Zamanla Değişen Alanlar ve Maxwell Denklemleri

Transkript

1 Zamanla Değişen Alanlar e Maxwell Denklemleri

2 lekrik e Manyeik Kue ir elekrik alan içerisine küçük bir q es yükü yerleşirildiğinde, q nun konumunun fonksiyonu olan bir elekrik kuei oluşur F e F m q Manyeik alan içindeki es yükü hareke eiğinde, q yükü aynı zamanda bir manyeik kue ile karşılaşır q : Hareke eden yükün hızı [m/s] [N] [N] : Manyeik akı yoğunluğu [Wb/m 2 ] eya [T]

3 lekrik e Manyeik Kue arasındaki farklar lekrik alan arafından uygulanan kue alan çizgileri ile aynı yöndedir Manyeik alan arafından uygulanan kue ise alana dikir lekrik alan kuei hem harekeli hem de harekesiz yükler üzerinde ekiliyken, manyeik kue sadece harekeli yüklere eki eder

4 Sağ el kuralı Hız Manyeik Akı Yoğunluğu Kue F

5 lekrik e Manyeik Kue

6 lekromanyeik Kue (Lorenz Kuei) Harekeli yüke eki eden lekromanyeik kue; F q( )

7 örnek ] / [ ) ˆ ˆ ( s m ı ı y x hızıyla hareke eden q yüklü bir parçacığa ] / [ ) 2ˆ (ˆ 2 m Wb ı ı z x alanı içinde kue eki emiyorsa elekrik alan ekörünü bulunuz ] / ) [ ˆ 2ˆ (2ˆ m V ı ı ı q q F z y x

8 Örnek ir bölge için ıˆ y e ıˆ z dik alanları erilsin Küçük bir es yükü = anında alan içinde harekesiz olsun Hareke denklemlerini bulalım F q( ) d d x y dz q[ ˆ ıy ( xˆ ıx yˆ ıy zˆ ız ) ˆ ız ] m[ ˆ ıx ˆ ıy d d d d d x y dz [ q q x ]ˆ ıy q y ˆ ıx m[ ˆ ıx ˆ ıy ˆ ız ] d d d dy dx q q x m q y m d d ˆ ı ] z 2 d d x q m 2 x q m 2 İkinci dereceden diferansiyel denklemin çözümünden hız bileşenleri bulunur

9 w C w C d d w m q w w C w C c c x c y c c c x cos sin 1 sin cos , y x aşlangıç koşullarından C sabileri hesaplanır w w c y c x sin cos Hız bileşenlerinin zamana göre inegrali, konumun zamana göre değişimini erir 4 3 cos sin C w w y C w w x c c c c aşlangıç koşulları; = da x=y=o cos sin z w w y w w x c c c c

10 Hans Chrisian Ørsed, (d 14 Ağusos 1777 ö 9 Mar 1851) Danimarkalı profesör, fizikçi e kimyager 1819 yılında, Hollandalı bilim adamı Hans Chrisian Oersed, manyeizma ile elekrik arasında çok önemli bir ilişki keşfei Oersed, bir ilekenden geçen elekrik akımının sadece sürünmeden dolayı ısı üremediğini aynı zamanda kendi çeresinde bir manyeik alan oluşurduğunu fark ei

11 Michael Faraday, (d 22 ylül 1791, 25 Ağusos 1867) İngiliz bilim adamı Oersed in bu keşfinden sonra 1831 yılında İngiliz bilim adamı Michael Faraday, bir ilekenden geçen akımın manyeik alan oluşururken acaba bir manyeik alanın da bir ileken üzerinde akım oluşurup oluşuramayacağını (indüksiyon) merak ei unun üzerinde Faraday aşağıdaki resimdekine benzer bir düzenek hazırladı

12 Düşüncesine göre anaharı kapaığında sağdaki sargı nedeniyle demir çekirdek manyeik olacak e soldaki sargı da oluşan bu manyeik alan nedeniyle üzerinden akım geçireceki İndüklenen bu akım da, Oersed in keşfine göre pusula erafında manyeik alan oluşuracak e pusula iğnesi sapma yapacakı Ancak durum Faraday ın ahmin eiği gibi olmadı anaharı kapaıp beklediğinde pusula da herhangi bir sapma olmuyordu ancak anaharı kapaığı anda pusula çok hızlı bir şekilde sapıyor e eski pozisyonuna geri dönüyordu unu bir de anaharı açarak denedi e gördü ki bu kez pusula çok hızlı bir şekilde ers arafa sapmış e eski pozisyonuna geri dönmüşü Faraday bu deneyden, akımın beklediği gibi sabi bir manyeik alandan değil değişen manyeik alandan dolayı oluşuğunu (indüklendiğini) anladı e Faraday Yasası oraya çıkı

