GRAF MATRİSLERİ Giriş
|
|
- Soner Fahri
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Giriş Bir graf (sisem) için Kirchhoff akım ve gerilim denklemleri marissel olarak yazılırsa, bu denklemlerde karşılaşılan marislere Graf Marisleri denir Bilindiği üzere KAY dan düğüm veya kesileme denklemleri, KGY dan ise çevre denklemleri elde edilmekedir Buna göre de üç çeşi graf marisi karşımıza çıkar
2 Bir sisemin grafında düğümler için Kirchhoff akım denklemleri n e j= a kj i j () = biçiminde yazılabilir Burda a kj, +, - ya da olup, n e grafaki eleman sayısını n d ise düğüm sayısını gösermekedir Bu denklem sisemi marissel olarak A b J e k =,,, ( ) = n d
3 3 GRAF MATRİSLERİ biçiminde yazılabilir Burada A b marisi, elemanları yalnızca ± ve olan bir marisir Je () ise biçiminde ne boyulu bir vekördür (süun marisi) = ) ( ) ( ) ( ) ( i i i J n e e
4 Şek de bir düğüm marisinde saır ve süunların devrede nelere karşı düşüğü göserilmişir dügümler elemanlar A b = Şek 4
5 Şimdi örnek olarak Ab marisinin nasıl yazıldığını görelim Şek deki grafa düğümler için Kirchhoff akım denklemleri Şek 5
6 şeklindedir Bu denklemleri marissel olarak yazarsak 6
7 7
8 denklemi elde edilir A b Şek deki grafda büün düğümler için yazılan düğüm marisidir Demik ki, bir grafda j inci eleman k ıncı düğüme bağlı ise A b marisinde a kj = ± dir Bağlı değilse sıfırdır Eğer j inci elemanın yönü k ıncı düğümden öeye doğru ise a kj = +, düğüme doğru ise a kj = - dir A b marisi n d x n e boyuunda olan bir dikdörgen marisdir Yukarıdaki örnekden de görüleceği üzere A b marisinin süunların herbirine sıfırdan farklı yalnızca iki eleman vardır Bunlardan biri + diğeri ise - dir Bu, A b marisinin genel bir özelliğidir Bunun nedeni, grafın herbir elemanının yanlızca iki düğüme bağlı olması ve herbir elemanın yönünün, bağlı olduğu düğümlerden birinden öeye ve 8 öeki düğüme doğru olması gerekiğindendir
9 A b nin rankı Yukarıda anlaılan nedenden öürü A b marisinin saırlarının oplamı sıfır verir Demek ki, bu marisin herhengi n d saırının oplamının ers işarelisi, geride kalan saırı verecekir Öyleyse A b nin saırlarından herhangi biri, öeki n d saıra bağlıdır Bu nedenle A b nin rankı n d den büyük olamaz A b marisinin saırlarından herhangi birini dışarıda bırakarak elde edilen n d saırlı marise biz DÜĞÜM MATRİSİ diyecek ve bu marisi A ile gösereceğiz (Bu marise indirgenmiş düğüm marisi de denir) 9
10 A b nin rankı Şimdi A nın rankını inceleyelim Bu incelemeyi yaparken şöyle bir yol ualım: Bir graf için yazılan A marisinin süunlarının yerlerini o şekilde değişirelim ki, ilk n d süun grafda seçilen belli bir ağaç içindeki dallara, geride kalan n e (n d ) süunda bu ağaca kiriş olan elemanlara karşı düşsün Böylece A marisi [ ] A A A = l (6) şeklinde bölümlenmiş olur Buradaki A al marisi grafda seçilen ağacın elemanlarına karşıdüşen süunların oluşurduğu n d boyulu bir kare maris, A l ise yeni aynı ağaca kiriş olan elemanlara karşıdüşen süunların oluşurduğu (n d )x(n e n d + ) boyulu bir marisdir
11 A b nin rankı Bunu bir örnekle göserelim Örnek ; Şek3
12 GRAF MATRİSLERİ -A b nin rankı = A (7) 7 no lu düğüm için de 7 [ ] saırı yazılabilir dallar kirişler
13 3 GRAF MATRİSLERİ A b nin rankı (6) ve (7) ye göre = A (8) Şimdi A marisinin deerminanını hesaplıyalım Ele alınan graf birleşik olduğundan seçilen ağaç da birleşikir Ondn dolayı aılan 7 düğüme bağlı olan en az bir dal bulunmalıdır Bu örnekde iki ade böyle dal vardır Bunlar 6 ve numaralı dallardır
14 4 GRAF MATRİSLERİ -A b nin rankı Bunlara karşı düşen süunlarda sıfırdan farklı birer eleman kalacağı açıkır Bunlardan numaralı süuna göre A nin deerminanını hesaplayalım Bu deerminan numaralı süundaki - elemanına göre açılırsa, deerminanın değeri bu - elemanına karşıdüşen kofakörün ers işarelisi olacakır Şimdi bu kofakörün marisini yazalım (9)
15 -A b nin rankı Elde edilen bu maris numaralı eleman aıldıkan sonra elde edilen n d ane dalı bulunan bir ağacın A marisi olarak düşünülebilir (Bu marisde 7 düğümüne ek olarak 6 düğümüne karşıdüşen saır da yazılmamış gibi düşünülebilir) Şimdi geriye kalan ağaçda 6 numaralı dal 7 düğümüne bağlıdır ve bu dala karşıdüşen süunda bulunan sıfırdan farklı eleman - dir Bu süuna göre deerminan hesaplanırsa deerminanın değeri, a 36 nın kofakör ers işarelisi olacakır Bu kofakörün marisi () 5
16 -A b nin rankı Olur Yukarıda söylenenleri a 44 için ekrarlarsak bu marisin deerminanı a 44 = - ile () marisinin deerminanı çarpımına eşiir Bu maris de a 3 veya a 5 ye göre açılabilir a 3 e göre açılırsa bu marisin deerminanı a 3 = l ile 5 9 () marisinin deerminanının çarpımına eşiir 6
17 -A b nin rankı Bu maris de veya 9 uncu süunlara göre açılabilir 9 a göre açılırsa kofakör olarak -l kalmakadır ki o da 4 ile 5düğümleri ile numaralı daldan oluşmuş bir grafa karşıdüşer Demek ki ( a )( a ) a a = ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) de A = a, a5 6 Böylece verilen örnek için A nin deerminanının sıfırdan farklı olduğu ve A marisinin rankının da nd - l = 6 olduğu anılanmış olmakadır A marisinin rankının hesaplanması için verilen örnek birleşik graflar için genel bir örnekir ve şimdi aşağıdaki eoremi verebiliriz 7
