinden (V) yararlandık. Çözüm sürecinde kullandığımız A ve V nin Jordan biçimini sisemaik olarak anımlayalım. V AV J A = VJ V - - u = Au u = A u u = VJ V u - - 38 J b b2 = bn

Buna göre, fark denklemleri siseminin çözümüne ulaşabilmek için 39 yapmamız gereken, J ve V marislerini bulmakır. b, b 2,,b n A marisinin farklı öz-değerleriyse, bu durumda birbirinden doğrusal bağımsız olan v, v 2,,v n öz-vekörleri belirlenebilir. Özdeğerler (karakerisik kökler) ekrar ediyorsa, öz-vekörlerin doğrusal bağımsızlığı oradan kalkar. Yani köşegenleşirme işlemi yapılamaz. Bununla birlike, çözümün elde edilmesine olanak sağlayan bir sahe köşegenleşirme olanaklıdır.

Şimdi farklı kökler, ek kök ve sanal kökler durumlarını, iki değişkenli 4 bir fark denklemi (2x2 maris) için özeleyelim. - V AV - V AV - V AV J = b2 J2 = J b b 3 = b α+βi α βi

Sisemin çözümünü belirlediken sonra, kararlı olup olmadığını 4 inceleriz. Bunun için sisemin aşama grafiğini bize sağlayacak olan bir dönüşüm yapalım. u =Au - u =V AV = Vz u = Vz = AVz V Vz = V AVz - - = J = b2 z Jz, b

42 z =Jz -, u =Au - ifadesinin emel ve sade biçimi olarak anımlanmakadır. Çeşili dönüşürme işlemleriyle elde eiğimiz bu sade biçimin çözümü de şöyledir: b z = J z = z, z = V u - b2 z b z = z2 b z 2 2

(z 2 / z ) oranına bakarak, sisemin kararlı hareke edip emeyeceğini 43 söyleyebiliriz. z = bz, z = bz 2 2 2 2 2 2 b 2 2 bz z bz z = = z b z Buna göre, sisemin kararlılığı, (b 2 / b ) oranının hem işareine hem de sayısal büyüklüğüne bağlıdır. Bunları özeleyelim:

İki farklı reel kök k k durumunda sisemin kararlılığı ığı: 44. b < ve b 2 < ise, sisem kararlıdır. 2. b > ve b 2 > ise, sisem kararsızdır. 3. b > ve b 2 < ise, sisem kararsızdır. Tek reel kök k k durumunda sisemin kararlılığı ığı:. b < ise, sisem asimpoik olarak kararlıdır. 2. b > ise, sisem asimpoik olarak kararsızdır.

Örnek 5: İki Farklı Reel Kök K k Durumu 45 x x y x x x * + =.8578 + = = = * 2.3578 y y y + + = = = y = x + y x+.8578 x y = 2.3578 y +.8578 b (A - bi) = = 2.3578 b ( )( ).8578 b 2.3578 b + = b = 2, b =.5 2

Belirlediğimiz birinci kökü kullanarak, birinci öz-vekörü bulalım. 46 b = 2 b b (A - b I)v = (A - 2I)v = b 2.8578 v b =.3578 v 2 b b 2.8578v v2 = b b v +.3578v2 = v =, v = 2.858 b b 2

Benzer şekilde ikinci kökü kullanarak, ikinci öz-vekörü bulalım. b 2 =.5 47 b2 b2 (A - b I)v = (A (.5)I)v = 2 b2.3578 v b = 2 2.8578 v 2 b2 b2.3578v v2 = b2 b2 v + 2.8578v2 = v =, v = 2.858 b b 2 2 2

Şimdi, yukarıdaki öz-vekörleri bir arada yazalım. 48 b 2.858 b 2 v =, v = 2.858 V 2.858 = 2.858 Vekörlerden birisi kararlılık yolunu, diğeri de kararsızlık yolunu gösermekedir. Hangisinin kararlılık yolunu göserdiğini belirleyebilmek için, sisemi sade (kanonik) biçimde yeniden anımlayalım. Kanonik biçime dönüşürme işlemini şöyle yapmışık:

z = V u - + + 49 Dönüşürme işlemini birinci öz-vekör için yapalım ve kanonik çözümü elde edelim. V.4.4 =.4.4 z = V u z = V u - - + + z.4.4 = =.4.4 2.858