13 İnegral Formunda Faraday Kanunu ir elekrik akımı sabi bir manyeik alan içerisinde bulunduğu akirde buna bir elekromanyeik kuein eki edeceğini biliyoruz Meydana gelen e akıma ekiyen bu kue ekisi ile, üzerinden akım geçen ileken hareke eder unun karşıı olarak, ileken bir dere bir magneik alan içerisine konup hareke eirilirse, bu dereden bir akımın geçiği görülür u olay manyeik indüksiyon olayı olarak adlandırılır e dereden akım geçmesine neden olan bu elekromoor kuee de indüksiyon elekromoor kuei denir

14 İnegral Formunda Faraday Kanunu İleken derede böyle bir em Kuein doğuşu, bu dere içinden alanının geçirdiği akısının değişmesinden kaynaklanır Dereyi sabi alanı içinde hareke eirerek içinden geçen akıyı değişirebiliyoruz ğer dere hareke emezse akı sabi kalır e emk meydana gelmez emk, sabi bir dere içinden zamana göre değişen bir akı geçirerek de elde edilebilir

15

16 LNZ KANUNU İndüksiyon emk nın yönü, genel bir şekilde Lenz kanunu ile erilmişir u kanun İndüksiyon elekromanyeik kuei, kendini doğuran sebebe karşı koyar diye ifade eder

17

18 İndüksiyon akım yönlerini bulunuz arıyor arıyor azalıyor Yol, nin dışında azalıyor azalıyor

19 lekromanyeik İndüksiyon

20 DC Moor e Jeneraörler

21 DC Moor

22

23 Jeneraörler

24 lekrik mooru jeneraör lekrik mooru: lekrik enerjisini mekanik enerjiye dönüşürür Üzerinden akım akan çerim manyeik alan içinde döner Jeneraör: Mekanik elekrik enerji Manyeik alan içinde dönen ileken çerim, elekrik akımı üreir

25 Transformaör

26 Transformaör

27 Transformaör

28 ndüksiyon ile Isıma Prensibi ndüksiyon ısımanın genel prensibi elekromanyeik enerjinin ısı enerjisi haline dönüşürülmesine dayanır Değişken bir manyeik akım ileken madde üzerinde bir gerilim indükler ( Faraday kanunu ) İndüklenen bu gerilim, ( Lenz kanunu' na göre ) ileken üzerinde kendisine karşı oluşurulan akıma karşı koyacak şekilde bir akım yaraır İlekende yaraılan bu eddy akımı I²x R ile anımlanan gücü ısı enerjisi halinde açığa çıkarır

29 alanı içinde hızı ile hareke eden elemaner dq yüküne ekiyen kue: df dq olacakır u eşiliğin her iki arafını dq ya bölersek; df dq olur u da birim yüke eki eden kuei erir ir nokada birim yüke eki eden kue, o nokadaki elekrik alanın şiddeidir urada dq yükü harekeli bir yük olduğu için bu ifade elekrik alanı şiddeinin anımına am olarak uymazsa da boyu bakımından elekrik alandan farklı değildir iz bu alana dq yükü hızı ile hareke eiği için, elekromoor alan diyeceğiz m

30 m nin A e arasında hesaplanan eğrisel inegrali bu iki noka arasında hareke eden elekrik yükünün meydana geirdiği e yine Vol cinsinden ifade edilen indüksiyon em kueini erecekir e m k b a m dl A ( ) dl ğer dq yükü bir ilekenin A e gibi iki nokası arasında değil de kapalı bir dere oluşuran bir C eğrisi boyunca hareke ederse, meydana gelen indüksiyon elekromoor kuei aşağıdaki gibi olacakır e m k m dl ( ) dl

31 İndüksiyon emk nın Faraday arafından deneyle bulunmuş olan başka bir ifadesi aşağıdaki gibidir dm e m k N d N d d s ds c dl d ds FARADAY d s KANUNU ir kapalı eğri içinden geçen manyeik akı değişimi, bir gerilim doğmasına sebep olur