18 -A b nin rankı Teorem : Bir birleşik grafa karşıdüşen düğüm marisi A nın rankı n d - l dir Bu grafın herhangi bir ağacına karşıdüşen A marisinin deerminanı ise + veya -l-dir Tanı: Verilen birleşik graf için yazılan düğüm marisi Ab ve bundan bir saır aılarak elde edilen düğüm marisi A olsun A marisini, A dallara, Al ise kirişlere karşıdüşmek üzere biçiminde bölmeliyelim Ağaç birleşik olacağından, Ab marisinden çıkarılan saıra karşıdüşen düğüme bağlı en az bir dal bulunacakır A de, bu dala karşıdüşen süunda sıfırdan farklı (±) olan bir ek eleman bulunacakır Dolayısıyla de A, bu elemanın kofakörüne, ya da bu kofakörün ers işarelisine eşi olacakır Bu kofakör, A den bir saır ve süun aılarak elde edilen bir almarisin deerminanıdır A b marisinden çıkarılan saıra karşı düşen düğüme bağlı birden fazla dal varsa, bu durumda sözkonusu düğüme bağlı olan elemanlara karşı düşen büün süunlarda sıfırdan farklı (±) yalnız birer eleman bulunacakır Dolayısıyla A nin deerminanının hesaplanması 8 bu süunlardan herhangi birine göre yapılabilir
19 -A b nin rankı Eğer A den aılan süunun karşıdüşdüğü dal n d düğümlü ağacı iki parçaya ayırıyorsa, aılan ikinci saıra karşıdüşen düğüme bağlı öeki elemana ilişkin süunda da sıfırdan farklı (±) bir ek eleman bulunacakır, öyleyse bu durumda elde edilen (n d - )x(n d -) boyulu almarisde sıfırdan farklı bir ek eleman bulunan iki süun bulunacakır Bu durumda da bu almarisin deerminanının açınımı bu iki süundan birine göre yapılabilir Bu işlem ağaça hiçbir eleman kalmayana dek, başka bir deyişle ek bir düğüm kalana dek uygulanırsa, merebesi bir olan bir kofakör elde edilir ki, bu kofakörün değeri de ± dir Böylece A b nin (n d - )x(n d - ) boyulu bir almarisinin nonsingüler olduğu, yani A b nin rankının n d - olduğu anılanmış olmakadır Bu eoremden görülmekedir ki, ele alınan grafda seçilecek her ağaç için yazılacak A marisi nonsingülerdir Bunun ersi de doğrudur: Verilen bir düğüm marisi A nın n d - inci merebeden herhangi nonsingüler bir almarisi bir ağaca karşı düşer Bunun anıı ileride verilecekir 9
20 Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Yukarıdaki sonuca göre bir grafdan elde edilebilecek ağaçların sayısı hesaplanabilir A marisinden elde edilebilecek her nonsingüler maris bir ağaca karşıdüşüğüne göre, ağaç sayısını hesaplayabilmek için yapılacak iş, A marisinin içindeki büün nonsingüler marisleri saymakır Bunu yapmak oldukça uzun bir işlemdir Bu işlem Bine-Cauchy eoremi yardımıyla kolay bir şekilde yapılabilir Bu eoreme göre m < n olmak üzere, mxn boyuunda olan bir A marisi ile, nxm boyuunda olan bir B marisi çarpımının deerminanı deab = ( Aile B nin birbirine karşıdüşen minörlerin çarpımı) olarak hesaplanabilir
21 GRAF MATRİSLERİ Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Örnek: = 3 A = B marislerini ele alalım = 4 7 AB de AB = -3
22 GRAF MATRİSLERİ Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Bine-Cauchy eoremine göre = + + = 3 3 de AB ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 = + + = bulunur Bu da yukarıda bulunan sonuçla aynıdır
23 Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Teorem : Bir birleşik grafdaki ağaç sayısı de (AA ) dir Tanı: Yukarıda verilen Bine-Cauchy eoremini kullanarak de AA = ( A ve A marislerinin birbirlerine karşıdüşen minörlerinin çarpımları) = (A nın sıfırdan farklı büün minörlerinin karaleri) yazılabilir A nın sıfırdan farklı her minörü ± olacağına göre, her bir sıfırdan farklı minör için yukarıdaki formülde l sayısı elde edilecek, bunların oplamı ise kaç ane sıfırdan farklı minör olduğunu, dolayısıyla ağaç sayısını göserecekir 3
24 Örnek: 3 GRAF MATRİSLERİ Bir Grafdaki Ağaç Sayısı A = (3) marisini ele alalım 3 de AA = de de 3 = = 6 3 4
25 Bir Grafdaki Ağaç Sayısı Bu örnekeki A marisine karşıdüşen bir graf Şek4 de göserilmişir Şek4 Bu grafaki ağaç sayısı 6 dır 5
26 Graflarda izomorfizim Verilen bir grafın A marisini yazmak kolay bir işlemdir Faka problem bunun ersi de olabilir Verilen bir A marisine karşıdüşen grafin da bulunması isenebilir Bu durumda yapılacak işlem şudur: Verilen A marisinin saır sayısından bir fazla sayıda düğüm alınır Bu düğümler marisdeki saırlara göre numaralanır Bundan sonra herbir süun eker eker ele alınır Bir süunda sıfırdan farklı en çok iki eleman bulunacakır Bu elemanlar hangi saırlarda ise, bu saırlara karşıdüşen düğümler arasına bir graf elemanı çizilir Eğer ele alınan süunda sıfırdan farklı bir ek eleman varsa, o elemanın bulunduğu saıra karşıdüşen düğüm ile fazladan konulan düğüm arasına bir eleman bağlanır Yönlendirme ise süundaki elemanların işarelerine göre yapılır 6
27 7 GRAF MATRİSLERİ Graflarda izomorfizim Örnek: 4 = A (4) Bu A marisine karşıdüşen değişik görünüşlü iki graf Şek5 de göserilmişir
28 Graflarda izomorfizim (a) Şek5 3 4 (b) 8
29 Graflarda izomorfizim Tanım: İki grafa karşıdüsen düğüm marislerinden biri, öekinden saır ve süunlar arasında değişirmeler yapılarak elde edilebiliyorsa bu iki graf izomorfdur denir, iki grafin izomorfik olması için, bu iki grafdaki düğüm sayılarının ve eleman sayılarının aynı olması ve bu grafların düğümleri ve elemanları arasında belli bir kurala göre karşıdüşme bulunması gerekir Bu kural ise, bu karşıdüşmenin aynı düğüm marislerini verecek biçimde olmasıdır 9
30 Çevre Marisi Bir sisemin grafında çevreler için Kirchhoff gerilim denklemleri n e j= () = k =,,, b kjv j ç biçiminde yazılabilir Bu denklemlerde b kj, +, - ya da olup, n e devredeki eleman sayısını n ç ise çevre sayısını gösermekedir Bu denklem sisemi marisel olarak B V biçiminde yazılabilir ( ) = b e (5) n 3
31 Çevre Marisi Burada B b marisi, elemanları yalnızca ± ve olan bir marisir V e () ise V e () v v = v n e ( ) () () (6) biçiminde n e boyulu bir vekördür 3