5 ( ) = = 2 = 2 z b z z 2 2 2 2 ( ) ( ) z = b z z =.5 = Benzer biçimde, ikinci öz-vekörleri kullanarak, diğer kanonik çözümleri elde ederiz. 2 2 2 2 ( ) z = b z z = 2 = (.5) ( ) (.5) z = b z z = =

İlk olarak birinci kanonik çözümlere bakarak, sisemin kararlı ya da 5 kararsız yollarından hangisi olduğunu görelim. z + iken, + v b olmakadır. Bu durum, vekörünün, kararsız yolu emsil eiğini v b 2 söylemekedir. Diğer vekör ( ) için de aynı sınamayı yapalım. Yani z 2 iken, + olmakadır. Bu durum, vekörünün, kararlı yolu v b 2 emsil eiğini söylemekedir. Sisemdeki öz-vekörlerden biri kararlı diğeri de kararsız yol olduğundan, bir eyer dengesi vardır.

52 Bu örneke b =2> ve b 2 =.5< olduğundan, sisem kararsızdır. Kararsız yol, sisemin başa durumunu belirler. Ancak başlangıç nokasının seçimi önemlidir. Aşağıdaki şekillerde, başlangıç nokası olarak (, 2.858) in seçilmesi, kararlı bir dinamik sürece yol açar. Ancak = dan öede bir başlangıç nokasının belirlenmesi, sisemin kararsız hareke emesine neden olur.

Şekil 7.2a. Örnek 5 e 5 Kararlı Yol 53 (, 2.858).2..8-4 -3-2 - -.2 2.6.4.2. -.4 -.6

Şekil 7.2b. Örnek 5 e 5 Kararsız z Yol 54. -5. 2 4 6 8 2 -. -5. -2. -25. -3. -35.

Şekil 7.2c. Örnek 5 e 5 Kararlı ve Kararsız z Yol 55-5 6 2..5 - -5-2..5-25 -3 x() y(). -.5-35 x() y() -.

Tek Reel Kök K k Durumu: 56 Karakerisik denklemin çözümünde elde edilen reel kök sayısı iki ane olduğunda, genel olarak şu çözümü yazıyorduk: x = Ab v + A b v b b 2 2 2 y A b v A b v b b2 = 3 2 2 + 4 2 2 u = A b v + A b v 2 2 2 Karakerisik denklemin çözümünden ek reel kök elde edildiğinde, her bir denklemde ayrıca A n b erimini de ekleyerek çözüme ulaşmışık. Şimdi bir denklem sisemi için bunun yeerli olmayacağını görelim ve genel çözüme nasıl ulaşabileceğimizi belirleyelim.

57 İlk olarak A n b erimini deneyelim. u = b v, u =Au, b + ( ) + b = b A = b + v A v, v v b + v =, b, v b ve v olması nedeniyle, A n b çözüm değildir. Şimdi şu çözümü deneyelim: u = b v + b v 2

u = b v + b v, u =Au, b 2 + 58 ( ) + b v + b v = Ab v + Ab v + + 2 2 Av = bv, Av = bv 2 2 ( ) Av bv = bv A bi v = bv 2 2 2 Bu çözüm, doğrusal fark denklemi siseminin çözümüdür. Buna göre, genel çözümü yazalım. ( ) 2 2 u = A b v + A b v + b v

Örnek 6: Tek Reel Kök K k Durumu 59 x x y x x x * + = 4 + + = = = 2 * 2 3 y y y 4 + + = = = y = + x + y x+ x 4 y = + 3 y 2 + b (A - bi) = = 3 b ( )( ) b 3 b + = b = b = b= 2 2

Belirlediğimiz ek reel kökü kullanarak, birinci öz-vekörü bulalım. 6 b = b = b= 2 2 b b (A - bi)v = (A - 2I)v = b v b = v 2 v v + = b b 2 = b b v =, v2 =, v = b b v v2