32 e m k = dl = d d

33 Örnek z= düzleminde 65 m 2 lik bir alan bir ilekenle çerilmişir 5cos1 3 ıˆ x ıˆ 2 z [ T] erildiğine göre indüklenen gerilimi bulunuz emk s dsˆ ı z s 5sin1 3 ıˆ x ıˆ 2 z dsˆ ı z 23sin1 3 z i z ds y Alan kosinüs fonksiyonunun ilk yarı domeninde azalmakadır Kapalı bir derede i nin yönü bu azalmaya karşı koyacak şekilde olmalıdır x i

34 Örnek Yarıçapı 4cm olan dairesel ileken xy düzleminde yer almakadır e 2 ohm luk dirence sahipir ölgedeki manyeik akı yoğunluğu;,2cos5 ˆ ı,75sin 4 ˆ ı 1,2cos314 ˆ ı [ T] x y z olduğuna göre çerçeede akacak akımın efekif değerini bulunuz ds r dr dˆ ız z 42 ds 1,2cos 314 r dr d x R=2 ohm y s,63cos 314 [ W ] d emk,63314sin 314 d,63314 efekif emk 133,9 [ V ] 2 I 133,9 2 6,69[ A]

35 Şekildeki ilekende indüklenen gerilimi bulunuz ] / [ ˆ 25sin1 ] [ 4ˆ 3 s m ı T ı z y x y z 2 ] [ 2sin1 ˆ ) ˆ ( 1sin1 ] / [ ) ˆ ( 1sin V dx ı ı V m V ı x x x m Örnek

36 Diferansiyel Formda Faraday Kanunu (Maxwell-Faraday denklemi) Kapalı bir dere içerisinden geçen manyeik akının değişmesi derenin uçlarında bir akım indüklenmesine sebep olmakadır İndüksiyon elekromoor kuei aşağıdaki gibi anımlanmışı: c dl d d s ds Her iki arafın dierjansı alınırsa; c dl s ( ) ds d d s ds Maxwell- Faraday denklemi ( ) sabi eya

37 Süreklilik Denklemi e Kirchoff un Akım Yasası Durağan eya harekeli yükler yaraılamaz e yok edilemez S yüzeyi arafından sınırlandırılmış kapalı bir V hacmi düşünelim u bölgede ne Q yükü olsun Şaye bölgeden dışarıya bir I akımı akarsa, hacimdeki yük mikarı akıma eşi şekilde azalır I I J J ds ( J ) d dq d [ A/ d d 3 m ] d d d d Süreklilik denklemi

38 Sabi akımlar için yük yoğunluğu zamanla değişmez, J J ds s u denklem aşağıdaki gibi yazılabilir: j I Kirchoff un akım j yasası

39 ir ilekenin içinde üreilen yükler ileken yüzeyine doğru hareke ederler, denge koşulları alında hacimsel yük yoğunluğu e elekrik alan sıfır olacak şekilde yeniden dağılırlar 3 e [ C / m ] : = anı için yük yoğunluğudur aşlangıça yük yoğunluğu ise, =/ (s) zamanında 1/e değerine düşer : geşeme zamanı

40 Maxwell-Amper Denklemi Gauss kanunu, inegral formunda deplasman ekörü kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir J Vekörünün sağladığı akım: Deplasman akımı Amper kanununda yerine konursa D ds q i i a dep s J ds dq d d d s D ds d dl J ds D ds s d s Sokes eoriminden J D s ) ds ( d J ds D ds d s s Maxwell-Amper denklemi

41 D J J şiliğin her iki arafının dierjansı alınırsa ) ( J D J Süreklilik denklemi ile karşılaşırılırsa ) ( J Maxwell in dierjans eşiliği

42 Deplasman (Yerdeğişirme) akımı e kondansaörler DC kaynak bağlandığı zaman dereden akan akım I= dır elli bir frekansa sahip gerilim kaynağı bağlandığı zaman ise, zamana göre değişen bir akım akığını görürüz

43 Deplasman (Yerdeğişirme) akımı e kondansaörler Plaka üzerindeki serbes yükler Gerilim zamana göre değişince, yük de zamana göre değişecekir 1 abaka 2 abaka Teldeki ilekenlik akımı Kondansaördeki deplasman akımı

44 D J ds D J H dl ds ds dl d D ds s s Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Formu Maxwell Denklemlerinin İnegral Formu