32 Çevre Marisi Şek6 da bir çevre marisinde saır ve süunların devrede nelere karşı düşüğü göserilmişir çevreler elemanlar B b = n e n ç Şek6 3
33 Çevre Marisi Şimdi Şek7 deki örnek için Kirchhoff gerilim denklemlerini yazalım 6 3 VI III 3 V 4 VII I IV 5 II emel çevreler Şek7 33
34 Çevre Marisi I v + v3 + v4 = VI v 5 + v6 + v7 = II v 4 + v6 + v7 v8 = VII v v3 + v5 v8 = III v v v6 = VIII (7) IV v 4 + v5 v8 = IX V v v + v v X = Bu denklemleri marissel olarak yazarsak 34
35 35 GRAF MATRİSLERİ Çevre Marisi Bu denklemleri marissel olarak yazarsak = V V V V V V V V (8) b B elemanlar çevreler I II III IV V VI VII VIII
36 Çevre Marisi denklemi elde edilir B b grafdaki büün çevreler için yazılan çevre marisidir Şek7 deki grafda çok sayıda çevre bulunduğu için büün çevreler gözönüne alınmamışır Bu marisden görülmekedir ki, eğer j elemanı i inci çevrede bulunuyorsa b ij = ± dir, eğer bu eleman i inci çevrede yoksa b ij = dır Eğer j inci elemanın yönü i inci çevre yönü ile aynı ise b ij = +, aynı değilse b ij = - dir 36
37 B b nin rankı Teorem 3: Bir birleşik graf için B b, çevre marisinin rankı n e n d + dir Tanı: Yukarıdaki örneken görülmekedir ki, verilen bir grafda seçilen bir ağaca karşıdüşen n e n d + ane kirişe karşı düşen emel çevreler için yazılan denklemler ilk n e n d + denklem olacak şekilde denklemler yazılır ve kirişlere karşıdüşen süunlar marisde ilk n e n d + süun olacak şekilde süunların yerleri (3,7,,5) süunları başa gelecek biçimde değişirilirse B b marisi daima şeklinde yazılabilir kirişler dallar U B n e n d +{ { B B (9) 37
38 B b nin rankı Burada U, birim marisi gösermekedir Öyleyse B b nin rankı n e n d + den küçük olamaz Eğer B b, nin rankının n e n d + den büyük olamayacağı da göserilebilirse, rankın n e n d + e eşi olduğu anılanmış olur Bu anıı yapabilmek için aşağıdaki eoremi kullanalım: Teorem 4: Herhangi bir grafa ilişkin A b ve B b marislerinin aynı sıradaki süunları aynı graf elemanlarına karşıdüşmek koşuluyla A = veya = b B b B () b A b Tanı: A a nın k ıncı saırı grafdaki k ıncı düğüme, B b nin j inci süunu ise grafdaki j inci çevreye karşıdüşmekedir 38
39 B b nin rankı A b nin k ıncı saırıyla B b nin j inci süunu P = A B b b marisinin (k, j) elemanını verecekir Bu elemanın değerini hesaplayabilmek için aşağıdaki olasılıkları göz önüne almak gereklidir: - j çevresinde k ıncı düğüm bulunmuyorsa; j çevresi k düğümüne bağlı elemanlardan hiçbirini içermez Dolayısıyla bu durumda A b nin k ıncı saırındaki sıfırdan farklı elemanlara, B b nin j inci süununda karşı düşen elemanlar sıfır olacak, buna karşılık B b nin j inci süunundaki sıfırdan farklı elemanlara A b nin k ıncı saırında karşı düşen elemanlar sıfır olacakır Bunun sonucu olarak da bu durum için A b nin k ıncı saırı ile B b nin j inci süunları çarpımı sıfır olacakır 39
40 B b nin rankı r m j n q k l Şek8 Bu durum için A b nin k ıncı saırı a k, göserilirse, B b nin j inci süunu b j ile 4
41 4 GRAF MATRİSLERİ B b nin rankı = = r q n m b a r q j k l l
42 B b nin rankı - j çevresinde k ıncı düğüm bulunuyorsa; j çevresi k ıncı düğüme bağlı elemanlardan ikisini içerecekir Bu durumda j çevresi ve k ıncı düğüme bağlı elemanların yönleri için sekiz olasılık vardır Şekil 9 da bu olasılıklar göserilmişir k k k k m j n m j n m j n m j n p kj =(-)()+(-)(-)= p kj =(-)()+()()= p kj =()(-)+()()= p kj =()(-)+(-)(-)= k k k k m j n m j n m j n m j n p kj =(-)(-)+(-)()= p kj =(-)(-)+()(-) Şek9 p kj =()()+()(-) p kj =()()+(-)()= 4
43 43 GRAF MATRİSLERİ B b nin rankı A b nin k ıncı saırı ile b B nin j inci süununun çarpımında sıfırdan farklı kakılar yalnızca bu iki elemandan gelecekir Şek9 dan görülebileceği üzere bu kakılardan biri + ise diğeri - dir ve oplamları sıfırdır Teorem 4 e örnek olmak üzere Şek7 deki grafa ilişkin bb b A çarpımı yapılırsa = b B b A = sonucu bulunur I II III IV V VI VII VIII IX
44 B b nin rankı B b nin rankınıın n e n d + den büyük olamayacağını göserebilmek için başka eoremden daha yararlanmak gerekmekedir Teorem 5 (Sylveser in sıfır yasası): P = [ P ij ] m, n ve Q = [ q ij ] n, p marislerinin çarpımı ise dir PQ = (P nin rankı) + (Q nun rankı) n () 44
45 B b nin rankı Tanı: P nin rankı r olsun P nin saır ve süunlarını o şekilde düzenleyelim ki yeni elde edilen P marisinin sol üs köşesinde r inci merebeden bir P marisi bulunsun: r n- r P = P P P () P n- r marisinin saırlarını da P nin süunlarında yapılan düzenlemeye uygun biçimde düzenleyerek yazabiliriz P = P P r Q Q = P Q (3) P 45
46 B b nin rankı (3) den ilk r saırına ilişkin denklem P Q + P Q veya Q + P P Q = elde edilir Şimdi Q marisi nonsingüler U Marisi ile çarpılırsa bulunur P U P P Q QP PQ = = U Q Q Q U P = r n-r (4) 46
47 B b nin rankı Bir marisin nonsingüler bir marisle çarpılması rankını değişirmez Öe yandan (4) denkleminin sağ arafındaki marisde sıfırdan farklı n r saır vardır Öyleyse (Q nun rankı) n r dir r = (P nin rankı) olduğuna göre (P nin rankı) + (Q nun rankı) n elde edilir göre Demek ki P = A b, Q = B b alınırsa Teorem 5 e (A b nin rankı) + (B b nin rankı) n e (6) (B b nin rankı) n e n d + sonucu elde edilir Öe yandan (B b nin rankı) n e n d + olduğu anılanmışır Öyleyse (B b nin rankı) = n e n d + dir 47
48 B b nin rankı Teorem 6 : Herhengi bir grafda (A b nin rankı) + (B b nin rankı) grafdaki eleman sayısıdır Tanı: Teorem 4 de ele alınan grafın birleşik olması koşulu olmadığına göre Teorem 5 de P = A b Q = alınırsa n = (grafdaki eleman sayısı) olacağına göre eorem anılanmış olur B b 48