Şimdi ikinci öz-vekörü bulalım. 6 ( A bi) v2 = bv v v = 2 v2 v = = 2 v 2 Buna göre, üm vekörleri ve Jordan marisini bir arada yazalım. b 2 V = v v 2 =, J = = b 2

x ve y erimlerinden oluşan doğrusal ikinci sıra homojen olmayan fark 62 denklemini, Jordan marisini kullanarak, kanonik biçime (z) dönüşürelim. - u =VJ V u J b b 2 2 = = b 2 2 2 z J z z z 2 = =

z = 2 z + 2 z 2 63 z = 2 z 2 2 Bu çözümden görülebileceği gibi, z + ve z 2 + iken, başlangıç koşulu ne olursa olsun + olmakadır. Bu kararsız süreci, Şekil 7.3a ve 7.3b de de görebiliriz. Ayrıca, fark denklemi çözümünü kanonik biçimden, normal biçimine dönüşürelim. x y ( ) ( ) = 2.9 2 + 7.9 2 ( ) ( ) = 4 3.9 2 7.9 2

Şekil 7.3a. Örnek 6 da 6 Kararsız z SüreS reç 64 9 x ( ) ( ) = 2.9 2 + 7.9 2 8 7 6 5 y ( ) ( ) = 4 3.9 2 7.9 2 x() y() 4 3 2 3 5 7 9

Şekil 7.3b. Örnek 6 da 6 Kararsız z SüreS reç 65 - x() 2 3 4 5 6 7 8-2 -3-4 -5-6 -7-8 -9 - y ()

Karmaşı şık k Kökler K Durumu: 66 Karakerisik kökler karmaşık sayı olduğunda, Jordan marisi ve kanonik biçim şöyle yazılacakır. ( ) h+ vi h+ vi J =, J ( ) h vi = h vi ( ) h+ vi z = J z = z ( h vi)

z = h+ vi z = R θ + i θ ( ) cos( ) sin( ) 67 z2 = h vi z2 = R θ i θ ( ) cos( ) sin( ) R= h + v 2 2 Karakerisik köklerin sanal sayı olması, fark denklemi siseminin salınımlı olmasına neden olacakır. sin ve cos fonksiyonları, + ile - aralığında salınım göserirler. + iken z ve z 2 nin limileri, R erimine bağlıdır.

68. R < ise sisem asimpoik olarak kararlıdır. 2. R = ise sisem denge değeri erafında sürekli salınır. 3. R > ise sisem kararsızdır.

Örnek 7: Karmaşı şık k Kökler K Durumu 69 x x y + =.5 +.3 * x+ = x = x = + = + * y+ = y = y = y x y x =, y = 5 x+.5.3 x y = y +.5 b.3 (A - bi) = = b b 2.5b+.8 = b =.75 +.49 i, b =.75.49i 2

7 b =.75 +.49 i, b2 =.75.49 i h v h v 2 2 R h v R 2 2 ( ) ( ) = + =.75 +.49 =.89 R =.89< olduğundan, sisem kararlıdır. Denge nokasından (x * =, y * =) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında, yeniden denge nokasına dönülmekedir. Örneğin başlangıç nokasını x =, y = olarak seçiğimiz grafike, yakınsak süreci izleyebiliriz (Şekil 7.4a ve 7.4b).

Şekil 7.4a. Örnek 7 de 7 Kararlı-Dalgal Dalgalı Süreç 7. 5. y () ( x ), y x(). - -5 5 5-5. -. -5.

72 Şekil 7.4b. Örnek 7 de 7 Kararlı-Dalgal Dalgalı Süreç 2 8 6 x() y() 4 2-2 9 28

Şimdi bu fark denkleminin çözümünü açık olarak x ve y cinsinden 73 görelim. Ancak unumayalım ki, fark denkleminin x ve y cinsinden çözümü ile kanonik biçimdeki çözümünün kararlılık davranışları aynıdır. Yukarıda karakerisik kökleri belirlemişik. Bu kökleri kullanarak karakerisik vekörleri (öz-vekörleri) bulalım.