49 B b nin rankı Teorem 7 : Bir birleşik grafa ilişkin düğüm marisi A dan elde edilecek n d inci merebeden nonsingüler herhangi bir almaris ancak ve ancak bir ağaca karşıdüşer Tanı: bu eoremin birinci bölümünün anıı Teorem in anıı içinde verildi Öyleyse burada, A dan elde edilebilecek n d inci merebeden herhangibir nonsingüler almarisin bir ağaca karşıdüşüğünü anılamamız yeerli olacakır Bunun için ise, Anın süunlarından, bir çevre oluşuran graf elemanlarına ilişkin olanların lineer bağımlı olduğunu gösermek yeerlidir 49
50 B b nin rankı A, Gerçeken, A B b b = olduğuna göre, ve A, A,, ne A nın süunlarını göseren vekörler olmak üzere i inci çevre için veya yazılabilir A A [ b b b ] i i = ine A n e b i A bi A + + bin e An = + e 5
51 B b nin rankı Eğer i inci çevrede n, n,, n k elemanları bulunuyorsa b in, b, = ± in b in k diğer büün b ij ler sıfır olacakır Öyleyse b in A i + b + + = in A i b in k Ai k olacakır ki, bu da A marisinin, i çevresine giren elemanlara ilişkin süunları arasında lineer bağımlılık olduğunu göserir Öyleyse A dan n d süun alınarak oluşurulan nonsingüler bir marisin süunları çevre oluşuramaz Dolayısıyla böyle bir nonsingüler marisin süunları dallara ilişkin olmak zorundadır 5
52 B b nin almarisleri ve özellikleri Teorem 8 : Bir birleşik grafda B b marisinin n e n d + saırlı ve rankı n e n d + olan herhangi bir almarisi B ise, bu B marisinin n e n d + inci merebeden nonsingüler bir almarisi ancak ve ancak bir kiriş akımına karşıdüşer Tanı: a) Almarisin süunlarının grafdaki kirişlere karşıdüşüğünü varsayalım Bu durumda B marisi [ ] B = B B l (7) biçiminde yazılabilir Burada B l kirişlere ilişkin süunlardan, B ise dallara ilişkin süunlardan oluşmuşur Öe yandan bu ağaç için emel çevre marisi B ye benzer biçimde bölmelenirse elde edilir B dallar kirişler [ B U ] = (8) f f dallar kirişler 5
53 B b nin almarisleri ve özellikleri B b nin büün almarisleri B f in saırlarıcinsinden bulunabildiğinden B = DB f (9) yazılabilir B ve B f in saırları lineer bağımsız olduğundan D nonsingüler bir marisir (7 9) dan ve [ B B ] D[ B U ] = (3) l f B l = DU = D (3) 53
54 B b nin almarisleri ve özellikleri b) Şimdi n e n d + süunun nonsingüler bir maris oluşurduğunu varsayalım Bu nonsingüler maris B olduğuna göre B marisi B = [ ] B B olacak biçimde bölmelensin B de n d süun olduğuna göre, yalnızca bu süunlara karşıdüşen elemanların oluşurduğu herhangi bir çevre bulunmayacağını anılamak B in kirişlere karşıdüşüğünü anılamak için yeerli olacakır (çünkü bu akdirde B nin süunlarına karşıdüşen elemanlar dallara ilişkin demekir) Böyle bir çevre varsa, B ye, bu 54 çevreye karşıdüşen bir b i saırı ekleyerek
55 B b nin almarisleri ve özellikleri B bi B = B bi marisi oluşurulabilir i elemanı alarak B ' B ± (3) b deki sıfırdan farklı olan bir (33) marisini oluşuralım Bu marisin deerminanı ± de B olacakır Bu durumda (3) deki marisin rankının n e n d + olması gerekir Halbuki bu maris B b nin bir almarisidir ve rankı n e n d + den büyük olamaz Öyleyse B nin süunları dallara karşıdüşer Dolayısıyla da nonsingüler olan B marisinin süunları 55 kirişlere karşıdüşmek zorundadır
56 B b nin almarisleri ve özellikleri Teorem 9 : Bir birleşik grafa ilişkin düğüm marisi [ ] A = A A l (34) olduğuna göre, aynı grafa ilişkin emel çevre marisi B f ve rankı ve saır sayısı n e n d + olan herhangi bir çevre marisi B ise süunları A nın süunlarıyla aynı biçimde düzenlemek koşuluyla B [ ( ) ] A A U = B (35) l [ ] U ( ) B = A A f l (36) biçiminde yazılabilir Tanı: Ab B b = dır A b den herhangi bir saır, süunun dışında kalanlar aılarak AB = ; yazılabilir B B A l l l (37) l [ A ] = A B + A B = l B b den de n e n d + 56
57 B b nin almarisleri ve özellikleri A nonsingüler olduğuna göre (37) den B bulunur Buradan B B f = A A B veya ( ) l l [ B Bl ] = Bl ( A Al ) [ B U ] = ( A A ) B [ ] U [ ] U = B A A (38) = (39) = (4) f elde edilir Ayrıca B l nonsingüler olduğuna göre (38) den A yazılabilir Buradan l l ( B ) = A B ( B ) = A ( B B ) = A B (4) l [ ( ) ] U B B A = A (4) l bulunur (4) dan çıkarılabilecek sonuç şudur: Bir birleşik graf için A marisinin verilmesiyle emel çevre marisi B f de verilmiş olmakadır Bu sonuç ise, A marisinin, bir grafa ilişkin büün bilgiyi içerdiğinin bir kanııdır 57 l l l l
58 Kesileme Marisi Bir sisemin grafında kesilemeler için Kircchoff akım denklemleri n e j= q kj i j () = k =,,,n k Bu denklemlerde q kj +, - yada olup, n e devredeki eleman sayısını, n k ise kesileme sayısını gösermekedir Bu denklem sisemi marissel olarak Q J ( ) = b e (43) biçiminde yazılabilir Burada Q b marisi, elemanları yalnızca ± ve olan bir marisdir 58
59 J e () ise GRAF MATRİSLERİ Kesileme Marisi J e () i i = i n e ( ) () () (44) biçiminde n e boyulu bir vekördür Şek da kesileme marisinde saır ve süunların grafda nelere karşı düşüğü göserilmişir 59
60 Kesileme Marisi kesilemeler elemanlar Q b = n e n k Şek Şimdi Şek7 deki örnek için Kirchhoff akım denklemlerini yazalım 6
61 Kesileme Marisi I i 3 i4 + i5 + i7 = VI i 5 + i7 + i8 = II i + i6 i7 = VII i i3 + i4 i5 i6 = III i + i + i3 = VIII i + i5 + i6 + i8 = IV i 3 + i4 + i8 = IX i i i4 i8 = V i i i4 + i5 + i7 = X 6
62 6 GRAF MATRİSLERİ Kesileme Marisi Bu denklemleri marissel olarak yazarsak = i i i i i i i i (46) b Q denklemi elde edilir I II III IV V VI VII VIII IX X n k
63 Kesileme Marisi IX III VII II V I 8 VI IV VIII Şek 63
64 Kesileme Marisi Q b grafdaki büün kesilemeler için yazılan kesileme marisidir Şek deki grafda çok sayıda kesileme bulunduğu için büün kesilemeler gözönüne alınmamışır Bu marisden görülmekedir ki, eğer j elemanı i inci kesilemede bulunuyorsa q ij = ± dir, eğer bu eleman i inci kesilemede yok ise q ij = dır Eğer j inci elemanın yönü i inci kesileme yönü ile aynı ise q ij = +, aynı değilse q ij = - dir (46) daki Q b marisinde ilk n d = 4 saır emel kesilemelere ilişkindir Burada emel kesilemeleri, sırasıyla 5, 6, ve 8 numaralı dal elemanları anımlamakadır Bu maris, 5, 6, ve 8 numaralı süunlar lk dör sıraya geirelecek biçimde yazılsaydı sol üs köşede 4 merebeden bir birim maris olurdu 64
65 Qb nin rankı Teorem : bir birleşik graf için Q b kesileme marisinin rankı n d dir Tanı: Yukarıdaki örnekden de görüldüğü üzere, Q b marisinde dalların anımladığı kesilemelere (emel kesilemeler) ilişkin saırlar en üseki n d - saır, dallara ilişkin süunlar da ilk n d süun olacak biçimde bir düzenleme yapılırsa, bu saır ve süunların oluşurduğu alrmaris diagonal bir maris olup, diagonalindeki elemanlar + lerdir Öyleyse Q b nin içinden her zaman n d - inci merebeden bir nonsingüler maris bulunabilir Dolayısıyla Q b nin rankı n d - den küçük olamaz Öe yandan grafda ele alınan herhangi bir düğüme bağlı olan elemanlar bir kesileme oluşururlar (Bu ancak şu koşulla doğrudur: Söz konusu düğüm ve buna bağlı elemanlar grafdan çıkarıldığında grafın geri kalan parçası birleşik bir graf olarak kalmalıdır Böyle graflara Parçalanamayan Graflar denir) Öyleyse Q b marisi, A b marisini bir almaris olarak içerecekir Bu özellik de Q b nin rankının n d - den küçük olamayacağını gösermekedir 65
66 Qb nin rankı Q b nin rankının n d - den büyük olamayacağı da göserilebilirse eorem anılanmış olur Bu anıı yapabilmek için Şek yi gözönüne alalım Bu şekil bir grafı iki parçaya ayıran k ıncı kesilemeyi gösermekedir m k P P n Şek 66
67 Qb nin rankı Eğer bu kesilemeyi oluşraran elemanlardan biri, grafaki bir j çevresinde bulunuyorsa, bu kesilemeyi oluşuran bir başka eleman (n elemanı) daha bu çevre bu çevre içinde bulunmak zorundadır Çünkü j çevresinin P den başladığı düşünülürse, bu çevre üzerinden K den K ye bir m elemanı ile gidilecek ve çevrenin amamlanması için P den P e bir n elemanı ile dönülecekir Ele alınan çevreyi oluşuran yolun P den P ye bir kez gidiş-dönüş ile kapanması gerekmez Faka her gidişdönüşde kesilemeye giren ikişer eleman kullanılmış olacakır Sözkonusu k inci kesilemenin yönü ve j inci çevreye giren eleman çiflerinin yönleri için sekiz olasılık vardır Öyleyse Q b B b çarpımı oluşurulacak olursa Teorem 4 dekine benzer biçimde, QbB b = olduğu anılanabilir 67
68 Qb nin rankı Parçalanmayan graflarda herbir düğüme bağlı elemanlar da kesileme oluşurduğundan Q b nin içinde A b de vardır Şek 3a da {,,3,4,5}, Şek3b de ise {l,,3} ve{3,4,5} kesileme oluşurmazlar Bu ip graflara parçalanabilen graflar denir Bu ür graflarda kesileme anımının her düğüme uygulanamadığına dikka emek gereklidir Şek3 de parçalanabilen iki graf göserilmişir (a) Şek 3 (b) 68
69 Qb nin rankı Teorem : Birleşik graflar için Q B b b = b b = (49) dır Şimdi (49) için Slyverer in sıfır yasası uygulanırsa (Q b nin rankı) + n e - n d + n e (5) (Q b nin rankı) n d - (5) elde edilir Öe yandan Q b nin rankı n d olduğu göserilmişi Öyleyse Q b nin rankı = n d (5) dir 69
70 Qb, Bb ve Ab nin al marisleri arasındaki bağınılar Q B b b = bq b = B (53) olduğuna göre, Q b den herhangi sayıda saırın aılması, Bb den ise herhangi sayıda süunun aılması (53) ün geçerliliğini bozmayacakır Öyleyse, Q b den rankı n d olan, n d saırlı bir Q marisi, B b den rankı n e - n d + olan, n e - n d + saırlı bir B marisi alınarak QB = veya = yazılabilir BQ (54) 7
71 Qb, Bb ve Ab nin al marisleri arasındaki bağınılar Q nun emel kesilemelere karşıdüşüğünü varsayarsak veya Q Q f fl B yazılabilir Buradan Q f = B [ U Q ] = B + Q B = fl B l ( B ) = ( B B ) l l = B (55) [ ( ) ] U B B l = (56) bulunur (56), (4) ile karşılaşırılırsa A = A Q f (57) fl l veya bulunur Q [ U A A ] = A A = (58) l 7
72 Qb, Bb ve Ab nin al marisleri arasındaki bağınılar A non singüler bir maris olduğuna göre (58), seçilen herhangi bir ağaç için düğüm marisi A ile emel kesileme marisis Q f in saır eşdeğeri olduklarını gösermekedir Başka bir deyişle, A nın saırlarını Q f in lineer kombinezonları, Q f in saırlarını da A nın lineer kombinezonları biçiminde yazılabilir Şimdi (53) deki Q nun emel kesileme marisi, B nin de emel çevre marisi olduğu varsayılırsa, ve buradan B f [ U Q ] = Q f B f = fl (59) U B f + Q fl fl B f = Q = (6) elde edilir Öyleyse B f = [ Q fl U ] (6) veya Q = U (6) [ ] f B f yazılabilir Bu sonuç (56) da B l = U B = B f alarak da elde edilebilir 7
73 73 Örnekler Örnek 5: = b A marisinde saır ve süun işlemleri yaparak 4merebeden bir üs üçgen maris bulunuz ve b A nin rankının 4 olduğunu göseriniz
ÖDEV SORULARI Güz Yarıyılı Öğretim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Kent
LĐNEER CEBĐR ve UYGULMLRI DERSĐ ÖDEV SORULRI 9- Güz Yarıyılı Öğreim Üyesi: Prof. Dr. Sedef Ken Ödev ile ilgili açıklamalar:. Derse ai dör bölümden oluşan ödevlerin amamı buradadır. ncak ödevler konular
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
DetaylıTemel Elektronik Basic Electronic Düğüm Gerilimleri Yöntemi (Node-Voltage Method)
Temel Elektronik Basic Electronic Düğüm Gerilimleri Yöntemi (Node-Voltage Method) Konular Düğüm Gerilimleri Yöntemi o Temel Kavramlar o Yönteme Giriş o Yöntemin Uygulanışı o Yöntemin Uygulanması o Örnekler
Detaylım=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.
Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
DetaylıLİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel
DetaylıMatrisler ve matris işlemleri
2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite
DetaylıEEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I
EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku
DetaylıGEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1
GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir
Detaylı= t. v ort. x = dx dt
BÖLÜM.4 DOĞRUSAL HAREKET 4. Mekanik Mekanik konusu, kinemaik ve dinamik olarak ikiye ayırmak mümkündür. Kinemaik cisimlerin yalnızca harekei ile ilgilenir. Burada cismin hareke ederken izlediği yol önemlidir.
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıElektrik Müh. Temelleri
Elektrik Müh. Temelleri ELK184 5 @ysevim61 https://www.facebook.com/groups/ktuemt/ 1 SÜPERPOZİSYON (Toplamsallık) TEOREMİ E R I R ı Süper pozisyon yönteminde istenilen akımın akım veya gerilim değeri her
DetaylıRL, RC ve RLC DEN OLUŞMUŞ DEVRELERDE GEÇİCİ REJİMLERİN İNCELENMESİ
DNY NO: 6, C ve C DN OUŞMUŞ DVD GÇİCİ JİMİN İNCNMSİ Deneyin Amacı: Birinci derece elekrik devrelerinin zaman domeninde incelenmesi ve davranışlarının analiz edilmesi amaçlanmakadır. Genel Bilgiler: Bir
Detaylı8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu
DetaylıElementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler
4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan
DetaylıELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER
ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ 1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER Sistem Nedir? Birbirleriyle ilişkide olan elemanlar topluluğuna sistem denir. Başlıca Fiziksel Sistemler: Mekanik Sistemler Hidrolik Sistemler Termik
DetaylıDevreler II Ders Notları
Devreler II Der Noları 3-4 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN DURUM DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILMAI Doğrual zamanla değişmeyen bir devrenin analizi için oluşan durum denklemi abi kaayılı doğrual diferaniyel denklem
DetaylıMakine Öğrenmesi 8. hafta
Makine Öğrenmesi 8. hafa Takviyeli Öğrenme (Reinforcemen Learning) Q Öğrenme (Q Learning) TD Öğrenme (TD Learning) Öğrenen Vekör Parçalama (LVQ) LVQ2 LVQ-X 1 Takviyeli Öğrenme Takviyeli öğrenme (Reinforcemen
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıFARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ
FARK DENKLEMLERİ SİSTEMİ 2 Daha önce alıncı bölümde ek değişken durumunda fark denklemlerini ele almışık. Burada değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu fark denklemlerinden oluşan bir sisemin çözümü
DetaylıIki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)
Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
Detaylı13 Hareket. Test 1 in Çözümleri. 4. Konum-zaman grafiklerinde eğim hızı verir. v1 t
3 Hareke Tes in Çözümleri X Y. cisminin siseme er- diği döndürme ekisi 3mgr olup yönü saa ibresinin ersinedir. cisminin siseme erdiği döndürme ekisi mgr olup yönü saa ibresi yönündedir. 3mgr daha büyük
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıElektrik Devre Temelleri 3
Elektrik Devre Temelleri 3 TEMEL KANUNLAR-2 Doç. Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Kocaeli Üniversitesi ÖRNEK 2.5 v 1 ve v 2 gerilimlerini bulun. (KGK) PROBLEM 2.5 v 1 ve v 2 gerilimlerini
Detaylı2.5 Kritik bölgelerdeki Aşıkların kontrolü
2.5 Kriik bölgelerdeki Aşıkların konrolü Çaı yüzeyinin ora bölgelerindeki rüzgar kuvvelerine göre asarlanan aşıkların, yüksek rüzgar yüküne maruz bölgelerde de yeerli olduğu hesapla göserilmelidir. Yeersiz
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıŞayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.
GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler
DetaylıSAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUARI DENEYİ YAPTIRAN: DENEYİN ADI: DENEY NO: DENEYİ YAPANIN ADI ve SOYADI: SINIFI: OKUL NO: DENEY GRUP NO:
DetaylıNedim Tutkun, PhD, MIEEE Düzce Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Konuralp Düzce
ELEKTRİK DEVRELERİ I ÖRNEK ARASINAV SORULARI Nedim Tutkun, PhD, MIEEE nedimtutkun@duzce.edu.tr Düzce Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü 81620 Konuralp Düzce Soru-1) Şekildeki devrede
DetaylıElektrik Devre Temelleri
Elektrik Devre Temelleri 3. TEMEL KANUNLAR-2 Doç. Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Kocaeli Üniversitesi ÖRNEK 2.5 v 1 ve v 2 gerilimlerini bulun. (KGK) 1 PROBLEM 2.5 v 1 ve v 2
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıKarabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta)
KAFES SİSTEMLER STATİK (4. Hafta) Düz eksenden oluşan çubukların birbiriyle birleştirilmesiyle elde edilen sistemlere kafes sistemler denir. Çubukların birleştiği noktalara düğüm noktaları adı verilir.