74 b (A - b I)v = ( ) b.5.75 +.49i.3 v ( ) b =.75.49i v + 2 ( ) v i v + v = b b.25.49.3 ( ) 2 +.25.49i v = b b 2 b b v v i = =.83+.63 2

75 b2 (A - b I)v 2 = ( ) b 2.5.75.49i.3 v ( ) b = 2.75.49i v 2 ( ) v + i v + v = b2 b2.25.49.3 ( ) 2 +.25 +.49i v = b b 2 2 2 b2 b2 v v i = =.83.63 2

76 V b b2 v v = b b = 2 v.83.63i.83.63i 2 v + 2 V -.5 +.26i.3i =.5.26i.3i J ( ) b.75.49 + i = = ( ) b2.75.49i

77 x =, y = 5, u = = u2 u 6.58 4.39 x = y u =VJ V u + - + ( )( ) ( )( ) x.66 2.36i.75.49i.66 2.36i.75.49i + + + + ( )( ) ( )( ) y = + 4.39 +.9i.75.49i + 4.39.9i.75 +.49i

Örnek 8: Karmaşı şık k Kökler K Durumu 78 x x y x x x * + = + 2 + = = = * y y y + + = = = y = x + y x+ 2 x = y y + b 2 (A - bi) = = b b 2 2b+ 3= b = + i 2, b = i 2 2

Şekil 7.5a. Örnek 8 de 8 Kararsız-Dalgal Dalgalı Süreç 79. y() 5.. -5 5 5 2 25-5. ( x ), y x() -. -5. -2.

8 Şekil 7.5b. Örnek 8 de 8 Kararsız-Dalgal Dalgalı Süreç 5 5-5 - -5-2 -25 x() y() -3

Örnek 9: Karmaşı şık k Kökler K Durumu 8 x x y x x x * + =.5 +.5 + = = = * y y y + + = = = y = x + y x+.5.5 x y = y +.5 b.5 (A - bi) = = b b 2.5b+.25 = b =.75 +.66 i, b =.75.66i 2

b =.75 +.66 i, b =.75.66i 2 82 2 2 R h v R 2 2 ( ) ( ) = + =.75 +.66 = R = olduğundan, sisem belirsizdir (ne ıraksak ne de yakınsak). Denge nokasından (x * =, y * =) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında, denge nokasına yeniden dönülememeke, başlangıç nokasının erafında aynı salınım yinelenmekedir. Örneğin başlangıç nokasını x =5, y =5 olarak seçiğimiz grafike, ekrarlı dalgalı süreci izleyebiliriz (Şekil 7.6a ve 7.6b).

Şekil 7.6a. Örnek 9 da 9 Belirsiz-Dalgal Dalgalı Süreç 83. y() 8. 6. 4. 2.. -6-4 -2 2 4 6-2. -4. -6. -8. -. ( x ), y x()

84 Şekil 7.6b. Örnek 9 da 9 Belirsiz-Dalgal Dalgalı Süreç 2 x() y() 8 6 4 2-2 9 28

Fark Denklemi Siseminin SüreS reç Grafikleriyle GöserilmesiG 85 Aşağıdaki fark denklemi sisemini dikkae alalım. x =α +α x +α y, x = x x + 2 + + y =β +β x +β y, y = y y + 2 + + Şimdi bu sisemi denge değerlerinden sapmalar olarak yeniden anımlayalım. Dengede, x = x = x, y = y = y * * + +

x x =α +α x +α y + 2 86 y y =β +β x +β y + 2 =α +α x +α y * * 2 =β +β x +β y * * 2 ( *) ( *) x =α +α x x +α y y + 2 ( *) ( *) y =β +β x x +β y y + 2

Dikkae aldığımız fark denklemi siseminin kasayılarına çeşili kısılamalar koyarak, süreç grafiklerini (phase diagrams) çizebiliriz. 87 x =α +α x +α y, α, α > + 2 2 y =β +β x +β y, β >, β < + 2 2 α α x = y = x + α2 α2 β β y = y = x + β2 β2

x + = ve y + = için elde eiğimiz x ve y denklemleri, süreçlerin nasıl gelişeceğini belirlemede kullanacağımız eş-denge eğrileridir (isoclines). Bunların üsünde ve alındaki diğer vekörleri de belirleyerek, bu referanslar dışındaki süreçlerin de nasıl oluşacağını görebiliriz. α α x+ > y > x, α, α 2> α2 α2 88 α α x+ < y < x, α, α 2> α2 α2