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıFİZİK-II DERSİ LABORATUVARI ( FL 2 4 )
FİZİK-II DERSİ LABORATUVARI ( FL 2 4 ) KURAM: Kondansaörün Dolma ve Boşalması Klasik olarak bildiğiniz gibi, iki ileken paralel plaka arasına dielekrik (yalıkan) bir madde konulursa kondansaör oluşur.
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıTABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.
TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;
DetaylıARASINAV SORULARI. EEM 201 Elektrik Devreleri I
Mühendislik Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü 2017-2018 EĞĠTĠM- ÖĞRETĠM YILI YAZ OKULU ARASINAV SORULARI EEM 201 Elektrik Devreleri I Tarih: 04-07-2018 Saat: 11:45-13:00 Yer: Merkezi Derslikler
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıİÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4
İÇİNDEKİLER 1. DÖNEL YÜZEYLER... 1 1.a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse... 1 1.b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse.... DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER... 5.a α f,,0 Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 5.b
Detaylı0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
DetaylıFİZİK II LABORATUVARI DENEY FÖYÜ
ELAL BAYA ÜNİESİTESİ / FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ / FİZİK BÖLÜMÜ FİZİK LOATUA DENEY FÖYÜ. DİENÇ E ELEKTOMOTO KUETİNİN ÖLÇÜLMESİ. OHM YASAS. KHHOFF YASALA 4. ELEKTİK YÜKLEİNİN DEPOLANŞ E AKŞ AD SOYAD: NUMAA:
DetaylıBölüm 1. Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları
Bölüm Elektriksel Büyüklükler ve Elektrik Devre Elemanları. Temel Elektriksel Büyüklükler: Akım, Gerilim, Güç, Enerji. Güç Polaritesi.3 Akım ve Gerilim Kaynakları F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. .. Temel
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıKafes Kiriş yük idealleştirmesinin perspektif üzerinde gösterimi. Aşık. P m
3. KAFES KİRİŞİN TASARIMI 3.1 Kafes Kiriş Yüklerinin İdealleşirilmesi Kafes kirişler (makaslar), aşıkları, çaı örüsünü ve çaı örüsü üzerine ekiyen dış yükleri (rüzgar, kar) aşırlar ve bu yükleri aşıklar
DetaylıDENKLEM DÜZENEKLERI 1
DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x
DetaylıFİZİK II LABORATUVARI DENEY FÖYÜ
MANİSA ELAL BAYA ÜNİESİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ FİZİK BÖLÜMÜ FİZİK LOATUA DENEY FÖYÜ. OHM YASAS. DİENÇ E ELEKTOMOTO KUETİNİN ÖLÇÜLMESİ. KHHOFF YASALA 4. ELEKTİK YÜKLEİNİN DEPOLANŞ E AKŞ MANİSA - 9 Deney.
DetaylıDC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ
DC DEVRE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Elektrik devresi, kaynak ve yük gibi çeşitli devre elemanlarının herhangi bir şekilde bağlantısından meydana gelir. Bu gibi devrelerin çözümünde genellikle, seri-paralel devrelerin
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıKIRCHHOFF YASALARI VE WHEATSTONE(KELVİN) KÖPRÜSÜ
KIRCHHOFF YASALARI VE WHEATSTONE(KELVİN) KÖPRÜSÜ Deneyin Amacı Bu deneyin amacı, seri, paralel ve seri-paralel bağlı dirençleri tanımak, Kirchhoff Yasalarının uygulamasını yapmak, eşdeğer direnç hesaplamasını
DetaylıC L A S S N O T E S SİNYALLER. Sinyaller & Sistemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol
Sinyaller & Sisemler Sinyaller Dr.Aşkın Demirkol SİNYALLER Elekriki açıdan enerjisi ve frekansı olan dalga işare olarak anımlanır. Alernaif olarak kodlanmış sinyal/işare de uygun bir anım olabilir. s (
Detaylı9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,
DetaylıEş Zamanlı Yazılımlarda Güvenilirlik Analizi : Literatür Taraması
Eş Zamanlı Yazılımlarda Güvenilirlik Analizi : Lieraür Taraması Erku Tekeli Çukurova Üniversiesi, Kozan Meslek Yüksekokulu, Adana eekeli@cu.edu.r Öze: Son yıllarda yüksek başarımlı hesaplamalara olan ihiyaçlar
DetaylıLİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN
LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
DetaylıT.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TEMEL ELEKTRİK DEVRE LABORATUVARI TEMEL DEVRE TEOREMLERİNİN UYGULANMASI
T.C. ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TEMEL ELEKTRİK DEVRE LABORATUVARI TEMEL DEVRE TEOREMLERİNİN UYGULANMASI DENEY SORUMLUSU Arş. Gör. Şaban ULUS Şubat 2014 KAYSERİ
DetaylıDizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi
Bölüm 1 Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi 1.1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar 1.1.1 Tanımlar Dizey cebiri kullanmaksızın k değişkenli bir bağlanım modeliyle uğraşmak son derece karmaşık bir iştir. Burada,
DetaylıChapter 5. Elektrik Devreleri. Principles of Electric Circuits, Conventional Flow, 9 th ed. Floyd
Elektrik Devreleri Summary Özet Seri devreler Tüm devreler üç ortak özelliğe sahiptir. Bunlar: 1. Gerilim kaynağı. 2. Yük (load). 3. Kapalı yol. Seri bir devrede yalnızca tek bir akım yolu vardır. R 1
DetaylıDizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0
DetaylıTRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER
Karadeniz Teknik Üniversiesi Mühendislik Fakülesi * Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü Elekronik Anabilim Dalı * Elekronik Laborauarı I 1. Deneyin Amacı TRANSİSTÖRLÜ YÜKSELTEÇLER Transisörlerin yükseleç
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıDOĞRU AKIM DEVRE ANALİZİ Ö. ŞENYURT - R. AKDAĞ SEKİZİNCİ BÖLÜM: AĞ ÇÖZÜMLEME TEKNİKLERİ
SEKİZİNCİ BÖLÜM: AĞ ÇÖZÜMLEME TEKNİKLERİ Anahtar Kelimeler Yıldız üçgen dönüşümü, üçgen yıldız dönüşümü, çevre, çevre gerilimleri, düğüm, farz edilen çevre akımları, göz. Şu ana kadar öğrendiklerinizle
DetaylıThe Nonlinear Models with Measurement Error and Least Squares Estimation
D.Ü.Ziya Gökalp Eğiim Fakülesi Dergisi 5,17-113 5 ÖLÇÜM HATALI LiNEER OLMAAN MODELLER ve EN KÜÇÜK KARELER KESTİRİMİ The Nonlinear Models wih Measuremen Error and Leas Squares Esimaion Öze : u çalışmada,
DetaylıİSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI TERS PERSPEKTİF DÖNÜŞÜM İLE YÜZEY DOKUSU ÜRETİMİ
İANBUL İCARE ÜNİERİEİ BİLGİAAR MÜHENDİLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİAAR İEMLERİ LABORAUARI ER PERPEKİF DÖNÜŞÜM İLE ÜZE DOKUU ÜREİMİ Bu deneyde, genel haları ile herhangi bir yüzeye bir dokunun kopyalanması üzerinde
Detaylıhafta 6: Katlama işlemi özellikleri
hafa 6: Kalama işlemi özellikleri 3.4 Kalama işlemi özellikleri... 2 3.4.1 Yer değişirme özelliği (Commuaive Propery)... 2 3.4.2 Dağılma özelliği (Disribuive Propery)... 2 3.4.2.1 Dağılma özelliği kullanarak
Detaylı11. SINIF KONU ANLATIMLI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 5. Konu ATIŞ HAREKETLERİ ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ
. SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 5. Konu ATIŞ HAREKETLERİ ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ 5 Aış Harekeleri. Ünie 5. Konu (Aış Harekeleri) A nın Çözümleri. a. K cismi bulunduğu konumdan serbes
Detaylıiçin doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.