89 β β y+ > y < x, β >, β 2 < β2 β2 β β y+ < y > x, β >, β 2 < β2 β2 Birinci eş-denge eğrisinin eğiminin negaif, ikincinin eğiminin de poziif olacağına dikka edelim. Buna göre, eş-denge eğrileri ve süreç grafiklerini Şekil 7.7a ve 7.7b olarak çizdik.

Şekil 7.7a. SüreS reç Grafiği i (Phase( Diagram) ve Eş-Denge E EğrileriE 9 y > x + < x + = x + x

Şekil 7.7b. SüreS reç Grafiği i (Phase( Diagram) ve Eş-Denge E EğrileriE 9 y < y + = y + > y + x

92 Şekil 7.7a ve 7.7b olarak çizdiğimiz süreç grafikleri, dengenin eyer dengesi biçiminde oluşuğunu gösermekedir. x vekörüne göre dengeden uzaklaşma, y vekörüne göre de dengeye yaklaşma söz konusudur. Şimdi her iki vekörü (eş-denge eğrilerini) ek grafik üsünde göserelim ve süreç kuvvelerini de belirelim. Bunu Şekil 7.8 ile çizdik.

Şekil 7.8. SüreS reç Grafiği i ve Vekörel Kuvveler 93 y Kararlı Yol = y + Kararsız Yol * y * x = x + x

Örnek : 94 x = 2 +.3x + 3 y + y = 4+.25x.5y + x+ = y = 4.x * * x = y = y+ = y = 2.67 +.7x 5, 3.5 İlk olarak sisemi, bu denge değerlerinden sapmalara göre yazalım ve çözümünü elde edelim. Ardından da dinamik davranışını belirleyelim.

x = x x = 2 +.3x + 3 y + + 95 x = 2 +.3x + 3 y + x = 2 +.3x + 3 y * * * ( *) ( *) ( * x ) + x =.3 x x + 3 y y y = y y = 4+.25x.5y + + y = 4 +.25x.5 y + y = 4 +.25x.5 y * * * ( *) ( *) ( * y ) + y =.25 x x.5 y y

Buna göre, denge değerleri yakınında sisemin dinamik davranışı, sisemin dengeden sapmalarına göre belirlediğimiz denklemlerin kasayılarının oluşuracağı maris ile belirlenecekir. 96 A 3. 3 = 25. 5. Öz-değerleri bulalım. 3. b 3 = = b. b. 25. 5. b 2 A-bI 8 4 b = 65., b = 85. 2

Şimdi de öz-vekörleri belirleyelim. 97 b = 65. A-b I = 35. 3 25. 25. b b A- I v v b b 35. 3 v b 25. 25. v 2 = = b b 35. v + 3v2 = b b 25. v 25. v2 = b b v, v. = = 86 2

98 b = 85. 2 A-b I 2 = 25. 3 25. 35. b b2 A- I v 2 b2 25. 3 v b2 25. 35. v 2 = =. v + v2 =. v +. v 2 = b2 b2 25 3 b2 b2 25 35 b2 b2 v, v. = = 4 2

b 86 4 b.. 2 V = v v = 99 Ayrıca Jordan marisini de yazalım. J ( ) ( ) b 65. = = ( ) ( ) b 85. u için rasgele değerler alarak sisemin çözümü bulalım. u = 2

- u VJ V u y = = x ( ) ( ) x = 226. 85. + 326. 65. ( ) ( ) y = 62. 85. + 38. 65. Sisemin çözümünü bu şekilde elde eiken sonra, süreç grafikleriyle dinamik davranışlarını inceleyelim. Örneğin en başında eş-denge eğrilerini belirlemişik. Bunları yeniden yazalım ve bunların üs ve al bölgelerindeki davranışların (vekörsel kuvvelerin) ne olacağına bakalım.

y y = 4.x = 2.67 +.7x x > y > 4.x + x < y < 4.x + y > y > 2.67+.7x + y < y < 2.67+.7x + Eş-denge eğrileri ve vekörsel kuvveler, Şekil 7.9 da çizilmişir.

Şekil 7.9. SüreS reç Grafiği i ve Vekörsel Kuvveler 2 y Kararlı Yol y + = 4 * y = 35. Kararsız Yol 267. x + = * x = 5 x

Şekil 7.9 da da kararlı sürecin yalnızca kararlı yol üzerindeyken olanaklı hale geldiği görülebilmekedir. Başlangıç nokasının bu yolun üzerinde bulunmadığı diğer üm durumlar, sisemin kararsız (yani dengeden uzaklaşan) bir dinamik davranış izlemesine neden olacakır. 3

4 Ekonomide İç ve DışD Denge Ekonomide aynı anda iç dengenin am isihdamı karşıladığı reel GSYİH düzeyi ve dış dengenin de ödemeler bilançosu dengesi ile sağlamanın amaçlandığı bir poliika karması düşünelim. Tinbergen e göre (956), iki farklı poliikanın gerçekleşirilebilmesi için, iki farklı araca gerek duyulur. Birincisi iç dengenin gerçekleşirilebilmesi için kamu harcama poliikası, ikincisi dış dengenin gerçekleşirilebilmesi için, yur dışı sermaye akışlarını ekileyecek olan faiz oranı. Şimdi bu iki poliika aracını, dengeden sapmalara göre anımlayalım.

5 ( * ) g = g g = k g g, k < + + ( * ) r = r r = k r r, k < + + 2 2 * g Burada, dönemindeki hedeflenen kamu harcamaları düzeyi;, dönemindeki hedeflenen faiz oranıdır. * r Bunu sayısal değerleri dikkae alarak çözelim. İç ve dış dengenin (bir modelden harekele) aşağıdaki gibi anımlanmış olduğunu varsayalım.

İç Denge : Dış Denge : r r = 3.925 +.5g = 7.958 +.86g 6 İç ve dış dengenin oluşuğu durumlarda, şunlar sağlanmış olmalıdır: g r * * = 7.85 + 2r = 7.958 +.86g Buna göre, iç ve dış dengedeki değişimlerin sağlanması için gereken kamu harcama poliikası ve faiz poliikasını yazabiliriz.

( ) g = k g 7.85 2 r, k < + 7 ( ) r = k r 7.958.86 g, k < + 2 2 Bu iki denklemi g + = ve r + = için çözerek, eş-denge eğrilerini (isoclines) bulabiliriz. Elde edeceğimiz bu referans vekörler sırasıyla yur içi ve yur dışı dengeyi sağlamakadır. Her iki denklemin eşanlı çözümüyle elde edilecek olan g * ve r * değerleri de, iç ve dış dengenin aynı anda sağlanabileceği denge kamu harcama düzeyi ile denge faiz oranını göserecekir.

r r 3.925.5g = 7.958 +.86g = + * * g = r = 37.84, 5 8 Kuvve vekörlerini de aşağıya yazarak, süreç grafiğini Şekil 7. da çizelim. g > r > 3.925 +.5 g, r arıyor. + g < r < 3.925 +.5 g, r azalıyor. + r > r < 7.958 +.86 g, r arıyor. + r < r > 7.958 +.86 g, r azalıyor. +

Şekil 7.. Ekonomide İç ve DışD Denge İçin SüreS reç Grafiği i ve Kuvve Vekörleri 9 r I g + = İç Denge II Dış Denge r + = * r = 5 267. IV III * g = 37. 84 g

İç dengeyi göseren eş-denge eğrisinin sol üs kısmında (yani I. ve IV. bölgeler) g arıyor (yaay kuvve vekörleri bunu göserecek biçimde sağ yöne doğru çizilmişir), sağ al kısımda (yani II. ve III. bölgeler) g azalıyor (yaay kuvve vekörleri bunu göserecek biçimde sol yöne doğru çizilmişir). Benzer şekilde dış dengeyi göseren eş-denge eğrisinin sol üs kısmında (yani I. ve II. bölgeler) r azalıyor (dikey kuvve vekörleri bunu göserecek biçimde aşağı yöne doğru çizilmişir), sağ al kısımda (yani III. ve IV. bölgeler) r arıyor (dikey kuvve vekörleri bunu göserecek biçimde yukarı yöne doğru çizilmişir).