11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
DetaylıSPEKTRAL HESAP. Bir Serbestlik Dereceli Sistemler Bir serbestlik dereceli doğrusal elastik siteme ait diferansiyel hareket denklemi,
Nuri ÖHENDEKCİ SPEKAL HESAP Yapıları ekileyen deprem dalgaları amamen belirli değildir; bu dalgaların özelliklerinde rasgelelik vardır. aman parameresine bağlı bu deprem dalgalarının farklı arilerde oluşmasıyla
DetaylıSAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ LABORATUARI
SAKAA ÜNİESİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTİK ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİİŞ LABOATUAI DENEİ APTIAN: DENEİN ADI: DENE NO: DENEİ APANIN ADI ve SOADI: SINIFI: OKUL NO:
DetaylıTEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
Detaylı13 Hareket. Test 1 in Çözümleri
13 Hareke 1 Tes 1 in Çözümleri 3. X Y 1. cisminin siseme er- diği döndürme ekisi 3mgr olup yönü saa ibresinin ersinedir. cisminin siseme erdiği döndürme ekisi mgr olup yönü saa ibresi yönündedir. 3mgr
Detaylı1.1 Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır.
FİNANSAL MATEMATİK ALTYAPI. Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır. i-) Toplama: Eşit üslü benzer ifadelerin katsayıları toplanır. 3a 5 +,5a 5 =,5a 5 a 3-7a
Detaylı12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
Detaylı3. Ünite 1. Konu Hareket
HAREET 1 A nın Yanıları 3. Ünie 1. onu Hareke. 1. M nokasından hare- N kee başlayan bir harekeli... nokasına ardığında yapığı yer değişirme en büyük olur. M Şekil I 3 Şekil II Şekil I deki - grafiğindeki,
DetaylıSaf Eğilme(Pure Bending)
Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki şekil değiştirmesini/ deformasyonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller
Detaylı2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı
1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna
DetaylıELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ ÖLÇME VE DEVRE LABORATUVARI DENEY 2
ELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ ÖLÇME VE DEVRE LABORATUVARI DENEY 2 2.1. ÇEVRE AKIMLAR YÖNTEMİ Elektrik devrelerinin çözümünde kullanılan en basit ve en kolay yöntemlerden biri çevre akımları yöntemidir.
Detaylı.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT Halil İbrahim CEBECİ BÖLÜM I 1. Matris Cebirine Giriş MATRİS VE DETERMİNANT Sayıların, değişkenlerin veya parametrelerin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıNazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =
Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
Detaylı1) Seri ve paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direncinin bulunması. 2) Kirchhoff akım ve gerilim yasalarının incelenmesi.
DENEY 3. DİRENÇLERİN SERİ VE PARALEL BAĞLANMASI Amaç: 1) Seri ve paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direncinin bulunması. 2) Kirchhoff akım ve gerilim yasalarının incelenmesi. Kuramsal Bilgi: Elektrik devrelerinde
DetaylıEEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I
EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Kaynak (Ders Kitabı): Fundamentals of Electric Circuits Charles K. Alexander Matthew N.O. Sadiku
DetaylıV R. Devre 1 i normal pozisyonuna getirin. Şalter (yukarı) N konumuna alınmış olmalıdır. Böylece devrede herhangi bir hata bulunmayacaktır.
Ohm Kanunu Bir devreden geçen akımın şiddeti uygulanan gerilim ile doğru orantılı, devrenin elektrik direnci ile ters orantılıdır. Bunun matematiksel olarak ifadesi şöyledir: I V R Burada V = Gerilim (Birimi
DetaylıDENEY-4 WHEATSTONE KÖPRÜSÜ VE DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ
DENEY- WHEATSTONE KÖPÜSÜ VE DÜĞÜM GEİLİMLEİ YÖNTEMİ Deneyin Amacı: Wheatson köprüsünün anlaşılması, düğüm gerilimi ile dal gerilimi arasındaki ilişkinin incelenmesi. Kullanılan Alet-Malzemeler: a) DC güç
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI
Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı İşaret Akış Diyagramları Mason Kuralı Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları Durum Uzayında Alternatif Gösterimler 1 Birçok kontrol
DetaylıDoğru Akım Devreleri
Doğru Akım Devreleri ELEKTROMOTOR KUVVETİ Kapalı bir devrede sabit bir akımın oluşturulabilmesi için elektromotor kuvvet (emk) adı verilen bir enerji kaynağına ihtiyaç duyulmaktadır. Şekilde devreye elektromotor
DetaylıKafes Sistemler. Birbirlerine uç noktalarından bağlanmış çubuk elemanların oluşturduğu sistemlerdir.
Kafes Sistemler Birbirlerine uç noktalarından bağlanmış çubuk elemanların oluşturduğu sistemlerdir. Kafes Sistemler Birçok uygulama alanları vardır. Çatı sistemlerinde, Köprülerde, Kulelerde, Ve benzeri
Detaylıx 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
DetaylıELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ LAB. DENEY FÖYÜ
ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ L. DENEY FÖYÜ EYLÜL 00 DENEY : OSİLOSKOP, VOMETRE ve İŞRET ÜRETEİ KULLNIMI Deneyin macı: u deneyde elekrik devrelerindeki akım, gerilim, direnç gibi fiziksel büyüklüklerin ölçülmesi
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
Detaylı