Dengeden sapma karşısında değişirebileceğimiz kamu harcama değişiminin duyarlılık kasayısı (k ) ile, faiz poliikası duyarlılık kasayısına (k 2 ) sayısal değerler vererek, dinamik sürecin izleyeceği yörüngeyi de görebiliriz. Şu değerleri dikkae alalım: k = 5., k = 75. 2 ( ) g =.5 g 7.85 2r + ( ) r =.75 r 7.958.86g +

2 g = 3.93 +.5g + r + r = 5.97 +.4g +.25r + g = 2, r = 9 Bu sisemi ve başlangıç değerlerini dikkae alan kararlı süreç grafikleri Şekil 7a ve Şekil 7.b ile göserilmişir. Şekil 7. deki süreç grafiğinde olduğu gibi, sisem kararlı davranarak, denge dışı bir durumdan (g =37.84, r =5), dengeye (g * =37.84, r * =5) dönüş yapmakadır.

Şekil 7.a. Ekonomide İç ve DışD Dengenin Kararlı Davranışı 3 7 6 5 r g 4 3 2 9 28

Şekil 7.b. Ekonomide İç ve DışD Dengenin Kararlı Davranışı 4 r 9. 7. 5. 3. ( * * g,r ). 9. 7. ( g,r ) 5. g 5 2 25 3 35 4 45 5

Şimdi bu örneğe am ersi bir şekilde yaklaşım. Faiz oranını iç dengeyi sağlamak, kamu harcamalarını da dış dengeyi sağlamak için kullanalım. 5 İç Denge : Dış Denge : r r = 3.925 +.5g = 7.958 +.86g r * g * = 3.925 +.5g = 42.785 + 5.376r

6 ( * ) ( ) r = k r r = k r + 3.925.5 g, k < + 3 3 3 ( * ) ( ) g = k g g = k g + 42.785 5.376 r, k < + 4 4 4 Bu iki denklemi g + = ve r + = için çözerek, eş-denge eğrilerini (isoclines) bulabiliriz. Elde edeceğimiz bu referans vekörler sırasıyla yur içi ve yur dışı dengeyi sağlamakadır. Her iki denklemin eşanlı çözümüyle elde edilecek olan r * ve g * değerleri de, iç ve dış dengenin aynı anda sağlanabileceği denge faiz oranı ile denge kamu harcama düzeyini göserecekir.

r r g = 7.958 +.86g = 3.925 +.5 * * = = g 37.84, r 5 7 Kuvve vekörlerini de aşağıya yazarak, süreç grafiğini Şekil 7.2 de çizelim. r > r < 3.925+.5 g, r arıyor. + r < r > 3.925+.5 g, r azalıyor. + g > r > 7.958 +.86 g, g arıyor. + g < r < 7.958 +.86 g, g azalıyor. +

Şekil 7.2. Ekonomide İç ve DışD Denge: Eyer Dengesi 8 * r = r 5 267. I IV E r + = İç Denge Dış Denge III II Kararsız Yol Kararlı Yol g + = * g = 37. 84 g

I. bölgede faiz oranı azalırken, kamu harcamaları arıyor; III. bölgede 9 de faiz oranı ararken, kamu harcamaları azalıyor. Ekonomi başlangıça kararlı yol üzerindeki bir konumdaysa, kararlı yol boyunca bir eyer dengesi süreci yaşanır. Başlangıç nokası kararlı yolun dışında ise, sisem kararsız bir davranış sergileyecek, yani ekonomi dengeden giderek uzaklaşacakır. II. ve IV. bölgelerin amamı dengeden uzaklaşılacak başlangıç nokalarına sahipir.